Очень кратко интегральное и дифференциальное исчислению. Дифференциальное исчисление. Пример использования в экономике

Взаимодействие неподвижных (в данной инерциальной системе отсчёта) зарядов называется электростатическим. Оно наиболее просто для изучения.

Раздел электродинамики, в котором изучается взаимодействие неподвижных зарядов, называется электростатикой. Основной закон электростатики это закон Кулона.

По внешнему виду закон Кулона удивительно похож на закон всемирного тяготения, который устанавливает характер гравитационного взаимодействия точечных масс. Закон Кулона является законом электростатического взаимодействия точечных зарядов.

Точечный заряд это заряженное тело, размеры которого много меньше других размеров, характерных для данной задачи. В частности, размеры точечных зарядов пренебрежимо малы по сравнению с расстояниями между ними.

Точечный заряд такая же идеализация, как материальная точка, точечная масса и т. д. В случае точечных зарядов мы можем однозначно говорить о расстоянии между ними, не задумываясь о том, между какими именно точками заряженных тел это расстояние измеряется.

Закон Кулона. Сила взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов в вакууме прямо пропорциональна произведению абсолютных величин зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Эта сила называется кулоновской. Вектор кулоновской силы всегда лежит на прямой, соединяющей заряды. Для кулоновской силы справедлив третий закон Ньютона: заряды действуют друг на друга с силами, равными по модулю и противоположными по направлению.

						С которыми взаимодействуют два
В качестве примера на рис. 3.6 показаны силы F1				и F2
отрицательных заряда.

Рис. 3.6. Кулоновская сила

Если заряды, равные по модулю q1 и q2 , находятся на расстоянии r друг от друга, то они взаимодействуют с силой

		q1 q2

Коэффициент пропорциональности k в системе СИ равен:

k = 9 109 Н м 2 :

Кл2

Если сравнивать с законом всемирного тяготения, то роль точечных масс в законе Кулона играют точечные заряды, а вместо гравитационной постоянной G стоит коэффициент k. Математически формулы этих законов устроены одинаково. Важное физическое отличие заключается в том, что гравитационное взаимодействие всегда является притяжением, а взаимодействие зарядов может быть как притяжением, так и отталкиванием.

Так уж вышло, что наряду с константой k имеется ещё одна фундаментальная константа "0 , связанная с k соотношением

k = 4 1 " 0 :

Константа "0 называется электрической постоянной. Она равна:

Закон Кулона с электрической постоянной выглядит так:

		q1 q2
	4 "0

3.2.1 Принцип суперпозиции

Опыт показывает, что выполнен так называемый принцип суперпозиции. Он состоит из двух утверждений.

1. Кулоновская сила взаимодействия двух зарядов не зависит от присутствия других заряженных тел.

2. Предположим, что заряд q взаимодействует с системой зарядов q 1 , q2 , . . . , qn . Если каж-

Принцип суперпозиции проиллюстрирован на рис. 3.7 . Здесь положительный заряд q взаимодействует с двумя зарядами: положительным зарядом q1 и отрицательным зарядом q2 .

Рис. 3.7. Принцип суперпозиции

Принцип суперпозиции позволяет прийти к одному важному утверждению.

Вы помните, что закон всемирного тяготения справедлив на самом деле не только для точечных масс, но и для шаров со сферически-симметричным распределением массы (в частности, для шара и точечной массы); тогда r расстояние между центрами шаров (от точечной массы до центра шара). Этот факт вытекает из математической формы закона всемирного тяготения и принципа суперпозиции.

Поскольку формула закона Кулона имеет ту же структуру, что и закон всемирного тяготения, и для кулоновской силы также выполнен принцип суперпозиции, мы можем сделать аналогичный вывод: по закону Кулона будут взаимодействовать два заряженных шара (точечный заряд с шаром) при условии, что шары имеют сферически-симметричное распределение заряда; величина r в таком случае будет расстоянием между центрами шаров (от точечного заряда до шара).

Значимость данного факта мы увидим совсем скоро; в частности, именно поэтому напряжённость поля заряженного шара окажется вне шара такой же, как и у точечного заряда.

Но в электростатике, в отличие от гравитации, с этим фактом надо быть осторожным. Например, при сближении положительно заряженных металлических шаров сферическая симметрия нарушится: положительные заряды, взаимно отталкиваясь, будут стремиться к наиболее

удалённым друг от друга участкам шаров (центры положительных зарядов будут находиться дальше друг от друга, чем центры шаров). Поэтому сила отталкивания шаров в данном случае будет меньше того значения, которое получится из закона Кулона при подстановке вместо r расстояния между центрами.

3.2.2 Закон Кулона в диэлектрике

Отличие электростатического взаимодействия от гравитационного состоит не только в наличии сил отталкивания. Сила взаимодействия зарядов зависит от среды, в которой заряды находятся (а сила всемирного тяготения от свойств среды не зависит).

Диэлектриками, или изоляторами называются вещества, которые не проводят электрический ток.

Оказывается, что диэлектрик уменьшает силу взаимодействия зарядов (по сравнению с вакуумом). Более того, на каком бы расстоянии друг от друга заряды ни находились, сила их взаимодействия в данном однородном диэлектрике всегда будет в одно и то же число раз меньше, чем на таком же расстоянии в вакууме. Это число обозначается " и называется диэлектрической проницаемостью диэлектрика. Диэлектрическая проницаемость зависит только от вещества диэлектрика, но не от его формы или размеров. Она является безразмерной величиной и может быть найдена из таблиц.

Таким образом, в диэлектрике формулы (3.1 ) и (3.2 ) приобретают вид:

		q1 q2		1 q1 q2
				4 "0 "r2

Диэлектрическая проницаемость вакуума, как видим, равна единице. Во всех остальных случаях диэлектрическая проницаемость больше единицы. Диэлектрическая проницаемость воздуха настолько близка к единице, что при расчёте сил взаимодействия зарядов в воздухе пользуются формулами (3.1 ) и (3.2 ) для вакуума.

20 страниц (Word-файл)

Посмотреть все страницы

Урок №1

Закон Кулона. Принцип суперпозиции. Теорема Гаусса.

