Элементы теории случайных процессов и теории массового обслуживания. Теория случайных процессов

Теорией случайных процессов называется математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений в динамике их развития.

Теория случайных процессов (в другой терминологии - теория случайных функций) представляет собой сравнительно новый раздел теории вероятностей, особенно бурно развивающийся в последние десятилетия в связи со всерасширяющимся кругом его практических приложений.

При изучении явлений окружающего мира мы часто сталкиваемся с процессами, течение которых заранее предсказать в точности невозможно. Эта неопределенность (непредсказуемость) вызвана влиянием случайных факторов, воздействующих на ход процесса. Приведем несколько примеров таких процессов.

1. Напряжение в электросети, номинально постоянное и равное 220 В, фактически меняется во времени, колеблется вокруг номинала под влиянием таких случайных факторов, как количество и вид включенных в сеть приборов, моменты их включений и выключений и т. д.

2. Население города (или области) меняется с течением времени случайным (не предсказуемым) образом под влиянием таких факторов, как рождаемость, смертность, миграция и т. д.

3. Уровень воды в реке (или в водохранилище) меняется во времени случайным образом в зависимости от погоды, количества осадков, таяния снега, интенсивности оросительных мероприятий и т. д.

4. Частица, совершающая броуновское движение в поле зрения микроскопа, меняет свое положение случайным образом в результате соударений с молекулами жидкости.

5. Происходит полет космической ракеты, которую необходимо вывести в заданный момент в заданную точку пространства с заданными направлением и абсолютным значением вектора скорости. Фактическое движение ракеты не совпадает с расчетным из-за таких случайных факторов, как турбулентность атмосферы, неоднородность горючего, ошибки в отработке команд и т. д.

6. ЭВМ в ходе работы может случайным образом переходить из состояния в состояние, например:

S 1 - работает исправно;

S 2 - имеется неисправность, но она не обнаружена;

S 3 - неисправность обнаружена, ведется поиск ее источника;

S 4 - ремонтируется и т. д.

Переходы из состояния в состояние происходят под действием случайных факторов, таких как колебания напряжения в сети питания ЭВМ, выход из строя отдельных элементов, момент обнаружения неисправностей, время их устранения и т. д.

Строго говоря, в природе не существует совершенно не случайных, в точности детерминированных процессов, но есть процессы, на ход которых случайные факторы влияют так слабо, что при изучении явления ими можно пренебречь (пример: процесс обращения планет вокруг Солнца). Однако существуют и такие процессы, где случайность играет основную роль (пример: вышерассмотренный процесс броуновского движения частицы). Между двумя крайними случаями лежит целый спектр процессов, в которых случайность играет большую или меньшую роль. Учитывать (или не учиты­вать) случайность процесса зависит также и от того, какую практическую задачу мы решаем. Например, при составлении расписания движения самолетов между двумя пунктами можно считать их траектории прямолинейными, а движение - равномерным; те же допущения не подойдут, если решается задача конструирования автопилота для управления полетом самолета.

Можно выделить два основных вида задач, решение которых требует использования теории случайных функций (случайных процессов).

Прямая задача (анализ): заданы параметры некоторого устройства и его вероятностные характеристики (математические ожидания, корреляционные функции, законы распределения) поступающей на его «вход» функции (сигнала, процесса); требуется определить характеристики на «выходе» устройства (по ним судят о «качестве» работы устройства).

Обратная задача (синтез): заданы вероятностные характеристики «входной» и «выходной» функций; требуется спроектировать оптимальное устройство (найти его параметры), осуществляющее преобразование заданной входной функции в такую выходную функцию, которая имеет заданные характеристики. Решение этой задачи требует кроме аппарата случайных функций привлечений и других дисциплин.

