Основы интегрального исчисления

Понятие интеграл непосредственно связано с интегральным исчислением – разделом математики, занимающимся изучением интегралов, их свойств и методов вычисления. Вместе с дифференциальным исчислением интегральное исчисление составляет основу математического анализа.

Истоки интегрального исчисления относятся к античному периоду развития математики и берут начало от метода исчерпывания, разработанного математиками Древней Греции.

Метод исчерпывания это набор правил для вычисления площадей и объёмов, разработка которых приписывается Евдоксу Книдскому. Дальнейшее развитие метод получил в работах Евклида, а особым искусством и разнообразием применения метода исчерпывания славился Архимед.

Типичная схема доказательств методом исчерпывания выглядела следующим образом. Для определения величины A строилась некоторая последовательность величин С1, С2, …, Сn, … такая, что

Предполагалось также известным такое B, что

и что для любого целого K можно найти достаточно большое n, удовлетворяющее условию:

Где D – постоянно. После громоздких рассуждений из последнего выражения удавалось получить:

Как видно из приведённой схемы метод был основан на аппроксимации рассматриваемых объектов ступенчатыми фигурами или телами, составленными из простейших фигур или пространственных тел (прямоугольников, параллелепипедов, цилиндров и т.п., обозначенных последовательностью С1, С2, …, Сn, …). В этом смысле метод исчерпывания можно рассматривать как античный интегральный метод.

Кризис и упадок древнего мира привёл к забвению многих научных достижений. О методе исчерпывания вспомнили лишь в XVII веке. Это было связано с именами Исаака Ньютона, Готфрида Лейбница, Леонарда Эйлера и ряда других выдающихся учёных, положивших основу современного математического анализа.

В конце XVII и в XVIII веке все возрастающие запросы практики и других наук побуждали ученых максимально расширять область и методы исследований математики. Понятия бесконечности, движения и функциональной зависимости выдвигаются на первое место, становятся основой новых методов математики.

В конце XVII и в XVIII веке в математике и механике были получены классические результаты фундаментального значения. Основным здесь было развитие дифференциального и интегрального исчисления, теории дифференциальных уравнений, вариационного исчисления и аналитической механики.

Основные понятия и теория интегрального и дифференциального исчислений, прежде всего связь операций дифференцирования и интегрирования, а также их применения к решению прикладных задач были разработаны в конце XVII века, но основывались на идеях, сформулированных в начале XVII веке великим математиком и астрономом Иоганом Кеплером.

В ноябре 1613 года королевский математик и астролог австрийского двора И. Кеплер праздновал свадьбу. Готовясь к ней, он приобрёл несколько бочек виноградного вина. При покупке Кеплер был поражён тем, что продавец определял вместимость бочки, производя одно единственное действие - измеряя расстояние от наливного отверстия до самой дальней от него точки днища. Ведь такое измерение совершенно не учитывало форму бочки! Кеплер сразу увидел, что перед ним интереснейшая математическая задача - по нескольким измерениям вычислить вместимость бочки. Размышляя над этой задачей, он нашёл формулы не только для объёма бочек, но и для объёма самых различных тел: лимона, яблока, айвы и даже турецкой чалмы. Для каждого из тел Кеплеру приходилось создавать новые, зачастую очень хитроумные методы, что было крайне неудобно. Попытка найти достаточно общие, а, главное, простые методы решения подобных задач и привела к возникновению современного интегрального счисления. Но это уже была заслуга совсем другого математика.

Трудно найти другое имя, которое оказало бы столь сильное влияние на историю мировой науки и культуры, как Исаак Ньютон. Известный математик и историк науки Б. Л. Ван-дер-Варден пишет в своей книге “Пробуждающаяся наука”: “Каждый естествоиспытатель безусловно согласится, что механика Ньютона есть основа современной физики. Каждый астроном знает, что современная астрономия начинается с Кеплера и Ньютона. И каждый математик знает, что самим значительным н наиболее важным для физики отделом современной математики является анализ, в основе которого лежат дифференциальное и интегральное исчисления Ньютона. Следовательно, труды Ньютона являются основой огромной части точных наук нашего времени”. И не только наук: “Математика и техника влияют даже на нашу духовную жизнь, и настолько. что мы редко можем представить это себе полностью. Вслед за необычайным взлётом, которое пережило и XVII веке естествознание, последовал неизбежно рационализм XVIII века, обожествление разума, упадок религии... Кто отдает себе отчет в том, - спрашивает автор, - что с исторической точки зрения Ньютон является самой значительной фигурой XVII века?”

Исаак Ньютон родился в 1643 году. Мальчик посещал сначала сельскую школу, а в двенадцать лет его отправили учиться в ближайший город. Директор школы обратил внимание на способного мальчика и уговорил мать Ньютона отправить сына учиться в Кембриджский университет. Ньютон был принят туда в качестве бедного студента, обязанного прислуживать бакалаврам, магистрам и студентам старших курсов.

Кафедру математике в Кембридже занимал тогда молодой блестящий учёный Исаак Барроу. Он скоро стал не только учителем, но и другом Ньютона, а спустя несколько лет уступил своему великому ученику кафедру математики. К этому времени Ньютон получил уже степени бакалавра и магистра. В 1665-1667 годах Ньютон начал работать над созданием математического аппарата, с помощью которого можно было бы исследовать и выражать законы физики. Ньютон первый построил дифференциальное и интегральное исчисления (он назвал его методом флюксий). Это сразу позволило решать самые разнообразные, математические и физические, задачи. До Ньютона многие функции определялись только геометрически, так что к ним невозможно было применять алгебру и новое исчисление флюксий. Ньютон нашел новый общий метод аналитического представления функции - он ввел в математику и начал систематически применять бесконечные ряды.

Поясним эту идею Ньютона. Известно, что любое действительное число можно представить десятичной дробью - конечной или бесконечной. Так. например:

Это значит, что любое число a можно представить в виде:

где N - целая часть, а a1, a2, ... an, ... могут принимать одно из значений 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. По аналогии с таким представлением чисел Ньютон предположил, что любая функция от x, например , может быть представлена как бесконечный многочлен или ряд, расположенный уже не по степеням , а по степеням x:

где a1, a2, ... an, ...- коэффициенты, которые каждый раз должны быть определены. Примером такого ряда может служить известная нам геометрическая прогрессия:

Представление функции с помощью ряда очень удобно. С помощью рядов, как писал Ньютон, “удается преодолеть трудности, в другом виде представляющиеся почти неодолимыми”.

Одновременно с Ньютоном к аналогичным идеям пришёл другой выдающийся учёный - Готфрид Вильгельм Лейбниц.

Готфрид Вильгельм Лейбниц родился в Германии в г. Лейпциге в 1646 г. Любознательный мальчик уже 6 лет вел интересные беседы по истории со своим отцом, профессором Лейпцигского университета. К 12 годам он хорошо изучил латинский язык и увлёкся древнегреческим. Особенно его интересовали древние философы, и он мог подолгу размышлять о философских теориях Аристотеля или Демокрита. В 15 лет Лейбниц поступает и Лейпцигский университет, где усердно изучает право и философию. Он очень много читает, среди его любимых книг - книги Р. Декарта, Г. Галилея, II. Кеплера и Д. Кампанеллы.

Свои колоссальные знания но математике Лейбниц приобрел самоучкой. Через три года, окончив университет, Лейбниц покинул Лейпциг. Он был обижен отказом ученого совета университета присвоить ому степень доктора прав. Отказ объяснили тем. что Лейбниц был... слишком молод!

Началась жизнь, полная напряженного труда и многочисленных путешествии. Легко себе представить, как неудобны были путешествовать в неуклюжих каретах по тряским дорогам Европы тех времен. Лейбниц умел не терять времени даром - много удачных мыслей пришло ему и голову именно во время этих продолжительных поездок. Лейбниц отличался исключительной способностью быстро “входить” и задачу и решать ее наиболее общим способом. Размышляя над философскими и математическими вопросами, Лейбниц убедился, что самым надежным средством искать и находить истину в науке может стать математика. Всю спою сознательную жизнь он стремился выразить законы мышления, человеческую способность думать и виде математического исчисления. Для этого необходимо, учил Лейбниц, уметь обозначать любые понятия или идеи определенными символами, комбинируя их в особые формулы, и сводить правила мышления к правилам в вычислениях но этим символическим формулам. Заменяя oбычные слова четко определенными символами, Лейбниц стремился избавить наши рассуждения от всякой неопределенности и возможности ошибиться самому или вводить в заблуждение других. Если, мечтал Лейбниц. между людьми возникнут разногласия, то решаться они будут не в длинных и утомительных спорах. а так, как решаются задачи или доказываются теоремы. Спорщики возьмут в руки перья и, сказав: “Начнем вычислять” - примутся за расчеты.

Как уже отмечалось, Лейбниц одновременно с Ньютоном и независимо от него открыл основные принципы дифференциального и интегрального исчислений. Теория приобрела силу после того, как Лейбницем и Ньютоном было доказано, что дифференцирование и интегрирование - взаимно обратные операции. Об этом свойстве хороню знал и Ньютон. Но только Лейбниц увидел здесь ту замечательную возможность, которую открывает применение символического метода.

Любой человек, изучив небольшое число правил действия с символами, обозначающими операции дифференцирования и интегрирования, становится обладателем мощного математического метода. В наше время такие символы операций называют операторами. Операторы дифференцирования d() и интегрирования действуют на функции, “перерабатывая” их в другие, точно вычисляемые функции. Лейбниц разрабатывает особую алгебру действий с этими операторами. Он доказывает, что обычное число а можно выносить за знак оператора:

Одинаковые операторы можно выносить за скобку:

Сокращенно все перечисленные свойства можно выразить соотношением:

где: a и b - числа.

Операторы. которые обладают таким свойством. называются линейными. Теория линейных операторов, которую с таким успехом начал развивать, Лейбниц,. в современной математике является хорошо разработанной и полезной в приложениях теорией.