Одно из фундаментальных взаимодействий – взаимодействие между электрическими зарядами.

Свойства электрического заряда:

1. Существует в двух видах: положительный и отрицательный.

2. В электрически изолированной системе суммарный заряд сохраняется.

3. Величина заряда инвариантна по отношению к инерциальным системам отсчета.

4. Величина заряда диэлектрика: q = N . e , N – целое число, e = - 1.6 . 10 -19 Кл.

Закон Кулона.

Два точечных покоящихся заряда в вакууме взаимодействуют с силой , где r – расстояние между зарядами.

Сила направлена по прямой, соединяющей заряды, и является силой отталкивания, если заряды одноименные, и силой притяжения, если заряды разного знака.

– в системе СИ

– электрическая постоянная

Законом Кулона можно воспользоваться и в том случае, если один из зарядов или оба заряда не являются точечными, но их распределение обладает сферической симметрией. В этом случае r – расстояние между центрами зарядов.

Взаимодействие между зарядами осуществляется через поле, которое создается зарядом в окружающем пространстве.

– напряженность поля, создаваемого зарядом q 1 в точке, определяемой радиус-вектором

Отвлекаясь от индексов 1 и 2, .

Таким образом, напряженность поля в некоторой точке – это сила, действующая на единичный положительный заряд, помещенный в данную точку поля.

Принцип суперпозиции: напряженность электрического поля в данной точке определяется векторной суммой напряженностей полей, создаваемых отдельными зарядами в этой точке.

Если заряды распределены непрерывно, то

, где dq = t . dl , t – линейная плотность заряда, или

dq = s . dl , s – поверхностная плотность заряда, или

dq = r . dV , r – объемная плотность заряда.

Силу, действующую на произвольный заряд q, помещенный в точку поля, где напряженность Е , можно найти по формуле:

Силовыми линиями электрического поля называются воображаемые кривые, в каждой точке которых вектор Е направлен к ним по касательной. Величину поля Е договоримся определять густотой силовых линий, т.е. количеством силовых линий, пересекающих единичную площадку к ним перпендикулярную.

Потоком вектора Е через площадку dS называется:

Вектором площадки называется

где n – единичный вектор нормали к данной площадке. Если площадка замкнутая, то в качестве положительной нормали всегда выбирается внешняя.

Поток вектора Е через произвольную площадку S определяется:

Оказывается, что поток вектора Е через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью, деленной на e 0 :

Данное утверждение называют теоремой Гаусса.

Теорема Гаусса в дифференциальном виде:

r – объемная плотность электрического заряда в той точке, где ищется .

Примеры решения задач

Задача №1

Тонкое полукольцо радиусом 10 см равномерно заряжено с линейной плотностью заряда 1 мкКл/м. В центре кривизны полукольца находится точечный заряд 20 нКл. Найти силу взаимодействия точечного заряда и полукольца.

Решение

Поскольку заряженное полукольцо не является точечным зарядом, то его следует мысленно разбить на элементарные заряды dq = t . dl , где элемент дуги .

Сила взаимодействия dF между точечным зарядом q и элементарным зарядом кольца dq найдется по закону Кулона:

Результирующая сила F найдется векторной суммой всех d F , действующих на заряд q:

Из симметрии задачи можно понять, что результирующая сила F направлена вертикально вниз. Выберем в этом направлении ось y , тогда для величины силы F :

Задача №2

По тонкому кольцу радиуса 10 см равномерно распределен заряд 2 мкКл. Найти максимальную силу, действующую на точечный заряд 1 мкКл, находящийся на оси кольца.

Решение

Рассчитаем силу, действующую на заряд q 2 , по формуле

Где E – напряженность поля, создаваемого кольцом.

Вычислим по принципу суперпозиции. Мысленно разобьем кольцо на элементарные заряды dq , которые создают на оси кольца поле

Из симметрии задачи следует, что результирующий вектор E будет направлен по оси х, поэтому

1. Согласно современным представлениям, электрическое взаимодействие между телами осуществляется посредством электромагнитных полей. Свойство тела создавать в окружающем пространстве электромагнитное поле количественно характеризуется скалярной физической величиной называемой электрический заряд . Свойство силового поля одного заряженного тела действовать на другие заряженные тела характеризуется векторной физической величиной называемойнапряженность электрического поля . Основными законами, позволяющими описать электрическое взаимодействие неподвижных заряженных тел, являются закон Кулона и принцип суперпозиции. Для описания действия электрических сил вводят понятия точечного и пробного зарядов.

Точечными зарядами называются заряженные тела, размеры которых малы по сравнению с расстояниями между телами (т.е. в области пространства, занимаемого такими заряженными телами электрическое поле однородно).

Пробными зарядами называются заряженные тела, внесение которых в электрические поля других тел не приводит к их искажению (т.е. величина заряда настолько мала, что не приводит к смещению зарядов на окружающих телах).

2. Закон Кулона определяет силы взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов и, расположенных на расстоянииr 12 друг от друга

.

Здесь - сила, действующая на первый заряд со стороны второго,- сила, действующая на второй заряд со стороны первого (эти силы удовлетворяют третьему закону Ньютона, т.е. являются силами действия и противодействия). Величины сил пропорциональны величинам зарядови и обратно пропорциональны- квадрату расстояния между ними. Силы всегда направлены вдоль прямой, соединяющей эти заряды. Они являются силами притяжения, если знаки зарядов противоположны и силами отталкивания, если знаки зарядов одинаковы (см. рис.1). Свойства сил взаимодействия точечных зарядов отражает векторная форма закона Кулона:

В системе СИ коэффициент к в законе Кулона с учетом единицы заряда принято представлять в виде:

Нм 2 /Кл 2

где -электрическая постоянная.

Упражнение 1 .

Покажите, как можно количественно сравнить электрические заряды двух тел.

