Вероятность и статистика – основные факты

1

В данной статье рассматриваются предельные теоремы теории вероятностей, в частности неравенство Чебышева, закон больших чисел, которые устанавливают связь между теоретическими и экспериментальными характеристиками случайных величин при большом числе испытаний над ними. Материал статьи ориентирован на детальную проработку основной теоремы Чебышева. Ее доказательство базируется на весьма общей лемме, известной под названием неравенство Чебышева. Данное неравенство справедливо для дискретных и непрерывных случайных величин. Неравенство Чебышева имеет ограниченное значение, так как часто дает грубую и очевидную оценку. Сущность теоремы состоит в том, что отдельные случайные величины могут иметь значительный разброс, а их среднее арифметическое рассеяно мало. Теорема Чебышева представляет собой яркий пример, который подтверждает справедливость учения диалектического материализма о связи между случайностью и необходимостью.

теория вероятностей

случайные величины

предельные теоремы

закон больших чисел

неравенство Чебышева

теорема Чебышева

1. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей. Математическая статистика. – М.: Гардарика, 2009. – 328с.

2. Булдык Г.М. Теория вероятностей и математическая статистика. 2005. – 285с.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие. – 12 издание – М.: Высшее образование, 2008. – 479с. – (Основы наук)

4. Письменный Д. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессом/ Дмитрий Письменный. – 3-е издание – М.: Айрис-пресс, 2008. – 288с. – (Высшее образование)


Введение

Предельные теоремы условно делят на две группы. К первой группе теорем относится закон больших чисел, устанавливающий устойчивость средних значений: при большом числе испытаний их средний результат перестает быть случайным и может быть предсказан с точностью. Вторая группа теорем, которая называется центральной предельной теоремой, она устанавливает условия, благодаря которым закон распределения суммы большого числа случайных величин неограниченно приближается к нормальному.

В данной статье мы рассмотрим неравенство Чебышева, которое используется: а) для грубой оценки вероятностей событий, связанных со случайными величинами, распределение которых неизвестно; б) доказательства ряда теорем закона больших чисел.

Целью данной статьи является успешное изучение и практическое применение теоремы Чебышева и закона больших чисел для эффективной математической подготовки студентов экономических специальностей высших учебных заведений.

Неравенство Чебышева

Неравенство Чебышева справедливо для дискретных и непрерывных случайных величин.

Теорема 1. Если случайная величина Х имеет математическое ожидание М(Х)=а и дисперсию D(Х), то для любого ε>0 справедливо неравенство Чебышева.

P {|X-M(X)|}≥ε}≤ (1)

Докажем теорему (1) для непрерывной случайной величины Х с плотностью f(x).

Вероятность - это вероятность попадания случайной величины Х в область, лежащую вне промежутка .Можно записать

Так как область интегрирования можно записать в виде2 ≥ ε2,откуда следует. Имеем

так как интеграл неотрицательной функции при расширении области интегрирования может только увеличиться. Поэтому

Аналогично доказывается неравенство Чебышева и для дискретной случайной величины. Рассмотрим случайную величину Х с математическим ожиданием М(Х) и дисперсией D(X). Тогда теорема, приведенная ниже, является справедливой.

Теорема 2. Вероятность того, что величина Х отклоняется от своего математического ожидания М(Х) не меньше любого положительного числа ε ограничена сверху величиной , то есть

P {|X - M(X)|} <ε} ≥ 1- (2)

В форме (2) оно устанавливает нижнюю границу вероятности события, а в форме (1) - верхнюю.

Неравенство Чебышева справедливо для случайных величин Х= m, имеющей биноминальное распределение с математическим ожиданием М(Х) = а = np и дисперсией D(X) = npq. Данное неравенство принимает вид

P {| m - np | (3)

для частости события в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с вероятностью p=M()=a, дисперсия которых D()=, неравенство Чебышева имеет вид

P {| - p| (4)

Неравенство Чебышева имеет ограниченное значение, так как часто дает грубую и очевидную оценку. Например, если D(X) >ε2 и > 1, то 1-> 0; поэтому в данном случае неравенство Чебышева указывает на то, что вероятность отклонения неотрицательна, а это и без того тривиально,так как любая вероятность выражается неотрицательным числом. Это неравенство используется для вывода теоремы Чебышева.

Теорема Чебышева

Рассмотрим случайную величину Х, в которой закон распределения изменяется от эксперимента к эксперименту. Тогда будем иметь дело с несколькими (n) величинами.