Многократное применение операторов можно принимать как степень оператора, например, для d():

То, что основные операторы математического анализа являются взаимно обратными Лейбниц подчёркивал своей символикой, утверждая, что в d(x) и также взаимно обратны, как степени и корни в обычном исчислении. Употребляя так же обозначение, аналогичное обозначению a-1 числа, обратного a, причём произведение a×a-1=1. Обозначая операторы или наоборот:

и понимая под их произведением последовательное их применение, имеем:

т. е. произведение есть “единица”, не меняющая функцию.

Однако, в подходе Ньютона-Лейбница крылось серьёзное противоречие.

Лейбниц и его последователи - братья Бернулли, Лопиталь и другие - трактовали дифференциалы как бесконечно малые разности обычных конечных величин, как тогда говорили - “реальных” величин “низшей” математики. Поэтому они обращались с теми и другими одинаково и в исчислении применяли к первым те же приемы, которые справедливы при действиях со вторыми. Вместе с тем выяснилось, что таким образом трактуемым бесконечно малым присуще свойство, противоречащее одному основному свойству основных конечных величин: если А - конечная величина, а a - бесконечно малая, то, чтобы результат исчисления получался совершенно точным, оказалось необходимым проводить вычисления в предположении, что А+a=А.

Дифференциальное исчисление, значение которого для развития науки и техники было вне сомнений, оказалось в парадоксальном положении: чтобы его методами получить точный результат, надо было исходить из ошибочного утверждения.

Ньютон пытался обосновать дифференциальное исчисление на законах механики и понятии предела. Но ему не удалось освободить свое исчисление флюксий от недостатков, присущих дифференциальному исчислению Лейбница. В практике вычисления Ньютон, как и Лейбниц, применял принцип отбрасывания бесконечно малых.

Такая непоследовательность позволила назвать дифференциальное исчисление Лейбница–Ньютона мистическим. Этим в первую очередь подчеркивалось, что Лейбниц и Ньютон вводили в дифференциальное исчисление бесконечно малые величины метафизически, сразу полагая их существующими, без выяснения их возникновения и развития и без анализа природы их специфических свойств.

Попытки построить анализ бесконечно малых и теорию рядов в полном соответствии с основными понятиями и истинами “низшей” математики с самого начала к успешным результатам не привели. Поэтому Лейбниц и его последователи пытались оправдать принципы анализа бесконечно малых путем сравнения бесконечно малой с песчинкой, которой можно пренебречь при вычислении высоты горы, посредством ссылок на вероятность и т. п.

Другая попытка была предпринята в конце XVIII века. Известный немецкий математик Вессель предложил оставить анализ бесконечно малых в анализе в качестве “полезных вспомогательных функций”. Однако, такая трактовка широкого распространения не получила - математики знали механическое и геометрическое истолкование dx и dy.

Примерно с последней четверти XVIII века область приложений математического анализа начинает значительно перекрывать границы его обычного приложения в механике и геометрии. Ещё быстрее развертывается этот процесс в первой четверти XIX века.

Математики пытались сначала решать новые задачи методами, разработанными классиками XVIII века - Эйлером, Даламбером, Лагранжем и другими. Однако, вскоре выяснилось, что методы классиков недостаточны, что надо развивать новые, более общие и сильные методы. Выяснилось также, что недостаточность методов классиков нередко связана с узостью трактовки основных понятий, с “изгоняемым” понятием о бесконечно малом, с “исключениями”, которые раньше оставались в тени.

Поясним сказанное одним примером.

Ньютон и Лейбниц разработали две трактовки понятия обычного определенного интеграла.

Ньютон трактовал определенный интеграл как разность соответствующих значений первообразной функции:

,

где F`(x)=f(x).

Для Лейбница определенный интеграл был суммой всех бесконечно малых дифференциалов.

.

Первая трактовка отвечала технике вычисления определенных интегралов при помощи первообразной подынтегральной функции, вторая - потому, что в приложениях определенный интеграл появлялся как предел известного вида суммы (интегральной суммы).

Примерно до последней четверти XVIII века первая трактовка понятия определенного интеграла занимала господствующее положение. Этому способствовали два обстоятельства.

К началу XVIII века были установлены правила дифференцирования всех элементарных функций и началась успешная разработка методов нахождения их первообразных (рациональных, отдельных классов иррациональных и трансцендентных функций). Благодаря этому точка зрения Ньютона вполне отвечала развитию эффективных алгоритмов интегрального исчисления.

Непосредственное вычисление как предела интегральной суммы столкнулось с многими трудностями. Естественно, что это обстоятельство укреплению точки зрения Лейбница не способствовало.

Истолкование обычного определенного интеграла по Лейбницу опиралось на понятие о бесконечно малых, от которого математики XVIII века хотели освободить математический анализ. Это также способствовало укреплению точки зрения Ньютона. Факт этот хорошо подтверждался тем, как Леонард Эйлер использовал понятие об интегральной сумме. Эйлер не возражал против приближенного вычисления определенных интегралов при помощи соответствующих интегральных сумм. Но рассматривать определенный интеграл как предел интегральной суммы он не мог. В этом случае все слагаемые интегральной суммы становились бесконечно малыми, т. е., с точки зрения Эйлера, были нулями.

Историческая справка. В 1963 г. 23-летний Пауль Эйлер окончил курс теологии в Базельском университете. Но учёных теологов было в те годы больше, чем требовалось, и лишь в 1701 г. он получил официальную должность священника сиротского дома в Базеле. 19 апреля 1706 г. пастор Пауль Эйлер женился на дочери священника. А 15 апреля 1707 г. у них родился сын, названный Леонардом.

Начальное обучение будущий учёный прошел дома под руководством отца, учившегося некогда математике у Якоба Бернулли. Добрый пастор готовил старшего сына к духовной карьере, однако занимался с ним и математикой – как в качестве развлечения, так и для развития логического мышления. Мальчик увлёкся математикой, стал задавать отцу вопросы один сложнее другого.

Когда у Леонардо проявился интерес к учёбе, его направили в Базельскую латинскую гимназию – под надзор бабушки.

20 октября 1720 г. 13-летний Леонард Эйлер стал студентом факультета искусств Базельского университета: отец желал, чтобы он стал священником. Но любовь к математике, блестящая память и отличная работоспособность сына изменили эти намерения и направили Леонарда по иному пути.

Став студентом, он легко усваивал учебные предметы, отдавая предпочтение математике. И немудрено, что способный мальчик вскоре обратил на себя внимание Бернулли. Он предложил юноше читать математические мемуары, а по субботам приходить к нему домой, чтобы совместно разбирать непонятное. В доме своего учителя Эйлер познакомился и подружился с сыновьями Бернулли – Николаем и Даниилом, также увлечённо занимавшимися математикой. А 8 июня 1724г. 17-летний Леонард Эйлер произнёс по- латыни великолепную речь о сравнении философских воззрений Декарта и Ньютона - и был удостоен учёной степени магистра (в XIX в. в большинстве университетов Западной Европы ученая степень магистра была заменена степенью доктора философии).

Эйлер отличался феноменальной работоспособностью. Он просто не мог не заниматься математикой или её приложениями. В 1735 г. Академия получила задание выполнить срочное и очень громоздкое астрономическое вычисление. Группа академиков просила на эту работу три месяца, а Эйлер взялся выполнить работу за 3 дня – и справился самостоятельно. Однако перенапряжение не прошло бесследно: он заболел и потерял зрение на правый глаз. Однако учёный отнёсся к несчастью с величайшим спокойствием: “Теперь я меньше буду отвлекаться от занятий математикой”, - философски заметил он.

До этого времени Эйлер был известен лишь узкому кругу учёных. Но двухтомное сочинение “ Механика, или наука о движении, в аналитическом изложении ”, изданное в 1736 г., принесло ему мировую славу. Эйлер блестяще применил методы математического анализа к решению проблем движения в пустоте и в сопротивляющейся среде. “Тот, кто имеет достаточные навыки в анализе, сможет всё увидеть с необычайной лёгкостью и без всякой помощи прочитает работу полностью”, - заканчивает Эйлер своё предисловие к книге.

Дух времени требовал аналитического пути развития точных наук, применения дифференциального и интегрального исчисления для описания физических явлений. Этот путь и начал прокладывать Леонард Эйлер.

Конечно, и до последней четверти XVIII века концепция Ньютона сталкивалась с трудностями. В этот период встречались элементарные функции, первообразные которых не могут быть выражены через элементарные функции. Знали математики и некоторые несобственные интегралы, в том числе и расходящиеся. Но такого рода факты были единичными и установившейся эффективной концепции интеграла нарушить не могли. Иным оказалось положение в последней четверти XVIII и особенно в начале XIX века.

С 70-х годов XVIII века решение задач аналитической механики, физики и других дисциплин потребовало значительное развитие понятия определенного интеграла. Особое значение приобретают двойные и тройные интегралы (Эйлер, Лагранж, Лаплас и др.).

Это было время, когда великие идеи Ньютона и Лейбница были опубликованы сравнительно недавно и современный математический анализ только создавался. Мощные методы, которые принесли с собой эти идеи, находили применение во всех отраслях точного знания. Применение это шло рука об руку с развитием самого анализа, часто указывая пути и направления, по которым должно развиваться новое исчисление. Это была, пожалуй, единственная по своей интенсивности эпоха математического творчества, и Эйлер был один из немногих по своей продуктивности творцов. Его "Введение в анализ бесконечно малых", "Основания дифференциального исчисления" и "Основания интегрального исчисления" были первыми трактатами, в которых уже обширный, но разрозненный материал нового анализа был объединен в цельную науку. В них был выработан тот скелет современного анализа, который сохранился и до нашего времени.

Разработка приемов вычисления двойных и тройных интегралов показала, что вычислять эти интегралы так, как вычисляли обычный определенный интеграл - при помощи неопределенного, очень трудно или даже невозможно. Поэтому математики вынуждены были сохранять концепцию Ньютона только на словах, а на деле, при решении задач точных наук, стали на путь Лейбница. Они вычисляли соответствующие интегральные суммы (в прямоугольных, цилиндрических и сферических координатах) и находили их пределы.

