Задано совместное распределение случайных величин. §4. Совместное распределение нескольких случайных величин. Многомерный нормальный закон

Пусть с испытанием связаны n случайных величин x 1 , x 2 ,….,ξ n . Укажем кратко, как введенные в этой главе понятия переносятся на этот случай.

1. Совместной функцией распределения случайных величин x 1 , x 2 ,….,ξ n называется функция

Совместной плотностью вероятности случайных величин x 1 , x 2 ,….,ξ n называется функция

Имеет место равенство

2. Обозначим а i , σ j математическое ожидание и СКО случайной величины ξ i , к ij – ковариацию случайных величин ξ i , ξ j:

называется дисперсионной матрицей случайных величин x 1 , x 2 ,….,ξ n . Отметим следующие свойства матрицы D.

1 0 . Элементы главной диагонали матрицы D – дисперсии случайных величин x 1 , x 2 ,….,ξ n:

2 0 . Матрица D симметрическая: k ij =k ji .

3 0 . Собственные числа матрицы D неотрицательны.

Свойства 1 0 , 2 0 очевидны. Предлагаем читателю проверить свойство 3 0 для частного случая n=2.

В этом случае матрица D имеет вид

(28)

где r – коэффициент корреляции случайных величин x 1 , x 2 .

3. В §3 этой главы было введено понятие совместного нормального распределения случайных величин x 1 , x 2 – см.формулу (25). Это понятие обобщается следующим образом. Говорят, что случайные величины x 1 , x 2 ,….,ξ n имеют совместное нормальное распределение, если совместная плотность вероятности дается формулой

где - определитель дисперсионной матрицы D,

с ij – элементы матрицы C=D -1 .

Нетрудно проверить, что в частном случае n=2 это определение совпадает с определением (25); для этого нужно воспользоваться формулой (28) для матрицы D и формулой обращения матрицы второго порядка с отличным от нуля определителем:

(предлагаем читателю выполнить проверку самостоятельно).

Справедливы утверждения: если x 1 , x 2 ,….,ξ n имеют совместное нормальное распределение, то каждая из них отдельно также нормальна; если каждая ξ i нормальна и при этом x 1 , x 2 ,….,ξ n независимы, то их совместное распределение также нормально, и имеет место формула

где f i (x) – плотность вероятности ξ i . В общей ситуации из нормальности каждой отдельно ξ i не вытекает нормальность совместного распределения.

Понятие совместного нормального распределения играет важную роль в приложениях теории вероятностей.

Глава 5. Закон больших чисел. Предельные теоремы

Под законом больших чисел понимают закономерности в массовых случайных явлениях, когда взаимодействие большого числа случайных факторов приводит к неслучайному результату. Пример закономерности такого типа приведен во введении: доля наступления случайного события в длинной серии независимых одинаковых испытаний практически неслучайна. Другой замечательный пример: оказывается, в ряде случаев закон распределения суммы большого числа случайных слагаемых не зависит от законов распределения слагаемых и может быть предсказан! Назначение предельных теорем теории вероятностей: дать строгие формулировки и обоснования различных форм закона больших чисел. В этой главе мы кратко рассмотрим результаты такого типа.

Пусть пространство элементарных исходов W случайного эксперимента таково, что каждому исходу w i j ставиться в соответствие значение случайной величины X, равное x i и значение случайной величины Y, равное y j .

1. Представим себе упаковку деталей, характеризующихся 2-я габаритными размерами. Случайный эксперимент заключается в случайном выборе одной детали. Эта деталь имеет длину, которую будем обозначать X и толщину-Y

2. Если результат эксперимента – выбор студента для представления к повышенной стипендии. Тогда Х и Y – средние баллы за последние две сессии

В этом случае мы можем говорить о совместном распределении случайных величин X и Y или о “двумерной” случайной величине.

Если X и Y дискретны и принимают конечное число значений (X – n значений, а Y – m значений), то закон совместного распределения случайных величин X и Y можно задать, если каждой паре чисел x i , y j (где x i принадлежит множеству значений X, а y j -множеству значений Y) поставить в соответствие вероятность p ij , равную вероятности события, объединяющего все исходы w ij (и состоящего лишь из этих исходов), которые приводят к значениям X = x i ; Y = y j .