Теорема 3. Если Х1, Х2, …, Xn независимые случайные величины с конечными математическими ожиданиями М(Хi), i=, и дисперсиями D(Хi), i=, ограниченными одним и тем же числом С, то есть D(Хi) < С, i=, то при возрастании n среднее арифметическое наблюдаемых значений величин Хi, i=, сходится по вероятности к среднему арифметическому их ожиданий, то есть для любого ε> 0

Рассмотрим величинуY=. Ее математическое ожиданиеM(Y) = , а дисперсияD(Y) = .

Применим к величине Y неравенство Чебышева, получим

P ()

Так как, то

Как бы ни было мало , переходя к пределу в формуле (6) при n, получим

что и требовалось доказать.

Таким образом, теорема Чебышева утверждает, что среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин (дисперсии которых равномерно ограниченны) перестает быть случайной величиной. То есть оно является устойчивым и сходится по вероятности к определенной неслучайной величине, так как среднее арифметическое математических ожиданий - величина неслучайная.

Можно получить другую формулировку закона больших чисел, если в формуле (5) перейти к вероятности противоположного события

Для одинаково распределенных случайных величин Хi, i= существует частный случай теоремы Чебышева.

Теорема 4 (теорема Хинчина). Пусть Х1, Х2, … - независимые одинаково распределенные случайные величины, которые имеют конечные математические ожидания М(Хi) = m. Тогда последовательность {Yn}, где Yn, сходится m с вероятностью 1, то есть для любого ε>0

Закон больших распространяется на зависимые случайные величины.

Теорема 5 (теорема Маркова). Если для случайных величин Х1, Х2, …

= 0

то среднее арифметическое наблюдаемых значений случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий:

для любого ε> 0

Сущность теоремы Чебышева состоит в том, что отдельные случайные величины могут иметь значительный разброс, а их среднее арифметическое рассеяно мало.

Отсюда следует, невозможно с уверенностью предсказать какое вероятное значение примет каждое из случайных величин, но можно предвидеть какое значение примет их среднее арифметическое.

Таким образом, среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин утрачивает характер случайной величины. Это можно объяснить тем, что отклонение каждой их величин от своих математических ожиданий могут быть и положительными, и отрицательными, а в среднем арифметическом они взаимно погашаются.

Теорема Чебышева является справедливой не только для дискретных, но и для непрерывных величин; она представляет собой яркий пример, который подтверждает справедливость учения диалектического материализма о связи между случайностью и необходимостью.

Библиографическая ссылка

Минасова Н.Р., Макеева О.О. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. НЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЕВА. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ // Международный студенческий научный вестник. – 2014. – № 2.;
URL: http://eduherald.ru/ru/article/view?id=11855 (дата обращения: 06.04.2019). Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»

Огромный опыт, накопленный человечеством, учит нас, что явления, имеющие вероятность, весьма близкую к единице, почти обязательно происходят. Точно так же события, вероятность наступления которых очень мала (иными словами, очень близка к нулю), наступают очень редко. Это обстоятельство играет основную роль для всех практических выводов из теории вероятностей, так как указанный опытный факт даёт право в практической деятельности считать мало вероятные события практически невозможными, а события, происходящие с вероятностями, весьма близкими к единице, практически достоверными. При этом на вполне естественный вопрос, какова должна быть вероятность, чтобы мы могли событие считать практически невозможным (практически достоверным), однозначного ответа дать нельзя. И это понятно, так как в практической деятельности необходимо учитывать важность тех событий, с которыми приходится иметь дело.

Так, например, если бы при измерении расстояния между двумя пунктами оказалось, что оно равно 5340м и ошибка этого измерения с вероятностью 0,02 равна или больше (или меньше) 20м, то мы можем пренебречь возможностью такой ошибки и считать что расстояние действительно равно 5340м. Таким образом, в данном примере мы считаем событие с вероятностью 0,02 практически несущественным (практически невозможным) и в своей практической деятельности его не учитываем. В то же время в других случаях пренебрегать вероятностями 0,02 и даже ещё меньшими нельзя. Так, если при строительстве большой гидроэлектростанции, требующей огромных материальных затрат и человеческого труда, выяснилось, что вероятность катастрофического паводка в рассматриваемых условиях равна 0,02, то эта вероятность будет сочтена большой и при проектировании станции она должна быть обязательно учтена, а не отброшена, как это было сделано в предыдущем примере.