Пусть q 1 и q 2 величины зарядов электрических тел, которые необходимо сравнить. Возьмем третье заряженное тело, заряд которого обозначим Q . И в точке на расстоянии r от него, которое велико по сравнению с размерами всех трех тел, поместим последовательно тела, заряды которых мы сравниваем. Измеряя силыи, с которыми сравниваемые заряды будут взаимодействовать последовательно с зарядом Q , на основании закона Кулона утверждаем, что ибудут иметь либо одинаковые, либо противоположные направления, а отношение их величин
не зависит ни от расположения заряда Q ни от его величины. Поэтому отношение F 1 / F 2 служит мерой самих пробных зарядов, причем, если направления силисовпадают, алгебраические знаки зарядов совпадают.

3. Исследования взаимодействия заряженных тел выявили следующие фундаментальные свойства зарядов :

Электрический заряд существует в двух формах - он может быть положительным или отрицательным.

Электрический заряд подчиняется закону сохранения: полный электрический заряд системы тел остается неизменным, если заряженные тела не пересекают поверхность, ограничивающую эту систему. При этом неизменным остается только полный заряд, а не положительный и отрицательный в отдельности. Например, при рождении пары электрон – позитрон в системе возникают заряды, но полный заряд сохраняется.

Электрический заряд – величина релятивистки инвариантная: величина заряда любого тела не зависит от того, как это тело движется.

В природе существует минимальный по величине заряд. Его называют элементарным и обозначают e . Любой электрический заряд кратен элементарному заряду

(
)

То, что является естественной единицей измерения заряда, по историческим причинам не было использовано, и в системе СИ за единицу заряда была выбрана величина, равная 6,2418
и получившая название кулон. Поэтому для величины элементарного заряда получим:

Кл

Упражнение 2.

Найдите силу, с которой точечный заряд Q будет действовать на точечный заряд, если на точечный заряд, помещенный в ту же точку пространства он действует с силой.

Построив вектор из точки нахождения зарядав точку помещения заряда q 2 , запишем выражение для силы на основе закона Кулона
. Аналогично для заряда, помещенного в ту же самую точку,
и, сравнивая выражения для этих сил, получим
.

4. Векторная физическая величина, модуль которой численно равен силе, действующей на единичный положительный неподвижный пробный заряд, помещенный в некоторой точке наблюдения, а направление совпадает с направлением этой силы, называется напряженностью электрического поля в рассматриваемой точке и обозначается вектором,

Силу, действующую на любой точечный заряд q , покоящийся в поле, представим в векторном виде:

Упражнение 3:

Найдите напряженность электрического поля точечного заряда Q .

Решение:

Поместим вблизи заряда Q точечный заряд q , в положение, задаваемое вектором относительно заряда Q , как показано на рис.2. Силу, действующую на заряд q , запишем в векторной форме как:
.

Напряженность электрического поля точечного заряда в рассматриваемой точке равна
, откуда:

5. Сила, действующая на заряд q со стороны нескольких зарядов
равна векторной сумме сил:

или на языке напряженностей:
,

где -полеi -го заряда в точке нахождения зарядаq . Этот закон, называемыйпринципом суперпозиции , фактически утверждает, что сила взаимодействия двух точечных зарядов не зависит от наличия в их окрестности других заряженных тел.

6. Часто распределение зарядов на телах описывается непрерывным распределением электричества. Распределение электричества по объему пространства задается пространственной плотностью заряда
, по поверхности -поверхностной плотностью заряда
, вдоль линии –линейной плотностью заряда
:

dq = ρ dV , dq = σ dS , dq = λ dl .

7. Для графического изображения векторных полей используют силовые линии (линии напряженности) поля, которые проводятся по следующим правилам: касательная к силовой линии направлена вдоль векторав каждой точке; густота силовых линий пропорциональна напряженности в данной области пространства. Силовые линии начинаются и заканчиваются на зарядах, а в пустом пространстве непрерывны. Число линий начинающихся и заканчивающихся на зарядах пропорционально их абсолютной величине.

Вопросы

1.1 Три заряда расположены в вершинах равнобедренного прямоугольного треугольника. В вершинах острых углов находятся заряды +q ,
, а в вершине прямого угла заряд +2 q (см. рис.3). Определить какой из представленных на рисунке векторов совпадает с направлением напряженности поля в середине гипотенузы.

Ответ:

Напряженности полей, создаваемые зарядами q , равны по величине и направлены в сторону отрицательного заряда. Если обозначить длину гипотенузы2 a , то каждая из этих напряженностей равна
и их сумма составляет
. Это же значение имеет и поле заряда +2 q , направленное вдоль луча проведенного из прямого угла в середину гипотенузы. Напряженность результирующего поля направлена параллельно катету в направлении 3.

1.2 Дана система N точечных зарядов. Какой физический смысл имеют выражения:

а)

б)

Ответ:

а) Вынесем q N из под знака суммирования
, тогда каждое слагаемое под знаком суммы представляет вектор напряженностиk -го заряда в точке нахожденияN -го. А вся сумма – результирующее поле (N -1 ) зарядов в этой точке{ N -1} . Выражение а) представится какq N { N -1} , т.е.равно силе, действующей на зарядq N со стороны остальных зарядов системы.

б) Каждое слагаемое суммы
представляет силу, действующую наi -ый

заряд со стороны k -го. Вся сумма б) равна результирующей силе действующей на всю систему зарядов и равна нулю, т.к. каждая пара зарядов взаимодействует друг с другом с силами, результирующая которых равна нулю.

1.3 В первоначально незаряженной системе в пространственно разделенных точках возникла пара зарядов q (см.рис.4). Выполняется ли при этом закон сохранения заряда:

а) если заряды возникли одновременно?

б) если заряды возникли в последовательные моменты времени?

Ответ:

а) Закон сохранения зарядов не выполняется, т.к. в малых областях, окружающих каждый заряд, произошло изменение заряда без переноса электричества через поверхность, ограничивающие эти области.

б) Закон сохранения заряда не выполняется, т.к. в период между возникновениями зарядов полный заряд замкнутой системы изменился без переноса электричества через поверхность, ограничивающую систему.

В полной мере новое исчисление как систему создал Ньютон , который, однако, долгое время не публиковал свои открытия.

Официальной датой рождения дифференциального исчисления можно считать май , когда Лейбниц опубликовал первую статью «Новый метод максимумов и минимумов…» . Эта статья в сжатой и малодоступной форме излагала принципы нового метода, названного дифференциальным исчислением.