Такой закон распределения можно задать в виде таблицы:

а первая и последняя строки дают ряд распределения случайной величины Y. Таблица является законом распределения двумерной дискретной случайной величины, если сумма вероятностей в последней строке или в последнем столбце (и соответственно, сумма вероятностей внутри таблицы) = 1.

Пользуясь этой таблицей, по аналогии с одномерным случаем, можно определить совместную функцию распределения. Для этого необходимо просуммировать р ij по всем i, j для которых x i < x, y j < y

Рассмотрим пример («ТВ» МГТУ им.Баумана)

В соответствии со схемой Бернулли с вероятностью успеха p, и вероятностью неудачи q =1-p проводятся 2 испытания.

Рассмотрим распределение двумерного вектора (Х 1 , Х 2), каждая из которых может принимать 2 значения: 0 или 1 (число успехов в соответствующем опыте) . Число успехов в обоих испытаниях равно 0, когда произойдут 2 неудачи, а это в силу независимости равно qq. Поэтому

и на пересечении «0» столбцов пишем q 2 .

Совместная функция распределения F (x 1 , x 2 ) задает поверхность в трехмерном пространстве.

Определение . Условным законом распределения (X |Y=y j)(j сохраняет одно и то же значение при всех значениях Х) называют совокупность условных вероятноястей р(x 1 |y j), р(x 2 |y j),… р(x n |y j), а условные вероятности вычисляются по формулам:



р(X=x i |Y=y j) = р(X=x i ,Y=y j) / р(Y=y j)

Пример. Задана дискретная двумерная величина

X
P 0,2 0,32 0,48

р(X=x 1 |Y=y 1) = р(X=x 1 ,Y=y 1) / р(Y=y 1)= 0,15/0,8 = 3/16

р(X=x 2 |Y=y 1) = р(X=x 2 ,Y=y 1) / р(Y=y 1)=0,3/0,8 = 3/8

р(X=x 3 |Y=y 1) = р(X=x 3 ,Y=y 1) / р(Y=y 1) = 0,35/0,8 = 7/16

X
р(X |Y=y 1) 3/16 3/8 7/16

Проверка: сумма вероятностей равна 1.

Замечание . Таким образом, можно проверить и независимость случайных величин. Аналогично случаю независимости событий, независимость случайных величин может быть определена через условные вероятности. Остается только сравнить условный и безусловный законы распределения.

Пример.

Рассмотрим коробку, в которой лежат две карточки с цифрой 1 и три карточки с цифрой 2. Одна за другой вынимаются две карточки. X – номер на первой карточке. Y – на второй. Найти совместный закон распределения (X,Y)

Используем формулу произведения вероятностей P((X,Y)=(1,1)) = P(X=1)P(Y=1|X=1)=2/5× ¼ = 1/10

(X,Y) (1,1) (1,2) (2,1) (2,2)
P 1/10 3/10 3/10 3/10

Сумма вероятностей = 1.

Совместное распределение нескольких случайных величин

Для изучения системы случайных величин нужно знать закон совместного распределœения их вероятностей. Рассмотрим систему 2-х случайных величин x и y , ᴛ.ᴇ. двумерную случайную величину. Систему двух случайных величин рассматриваем как систему двух одномерных величин. Каждую из величин x и y называют компонентой двумерной случайной величины. Двумерную случайную величину называют дискретной если ее компоненты дискретны.

(x i ; y j) – возможные

Случайная величина представляет систему двух случайных величин ее декартовых координат. Задание закона ее совместного распределœения величин x и y означает задание вероятности попадания случайной точки величины x, y в точку x i ; y j . Вероятность Р(x=x i ; y=y j )=P i,j , i =1……n; j =1……..m . Эти вероятности бывают любыми неотрицательными числами, сумма которых равна 1. Т.к. события x=x i ; y=y j образуют полную группу. Т.е. закон распределœения задан в виде таблицы с двумя входами. 1 столбец содержит всœе возможные значения x , а первая строка всœе возможные значения компоненты y , каждую вероятность P i,j можно рассматривать как совмещение случайных событий x=x i ; y=y j .

 y 1 y 2 ………. y m
x 1 P 11 P 12 P 1m
x 2 P 21 P 22 P 2n
x n P n1 P n2 P nm

Две дискретные величины x, y называются независимыми, в случае если для всœех их возможных значений x i ; y j имеет место равенство

P i,j =Р(Х=x i)×P(Y=y j)

Это определœение распределœения и наибольшее число дискретных случайных величин.

