Многогранные углы бывают. Многогранные углы. Выпуклые многогранники. Измерение многогранных углов

В соответствии с тематическим планированием, на данный параграф отводится один час учебного времени (один урок).

1. Проверка домашнего задания (5 мин.)

2. Выполняем этап работы с информацией (20 –25 мин.)

Технологически этап ориентирован на преимущественное формирование познавательных универсальных учебных действий (умения формулировать вопросы к тексту, самостоятельно формулировать ответы с опорой на текст).

В этом параграфе находит дальнейшее развитие понятие трёхгранного угла. Появляется многогранный угол, и в связи с этим появляется возможность уточнить понятие многоугольника.

В связи с многогранными углами ещё раз обсуждается проблема выпуклости фигур. На примере многогранных углов мы дополнительно уточняем представления учащихся о выпуклых и невыпуклых фигурах (многоугольники, многогранные углы, произвольные фигуры).

Для многогранных углов полезно сформулировать свойства их плоских углов , аналогичные соответственным свойствам плоских углов трёхгранного угла (без доказательства):

1. Каждый плоский угол многогранного угла меньше суммы остальных плоских углов.

2. Сумма всех плоских углов многогранного угла меньше 360º.

3. Выполняем этап развития умений (15 –20 мин.)

Этап ориентирован на выработку

познавательных УУД – формирование умений:

– по использованию математических знаний для решения различных математических задач и оценки полученных результатов;

– по использованию доказательной математической речи;

– по работе с информацией, в том числе и с различными математическими текстами;

Регулятивных УУД – формирование умений ставить личные цели деятельности, планировать свою работу, действовать по плану, оценивать полученные результаты;

коммуникативных УУД – формирование умений совместно с другими детьми в группе находить решение задачи и оценивать полученные результаты.

Обсуждаем, что это этап разъяснения всего непонятного, а также тренинга. Устанавливаем цели работы на данном этапе, добиваясь при этом от детей личного целеполагания: разъяснить для себя всё, что недостаточно хорошо понятно, потренироваться в решении тех задач, которые вызывают затруднения.

Здесь можно поработать с заданиями 34, 35 на стр. 29–30.

Предлагаем также несколько дополнительных задач.

1) Многогранный угол имеет n граней. Сколько у него рёбер?

Ответ: n рёбер.

2) Можно ли изготовить модель четырёхгранного угла с плоскими углами: 1) 80°, 130°, 70°, 100°; 2) 45°, 60°, 120°, 90°; 3) 80°, 80°, 80°, 80°? Если модель получилась, то какого угла: выпуклого или невыпуклого?

Ответ: 1) можно; 2) можно как выпуклого, так и невыпуклого; 3) можно, только выпуклого.

3) Опираясь на известное вам свойство плоских углов трёхгранного угла, докажите, что каждый плоский угол четырёхгранного угла меньше суммы трёх остальных его плоских углов.

Указание: Через два противолежащих ребра нужно провести плоскость и рассмотреть получившиеся трёхгранные углы. Доказательство справедливо только для выпуклых углов.

4) В четырёхгранном угле все плоские углы равны. Докажите, что они острые.

Решение: 1. Пусть α – градусная мера плоского угла.

2. Тогда 4α < 360° (по свойству суммы плоских углов выпуклого многогранного угла).

3. Следовательно, α < 90°, т. е. α – острый угол.

5) В выпуклом многогранном угле каждый из плоских углов равен а) 30°; б) 45°; в) 80°; г) 150°. Сколько граней может иметь такой многогранный угол?

Ответ: а) 3 ≤ n < 12; б) 3 ≤ n < 8; в) 3 ≤ n < 4,5; г) 3 ≤ n < 2,4 (такого многогранного угла не существует). При подсчетах нужно учитывать, что n – число целое.

6) В выпуклом многогранном угле все плоские углы равны между собой. Многогранный угол имеет а) 6; б) 8; в) 10 граней. Чему могут быть равны плоские углы данного многогранного угла?

Рассуждаем так же, как и при решении задачи 5, n α < 360°, где n – количество граней многогранного угла, α– градусная мера плоского угла; 0 ≤ α < 360°/ n .

Ответ: а) 0 ≤ α< 60°; б) 0 ≤ α< 45°; в) 0 ≤ α< 36°.

По истечении времени, отведённого для выполнения заданий, результаты работы выносятся педагогом на доску и обсуждаются учащимися. Подводится итог работы, происходит самооценка, связанная с определением того, что ясно и получается и того, что не ясно и не получается.

4. Формулируем домашнее задание по различным уровням сложности – в зависимости от результатов работы на предыдущем этапе.