Короче говоря, разработка способов вычисления новых видов определенного интеграла показала, что обыкновенный, двойной и т. д. определенный интегралы должны быть обоснованы сами по себе независимо от понятия неопределенного интеграла. Но каждое слагаемое любой интегральной суммы является бесконечно малой величиной. Тем самым не только ставился вопрос о легализации ранее “изгоняемого” понятия бесконечно малого, но и о раскрытии его реального содержания и о соответствующем его использовании. Как уже указывалось, чтобы всё это сделать надо было преодолеть - обобщить, развить традиционное (Эйлерово) толкование функции и понятия предела.

В связи с этим возник вопрос о существовании пределов интегральных сумм, слагаемые которых были бы бесконечно малыми. В первой четверти XIX века понятие бесконечно малой оказалось необходимым и для изучения и сопоставления свойств непрерывных и разрывных функций. Получение основополагающих результатов связано здесь с именем Коши. “Между многими понятиями, - указывал Коши, - тесно связанными со свойствами бесконечно малых, следует поместить понятие о непрерывности и прерывности функций”. Тут же Коши дает истолкование непрерывности функции, которое более чем ясно подтверждает ясность этого его утверждения.

Новая постановка задач обоснования математического анализа ясно показывала, что дело не только в признании и применении бесконечно малых - это делали и раньше! - но прежде всего в научном истолковании их содержания и обоснованном на этом использовании их в алгоритмах математического анализа. Однако, чтобы это сделать надо было преодолеть господствовавшее в XVIII веке узкое толкование понятия предела, разработать общую теорию пределов.

Изучение разрывных функций и сопоставление их с функциями непрерывными заставило признать то, что ранее считалось невозможным: что предел, к которому стремиться последовательность значений функции, при стремлении аргумента в некоторой точке может оказаться отличным от значения функции в этой точке. Значит, предел не всегда является “последним” значением переменной, но во всех случаях предел есть число, к которому переменная приближается неограниченно. Следовательно, dx и dy не необходимо нули или “мистически” актуально бесконечно малые; бесконечно малая - это переменная, имеющая пределом нуль, причем факт этот с противоречиями и парадоксами не связан.

Коши преодолел и вторую ограничительную тенденцию в принятой до него трактовке понятия предела. Он признал, что переменная может приближаться к своему пределу не только монотонно, но и колеблясь, порой принимая значения, равные её пределу. Это обстоятельство придало теории Коши необходимую общность и исключительную гибкость. Мы до сих пор следуем пути, намеченному Огюстеном Луи Коши, с теми усовершенствованиями, которые были внесены во второй половине XIX века К. Вейерштрассом.

Работы Коши и Вейерштрасса завершили создание классического математического анализа, Тем самым подведя итог многовекового развития интегрального исчисления.

Список литературы

Большакова А. А. Три кризиса в развитии математики. Дипломная работа; Астрахань: АГПИ, 1996.

Детская энциклопедия для среднего и старшего возраста. Т.2; М.: Просвещение, 1965.

Математическая энциклопедия. Ред. Виноградова. Т.2; М.: Сов. Энциклопедия, 1979.

Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т.1; М.: Наука, 1968.

Словник : Имидоэфиры - Историческая школа . Источник: т. XIII (1894): Имидоэфиры - Историческая школа, с. 249-253 ( · индекс ) Другие источники : МЭСБЕ


Интегральное исчисление - в сочинении Архимеда «Об измерении длины окружности» рассматривается вопрос об определении площади и длины окружности круга, а в трактате «О шаре и цилиндре» - о поверхностях и объемах тел, ограниченных кривыми поверхностями; эти вопросы представляют первые геометрические задачи, относящиеся к И. исчислению. И в настоящее время основной задачей И. исчисления является нахождение площадей криволинейных фигур. Под площадью криволинейной фигуры S {\displaystyle S} (черт. 1) разумеется предел, к которому стремится площадь вписанного в фигуру многоугольника по мере увеличения числа его сторон, причем эти стороны могут быть сделаны меньше всякого заранее заданного произвольно малого числа. Указанная задача решается при помощи И. исчисления, если криволинейный контур фигуры S {\displaystyle S} задан уравнением, как это делается в аналитической геометрии (см. Аналитическая геометрия и Дифференциальное исчисление). Пусть уравнение заданной кривой S {\displaystyle S} (черт. 2)
есть y = f (x) {\displaystyle y=f(x)} . Определим площадь P 0 M 0 M n P n {\displaystyle P_{0}M_{0}M_{n}P_{n}} , образованную отрезком оси x {\displaystyle x} -ов , двумя ординатами и и дугой M 0 m n {\displaystyle M_{0}m_{n}} кривой S {\displaystyle S} . Ясно, что нахождение площади всякой криволинейной фигуры может быть сведено к нахождению площадей такого вида (т. е. ограниченным тремя прямыми и дугой кривой). Проведем между крайними ординатами M 0 P 0 {\displaystyle M_{0}P_{0}} и M n P n {\displaystyle M_{n}P_{n}} n − 1 {\displaystyle n-1} ординат M 1 P 1 , M 2 P 2 , … {\displaystyle M_{1}P_{1},M_{2}P_{2},\dots } , соответствующих точкам деления отрезка оси P 0 P n {\displaystyle P_{0}P_{n}} . Эти точки выберем произвольно, с тем лишь ограничением, чтобы по мере увеличения числа n {\displaystyle n} наибольший из отрезков был бесконечно мал (напр. точки P 1 , P 2 , … {\displaystyle P_{1},P_{2},\dots } можно выбрать на равных расстояниях друг от друга). Предполагая, как это имеет место на черт. 2, что ординаты кривой во все время при переходе от к возрастают, легко видеть, что криволинейная площадь фигуры S {\displaystyle S} будет заключаться между следующими двумя суммами:

S n = f (x 0) (x 1 − x 0) + f (x 1) (x 2 − x 1) + ⋯ + f (x n − 1) (x n − x n − 1) {\displaystyle S_{n}=f(x_{0})(x_{1}-x_{0})+f(x_{1})(x_{2}-x_{1})+\dots +f(x_{n-1})(x_{n}-x_{n-1})}
и S n ′ = f (x 1) (x 1 − x 0) + f (x 2) (x 2 − x 1) + ⋯ + f (x n) (x n − x n − 1) {\displaystyle S_{n}"=f(x_{1})(x_{1}-x_{0})+f(x_{2})(x_{2}-x_{1})+\dots +f(x_{n})(x_{n}-x_{n-1})} ,
где x 0 = O P 0 {\displaystyle x_{0}=OP_{0}} , x 1 = O P 1 {\displaystyle x_{1}=OP_{1}} , x 2 = O P 2 {\displaystyle x_{2}=OP_{2}} , … x n = O P n {\displaystyle x_{n}=OP_{n}} ,
a f (x 0) = M 0 P 0 {\displaystyle f(x_{0})=M_{0}P_{0}} , f (x 1) = M 1 P 1 {\displaystyle f(x_{1})=M_{1}P_{1}} , f (x 2) = M 2 P 2 {\displaystyle f(x_{2})=M_{2}P_{2}} , … f (x n) = M n P n {\displaystyle f(x_{n})=M_{n}P_{n}} .

Из чертежа очевидно, что

S n < S < S n ′ {\displaystyle S_{n}.

Для обратного случая, т. е. когда ординаты кривой уменьшаются при переходе от M 0 {\displaystyle M_{0}} к M n {\displaystyle M_{n}} , рассуждение будет то же самое, только последнее неравенство изменит знак, т. е. будет:

S n > S > S n ′ . {\displaystyle S_{n}>S>S_{n}".}

Докажем, что разность S n ′ − S n {\displaystyle S_{n}"-S_{n}} при возрастании числа n {\displaystyle n} может быть сделана как угодно мала. Вычитая на самом деле, имеем:

S n ′ − S n = [ f (x 1) − f (x 0) ] (x 1 − x 0) + [ f (x 2) − f (x 1) ] (x 2 − x 1) + ⋯ + {\displaystyle S_{n}"-S_{n}=(x_{1}-x_{0})+(x_{2}-x_{1})+\dots +} . + [ f (x n) − f (x n − 1) ] (x n − x n − 1) . {\displaystyle +(x_{n}-x_{n-1}).}

Вследствие непрерывности функции в границах рассматриваемой площади число n {\displaystyle n} можно подобрать настолько большим, что все разности f (x 1) − f (x 0) {\displaystyle f(x_{1})-f(x_{0})} , f (x 2) − f (x 1) {\displaystyle f(x_{2})-f(x_{1})} , … f (x n) − f (x n − 1) {\displaystyle f(x_{n})-f(x_{n-1})} выйдут меньше , где ε {\displaystyle \varepsilon } произвольно малое число. Тогда

S n ′ − S n < ε (x 1 − x 0) + ε (x 2 − x 1) + … ε (x n − x n − 1) , {\displaystyle S_{n}"-S_{n}<\varepsilon (x_{1}-x_{0})+\varepsilon (x_{2}-x_{1})+\dots \varepsilon (x_{n}-x_{n-1}),} S n − S n < ε (x n − x 0) , {\displaystyle S_{n}-S_{n}<\varepsilon (x_{n}-x_{0}),}

а произведение ε (x n − x 0) {\displaystyle \varepsilon (x_{n}-x_{0})} из конечного числа на бесконечно малое ε {\displaystyle \varepsilon } , очевидно, есть величина бесконечно малая. Отсюда следует, что S {\displaystyle S} можно рассматривать как предел при возрастании n {\displaystyle n} , так что

S = {\displaystyle S=} пред. { f (x 0) (x 1 − x 0) + f (x 1) (x 2 − x 1) + ⋯ + f (x n − 1) (x n − x n − 1) } {\displaystyle \{f(x_{0})(x_{1}-x_{0})+f(x_{1})(x_{2}-x_{1})+\dots +f(x_{n-1})(x_{n}-x_{n-1})\}} при .

