Определение двугранного и многогранного угла. Многогранные углы. Измерение многогранных углов
Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей ограничивающей их прямой. Полуплоскости называются гранями, а ограничивающая их прямая - ребром двугранного угла.
На рисунке 142 изображен двугранный угол с ребром а и гранями а и (3.
Плоскость, перпендикулярная ребру двугранного угла, пересекает его грани по двум полупрямым. Угол, образованный этими полупрямыми, называется линейным углом двугранного угла. За меру двугранного угла принимается мера соответствующего ему линейного угла. Если через точку А ребра а двугранного угла провести плоскость у, перпендикулярную этому ребру, то она пересечет плоскости а и (3 по полупрямым (рис. 142); линейный угол данного двугранного угла. Градусная мера этого линейного угла является градусной мерой двугранного угла. Мера двугранного угла не зависит от выбора линейного угла.
Трехгранным углом называется фигура, составленная из трех плоских углов (рис. 143). Эти углы называются гранями трехгранного угла, а их стороны - ребрами. Общая вершина плоских углов называется вершиной трехгранного угла. Двугранные углы, образуемые гранями и их продолжениями, называются двугранными углами трехгранного угла.
Аналогично определяется понятие многогранного угла как фигуры, составленной из плоских углов (рис. 144). Для многогранного угла определяются понятия граней, ребер и двугранных углов так же, как и для трехгранного угла.
Многогранником называют тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников (рис. 145).
Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждого многоугольника на его поверхности (рис. 145, а, б). Общая часть такой плоскости и поверхности выпуклого многогранника называется гранью. Грани выпуклого многогранника - выпуклые многоугольники. Стороны граней называются ребрами многогранника, а вершины - вершинами многогранника.
Определения. Возьмём несколько углов (черт. 37): ASB, BSC, CSD, которые, примыкая последовательно один к другому, расположены в одной плоскости вокруг общей вершины S.
Повернём плоскость угла ASВ вокруг общей стороны SB так, чтобы эта плоскость составила некоторый двугранный угол с плоскостью BSC. Затем, не изменяя получившегося двугранного угла, повернём его вокруг прямой SC так, чтобы плоскость BSC составила некоторый двугранный угол с плоскостью CSD. Продолжим такое последовательное вращение вокруг каждой общей стороны. Если при этом последняя сторона SF совместится с первой стороной SA, то образуется фигура (черт. 38), которая называется многогранным углом . Углы ASB, BSC,... называются плоскими углами или гранями , стороны их SA, SB, ... называются рeбрами , а общая вершина S- вершиной многогранного угла.
Каждое ребро является вместе с тем ребром некоторого двугранного угла; поэтому в многогранном угле столько двугранных углов и столько плоских, сколько в нём всех рёбер. Наименьшее число граней в многогранном угле - три; такой угол называется трёхгранным . Могут быть углы четырёхгранные, пятигранные и т. д.
Многогранный угол обозначается или одной буквой S, поставленной у вершины, или же рядом букв SABCDE, из которых первая обозначает вершину, а прочие - рёбра по порядку их расположения.
Многогранный угол называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой из его граней, неограниченно продолженной. Таков, например, угол, изображённый на чертеже 38. Наоборот, угол на чертеже 39 нельзя назвать выпуклым, так как он расположен по обе стороны от грани ASB или от грани BSС.
Если все грани многогранного угла пересечём плоскостью, то в сечении образуется многоугольник (abcde ). В выпуклом многогранном угле этот многоугольник тоже выпуклый.
Мы будем рассматривать только выпуклые многогранные углы.
Теорема. В трёхгранном угле каждый плоский угол меньше суммы двух других плоских углов.
Пусть в трёхгранном угле SABC (черт. 40) наибольший из плоских углов есть угол ASC.
Отложим на этом угле угол ASD, равный углу ASB, и проведём какую-нибудь прямую АС, пересекающую SD в некоторой точке D. Отложим SB = SD. Соединив В с А и С, получим \(\Delta\)АВС, в котором
AD + DC < АВ + ВС.
Треугольники ASD и ASB равны, так как они содержат по равному углу, заключённому между равными сторонами: следовательно, AD = AB. Поэтому, если в выведенном неравенстве отбросить равные слагаемые AD и АВ, получим, что DC < ВС.
Теперь замечаем, что у треугольников SCD и SCB две стороны одного равны двум сторонам другого, а третьи стороны не равны; в таком случае против большей из этих сторон лежит больший угол; значит,
∠ CSD < ∠ CSВ.
Прибавив к левой части этого неравенства угол ASD, а к правой равный ему угол ASB, получим то неравенство, которое требовалось доказать:
∠ ASC < ∠ CSB + ∠ ASB.