Слайд 1

Фигура, образованная указанной поверхностью и одной из двух частей пространства, ею ограниченных, называется многогранным углом. Общая вершина S называется вершиной многогранного угла. Лучи SA1, …, SAn называются ребрами многогранного угла, а сами плоские углы A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 – гранями многогранного угла. Многогранный угол обозначается буквами SA1…An, указывающими вершину и точки на его ребрах. Поверхность, образованную конечным набором плоских углов A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 с общей вершиной S, в которых соседние углы не имеют общий точек, кроме точек общего луча, а несоседние углы не имеют общих точек, кроме общей вершины, будем называтьмногогранной поверхностью.

Слайд 2

В зависимости от числа граней многогранные углы бывают трехгранными, четырехгранными, пятигранными и т. д.

Слайд 3

ТРЕХГРАННЫЕ УГЛЫ

Теорема. Всякий плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов. Доказательство.Рассмотрим трехгранный угол SABC. Пусть наибольший из его плоских углов есть угол ASC. Тогда выполняются неравенства ASB ASC

Слайд 4

Свойство. Сумма плоских углов трехгранного угла меньше 360°. Аналогично, для трехгранных углов с вершинами B и С имеют место неравенства: ABС

Слайд 5

ВЫПУКЛЫЕ МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ

Многогранный угол называетсявыпуклым, если он является выпуклой фигурой, т. е. вместе с любыми двумя своими точками целиком содержит и соединяющий их отрезок.На рисунке приведены примеры выпуклого и невыпуклого многогранных углов. Свойство.Сумма всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°. Доказательство аналогично доказательству соответствующего свойства для трехгранного угла.

Слайд 6

Вертикальные многогранные углы

На рисунках приведены примеры трехгранных, четырехгранных и пятигранных вертикальных углов Теорема. Вертикальные углы равны.

Слайд 7

Измерение многогранных углов

Поскольку градусная величина развернутого двугранного угла измеряется градусной величиной соответствующего линейного угла и равна 180о, то будем считать, что градусная величина всего пространства, которое состоит из двух развернутых двугранных углов, равна 360о. Величина многогранного угла, выраженная в градусах, показывает какую часть пространства занимает данный многогранный угол. Например, трехгранный угол куба занимает одну восьмую часть пространства и, значит, его градусная величина равна 360о:8 = 45о. Трехгранный угол в правильной n-угольной призме равен половине двугранного угла при боковом ребре. Учитывая, что этот двугранный угол равен, получаем, что трехгранный угол призмы равен.

Слайд 8

Измерение трехгранных углов*

Выведем формулу, выражающую величину трехгранного угла через его двугранные углы. Опишем около вершины Sтрехгранного угла единичную сферу и обозначим точки пересечения ребер трехгранного угла с этой сферой A, B, C. Плоскости граней трехгранного угла разбивают эту сферу на шесть попарно равных сферических двуугольников, соответствующих двугранным углам данного трехгранного угла. Сферический треугольник ABC и симметричный ему сферический треугольник A"B"C" являются пересечением трех двуугольников.Поэтому удвоенная сумма двугранных углов равна 360о плюс учетверенная величина трехгранного угла, или  SA +SB + SC = 180о + 2SABC.

Слайд 9

Измерение многогранных углов*

Пусть SA1…An – выпуклый n-гранный угол. Разбивая его на трехгранные углы, проведением диагоналей A1A3, …, A1An-1 и применяя к ним полученную формулу, будем иметь:  SA1 + … + SAn = 180о(n – 2) + 2SA1…An. Многогранные углы можно измерять и числами. Действительно, тремстам шестидесяти градусам всего пространства соответствует число 2π. Переходя от градусов к числам в полученной формуле, будем иметь: SA1+ …+SAn = π(n – 2) + 2SA1…An.

Слайд 10

Упражнение 1

Может ли быть трехгранный угол с плоскими углами: а) 30°, 60°, 20°; б) 45°, 45°, 90°; в) 30°, 45°, 60°? Ответ: а) Нет; б) нет; в) да.

Слайд 11

Упражнение 2

Приведите примеры многогранников, у которых грани, пересекаясь в вершинах, образуют только: а) трехгранные углы; б) четырехгранные углы; в) пятигранные углы. Ответ: а) Тетраэдр, куб, додекаэдр; б) октаэдр; в) икосаэдр.

Слайд 12

Упражнение 3

Два плоских угла трехгранного угла равны 70° и 80°. В каких границах находится третий плоский угол? Ответ: 10о

Слайд 13

Упражнение 4

Плоские углы трехгранного угла равны 45°, 45° и 60°. Найдите величину угла между плоскостями плоских углов в 45°. Ответ: 90о.

