Что такое корреляционные функции случайных процессов. Корреляционная функция

Чтобы в какой-то мере охарактеризовать внутреннюю структуру случайного процесса, т.е. учесть связь между значениями случайного процесса в различные моменты времени или, иными словами, учесть степень изменчивости случайного процесса, вводят понятие о корреляционной (автокорреляционной) функции случайного процесса .

Корреляционной (или автокорреляционной) функцией случайного процесса называют неслучайную функцию двух аргументов, которая для каждой пары произвольно выбранных значений аргументов (моментов времени)иравна математическому ожиданию произведения двух случайных величини соответствующих сечений случайного процесса:

Корреляционную функцию для центрированной случайной составляющей называют центрированной и определяют из соотношения

(1.58)

Часто функцию называют ковариационной, а – автокорреляционной .

Различные случайные процессы в зависимости от того, как изменяются их статистические характеристики с течением времени, делят на стационарные и нестационарные. Различают стационарность в узком смысле и стационарность в широком смысле.

Стационарным в узком смысле называют случайный процесс , если его -мерные функции распределения и плотности вероятности при любомне зависят от положения начала отсчета времени . Это означает, что два процессаиимеют одинаковые статистические свойства для любого, т. е. статистические характеристики стационарного случайного процесса неизменны во времени. Стационарный случайный процесс – это своего рода аналог установившегося процесса в динамических системах.

Стационарным в широком смысле называют случайный процесс ,математическое ожидание которого постоянно:

а корреляционная функция зависит только от одной переменной - разности аргументов :

Понятие случайного процесса, стационарного в широком смысле, вводится тогда, когда в качестве статистических характеристик случайного процесса используются только математическое ожидание и корреляционная функция. Часть теории случайных процессов, которая описывает свойства случайного процесса через его математическое ожидание и корреляционную функцию, называюткорреляционной теорией.

Для случайного процесса с нормальным законом распределения математическое ожидание и корреляционная функция полностью определяют его n -мерную плотность вероятности. Поэтому для нормальных случайных процессов понятия стационарности в широком и узком смысле совпадают.

Теория стационарных процессов разработана наиболее полно и позволяет сравнительно просто производить расчеты для многих практических случаев. Поэтому допущение о стационарности иногда целесообразно делать также и для тех случаев, когда случайный процесс хотя и нестационарен, но на рассматриваемом отрезке времени работы системы статистические характеристики сигналов не успевают сколь-нибудь существенно измениться.

В теории случайных процессов пользуются двумя понятиями средних значений. Первое понятие о среднем значении - это среднее значение по множеству (или математическое ожидание), которое определяется на основе наблюдения над множеством реализаций случайного процесса в один и тот же момент времени. Среднее значение по множеству принято обозначать волнистой чертой над выражением, описывающим случайную функцию:

В общем случае среднее значение по множеству является функцией времени .

Другое понятие о среднем значении – это среднее значение по времени , которое определяется на основе наблюдения за отдельной реализацией случайного процесса на протяжении достаточно длительного времени. Среднее значение по времени обозначаютпрямой чертой над соответствующим выражением случайной функции и определяют по формуле

, (1.62)

если этот предел существует.

Среднее значение по времени в общем случае различно для отдельных реализаций множества, определяющих случайный процесс.

Вообще для одного и того же случайного процесса среднее по множеству и среднее по времени различны, однако для так называемых эргодических стационарных случайных процессов среднее значение по множеству совпадает со средним значением по времени:

В соответствии с эргодической теоремой для стационарного случайного процесса корреляционную функцию можно определить как среднее по времени одной реализации

(1.64)

где - любая реализация случайного процесса.

Центрированная корреляционная функция эргодического стационарного случайного процесса

Из выражения (1.65), можно заметить, что дисперсия стационарного случайного процесса равна начальному значению центрированной корреляционной функции :

9. Корреляционная функция и её основные свойства.

Для полного описания случайных процессов вводится понятие коррел ф-и .

равных математическом ожидании, дисперсии, СКО

Предп, что закон распределения нормальный. На графиках видно резкое отличие процессов,несмотря на их равные вероятностные хар-ки.

(t )m

(t ) ,

(t )D

(t ) ,

(t )

(t ) .