Конспект лекций по дисциплине «Теория случайных процессов»

ТЕМА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 2
1.1. Определение случайного процесса. Основные подходы к заданию случайных процессов. Понятие реализации и сечения. Элементарные случайные процессы. 2
1.2. Некоторые классы и виды случайных процессов 3
ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 4
2.1. Понятие корреляционной теории случайных процессов 4
2.2. Математическое ожидание и дисперсия случайного процесса. Среднеквадратическое отклонение 5
2.3. Корреляционная функция случайного процесса и ее свойства. Нормированная корреляционная функция 5
2.4. Взаимная корреляционная функция и нормированная взаимная корреляционная функция двух случайных процессов 6
2.5 Вероятностные характеристики суммы двух случайных величин 6
ТЕМА 3. ЭЛЕМЕНТЫ СЛУЧАЙНОГО АНАЛИЗА 7
3.1. Сходимость и непрерывность 7
3.2. Производная случайного процесса и ее свойства 8
3.3. Интеграл от случайного процесса и его свойства 9
ТЕМА 4. КАНОНИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 10
4.1. Понятие канонического разложения случайного процесса 10
4.2. Понятие обобщенной функции. Дельта-функция Дирака. Интегральное каноническое представление случайных процессов. 11
4.3. Линейные и нелинейные преобразования случайных процессов 12
ГЛАВА 5. СТАЦИОНАРНЫЕ CЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 14
5.1. Понятие стационарного случайного процесса. Стационарность в узком и широком смыслах 14
5.2 Свойства вероятностных характеристик стационарного случайного процесса 15
5.3. Стационарно связанные случайные процессы. Производная и интеграл от стационарного случайного процесса 15
5.4. Эргодические стационарные случайные процессы и их характеристики 16
5.5. Потоки событий 17
ТЕМА 6. ЦЕПИ МАРКОВА 19
6.1. Цепи Маркова. 19

ТЕМА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

1.1. Определение случайного процесса. Основные подходы к заданию случайных процессов. Понятие реализации и сечения. Элементарные случайные процессы.

Случайным (стохастическим, вероятностным) процессом называется функция действительного переменного t, значениями которой являются соответствующие случайные величины X(t).
В теории случайных процессов t трактуется как время, принимающее значения из некоторого подмножества Т множества действительных чисел (t T, T R).
В рамках классического математического анализа под функцией y=f(t) понимается такой тип зависимости переменных величин t и y, когда конкретному числовому значению аргумента t соответствует и притом единственное числовое значение функции y. Для случайных процессов ситуация принципиально иная: задание конкретного аргумента t приводит к появлению случайной величины X(t) с известным законом распределения (если это дискретная случайная величина) или с заданной плотностью распределения (если это непрерывная случайная величина). Другими словами, исследуемая характеристика в каждый момент времени носит случайный характер с неслучайным распределением.
Значения, которые принимает обычная функция y=f(t) в каждый момент времени, полностью определяет структуру и свойства этой функции. Для случайных процессов дело обстоит иным образом: здесь совершенно не достаточно знать распределение случайной величины X(t) при каждом значении t, необходима информация об ожидаемых изменениях и их вероятностях, то есть информация о степени зависимости предстоящего значения случайного процесса от его предыстории.

Наиболее общий подход в описании случайных процессов состоит в задании всех его многомерных распределений, когда определена вероятность одновременного выполнения следующих событий:

T1, t2,…,tn T, n N: X(ti)≤xi; i=1,2,…,n;

F(t1;t2;…;tn;x1;x2;…;xn)=P(X(t1)≤ x1; X(t2)≤x2;…; X(tn)≤xn).

Такой способ описания случайных процессов универсален, но весьма громоздок. Для получения существенных результатов выделяют наиболее важные частные случаи, допускающие применение более совершенного аналитического аппарата. В частности, удобно рассматривать случайный процесс X(t, ω) как функцию двух переменных: t T, ω Ω, которая при любом фиксированном значении t T становится случайной величиной, определенной на вероятностном пространстве (Ω, A, P), где Ω - непустое множество элементарных событий ω; A - σ-алгебра подмножеств множества Ω, то есть множество событий; P - вероятностная мера, определенная на A.

Неслучайная числовая функция x(t)=X(t,ω0) называется реализацией (траекторией) случайного процесса X(t, ω).
Сечением случайного процесса X(t, ω) называется случайная величина, которая соответствует значению t=t0.

