Сложение и вычитание многозначных чисел

Сложение и вычитание многозначных чисел изучается на последнем году обучения в начальных классах. Поэтому перед учителем стоит зада­ча обобщить, систематизировать знания детей о действиях сложения и вычитания, расширить их и углубить.

Сложение и вычитание многозначных чисел изучается одновременно. Подготовительная работа к изучению сложения и вычитания многознач­ных чисел начинается и проводится еще при изучении нумерации, где:

1) повторяются письменные приемы сложения и вычитания трехзнач­ных чисел;

2) рассматриваются устные приемы сложения и вычитания многознач­ных чисел, основанные на знании нумерации: 300 тыс. + 200 тыс.;

375 тыс. - 75 тыс.; 9999 + 1; 100 000 - 1 и др.

При этом должна осуществляться работа по обобщению и система­тизации знаний детей. С этой целью следует проводить повторение всех вопросов, связанных с этими действиями:

Названия компонентов и результата действий; зависимость между ними;

Табличные случаи сложения;

Проверка действий сложения и вычитания.

Изучение сложения и вычитания многозначных чисел следует начать с повторения известных детям письменных приемов сложения и вычита­ния трехзначных чисел, где дети вспоминают запись и рассуждения при выполнении действий.

Затем рассматриваются сложение и вычитание многозначных чисел сначала для наиболее простых случаев, где показывается, что сложение и вычитание многозначных чисел выполняется так же, как и трехзначных:

4752 6857

3246 2435

Затем следует брать случаи с нарастанием трудности в связи с увели­чением числа переходов через разрядную единицу.

_ 40 726 _ 24 260

32 074 12 435

Первые примеры целесообразнорешать с подробными рассуждения­ми. Затем они сворачиваются.

При изучении сложения и вычитания многозначных чисел детям не придется встречаться с принципиально новыми для них вопросами. Од­нако в этой теме есть моменты, которые требуют особого внимания учи­теля в силу их сложности, трудности для детей. Встречаются здесь и эле­менты нового.

Особо здесь следует обратить внимание на случаи вычитания, когда в уменьшаемом содержится несколько нулей подряд.

1000 70 000 40 100

_

486 19 360 28 092

Эти случаи вызывают определенную трудность у детей в связи с тем, что последовательное раздробление единиц высшего разряда выполня­ется несколько раз.

Чтобы предупредить возникновение этих трудностей и возможных ошибок и тем самым облегчить усвоение детьми этих случаев необходимо провести соответствующую подготовительную работу, в результате которой, детям будет легче ориентироваться в ом, что сотня - это 9 де­сятков и 10 единиц, 1000 - это 9 сотен, 9 десятков и 10 единиц и т.д.

Для этого следует вспомнить с учащимися известные им соотноше­ния (лучше всего это делать на счетах): 10 ед. = 1 дес., 10 дес. = 1 сот., 10 сот. = 1 тыс.

А затем провести рассуждения в обратном порядке: 1 тыс. = 10 сот, 1 сот. = 10 дес.,

1 дес. = 10 ед. Итак, получаем: 1 тыс. = 9 сот. 9 дес. 10 ед.

Решая эти примеры, следует требовать от детей давать подробные объяснения.

Первые примеры на вычитание следует решать с иллюстрацией на счетах и начинать с наиболее простых. Например, возможен такой вари­ант разговора с детьми.

Давайте решим пример.

Используем счеты.

Посмотрите, у нас есть одна сотня. А нам надо вычесть б единиц. Как можно заменить сотню на счетах?

Десятью десятками (сбрасываем косточку на третьей проволоке и откладываем 10 косточек на второй проволоке). Отметим это на примере.

Теперь, что мы можем сделать?

Взять один десяток и заменить его десятью единицами (сбрасыва­ем одну косточку на второй проволоке и откладываем 10 косточек на первой проволоке). Отметим опять это на примере.

Смотрим на счеты, что мы теперь имеем: была одна сотня, а те­перь 9 десятков и 10 единиц - это можно записать и в примере. Ведем рассуждения:

Из нуля единиц б единиц отнять нельзя. Возьмем 1 сотню (ставим точку) - это 10 десятков. Из них берем один десяток (ставим точку) - это 10 единиц, а десятков осталось 9.

Вычитаем: из 10 единиц вычесть 6 получится 4 единицы и 9 десят­ков. Ответ: 94.

Также подробно с использованием счетов следует решить еще один пример.

Рассуждения: Из нуля единиц 6 единиц отнять нельзя. Возьмем 1 тысячу - это 10 сотен. Из них берем одну сотню и заменим 10 десятками, из них берем 1 десяток - это 10 единиц. Получили 9 сотен 9 десятков и 10 единиц.

Вычитаем из 10 единиц вычесть 6 единиц получится 4 единицы, из 9 десятков вычесть 8 десятков получится 1 десяток и 9 сотен. Ответ: 914.

Постепенно примеры усложняются.

К этой же теме относят и действия над величинами метрической си­стемы мер. При рассмотрении этих вопросов мы показываем детям, что величины необходимо выразить в мерах одного наименования и над по­лученными числами выполнить соответствующие действия.

Например:

5т 750 кг + 4т 580 кг = 10т 330 кг

Выражаем величины в единицах одного наименования:

5т 750 кг = 5750 кг

4т 580 кг = 4580 кг

Выполняем действия над отвлеченными числами:

В ответе число записываем в таком виде, в каком числа даны в усло­вии, то есть в виде составного именованного числа.

В числе 10330 кг выделяем число тонн и килограммов, это 10 т 330 кг.

Целесообразно познакомить детей и с другим способом выполнения действий над составными именованными числами, без предварительных преобразований:

Т 750 кг

Т 580 кг

Т 330 кг.

При этом следует провести подробные рассуждения. Складываем килограммы:

0 единиц и 0 единиц получаем 0 единицы, 5 десятков и 8 десятков, получаем 13 десятков, это 1 сотня и 3 десятка. Пишем 3 под десятками, 1 сотню прибавим к сотням; 7 сотен и 5 сотен будет 12 сотен, да еще 1 сотня, всего 13 сотен. Это 1 тысяча и 3 сотни. 3 сотни пишем о под сотнями, а 1 тысячу килограммов - это 1 тонна, прибавим к тоннам. Складываем тонны: 5+4= 9; 9+1=10. Читаем ответ.