Пример: В первом ящике 6 шаров, во вором также 6 шаров

I 1 шар с номером 1

2 шара с номером 2 Х - № из I ящика

3 шара с номером 3

II 2 шара с номером 1

3 шара с номером 2 Х - № из II ящика

1 шар с номером 3

Из каждого ящика взяли по шару, составить таблицу закона распределœения системы случайных величин. Найти законы распределœения составляющих.

x
P
y
P

y 1 y 2 y 3
x 1 x 2 x 3

Пусть (х, у) – двумерная непрерывная случайная величина. Двумерную случайную величину (х, у) – называют непрерывной, в случае если ее компоненты непрерывны. Кроме того величины х, у обладают непрерывной плотностью распределœения.

P(x

Как дифференцируемая функция

Функция удовлетворяет 2-м основным свойствам f(x,y)³ 0 и двойной интеграл

Вероятность попадания случайной точки в любую область D на плоскости х, у , должна быть представлена в виде двойного интеграла:

Функция распределœения должна быть выражена, как:

F(x;y)=

График плотности распределœения называют поверхностью распределœения вероятности.

Пример: Найти функцию распределœения двумерной случайной величины с плотностью распределœения:

f(x;y)=e -x-y (x³0,y³0)

P(0

Распределœение компонент непрерывной случайной величины (х; у).

Закон совместного распределœения величин х и у полностью определяет законы распределœения каждой из величин х и у . Пусть F(x;y) – плотность совместного распределœения величин х и у . Найдем плотность распределœения величины х . Рассмотрим вероятность попадания значения величины х в любой интервал от х 1 до х 2 .

т.к. попадание абсциссы в интервале равносильно попаданию точки в вертикальную область D , то вероятности этих событий равны.

Данный интеграл можно записать и таким образом

Сравним с другим равенством. Согласно определœению плотности распределœения следует, что искомая плотность равна

,

Аналогично площадь распределœения величины у будет равна

Эти понятия обобщаются для систем более 2-х величин.

Определœение: Непрерывные случайные величины х и у называются независимыми, в случае если плотность совместного распределœения равна произведению плотности этих величин

Условие независимости.

Совместное распределение нескольких случайных величин - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Совместное распределение нескольких случайных величин" 2017, 2018.

Случайные вектора

Совместная плотность распределения вероятности двух случайных величин

Пусть у функции существуют производные по, а также вторая смешанная производная. Совместной (или двумерной) плотностью распределения вероятностей случайных величин и называется функция

Рассмотрим основные свойства двумерной плотности вероятности.

1. Справедливо соотношение:

Для доказательства используем равенство (51.1), тогда:

Теперь из равенства (50.2) следует (51.2). Это соотношение имеет практическое значение, поскольку позволяет вычислять вероятность - попадания двумерного вектора в прямоугольник, определяемый отрезками и через плотность вероятности.

2. Рассмотрим частный случай соотношения (51.2). Пусть, тогда (51.2) принимает вид:

Это соотношение определяет функцию распределения вероятностей через плотность вероятности и является обратным по отношению к равенству (51.1).

3. Рассмотрим (51.2) при условиях: , тогда из (51.2) следует равенство:

поскольку - как вероятность достоверного события. Соотношение (51.5) называется условием нормировки для плотности вероятности.

4. Если - плотность вероятности вектора, и - плотность вероятности случайной величины, то

Это равенство называется свойством согласованности плотности второго порядка и плотности первого порядка. Если известна плотность второго порядка, то по формуле (51.6) можно вычислить плотность вероятности - случайной величины. Аналогично,

Доказательство (51.6) получим на основе равенства

Представим через плотность согласно (51.4), а через, тогда из (51.8) следует

Дифференцирование (51.9) по приводит к равенству (51.6), что и завершает доказательство.