Слайд 14

Упражнение 5

В трехгранном угле два плоских угла равны по 45°; двугранный угол между ними прямой. Найдите третий плоский угол. Ответ: 60о.

Слайд 15

Упражнение 6

Плоские углы трехгранного угла равны 60°, 60° и 90°. На его ребрах от вершины отложены равные отрезки OA, OB, OC. Найдите двугранный угол между плоскостью угла в 90° и плоскостью ABC. Ответ: 90о.

Слайд 16

Упражнение 7

Каждый плоский угол трехгранного угла равен 60°. На одном из его ребер отложен от вершины отрезок, равный 3 см, и из его конца опущен перпендикуляр на противоположную грань. Найдите длину этого перпендикуляра. Ответ: см.

Слайд 17

Упражнение 8

Найдите геометрическое место внутренних точек трехгранного угла, равноудаленных от его граней. Ответ: Луч, вершиной которого является вершина трехгранного угла, лежащий на линии пересечения плоскостей, делящих двугранные углы пополам.

Слайд 18

Упражнение 9

Найдите геометрическое место внутренних точек трехгранного угла, равноудаленных от его ребер. Ответ: Луч, вершиной которого является вершина трехгранного угла, лежащий на линии пересечения плоскостей, проходящих через биссектрисы плоских углов и перпендикулярных плоскостям этих углов.

Слайд 19

Упражнение 10

Для двугранных углов тетраэдра имеем: , откуда 70о30". Для трехгранных углов тетраэдра имеем: 15о45". Ответ: 15о45". Найдите приближенные значения трехгранных углов тетраэдра.

Слайд 20

Упражнение 11

Найдите приближенные значения четырехгранных углов октаэдра. Для двугранных углов октаэдра имеем: , откуда 109о30". Для четырехгранных углов октаэдра имеем: 38о56". Ответ: 38о56".

Слайд 21

Упражнение 12

Найдите приближенные значения пятигранных углов икосаэдра. Для двугранных углов икосаэдра имеем: , откуда 138о11". Для пятигранных углов икосаэдра имеем: 75о28". Ответ: 75о28".

Слайд 22

Упражнение 13

Для двугранных углов додекаэдра имеем: , откуда 116о34". Для трехгранных углов додекаэдра имеем: 84о51". Ответ: 84о51". Найдите приближенные значения трехгранных углов додекаэдра.

Слайд 23

Упражнение 14

В правильной четырехугольной пирамидеSABCD сторона основания равна 2 см, высота 1 см. Найдитечетырехгранный угол при вершине этой пирамиды. Решение:Указанные пирамиды разбивают куб на шесть равных пирамид с вершинами в центре куба. Следовательно, 4-х гранный угол при вершине пирамиды составляет одну шестую часть угла в 360о, т.е. равен 60о. Ответ: 60о.

Слайд 24

Упражнение 15

В правильной треугольной пирамиде боковые ребра равны 1, углы при вершине 90о. Найдитетрехгранный угол при вершине этой пирамиды. Решение:Указанные пирамиды разбивают октаэдр на восемь равных пирамид с вершинами в центре O октаэдра. Следовательно, 3-х гранный угол при вершине пирамиды составляет одну восьмую часть угла в 360о, т.е. равен 45о. Ответ: 45о.

Слайд 25

Упражнение 16

В правильной треугольной пирамиде боковые ребра равны 1, а высота Найдитетрехгранный угол при вершине этой пирамиды. Решение:Указанные пирамиды разбивают правильный тетраэдр на четыре равные пирамиды с вершинами в центре Oтетраэдра. Следовательно, 3-гранный угол при вершине пирамиды составляет одну четвертую часть угла в 360о, т.е. равен 90о. Ответ: 90о.

Посмотреть все слайды

Многогранный угол

часть пространства, ограниченная одной полостью многогранной конической поверхности, направляющая которой - плоский многоугольник без самопересечений. Грани этой поверхности называются гранями М. у., вершину - вершиной М. у. М. у. называют правильным, если равны все его линейные углы и все его двугранные углы. Мерой М. у. является площадь, ограниченная сферическим многоугольником полученным пересечением граней М. у., сферой с радиусом, равным единице, и с центром в вершине М. у. См. также Телесный угол .

Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Смотреть что такое "Многогранный угол" в других словарях:

См. Телесный угол … Большой Энциклопедический словарь

См. Телесный угол. * * * МНОГОГРАННЫЙ УГОЛ МНОГОГРАННЫЙ УГОЛ, см. Телесный угол (см. ТЕЛЕСНЫЙ УГОЛ) … Энциклопедический словарь

Часть пространства, ограниченная одной полостью многогранной конич. поверхности, направляющая к рой плоский многоугольник без самопересечений. Грани этой поверхности наз. гранями М. у., вершина верши н о й М. у. Многогранный угол наз. правильным … Математическая энциклопедия

См Телесный угол … Естествознание. Энциклопедический словарь

многогранный угол - матем. Часть пространства, ограниченная несколькими плоскостями, проходящими через одну точку (вершину угла) … Словарь многих выражений

МНОГОГРАННЫЙ, многогранная, многогранное (книжн.). 1. Имеющий несколько граней или сторон. Многогранный камень. Многогранный угол (часть пространства, ограниченная несколькими плоскостями, пересекающимися в одной точке; мат.). 2. перен.… … Толковый словарь Ушакова

- (мат.). Если из точки О на данной плоскости проведем прямые ОА и 0В, то получим угол АОВ (черт. 1). Черт. 1. Точка 0 наз. вершиною угла, а прямые ОА и 0В сторонами угла. Предположим, что даны два угла ΒΟΑ и Β 1 Ο 1 Α 1. Наложим их так, чтобы… …

- (мат.). Если из точки О на данной плоскости проведем прямые ОА и 0В, то получим угол АОВ (черт. 1). Черт. 1. Точка 0 наз. вершиною угла, а прямые ОА и 0В сторонами угла. Предположим, что даны два угла ΒΟΑ и Β1Ο1Α1. Наложим их так, чтобы вершины О … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

У этого термина существуют и другие значения, см. Угол (значения). Угол ∠ Размерность ° Единицы измерения СИ Радиан … Википедия

Плоский, геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами У.), выходящими из одной точки (вершины У.). Всякий У., имеющий вершину в центре О некоторой окружности (центральный У.), определяет на окружности дугу AB, ограниченную… … Большая советская энциклопедия

Определения. Возьмём несколько углов (черт. 37): ASB, BSC, CSD, которые, примыкая последовательно один к другому, расположены в одной плоскости вокруг общей вершины S.

Повернём плоскость угла ASВ вокруг общей стороны SB так, чтобы эта плоскость составила некоторый двугранный угол с плоскостью BSC. Затем, не изменяя получившегося двугранного угла, повернём его вокруг прямой SC так, чтобы плоскость BSC составила некоторый двугранный угол с плоскостью CSD. Продолжим такое последовательное вращение вокруг каждой общей стороны. Если при этом последняя сторона SF совместится с первой стороной SA, то образуется фигура (черт. 38), которая называется многогранным углом . Углы ASB, BSC,... называются плоскими углами или гранями , стороны их SA, SB, ... называются рeбрами , а общая вершина S- вершиной многогранного угла.

Каждое ребро является вместе с тем ребром некоторого двугранного угла; поэтому в многогранном угле столько двугранных углов и столько плоских, сколько в нём всех рёбер. Наименьшее число граней в многогранном угле - три; такой угол называется трёхгранным . Могут быть углы четырёхгранные, пятигранные и т. д.

Многогранный угол обозначается или одной буквой S, поставленной у вершины, или же рядом букв SABCDE, из которых первая обозначает вершину, а прочие - рёбра по порядку их расположения.

Многогранный угол называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой из его граней, неограниченно продолженной. Таков, например, угол, изображённый на чертеже 38. Наоборот, угол на чертеже 39 нельзя назвать выпуклым, так как он расположен по обе стороны от грани ASB или от грани BSС.

Если все грани многогранного угла пересечём плоскостью, то в сечении образуется многоугольник (abcde ). В выпуклом многогранном угле этот многоугольник тоже выпуклый.

Мы будем рассматривать только выпуклые многогранные углы.

Теорема. В трёхгранном угле каждый плоский угол меньше суммы двух других плоских углов.

Пусть в трёхгранном угле SABC (черт. 40) наибольший из плоских углов есть угол ASC.

Отложим на этом угле угол ASD, равный углу ASB, и проведём какую-нибудь прямую АС, пересекающую SD в некоторой точке D. Отложим SB = SD. Соединив В с А и С, получим \(\Delta\)АВС, в котором

AD + DC < АВ + ВС.

Треугольники ASD и ASB равны, так как они содержат по равному углу, заключённому между равными сторонами: следовательно, AD = AB. Поэтому, если в выведенном неравенстве отбросить равные слагаемые AD и АВ, получим, что DC < ВС.