Вопросы и задания для самостоятельной работы

1. Какие случаи сложения и вычитания в концентре «Тысяча» относятся к устным, а какие к письменным?

2. Расскажите, как с помощью абака разъяснить учащимся сущность приемов письменного сложения и вычитания многозначных чисел.

3. Назовите все случаи письменного сложения и вычитания многозначных чисел. Приведите примеры, иллюстрирующие особые случаи сложения и вычитания.

4. Назовите типичные ошибки, допускаемые учащимися при сложении и вычитании многозначных чисел. Приведите примеры.

Литература: Б.Б. с.132-134

При изучении темы «Сложение и вычитание многозначных чисел» основными задачами учителя являются:

· обобщить и систематизировать знания учащихся о действиях сложения и вычитания,

· выработать осознанные и прочные навыки письменных вычислений.

Сложение и вычитание многозначных чисел изучаются одновременно. Это создаёт лучшие условия для овладения знаниями, умениями и навыками, так как вопросы теории этих действий взаимосвязаны, а приёмы вычислений сходны.

С арифметическими действиями сложения, вычитания, а также с некоторыми устными и письменными приемами их выполнения в концентре «Тысяча», учащиеся уже хорошо знакомы. Поэтому при изучении темы «Сложение и вычитание многозначных чисел» целесообразно активно опираться на знания детей, увеличив объём и усилив самостоятельное выполнение заданий.

Подготовительную работу к изучению темы начинают ещё при изучении нумерации многозначных чисел. С этой целью, прежде всего, повторяют устные приёмы сложения и вычитания и свойства действий, на которые они опираются, например: 8400+600, 9800-700, 2000-1700, 740 000+160 000 т.п. Повторяют также письменные приёмы сложения и вычитания трёхзначных чисел. Полезно в устные упражнения на сложение и вычитание разрядных чисел включить примеры с пояснением вида:

6 сот.+8 сот.=14 сот.=1 тыс. 4 сот.;

1 сот. тыс. 5 дес. тыс. – 7 дес. тыс.=15 дес. тыс. -7 дес. тыс.= 8 дес. тыс.

Также полезно повторить и обобщить ранее свойства сложения (переместительное и сочетательное) с иллюстрацией различных случаев их практического применения для рационализации вычислений. Интересно в этом отношении упражнение, в котором предлагается вычислить сумму нескольких слагаемых разными способами и сравнить эти способы вычислений: 11+2+8+9+10, 11+2+(8+9)+10, 11+(2+8)+9+10, (11+9)+(2+8)+10. Это задание направлено на отработку умений практически применять изученные свойства сложения, распространенные на два и более слагаемых. При выполнении этого упражнения учитель обращает внимание учащихся на то, что использование свойств сложения помогает заметно упростить вычисления, просит детей провести сравнение предложенных способов вычислений, выбрать самый рациональный и обосновать свой выбор. Чтобы выработать у учащихся навык практического использования этих свойств сложения, в дальнейшем в устный счёт целесообразно включить аналогичные примеры с тем, чтобы дети чаще тренировались в их использовании для упрощения вычислений с учётом конкретных особенностей примера. Если пример содержит более трёх слагаемых, его нужно записать на доске.

Такая подготовительная работа создаёт возможность учащимся самостоятельно объяснить письменные приёмы сложение и вычитание многозначных чисел.

При ознакомлении с письменным сложением и вычитанием многозначных чисел учащиеся решают такие примеры, где каждый последующий включает в себя предыдущий, например:

752 4752 54752 _837 _6837 _76837 _376837

+246 +3246+43246425242552425152425

После решения таких примеров учащиеся сами сделают вывод о том, что письменное сложение и вычитание многозначных чисел выполняется так же как и трёхзначных чисел.

Далее случаи сложения и вычитания вводятся с нарастающей трудностью: постепенно увеличивается число переходов через разрядную единицу; включаются случаи вычитания, когда в уменьшаемом содержаться нули; изучается сложение нескольких слагаемых, а также сложение и вычитание величин.

При изучении темы «Сложение и вычитание» проводиться повторение уже известных учащимся случаев сложения и вычитания с нулём: b+0=b, d – 0 = d, 0+с = с, b – b =0, которые включаются сразу же в примеры на письменные вычисления с многозначным числами.

При изучении названной темы перед учителем стоит задача распространить уже знакомые алгоритмы письменного сложения и вычитания на действия с числами больше тысячи, но в пределах миллиона. Эта задача не так сложна при изучении сложения. Уже на первом уроке можно рассмотреть сложение многозначных чисел, как без перехода, так и с переходом через разряд, предварительно повторив алгоритм письменного сложения чисел в пределах 1000, таблицу сложения и вычитания чисел в пределах 20.

Значительно усложняется задача рассмотрения письменных алгоритмов при переходе к вычитанию. Особое внимание следует обратить на новые для учащихся случаи вычитания, чтобы суметь предупредить часто возникающие ошибки. Как показывают наблюдения на уроках и анализ проверочных работ, общий алгоритм вычитания учащиеся усваивают неплохо, а вот его частные случаи, когда в записи уменьшаемого содержаться нули, усваиваются плохо и впоследствии допускают большое число ошибок. Причина таких ошибок в неумении заменять единицу высшего разряда единицами более низшего разряда. Именно на этом необходимо обратить внимание при переходе к рассмотрению этого случая вычитания.

Прежде чем приступить к разъяснению алгоритма вычитания, когда в записи уменьшаемого имеется несколько нулей подряд, целесообразно вспомнить особенности десятичной системы счисления, соотношение между разрядными единицами, предложив учащимся, например, заполнить пропуски в следующих предложениях:

в 1 миллионе 10 сот. тыс.

в 1 миллионе … сот. тыс. и 10 дес.тыс.

в 1 миллионе … сот. тыс. … дес.тыс. и 10 тыс.

в 1 миллионе … сот. тыс. … дес.тыс. … тыс. и 10 сот.

в 1 миллионе … сот. тыс. … дес.тыс. … тыс. … сот. 10 дес.

в 1 миллионе … сот. тыс. … дес.тыс. … тыс. … сот. … дес. и 10 ед.