5. Случайные величины и называются независимыми, если независимы случайные события и при любых числах и. Для независимых случайных величин и:

Доказательство следует из определений функций и, . Поскольку и - независимые случайные величины, то события вида: и - независимые для любых и. Поэтому

Справедливо равенство (51.10). Продифференцируем (51.10) по и, тогда согласно (51.1) получаем следствие для плотностей:

6. Пусть - произвольная область на плоскости, тогда

Вероятность того, что вектор принимает любые значения из области определяется интегралом по от плотности вероятности.

Рассмотрим пример случайного вектора с равномерным распределением вероятностей, который имеет плотность вероятности на прямоугольнике и - вне этого прямоугольника. Число определяется из условия нормировки:

Вклад Б.В. Гнеденко в развитие теории вероятностей

В 1930-е годы внимание Бориса Владимировича привлекли задачи, связанные с суммированием независимых случайных величин. Интерес к таким задачам появился в математике еще в 17 веке...

Математическая статистика

Используя точечные оценки параметров нормального закона распределения и запишем плотность вероятности и функцию распределения...

Непрерывные случайные величины. Нормальный закон распределения

Пусть непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения f(x). Допустим, что все возможные значения X принадлежат отрезку [а, b]. Разобьем этот отрезок на п частичных отрезков длиной,......

Случайные вектора

В задачах со случайным исходом обычно приходится учитывать взаимодействие нескольких случайных величин. Это естественным образом приводит к понятию многомерных (векторных) случайных величин или совокупности нескольких случайных величин...

Случайные вектора

Условной плотностью распределения вероятностей случайной величины при условии называется функция: . (53.1) Соотношение (52.5) подставим в (53.1), тогда. (53.2) Отсюда следует. (53.3) - формула умножения для плотностей...

Случайные вектора

Для независимых случайных величин и ковариация. В отличие от этого рассмотрим другой крайний случай, когда случайные величины и связаны функциональной зависимостью: , (56.1) где - числа. Вычислим ковариацию случайных величин и: . (56...

Случайные вектора

Пусть случайный вектор имеет функцию распределения вероятностей и существует частная производная, (61.1) тогда функция называется плотностью распределения вероятностей случайного вектора или - мерной плотностью вероятности...

Случайные вектора

Пусть - случайные величины, имеющие совместную плотность и совместную функцию распределения вероятностей. Пусть также заданы функций, переменных. Вместо аргументов функции подставим случайные величины, тогда (64...

Случайные вектора

66.1. Соотношение (65.11), определяющее плотность вероятности преобразованной величины через плотность исходной случайной величины, можно обобщить на случай преобразования случайных величин...

Случайные процессы

Если имеет производную, (71.1) тогда эта производная называется -мерной плотностью распределения вероятностей случайного процесса. Основные свойства плотности (71...

Теория вероятностей

Случайная величина - величина, численное значение которой может меняться в зависимости от результата стохастического эксперимента. Дискретной назовём случайную величину, возможные значения которой образуют конечное множество...

Теория вероятностей

Случайная величина - величина, численное значение которой может меняться в зависимости от результата стохастического эксперимента. Непрерывной назовём случайную величину, которая может принять любое значение из некоторого промежутка...

Теория вероятности и случайные величины

Пусть непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения f(x). Допустим, что все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку . Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х...

Что такое случайная величина

Различают два вида случайных величин: дискретные и непрерывные. К дискретным относятся те случайные величины, множество значений которых конечно или фиксировано. Примером дискретной случайной величины...

Элементы теории вероятностей

Математическое ожидание: Величина (6) называется математическим ожиданием. По существу, - это среднее значение с учетом веса реализации текущего значения. Чтобы пояснить понятие веса, примем здесь, что - дискретная величина...

Воспользуемся изложенным выше общим методом для решения одной задачи, а именно для нахождения закона распределения суммы двух случайных величин. Имеется система двух случайных величин (X,Y) с плотностью распределения f(x,у).