Введем означения:

x 1 − x 0 = Δ x 0 , x 2 − x 1 = Δ x 1 , … x n − x n − 1 Δ x n − 1 , {\displaystyle x_{1}-x_{0}=\Delta x_{0},\,x_{2}-x_{1}=\Delta x_{1},\dots x_{n}-x_{n-1}\Delta x_{n-1},} S = {\displaystyle S=} пред. { f (x 0) Δ x 0 + f (x 1) Δ x 1) + ⋯ + f (x n − 1) Δ x n − 1) } {\displaystyle \{f(x_{0})\Delta x_{0}+f(x_{1})\Delta x_{1})+\dots +f(x_{n-1})\Delta x_{n-1})\}} при n = ∞ {\displaystyle n=\infty }

или короче

S = {\displaystyle S=} пред. ∑ f (x) Δ x {\displaystyle \sum f(x)\Delta x} .

Этот предел называется определенным интегралом , взятым от между границам и и ; для него употребляют особый знак:

∫ x 0 x 1 f (x) d x {\displaystyle \int \limits _{x_{0}}^{x_{1}}f(x)dx} .

Функция f (x) {\displaystyle f(x)} называется подынтегральной , а значки x 0 {\displaystyle x_{0}} и x n {\displaystyle x_{n}} пределами : x 0 {\displaystyle x_{0}} - нижним , а x n {\displaystyle x_{n}} - верхним пределами. Знак ∫ произошел от буквы S, выражающей сумму элементов f (x) d x {\displaystyle f(x)dx} ; название же интеграл произошло от латинского слова integer - целый. Знак ∫ введен Лейбницем и долгое время его употребляли без означения пределов; указание пределов введено Фурье.


Пример . Вычислить площадь ∫ 0 a x 2 d x {\displaystyle \int \limits _{0}^{a}x^{2}dx} , ограниченную осью x {\displaystyle x} -ов (черт. 3) между началом координат и точкой, имеющею абсциссу a {\displaystyle a} , между дугой параболы O M {\displaystyle OM} , уравнение которой есть y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} , и ординатой M a {\displaystyle Ma} . Разобьем основание O a {\displaystyle Oa} на n {\displaystyle n} равных частей a / n = h {\displaystyle a/n=h} ; тогда площадь будет пределом суммы

∑ x 2 h = 0 h + h 2 h + (2 h) 2 h + … ((n − 1) h) 2 h = = h 3 (1 + 2 2 + ⋯ + (n − 1) 2) = = a 3 n 3 ((n − 1) n (2 n − 1) 6) {\displaystyle {\begin{aligned}\sum x^{2}h&=0h+h^{2}h+(2h)^{2}h+\dots ((n-1)h)^{2}h=\\&=h^{3}(1+2^{2}+\dots +(n-1)^{2})=\\&={\frac {a^{3}}{n^{3}}}\left({\frac {(n-1)n(2n-1)}{6}}\right)\end{aligned}}} ∑ x 2 h = a 3 3 (1 − 3 2 n + 1 2 n 2) {\displaystyle \sum x^{2}h={\frac {a^{3}}{3}}\left(1-{\frac {3}{2n}}+{\frac {1}{2n^{2}}}\right)} .

При увеличении n {\displaystyle n} до ∞ {\displaystyle \infty } получим

Пред. ∑ x 2 h = a 3 3 {\displaystyle \sum x^{2}h={\frac {a^{3}}{3}}} , ∫ 0 a x 2 d x = a 3 3 {\displaystyle \int \limits _{0}^{a}x^{2}dx={\frac {a^{3}}{3}}} .

Зная, что a M = a 2 {\displaystyle aM=a^{2}} , заключаем, что площадь криволинейной фигуры O M a {\displaystyle OMa} равна одной трети площади прямоугольника O K M a {\displaystyle OKMa} .

Необходимо заметить, что определение интеграла как предела суммы дает возможность вычислить его с любой степенью точности. Для этой цели можно поступать так: разобьем промежуток x n − x 0 {\displaystyle x_{n}-x_{0}} (черт. 2) на n {\displaystyle n} равных частей x 1 , x 2 , x 3 , … , x n − 1 , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\dots ,x_{n-1},x_{n}} ; тогда

x 1 = x 0 + h , x 2 = x 0 + 2 h , … x n = x 0 + n h {\displaystyle x_{1}=x_{0}+h,\,x_{2}=x_{0}+2h,\dots x_{n}=x_{0}+nh} ; S n = h { f (x 0) + f (x 1) + ⋯ + f (x n − 1) } {\displaystyle S_{n}=h\{f(x_{0})+f(x_{1})+\dots +f(x_{n-1})\}} , S n ′ = h { f (x 1) + f (x 2) + ⋯ + f (x n) } {\displaystyle S_{n}"=h\{f(x_{1})+f(x_{2})+\dots +f(x_{n})\}} .

Вычитая, получим

S n ′ − S n = h { f (x n) − f (x 0) } {\displaystyle S_{n}"-S_{n}=h\{f(x_{n})-f(x_{0})\}} .

Подбирая n {\displaystyle n} настолько большим, чтобы h {\displaystyle h} вышло меньше k f (x n) − f (x 0) {\displaystyle {\tfrac {k}{f(x_{n})-f(x_{0})}}} , получим

S n ′ − S n < k {\displaystyle S_{n}"-S_{n}

и, следовательно, определенный интеграл S {\displaystyle S} будет отличаться от S n {\displaystyle S_{n}} меньше, чем на величину k {\displaystyle k} . Отсюда вычислить интеграл с точностью k {\displaystyle k} значит вычислить соответствующую сумму S n {\displaystyle S_{n}} .

Здесь указана, конечно, только возможность вычисления определенного интеграла с данной степенью точности. В настоящее время в математике известны различные приемы для приближенного вычисления интегралов (площадей), более удобные, чем прием, получаемый непосредственно из определения интеграла как предела суммы. Приемы эти, принадлежащие Симпсону, Котесу, Эйлеру, Гауссу, Чебышеву, Эрмиту и др., известны под названием формул квадратур , откуда название квадратур дается и самим интегралам, так что, если говорят, что вопрос решается в квадратурах, это значит, что искомую величину можно выразить при помощи интегралов от некоторых функций.


Из вышеприведенного примера видно, что вычисление определенного интеграла равносильно задаче вычисления площади некоторого криволинейного контура. Оказывается, что вычисление определенного интеграла от любой функции может быть приведено к одной общей задаче, основной в И. исчислении, а именно к интегрированию функций . Эта задача формулируется так: дана функция f (x) {\displaystyle f(x)} ; найти новую функцию F (x) {\displaystyle F(x)} , называемую первообразной (неопределенный интеграл), так, чтобы

F ′ (x) = f (x) {\displaystyle F"(x)=f(x)} ,

т. е. чтобы заданная функция была производной от искомой. В самом деле, рассмотрим площадь A B P M {\displaystyle ABPM} (черт. 4), ограниченную отрезком оси x {\displaystyle x} -ов B P {\displaystyle BP} , дугой, заданной кривой A M {\displaystyle AM} , ординатой A B {\displaystyle AB} некоторой определенной точки A {\displaystyle A} , от которой отсчитываются дуги по кривой A M {\displaystyle AM} , и переменной ординатой M P {\displaystyle MP} , соответствующей некоторой точке M {\displaystyle M} кривой линии, не указывая, которой именно.

Положение переменной ординаты M P {\displaystyle MP} , конечно, зависит от абсциссы x = O P {\displaystyle x=OP} точки M {\displaystyle M} . Поэтому и площадь S = A B P M {\displaystyle S=ABPM} есть некоторая функция от x {\displaystyle x} ; означим ее через F (x) {\displaystyle F(x)} . Посмотрим, чему равна производная этой функции. Приращение Δ S = Δ F (x) {\displaystyle \Delta S=\Delta F(x)} есть не что иное, как площадь M P P 1 M 1 {\displaystyle MPP_{1}M_{1}} , где P P 1 = Δ x {\displaystyle PP_{1}=\Delta x} . Если в сопредельности с точкой M {\displaystyle M} функция возрастает, как это имеет место на чертеже, то

P M N 1 P 1 < Δ S < P N 2 M 1 P 1 {\displaystyle PMN_{1}P_{1}<\Delta S.

Если бы в сопредельности с точкой M {\displaystyle M} функция убывала, то можно написать такое же неравенство, но с обратным знаком. Вводя предыдущие обозначения и видя, что P M = f (x) {\displaystyle PM=f(x)} , a P 1 M 1 = f (x + Δ x) {\displaystyle P_{1}M_{1}=f(x+\Delta x)} , имеем:

f (x) Δ x < Δ F (x) < f (x + Δ x) Δ x {\displaystyle f(x)\Delta x<\Delta F(x).

Разделяя все части этого неравенства на Δ x {\displaystyle \Delta x} , получим

f (x) < Δ F (x) Δ x < f (x + Δ x) {\displaystyle f(x)<{\frac {\Delta F(x)}{\Delta x}}; откуда, в пределе: пред. Δ F (x) Δ x = F ′ (x) = f (x) {\displaystyle {\frac {\Delta F(x)}{\Delta x}}=F"(x)=f(x)} .

Итак, нахождение определенных интегралов сводится к поставленной выше задаче. Очевидно, эта задача неопределенная, потому что существует бесчисленное множество функций, имеющих ту же самую производную. Все эти функции отличаются друг от друга на числа постоянные, так как производная от постоянного числа равна нулю. Если, например, обозначить через F (x) {\displaystyle F(x)} одну из бесчисленного множества функций, имеющих производной заданную функцию f (x) {\displaystyle f(x)} , то другие функции будут F (x) + 1 {\displaystyle F(x)+1} , F (x) + 2 {\displaystyle F(x)+2} , F (x) + π {\displaystyle F(x)+\pi } и т. д., вообще говоря, , где C {\displaystyle C} - некоторое постоянное число, не зависящее от x {\displaystyle x} . Функция F (x) + C {\displaystyle F(x)+C} , заключающая неопределенную постоянную C {\displaystyle C} , называется поэтому неопределенным интегралом и обозначается так:

∫ f (x) d x = F (x) + C {\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C} .