Очень полезны в качестве подготовительных и примеры такого вида:

400 _ 300 _6000 _5000

8237 36

при решении которых необходимо подробно рассмотреть процесс занимания и замены взятой единицы высшего разряда 10 единицами среднего низшего разряда.

Объяснение нового для учащихся случая можно провести так:

Начинаем вычитание с единиц, но из 0 нельзя вычесть 2. в разряде десятков числа 4700 стоит нуль. Значит, придётся взять («развязать» - можно показать на счётных палочках, которые завязаны в пучки по 10 и 10 таких пучков завязаны в сотню) 1 сотню. Учитель показывает одну сотню палочек: «Сколько это десятков? (10 десятков.) Берём 1 десяток. Сколько же десятков из взятой нами сотни останется в разделе десятков? (9 десятков.) Запомним. Мы взяли одну сотню из 7. Чтобы не забыть об этом, поставим точку над цифрой 7 точку. Взятую сотню мы заменили десятками. В 1 сотне 10 десятков. Из этих 10 десятков (9+1) мы взяли один десяток и перенесли в разряд единиц. 1 десяток содержит 10 единиц. Тогда в разряде десятков останется 9 десятков. (При первом объяснении над нулём в разряде десятков можно записать цифру 9, а в дальнейшем делать это лишь тогда, когда ученик обнаружит непонимание этого момента.) Теперь из десятка, который мы взяли (10 единиц), вычтем число 2 (10-2 = 8), запишем 8 единиц под единицами; из 9 десятков вычтем 3 десятка, получим 6 десятков, записываем в разряде десятков. Точка над цифрой 7 показывает, что 1 сотня была взята, следовательно, осталось 6 сотен. Запишем 6 в разряд сотен и 4 в разряде тысяч ».

Дальнейшее расширение знаний письменных вычислений связано с рассмотрением приёмов письменного сложения трёх и большего числа слагаемых. Перед введением этих приёмов полезно вспомнить, что при сложении нескольких чисел их можно переставлять и объединять в группы любым способом.

Учитель объясняет, что при письменном сложении нескольких слагаемых, подписывают каждое слагаемое одно под другим: единицы под единицами, десятке под десятками и т.д. и складывают числа поразрядно. Как можно использовать этот способ при письменном сложении нескольких слагаемых, например: 3408+237.569+18.440 ? Пример записывается на доске. Учащиеся могут предложить сначала вычислить сумму двух первых слагаемых:

и затем к полученной сумме прибавить третье слагаемое:

+ 18440

На вопрос учителя: «Как находили сумму двух слагаемых?» - дети объясняют: «Мы подписали их одно под другим так, чтобы единицы одного числа стояли под единицами другого, десятки под десятками, сотни под сотнями и т.д., и складывали сначала единицы, потом десятки, потом сотни и т.д. по разрядам». Здесь следует задать вопрос, почему этот способ можно использовать при сложении трёх и более слагаемых. Далее учитель спрашивает: «Какое из трёх слагаемых удобно записать первым? Вторым? Третьим?» На доске появляется запись:

Учитель обращает внимание детей на то, что при такой записи знак «+» пишется только один раз. Вызванный к доске ученик с подробным объяснением выполняет сложение. Полученный ответ полезно сравнить с результатом вычислений при решении примера первым способом и сделать вывод.

Чтобы убедиться, овладели учащиеся умениями письменно овладевать несколько слагаемых, можно предложить им самостоятельно сложить четыре слагаемых.

В процессе изучения темы повторяются и обобщаются знание детей о взаимности между компонентами и результатом каждого из действий: сложения и вычитания. Желательно, чтобы дети сами вспомнили, что если из суммы вычесть одно из слагаемых, то получиться другое слагаемое, и т.п.

Для закрепления, как и в других случаях, для выработки навыков вычислений необходимо включать разнообразные упражнения. Следует, как можно чаще предлагать задания: решить и выполнить проверку решения примеров одним из способов или реже двумя способами. Это помогает не только закрепить знания связей между результатами и компонентами действий, но и способствует выработке вычислительных навыков и воспитывает привычку контролировать себя.

Домашнее задание:

Составить тематическую проверочную работу по теме «Сложение и вычитание многозначных чисел», подобрать (составить) задания на все приемы.

Похожая информация.

Цель: создание условий для закрепления знакомой учебной информации,

применения её в знакомой учебной ситуациях.

Задачи:

Образовательные: закреплять приём сложения многозначных чисел;закрепить умения читать и писать трёхзначные числа;закреплять вычислительные навыки и умения решать задачи.

Развивающие: развивать познавательные процессы учащихся (память, мышление, внимание, воображение, восприятие); формировать математические действия (обобщение, классификация); развивать интеллект и творческое начало детей.

Воспитательные: формировать познавательные потребности; воспитывать у детей инте-рес к учебному материалу, желание учиться; воспитывать культуру межличностных отно-шений, воспитывать самостоятельность и критическое мышление.

Скачать:

Предварительный просмотр:

«Сложение и вычитание многозначных чисел»

Цель: создание условий для закрепления знакомой учебной информации,

применения её в знакомой учебной ситуациях.

Задачи:

Образовательные: закреплять приём сложения многозначных чисел;закрепить умения читать и писать трёхзначные числа;закреплять вычислительные навыки и умения решать задачи.

Развивающие: развивать познавательные процессы учащихся (память, мышление, внимание, воображение, восприятие); формировать математические действия (обобщение, классификация); развивать интеллект и творческое начало детей.

Воспитательные: формировать познавательные потребности; воспитывать у детей инте-рес к учебному материалу, желание учиться; воспитывать культуру межличностных отно-шений, воспитывать самостоятельность и критическое мышление.

Тип урока: закрепление полученных знаний.

Формы организации познавательной деятельности: фронтальная работа, работа в группах, самостоятельная работа.

Используемые методы: объяснительно – иллюстративный, репродуктивный, проблемная ситуация.

Формы реализации методов: деятельность по алгоритму, воспроизведение действий по применению знаний

на практике.

Принципы обучения: наглядность, научность, доступность, активность, связь теории с практикой, комплексное решение задач образования, воспитание и развитие.

Конечный результат и система контроля: Надеюсь, что урок пройдёт в доброжела-тельной рабочей обстановке. Игровая форма урока настроит детей на успешность в дальнейшем.

1. Организационный момент .

Итак, друзья, внимание -

Вновь прозвенел звонок.