Мы доказали, что даже наибольший плоский угол меньше суммы двух других углов. Значит, теорема доказана.
Следствие. Отнимем от обеих частей последнего неравенства по углу ASB или по углу CSB; получим:
∠ ASC - ∠ ASB < ∠ CSB;
∠ ASC - ∠CSB < ∠ ASB.
Рассматривая эти неравенства справа налево и приняв во внимание, что угол ASC как наибольший из трёх углов больше разности двух других углов, мы приходим к заключению, что в трёхгранном угле каждый плоский угол больше разности двух других углов .
Теорема. В выпуклом многогранном угле сумма всех плоских углов меньше 4d (360°) .
Пересечём грани (черт. 41) выпуклого угла SABCDE какой-нибудь плоскостью; от этого в сечении получим выпуклый n -угольник ABCDE.
Применяя теорему, доказанную ранее, к каждому из трёхгранных углов, вершины которых находятся в точках А, В, С, D и Е, пахолим:
∠ABC < ∠ABS + ∠SВC, ∠BCD < ∠BCS + ∠SCD и т. д.
Сложим почленно все эти неравенства. Тогда в левой части получим сумму всех углов многоугольника ABCDE, которая равна 2dn - 4d , а в правой - сумму углов треугольников ABS, SBC и т. д., кроме тех углов, которые лежат при вершине S. Обозначив сумму этих последних углов буквой х , мы получим после сложения:
2dn - 4d < 2dn - х .
Так как в разностях 2dn - 4d и 2dn - х уменьшаемые одинаковы, то, чтобы первая разность была меньше второй, необходимо, чтобы вычитаемое 4d было больше вычитаемого х ; значит, 4d > х , т. е. х < 4d .
Простейшие случаи равенства трёхгранных углов
Теоремы. Трёхгранные углы равны, если они имеют:
1) по равному двугранному углу, заключённому между двумя соответственно равными и одинаково расположенными плоскими углами , или
2) по равному плоскому углу, заключённому между двумя соответственно равными и одинаково расположенными двугранными углами .
1) Пусть S и S 1 - два трехгранных угла (черт. 42), у которых ∠ASB = ∠A 1 S 1 B 1 , ∠ASC = ∠A 1 S 1 C 1 (и эти равные углы одинаково расположены) и двугранный угол AS равен двугранному углу A 1 S 1 .
Вложим угол S 1 в угол S так, чтобы у них совпали точки S 1 и S, прямые S 1 A 1 и SA и плоскости A 1 S 1 B 1 и ASB. Тогда ребро S 1 B 1 пойдет по SB (в силу равенства углов A 1 S 1 B 1 и ASB), плоскость A 1 S 1 C 1 пойдёт по ASC (по равенству двугранных углов) и ребро S 1 C 1 пойдёт по ребру SC (в силу равенства углов A 1 S 1 C 1 и ASC). Таким образом, трёхгранные углы совместятся всеми своими рёбрами, т.е. они будут равны.
2) Второй признак, подобно первому, доказывается вложением.
Симметричные многогранные углы
Как известно, вертикальные углы равны, если речь идёт об углах, образованных прямыми или плоскостями. Посмотрим, справедливо ли это утверждение применительно к углам многогранным.
Продолжим (черт. 43) все рёбра угла SABCDE за вершину S, тогда образуется другой многогранный угол SA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 , который можно назвать вертикальным по отношению к первому углу. Нетрудно видеть, что у обоих углов равны соответственно и плоские углы, и двугранные, но те и другие расположены в обратном порядке. Действительно, если мы вообразим наблюдателя, который смотрит извне многогранного угла на его вершину, то рёбра SА, SВ, SС, SD, SЕ будут казаться ему расположенными в направлении против движения часовой стрелки, тогда как, смотря на угол SA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 , он видит рёбра SА 1 , SВ 1 , ..., расположенными по движению часовой стрелки.
Многогранные углы с соответственно равными плоскими и двугранными углами, но расположенными в обратном порядке вообще не могут совместиться при вложении; значит, они не равны. Такие углы называются симметричными (относительно вершины S). Подробнее о симметрии фигур в пространстве будет сказано ниже.
Другие материалы
2.4. Многогранные углы
В соответствии с тематическим планированием, на данный параграф отводится один час учебного времени (один урок).
1. Проверка домашнего задания (5 мин.)
2. Выполняем этап работы с информацией (20 –25 мин.)
Технологически этап ориентирован на преимущественное формирование познавательных универсальных учебных действий (умения формулировать вопросы к тексту, самостоятельно формулировать ответы с опорой на текст).