Таким образом, только требования практики могут нам подсказать критерии, согласно которым мы будем считать те или иные события практически невозможными или практически достоверными.

В то же время необходимо заметить, что любое событие, имеющее положительную вероятность, пусть даже близкую к нулю, может произойти. И если число испытаний, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью, очень велико, то вероятность хотя бы однократного его появления может стать сколь угодно близкой к единице. Это обстоятельство постоянно следует иметь в виду.

Из сказанного понятно, что в практической деятельности, да и в общетеоретических задачах, большое значении имеют события с вероятностями, близкими к единице или нулю. Отсюда становится ясным, что одной из основных задач теории вероятностей должно быть установление закономерностей, происходящих с вероятностями, близкими к единице; при этом особую роль должны играть закономерности, возникающие в результате наложения большого числа независимых или слабо зависимых случайных фактов.

Действительно, нельзя заранее уверенно предвидеть, какое из возможных значений примет случайная величина в итоге испытания; это зависит от многих случайных причин, учесть которые мы не в состоянии. Казалось бы, что поскольку о каждой случайной величине мы располагаем в этом смысле весьма скромными сведениями, то вряд ли можно установить закономерности поведения и суммы достаточно большого числа случайных величин. На самом деле это не так. Оказывается, что при некоторых сравнительно широких условиях суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным.

Наличие связи между теоретическими и экспериментальными характеристиками случайных величин, проявляемой в большом числе опытов, позволяет предугадывать результаты массовых случайных явлений долей уверенности. Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в ряде предельных теорем, одна группа которых объединена под общим названием «Закон больших чисел», другая же – под общим названием «Центральная предельная теорема».

Закон больших чисел состоит из теорем Чебышева и Бернулли (имеются и другие теоремы), в которых доказывается приближение при определённых условиях среднего арифметического случайных величин к некоторым случайным характеристикам. Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли – простейшим.

В другой же группе предельных теорем, объединённых под общим названием «Центральная предельная теорема», устанавливается факт приближения при определённых условиях закона распределения суммы случайных величин к нормальному закону распределения. Математически это выражается в виде условий, которые должны выполняться для рассматриваемых случайных величин, то есть необходимо выполнение некоторых условий для случайных величин
, при которых суммарная случайная величина
распределена по нормальному закону.

Таким образом, закон больших чисел и центральная теорема составляют две группы предельных теорем теории вероятностей, которые в совокупности позволяют вполне обоснованно осуществлять прогнозы в области случайных явлений, давая при этом оценку точности производимых прогнозов.

    Теорема Чебышева

Для доказательства теоремы Чебышева (да и других теорем, в том числе) воспользуемся одноимённым неравенством. Неравенство Чебышева (как впрочем и теорема) справедливо как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин. Мы ограничимся, например, доказательством неравенства для непрерывной случайной величины.

НЕРАВЕНСТВО Чебышева 1: Вероятность того, что отклонение случайной величины Х , имеющей конечную дисперсию
, от её математического ожидания по абсолютной величине на меньше любого положительного числа, ограничена сверху величиной
, то есть, справедливо неравенство:

.

Доказательство : По определению дисперсии для непрерывной случайной величины можем записать

.

Выделим на числовой оси Ох -окрестность точки
(см. рис.). Заменим теперь интегрирование по всей оси интегралом по переменнойх на множестве . Так как под знаком интеграла стоит неотрицательная функция 2 , то результат интегрирования в результате может только уменьшиться, то есть

Интеграл в правой части полученного неравенства – это вероятность того, что случайная величина Х будет принимать значения вне интервала
. Значит

Неравенство доказано.

Замечание . Неравенство Чебышева имеет для практики ограниченное значение, поскольку часто даёт грубую, а иногда и тривиальную (не представляющую интереса) оценку. Например, если
и, следовательно,
; таким образом, в этом случае неравенство Чебышева указывает лишь на то, что вероятность отклонения находится в пределах от нуля до единицы, а это и без того очевидно, так как любая вероятность удовлетворяет этому условию.

Теоретическое же значение неравенства Чебышева весьма велико. Оценка, полученная Чебышевым, является универсальной, она справедлива для любых случайных величин, имеющих
и
.

ПРИМЕР .Найти вероятность выхода случайной величины Х , имеющей математическое ожидание
и дисперсию
, за трёхсигмовые границы.