Садитесь поудобнее -

Начнём сейчас урок.

2.Объявление темы и целей урока.

Как вы думаете, где вам сейчас узнать тему урока.

Я могу! Я хочу! Для чего мне это надо! Могу ли я сам помочь себе закрепить эти знания!

Посмотрите на материал в учебники и скажите, чтобы выполнить задания, на что больше всего вы должны обратить внимание, что должны вспомнить?

У вас есть план урока, у каждого этапа поставьте цифру очередности.

1.Повторение. Математическая разминка.

Планируемый результат: чтение, запись многозначных чисел, умение определять разряды и классы. Умение выполнять устные приемы вычисления.

2.Блиц-турнир.

3.Работа в парах.

Умение «+» и «_» многозначные числа

4.Физминутка.

5.Решение задачи.

6.Экспресс опрос

Планируемый результат: применять знания «+» и «-» многозначных чисел при решении уравнений.

7.Итог.Оценивание своей работы.

3. Математическая разминка. (Устный счет)

а) На доске записаны многозначные числа.

А1. Необходимо числа расставить в порядке возрастания.

98, 4295, 3 846 , 20 000, 34 295, 45 348, 1 309 400, 923 527, 500 004

(98, 3846, 4 295, 20 000, 34 295, 45 348, 500 004, 923 527, 1 309 400)

Назовите семизначное число.

Назовите число, которое стоит после числа 20 000.

Назовите число, в котором 295 единиц первого класса.

Назовите число, в котором 3 единицы класса тысяч.

Назовите соседей числа 923 527.

Назовите чётные числа.

Что нужно сделать, чтобы легче прочитать многозначное число?

(Его надо разбить на классы, начиная, справа налево. А затем прочитать слева направо, называя количество единиц и название класса.)

Перевернув цифры, мы получим слово. (Вселенная)

Что такое Вселенная? (Космическое пространство, и всё, что его заполняет)

б) Числа записаны в виде суммы разрядных слагаемых. Необходимо определить, какие это числа, и мы узнаем диаметры некоторых планет Вселенной.

А2. 6 000+700+90=6790 км - диаметр Марса

10 000+2 000 +100=12 100 км - диаметр Венеры

10 000+2 000+700+40+2= 12 742 км - диаметр Земли

50 000+4 000= 54 000 км - диаметр Урана

Диаметр, какой планеты больше?

Диаметр, какой планеты меньше?

Сколько задач на сравнение можно составить? (12 , так как каждую из 4-х планет можно сравнить с 3-мя другими: 4 х 3 = 12)

7, 0, 2, 4.

Составьте из этих цифр самое большое четырёхзначное число, чтобы цифры не повторялись. Запишите (7 420)

Увеличьте число на 5, 10, 100, 1000

2 в. Составьте из этих цифр самое маленькое четырёхзначное число, чтобы цифры не повторялись. (2 047)

Уменьшите число на 5, 10, 100, 1000

Что можете сказать о разрядах вновь полученных чисел?

4. БЛИЦ-ТУРНИР.

Учитель читает задачи, дети записывают ответы в тетради в каждой клеточки.

Собачка, когда она стоит на двух лапках весит 3 кг. Сколько она будет весить, если встанет на все лапы? (3)

За один час часы делают 2 удара, сколько ударов сделают часы за 4 часа?(8)

В семье трое дочерей и у каждой есть брат, сколько детей в семье?(4)

Горело четыре свечи, 2 погасли, сколько осталось?(4)

На веревке завязали 6 узлов. Между узлами 1 метр. Сколько метров между крайними узлами?(6)

Брату 8 лет, сестре 15 лет. На сколько лет сестра будет старше брата через 10 лет?(7)

Дети читают ответы. Получилось интересное число. Дети читают число.(384 467)

Это число в км обозначает расстояние от Земли до Луны.

Сколько всего сотен в полученном числе?

Сколько отдельных десятков?

Что обозначает цифра 8? Цифра 4?

Сколько всего разрядов?

Сколько единиц 1 разряда? 5 разряда?

Как одним словам назвать числа?

5.Самостоятельная работа. Работа в парах.

Каждый проверит сам себя. Задание дано по вариантам.

А3. Вычислить сумму и разность чисел.

6.Физминутка.

Поднимает руки класс - это "раз"

Повернулась голова - это "два"

"Руки вниз, вперёд смотри - это "три".

Руки в стороны пошире развернули на "четыре"

С силой их к плечам прижать - это "пять"

Всем ребятам надо сесть - это "шесть".

А4. 7.Решение задачи. Выберите для себя задачу, подходящую под нашу тему.

8.Экспресс опрос.

*Чтобы найти 1слагаемое,надо от суммы отнять 2слагоемое +

*Чтобы найти 2множитель, надо произведение разделить на 1множитель+

*Чтобы найти уменьшаемое, надо разность разделить на вычитаемое.-

*Чтобы найти вычитаемое, надо от уменьшаемого отнять разность+

*Чтобы найти делитель, надо от частного отнять делимое -

*Чтобы найти делимое, надо частное умножить на делитель.+

* Слагаемое, это сумма минус другое слагаемое +

*Уменьшаемое, это разность плюс вычитаемое +

*Вычитаемое, это уменьшаемое минус разность.+

А5. 9.Решение уравнения.

А6. 10. Итог.Релаксация.

Работа в парах . Умение «+» и «-» многозначные числа

Блиц-турнир. Планируемый результат: развитие смекалки, умение получать многозначное число.

Повторение. Математическая разминка. Планируемый результат: чтение, запись многозначных чисел, умение определять разряды и классы.

Физминутка. Планируемый результат: умение проводить отдых, переключаться на другую работу.

Решение задачи. Планируемый результат: применять знания «+» и «-» многозначных чисел при решении задач

Итог. Оценивание своей работы. Планируемый результат: умение оценивать свою работу на уроке.

Экспресс опрос Планируемый результат: применять знания «+» и «-» многозначных чисел при решении уравнений

__________________________________________________________________

Рабочая карточка на уроке

А1.Прочитайте числа

98, 4 295, 3 846, 20 000, 34 295, 45 348, 1 309 400, 923 527, 500 004

1.Расставьте их в порядке возрастания.

2.Поставьте к числу соответственно букву, прочитайте, какое слово получилось.