Теперь замечаем, что у треугольников SCD и SCB две стороны одного равны двум сторонам другого, а третьи стороны не равны; в таком случае против большей из этих сторон лежит больший угол; значит,

∠ CSD < ∠ CSВ.

Прибавив к левой части этого неравенства угол ASD, а к правой равный ему угол ASB, получим то неравенство, которое требовалось доказать:

∠ ASC < ∠ CSB + ∠ ASB.

Мы доказали, что даже наибольший плоский угол меньше суммы двух других углов. Значит, теорема доказана.

Следствие. Отнимем от обеих частей последнего неравенства по углу ASB или по углу CSB; получим:

∠ ASC - ∠ ASB < ∠ CSB;

∠ ASC - ∠CSB < ∠ ASB.

Рассматривая эти неравенства справа налево и приняв во внимание, что угол ASC как наибольший из трёх углов больше разности двух других углов, мы приходим к заключению, что в трёхгранном угле каждый плоский угол больше разности двух других углов .

Теорема. В выпуклом многогранном угле сумма всех плоских углов меньше 4d (360°) .

Пересечём грани (черт. 41) выпуклого угла SABCDE какой-нибудь плоскостью; от этого в сечении получим выпуклый n -угольник ABCDE.

Применяя теорему, доказанную ранее, к каждому из трёхгранных углов, вершины которых находятся в точках А, В, С, D и Е, пахолим:

∠ABC < ∠ABS + ∠SВC, ∠BCD < ∠BCS + ∠SCD и т. д.

Сложим почленно все эти неравенства. Тогда в левой части получим сумму всех углов многоугольника ABCDE, которая равна 2dn - 4d , а в правой - сумму углов треугольников ABS, SBC и т. д., кроме тех углов, которые лежат при вершине S. Обозначив сумму этих последних углов буквой х , мы получим после сложения:

2dn - 4d < 2dn - х .

Так как в разностях 2dn - 4d и 2dn - х уменьшаемые одинаковы, то, чтобы первая разность была меньше второй, необходимо, чтобы вычитаемое 4d было больше вычитаемого х ; значит, 4d > х , т. е. х < 4d .

Простейшие случаи равенства трёхгранных углов

Теоремы. Трёхгранные углы равны, если они имеют:

1) по равному двугранному углу, заключённому между двумя соответственно равными и одинаково расположенными плоскими углами , или

2) по равному плоскому углу, заключённому между двумя соответственно равными и одинаково расположенными двугранными углами .

1) Пусть S и S 1 - два трехгранных угла (черт. 42), у которых ∠ASB = ∠A 1 S 1 B 1 , ∠ASC = ∠A 1 S 1 C 1 (и эти равные углы одинаково расположены) и двугранный угол AS равен двугранному углу A 1 S 1 .

Вложим угол S 1 в угол S так, чтобы у них совпали точки S 1 и S, прямые S 1 A 1 и SA и плоскости A 1 S 1 B 1 и ASB. Тогда ребро S 1 B 1 пойдет по SB (в силу равенства углов A 1 S 1 B 1 и ASB), плоскость A 1 S 1 C 1 пойдёт по ASC (по равенству двугранных углов) и ребро S 1 C 1 пойдёт по ребру SC (в силу равенства углов A 1 S 1 C 1 и ASC). Таким образом, трёхгранные углы совместятся всеми своими рёбрами, т.е. они будут равны.

2) Второй признак, подобно первому, доказывается вложением.

Симметричные многогранные углы

Как известно, вертикальные углы равны, если речь идёт об углах, образованных прямыми или плоскостями. Посмотрим, справедливо ли это утверждение применительно к углам многогранным.

Продолжим (черт. 43) все рёбра угла SABCDE за вершину S, тогда образуется другой многогранный угол SA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 , который можно назвать вертикальным по отношению к первому углу. Нетрудно видеть, что у обоих углов равны соответственно и плоские углы, и двугранные, но те и другие расположены в обратном порядке. Действительно, если мы вообразим наблюдателя, который смотрит извне многогранного угла на его вершину, то рёбра SА, SВ, SС, SD, SЕ будут казаться ему расположенными в направлении против движения часовой стрелки, тогда как, смотря на угол SA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 , он видит рёбра SА 1 , SВ 1 , ..., расположенными по движению часовой стрелки.

Многогранные углы с соответственно равными плоскими и двугранными углами, но расположенными в обратном порядке вообще не могут совместиться при вложении; значит, они не равны. Такие углы называются симметричными (относительно вершины S). Подробнее о симметрии фигур в пространстве будет сказано ниже.

Другие материалы