Лейбниц и его ученики

Эти определения поясняются геометрически, при этом на рис. бесконечно малые приращения изображены конечными. Рассмотрение опирается на два требования (аксиомы). Первое:

Требуется, чтобы две величины, отличающиеся друг от друга лишь на бесконечно малую величину, можно было брать [при упрощении выражений?] безразлично одну вместо другой.

Отсюда получается x + d x = x , далее

d x y = (x + d x )(y + d y ) − x y = x d y + y d x + d x d y = (x + d x )d y + y d x = x d y + y d x

Продолжение каждой такой линии называется касательной к кривой. Исследуя касательную, проходящую через точку M = (x ,y ) , Лопиталь придает большое значение величине

,

достигающее экстремальных значений в точках перегиба кривой, отношению же d y к d x не придается никакого особого значения.

Примечательно нахождение точек экстремума . Если при непрерывном увеличении диаметра x ордината y сначала возрастает, а затем убывает, то дифференциал d y сначала положителен по сравнению с d x , а потом отрицателен.

Но всякая непрерывно возрастающая или убывающая величина не может превратиться из положительной в отрицательную, не проходя через бесконечность или нуль… Отсюда следует, что дифференциал наибольшей и наименьшей величины должен равняться нулю или бесконечности.

Вероятно, эта формулировка не безупречна, если вспомнить о первом требовании: пусть, скажем, y = x 2 , тогда в силу первого требования

2x d x + d x 2 = 2x d x ;

в нуле правая часть равна нулю, а левая нет. Видимо следовало сказать, что d y можно преобразовать в соотетствии с первым требованием так, чтобы в точке максимума d y = 0 . . В примерах все само собой понятно, и лишь в теории точек перегиба Лопиталь пишет, что d y равен нулю в точке максимума, будучи разделен на d x .

Далее, при помощи одних дифференциалов формулируются условия экстремума и рассмотрено большое число сложных задач, относящихся в основном к дифференциальной геометрии на плоскости. В конце книги, в гл. 10, изложено то, что теперь называют правилом Лопиталя , хотя и в не совем обычной форме. Пусть величина ординаты y кривой выражена дробью, числитель и знаменатель которой обращаются в нуль при x = a . Тогда точка кривой с x = a имеет ординату y , равную отношению дифференциала числителя к дифференциалу знаменателя, взятому при x = a .

По замыслу Лопиталя написанное им составляло первую часть Анализа, вторая же должна была содержать интегральное исчисление, то есть способ отыскания связи переменных по известной связи их дифференциалов. Первое его изложение дано Иоганном Бернулли в его Математических лекциях о методе интеграла . Здесь дан способ взятия большинства элементарных интегралов и указаны методы решения многих дифференциальных уравнений первого порядка.

Эйлер

Перемены, произошедшие за последующие полвека, отражены в обширном трактате Эйлера . Изложение анализа открывает двухтомное «Введение», где собраны изыскания о различных представлениях элементарных функций. Термин «функция» впервые появляется лишь в у Лейбница , однако на первые роли его выдвинул именно Эйлер. Изначальная трактовка понятия функции состояла в том, что функция - это выражение для счета (нем. Rechnungsausdrϋck ) или аналитическое выражение .

Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этой переменного количества и чисел или постоянных количеств.

Подчеркивая, что «основное различие функций лежит в способе составления их из переменного и постоянных», Эйлер перечисляет действия, «посредством которых количества могут друг с другом сочетаться и перемешиваться; действиями этими являются: сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корней; сюда же следует отнести также решение [алгебраических] уравнений. Кроме этих действий, называемых алгебраическими, существует много других, трансцендентных, как-то: показательные, логарифмические и бесчисленные другие, доставляемые интегральным исчислением». Такая трактовка позволяла без труда обращаться с многозначными функциями и не требовала пояснения, над каким полем рассматривается функция: выражение для счета определено для комплексных значений переменных даже тогда, когда для рассматриваемой задачи это не нужно.

Операции в выражении допускались лишь в конечном числе, а трансцендентное проникало при помощи бесконечно большого числа . В выражениях это число используется наряду с натуральными числами. Напр., считается допустимым такое выражение для экспоненты

,

в котором лишь поздние авторы видели предельный переход. С аналитическими выражениями производились разнообразные преобразования, позволившие Эйлеру найти представления для элементарных функций в виде рядов, бесконечных произведений и т. д. Эйлер преобразует выражения для счета так, как это делают в алгебре, не обращая внимания на возможность вычислить значение функции в точке по каждой из написанных формул.

В отличие от Лопиталя Эйлер подробно рассматривает трансцендентые функции и в особенности два наиболее изученные их классы - показательные и тригонометрические. Он обнаруживает, что все элементарные функции могут быть выражены при помощи арифметических действий и двух операций - взятия логарифма и экспоненты .

Сам ход доказательства прекрасно демонстрирует технику использования бесконечно большого. Определив синус и косинус при помощи тригонометрического круга, Эйлер выводит из формул сложения следующее:

Полагая и z = n x , он получает

,

отбрасывая бесконечно малые величины большего порядка. Используя это и аналогичное выражение, Эйлер получает и свою знаменитую формулу

.

Указав различные выражения для функций, которые теперь называют элементарными, Эйлер переходит к рассмотрению кривых на плоскости, начертанным свободным движением руки. По его мнению, не для всякой такой кривой можно отыскать единое аналитическое выражение (см. также Спор о струне). В XIX веке с подачи Казорати это утверждение считалось ошибочным: по теореме Вейерштрасса всякая непрерывная в современном смысле кривая может быть приближенно описана полиномами. На самом деле Эйлера это едва ли убедило, ведь нужно еще переписать предельный переход при помощи символа .

Изложение дифференциального исчисления Эйлер начинает с теории конечных разностей, за ним в третьей главе следует философское разъяснение о том, что «бесконечно малое количество есть точно нуль», более всего не устроившее современников Эйлера. Затем из конечных разностей при бесконечно малом приращении образуются дифференциалы, а из интерполяционной формулу Ньютона -формула Тейлора . Этот метод в существенном восходит к работам Тейлора (1715 г.). При этом у Эйлера появляется устойчивое отношение , которое, однако, рассматривается как отношение двух бесконечно малых. Последние главы посвящены приближенному вычислению при помощи рядов.