	4295		20 000	45348	34 295	1309400	923527	500004

*А2.запишите суммы, укажите их значение

6 000+700+90 (км) диаметр Марса

10 000+2 000 +100 (км) диаметр Венеры

10 000+2 000+700+40+2 (км) диаметр Земли

50 000+4 000 (км) диаметр Урана

*А3. Вычислить сумму и разность чисел.

92882 и 456994 11588 и 12896 8316 и 6974 91924 и 57574

А4. Выберите задачу.

А5. Решите уравнение.

Способы устных вычислений

Устные приемы сложения и вычитания многозначных чисел изучаются в 4 классе четырехлетней начальной школы в следующем порядке:

1. Нумерационные случаи

а) Случаи вида:

99 999 + 1 345 000 - 1 560 999 + 1

560 000 - 1 399 999 + 1 40 000 - 1

При выполнении вычислений данного вида ссылаются на принцип построения натурального ряда чисел: добавление к числу единицы дает число, следующее по счету; вычитание единицы дает число, предшествующее по счету.

Например: 399 999 + 1 - добавляя к числу 1, получаем число следующее. Следующее за числом 399 999 число 400 000, значит 399 999 + 1 =400 000.

б) Случаи вида:

30 000 + 1 000 650 999 - 900 600 000 + 5

60 345 - 5 345 000 - 45 000 800 700 + 1 000

При выполнении вычислений данного вида ребенок должен хорошо знать принцип поразрядного строения чисел в десятичной системе счисления.

650 999 - 900 - 650 099

2. Сложение и вычитание целых тысяч

Сложение и вычитание вида 32 000 + 2 000, 690 000 - 50 000 является первым вычислительным приемом, с которого начинается формирование устных вычислений в объеме многозначных чисел.

Для освоения этого приема ребенок должен хорошо представлять разрядный состав многозначного числа. Рассматривая 32 000 как 32 тыс. и 2 000 как 2 тыс., прием 32 000 + 2 000 вычисляется, как 32 тыс. + 2 тыс. Ответ 34 тыс. затем рассматривается, как 34 000 и записывается результат вычислений. Таким образом, действия целыми тысячами рассматриваются как действия разрядными единицами, вычисления в этом случае сводятся к табличным вычислениям в пределах 10, 20 пли 100.

3. Сложение и вычитание целых тысяч на основе правил арифметических действий

Учебник математики для 4 класса практически не предлагает вычислений соответствующего вида, однако учителя часто используют их на устном счете.

К этим случаям относятся вычисления вида: 70 200 + 400, 600 100 - 99, 3 008 + 351,425 100 - 24 100 и т. п.

При вычислениях используется знание десятичного состава многозначных чисел и понимание того, что во всех случаях действия затрагивают только часть первого числа (первое число может рассматриваться как сумма). Таким образом действия могут выполняться только с частью первого числа.

Например:

Вычисляя сумму 70 200 + 400, можно отдельно сложить 400 и 200, а затем их сумму прибавить к числу 70 000. Фактически используется правило прибавления числа к сумме.

При выполнении вычислений в случае 425 100 - 24 100 используется правило вычитания числа из суммы. 425 100 рассматривается, как сумма 400 000 и 25 100. Из одного из слагаемых вычитается 24 100 (25 100 - 24 100 = 1 000), и полученный результат складывается с первым слагаемым: 400 000 + 1 000 = 401 000.

В основе всех этих случаев лежит хорошее знание разрядного состава многозначных чисел и умение выполнять устные вычисления целыми разрядами.

Способы письменных вычислений (в столбик)

Письменные приемы сложения и вычитания являются основными вычислительными действиями при вычислениях в объеме многозначных чисел, поскольку вычисления в уме с многозначными числами представляют собой слишком сложную проблему для всех детей. Использование письменных алгоритмов вычислений в этих условиях является психологически и методически оправданным.

Усвоение детьми нумерации четырехзначных и многозначных чисел позволяет им осуществить перенос умения складывать и вычитать числа «столбиком» из области трехзначных чисел на область многозначных чисел.

При знакомстве с письменными приемами сложения и вычитания в объеме многозначных чисел проводится аналогия с алгоритмом письменного сложения и вычитания в пределах 1000:

1) Письменное сложение и вычитание любых многозначных чисел выполняется так же, как сложение и вычитание трехзначных чисел.

2) При записи столбиком, как и при сложении трехзначных чисел следует записывать разряд под соответствующим разрядом, и складывать сначала единицы, потом десятки, а потом сотни, потом тысячи и т. д. (справа налево).

Считается, что дети хорошо научены выполнять действия сложения и вычитания в столбик, поэтому в учебнике 4 класса не предусмотрено распределение случаев сложения и вычитания по уровням сложности.

Первыми рассматриваются различные случаи с переходами через разряд как при сложении так и при вычитании: 3 126 + 4 232; 25 346 - 13 407.

Затем рассматриваются случаи вычитания с нулями в уменьшаемом:

600 - 25; 1 000 - 124; 30 007 - 648.

Эти случаи являются наиболее сложными, поскольку требуют «заема» разрядных единиц не из соседних, а из далеко отстоящих разрядов. Эти случаи полезно сначала сопровождать подробной пояснительной записью на доске, чтобы дети понимали и видели, откуда появляются девятки в «пустых» разрядах.

Например:

30 007 Вычитаю единицы. Из 7 нельзя вычесть 8. 648 Пробую занять единицу в соседнем разряде.

В разряде десятков, сотен и тысяч нет разрядных единиц, поэтому «заем» возможно произвести только из разряда десятков тысяч: 30 тыс. - 1 тыс. = 29 тыс. Подписываем 29 над 30.

«Занятую» тысячу представляем в виде суммы 1 тыс. = 1000 = = 990 + 10.

Подписываем над разрядами сотен и десятков девятки, а из 10 единиц вычитаем 8, получаем 2 единицы. Но в разряде единиц было 7 единиц. Добавляем их к полученным 2 единицам и пишем в разряде единиц 9.

Вычитаем: 9 дес. - 4 дес. = 5 дес. Пишем 5 в разряде десятков. 9 сот. - 6 сот. = 3 сот. Пишем 3 в разряде сотен.

От десятков тысяч осталось 29 тыс. Пишем 9 в разряде тысяч, 2 - в разряде десятков тысяч.