Решение . Воспользуемся неравенством Чебышева:

Сравним полученный результат с тем, который следует из правила трёх сигм для нормального закона распределения:

Нетрудно сделать ВЫВОД : случайные величины, встречающиеся на практике, чаще всего имеют значительно меньшую вероятность выхода за трёхсигмовые границы, чем 1/9. Для них область является областью практически возможных значений случайной величины.

ТЕОРЕМА Чебышева (частный случай): Пусть Х 1 , Х 2 , …, Х n – попарно независимые случайные величины, имеющие одно и то же математическое ожидание М (Х ), и пусть дисперсии этих величин равномерно ограничены (то есть не превышают некоторого постоянного числа С ). Тогда, при достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое наблюдаемых значений случайных величин сходится по вероятности к их математическому ожиданию, то есть имеет место равенство:

.

Доказательство . Применим к случайной величине
неравенство Чебышева:

.

Заметим (по условиям теоремы), что для дисперсии
справедливы соотношения:

То есть
.

Тогда, согласно неравенству Чебышева

.

Переходя к пределу при
получаем

.

А так как вероятность не может быть больше единицы, то отсюда и следует утверждение теоремы.

Теорема Чебышева была обобщена на более общий случай, доказательство которой проводится аналогично доказательству, предложенному выше.

ТЕОРЕМА Чебышева (общий случай): Пусть Х 1 , Х 2 , …, Х n – попарно независимые случайные величины, и пусть дисперсии этих величин равномерно ограничены (то есть не превышают некоторого постоянного числа С ). Тогда, при достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое наблюдаемых значений случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий, то есть имеет место равенство:

.

    Сущность теоремы Чебышева

Сущность доказанной теоремы такова: хотя отдельные независимые случайные величины могут принимать значения далёкие от своих математических ожиданий, среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин с большой вероятностью принимает значения близкие к определённому постоянному числу, а имен к числу
(или к числу
в частном случае). Другими словами, отдельные случайные величины могут иметь значительный разброс, а их среднее арифметическое рассеянно мало.

Таким образом, нельзя уверенно предсказать, какое возможное значение примет каждая из случайных величин, но можно предвидеть какое значение примет их среднее арифметическое.

Итак, среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин (дисперсии которых равномерно ограничены) утрачивает характер случайной величины . Объясняется это тем, что отклонения каждой из величин от своих математических ожиданий могут быть как положительными, так и отрицательными, а в среднем арифметическом они взаимно погашаются.

    Значение теоремы Чебышева для практики

Приведём примеры применения теоремы Чебышева к решению практических задач.

Обычно для измерения некоторой физической величины производят несколько измерений и их среднее арифметическое принимают в качестве искомого размера. При каких условиях этот способ измерения можно считать правильным? Ответ на этот вопрос даёт теорема Чебышева (частный случай).

Действительно, рассмотрим результаты каждого измерения как случайные величины Х 1 , Х 2 , …, Х n . К этим величинам может быть применена теорема Чебышева, если: 1) они попарно независимы, 2) имеют одно и то же математическое ожидание, 3) дисперсии их равномерно ограничены.

Первое требование выполняется, если результат каждого измерения не зависит от результатов остальных измерений.

Второе требование выполняется, если измерения произведены без систематических (одного знака) ошибок. В этом случае математические ожидания всех случайных величин одинаковы и равны истинному размеру
.

Третье требование выполняется, если прибор обеспечивает определённую точность измерений. Хотя при этом результаты отдельных измерений различны, но рассеяние их ограничено.

Если все указанные требования выполнены, мы вправе применить к результатам измерений теорему Чебышева (частный случай): при достаточно большом - числе измерений вероятность неравенства

как угодно близка к единице. Другими словами, при достаточно большом числе измерений почти достоверно, что их среднее арифметическое сколь угодно мало отличается от истинного значения измеряемой величины.

Итак, теорема Чебышева указывает условия, при которых описанный способ измерения может быть применим 1 .

На теореме Чебышева основан широко применяемый в статистике выборочный метод, суть которого состоит в том, что по сравнительно небольшой случайной выборке судят обо всей совокупности (генеральной совокупности) исследуемых объектов. Например, о качестве кипы хлопка заключают по небольшому пучку, состоящему из волокон, наудачу отобранных из разных мест кипы. Хотя число волокон в пучке значительно меньше, чем в кипе, сам пучок содержит достаточно большое количество волокон, исчисляемых сотнями.

В качестве другого примера можно указать на определение качества зерна по небольшой его пробе. И в этом случае число наудачу отобранных зёрен малó сравнительно со всей массой зерна, но само по себе оно достаточно великó.