В трехтомном интегральном исчислении Эйлер трактует вводит понятие интеграла так:

Та функция, дифференциал которой = X d x , называется его интегралом и обозначается знаком S , поставленным спереди.

В целом же эта часть трактата Эйлера посвящена более общей с современной точки зрения задаче об интегрировании дифференциальных уравнений. При этом Эйлер находит ряд интегралов и дифференциальных уравнений, которые приводят к новым функциям, напр., Γ -функции, эллиптические функции и т. д. Строгое доказательство их неэлементарности было дано в 1830-х годах Якоби для эллиптических функций и Лиувиллем (см. элементарные функции).

Лагранж

Следующим крупным произведением, сыгравшим значительную роль в развитии концепции анализа, явилась Теория аналитических функций Лагранжа и обширный пересказ работ Лагранжа, выполненный Лакруа в несколько эклектической манере.

Желая избавиться от бесконечно малого вовсе, Лагранж обратил связь между производными и рядом Тейлора. Под аналитической функцией Лагранж понимал произвольную функцию, исследуемую методами анализа. Саму функцию он обозначил как f (x ) , дав графический способ записи зависимости - ранее же Эйлер обходился одними переменными. Для применения методов анализа по мнению Лагранжа необходимо, чтобы функция разлагалась в ряд

,

коэффициенты которого будут новыми функциями x . Остается назвать p производной (дифференциальным коэффициентом) и обозначить его как f "(x ) . Таким образом, понятие производной вводится на второй странице трактата и без помощи бесконечно малых. Остается заметить, что

,

поэтому коэффициент q является удвоенной производной производной f (x ) , то есть

и т. д.

Такой подход к трактовке понятия производной используется в современной алгебре и послужил основой для создания теории аналитических функций Вейерштрасса .

Лагранж оперировал такими рядами как формальными и получил ряд замечательных теорем. В частности, впервые и вполне строго доказал разрешимость начальной задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений в формальных степенных рядах.

Вопрос об оценке точности приближений, доставляемых частными суммами ряда Тейлора, впервые был поставлен именно Лагранжем: в конце Теории аналитических функций он вывел то, что теперь называют формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Однако, в противоположность современным авторам, Лагранж не видел нужды в употреблении этого результата для обоснования сходимости ряда Тейлора.

Вопрос о том, действительно ли функции, употребимые в анализе, могут быть разложены в степенной ряд, в последствие стал предметом дискуссии. Конечно, Лагранжу было известно, что в некоторых точках элементарные функции могут не разлагаться в степенной ряд, однако в этих точка они и недифференцируемы ни в каком смысле. Коши в своём Алгебраическом анализе привел в качестве контрпримера функцию

доопределённую нулем в нуле. Эта функция всюду гладкая на вещественной оси и в нуле имеет нулевой ряд Маклорена, который, следовательно, не сходится к значению f (x ) . Против этого примера Пуассон возразил, что Лагранж определял функцию как единое аналитическое выражение, в примере Коши же функция задана по разному в нуле, и при . Лишь в конце XIX века Прингсхейм доказал, что существует бесконечно дифференцируемая функция, заданная единым выражением, ряд Маклорена для которой расходится. Пример такой функцией доставляет выражение

.

Дальнейшее развитие

Библиография

Учебная литература

Стандартные учебники

На протяжении многих лет в России популярны следующие учебники:

• Кудрявцев, Л.Д. , Курс математического анализа (в трех томах).

Т. 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной. Т. 2. Ряды. Дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных. Т. 3. Гармонический анализ. Элементы функционального анализа. Особое внимание в учебнике обращено на изложение качественных и аналитических методов, в нем нашли отражение и некоторые геометрические приложения анализа. Предназначается студентам университетов и физико-математических, и инженерно-физических специальностей втузов, а также студентам других специальностей для углубленной математической подготовки.

• Курант, Р. , (в двух томах). Главная методическая находка курса: сначала попросту излагаются основные идеи, а затем им даются строгие доказательства. Написан Курантом в его бытность профессором Геттингенского университета в 1920-х под влиянием идей Клейна , затем в 1930-х перенесен на американскую почву. Русский перевод 1934 г. и его переиздания дает текст по немецкому изданию, перевод 1960-х годов (т. н. 4-ое издание) представляет собой компиляцию из немецкой и американской версии учебника и в связи с этим весьма многословен.
• Фихтенгольц, Григорий Михайлович . Курс дифференциального и интегрального исчисления (в трёх томах) // Мат. анализ на EqWorld - очень хороший, но немного старомодный учебник.

и задачник

• Демидович, Б. П., Сборник задач и упражнений по математическому анализу // Мат. анализ на EqWorld

Имеется несколько изданий, претендующих на роль АнтиДемидовича:

• Ляшко И. И. и др. Справочное пособие по высшей математики . т. 1-5

Большинство ВУЗов имеют собственные руководства по анализу:

• МГУ , мехмат:

• Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по мат. анализу.
• Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. М.: Наука, 1981. 544 с.
• Зорич В. А. Математический анализ. Часть II. М.: Наука, 1984. 640 с.

• Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ (в двух частях)

• МГУ, физфак:

• Ильин В. А. , Позняк Э. Г. Основы математического анализа (в двух частях) // http://lib.homelinux.org .
• Бутузов В. Ф. и др. Мат. анализ в вопросах и задачах // http://lib.homelinux.org .

• МГТУ им Н. Э. Баумана:

• Математика в техническом университете Сборник учебных пособий в 21 томе.

• НГУ , мехмат:

• Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа. Часть I. Книга 1. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1999. 454 с ISBN 5-86134-066-8.
• Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа. Часть I. Книга 2. Интегральное исчисление функций одной переменной. Дифференциальное исчисление функций многих переменных. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1999. 512 с ISBN 5-86134-067-6.
• Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа. Часть II. Книга 1. Основы гладкого анализа в многомерных пространствах. Теория рядов. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2000. 440 с ISBN 5-86134-086-2.
• Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа. Часть II. Книга 2. Интегральное исчисление функций многих переменных. Интегральное исчисление на многообразиях. Внешние дифференциальные формы. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2001. 444 с ISBN 5-86134-089-7.
• Шведов И. А. Компактный курс математического анализа, : Часть 1. Функции одной переменной , Часть 2. Дифференциальное исчисление функций многих переменных .

