Литература по теории механика деформации твердого тела. Большая энциклопедия нефти и газа
ЛЕКЦИЯ 1. Введение. Основные понятия, гипотезы и принципы. Расчётная схема сооружения. Виды нагрузок.
Введение. Курс «Сопротивление материалов» является одним из разделов науки, которая носит название «Механика деформируемого твёрдого тела». В теоретической механике рассматривается равновесие и движение абсолютно твёрдого тела. Механика деформируемого твёрдого тела – наука, в которой изучаются законы движения и равновесия твёрдых тел в условиях их деформирования под действием различных нагрузок. Деформация твёрдого тела заключается в изменении его размеров и формы.
Например, стержень под действием растягивающих сил удлиняется, балка, нагруженная поперечной силой, изгибается, вал под действием скручивающих нагрузок претерпевает кручение. Эти примеры проиллюстрированы на рис. 1.1.
Рис. 1.1. Различные виды сопротивления стержня: а) растяжение; б) изгиб; в) кручение
При действии нагрузок в твёрдых телах возникают внутренние силы, которые характеризуют сопротивление тела деформации. Внутренние силы, отнесённые к единице площади, называются напряжениями .
Сопротивление материалов – наука о методах расчёта инженерных конструкций и их элементов на прочность, жёсткость и устойчивость. Правильное решение этих задач является основой при расчёте и проектировании конструкций, поскольку оно обеспечивает их надёжность в течение всего периода эксплуатации.
Прочность – способность конструкции и её элементов не разрушаясь нести приложенные к ним нагрузки в течение всего времени эксплуатации. Потеря прочности балки под действием силы показана на рис. 1.2.а на примере разрушения балки.
Жёсткость - способность конструкции и её элементов деформироваться в заданных пределах. Обычно жёсткость конструкций регламентируется нормами проектирования. Например, максимальные прогибы балок (рис. 1.2.б), применяемых в строительстве находятся в пределах v = (1/200÷1/1000) , углы закручивания валов обычно не должны превышать 2 0 на 1 метр длины вала и т.д.
Устойчивость - способность конструкции и её элементов сохранять первоначальную форму равновесия. Например, для стержня на рис. 1.2.в при F < F cr будет устойчивой первоначальная прямолинейная форма равновесия, а при F > F cr устойчивым будет изогнутое состояние стержня. При этом стержень будет работать не только на сжатие, но и на изгиб, что приведёт его к быстрому разрушению из-за потери устойчивости.
Рис. 1.2. Иллюстрации потери стержнем: а) прочности; б) жесткости;
в) устойчивости
Кроме того, что сооружение должно быть прочным, жёстким и устойчивым, оно должно быть ещё и экономичным.
Некоторые сведения из истории науки о сопротивлении материалов . Начало этой науки относят к 1638 году, когда Галилео Галилей опубликовал свой труд «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки, относящихся к механике и местному движению».
В дальнейшем проблемами поведения конструкций под нагрузкой занимались Кулон, братья Бернулли, Эйлер, Лагранж, Гук. Их работы, в основном, относились к математической стороне задачи и не получили в то время практического применения.
В начале XIX века сопротивление материалов становится основой для расчётов сооружений и машин. Инженер и математик Навье в 1826 году во Франции издал первый курс сопротивления материалов, в котором суммировался весь накопленный в то время объём знаний по этой науке. В это время в России и за рубежом появляются механические лаборатории для испытания материалов с целью определения их механических свойств и проверки теоретических выводов.
В последнее время методы механики деформируемого твёрдого тела усиленно развиваются на базе использования ЭВМ и достижений в физике твёрдого тела.
Основные понятия, гипотезы и принципы . Одним из основных понятий механики деформируемого твёрдого тела является понятие о деформации тела при различных воздействиях. В процессе деформирования изменяется взаимное расположение частиц тела, которые получают перемещения .
Как правило, эти перемещения считаются малыми по сравнению с размерами тела.
Вводится ряд гипотез и допущений, касающихся характера процесса деформирования тела и свойств его материала.
Деформирование называют абсолютно упругим (гипотеза идеальной упругости тела) , если после снятия нагрузки деформации полностью исчезают и восстанавливаются первоначальные размеры и форма тел.