В этом параграфе находит дальнейшее развитие понятие трёхгранного угла. Появляется многогранный угол, и в связи с этим появляется возможность уточнить понятие многоугольника.
В связи с многогранными углами ещё раз обсуждается проблема выпуклости фигур. На примере многогранных углов мы дополнительно уточняем представления учащихся о выпуклых и невыпуклых фигурах (многоугольники, многогранные углы, произвольные фигуры).
Для многогранных углов полезно сформулировать свойства их плоских углов , аналогичные соответственным свойствам плоских углов трёхгранного угла (без доказательства):
1. Каждый плоский угол многогранного угла меньше суммы остальных плоских углов.
2. Сумма всех плоских углов многогранного угла меньше 360º.
3. Выполняем этап развития умений (15 –20 мин.)
Этап ориентирован на выработку
познавательных УУД – формирование умений:
– по использованию математических знаний для решения различных математических задач и оценки полученных результатов;
– по использованию доказательной математической речи;
– по работе с информацией, в том числе и с различными математическими текстами;
Регулятивных УУД – формирование умений ставить личные цели деятельности, планировать свою работу, действовать по плану, оценивать полученные результаты;
коммуникативных УУД – формирование умений совместно с другими детьми в группе находить решение задачи и оценивать полученные результаты.
Обсуждаем, что это этап разъяснения всего непонятного, а также тренинга. Устанавливаем цели работы на данном этапе, добиваясь при этом от детей личного целеполагания: разъяснить для себя всё, что недостаточно хорошо понятно, потренироваться в решении тех задач, которые вызывают затруднения.
Здесь можно поработать с заданиями 34, 35 на стр. 29–30.
Предлагаем также несколько дополнительных задач.
1) Многогранный угол имеет n граней. Сколько у него рёбер?
Ответ: n рёбер.
2) Можно ли изготовить модель четырёхгранного угла с плоскими углами: 1) 80°, 130°, 70°, 100°; 2) 45°, 60°, 120°, 90°; 3) 80°, 80°, 80°, 80°? Если модель получилась, то какого угла: выпуклого или невыпуклого?
Ответ: 1) можно; 2) можно как выпуклого, так и невыпуклого; 3) можно, только выпуклого.
3) Опираясь на известное вам свойство плоских углов трёхгранного угла, докажите, что каждый плоский угол четырёхгранного угла меньше суммы трёх остальных его плоских углов.
Указание: Через два противолежащих ребра нужно провести плоскость и рассмотреть получившиеся трёхгранные углы. Доказательство справедливо только для выпуклых углов.
4) В четырёхгранном угле все плоские углы равны. Докажите, что они острые.
Решение: 1. Пусть α – градусная мера плоского угла.
2. Тогда 4α < 360° (по свойству суммы плоских углов выпуклого многогранного угла).
3. Следовательно, α < 90°, т. е. α – острый угол.
5) В выпуклом многогранном угле каждый из плоских углов равен а) 30°; б) 45°; в) 80°; г) 150°. Сколько граней может иметь такой многогранный угол?
Ответ: а) 3 ≤ n < 12; б) 3 ≤ n < 8; в) 3 ≤ n < 4,5; г) 3 ≤ n < 2,4 (такого многогранного угла не существует). При подсчетах нужно учитывать, что n – число целое.
6) В выпуклом многогранном угле все плоские углы равны между собой. Многогранный угол имеет а) 6; б) 8; в) 10 граней. Чему могут быть равны плоские углы данного многогранного угла?
Рассуждаем так же, как и при решении задачи 5, n α < 360°, где n – количество граней многогранного угла, α– градусная мера плоского угла; 0 ≤ α < 360°/ n .
Ответ: а) 0 ≤ α< 60°; б) 0 ≤ α< 45°; в) 0 ≤ α< 36°.
По истечении времени, отведённого для выполнения заданий, результаты работы выносятся педагогом на доску и обсуждаются учащимися. Подводится итог работы, происходит самооценка, связанная с определением того, что ясно и получается и того, что не ясно и не получается.
4. Формулируем домашнее задание по различным уровням сложности – в зависимости от результатов работы на предыдущем этапе.
ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:
В планиметрии одним из объектов изучения является угол.
Угол - это геометрическая фигура, состоящая из точки - вершины угла и двух лучей, исходящих из этой точки.
Два угла одна сторона, которых общая и две другие являются продолжением одна другой, в планиметрии называются смежными.
Циркуль можно рассматривать как модель плоского угла.
Вспомним понятие двухгранного угла.
Это фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости в геометрии называется двугранным углом. Полуплоскости - это грани двугранного угла. Прямая а - это ребро двугранного угла.
Крыша дома наглядно демонстрирует двухгранный угол.