Если аргумент t принимает все действительные значения или все значения из некоторого интервала T действительной оси, то говорят о случайном процессе с непрерывным временем. Если t принимает только фиксированные значения, то говорят о случайном процессе с дискретным временем.
Если сечение случайного процесса - дискретная случайная величина, то такой процесс называется процессом с дискретными состояниями. Если же любое сечение - непрерывная случайная величина, то случайный процесс называется процессом с непрерывными состояниями.
В общем случае задать случайный процесс аналитически невозможно. Исключение составляют так называемые элементарные случайные процессы, вид которых известен, а случайные величины входят как параметры:
X(t)=Х(t,A1,…,An), где Ai, i=1,…,n - произвольные случайные величины с конкретным распределением.

1.2. Некоторые классы и виды случайных процессов

1.1.1. Гауссовские случайные процессы

Случайный процесс X(t) называется гауссовским, если все его конечномерные распределения являются нормальными, то есть
t1, t2,…,tn T
случайный вектор
(X(t1); X(t2);…; X(tn))
имеет следующую плотность распределения:

Где ai=MX(ti); =M(X(ti)-ai)2; сij= M((X(ti)-ai)(X(tj)-aj)); ;
-алгебраическое дополнение элемента сij.

1.1.2. Случайные процессы с независимыми приращениями

Случайный процесс X(t) называется процессом с независимыми приращениями, если его приращения на непересекающихся временных промежутках не зависят друг от друга:
t1, t2,…,tn T: t1 ≤t2 ≤…≤tn,
случайные величины
X(t2)-X(t1); X(t3)-X(t2); …; X(tn)-X(tn-1)
независимы.

1.1.3. Случайные процессы с некоррелированными приращениями

Случайный процесс X(t) называется процессом с некоррелированными приращениями, если выполняются следующие условия:
1) t T: МX2(t) < ∞;
2) t1, t2, t3, t4 T: t1 ≤t2 ≤ t3≤ t4: М((X(t2)-X(t1))(X(t4)-X(t3)))=0.

1.1.4. Стационарные случайные процессы (см. Глава 5)

1.1.5. Марковские случайные процессы

Ограничимся определением марковского случайного процесса с дискретными состояниями и дискретным временем (цепь Маркова).

Пусть система А может находиться в одном из несовместных состояний А1; А2;…;Аn, и при этом вероятность Рij(s) того, что в s-ом испытании система переходит из состояния в состояние Аj, не зависит от состояния системы в испытаниях, предшествующих s-1-ому. Случайный процесс данного типа называется цепью Маркова.

1.1.6. Пуассоновские случайные процессы

Случайный процесс X(t) называется пуассоновским процессом с параметром а (а>0), если он обладает следующими свойствами:
1) t T; Т= называется предел в среднеквадратичном при λ→0 (n→0)

Интегральных сумм где si (ti; ti+1); λ=max(ti+1 - ti), i=0,…,n-1.

Теорема 4. Математическое ожидание интеграла от случайного процесса равно интегралу от его математического ожидания: , .
Теорема 5. Корреляционная функция интеграла от случайного процесса X(t) равна двойному интегралу от его корреляционной функции: .
Теорема 6. Взаимная корреляционная функция случайного процесса X(t) и его интеграла равна интегралу от корреляционной функции случайного процесса X(t):

ТЕМА 4. КАНОНИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

4.1. Понятие канонического разложения случайного процесса

Случайная величина V называется центрированной, если ее математическое ожидание равно 0. Элементарным центрированным случайным процессом называется произведение центрированной случайной величины V на неслучайную функцию φ(t): X(t)=V φ(t). Элементарный центрированный случайный процесс имеет следующие характеристики:

Выражение вида, где φk(t), k=1;2;…-неслучайные функции; , k=1;2;…-некоррелированные центрированные случайные величины, называется каноническим разложением случайного процесса X(t), при этом случайные величины называются коэффициентами канонического разложения; а неслучайные функции φk(t) - координатными функциями канонического разложения.