Например, слежение за самолетом. Если он в момент времени t занял положениех 1 то этим самым его возможное положениех 2 в следующий моментt 2 ограничено, т. е. события (x 1 ,t 1 ) и (x 2 ,t 2 ) не будут независимыми. Чем более инерционен изучаемый объект, тем больше эта взаимозависимость, иликорреляция . Корр ф-я математически выражает корреляцию двух функций или корреляцию функции с самой собой (автокорр-я функция ). Коррфункция описывается в следующем виде:

где t 1 иt 2 – любые моменты времени, то естьt 1 иt 2 Т

Корреляция - статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин.

Корреляционная функция – такая неслучайная функцияR x (t 1 ,t 2 ) двух аргументов, которая для любой пары фиксированных значений аргументовt 1 иt 2 равна корреляционному моменту, соответствующих этим сечениям случайных величинx (t 1 ) иx (t 2 ).

Корреляционная функция - функция времени, которая задает корреляцию в системах со случайными процессами.

При совпадении моментов t 1 иt 2 корреляционная функция равна дисперсии. Нормированная корреляционная функция вычисляется по формуле:

) 1,

где x (t 1 ) иx (t 2 ) с.к.о. случайной функцииx (t ) приt =t 1 иt =t 2 соответственно. Для вычисления

корреляционной функции требуется

плотность (двумерную)

вероятности

(x ,x

; t, t

) dx dx

Свойства корреляционных функций

1. Корреляционная функция R x (t 1 ,t 2 ) симметрична относительно своих аргументов:

R x (t 1 ,t 2 ) =R x (t 2 ,t 1 )

в соответствии с определением корреляционной функции X (t ).

2. При добавлении к случайной функции X (t ) произвольного неслучайного слагаемого

(t ), корреляционная функцияZ (t ) X (t ) (t ),

то R z (t 1 ,t 2 ) =R x (t 1 ,t 2 ).

3. При умножении случайной функции X (t ) на произвольный неслучайный множитель ψ(t ) корреляционная функцияR x (t 1 ,t 2 ) умножается на ψ(t 1 )ψ(t 2 ).

Корреляционная функция стационарного процесса

Корреляционная функция слу­чайного процесса определяется как математическое ожидание произведения двух центрированных сечений процесса, взятых в мо­менты t 1 и t 2 . При этом математическое ожидание вычисляется с использованием двумерной плотности вероятности . Для стационарного случайного процесса двумерная плотность вероятности и, соответственно, корреляционная функция зависят не от t 1 и t 2 в отдельности, а только от их разности = t 2 - t 1 . В соответствии с этим корреляционная функция стационар­ного процесса определяется выражением

(3.1)

где - математическое ожидание стационарного процесса; х 1 , х 2 - возможные значения случайного процесса соответственно, в моменты времени t 1 , t 2 ; = t 2 – t 1 - интервал времени между сечения­ми; - двумерная плотность вероятности стационарно­го процесса. Второе выражение для получено путём раскрытия квадратных скобок первого выражения и учета свойств математичес­кого ожидания.

В научно-технической литературе используется также такая характеристика случайного процесса, как ковариационная функция K (t ), под которой понимается математическое ожидание произведения двух значений процесса, взятых соответ­ственно в моменты t 1 и t 2:

(3.2)

так что справедливо соотношение

(3.3)

Если , то понятия и совпадают. Если же до­полнительно обладает эргодическим свойством, то корреляцион­ная функция может быть определена по одной длинной реализации:

(3.4)

где Т - интервал наблюдения единственной реализации x (t ) процесса ; - эта же реализация x (t ), задержанная на время .

Формула (3.4) может быть положена в основу построения Структурная схема уст­ройства, измеряющего корреляционную функцию, которое называется коррелометром . Для построения коррелометра требуются перемножитель, устройство задержки с переменным временем задержки и интегратор (рис. 3.1). Это устройство измеряет или в зависимости от того, равно нулю или нет.

Корреляционная функция стационарного случайного про­цесса, как и вообще корреляционная функция случайного процесса, является действительной функцией аргумента . При этом характеризует с двух сторон. Во-первых, определяет среднюю удельную мощность флюктуаций. А во-вторых, позволяет судить о степени линейной связи между двумя сечениями случайного процесса, отстоящими друг от друга на интервал времени . Размерность совпадает с размерностью квадрата случайного процесса. Рассмотрим свойства корреляционной функции.

1. Корреляционная функция при = 0 равна дисперсии процесса

(3.5)

Это свойство вытекает непосредственно из формулы (3.1), если в ней положить = 0.

2. Корреляционная функция стационарного процесса является чётной функцией аргумента :

(3.6)

Это свойство непосредственно вытекает из определения стационарно­го процесса, для которого важны не сами значения моментов и t 2 , а расстояние во времени одного сечения от другого |t 2 -t 1 |.