При изучении сложения и вычитания многозначных чисел рекомендуется повторять и закреплять названия компонентов и результатов действий; свойства нахождения неизвестных компонентов действий при проверке результатов вычислений; рассматривать закономерности изменения суммы и разности при изменении одного из компонентов действий.

Многие дети используют калькуляторы как при выполнении вычислений с многозначными числами, так и при проверке результатов. В старших классах не возбраняется использовать калькуляторы при необходимости выполнить громоздкие вычисления (на уроках физики, химии, геометрии).

Чтобы стимулировать ребенка к использованию умения самостоятельно вычислять в столбик, следует предлагать задания, не позволяющие механического использования калькулятора для вычисления результата. Это различные задания на нахождение ошибки в записях или цифрах вычислений, на прикидку округленных результатов вычислений, на восстановление пропущенных цифр в компонентах действий, на выбор верных ответов из предложенных и т. п. Учителю следует помнить, что механический характер вычислительных действий при вычислениях с многозначными числами быстро приводит к утомлению детей, что провоцирует появление ошибок. Поэтому не стоит задавать подряд больше трех примеров на вычисления с многозначными числами.

Лекция 10. Умножение

1. Смысл действия умножения.

2. Табличное умножение.

3. Приемы запоминания таблицы умножения.

Смысл действия умножения

Действие умножения рассматривается как суммирование одинаковых слагаемых.

По определению умножение целых неотрицательных чисел (натуральных) - это действие, выполняющееся по следующим правилам:

а b = a+ a+ a+ a+ a ...+ а, при b > 1

b слагаемых

а 1 = а, при b = 1

а 0 = 0, при b = 0

Использование символики умножения позволяет сократить запись сложения одинаковых слагаемых.

Запись вида 2-4 = 8 подразумевает сокращение записи вида 2 + 2 + 2 + 2 = 8. Ее читают так: «по 2 взять 4 раза, получится 8»; или: «2 умножить на 4 получится 8».

Действие умножения во всех учебниках математики для начальных классов рассматривают ранее действия деления.

С теоретико-множественной точки зрения умножению соответствуют такие предметные действия с совокупностями (множествами, группами предметов) как объединение равных (равночисленных) совокупностей. Поэтому, прежде, чем знакомиться с символикой записи действий и вычислениями результатов действий, ребенок должен научиться моделировать на предметных совокупностях все эти ситуации, понимать (т. е. правильно представлять) их со слов учителя, уметь показывать руками как процесс, так и результат предметного действия, а затем характеризовать их словесно.

Виды заданий, которые предлагаются детям до знакомства с символикой действия умножения (в 1 и 2 классе):

1. Посчитай двойками (тройками, пятерками).

2. Нарисуй рисунок: «На трех тарелках по 2 апельсина». Сосчитай, сколько всего апельсинов.

3. Найди лишнюю запись:

Найди значение каждого выражения наиболее удобным способом.

4. Сделай запись выражения по рисунку:

Виды заданий, используемых для усвоения ребенком смысла умножения при знакомстве с этим действием:

а) На соотнесение рисунка и математической записи:

Рассмотри рисунок и объясни записи:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10и2.5 = 10 5 + 5= 10и5-2= 10

4 + 4 + 4 = 12 4-3=12

б) На нахождение суммы одинаковых слагаемых: Рассмотри рисунки и закончи записи:

в) На замену сложения умножением:

Замени, где возможно сложение умножением и вычисли результаты:

5+5+5+5 1+1+1+1+1 5+6+3

42 + 42 0 + 0+0 + 0 + 0 4 + 6 + 8

г) На понимание смысла определения действия умножения:

Рассмотри записи и объясни, какое число берется слагаемым и сколько раз берется слагаемым это число: 6-4 = 24 9-3 = ...

6 + 6 + 6 + 6 = 24 9 + 9 + 9 =...

Выражение вида 3 5 называют произведением. Числа 3 и 5 в этой записи называют сомножителями (множителями).

Запись вида 3 5 = 15 называют равенством. Число 15 называют значением выражения. Поскольку число 15 в данном случае получено в результате умножения, его также часто называют произведением.

Например:

Найдите произведение чисел 4 и 6. (Произведение чисел 4 и 6 - это 24.)

Поскольку названия компонентов действия умножения вводятся по соглашению (детям сообщаются эти названия и их необходимо запомнить), педагог активно использует задания, требующие распознавания компонентов действий и употребления их названий в речи.

Например:

1. Среди данных выражений найдите такие, в которых первый множитель равен 3 (второй множитель равен 2 и т. д.):

2-2 7-3 6-2 1.6 3-5 3-2 7-3 3-4 3-1

2. Составьте произведение, в котором второй множитель равен 5. Найдите его значение.

3. Выберите примеры, в которых произведение равно 6. Подчеркните их красным цветом. Выберите примеры, в которых произведение равно 12. Подчеркните их синим цветом.

7-3 6-1 2-2 2-3 6-2 3-2 2-6

4. Как называют число 4 в выражении 5 4? Как называют число 5? Найдите произведение. Составьте пример, в котором произведение равно тому же числу, а множители другие.

5. Множители 8 и 2. Найдите произведение.

В третьем классе дети знакомятся с правилом взаимосвязи компонентов умножения, которое является основой для обучения нахождению неизвестных компонентов умножения при решении уравнений:

Если произведение разделить на один множитель, то получится другой множитель.

Например:

Решите уравнение 6 * х = 24. (В уравнении неизвестен множитель. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель. х= 24:6, х = 4.)

Однако, данное правило в учебнике математики 3 класса не является обобщением представлений ребенка о способах проверки действия умножения. Правило проверки результатов умножения рассматривается в учебнике намного позже - после знакомства с вне-табличным умножением и делением (знакомства с умножением и делением двузначных чисел на однозначные, не входящим в таблицу умножения и деления). Это объясняется тем, что правило взаимосвязи компонентов умножения является основой составления таблицы деления. Поскольку предполагается, что табличные случаи умножения ребенок к этому времени знает наизусть, то нет необходимости в проверке результатов. Есть только необходимость быстро восстанавливать (вспоминать) нужное третье число по двум данным.

Например:

9-2 = ... 5-4 = ... 1*7 = ...

18:2 = ... 20:4 = ... 7:7 = ...