Наличие остаточных деформаций характеризует пластические свойства материала. Процесс деформирования тела с учётом пластических деформаций изучается в курсе теории пластичности.
При нагружении тела с фиксацией нагрузки на определённом уровне с течением времени деформации могут увеличиться, такое явление называют ползучестью. С другой стороны, если деформации тела в течение определённого периода времени остаются неизменными, то внутренние силы и напряжения в теле могут уменьшиться. Такое явление называется релаксацией напряжений .
На основе гипотезы о сплошности тела материал считается сплошным и полностью заполняющим объём, ограниченный поверхностью тела. При этом не учитывается молекулярное состояние вещества.
Строение и состав материала могут быть неодинаковыми в различных точках. В природе все тела более или менее неоднородны. Для многих строительных конструкционных материалов вводится гипотеза об однородности тела , что соответствует осреднению свойств материала по всему объёму.
Материал тела имеет определённые физико-механические характеристики. Если эти характеристики одинаковы по всем направлениям, то материал называется изотропным , а при их различии – анизотропным . Свойством анизотропии в той или иной степени обладают все материалы, но если она незначительна, то её можно пренебречь и считать материал изотропным.
Большое значение в механике деформируемого твёрдого тела имеетпринцип суперпозиции или принцип независимости действия сил . Он справедлив при выполнении закона Гука. Согласно этому принципу какой-либо результат действия нагрузки (деформации, опорные реакции) можно представить в виде суммы аналогичных результатов действия по отдельности всех составляющих нагрузки. Например, удлинение стержня на рис.1.3.а от сил F 1 и F 2 равно сумме его удлинений от раздельного действия этих сил (рис. 1.3.б и 1.3.в)
Рис. 1.3. Иллюстрация принципа независимости действия сил
Использование принципа Сен-Венана позволяет вносить упрощения в расчётные схемы. Этот принцип в середине XIX века сформулировал французский математик и механик. Согласно принципу Сен-Венана напряжённое состояние тела на достаточном удалении от области действия локальных нагрузок мало зависит от детального способа приложения этих нагрузок (рис. 1.4).
Рис. 1.4. Иллюстрация принципа Сен-Венана
Расчётная схема сооружения. Расчёт любой конструкции начинается с построения её расчётной схемы. При этом вводятся схематизации и упрощения, касающиеся характера действия нагрузок, условий опирания, типов конструктивных элементов и т.п. Расчётная схема отображает всё существенное для работы данной конструкции и не содержит второстепенных факторов, мало влияющих на результаты её расчёта.
По геометрическим признакам выделяют три типа расчётных схем.
1. Стержни или брусья (рис. 1.5.а), у которых длина значительно больше размеров поперечного сечения (стойка, вал, балка). Они могут иметь различную форму поперечного сечения (круг, прямоугольник, двутавр, и т.п.), они бывают сплошными и полыми (например, труба), криволинейными и прямолинейными, с постоянными или переменными по длине размерами сечения.
Рис. 1.5. Схемы расчётных элементов: а) стержень; б) пластина;
в) массивное тело
2. Пластины и оболочки (рис 1.5.б) имеют один размер – толщину - намного меньше двух других размеров (плиты перекрытий, панели зданий,).
3. Массивное тело (рис 1.5.в) имеет размер во всех трёх направлениях одного порядка (блоки фундаментов, гидротехнических сооружений).
В инженерных конструкциях широко применяются стержневые системы (рис. 1.6), состоящие из стержней, например рамы и фермы.
Рис. 1.6. Стержневые системы: а) рамы; б) фермы
Виды нагрузок . Нагрузки, действующие на конструкции, классифицируют по ряду признаков.
Поверхностные и объёмные нагрузки . Поверхностные нагрузки можно рассматривать как результат взаимодействия различных конструктивных элементов друг с другом или с различными физическими объектами (грунт, вода, снег). Объёмные нагрузки действуют на каждую частицу внутри тела (собственный вес конструкции, силы инерции).
Активные и реактивные нагрузки. Активные нагрузки, как правило, известны. Реактивные нагрузки – реакции связей, возникают в местах закрепления конструктивного элемента и подлежат определению.