Уже из приведённых примеров можно заключить, что для практики теорема Чебышева имеет неоценимое значение.

1 Есть и другая формулировка: Вероятность того, что отклонение случайной величины Х от её математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа , не меньше чем
, то есть справедливо неравенство
.

2 Напомним, что
R

1 Однако ошибочно думать, что увеличивая число измерений можно достичь сколь угодно большой точности. Дело в том, что сам прибор даёт показания лишь с точностью
; поэтому каждый из результатов измерений, а следовательно и их среднее арифметическое, будут получены лишь с точностью, не превышающей точности прибора.

Неравенства Чебышёва

Во введении к разделу обсуждалась задача проверки того, что доля дефектной продукции в партии равна определенному числу. Для демонстрации вероятностно-статистического подхода к проверке подобных утверждений являются полезными неравенства, впервые примененные в теории вероятностей великим русским математиком Пафнутием Львовичем Чебышёвым (1821-1894) и потому носящие его имя. Эти неравенства широко используются в теории математической статистики, а также непосредственно применяются в ряде практических задач принятия решении. Например, в задачах статистического анализа технологических процессов и качества продукции в случаях, когда явный вид функции распределения результатов наблюдений не известен. Они применяются также в задаче исключения резко отклоняющихся результатов наблюдений.

Первое неравенство Чебышева. Пусть Х – неотрицательная случайная величина (т.е. для любого ). Тогда для любого положительного числа а справедливо неравенство

Доказательство. Все слагаемые в правой части формулы (4), определяющей математическое ожидание, в рассматриваемом случае неотрицательны. Поэтому при отбрасывании некоторых слагаемых сумма не увеличивается. Оставим в сумме только те члены, для которых . Получим, что

. (9)

Для всех слагаемых в правой части (9) , поэтому

Из (9) и (10) следует требуемое.

Второе неравенство Чебышева. Пусть Х – случайная величина. Для любого положительного числа а справедливо неравенство

.

Это неравенство содержалось в работе П.Л.Чебышёва «О средних величинах», доложенной Российской академии наук 17 декабря 1866 г. и опубликованной в следующем году.

Для доказательства второго неравенства Чебышёва рассмотрим случайную величину У = (Х – М(Х)) 2 . Она неотрицательна, и потому для любого положительного числа b , как следует из первого неравенства Чебышёва, справедливо неравенство

.

Положим b = a 2 . Событие { Y > b } совпадает с событием {| X – M (X )|> a }, а потому

что и требовалось доказать.

Пример 11 . Можно указать неотрицательную случайную величину Х и положительное число а такие, что первое неравенство Чебышёва обращается в равенство.

Достаточно рассмотреть . Тогда М(Х) = а, М(Х)/а = 1 и Р(а> a ) = 1, т.е. P (X > a ) = M (X )| a = 1.

Следовательно, первое неравенство Чебышёва в его общей формулировке не может быть усилено. Однако для подавляющего большинства случайных величин, используемых при вероятностно-статистическом моделировании реальных явлений и процессов, левые части неравенств Чебышёва много меньше соответствующих правых частей.

Пример 12. Может ли первое неравенство Чебышёва обращаться в равенство при всех а ? Оказывается, нет. Покажем, что для любой неотрицательной случайной величины с ненулевым математическим ожиданием можно найти такое положительное число а , что первое неравенство Чебышёва является строгим.

Действительно, математическое ожидание неотрицательной случайной величины либо положительно, либо равно 0. В первом случае возьмем положительное а , меньшее положительного числа М(Х), например, положим а = М(Х)/ 2. Тогда М(Х)/а больше 1, в то время как вероятность события не может превышать 1, а потому первое неравенство Чебышева является для этого а строгим. Второй случай исключается условиями примера 11.

Отметим, что во втором случае равенство 0 математического ожидания влечет тождественное равенство 0 случайной величины. Для такой случайной величины левая и правая части первого неравенства Чебышёва равны 0 при любом положительном а .

Можно ли в формулировке первого неравенства Чебышева отбросить требование неотрицательности случайной величины Х ? А требование положительности а ? Легко видеть, что ни одно из двух требований не может быть отброшено, поскольку иначе правая часть первого неравенства Чебышева может стать отрицательной.