Рассмотрим характеристики случайного процесса

Так как по условию то

Очевидно, что один и тот же случайный процесс имеет различные виды канонического разложения в зависимости от выбора координатных функций. Более того, даже при состоявшемся выборе координатных функций существует произвол в распределении случайных величин Vк. На практике по итогам экспериментов получают оценки для математического ожидания и корреляционной функции: . После разложения в двойной ряд Фурье по координатным функциям φк(t):

Получают значения дисперсий случайных величин Vk.
4.2. Понятие обобщенной функции. Дельта-функция Дирака. Интегральное каноническое представление случайных процессов.

Обобщенной функцией называется предел последовательности однопараметрического семейства непрерывных функций.
Дельта-функция Дирака - это обобщенная функция, являющаяся результатом предельного перехода при в семействе функций

Среди свойств -функции отметим следующее:
1.
2.
3. Если f(t)- непрерывная функция, то

Случайный процесс Х(t), корреляционная функция которого имеет вид называется нестационарным «белым шумом». Если W(t1)=W - const, то Х(t)-стационарный «белый шум».

Как следует из определения, никакие два, даже сколь угодные близкие, сечения «белого шума» не коррелированны. Выражение W(t) называется интенсивностью «белого шума».

Интегральным каноническим представлением случайного процесса Х(t) называется выражение вида где - случайная центрированная функция; - неслучайная функция непрерывных аргументов

Корреляционная функция такого случайного процесса имеет вид:
.
Можно показать, что существует неслучайная функция G(λ) такая, что

Где G(λ1) - плотность дисперсии; δ(х) - дельта-функция Дирака. Получаем
Следовательно, дисперсия случайного процесса Х(t):
.

4.3. Линейные и нелинейные преобразования случайных процессов

Рассматривается следующая задача: на вход системы (устройства, преобразователя) S подается «входной сигнал», имеющий характер случайного процесса Х(t). Система преобразовывает его в «выходной сигнал» Y(t):
.
Формально преобразование случайного процесса Х(t) в Y(t) может быть описано с помощью так называемого оператора системы Аt:
Y(t)=At(Х(t)).
Индекс t показывает, что данный оператор осуществляет преобразование по времени. Возможны следующие постановки задачи о преобразовании случайного процесса.
1. Известны законы распределения или общие характеристики случайного процесса Х(t) на входе в систему S, задан оператор Аt системы S, требуется определить закон распределения или общие характеристики случайного процесса Y(t) на выходе системы S.
2. Известны законы распределения (общие характеристики) случайного процесса Х(t) и требования к случайному процессу Y(t); надо определить вид оператора Аt системы S, наилучшим образом удовлетворяющего заданным требованиям к Y(t).
3. Известны законы распределения (общие характеристики) случайного процесса Y(t) и задан оператор Аt системы S; требуется определить законы распределения или общие характеристики случайного процесса Х(t).
Принята следующая классификация операторов Аt системы S:

Операторы системы

Линейные L Нелинейные N

Линейные однородные L0 Линейные неоднородные Lн

1. Рассмотрим воздействие линейной неоднородной системы
Lн(...)=L0(…)+φ(t)
на случайный процесс Х(t), имеющий следующее каноническое разложение:
.
Получаем:

Введем обозначения

Тогда каноническое разложение Y(t) приобретает вид:
.
Математическое ожидание случайного процессаY(t):

Корреляционная функция случайного процесса Y(t):

Следовательно,
.
С другой стороны

Дисперсия случайного процесса Y(t):

В заключении этого пункта отметим, что операторы дифференцирования и интегрирования случайных процессов являются линейными однородными.
2. Рассматривается квадратичное преобразование:
Y(t)=(X(t))2,
Vk-центрированные случайные величины, имеющие симметричное относительно нуля распределение; любые четыре из них независимы в совокупности. Тогда

Введем неслучайные функции

И случайные величины

Тогда случайный процесс Y(t) приобретает вид

Получено каноническое разложение случайного процесса Y(t). Корреляционная функция Y(t):

Дисперсия:

ГЛАВА 5. СТАЦИОНАРНЫЕ CЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

5.1. Понятие стационарного случайного процесса. Стационарность в узком и широком смыслах

Стационарным (однородным во времени) называют случайный процесс, статистические характеристики которого не меняются с течением времени, то есть являются инвариантными относительно временных сдвигов.
Различают случайные процессы стационарные в широком и узком смысле.