Что в выражение площади должна входить некоторая произвольная постоянная, ясно из геометрических соображений, ибо площади можно отсчитывать от совершенно произвольной ординаты A B {\displaystyle AB} (черт. 4). Выбору некоторой ординаты за начальную будет соответствовать аналитическое указание постоянного числа C {\displaystyle C} . Положим, что за начальную ординату счета площадей выбрана ордината, соответствующая некоторому числу а; тогда, если конечную ординату площади означить через x {\displaystyle x} и положить, что x > a {\displaystyle x>a} , то площадь выразится некоторым числом. По мере приближения ординаты x {\displaystyle x} к начальной, а площадь будет уменьшаться, так что при она обратится в нуль. Согласно тому, что уже сказано о пределах определенного интеграла, рассматриваемая площадь может быть обозначена интегралом:

∫ a x f (x) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{x}f(x)dx} .

Рассматривая верхний предел x {\displaystyle x} как переменную величину, легко видеть, что этот интеграл равен F (x) + C 0 {\displaystyle F(x)+C_{0}} , где C 0 {\displaystyle C_{0}} подобрано так, что этот интеграл (площадь) обращается в нуль при x = a {\displaystyle x=a} ; отсюда

F (a) + C 0 = 0 {\displaystyle F(a)+C_{0}=0} и C 0 = − F (a) {\displaystyle C_{0}=-F(a)} ; .

Этот интеграл назывался Эйлером integrale quod evanescit posito x = a {\displaystyle x=a} , так как Эйлер не употреблял еще знаков пределов.

Отсюда ясно, что всякий определенный интеграл от функции f (x) {\displaystyle f(x)} между пределами a {\displaystyle a} и b {\displaystyle b} может быть вычислен по формуле

∫ a b f (x) d x = F (b) − F (a) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)} , (*. )

где F (x) {\displaystyle F(x)} совершенно произвольное значение неопределенного интеграла. Это значит, что за F (x) {\displaystyle F(x)} нужно взять совершенно произвольную из числа функций, имеющих заданную производную. Сказанное, впрочем, очевидно, потому что если означить через другое значение неопределенного интеграла, то получается

φ (x) = F (x) + C {\displaystyle \varphi (x)=F(x)+C} ;

подставляя вместо x , a {\displaystyle x,a} и b {\displaystyle b} получим

φ (a) = F (a) + C , φ (b) = F (b) + C {\displaystyle \varphi (a)=F(a)+C,\quad \varphi (b)=F(b)+C} , φ (b) − φ (a) = F (b) − F (a) {\displaystyle \varphi (b)-\varphi (a)=F(b)-F(a)}

и, следовательно, можно взять другое значение неопределенного интеграла φ (x) {\displaystyle \varphi (x)} , так что рассматриваемый определенный интеграл можно вычислить по формуле

∫ a b f (x) d x = φ (b) − φ (a) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\varphi (b)-\varphi (a)} .

Независимость определенного интеграла от той функции из числа первообразных, которую мы выбираем, следует и из того, что площадь между двумя определенными ординатами не зависит от положения третьей ординаты, принятой за начало счета площадей. - И. исчисление разделяется на следующие большие отделы:

I. Интегрирование функций. Здесь излагаются приемы для нахождения по заданной функции ее первообразной, другими словами - нахождение неопределенного интеграла от заданной функции. - Прежде всего необходимо заметить, что знаки дифференцирования и интегрирования друг друга уничтожают, т. е.

d ∫ f (x) d x = f (x) d x {\displaystyle d\int f(x)dx=f(x)dx} и ∫ d f (x) = f (x) + C {\displaystyle \int df(x)=f(x)+C} .

Постоянный множитель можно выносить из-под знака интеграла, т. е.

∫ a f (x) d x = a ∫ f (x) d x {\displaystyle \int af(x)dx=a\int f(x)dx} ;

это очевидно как из определения интеграла как предела суммы, так и из понятия о интеграле, как о функции первообразной. Аналогичная теорема существует и в дифференциальном исчислении. В статье Дифференциальное исчисление (см. т X, стр. 696) помещена табличка производных и дифференциалов простейших функций. Обращение ее дает основную табличку и для интегрирования функций. Возьмем, например, формулу для дифференциала степени:

d (x a) = a x a − 1 d x {\displaystyle d(x^{a})=ax^{a-1}dx} .

Взяв интегралы обеих частей, или, как говорят, интегрируя обе части этого уравнения, получим:

∫ d (x a) = ∫ a x a − 1 d x = a ∫ x a − 1 d x {\displaystyle \int d(x^{a})=\int ax^{a-1}dx=a\int x^{a-1}dx} x a + C = a ∫ x a − 1 d x {\displaystyle x^{a}+C=a\int x^{a-1}dx} ∫ x a − 1 d x = x a a + C {\displaystyle \int x^{a-1}dx={\frac {x^{a}}{a}}+C}

при заменении a {\displaystyle a} через a + 1 {\displaystyle a+1} эта же формула представится так:

∫ x a d x = x a + 1 a + 1 + C {\displaystyle \int x^{a}dx={\frac {x^{a+1}}{a+1}}+C} .

Эта формула не имеет места при a = − 1 {\displaystyle a=-1} , но тогда на основании формулы (8) упомянутой таблички получим:

∫ d x x = lg ⁡ x + C {\displaystyle \int {\frac {dx}{x}}=\lg x+C} .

Применяя подобные же рассуждения ко всем прочим формулам таблички дифференциалов простейших функций, получим табличку основных формул интегрирования простейших функций:

1) ∫ x a . d x = x a + 1 a + 1 + C {\displaystyle \displaystyle \int x^{a}.dx={\frac {x^{a+1}}{a+1}}+C}
2) ∫ d x x = lg ⁡ x + C {\displaystyle \displaystyle \int {\frac {dx}{x}}=\lg x+C}
3) ∫ e x d x = e x + C {\displaystyle \displaystyle \int e^{x}dx=e^{x}+C}
4) ∫ a x . d x = a x lg ⁡ a + C {\displaystyle \displaystyle \int a^{x}.dx={\frac {a^{x}}{\lg a}}+C}
5) ∫ sin x . d x = − cos x + C {\displaystyle \displaystyle \int \sin \,x.dx=-\cos \,x+C}
6) ∫ cos x . d x = sin x + C {\displaystyle \displaystyle \int \cos \,x.dx=\sin \,x+C}
7) ∫ d x cos 2 ⁡ x = t g x + C {\displaystyle \displaystyle \int {\frac {dx}{\cos ^{2}x}}=\mathrm {tg} \,x+C}
8) ∫ d x 1 − x 2 = arcsin x + C {\displaystyle \displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\arcsin \,x+C}
9) ∫ d x 1 + x 2 = a r c t g x + C {\displaystyle \displaystyle \int {\frac {dx}{1+x^{2}}}=\mathrm {arctg} \,x+C}

Из этой таблички видно, что интегралы от весьма простых алгебраических функций

∫ d x x {\displaystyle \displaystyle \int {\frac {dx}{x}}} , ∫ d x 1 − x 2 {\displaystyle \displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}} и ∫ d x 1 + x 2 {\displaystyle \displaystyle \int {\frac {dx}{1+x^{2}}}}

‎ выражаются трансцендентными функциями:

lg ⁡ x {\displaystyle \lg x} , arcsin x {\displaystyle \arcsin \,x} и a r c t g x {\displaystyle \mathrm {arctg} \,x} .

Изыскивая же правила для интегрирования более сложных функций, уже первые исследователи в области И. исчисления заметили, что только интегралы немногих функций вообще представляются в конечном виде; для огромного же большинства функций их первообразные представляют новые виды функций, изучение которых и составляет обширное и еще мало разработанное поле исследований. К числу таких новых трансцендентных принадлежат так называемые эллиптические интегралы, теория которых в настоящее время уже хорошо разработана и получила большие приложения. Интегрирование же функций более сложных состоит пока из отдельных попыток, причем рядом преобразований стремятся свести интегрирование рассматриваемой функции к интегрированию функций, помещенных в табличке простейших. Эта часть И. исчисления доставила, однако, весьма важные результаты; так, например, известно, что интеграл от всякой рациональной функции выражается в конечном виде, т. е. при помощи конечного числа знаков функций, встречающихся уже в элементарной математике. Из числа иррациональных функций заслуживает особенного внимания случай, когда иррациональность подынтегральной функции состоит или из дробных степеней переменного независимого, или же представляет квадратный корень из многочлена, степени не выше второй. В этих случаях интегрирование также совершается в конечном виде. Известны, наконец, некоторые интегрируемые классы функций трансцендентных. К числу упомянутых выше основных преобразований относятся:

1) разложение интеграла на части по формуле:

∫ f (x) d x = ∫ f [ φ (t) ] φ ′ (t) d t {\displaystyle \int f(x)dx=\int f[\varphi (t)]\varphi "(t)dt}

и 3) интегрирование по частям по формуле:

∫ u d v = u v − ∫ v d u {\displaystyle \int udv=uv-\int vdu} . (III. )

II. Теория определенных и кратных интегралов. Сюда относятся исследования и нахождения определенных интегралов в тех случаях, когда неопределенный интеграл весьма трудно или вовсе нельзя выразить через известные функции, а потому тут излагаются приемы, дающие возможность вычислять определенные интегралы не пользуясь основной формулой (); здесь также обобщается понятие об определенном интеграле на случай нескольких независимых переменных.

III. Геометрические приложения интегрального исчисления. В этом отделе рассматриваются четыре основные задачи: 1) квадратура площадей, ограниченных кривыми линиями, 2) вычисление длин дуг кривых линий, 3) вычисление объемов (кубатура) тел, ограниченных кривыми поверхностями, и 4) вычисление площадей криволинейных поверхностей в некоторых контурах, проведенных на этих поверхностях.


Чтобы дать понятие о геометрических приложениях И. исчисления, а равно о кратных интегралах, рассмотрим задачу об определении объема тел, ограниченных кривыми поверхностями. Такой объем U {\displaystyle U} (черт. 5) можно рассматривать как сумму параллелепипедов, составленных приращениями координат Δ x , Δ y {\displaystyle \Delta x,\Delta y} и Δ z {\displaystyle \Delta z} , распространенную на все пространство, ограниченное заданной поверхностью.