• Физтех , Москва

• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа (в трёх томах)

Учебники повышенной сложности

Учебники:

• Рудин У. Основы математического анализа. М., 1976 - небольшая книга, написана очень чётко и сжато.

Задачники повышенной сложности:

• Г.Полиа, Г.Сеге, Задачи и теоремы из анализа. Часть 1 , Часть 2 , 1978. (Большая часть материала относится к ТФКП)
• Pascal, E. (Napoli). Esercizii, 1895; 2 ed., 1909 // Internet Archiv

Справочники

Классические произведения

• Лопиталь. Анализ бесконечно малых // Мат. анализ на EqWorld
• Bernulli, Johann. Die erste Integrelrechnunug. Leipzig-Berlin, 1914.
• Эйлер. Введение в анализ, Дифференицальное исчисление, Интегральное исчисление //Мат. анализ на EqWorld (Второй том Введения в анализ сохранен с ошибкой)
• Коши. Краткое изложение уроков по дифференциальному и интегральному исчислению //Мат. анализ на EqWorld
• Штурм. Курс анализа. Т.1,2 - Классический курс парижской политехнической школы 1830-х годов.
• Гурса Э. Курс мат. анализа. T. 1.1, 1.2 // Мат. анализ на EqWorld

Исторические книги

• Кестнер, Авраам Готтгельф . Geschichte der Mathematik . 4 тома, Геттинген, 1796-1800
• Кантор, Мориц . Vorlesungen über geschichte der mathematik Leipzig: B. G. Teubner, - . Bd. 1 , Bd. 2 , Bd. 3 , Bd. 4
• История математики под редакцией А. П. Юшкевича (в трёх томах):

• Маркушевич А. И. Очерки по истории теории аналитических функций. 1951
• Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. 1960
• Первый российский учебник по мат. анализу: М.Е. Ващенко-Захарченко, Алгебраический Анализ или Высшая Алгебра. 1887

Примечания

1. Ср., напр.,курс Cornell Un
2. Ньютон И. Математические работы . M, 1937.
3. Leibniz //Acta Eroditorum, 1684. L.M.S., т. V, c. 220-226. Рус. пер.: Успехи Мат. Наук, т. 3, в. 1 (23), с. 166-173.
4. Лопиталь. Анализ бесконечно малых . М.-Л.:ГТТИ, 1935. (Далее: Лопиталь) // Мат. анализ на EqWorld
5. Лопиталь, гл. 1, опр. 2.
6. Лопиталь, гл. 4, опр. 1.
7. Лопиталь, гл. 1, требование 1.
8. Лопиталь, гл. 1, требование 2.
9. Лопиталь, гл. 2, опр.
10. Лопиталь, § 46.
11. Лопиталь беспокоится о другом: d y для него длина отрезка и нужно пояснить, что значит ее отрицательность. Замечание, слеланное в § 8-10, можно даже понять так, что при убывании y с ростом x следует писать d x y = y d x − x d y , однако далее это не используется.
12. Лопиталь, § 46.
13. Bernulli, Johann. Die erste Integrelrechnunug. Leipzig-Berlin, 1914.

ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

для студентов дневного отделения

факультета математики

Часть 5

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

Печатается по решению кафедры математического анализа и РИСа РГПУ им. А.И. Герцена

Методическое пособие предназначено для студентов дневного отделения 1-3 курсов математического факультета РГПУ им. А.И. Герцена.

В соответствии с программой по математическому анализу пособие включает в себя 28 различных вариантов домашних индивидуальных контрольных работ по темам «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных», «Кратные интегралы и их приложения». Перед вариантами контрольных работ приведены некоторые теоретические сведения и разобраны примеры, решение которых сопровождается методическими указаниями к ним.

Материал пособия может быть использован для проведения практических занятий, контрольных и проверочных работ на естественнонаучных факультетах высших учебных заведений.

Старший преподаватель О.С. Корсакова,

кандидат ф.-м.н., ассистент К.Г. Межевич

Рецензент: зав.каф. матем. анализа РГПУ им. А.И. Герцена,

Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического анализа. М.: Просвещение, 1972, т.1,2.

Виленкин Н.Я. и др. Задачник по курсу математического анализа. - М.: Просвещение, 1971. Ч.1,2.

Кузнецов А.А. Сборник заданий по высшей математике. М.: Высшая школа, 1983.

Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. М.: Высшая школа, 1988. Т. 1,2.

Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Функции нескольких переменных. С.-Пб, 1994.

Поволоцкий А.И., Лихтарников Л.М. Метрические пространства. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Учебное пособие / ЛГПИ им. А.И. Герцена.-Л., 1985.

Поволоцкий А.И., Лихтарников Л.М. Интегральное исчисление функций нескольких переменных и дифференциальные уравнения. Учебное пособие / ЛГПИ им. А.И. Герцена.-Л., 1986.

Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. - М.: Наука, 1968. Т.1, 2.

Функции нескольких переменных

ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ГРАФИК ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Пусть и каждой точке
поставлено в соответствие число
. Тогда говорят, что на множествеD определена числовая функция нескольких переменных
.

Множество D называется областью определения функции, точка
-аргументом функции.

Будем далее рассматривать функцию двух переменных
. Отметим, что все сказанное ниже можно распространить и на функциюn переменных, где n >2 .

Множество всех точек
, для которых функция
, заданная аналитически, имеет смысл, называется естественнойобластью определения этой функции.

Например, областью определения функции
является открытый круг радиуса 2 с центром в начале координат, который задается неравенством
.

Графиком функции
, где
, называется множество. Оно задает некоторую поверхность в пространстве
.

Например, графиком функции
,
, является параболоид.

Пример 1. Найдем область определения функции
.

Функция определена в тех точках плоскости
, где
.