Рассмотрим сумму случайных величин X и Y: и найдем закон распределения величины Z. Для этого построим на плоскости хОу линию, уравнение которой (рис. 6.3.1). Это - прямая, отсекающая на осях отрезки, равные z. Прямая делит плоскость хОу на две части; правее и выше ее ; левее и ниже

Область D в данном случае - левая нижняя часть пло­скости хОу, заштрихованная на рис. 6.3.1. Согласно формуле (6.3.2) имеем:

Это - общая формула для плотности распределения суммы двух случайных величин.

Из соображений симметричности задачи относительно X и Y можно написать другой вариант той же формулы:

Требуется произвести композицию этих законов, т. е. найти закон распределения величины: .

Применим общую формулу для композиции законов рас­пределения:

Подставляя эти выражения в уже встречавшуюся нам формулу

а это есть не что иное, как нормальный закон с центром рассеи­вания

К тому же выводу можно прийти значительно проще с помощью следующих качественных рассуждений.

Не раскрывая скобок и не производя преобразований в подынте­гральной функции (6.3.3), сразу приходим к выводу, что показатель степени есть квадратный трехчлен относительно х вида

где в коэффициент А величина z не входит совсем, в коэффициент В входит в первой степени, а в коэффициент С - в квадрате. Имея это в виду и применяя формулу(6.3.4), приходим к заключению, что g(z) есть показательная функция, показатель степени которой - квадратный трехчлен относительно z, а плотность аспределения; такого вида соответствует нормальному закону. Таким образом, мы; приходим к чисто качественному выводу: закон распределения вели­чины z должен быть нормальным. Чтобы найти параметры этого закона - и - воспользуемся теоремой сложения математических ожиданий и теоремой сложения дисперсий.

По теореме сложения математических ожиданий . По теореме сложения дисперсий или откуда следует формула (6.3.7).

Переходя от среднеквадратических отклонений к пропорциональным им вероятным отклонениям, получим:
.

Таким образом, мы пришли к следующему правилу: при компо­зиции нормальных законов получается снова нормальный за­кон, причем математические ожидания и дисперсии (или квад­раты вероятных отклонений) суммируются.

Правило композиции нормальных законов может быть обобщено на случай произвольного числа независимых случайных величин.

Если имеется n независимых случайных величин: подчиненных нормальным законам с центрами рассеивания и среднеквадратическими отклонениями ,то величина также подчинена нормальному закону с параметрами

Если система случайных величин (X, Y) распределена по нормальному закону, но величины X, Y зависимы, то нетрудно доказать, так же как раньше, исходя из общей формулы (6.3.1), что закон распределения величины есть тоже нормальный закон. Центры рассеивания по-прежнему складываются алгебраически, но для среднеквадратических отклонений правило становится более сложным: , где, r - коэффициент корреляции величин X и Y.

При сложении нескольких зависимых случайных величин, подчиненных в своей совокупности нормальному закону, закон распределения суммы также оказывается нормальным с параметрами

где - коэффициент корреляции величин X i , X j , а суммирование распространяется на все различные попарные комбинации величин .

Мы убедились в весьма важном свойстве нормального закона: при композиции нормальных законов получается снова нормальный закон. Это - так называемое «свойство устойчивости». Закон распределения называется устойчивым, если при композиции двух законов этого типа получается снова закон того же типа. Выше мы показали, что нормальный закон является устойчивым. Свойством устойчивости обладают весьма немногие законы распределения. Закон равномерной плотности неустойчив: при композиции двух законов равномерной плотности на участках от 0 до 1 мы получили закон Симпсона.

Устойчивость нормального закона - одно из существенных условий его широкого распространения на практике. Однако свойством устойчивости, кроме нормального, обладают и некоторые другие законы распределения. Особенностью нор­мального закона является то, что при композиции достаточно боль­шого числа практически произвольных законов распределения суммарный закон оказывается сколь угодно близок к нормальному вне зависимости от того, каковы были законы распределения слагаемых. Это можно проиллюстрировать, например, составляя композицию трех законов равномерной плотности на уча­стках от 0 до 1. Получающийся при этом закон распределения g(z) изображен на рис. 6.3.1. Как видно из чертежа, график функции g(z) весьма напоминает график нормального закона.

Рекомендуем почитать