Отсюда общая формула для объема будет:

U = {\displaystyle U=} пред. ∑ Δ x Δ y Δ z {\displaystyle \sum \Delta x\Delta y\Delta z}

Этот предел обозначается тройным интегралом

U = ∭ d x d y d z {\displaystyle U=\iiint dxdydz} ,

который представляет, следовательно, общую формулу для нахождения каких угодно объемов. Вся задача состоит в указании пределов у трех знаков интеграла, так как одно интегрирование (суммирование) производится по букве x {\displaystyle x} , другое по букве y {\displaystyle y} , а третье по букве z {\displaystyle z} . Требуется указать пределы таким образом, чтобы при интегрировании были приняты в расчет все элементы, лежащие внутри рассматриваемого криволинейного тела.

Полученная выше формула квадратур ∫ y d x {\displaystyle \int ydx} может быть написана также в виде двойного интеграла

∬ d x . d y {\displaystyle \iint dx.dy} ,

потому что

∫ 0 y d y = y {\displaystyle \int \limits _{0}^{y}dy=y} .

Исторический очерк развития И. исчисления см. Математика. Укажем здесь еще классические сочинения и руководства по этому предмету. Полная система интегрального исчисления в том виде, как оно излагается в настоящее время, находится в знаменитом трактате Эйлера «Institutiones calculi integralis» (СПб., 4 тома). Затем укажем на Коши: «Oeuvres complètes», Бертрана: «Traité de calcul différentiel et de calcul intégral» (2 тома), Ceppe: «Cours de calcul différentiel et intégral» (2 тома), Поссе: «Курс интегрального исчисления» (СПб., 1891 г.), и курсы, указанные в конце статьи Дифференциальное исчисление (т. X, стр. 705).

Код для блога:

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, раздел математики, в котором изучаются свойства и способы вычисления интегралов и их приложения к решению различных математических, физических и других задач. В систематической форме интегральное исчисление было предложено в 17 в. И. Ньютоном и Г. Лейбницем. Интегральное исчисление тесно связано с дифференциальным исчислением; интегрирование (нахождение интеграла) есть действие, обратное дифференцированию: по данной непрерывной функции f(x) ищется функция F(x) (первообразная), для которой f(x) является производной.

Вместе с F(x) первообразной функцией для f(x) является и F(x) + C, где С - любая постоянная. Общее выражение F(x) + C первообразных непрерывной функции f(x) называется неопределенным интегралом; он обозначается.Определенным интегралом непрерывной функции f(x) на отрезке , разделенном точками (рис.), называется предел интегральных сумм, где, при условии, что наибольшая разность стремится к нулю и число точек деления неограниченно увеличивается; его обозначают (самый знак возник из первой буквы S латинского слова Summa).

Через определенные интегралы выражаются площади плоских фигур, длины кривых, объемы и поверхности тел, координаты центров тяжести, моменты инерции, работа, производимая данной силой, и т. д. О связи между определенным интегралом и первообразной см. Ньютона - Лейбница формула. Понятие интеграла распространяется на функции многих переменных (см. Кратный интеграл, Криволинейный интеграл, Поверхностный интеграл)

Как это будет выглядеть:

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, раздел математики, в котором изучаются свойства и способы вычисления интегралов и их приложения к решению различных математических, физических и других задач. В систематической форме интегральное исчисление было предложено в 17 в. И. Ньютоном и Г. Лейбницем. Интегральное исчисление тесно связано с дифференциальным исчислением; интегрирование (нахождение интеграла) есть действие, обратное дифференцированию: по данной непрерывной функции f(x) ищется функция F(x) (первообразная), для которой f(x) является производной.

Вместе с F(x) первообразной функцией для f(x) является и F(x) + C, где С - любая постоянная. Общее выражение F(x) + C первообразных непрерывной функции f(x) называется неопределенным интегралом; он обозначается.Определенным интегралом непрерывной функции f(x) на отрезке , разделенном точками (рис.), называется предел интегральных сумм, где, при условии, что наибольшая разность стремится к нулю и число точек деления неограниченно увеличивается; его обозначают (самый знак возник из первой буквы S латинского слова Summa).

Через определенные интегралы выражаются площади плоских фигур, длины кривых, объемы и поверхности тел, координаты центров тяжести, моменты инерции, работа, производимая данной силой, и т. д. О связи между определенным интегралом и первообразной см. Ньютона - Лейбница формула. Понятие интеграла распространяется на функции многих переменных (см. Кратный интеграл, Криволинейный интеграл, Поверхностный интеграл)

Интегральное исчисление – это раздел математического анализа, в котором изучаются интегралы, их свойства, способы вычисления и приложения. Вместе с дифференциальным исчислением оно составляет основу аппарата математического анализа.

Даты возникновения некоторых математических знаков

Значение

Когда знак введен, год

Знаки объектов

бесконечность

Дж. Валлис

отношение длины окружности к диаметру

корень квадратный из

неизвестные или переменные величины

Р. Декарт

Знаки операций

сложение

немецкие математики

конец XV в.

вычитание

умножение

У. Оутред

умножение

Г. Лейбниц

Г. Лейбниц

Р. Декарт

X. Рудольф

логарифм

И. Кеплер

Б. Кавальери

арксинус

Ж. Лагранж

дифференциал

Г. Лейбниц

интеграл

Г. Лейбниц

производная

Г. Лейбниц

определенный интеграл

факториал

У. Гамильтон

многие математики

И. Бернулли

Знаки отношений

равенство

Р. Рекорд

Т. Гарриот

сравнимость

параллельность

У. Оутред

перпендикулярность

П. Эригон

Интегральное исчисление возникло из рассмотрения большого числа задач естествознания и математики. Важнейшие из них – физическая задача определения пройденного за данное время пути по известной, но, быть может, переменной скорости движения и значительно более древняя задача вычисления площадей и объемов геометрических фигур (см. Геометрические задачи на экстремум).

Центральным в интегральном исчислении является понятие интеграла, которое, однако, имеет две различные трактовки, приводящие соответственно к понятиям неопределенного и определенного интегралов.

В дифференциальном исчислении была введена операция дифференцирования функций. Рассматриваемая в интегральном исчислении обратная к дифференцированию математическая операция называется интегрированием или, точнее, неопределенным интегрированием.

В чем же состоит эта обратная операция и в чем ее неопределенность?

Операция дифференцирования сопоставляет заданной функции ее производную . Допустим, что мы хотим, исходя из заданной функции , найти такую функцию , производной которой является функция , т. е. . Такая функция называется первообразной функции .

Значит, обратная дифференцированию операция – неопределенное интегрирование – состоит в отыскании первообразной данной функции.

Заметим, что, наряду с функцией , первообразной для функции , очевидно, будет также любая функция , отличающаяся от постоянным слагаемым : ведь .

Таким образом, в отличие от дифференцирования, сопоставлявшего функции единственную другую функцию – производную первой, неопределенное интегрирование приводит не к одной конкретной функции, а к целому набору функций, и в этом его неопределенность.

Однако степень этой неопределенности не так уж велика. Напомним, что если производная некоторой функции равна нулю во всех точках какого-то промежутка, то это функция, постоянная на рассматриваемом промежутке (на промежутках, где скорость изменения переменной величины везде равна нулю, она не меняется). Значит, если на каком-то промежутке , то функция постоянна на этом промежутке, поскольку ее производная равна нулю во всех точках промежутка.

Итак, две первообразные одной и той же функции могут отличаться на промежутке только постоянным слагаемым.

Первообразные функции обозначают символом

где знак читается: интеграл. Это так называемый неопределенный интеграл. По доказанному, неопределенный интеграл изображает на рассматриваемом промежутке не одну конкретную функцию, а любую функцию вида

, (1)

где - какая-то первообразная функции на данном промежутке, а - произвольная постоянная.

Например, на всей числовой оси

; ; .

Мы здесь специально обозначили аргументы подынтегральных функций различными символами: , чтобы обратить внимание на независимость первообразной как функции от выбора буквы, используемой для обозначения ее аргумента.

Проверка написанных равенств выполняется простым дифференцированием их правых частей, в результате которого получаются стоящие в левых частях под знаком интеграла функции , , соответственно.

Полезно иметь в виду также следующие очевидные соотношения, непосредственно вытекающие из определений первообразной, производной, дифференциала и из соотношения (1) для неопределенного интеграла:

, , , .

Отыскание первообразной часто облегчают некоторые общие свойства неопределенного интеграла:

(вынесение постоянного множителя);

(интегрирование суммы); если

,

(замена переменной).

Эти соотношения также проверяются непосредственно с использованием соответствующих правил дифференцирования.

Найдем закон движения свободно падающего в пустоте тела, исходя из единственного факта, что при отсутствии воздуха ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли постоянно и не зависит от особенностей падающего тела. Фиксируем вертикальную координатную ось; направление на оси выберем в сторону к Земле. Пусть - координата нашего тела в момент . Нам известно, таким образом, что и - постоянная. Требуется найти функцию - закон движения.

Поскольку , где , то, последовательно интегрируя, находим

Итак, мы нашли, что

, (3)

где и - какие-то постоянные. Но падающее тело подчиняется все-таки одному конкретному закону движения, в котором уже нет никакого произвола. Значит, есть еще какие-то условия, которые мы пока не использовали; они позволяют среди всех «конкурирующих» законов (3) выбрать тот, который соответствует конкретному движению. Эти условия легко указать, если разобраться в физическом смысле постоянных и . Если сравнить крайние члены соотношения (2) при , то выяснится, что , а из (3) при получается, что . Таким образом, математика сама напомнила нам, что искомый закон движения

вполне определится, если указать начальное положение и начальную скорость тела. В частности, если и , получаем .

Отметим теперь, что между операцией нахождения производной (дифференцированием) и операцией отыскания первообразной (неопределенным интегрированием) имеется, кроме указанного выше, еще целый ряд принципиальных отличий. В частности, следует иметь в виду, что если производная любой комбинации элементарных функций сама выражается через элементарные функции, т.е. является элементарной функцией, то первообразная элементарной функции уже не всегда является функцией элементарной. Например, первообразная

элементарной функции (называемая интегральным синусом и обозначаемая специальным символом ), как можно доказать, не выражается в элементарных функциях. Таким образом, принципиальный математический вопрос о существовании первообразной у наперед заданной функции не надо смешивать с не всегда разрешимой задачей об отыскании этой первообразной среди элементарных функций. Интегрирование часто является источником введения важных и широко используемых специальных функций, которые изучены ничуть не хуже таких «школьных» функций, как или , хотя и не входят в список элементарных функций.