Это неравенство равносильно совокупности двух систем:

и
.

Первой системе неравенств удовлетворяют координаты всех точек, расположенных на параболе
или выше нее, и лежащих в полуплоскости
. Это множество заштриховано на рисунке 1. Второй системе удовлетворяют координаты точек, лежащих в множестве, заштрихованном на рис. 2. Следовательно, областью определения данной функции является объединение найденных множеств, т.е. множество, которое выделено штриховкой на рис. 3.

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3

Линией уровня функции
, называется множество точек
, удовлетворяющих уравнению
.

Аналогично определяются уровни (или поверхности уровня ) функции n переменных, если n >2.

Пример 2. Найдем линии уровня функции
.

Отметим, что функция определена на всей плоскости
.

Для построения линий уровня надо для любого
найти множество точек плоскости, координатыx , y которых удовлетворяют уравнению
. Следовательно, если
, то
, а если
, то
.

Очевидно, что с отрицательным быть не может (в этом случае говорят, что с -уровнем функции при c <0 является пустое множество).

Найдем линию уровня при с=0 :

.

Аналогично находятся линии уровня для различных с>0 .

На рис. 4 изображены линии уровня для с=0 , с=1 и с=2 .

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Множество (открытый круг радиуса
с центром в точке
) называется-окрестностью точки
. Через
будем обозначать проколотую окрестность точки
.

Точка
называетсяпредельной точкой множества
, если пересечение любой-окрестности точки
и множестваD содержит хотя бы одну точку, отличную от
, т.е. для

.

Заметим, что предельная точка может и не принадлежать множеству D .

Пусть функция
определена на множествеD и точка
- предельная точкаD .

Число А называется пределом функции
в точке
, если для любой-окрестности
точкиА (
) существует-окрестность
точки
такая, что для любой точки

значение функции
попадает в окрестность
.

Таким образом,

:



)

:

).

Пример 3. Докажем, что
.

Заметим, что данная функция определена на всей плоскости за исключением точки (0,0) .

Поскольку
, то для любого
существует
(а именно
) такое, что для всех точек
, удовлетворяющих условию
, справедливо неравенство
.

Функция
называетсянепрерывной в точке
, если
.

Функция называется непрерывной на множестве D , если она непрерывна в каждой точке множества D .

Пример 4. 1) Функция
непрерывна в точке (0,0), поскольку
(см. пример 3).

2) Функция
в точке (0,0) терпит разрыв, т.к.

.

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

Пусть функция
определена в некоторой окрестности точки
. Если существуют конечные пределы
и
, то они называютсячастными производными функции
в точке
по переменнымx и y соответственно и обозначаются
и
(или:
и
).

Для вычисления частной производной (или) пользуются известными формулами и правилами дифференцирования функции одной переменной, считая другую переменнуюy (или x ) постоянной величиной.

Пример 5. Найдем частные производные функции
.

Если считать y = const , то - степенная функция отx , поэтому
.

Если x = const , то - показательная функция отy , и, следовательно,
.

Функция
называетсядифференцируемой в точке
, если существуют числаА и В такие, что приращение

функцииf в точке
представимо в виде

где
при
.

Главная часть полного приращения
, линейная относительно
и
, т.е.
, называетсяполным дифференциалом функции
в точке
и обозначается
.

Таким образом,

.

Дифференциалом независимой переменной по определению считаем ее приращение, т.е.
,
.

Функция называется дифференцируемой на множестве D , если она дифференцируема в каждой точке множества D .

Теорема 1. Если функция
дифференцируема в точке
и

- ее дифференциал в этой точке, то в этой точке существуют частные производные функцииf , и, кроме того,

=А ,
=В .

Теорема 1 дает возможность вычислять дифференциал функции f по формуле

+
.

Согласно теореме 1, если функция дифференцируема в точке, то в этой точке существуют частные производные функции. Обратное не верно. Для дифференцируемости функции требуется выполнение более сильных условий, чем наличие частных производных в точке.

Теорема 2. Если частные производные
и
функцииf существуют в некоторой окрестности точки
и непрерывны в
, то функцияf дифференцируема в точке
.

Пример 6. Вычислим частные производные и дифференциал функции
в точке (1, 1/5).

,

,

,
;

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Теорема 3. Пусть функции
и
определены в некоторой окрестности точки
, а функция
определена в некоторой окрестности точки.

Если функция f дифференцируема в точке
, а в точке
существуют производные
, то в точке
существует производная сложной функции
, причем

,
.

Пример 7. Найдем частные производные сложной функции
, где,.

Пример 8. Найдем производную сложной функции
, где
,
. В этом примере функцииx и y зависят от одной переменной t , поэтому сложная функция
- функция одной переменной.

Пример 9. Пусть f (u ) - произвольная дифференцируемая функция. Докажем, что функция
удовлетворяет уравнению
. Положим
.

Следовательно,

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ

ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Пусть функция
в окрестности точки
имеет частную производную.

Частная производная функции по переменнойx называется частной производной второго порядка по переменной x и обозначается или
.

Частная производная по переменной y называется частной производной второго порядка по переменным x и y и обозначается или
.

Аналогично определяются частные производные второго порядка и(
и
) как частные производные функции.

Производные иназываютсясмешанными частными производными.

Теорема 4. Пусть функция
определена вместе со своими частными производными,,
,
в некоторой окрестности точки

и
непрерывны в этой точке. Тогда значения смешанных производных в этой точке равны, т.е.

=

.

Частные производные от производных второго порядка называются частными производными третьего порядка:
и т.д.

Частная производная (по любой из независимых переменных) от частной производной порядка m -1 называется частной производной порядка m .

Теорема 4 справедлива и для смешанных производных третьего, четвертого и более высоких порядков. Например, если функция
определена вместе со своими частными производными до порядка 3 включительно в некоторой окрестности точки
, причем смешанные производные
,
и
непрерывны в этой точке, то значения смешанных производных в этой точке равны:

=

=

.

Дифференциалом второго порядка функции двух переменных называется дифференциал от дифференциала первого порядка.

Если функция
дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки
(т.е. существуют непрерывные частные производные функцииf до второго порядка включительно в окрестности точки
), тогда

.

