Произвольный треугольник теорема синусов косинусов. Теорема косинусов, синусов: формулировка, следствия и примеры. Пример задачи на использование данных теорем

Выпускники, которые готовятся сдавать ЕГЭ по математике и хотят получить достаточно высокие баллы, обязательно должны освоить принцип решения задач на применение теоремы синусов и косинусов. Многолетняя практика показывает, что подобные задания из раздела «Геометрия на плоскости» являются обязательной частью программы аттестационного испытания. Поэтому, если одним из ваших слабых мест являются задачи на теорему косинусов и синусов, рекомендуем обязательно повторить базовую теорию по данной теме.

Готовьтесь к экзамену вместе с образовательным порталом «Школково»

Занимаясь перед сдачей ЕГЭ, многие выпускники сталкиваются с проблемой поиска базовой теории, необходимой для решения практических задач на применение теоремы синусов и косинусов.

Учебник далеко не всегда оказывается под рукой в нужный момент. А найти необходимые формулы иногда бывает достаточно проблематично даже в Интернете.

Подготовка к аттестационному испытанию вместе с образовательным порталом «Школково» будет максимально качественной и эффективной. Чтобы задачи на теорему синусов и косинусов давались легко, рекомендуем освежить в памяти всю теорию по данной теме. Этот материал наши специалисты подготовили на основе богатого опыта и представили в понятной форме. Найти его вы можете в разделе «Теоретическая справка».

Знание базовых теорем и определений - это половина успеха при прохождении аттестационного испытания. Отточить навык решения примеров позволяют соответствующие упражнения. Чтобы их найти, достаточно перейти в раздел «Каталог» на образовательном сайте «Школково». Там представлен большой перечень заданий различного уровня сложности, который постоянно дополняется и обновляется.

Задачи на теоремы синусов и косинусов, подобные тем, что встречаются в ЕГЭ по математике, учащиеся могут выполнять в онлайн-режиме, находясь в Москве или любом другом российском городе.

В случае необходимости любое упражнение, например, можно сохранить в разделе «Избранное». Это позволит в дальнейшем вернуться к нему, чтобы еще раз проанализировать алгоритм нахождения правильного ответа и обсудить его с преподавателем в школе или репетитором.

a sin ⁡ α = b sin ⁡ β = c sin ⁡ γ = 2 R , {\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R,}

где a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} - стороны треугольника, α , β , γ {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma } - соответственно противолежащие им углы, а R {\displaystyle R} - радиус окружности, описанной около треугольника.

Доказательства

Доказательство обычной теоремы синусов

Воспользуемся только определением высоты h b {\displaystyle h_{b}} треугольника, опущенной на сторону b , и синуса для двух углов:

h b = a sin ⁡ γ = c sin ⁡ α {\displaystyle h_{b}=a\sin \gamma =c\sin \alpha } . Следовательно, a sin ⁡ α = c sin ⁡ γ {\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {c}{\sin \gamma }}} , что и требовалось доказать. Повторив те же рассуждения для двух других сторон треугольника, получаем окончательный вариант обычной теоремы синусов.

Доказательство расширенной теоремы синусов

Доказательство

Достаточно доказать, что

a sin ⁡ α = 2 R . {\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}=2R.}

Проведем диаметр | B G | {\displaystyle |BG|} для описанной окружности. По свойству углов, вписанных в окружность, угол G C B {\displaystyle GCB} прямой, а угол C G B {\displaystyle CGB} равен либо α {\displaystyle \alpha } , если точки A {\displaystyle A} и G {\displaystyle G} лежат по одну сторону от прямой B C {\displaystyle BC} , либо π − α {\displaystyle \pi -\alpha } в противном случае. Поскольку sin ⁡ (π − α) = sin ⁡ α {\displaystyle \sin(\pi -\alpha)=\sin \alpha } , в обоих случаях получаем

a = 2 R sin ⁡ α {\displaystyle a=2R\sin \alpha } .

Повторив то же рассуждение для двух других сторон треугольника, получаем:

a sin ⁡ α = b sin ⁡ β = c sin ⁡ γ = 2 R . {\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R.}

Вариации и обобщения

В треугольнике против бо́льшего угла лежит большая сторона, против бо́льшей стороны лежит больший угол.

В симплексе V n = n − 1 n V n − 1 i V n − 1 j V n − 2 i , j s i n (A i , j) {\displaystyle V_{n}={\frac {n-1}{n}}{\frac {{V_{n-1}^{i}}{V_{n-1}^{j}}}{V_{n-2}^{i,j}}}{sin({A_{i,j}})}}

Где A i , j {\displaystyle A_{i,j}} - угол между гранями и ; V n − 2 i , j {\displaystyle V_{n-2}^{i,j}} - общая грань V n − 1 i {\displaystyle V_{n-1}^{i}} и V n − 1 j {\displaystyle V_{n-1}^{j}} ; V n {\displaystyle V_{n}} - объем симплекса.

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ СИНУСОВ

ЗАДАЧА 1

Рассмотрим в разделе планиметрия различные типы задач, суть решения которых сводится к применению теоремы синусов. Обычно в начале решения подобных задач выполняются действия преобразовательного или упрощающего характера, с целью привести имеющиеся данные к виду, позволяющему применить непосредственно теорему синусов как основной инструмент решения задачи. Примеры соответствующих решений необходимы для практического тренинга с целью качественной подготовки к единому государственному экзамену. Применение теоремы синусов может быть как основным действием при решении задачи, так и одним из необходимых промежуточных действий при решении более сложных геометрических задач. В данной задаче известны величины двух углов треугольника и одна из сторон. Необходимо найти сторону треугольника. Запомните ход решения! Успехов Вам!

В треугольнике АВС . Найдите АС.