ЧЕБЫШЕВА НЕРАВЕНСТВО

Бьенеме - Чебышева,- неравенство теории вероятностей, дающее оценку вероятности отклонений значений случайной величины от ее математич. ожидания через ее дисперсию. Пусть - нек-рая с конечными математич. ожиданием и дисперсией Ч. н. состоит в том, что для любого вероятность события

Не превосходит или

Это неравенство было независимым образом открыто И. Бьенеме (I. Bienayme, 1853) и П. Л. Чебышевым (1866). В современной литературе это неравенство чаще наз. Ч. н., возможно, и потому, что С именем П. Л. Чебышева связано использование его при доказательстве обобщения больших чисел закона (теоремы Чебышева). Ч. н. является представителем целого класса однотипных неравенств, простейшее из к-рых утверждает, что для неотрицательной случайной величины Xс конечным математич. ожиданием

(иногда наз. неравенством Маркова). Из этого неравенства вытекают неравенства для произвольных случайных величин, зависящие от моментов:


(при r= 2 и само Ч. н.), а также более общее неравенство

Для неотрицательной четной неубывающей при положительных значениях хфункции f(x). Неравенство (3) указывает получения новых неравенств того же типа, напр. экспоненциального неравенства:

Сложилась традиция относить все эти неравенства к чебышевскому типу и даже наз. Ч. н. Существует общий принцип получения Ч. н. при определенных условиях на моменты, основанный на использовании системы многочленов Чебышева (см. ). Для произвольных случайных величин Ч. н. дают точные, неулучшаемые оценки, однако в нек-рых конкретных ситуациях эти оценки можно уточнить. Напр., если Xимеет с модой совпадающей с математич. ожиданием, то справедливо неравенство Гаусса:
где
Значение Ч. п. в теории вероятностен определяется в конечном счете не его точностью, а простотой и универсальностью. Большую роль Ч. н. и ого видоизменения сыграли применительно к суммам случайных величин при доказательстве различных форм закона больших чисел и закона повторного логарифма. Ч. н. для сумм независимых случайных величия было подвергнуто обобщению и уточнению в двух главных направлениях. Первое из них связано с переходом от Ч. н.

К значительно более сильному неравенству

К-рое было доказано А. II. Колмогоровым и использовано им при доказательстве больших чисел усиленного закона (см. Колмогорова неравенство ).
Второе посвящено замене степенной оценки в Ч. н. на экспоненциально убывающую и приводит к неравенствам Бернштейна- Колмогорова:

Где

(см. Берпштейна неравенство ). Такие уточнения Ч. н. получаются при дополнительных условиях ограниченности слагаемых X i .
Получены многомерные аналоги нек-рых из указанных здесь неравенств (см. ).

Лит. : Чебышев И. Л., лМатем. сб.

Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .

Смотреть что такое "ЧЕБЫШЕВА НЕРАВЕНСТВО" в других словарях:

    Неравенство Чебышёва (теория вероятностей) Неравенство Чебышёва для сумм … Википедия

    1) одно из основных неравенств для монотонных последовательностей или функций. В случае конечных последовательностей и оно имеет вид: а в интегральной форме ― вид: … … Большая советская энциклопедия

    Для конечных монотонных последовательностей неравенство Ч … Математическая энциклопедия

    В теории меры и теории вероятностей существует другое неравенство, носящее имя Чебышева см. Неравенство Чебышева. Неравенство Чебышева для сумм, носящее имя Пафнутия Львовича Чебышева, утверждает, что если и то … Википедия

    Отношение, связывающее два числа и посредством одного из знаков: (меньше), (меньше или равно), (больше), (больше или равно), (неравно), то есть Иногда несколько Н. записываются вместе, напр. Н. обладают многими свойствами, общими с равенствами.… … Математическая энциклопедия

    В теории вероятностей неравенство Хёфдинга даёт верхнюю границу вероятности того, что сумма величин отклоняется от своего математического ожидания. Неравенство Хёфдинга было доказано Василием Хёфдингом в 1963 году. Неравенство Хёфдинга… … Википедия

    В теории вероятностей, неравенством Колмогорова называется так называемое «неравенство максимума», ограничивающее вероятность того, что частичная сумма конечной совокупности независимых случайных величин не превышает некоторого фиксированного… … Википедия

    В теории меры и теории вероятностей существует другое неравенство, носящее имя Чебышёва см. Неравенство Чебышёва. Неравенство Чебышева для сумм, носящее имя Пафнутия Львовича Чебышёва, утверждает, что если и то … Википедия

    В Википедии существует другое неравенство, носящее имя Чебышёва см. Неравенство Чебышёва для сумм. Неравенство Чебышёва, известное также как неравенство Биенэме Чебышева, это распространённое неравенство из теории меры и теории вероятностей. Оно… … Википедия

    В Википедии существует другое неравенство, носящее имя Чебышева см. Неравенство Чебышева для сумм. Неравенство Чебышева, известное также как неравенство Биенэме Чебышева, это распространённое неравенство из теории меры и теории… … Википедия

Книги

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Неравенство Чебышева и его значение. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема теории вероятностей (теорема Ляпунова) и ее использование в математической статистике.