3. Корреляционная функция при любом t не может превзойти своего значения при = 0:

(3.7)

Это свойство физически означает, что наибольшая степень линейной связи обеспечивается между одним и тем же сечением, то есть при =0. Правда, если является периодическим процессом, то может найтись еще какое-либо , соизмеримое с периодом процесса, для которого выполняется жесткая функциональная связь между и . Поэтому в формуле (3.7) в общем случае может выполняться не только неравенство, но и равенство.

4. Корреляционная функция может быть представлена в виде

(3.8)

где r (t ) нормированная корреляционная функция, имеющая смысл коэффициента корреляции, зависящего от и заключенная в пределах

. (3.9)

Она характеризует только степень линейной связи между сечениями слу­чайного процесса, взятыми через интервал . В свою очередь, дисперсия процесса характеризует только среднюю удельную мощность флюктуаций случайного процесса.

Погрешности измерений, обусловленные наведенными помехами и собственными шумами электронных приборов, описываются с помощью математической теории, получившей название "теория случайных процессов ". Напомним основные понятия этой теории, которые мы будем использовать в дальнейшем изложении и которые используются ГОСТ 8.009 [ГОСТ ] при нормировании случайной составляющей погрешности измерений.

,
.
.

В пределе, при приведенные оценки параметров стремятся к их истинным значениям. В приведенных формулах для оценок параметров и самих параметров использованы одни и те же обозначения, поскольку в дальнейшем мы будем использовать только оценки, если иное не оговорено специально.

Отдельно взятая реализация случайного процесса является детерминированной (неслучайной) функцией, поэтому для нее можно найти спектральную характеристику с помощью преобразования Фурье:

В соответствии с этим определением, шума измеряется в или , и т. п. Отметим, что в теории случайных процессов понятие мощности отличается от общепринятого: предполагается, что энергия шума выделяется на сопротивлении в 1 Ом, но размерность не указывается, поэтому вместо размерности мощности используется , . Аналогично, энергия измеряется не в , а в .

Автокорреляционная функция и спектральная плотность мощности связаны между собой преобразованием Фурье (теорема Винера-Хинчина [Баскаков ]):

;
,

Если энергетический спектр лежит в диапазоне частот от >0 до , например, благодаря применению фильтра, то можно считать, что за пределами указанного диапазона частот его значения равны нулю и это позволяет изменить пределы интегрирования в (4.16):

.

При использовании формул (4.16) и (4.19) надо помнить, что в ней применен двусторонний энергетический спектр (симметричный относительно начала оси ординат). В случае одностороннего спектра , заданного в диапазоне частот , коэффициент "2" должен отсутствовать:

В зарубежной справочной литературе на графиках спектральной плотности мощности шума транзисторов, операционных усилителей и др. обычно по оси ординат откладывается корень квадратный из спектральной плотности мощности шума , имеющий размерность , и т. п. В этом случае напряжение шума (среднеквадратическое значение) можно найти как

.

Для белого шума и предыдущее выражение упрощается:

.

Рассмотрим суммирование двух случайных погрешностей и с нулевым математическим ожиданием (т. е. центрированных случайных величин). Дисперсия суммы двух случайных величин по определению равна математическому ожиданию квадрата их суммы:

= ,

где и - операторы дисперсии и математического ожидания ; , - среднеквадратические отклонения случайных величин и . Величина

называется ковариацией ("совместной вариацией") случайных величин и .

Ковариацию дискретных случайных величин можно оценить по их дискретным значениям и с помощью формулы среднего арифметического:

.

Коэффициентом корреляции называют отношение ковариации к произведению среднеквадратических отклонений и случайных величин и :

.

Здесь знак "-" используется когда случайные величины вычитаются, например, если находится разность напряжений двух измерительных каналов. При этом наличие корреляции между каналами частично уменьшает погрешность разности.

В случае, когда случайные величины статистически независимы (), предыдущее выражение упрощается:

.

Такое суммирование называют геометрическим , поскольку оно выполняется аналогично нахождению гипотенузы прямоугольного треугольника.

Если коэффициент корреляции , то, то коэффициент корреляции можно оценить как. Тангенс угла наклона линии называется коэффициентом регрессии. Уравнение линии регрессии можно получить

Статистическая зависимость между погрешностями средств измерений в общем случае нелинейная, однако этой нелинейностью обычно пренебрегают.

КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ

действительного случайного процесса - аргументов t, . определяемая равенством

Для того чтобы К. ф. была определена, следует предположить, что процесс X(t).при всех имеет конечный второй Параметр tпробегает здесь некоторое подмножество Тдействительной прямой и обычно интерпретируется как "время", однако совершенно аналогично определяется К. ф. случайной функции, заданной на множестве произвольной природы, в частности К. ф. случайного поля, когда Т - подмножество конечномерного пространства. Если - многомерный (), то его К. ф. наз. матричнозначная функция

Взаимная корреляционная функция процессов X i (t), X j (t).

К. ф. является важной характеристикой случайного процесса. Если X(t) - гауссовский процесс, то его К. ф. В(t, s ).и значение (т. е. первые и вторые моменты) однозначно определяют конечномерные распределения, а значит и процесс в целом. В общем случае первых двух моментов заведомо недостаточно для полного описания случайного процесса. Напр., одинаковую К. ф. имеют гауссовский , траектории к-рого непрерывны, и так наз. телеграфный сигнал - точечный марковский стационарный процесс, принимающий два значения ±1. Однако К. ф. определяет важных свойств процесса - так наз. свойства второго порядка (т. е. выражающиеся в терминах вторых моментов). В силу этого, а также благодаря своей относительной простоте, корреляционные методы широко используются как в теории случайных процессов, так и в ее статистич. приложениях (см. Коррелограмма ).

Если R(t).дополнительно непрерывна при t= 0 (что соответствует среднеквадратичной непрерывности процесса X(t)), то

где - положительная конечная ; здесь l пробегает всю действительную прямую, если Т= (случай "непрерывного времени"), или если Т= {. . . , - 1, 0, 1, . . .} (случай "дискретного времени"). Мера наз. спектральной мерой случайного процесса. Таким образом, корреляционные и спектральные свойства стационарного случайного процесса оказываются тесно связанными; напр., скорость убывания корреляций при соответствует степени гладкости спектральной плотности и т. п.

В статистической механике К. ф. наз. также совместная r(x 1 , ..., х т ).нахождения тразличных частиц рассматриваемой системы в точках x 1 , ..., х т ;совокупность этих функций однозначно определяет соответствующее точечное .

Лит. : Дуб Дж., Вероятностные процессы, пер. с англ., М., 1956; Л о э в М., Теория вероятностей, пер. с англ., М., 1962; Г и х м а н И. И., Скороход А. В., Введение в теорию случайных процессов, М., 1965. А. С. Холево.


Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .

Смотреть что такое "КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ" в других словарях:

    корреляционная функция - Ндп. автокорреляционная функция Функция, равная среднему значению произведения переменной составляющей случайного сигнала и такой же переменной составляющей, но запаздывающей на заданное время. Примечание Корреляционная функция характеризует… … Справочник технического переводчика

    Корреляционная функция функция времени или пространственных координат, которая задает корреляцию в системах со случайными процессами. Зависящая от времени корреляция двух случайных функций X(t) и Y(t) определяется как: , где угловые скобки… … Википедия

    В статистической физике ф ция, определяющая вероятность относит. расположения комплекса из s любых молекул жидкости или газа; при s=2 К. ф. наз. парной или бинарной. Появление корреляций в расположении молекул среды связано с тем, что в ближайшем … Физическая энциклопедия

    Случайного процесса ф ция В (s, t) = М[ Х (s) MX (s)].*, s, [здесь MX (t) первый момент процесса, * означает комплексное сопряжение; предполагается, что. В случае векторного процесса К. ф. наз коррел … Физическая энциклопедия - 1. Функция, равная среднему значению произведения переменной составляющей случайного сигнала и такой же переменной составляющей, но запаздывающей на заданное время Употребляется в документе: ГОСТ 16465 70 Сигналы радиотехнические измерительные.… … Телекоммуникационный словарь

    См. Функция корреляционная случайного процесса. Геологический словарь: в 2 х томах. М.: Недра. Под редакцией К. Н. Паффенгольца и др.. 1978 … Геологическая энциклопедия

    Корреляционная функция случайного процесса - 16. Корреляционная функция случайного процесса Функция двух переменных t и и, равная ковариационной функции центрированного случайного процесса Rξ (t, u) = M{[ξ(t) m1]×[ξ(u) m2]}, t,uЄT Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

    Нормированная корреляционная функция - 25. Нормированная корреляционная функция Ндп. Коэффициент корреляции Функция, равная отношению корреляционной функции случайного сигнала к его дисперсии

Рекомендуем почитать