Распределённые и сосредоточенные нагрузки. Все поверхностные нагрузки являются распределёнными по некоторой поверхности конструкции (снег, ветер). Эти нагрузки характеризуются интенсивностью q , которая может быть переменной или постоянной. В последнем случае нагрузка называется равномерно распределённой . При расчёте стержней распределённая по площади нагрузка приводится к линейной, распределённой по длине стержня. При малой площади распределения нагрузку можно считать сосредоточенной .
Статические и динамические нагрузки. При статическом нагружении пренебрегают силами инерции, такое нагружение характеризуется постепенным нарастанием нагрузки до её конечного значения. При динамическом нагружении нагрузки прикладываются внезапно или ударно. В этом случае учёт сил инерции и частоты колебаний является обязательным.
Постоянные и временные нагрузки. К постоянным нагрузкам относят те, которые должны действовать в течение всего периода эксплуатации конструкции (собственный вес). Временные носят периодический характер (давление людей и оборудования на перекрытия здания).
Механика деформируемого твердого тела - наука, в которой изучаются законы равновесия и движения твердых тел в условиях их деформирования при различных воздействиях. Деформация твердого тела заключается в том, что изменяются его размеры и форма. С этим свойством твердых тел как элементов конструкций, сооружений и машин инженер постоянно встречается в своей практической деятельности. Например, стержень под действием растягивающих сил удлиняется, балка, нагруженная поперечной нагрузкой, изгибается и т.п.
При действии нагрузок, а также при тепловых воздействиях в твердых телах возникают внутренние силы, которые характеризуют сопротивление тела деформации. Внутренние силы, отнесенные к единице площади, называются напряжениями.
Исследование напряженного и деформированного состояний твердых тел при различных воздействиях составляет основную задачу механики деформируемого твердого тела.
Сопротивление материалов, теория упругости, теория пластичности, теория ползучести являются разделами механики деформируемого твердого тела. В технических, в частности строительных, вузах эти разделы имеют прикладной характер и служат для разработки и обоснования методов расчета инженерных конструкций и сооружений на прочность, жесткость и устойчивость. Правильное решение этих задач является основой при расчете и проектировании конструкций, машин, механизмов и т.п., поскольку оно обеспечивает их надежность в течение всего периода эксплуатации.
Под прочностью обычно понимается способность безопасной работы конструкции, сооружения и их отдельных элементов, которая исключала бы возможность их разрушения. Потеря (исчерпание) прочности показана на рис. 1.1 на примере разрушения балки при действии силы Р.
Процесс исчерпания прочности без изменения схемы работы конструкции или формы ее равновесия обычно сопровождается нарастанием характерных явлений, таких, например, как появление и развитие трещин.
Устойчивость конструкции - это ее способность сохранять вплоть до разрушения первоначальную форму равновесия. Например, для стержня на рис. 1.2, а до определенного значения сжимающей силы первоначальная прямолинейная форма равновесия будет устойчивой. Если сила превысит некоторое критическое значение, то устойчивым будет искривленное состояние стержня (рис. 1.2, б). При этом стержень будет работать не только на сжатие, но и на изгиб, что может привести к быстрому его разрушению из-за потери устойчивости или к появлению недопустимо больших деформаций.
Потеря устойчивости очень опасна для сооружений и конструкций, поскольку она может произойти в течение короткого промежутка времени.
Жесткость конструкции характеризует ее способность препятствовать развитию деформаций (удлинений, прогибов, углов закручивания и т.п.). Обычно жесткость конструкций и сооружений регламентируется нормами проектирования. Например, максимальные прогибы балок (рис. 1.3), применяемых в строительстве, должны находиться в пределах /= (1/200 + 1/1000)/, углы закручивания валов обычно не превышают 2° на 1 метр длины вала и т.п.
Решение проблем надежности конструкций сопровождается поисками наиболее оптимальных вариантов с точки зрения эффективности работы или эксплуатации конструкций, расхода материалов, технологичности возведения или изготовления, эстетичности восприятия и т.п.