Пример 10. Найдем производные второго порядка дважды непрерывно дифференцируемой сложной функции
, где
,
.

,
.

=

=
,

=

=
,

аналогично вычисляем

.

ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ. ГРАДИЕНТ

Пусть l - единичный вектор в
с координатами
.

Производной функции
по направлению вектора l в точке
называется .

Производная по направлению обозначается

.

Градиентом функции f в точке
называется вектор, координатами которого являются частные производные функции в точке:

grad f
= (
,
) =
i +
j .

Легко показать, что производная по направлению l равна скалярному произведению вектора градиента и вектора l :

=

+

=
,

где  - угол между векторами grad f
иl .

Из последней формулы следует, что производная по направлению вектора grad f
имеет наибольшее значение среди производных по различным направлениям и равна модулю вектора градиента.

Пример 11. Найдем производную функции
в точкеМ (1, 0) в направлении вектора MN , где N (5, 3) .

Вектор MN имеет координаты (4, 3),
. Значит, единичный векторl имеет координаты (4/5, 3/5). Вычислим частные производные в точке М :
,
. Тогда
(1,0)=64/5 + 0 3/5 = 24/5.

Пример 12. Найдем производную функции
в точке (2,3) в направлении вектора градиента в этой точке.

Вычислим частные производные:

,
.

Производная в направлении вектора градиента в точке равна модулю вектора grad f . Следовательно,

КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ

Для дифференцируемой в точке
функции
верно следующее соотношение:

где
,
(это следует из определения дифференциала первого порядка). КоэффициентыА и В однозначно определяются:
=А ,
=В .

Уравнение

является уравнением плоскости, проходящей через точку
. Эта плоскость называетсякасательной плоскостью к графику функции
в точке
.

Таким образом, касательной плоскостью к графику функции
в точке является такая плоскость, что разность ее аппликаты и значения функции
в этой точке есть величина, бесконечно малая по сравнению с при   0 .

Уравнение нормали к графику функции
в точке
имеет вид

.

Если уравнение гладкой поверхности задано в неявном виде
, то уравнение касательной плоскости в точке
имеет вид

а уравнение нормали в этой точке:

.

Пример 13. Напишем уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
в точке (-2, 1, 4).

,
. Уравнение касательной плоскости имеет вид:или
.

Уравнение нормали: .

ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Точка
называется точкойлокального максимума (локального минимума ) функции
,
, если существует окрестность точки
, для всех точек которой выполнено неравенство

(
).

Точки локального максимума и локального минимума функции называются точками локального экстремума .

Например, точка (0,0) является точкой минимума функции
.

Теорема 5 (необходимое условие экстремума ). Если функция
имеет в точке
локальный экстремум и в этой точке существуют частные производныеf , то

=0 и
=0.

Точка
называетсястационарной точкой функции f , если
=0 и
=0.

Теорема 6 (достаточное условие экстремума ). Пусть функция
дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности стационарной точки
.

Обозначим =



- (

) 2 . Тогда

1) если > 0, то в точке
функцияf имеет локальный экстремум: максимум при

> 0 и минимум при

< 0;

2) если < 0, то в точке
функцияf не имеет экстремума;

3) если = 0, то в точке
функцияf может иметь локальный экстремум, а может и не иметь его (в этом случае требуются дополнительные исследования).

Пример 14. Исследуем на экстремум функцию

Отметим, что функция u определена и дифференцируема на всей плоскости.
,
. Приравнивая частные производные к нулю и решая полученную систему, находим стационарные точки функции: (2, 1), (1, 2), (-2, -1), (-1, -2).

=
=.

(2, 1) = 36∙(1 - 4) = -108 < 0, поэтому в точке (2, 1) экстремума нет.

(1, 2) = 36∙(4 - 1) = 108 > 0,
, следовательно, в точке (1, 2) функция имеет минимум, u (1,2) = -25.

(-2, -1) = 36∙(1 – 4) = -108 < 0, в точке (-2, -1) экстремума нет.

(-1, -2) = 36∙(4 - 1) = 108 > 0, , следовательно, в точке (-1, -2) функция имеет максимум, u (-1, -2) = 31.

НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ

Пусть функция
непрерывна на ограниченном замкнутом множествеD .

Напомним, что множество
называетсяограниченным , если существует такая окрестность U (0,0), что
U (0,0); множество
называетсязамкнутым , если оно содержит все свои предельные точки.

По теореме Вейерштрасса существуют такие точки
и
, что
является наибольшим значением функции на множествеD , а
- наименьшим ее значением на множествеD .

Функция, дифференцируемая в ограниченной области и непрерывная на ее границе, достигает своего наибольшего и наименьшего значений либо в стационарных точках, либо в граничных точках D .

Пример 15. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на множествеD , ограниченном прямыми
,
,
.

y (2, 1), (1, 2), (-2, -1), (-1, -2) - стационарные

точки функции u (см. пример 14), но (-2,-1),

(-1,-2) не принадлежат D .

u (2, 1) = -23, u (1, 2) = -25.

D Изучим поведение функции u на

x границе множества D .

Рис. 5
. Это функция одной переменной,

которая принимает наименьшее значение в точке
, а наибольшее значение в точке
:u (4,0) = -45, u (0,0)= 3;

2)
,
. На этом отрезке
. Для того чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке, вычислим ее значения в стационарных точках и на концах отрезка:
;
, но
, поэтому вычисляемu (0,0) = 3, u (0,
)= =
, u (0,4) = 7. Наибольшим является значение в точке (0,4), а наименьшим - в точке (0,
);

3)
,
. Здесь

.

Вычисляем значения функции в стационарных точках и на концах отрезка: ;;u (0,4)= 7, u (3/2, 5/2) = -20, u (5/2,3/2)= -18, u (4,0)= -45. На этом участке границы наибольшим является значение функции в точке (0,4), а наименьшим - в точке (4,0).

Из полученных в пунктах 1)-3) наименьших и наибольших значений функции на различных участках границы и из значений функции в стационарных точках выбираем самое большое и самое маленькое. Наибольшее значение: u (0,4)= 7, наименьшее значение: u (4,0)= -45.