Стационарным случайным процессом в узком смысле называется случайный процесс Х(t), все вероятностные характеристики которого не меняются со временем, то есть таких, что выполняется условие
F(t1; t2;… ;tn; x1; x2;…; xn)=F(t1+τ; t2+τ;… ;tn+τ; x1; x2;…; xn), и, следовательно, все n-мерные распределения зависят не от моментов времени t1; t2;… ;tn, а от длительности временных промежутков τi:

В частности, одномерная плотность распределения вообще не зависит от времени t:

Двумерная плотность сечений в моменты времени t1 и t2

N-мерная плотность сечений в моменты времени t1; t2...; tn:

Случайный процесс Х(t) называется стационарным в широком смысле, если его моменты первого и второго порядка инвариантны относительно временного сдвига, то есть его математическое ожидание не зависит от времени t и является константой, а корреляционная функция зависит только от длины временного промежутка между сечениями:
Очевидно, что стационарный случайный процесс в узком смысле является стационарным случайным процессом и в широком смысле; обратное утверждение не верно.

5.2 Свойства вероятностных характеристик стационарного случайного процесса
1.

3. Корреляционная функция стационарного случайного процесса четна:

4. Дисперсия стационарного случайного процесса есть константа, равная
значению ее корреляционной функции в точке:

5.
6. Корреляционная функция стационарного случайного процесса является
положительно определенной, то есть

Нормированная корреляционная функция стационарного случайного процесса также четна, положительно определена и при этом

5.3. Стационарно связанные случайные процессы. Производная и интеграл от стационарного случайного процесса

Cлучайные процессы X(t) и Y(t) называются стационарно связанными, если их взаимная корреляционная функция зависит только от разности аргументов τ =t2-t1: RXY(t1;t2)=rXY(τ).

Стационарность самих случайных процессов X(t) и Y(t) не означает их стационарной связанности.
Отметим основные свойства стационарно связанных случайных процессов, производной и интеграла от стационарных случайных процессов,
1) rXY(τ)=rYX(-τ).
2)
3)
4)
где
5) где
6) ;

5.4. Эргодические стационарные случайные процессы и их характеристики

Среди стационарных случайных процессов есть особый класс процессов, называемых эргодическими, которые обладают следующим свойством: их характеристики, полученные усреднением множества всех реализаций, совпадают с соответствующими характеристиками, полученными усреднением по времени одной реализации, наблюдаемой на интервале (0, T) достаточно большой продолжительности. То есть на достаточно большом временном промежутке любая реализация проходит через любое состояние независимо от того, каково было исходное состояние системы при t=0; и в этом смысле любая реализация полностью представляет всю совокупность реализаций.

Эргодическая теорема Биркгофа-Хинчина
Для любого стационарного случайного процесса в узком смысле X(t), имеющего конечное математическое ожидание с вероятностью 1 существует предел
для ССП с непрерывным временем,
для ССП с дискретным временем.
Если при этом X(t) – эргодический стационарный случайный процесс, то
В условии теоремы - условное математическое ожидание случайного процесса X(t) относительно Jx; Jx – -алгебра инвариантных по отношению к X(t) событий; событие А называется инвариантным относительно X(t), если B такое, что A={ω: X(ω,t) B}.

Достаточные условия эргодичности
Теорема 1. Стационарный случайный процесс X(t) эргодичен относительно
математического ожидания, если его корреляционная функция
стремится к нулю при τ→∞;
при этом: .

Теорема 2. Стационарный случайный процесс X(t) эргодичен относительно
дисперсии, если корреляционная функция стационарного слу-
чайного процесса Y(t)=X2(t) стремится к нулю при τ→∞;
при этом:

Теорема 3. Стационарный случайный процесс X(t) эргодичен относительно
корреляционной функции, если стремится к нулю при τ→∞ кор-
реляционная функция стационарного случайного процесса
Z(t, τ)= ;
при этом:

При практических расчетах интервал (0;Т) разбивается на n равных частей в каждом промежутке выбирается точка ti (например, середина). Если ограничиться формулой прямоугольников, получаем

5.5. Потоки событий
Потоком событий называется последовательность событий, которые появляются в случайный момент времени.