При выполнении устного внетабличного умножения, требующего применения достаточно сложного алгоритма, необходима проверка, поскольку многие дети часто ошибаются в этих случаях.

Правило проверки действия умножения:

1) Произведение делят на множитель.

2) Сравнивают полученный результат с другим множителем. Если эти числа равны, умножение выполнено верно.

Например: 18 4 = 72. Проверка: 1) 72: 4 = 18; 2) 18 = 18.

Табличное умножение

Изучение таблицы умножения является центральной задачей обучения математике во 2 и 3 классе.

К табличному умножению относят случаи умножения однозначных натуральных чисел на однозначные натуральные числа, результаты которых находят на основе конкретного смысла действия умножения (находят суммы одинаковых слагаемых).

Результаты табличного умножения в соответствии с программными требованиями к знаниям, умениям и навыкам дети должны знать наизусть. Умножение с числом нуль, умножение с числами 1 и 10 относят к особым случаям.

Первые приемы составления таблиц умножения связаны со смыслом действия умножения (см. предыдущий пункт). Результаты этих таблиц получают последовательным сложением одинаковых слагаемых.

Например:

Расположенный рядом рисунок помогает ребенку получить результат пересчетом фигурок. При небольших значениях множителей прием сосчитывания для получения табличного значения произведения вполне приемлем, и учитель им часто пользуется при получении результатов таблиц значений умножения чисел 2, 3, 4. Приведенный пример показывает, что этот прием удобен лишь при небольших значениях второго множителя.

При значении второго множителя больше 5, удобнее использовать для получения результатов табличных значений другой прием: прием прибавления к предыдущему результату. Например:

Вычисли и запомни: 2-6 = 2.5 + 2 = ... 2-7 = 2.6 + 2 =... 2-8 = 2.7 + 2 2.9 = 2-8 + 2 =...

В учебнике математики для 2 класса этот прием дан более пространно, и поэтому не всегда правильно понимается с точки зрения техники выполнения:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 2-7ит.п.

Аналогичным образом составляется таблица значений умножения числа 3.

Следующим приемом, на основе которого составляются таблицы значений умножения чисел, является прием перестановки множителей.

Этот прием фактически является первым математическим законом относительно действия умножения в начальной школе:

От перестановки множителей произведение не меняется.

Способ знакомства детей с этим правилом (законом) обусловлен ранее введенным смыслом действия умножения. Используя предметные модели множеств, дети сосчитывают результаты группировки их элементов разными способами, убеждаясь, что результаты не меняются от изменения способов группировки.

Например:

Счет элементов рисунка (множества) парами по горизонтали совпадает со счетом элементов тройками по вертикали. Рассмотрение нескольких вариантов подобных случаев дает учителю основание произвести индуктивное обобщение (т. е. обобщение нескольких частных случаев в обобщенном правиле) о том, что перестановка множителей не меняет значение произведения.

На основе этого правила, используемого как прием счета, составляется таблица умножения на 2.

Например:

Используя таблицу умножения числа 2, вычисли и запомни таблицу умножения на 2:

2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 =

На основе этого же приема составляется таблица умножения на 3:

3-4 = 12 3-7 = 21 4-3 = ... 7-3=...

3-5= 15 3-8 = 24 5-3 = ... 8-3 = ...

3-6 = 18 3-9 = 27 6-3=... 9-3 = ...

Составление двух первых таблиц распределяется на два урока, что соответственно увеличивает время, отведенное на их заучивание. Каждая из двух последних таблиц составляется на одном уроке, поскольку предполагается, что дети, зная исходную таблицу, не должны отдельно заучивать результаты таблиц, полученных с помощью перестановки множителей. На самом деле, многие дети учат каждую таблицу отдельно, поскольку недостаточный уровень развития гибкости мышления не позволяет им легко перестроить модель заученной схемы табличного случая в обратном порядке. При вычислении случаев вида 9 2 или 8 3 дети снова возвращаются к приему последовательного сложения, что естественно требует времени для получения результата. Такая ситуация порождается скорее всего тем, что для значительного числа детей такое разнесение во времени взаимосвязанных случаев умножения (тех, что связаны правилом перестановки множителей) не позволяет сформироваться ассоциативной цепочке, ориентированной именно на взаимосвязь. Та же ситуация прослеживалась у ряда детей при применении свойства перестановки слагаемых для составления таблиц сложения: запомнив случай 3 + 5, такой ребенок учит отдельно случай 5 + 3, поскольку требование выучить этот случай поступает от учителя через 16 уроков после требования заучить первый, и при этом в промежутке заучивалась таблица вида □ + 4, □ - 4. Иными словами, отсрочка в образовании ассоциативной связи, ориентированной на взаимосвязь этих случаев, оказалась для ребенка слишком большой, что помешало образованию такой связи. Поэтому каждый случай из фактически взаимосвязанной пары учится ребенком наизусть отдельно.

При составлении таблицы умножения числа 5 в 3 классе, только первое произведение получают путем сложения одинаковых слагаемых: 5-5 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 25. Остальные случаи получают приемом прибавления пяти к предыдущему результату:

5-6 = 5- 5 + 5 = 30 5-7 = 5-6 + 5 = 35 5-8 = 5-7 + 5 = 40 5-9 = 5- 8 + 5 = 45

Одновременно с этой таблицей составляется и взаимосвязанная с ней таблица умножения на 5: 6 5; 7 5; 8 5; 9 5.

Таблица умножения числа 6 содержит четыре случая: 6 6; 6 7; 6-8; 6-9.

Таблица умножения на 6 содержит три случая: 7 6; 8 6; 9 6.

Таблица умножения числа 7 содержит три случая: 7 7; 7 8; 7 9.

Таблица умножения на 7 содержит два случая: 8 7; 9 7.

Таблица умножения числа 8 содержит два случая: 8 8; 8 9.

Таблица умножения на 8 содержит один случай: 9 8.

Таблица умножения числа 9 содержит, только один случай: 9 9.

Теоретический подход к подобному построению системы изучения табличного умножения предполагает, что именно в таком соответствии ребенок и будет запоминать случаи табличного умножения.