Теория вероятностей изучает закономерности, свойственные массовым случайным явлениям. Предельные теоремы теории вероятностей устанавливают зависимость между случайностью и необходимостью. Изучение закономерностей, проявляющихся в массовых случайных явлениях, позволяет научно предсказывать результаты будущих испытаний.

Предельные теоремы теории вероятностей делятся на две группы, одна из которых получила название закона больших чисел , а другая - .

В настоящей главе рассматриваются следующие теоремы, относящиеся к закону больших чисел: неравенство Чебышева, теоремы Чебышева и Бернулли.

Закон больших чисел состоит из нескольких теорем, в которых доказывается приближение средних характеристик при соблюдении определенных условий к некоторым постоянным значениям.

1. Неравенство Чебышева .

Если случайная величина имеет конечное математическое ожидание и дисперсию, то для любого положительного числасправедливо неравенство

, (9.1)

т. е. вероятность того, что отклонение случайной величины от своего математического ожидания по абсолютной величине не превзойдет, больше разности между единицей и отношением дисперсии этой случайной величины к квадрату.

Запишем теперь вероятность события , т. е. события, противоположного событию. Очевидно, что

. (9.2)

Неравенство Чебышева справедливо для любого закона распределения случайной величины и применимо как к положительным, так и к отрицательным случайным величинам. Неравенство (9.2) ограничивает сверху вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания на величину, большую чем. Из этого неравенства следует, что при уменьшении дисперсии верхняя граница вероятности тоже уменьшается и значение случайной величины с небольшой дисперсией сосредоточиваются около ее математического ожидания.

Пример 1 . Для правильной организации сборки узла необходимо оценить вероятность, с которой размеры деталей отклоняются от середины поля допуска не более чем на . Известно, что середина поля допуска совпадает с математическим ожиданием размеров обрабатываемых деталей, а среднее квадратическое отклонение равно.

Решение. По условию задачи имеем: ,. В нашем случае- размер обрабатываемых деталей. Используя неравенство Чебышева, получим

2. Теорема Чебышева .

При достаточно большом числе независимых испытаний можно с вероятностью, близкой к единице, утверждать, что разность между средним арифметическим наблюдавшихся значений случайной величиныи математическим ожиданием этой величиныпо абсолютной величине окажется меньше сколь угодно малого числапри условии, что случайная величинаимеет конечную дисперсию, т. е.

где - положительное число, близкое к нулю.

Переходя в фигурных скобках к противоположному событию, получим

.

Теорема Чебышева позволяет с достаточной точностью по средней арифметической судить о математическом ожидании или наоборот: по математическому ожиданию предсказывать ожидаемую величину средней. Так, на основании этой теоремы можно утверждать, что если произведено достаточно большое количество измерений определенного параметра прибором, свободным от систематической погрешности, то средняя арифметическая результатов этих измерений сколь угодно мало отличается от истинного значения измеряемого параметра.

Пример 2. Для определения потребности в жидком металле и сырье выборочным путем устанавливают средний вес отливки гильзы к автомобильному двигателю, т. к. вес отливки, рассчитанный по металлической модели, отличается от фактического веса. Сколько нужно взять отливок, чтобы с вероятностью, большей , можно было утверждать, что средний вес отобранных отливок отличается от расчетного, принятого за математическое ожидание веса, не более чем накг ? Установлено, что среднее квадратическое отклонение веса равно кг .

Решение. По условию задачи имеем ,,, где- средний вес отливок гильзы. Если применить к случайной величиненеравенстсво Чебышева, то получим

,

а с учетом равенств (4.4) и (4.5) -

.

Подставляя сюда данные задачи, получим

,

откуда находим .

3. Теорема Бернулли .

Теорема Бернулли устанавливает связь между частостью появления события и его вероятностью.