Сопротивление материалов в технических вузах является по существу первой в процессе обучения инженерной дисциплиной в области проектирования и расчета сооружений и машин. В курсе сопротивления материалов в основном излагаются методы расчета наиболее простых конструктивных элементов - стержней (балок, брусьев). При этом вводятся различные упрощающие гипотезы, с помощью которых выводятся простые расчетные формулы.
В сопротивлении материалов широко используются методы теоретической механики и высшей математики, а также данные экспериментальных исследований. На сопротивление материалов как на базовую дисциплину в значительной степени опираются дисциплины, изучаемые студентами на старших курсах, такие как строительная механика, строительные конструкции, испытание сооружений, динамика и прочность машин и т.д.
Теория упругости, теория ползучести, теория пластичности являются наиболее общими разделами механики деформируемого твердого тела. Вводимые в этих разделах гипотезы носят общий характер и в основном касаются поведения материала тела в процессе его деформирования под действием нагрузки.
В теориях упругости, пластичности и ползучести используются по возможности точные или достаточно строгие методы аналитического решения задач, что требует привлечения специальных разделов математики. Получаемые здесь результаты позволяют дать методы расчета более сложных конструктивных элементов, например пластин и оболочек, разработать методы решения специальных задач, таких, например, как задача о концентрации напряжений вблизи отверстий, а также установить области использования решений сопротивления материалов.
В тех случаях, когда механика деформируемого твердого тела не может дать достаточно простые и доступные для инженерной практики методы расчета конструкций, используются различные экспериментальные методы определения напряжений и деформаций в реальных конструкциях или в их моделях (например, метод тензометрии, поляризационно-оптический метод, метод голографии и т.п.).
Формирование сопротивления материалов как науки можно отнести к середине прошлого века, что было связано с интенсивным развитием промышленности и строительством железных дорог.
Запросы инженерной практики дали импульс исследованиям в области прочности и надежности конструкций, сооружений и машин. Ученые и инженеры в этот период разработали достаточно простые методы расчета элементов конструкций и заложили основы дальнейшего развития науки о прочности.
Теория упругости начала развиваться в начале XIX века как математическая наука, не имеющая прикладного характера. Теория пластичности и теория ползучести как самостоятельные разделы механики деформируемого твердого тела сформировались в XX веке.
Механика деформируемого твердого тела является во всех своих разделах постоянно развивающейся наукой. Разрабатываются новые методы определения напряженного и деформированного состояний тел. Широкое применение получили различные численные методы решения задач, что связано с внедрением и использованием ЭВМ практически во всех сферах науки и инженерной практики.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МЕХАНИКИ
ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
В настоящей главе приведены основные понятия, которые ранее изучались в курсах физики, теоретической механики и сопротивления материалов.
1.1. Предмет механики деформируемого твердого тела
Механика деформируемого твердого тела – это наука о равновесии и движении твердых тел и отдельных их частиц, учитывающая изменения расстояний между отдельными точками тела, которые возникают в результате внешних воздействий на твердое тело. В основу механики деформируемого твердого тела положены законы движения, открытые Ньютоном, поскольку скорости движения реальных твердых тел и отдельных их частиц относительно друг друга существенно меньше скорости света. В отличие от теоретической механики здесь рассматриваются изменения расстояний между отдельными частицами тела. Последнее обстоятельство налагает определенные ограничения на принципы теоретической механики. В частности в механике деформируемого твердого тела недопустим перенос точек приложения внешних сил и моментов.
Анализ поведения деформируемых твердых тел под воздействием внешних сил производится на базе математических моделей, отражающих наиболее существенные свойства деформируемых тел и материалов, из которых они выполнены. При этом для описания свойств материала используются результаты экспериментальных исследований, которые послужили основой для создания моделей материала. В зависимости от модели материала механика деформируемого твердого тела делится на разделы: теорию упругости, теорию пластичности, теорию ползучести, теорию вязкоупругости. В свою очередь механика деформируемого твердого тела входит в состав более общей части механики – механики сплошных сред. Механика сплошных сред, являясь разделом теоретической физики, изучает законы движения твердых, жидких и газообразных сред, а также плазмы и непрерывных физических полей.