Наибольшее количество случаев содержит наиболее легкая для запоминания таблица умножения числа 2, а наиболее трудная для запоминания таблица умножения числа 9 содержит всего один случай. Реально, рассматривая каждую новую «порцию» таблицы умножения, учитель обычно восстанавливает весь объем каждой таблицы (все случаи). Даже при условии, что учитель обращает внимание детей на то, что новым случаем на данном уроке является, например, только случай 9 9 , а 9 8 , 9 7 и т. п. изучались на предыдущих уроках, большая часть детей воспринимает весь предложенный объем как материал для нового заучивания. Таким образом, фактически, для многих детей таблица умножения числа 9 является самой большой и сложной (а это действительно так, если иметь в виду перечень всех случаев, который к ней относится).

Большой объем материала, требующего заучивания наизусть, сложность в образовании ассоциативных связей при запоминании взаимосвязанных случаев, необходимость достижения всеми детьми прочного запоминания всех табличных случаев наизусть в установленные программой сроки - все это делает тему изучения табличного умножения в начальных классах одной из наиболее методически сложных. В связи с этим важными являются вопросы, связанные с приемами запоминания ребенком таблицы умножения.

КОНСПЕКТ

ОТКРЫТОГО УРОКА.

МАТЕМАТИКА

3 КЛАСС

ТЕМА: Сложение многозначных чисел.

Учитель: Кулагина Ольга Николаевна

МАТЕМАТИКА – 3 класс

Тема: Сложение многозначных чисел.

Цель урока: Сформировать способность к сложению многозначных чисел.

Обучение сопоставлению, сравниванию.

Развитие внимательности, наблюдательности и творческого мышления.

Развитие памяти учащихся.

Воспитание в детях интереса к познавательной деятельности и учению.

Оборудование: карточки для устного счета, карточки с цифрами, дидактические карточки уровней дифференциации с примерами на сложение многозначных чисел.

Доска: числа для определения разрядов и классов чисел; таблица из цифр для игры «Найди пару», ряд чисел для продолжения логического ряда, пример на сложение многозначных чисел, рисунки лиц для рефлексии.

Ход урока

1. Организационный момент.

II. Работа с карточками:

Ребята, давайте настроимся на урок математики и на карточках запишем только разряды и классы подчеркнутых цифр в многозначных числах.

57 8 3 (дес.) 2382349 5 (ед.)

8 7 623 (ед. тыс.) 4 67344105 (сот. млн)

7 83423 (сот. тыс.) 5 7 3400805 (дес. млн)

10257 9 (ед.) 700003 4 87 (сот.)

1 243800 (ед. млн) 483 4 4907 (дес. тыс.)

III. Актуализация знаний:

Игра «Найди пару»:

На доске закрыты пары цифр от 0 до 9. Вспомним, что такое пара?

Вам надо назвать мне строку и столбец, т.е. координату, какой-нибудь цифры. Я буду их открывать, а вы должны запомнить, где они расположены, а потом назвать расположение пары этой цифры.

Вспомним, что такое строка, как она расположена? (горизонтально)

Что такое столбец, как он расположен? (вертикально)

2 5 3 0 0

6 4 9 1 2

4 1 8 5 7

7 3 6 9 8

Прочитайте те числа, которые получились у нас в каждой строке.

Найдите лишнее число и объясните, почему вы считаете, что оно лишнее.

(Дети высказывают свои предположения.)

Работа в тетрадях:

Молодцы! В тетрадях запишите число и классная работа. Какое сегодня число?

На доске написана строка чисел.

09 91 09 92 09 93 09 94 09 95

Посмотрите внимательно и подумайте, какая закономерность содержится в данной строке и продолжите ее.

Теперь, те числа, которые мы получили при открытии таблицы, запишите в виде суммы разрядных слагаемых.

IV. Постановка проблемы:

Какой большой раздел мы с вами изучаем?

(Многозначные числа).

Что мы с вами умеем с ними делать?

Как вы думаете, что мы можем еще делать с такими числами?

(производить вычисления: складывать, вычитать, умножать, делить).

Давайте попробуем сложить эти числа.

Как вы думаете, как мы это будем делать?

(Предположения детей).

Какую тему урока мы с вами запишем?

(Сложение многозначных чисел).

Чему мы должны научиться?

(Складывать многозначные числа).

Итак, цель нашего урока – научиться складывать многозначные числа.

V. «Открытие» нового знания.

Сейчас мы с вами немного передохнем. Встанем и сделаем упражнения на дыхание. При вдохе мы поднимаем руки, ладошками вперед. Я называю какое-нибудь число, а вы при выдохе рисуете в воздухе это число и опускаете руки.

Будьте внимательны и обращайте внимание на те числа, которые я вам называю. (2; 4; 7; 1).

Какое число у нас получилось?

(2471)

Получившееся многозначное число мы попробуем сложить.

Посмотрите на доску, на ней записан пример:

2471

5428

7899

Кто хотел бы мне помочь решить этот пример у доски?

(Дети решают пример у доски с проговариванием и записывают его решение в тетрадях).

V. Закрепление материала.

Давайте поработаем с учебником, решим два примера в учебнике из № 4, стр.68.

VI. Самостоятельная работа.

У вас на столе карточки с примерами на сложение, попробуйте решить этот пример самостоятельно.

3835 4928 5975

2024 2253 7348

5859 7181 13323

Работать мы будем парами. Один из вас расскажет другому, как он будет решать этот пример. А затем поменяйтесь местами.

(Дети решают примеры).

VII. Включение в систему знаний.

Давайте попробуем применить наши знания и решить задачу:

В первом поселке живет 4570 человек, во втором 3635 человек. Сколько человек живет в двух поселках?

VIII. Задание на дом.

№ 6, стр. 69, (два примера на сложение, на выбор).

IX. Итог урока.

Какая сегодня у нас была тема урока? (Сложение многозначных чисел.)

Чему мы научились? (Как складывать многозначные числа.)

Как сложить многозначные числа? (Так же как и трехзначные числа, только в многозначных числах больше разрядов.)

Давайте оценим свою работу на уроке. На доске изображены три человечка с разной мимикой.

Кому было на уроке все понятно, со всеми заданиями справлялись уверенно, нарисуйте на полях веселого человечка.

Если вы затруднялись при выполнении заданий, чувствовали себя неуверенно, нарисуйте второго человечка.

Кому на уроке было очень трудно, с заданием не справились, нарисуйте грустного человечка.