При достаточно большом числе независмых испытаний можно с вероятностью, близкой к единице, утверждать, что разность между частостью появления событияв этих испытаниях и его вероятностью в отдельном испытании по абсолютной величине окажется меньше сколь угодно малого числа, если вероятность наступления этого события в каждом испытании постоянна и равна .

Утверждение теоремы можно записать в виде следующего неравенства:

, (9.3)

где и- любые сколь угодно малые положительные числа.

Используя свойство математического ожидания и дисперсии, а также неравенсво Чебышева, формулу (9.3) можно записать в виде

, (9.4)

При решении практических задач иногда бывает необходимо оценить вероятность наибольшего отклонения частоты появлений события от ее ожидаемого значения. Случайной величиной в этом случае является число появлений события внезависимых испытаниях. Имеем:

,

.

Используя неравенство Чебышева, в этом случае получим

.

Пример 3. Из изделий, отправляемых в сборочный цех, было подвергнуто обследованию, отобранных случайным образом изделий. Среди них оказалосьбракованных. Приняв долю бракованных изделий среди отобранных за вероятность изготовления бракованного изделия, оценить вероятность того, что во всей партии бракованных изделий окажется не более% и не менее%.

Решение. Определим вроятность изготовления бракованного изделия:

.

Наибольшее отклонение частости появлений бракованных изделий от вероятности по абсолютной величине равно; число испытаний. Используя формулу (9.4), находим искомую вероятность:

,

.

4. Теорема Ляпунова.

Рассмотренные теоремы закона больших чисел касаются вопросов приближения некоторых случайных величин к определенным предельным значениям независимо от их закона распределения. В теории вероятностей существует другая группа теорем, касающихся предельных законов распределения суммы случайных величин. Эта группа теорем носит общее название центральной предельной теоремы . Различные формы центральной предельной теоремы отличаются между собой условиями, накладываемыми на сумму составляющих случайных величин.

Закон распределения суммы независимых случайных величин () приближается к нормальному закону распределения при неограниченном увеличении, если выполняются следующие условия:

1) все величины имеют конечные математические ожидания и дисперсии:

; ;,

где ,;

2) ни одна из величин по своему значению резко не отличается от всех остальных:

.

При решении многих практических задач используют следующую формулировку теоремы Ляпунова для средней арифметической наблюдавшихся значений случайной величины , которая также является случайной величиной (при этом соблюдаются условия, перечисленные выше):

если случайная величина имеет конечные математическое ожиданиеи дисперсию, то распределение средней арифметической, вычисленной по наблюдавшимся значениям случайной величины внезависимых испытаниях, приприближается к нормальному закону с математическим ожиданиеми дисперсией, т. е .

.

Поэтому вероятность того, что заключено в интервалеможно вычислить по формуле

(9.5)

Используя функцию Лапласа (см. приложение 2), формулу (9.5) можно записать в следующем, удобном для расчетов виде:

; .

Следует отметить, что центральная предельная теорема справедлива не только для непрерывных, но и для дискретных случайных величин. Практическое значение теоремы Ляпунова огромно. Опыт показывает, что закон распределения суммы независимых случайных величин, сравнимых по своему рассеиванию, достаточно быстро приближается к нормальному. Уже при числе слагаемых порядка десяти закон распределения суммы может быть заменен нормальным.

Частным случаем предельной центральной теоремы является теорема Лапласа (см. глава 3, п. 5). В ней рассматривается случай, когда случайные величины ,, дискретны, одинаково распределены и принимают только два возможных значения:и. О применении этой теоремы в математической статистике см. п. 6 главы 3.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Что называют законом больших чисел? Какой смысл имеет это название?

2. Сформулируйте неравенство Чебышева и теорему Чебышева.

3. Какова роль предельных теорем в теории вероятностей?

4. Какой из законов распределения фигурирует в качестве предельного закона?

5. В чем состоит центральная предельная теорема Ляпунова?

6. Как можно истолковать теорему Лапласа в качестве предельной теоремы теории вероятностей?

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.

1. Длина изготовляемых изделий представляет случайную величину, среднее значение которой (математическое ожидание) равно см . Дисперсия этой величины равна . Используя нераввенство Чебышева, оценить вероятность того, что: а) отклонение длины изготовленного изделия от ее среднего значения по абсолютной величине не превзойдет; б) длина изделия выразится числом, заключенным междуисм .

Ответ: а) ; б).

2. Устройство состоит из независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за времяравна. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним числом (математическим ожиданием) отказов за времяокажется меньше.

Рекомендуем почитать