Но крыша дома на рисунке два выполнена в виде фигуры образованной из шести плоских углов с общей вершиной так, что углы берутся в определенном порядке и каждая пара соседних углов, включая первый и последний, имеет общую сторону. Как называется такая форма крыши?
В геометрии фигура, составленная из углов
А углы из которых составлен этот угол называются плоскими углами. Стороны плоских углов называются ребрами многогранного угла. Точка О называется вершиной угла.
Примеры многогранных углов можно найти в тетраэдре и параллелепипеде.
Грани тетраэдра DBA, ABC, DBC образуют многогранный угол ВADC. Чаще он называется трёхгранным углом.
В параллелепипеде грани АА1D1D, ABCD, AA1B1B образую трехгранный угол AA1DB.
Ну а крыша дома выполнена в форме шестигранного угла. Она состоит из шести плоских углов.
Для многогранного угла справедлив ряд свойств. Сформулируем их и докажем. Здесь говорится, что утверждение
Во-первых, для любого выпуклого многогранного угла существует плоскость, пересекающая все его рёбра.
Рассмотри для доказательства многогранный угол ОА1А2 А3…Аn.
По условию он выпуклый. Угол называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости каждого из своих плоских углов.
Так как по условию этот угол выпуклый, то точки О, А1, А2 ,А3, Аn лежат по одну сторону от плоскости ОА1А2
Проведем среднюю линию KM треугольника ОА1А2 и выберем из ребер ОА3, ОА4, ОАn то ребро которое образует с плоскостью ОКМ, наименьший двугранный угол. Пусть это будет ребро ОАi.(оа итое)
Рассмотрим полуплоскость α с границей КМ, делящую двугранный угол ОКМАi на два двухгранных угла. Все вершины от А до Аn лежат по одну сторону от плоскости α, а точка О по другую сторону. Следовательно, плоскость α пересекает все ребра многогранного угла. Утверждение доказано.
Выпуклые многогранные углы обладают ещё одним важным свойством.
Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°.
Рассмотрим выпуклый многогранный угол с вершиной в точке О. В силу доказанного утверждения существует плоскость, которая пересекает все его ребра.
Проведем такую плоскость α, пусть она пересекает рёбра угла в точках А1, А2, А3 и так далее Аn.
Плоскость α от внешней области плоского угла будет отсекать треугольник. Сумма углов которого 180°. Получим, что сумма всех плоских углов от А1ОА2 до АnОА1 равна выражению преобразуем, данное выражение перегруппируем слагаемые, получим
В данном выражении суммы указанные в скобках, являются суммами плоских углов трехгранного угла, а как известно они больше третьего плоского угла.
Данное неравенство можно записать для всех трёхгранных углов образующих данный многогранный угол.
Следовательно, получим следующее продолжение равенства
Полученный ответ доказывает, что сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360 градусов.
Рассмотрим три луча а, Ь, с, исходящие из одной точки и не лежащие в одной плоскости. Трехгранным углом (abc) называется фигура, составленная "из трех плоских углов (аЬ), (Ьс) и (ас) (рис. 2). Эти углы называются гранями трехгранного угла, а их стороны -- ребрами, общая вершина плоских углов называется вершиной трехгранного угла. Двугранные углы, образованные гранями трехгранного угла, называются двугранными углами трехгранного угла.
Аналогично определяется понятие многогранного угла (рис. 3).
Многогранник
В стереометрии изучаются фигуры в пространстве, называемые телами. Наглядно (геометрическое) тело надо представлять себе как часть пространства, занятую физическим телом и ограниченную поверхностью.
Многогранник -- это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников (рис. 4). Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждого плоского многоугольника на его поверхности. Общая часть такой плоскости и поверхности выпуклого многогранника называется гранью. Грани выпуклого многогранника являются плоскими выпуклыми многоугольниками. Стороны граней называются ребрами многогранника, а вершины -- вершинами многогранника.
Поясним сказанное на примере знакомого вам куба (рис. 5). Куб есть выпуклый многогранник. Его поверхность состоит из шести квадратов: ABCD, BEFC, .... Они являются его гранями. Ребрами куба являются стороны этих квадратов: АВ, ВС, BE,... . Вершинами куба являются вершины квадратов: А, В, С, D, Е, .... У куба шесть граней, двенадцать ребер и восемь вершин.
Простейшим многогранникам -- призмам и пирамидам, которые будут основным объектом нашего изучения,-- мы дадим такие определения, которые, по существу, не используют понятие тела. Они будут определены как геометрические фигуры с указанием всех принадлежащих им точек пространства. Понятие геометрического тела и его поверхности в общем случае будет дано позже.