Свойства потоков событий:
1) Стационарность потока.
Поток называется стационарным, если вероятность m событий на любом промежутке времени τ зависит только от количества событий m и от протяженности интервала τ и не зависит от момента времени, в который этот промежуток начался
2) Отсутствие последействия.
Говорят, что поток событий обладает свойством отсутствия последействия, если вероятность появления m событий на любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или нет события в моменты времени непосредственно предшествующие данному промежутку.
Предыстория потока не оказывает влияние на появление событий в ближайшем будущем. Если поток обладает свойством отсутствия последействия, то случайные величины появления событий на непересекающихся промежутках являются независимыми друг от друга.
3) Ординарность.
Говорят, что поток обладает свойством ординарности, если за бесконечно малый промежуток времени может произойти не более 1-го события, т.е. появление 2-х и более событий за малый промежуток времени практически не возможно.
4) Пуассоновский поток
Если поток одновременно обладает свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности, то он называется простейшим (Пуассоновским) потоком.

Теорема. Если поток представляет собой сумму большого числа независимых стационарных потоков, влияние каждого из которых ничтожно мало, то суммарный поток при условии его ординарности близок к простейшему.
Интенсивностью потока - называется среднее число событий происходящих в единицу времени.
Если поток обладает постоянной интенсивностью, то вероятность появлений m событий на промежутки времени длительностью τ вычисляется по формуле Пуассона.
– Пуассоновский поток.
Задача о простой телеграфной волне.
Имеется некоторое устройство, на которое подается сигнал. Эти сигналы образуют простейших поток.
X(t) a -a
P 1/2 1/2
Исследовать характеристики СП X(t), который принимает значения ±a в произвольные моменты времени. Дискретный СП с непрерывным временем. M(X(t)) = 0

X(t1)X(t2) a2 -a2
P Pчет Pнечет
Пусть t1 < t2 => τ > 0

Следовательно, телеграфная волна эргодический ССП.
Обоснование – должны выполниться следующие свойства
1) Стационарность – нет зависимости от выбора промежутка времени.
2) Отсутствие последействия – в формуле не фигурируют моменты времени.
3) Ординарность
Вероятность не одного события
Вероятность 1-го события
Вероятность более 2-ух событий
при =>
при малых τ стремиться к нулю со скоростью не мене квадрата.

ТЕМА 6. ЦЕПИ МАРКОВА

6.1. Цепи Маркова.

Цепь Маркова – это последовательность событий, в каждом из которых появляются и при том только одно из несовместных событий A1,A2…Ak при этом условная вероятность pij(s) в s-ом испытание наступит событие Ai и условие, что в s-1 испытание произошло событие Aj е зависит от результата предшествующих событий.
Цепью Маркова с дискретными временами называют цепь, изменение состояний которой происходит в фиксированные моменты времени.
Цепью Маркова с непрерывным временем называют цепь изменение состояний которой происходит в произвольный момент времени.
Цепь Маркова называется однородной, если условная вероятность pij(s) перехода в состояние из Ai в Aj не зависит от номера испытания, от s.
Вероятности того, что система в результате испытания переходит из Ai в Aj называется переходными вероятностями однородной цепи Маркова.
Переходные вероятности образуют матрицу переходных вероятностей i=1;…;k
Равенство Маркова
Pij(n) – вероятность перехода системы из состояния Ai в Aj за n испытаний

Следствия
1) n=2; m=1
; Pij(1)=pi,j; P2=(Pi,j(2))=P1P1=P2
2) n=3; m=2
; P3=P3
3) Pn=P12.

Рекомендуем почитать

Служба

Открытый урок "Правописание приставок пре- и при-"6 класс «Правописание приставок при- и пре-«

Воинский учет

Десять открытий российских ученых, которые потрясли мир

Болезни

«Правописание суффиксов причастий

Болезни

Секретные фото луны Загадочные объекты на луне

Служба

Книга: Генри Форд. Моя жизнь. Мои достижения. Генри Форд: Моя жизнь, мои достижения

Военный билет

Как отличаются баллы ЕГЭ по регионам: результаты школьников и региональное неравенство