Наконец, отметим, что отыскание первообразной, даже когда она выражается в элементарных функциях, скорее напоминает искусство, чем канонический алгоритм вычислений, подобный алгоритму дифференцирования. По этой причине найденные первообразные наиболее часто встречающихся функций собраны в виде справочных таблиц неопределенных интегралов. Следующая микротаблица такого рода, очевидно, равносильна микротаблице производных соответствующих основных элементарных функций:

Мы, пока говорили об обращении операции дифференцирования, пришли в этой связи к понятиям первообразной, неопределенного интеграла и дали первоначальное определение этих понятий.

Теперь укажем иной, куда более древний подход к интегралу, который послужил основным первоначальным источником интегрального исчисления и привел к понятию определенного интеграла или интеграла в собственном смысле этого слова. Этот подход четко прослеживается уже у древнегреческого математика и астронома Евдокса Книдского (примерно 408-355 до н.э.) и Архимеда, т.е. он возник задолго до появления дифференциального исчисления и операции дифференцирования.

Вопрос, который рассматривали Евдокс и Архимед, создав при его решении «метод исчерпывания», предвосхитивший понятие интеграла – это вопрос о вычислении площади криволинейной фигуры. Ниже мы рассмотрим этот вопрос, а пока поставим, вслед за И. Ньютоном, следующую задачу: по известной в любой момент из промежутка времени скорости тела найти величину перемещения тела за этот промежуток времени.

Если бы был известен закон движения, т.е. зависимость координаты тела от времени, то ответ, очевидно, выражался бы разностью . Более того, если бы мы знали какую-либо первообразную функции на промежутке , то, поскольку , где - постоянная, можно было бы найти искомую величину перемещения в виде разности , которая совпадает с разностью . Это очень полезное наблюдение, однако если первообразную данной функции указать не удается, то действовать приходится совсем иначе.

Будем рассуждать следующим образом.

Если промежуток отдельными моментами , такими, что , разбить на очень мелкие временные промежутки , , то на каждом из этих коротких промежутков скорость тела не успевает заметно измениться. Фиксировав произвольно момент , можно таким образом приближенно считать, что на промежутке времени движение происходит с постоянной скоростью . В таком случае для величины пути, пройденного за промежуток времени , получаем приближенное значение , где . Складывая эти величины, получаем приближенное значение

для всего перемещения на промежутке .

Найденное приближенное значение тем точнее, чем более мелкое разбиение промежутка мы произведем, т.е. чем меньше будет величина наибольшего из промежутков , на которые разбит промежуток .

Значит, искомая нами величина перемещения есть предел

(5)

сумм вида (4), когда величина стремится к нулю.

Суммы специального вида (4) называются интегральными суммами для функции на промежутке , а их предел (5), получаемый при неограниченном мельчании разбиений, называется интегралом (или определенным интегралом) от функции на промежутке . Интеграл обозначается символом

в котором числа называются пределами интегрирования, причем - нижним, a - верхним пределом интегрирования; функция , стоящая под знаком интеграла, называется подынтегральной функцией; - подынтегральным выражением; - переменной интегрирования.

Итак, по определению,

. (6)

Значит, искомая величина перемещения тела за временной промежуток при известной скорости движения выражается интегралом (6) от функции по промежутку .

Сопоставляя этот результат с тем, который на языке первообразной был указан в начале рассмотрения этого примера, приходим к знаменитому соотношению:

, (7)

если . Равенство (7) называется формулой Ньютона-Лейбница. В левой его части стоит понимаемый как предел (6) интеграл, а в правой – разность значений (в концах и промежутка интегрирования) функции , первообразной подынтегральной функции . Таким образом, формула Ньютона-Лейбница связывает интеграл (6) и первообразную. Этой формулой можно, следовательно, пользоваться в двух противоположных направлениях: вычислять интеграл, найдя первообразную, или получать приращение первообразной, найдя из соотношения (6) интеграл. Мы увидим ниже, что оба эти направления использования формулы Ньютона-Лейбница весьма важны.

Интеграл (6) и формула (7) в принципе решают поставленную в нашем примере задачу. Так, если (как это имеет место в случае свободного падения, начинающегося из состояния покоя, т.е. с ), то, найдя первообразную функции по формуле (7), получаем величину

перемещения за время, прошедшее от момента до момента .

На основе разобранной только что физической задачи, приведшей нас к интегралу и формуле Ньютона-Лейбница, обобщая сделанные наблюдения, можно теперь сказать, что если на некотором промежутке задана функция , то, разбивая промежуток точками , составляя интегральные суммы

где , , и переходя к пределу при , где , мы получаем по определению интеграл

(6")

от функции по промежутку . Если при этом на , т.е. - первообразная функции на промежутке , то имеет место формула Ньютона-Лейбница:

. (7)

ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР
(1707-1783)

Эйлер, крупнейший математик XVIII в., родился в Швейцарии. В 1727 г. по приглашению Петербургской академии наук он приехал в Россию. В Петербурге Эйлер попал в круг выдающихся ученых: математиков, физиков, астрономов, получил большие возможности для создания и издания своих трудов. Он работал с увлечением и вскоре стал, по единодушному признанию современников, первым математиком мира.

Научное наследие Эйлера поражает своим объемом и разносторонностью. В списке его трудов более 800 названий. Полное собрание сочинений ученого занимает 72 тома. Среди его работ – первые учебники по дифференциальному и интегральному исчислению.

В теории чисел Эйлер продолжил деятельность французского математика П. Ферма и доказал ряд утверждений: малую теорему Ферма, великую теорему Ферма для показателей 3 и 4 (см. Ферма великая теорема). Он сформулировал проблемы, которые определили горизонты теории чисел на десятилетия.

Эйлер предложил применить в теории чисел средства математического анализа и сделал первые шаги по этому пути. Он понимал, что, двигаясь дальше, можно оценить число простых чисел, не превосходящих , и наметил утверждение, которое затем докажут в XIX в. математики П. Л. Чебышев и Ж. Адамар.

Эйлер много работает в области математического анализа. Здесь он постоянно пользуется комплексными числами. Его имя носит формула , устанавливающая связь тригонометрических и показательной функций, возникающую при использовании комплексных чисел.

Ученый впервые разработал общее учение о логарифмической функции, согласно которому все комплексные числа, кроме нуля, имеют логарифмы, причем каждому числу соответствует бесчисленное множество значений логарифма.

В геометрии Эйлер положил начало совершенно новой области исследований, выросшей впоследствии в самостоятельную науку – топологию.

Имя Эйлера носит формула, связывающая число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) выпуклого многогранника: .

Даже основные результаты научной деятельности Эйлера трудно перечислить. Здесь и геометрия кривых и поверхностей, и первое изложение вариационного исчисления с многочисленными новыми конкретными результатами. У него были труды по гидравлике, кораблестроению, артиллерии, геометрической оптике и даже по теории музыки. Он впервые дает аналитическое изложение механики вместо геометрического изложения Ньютона, строит механику твердой точки или твердой пластины.

Одно из самых замечательных достижений Эйлера связано с астрономией и небесной механикой. Он построил точную теорию движения Луны с учетом притяжения не только Земли, но и Солнца. Это пример решения очень трудной задачи.

Последние 17 лет жизни Эйлера были омрачены почти полной потерей зрения. Но он продолжал творить так же интенсивно, как в молодые годы. Только теперь он уже не писал сам, а диктовал ученикам, которые проводили за него наиболее громоздкие вычисления.

Для многих поколений математиков Эйлер был учителем. По его математическим руководствам, книгам по механике и физике училось несколько поколений. Основное содержание этих книг вошло и в современные учебники.

Итак, определены важнейшие понятия интегрального исчисления и получена формула Ньютона-Лейбница, связывающая интегрирование и дифференцирование.

Подобно тому как в дифференциальном исчислении к понятию производной вела не только задача определения мгновенной скорости движения, но и задача проведения касательной, так в интегральном исчислении к понятию интеграла приводит не только физическая задача определения пройденного пути по заданной скорости движения, но и многие другие задачи, и в их числе древние геометрические задачи о вычислении площадей и объемов.

Пусть требуется найти площадь изображенной на рис. 1 фигуры (называемой криволинейной трапецией), верхняя «сторона» которой есть график заданной на отрезке функции . Точками разобьем отрезок на мелкие отрезки , в каждом из которых фиксируем некоторую точку . Площадь узкой криволинейной трапеции, лежащей над отрезком , заменим приближенно площадью соответствующего прямоугольника с основанием и высотой . В таком случае приближенное значение площади всей фигуры даст знакомая нам интегральная сумма , а точное значение искомой площади получится как предел таких сумм, когда длина наибольшего из отрезков разбиения стремится к нулю. Таким образом, получаем:

Попробуем теперь вслед за Архимедом выяснить, в каком отношении парабола делит площадь изображенного на рис. 2 единичного квадрата. Для этого попросту вычислим, исходя из формулы (8), площадь нижнего параболического треугольника. В нашем случае и . Нам известна первообразная функции , значит, можно воспользоваться формулой (7") Ньютона-Лейбница и без труда получить

.

Следовательно, парабола делит площадь квадрата в отношении 2:1.

При обращении с интегралами, особенно применяя формулу Ньютона-Лейбница, можно пользоваться общими свойствами неопределенного интеграла, которые названы в начале статьи. В частности, правило замены переменной в неопределенном интеграле при условии, что , , с учетом формулы Ньютона-Лейбница позволяет заключить, что

и таким образом, получается очень полезная формула замены переменной в определенном интеграле:

. (9)

С помощью интегралов вычисляют также объемы тел. Если изображенную на рис. 1 криволинейную трапецию вращать вокруг оси , то получится тело вращения, которое приближенно можно считать составленным из узких цилиндров (рис. 3), полученных при вращении соответствующих прямоугольников. Сохраняя прежние обозначения, записываем объем каждого из этих цилиндров в виде (произведение площади основания на высоту ). Сумма дает приближенное значение объема рассматриваемого тела вращения. Точное значение получится как предел таких сумм при . Значит,

. (10)

В частности, чтобы вычислить объем изображенного на рис. 4 конуса, достаточно положить в формуле (10) , и , где - угловой коэффициент вращаемой прямой. Найдя первообразную функции и воспользовавшись формулой Ньютона-Лейбница, получаем

где площадь круга, лежащего в основании конуса.

В разобранных примерах мы исчерпывали геометрическую фигуру такими фигурами, площади или объемы которых могли вычислить, а затем делали предельный переход. Этот прием, идущий от Евдокса и развитый Архимедом, называется методом исчерпывания. Это наиболее распространенный метод рассуждений в большинстве применений интеграла.

«Поскольку бочки связаны с кругом, конусом и цилиндром – фигурами правильными, тем самым они поддаются геометрическим изменениям». И. Кеплер

Смысл – там, где змеи интеграла. Меж цифр и букв, меж и ! В. Я. Брюсов

В качестве еще одного примера рассмотрим вполне конкретный «космический» вопрос.

Мы хотим вычислить скорость , до которой нужно разогнать тело (ракету), чтобы затем оно, удаляясь по инерции от планеты вдоль радиуса, уже никогда не было возвращено притяжением планеты назад. Эта скорость называется второй космической, в отличие от первой космической, которую должен иметь спутник, выходящий на орбиту у поверхности планеты.

Пусть - масса тела, - масса планеты. Кинетической энергии , которой следует наделить тело для выхода из поля притяжения планеты, должно хватить, чтобы совершить работу против силы тяготения. Величина этой силы на расстоянии от центра планеты по открытому Ньютоном закону всемирного тяготения равна точками. Величины постоянны, а функция имеет первообразную , зная которую по формуле Ньютона-Лейбница находим

.

МИХАИЛ ВАСИЛЬЕВИЧ ОСТРОГРАДСКИЙ
(1801-1862)

М. В. Остроградский – русский математик, один из основателей петербургской математической школы, академик Петербургской академии наук (1830).

Остроградский учился в Харьковском университете, но не получил свидетельства об его окончании из-за своих антирелигиозных взглядов. Для совершенствования математических знаний ему пришлось уехать во Францию, где под влиянием П. Лапласа, Ж. Фурье, О. Коши и других видных французских математиков он начал исследования в области математической физики.

Основополагающие работы И. Ньютона и Г. В. Лейбница дали математический аппарат для исследования тех проблем механики и астрономии, которые сводились к функциям одного аргумента (времени). Но целый ряд вопросов физики приводил к рассмотрению функций, зависящих от многих переменных. Необходимость решать задачи, касающиеся функций многих переменных, привела к созданию новой области математики, получившей название теории уравнений математической физики. Развивая методы решения таких уравнений, предложенные в частном случае еще в XVIII в., Ж. Фурье свел их решение к разложению функций в ряды по тригонометрическим функциям. Остроградский рассмотрел подобные задачи для тел, имевших более сложную форму, чем изученные Фурье. Еще в своей первой работе, посвященной распространению волн в сосуде цилиндрической формы, он решил задачу, на которую объявила конкурс Парижская академия наук. А в 1828г. ученый дал общую формулировку метода Фурье и изучил с его помощью колебания газа, упругих пластинок и т.д. М. В. Остроградскому удалось обобщить формулу интегрального исчисления, выведенную в одном частном случае К. Ф. Гауссом.

Физический смысл формулы Гаусса-Остроградского состоит в том, что поток жидкости через замкнутую поверхность тела равен суммарной производительности находящихся внутри нее источников и стоков.

Плодотворно занимался Остроградский теоретической механикой, математическим анализом и т.д. Многие его работы имели прикладную направленность: ученый занимался внешней баллистикой, статистическими методами браковки изделий, участвовал в комиссиях по реформе календаря, по водоснабжению Петербурга. Он был основателем научной школы русских ученых, работавших в области механики и прикладной математики и воспринявших от своего учителя принцип сознательного сочетания теории с практикой.

Много внимания М. В. Остроградский уделял проблемам преподавания математики. Он считал, что главная задача обучения – заинтересовать ребенка, а элементы наук должны излагаться в наиболее доступной и приспособленной к уму ученика форме. Абстрактное же изложение математики отвращает учеников от изучаемой науки. Эти идеи Остроградского легли в основу движения за реформу математического образования в России, начавшегося во второй половине XIX в.

Связывающий силу, при которой кинетическая энергия эта первообразная выделяется очевидным условием . Поскольку интеграл, согласно его определению (6"), можно вычислить с любой наперед заданной точностью, то и значение первообразной (11) функции в любой точке можно найти сколь угодно точно, даже не интересуясь при этом аналитической записью или вопросом о том, является ли элементарной функцией.

Существуют простые и очень эффективные численные методы интегрирования – это так называемые квадратурные формулы. Они позволяют на электронных вычислительных машинах за доли секунды получать значения определенных интегралов. Это обстоятельство делает формулу (11) средством отыскания первообразной. Например, современные подводные лодки порой месяцами находятся на большой глубине и перемещаются на огромные расстояния; не имея никакой связи с внешним миром, они тем не менее выходят в точно заданный квадрат. Навигационное оборудование, которое позволяет определять координаты лодки в любой момент, является технической реализацией формулы (11) и основано на таком физическом принципе. Находясь в закрытом движущемся помещении (хорошо звукоизолированном мягком вагоне, самолете и т.д.), мы не ощущаем скорости движения, но зато определенно чувствуем изменение скорости – ускорение. Оно положительно при увеличении скорости, когда масса вдавливает вас в самолетное кресло, и отрицательно при торможении, когда вам могут пригодиться даже пристяжные ремни. Поскольку между ускорением массы.

§1.Неопределенный интеграл, его свойства. Правила и формулы дифференцирования. Непосредственное дифференцирование.

Основная задача интегрального исчисления обратна основной задаче дифференциального исчисления.

Пусть дана функция f (x ). Требуется найти такую функцию F (x ), что dF(x )=f " (x )dx, т.е. F" (x )= f (x ).

Функция F(x ) называется первообразной для функции f (x ). Выражение

F(x ) +C, где С – произвольная постоянная, представляет совокупность всех первообразных для функции f (x ) и называется неопределенным интегралом . Действие нахождения функции по её дифференциалу называется интегрированием .

Необходимо выучить основные свойства неопределенного интеграла и основные формулы интегрирования (табличные интегралы).

Приведем основные свойства неопределенного интеграла:

, где с =const

  1. Интеграл от алгебраической суммы функции равен алгебраической сумме интегралов от каждой функции в отдельности (и наоборот).

Основные формулы интегрирования:

(1) (2) , где n

(3) (4)

(5) (6)

(7) (8)

Пример 1. Найти

Р е ш е н и е. Воспользуемся определением степени с дробным показателем и найдем интеграл

Пример 2. Найти: а) ; б)

Р е ш е н и е. а) Воспользуемся определением степени с отрицательными показателями и найти интеграл

б) По формуле (2) найдем интеграл

Пример 3. Найти:

а) В подынтегральном выражении разделим числитель на

знаменатель и воспользуемся свойством неопределенного интеграла. .

Неопределенные интегралы вычислены с использованием формул (2) и (3) таблицы интегралов.

Пример 4. Вычислить I =

Р е ш е н и е. Выполним элементарные преобразования над подынтегральной функцией:

Используя свойство 3 неопределенного интеграла, получим

Интегрирование подстановкой . Приём интегрирования функции, при котором путем замены всей подынтегральной функции или какой либо её части новым переменным приводится данный интеграл к табличному, называется интегрированием подстановкой.

Пример 5 . Вычислить

Р е ш е н и е. Выполним замену 2х =t ; тогда дифференцируя левую и правую части равенства, получим 2dx =dt и dx =

Следовательно,

При решении мы вынесли за знак интеграла сомножитель 1/2, применили формулу (7) и вернулись к прежней переменной х .

Пример 6. Вычислить .

Р е ш е н и е. Воспользуемся подстановкой х 2 + 3 = t , где t – новая переменная. Продифференцируем обе части равенства:


2xdx = dt , т.е. xdx= . Тогда интеграл имеет вид:

.

Произведя замену t = х 2 + 3 , получим

Пример 7. Найти

Р е ш е н и е. Замечаем, что sin xdx есть дифференциал функции – cosx . Полагая cosx =z, находим - sinxbх =bz , т.е. sinxbх =bz . Тогда интеграл имеет вид

Пример 8. Вычислить

Р е ш е н и е. Положим kх =t , тогда k · dx =dt , значит, dx=

Методом подстановки или методом элементарных преобразований были получены следующие табличные интегралы:

(10) (11)

(12) (13)

(14) (15)

§2. Определенный интеграл, его свойства. Формула Ньютона- Лейбница.

Пусть функция у = f (x ) разделена на отрезке от а до b на n элементарных равных частей точками a = x 0 < x 1 < x 2 < …< x n = b; выберем на каждом отрезке от х -1 до произвольную точку и обозначим через длину каждого такого отрезка.

Интегральной суммой для функции на отрезке от a до b называется сумма вида:

Определенным интегралом от функции f (x ) на отрезке от a до b называется пределинтегральной суммы при условии, что длина элементарного отрезка стремится к нулю; при этом употребляется запись .

Числа a и b называются нижним и верхним пределами интегрирования .

Таким образом,

.

Для любой функции f (x ), непрерывной на отрезке от a до b , всегда существует определенный интеграл .

Основными свойствами определенного интеграла являются:

  1. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

  1. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от каждого слагаемого в отдельности:
  1. При перемене местами верхнего и нижнего пределов интегрирования меняется знак определенного интеграла на противоположный:

  1. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:

Для вычисления определенного интеграла от функции f (x ) в том случае, когда можно найти соответствующий определенный интеграл, служит формула Ньютона-Лейбница:

т.е. определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Все методы интегрирования рассматриваемые при изучении неопределенного интеграла, используются при вычислении определенного интеграла. Отметим, что если определенный интеграл вычисляется методом подстановки, то при переходе к новой переменной необходимо изменить и пределы интегрирования.

Пример 9. Вычислить

Рекомендуем почитать