Развитие механики деформируемого твердого тела в значительной мере связано с задачами создания надежных сооружений и машин. Надежность сооружения и машины, так же как и надежность всех их элементов обеспечиваются прочностью, жесткостью, устойчивостью и выносливостью в течение всего срока эксплуатации. Под прочностью понимается способность сооружения (машины) и всех его (ее) элементов сохранять свою целостность при внешних воздействиях без разделения на заранее не предусмотренные части. При недостаточной прочности сооружение или отдельные его элементы разрушаются путем разделения единого целого на части. Жесткость сооружения определяется мерой изменения формы и размеров сооружения и его элементов при внешних воздействиях. Если изменения формы и размеров сооружения и его элементов не велики и не мешают нормальной эксплуатации, то такое сооружение считается достаточно жестким. В противном случае жесткость считается недостаточной. Устойчивость сооружения характеризуется способностью сооружения и его элементов сохранять свою форму равновесия при действии случайных не предусмотренных условиями эксплуатации сил (возмущающих сил). Сооружение находится в устойчивом состоянии, если после устранения возмущающих сил оно возвращается к исходной форме равновесия. В противном случае происходит потеря устойчивости исходной формы равновесия, которая, как правило, сопровождается разрушением сооружения. Под выносливостью понимается способность сооружения сопротивляться воздействию переменных во времени сил. Переменные силы вызывают рост микроскопических трещин внутри материала сооружения, которые могут привести к разрушению элементов конструкции и сооружения в целом. Поэтому для предотвращения разрушения приходится ограничивать величины переменных во времени сил. Кроме того, низшие частоты собственных колебаний сооружения и его элементов не должны совпадать (или находиться вблизи) с частотами колебаний внешних сил. В противном случае сооружение или его отдельные элементы входят в резонанс, что может явиться причиной разрушения и вывода из строя сооружения.
Подавляющее большинство исследований в области механики деформируемого твердого тела направлено на создание надежных сооружений и машин. Сюда входят вопросы проектирования сооружений и машин и проблемы технологических процессов обработки материалов. Но сфера применения механики деформируемого твердого тела не ограничивается одними техническими науками. Ее методы широко используются в естественных науках, таких как геофизика, физика твердого тела, геология, биология. Так в геофизике с помощью механики деформируемого твердого тела изучаются процессы распространения сейсмических волн и процессы формирования земной коры, изучаются фундаментальные вопросы строения земной коры и т.д.
1.2. Общие свойства твердых тел
Все твердые тела состоят из реальных материалов, обладающих огромным количеством разнообразных свойств. Из них лишь только некоторые имеют существенное значение для механики деформируемого твердого тела. Поэтому материал наделяется лишь теми свойствами, которые позволяют с наименьшими затратами изучить поведение твердых тел в рамках рассматриваемой науки.
Определение 1
Механика твердого тела - обширный раздел физики, исследующий движение твердого тела под воздействием внешних факторов и сил.
Рисунок 1. Механика твердого тела. Автор24 - интернет-биржа студенческих работ
Данное научное направление охватывает очень широкий круг вопросов в физике – в ней изучаются различные объекты, а также мельчайшие элементарные частицы вещества. В этих предельных случаях выводы механики представляют чисто теоретический интерес, предметом которого является также проектирование многих физических моделей и программ.
На сегодняшний день различают 5 видов движения твердого тела:
- поступательное движение;
- плоскопараллельное движение;
- вращательное движение вокруг неподвижной оси;
- вращательное вокруг неподвижной точки;
- свободное равномерное движение.
Любое сложное движение материального вещества может быть в итоге сведено к совокупности вращательного и поступательного движений. Фундаментальное и важное значение для всей этой тематики имеет механика движения твердого тела, предполагающая математическое описание вероятных изменений в среде и динамику, которая рассматривает движение элементов под действием заданных сил.
Особенности механики твердого тела
Твердое тело, которое систематически принимает разнообразные ориентации в любом пространстве, можно считать состоящим из огромного количества материальных точек. Это просто математический метод, помогающий расширить применимость теорий движения частиц, но не имеющий ничего общего с теорией атомного строения реального вещества. Поскольку материальные точки исследуемого тела будут направляться в разных направлениях с различными скоростями, приходится применять процедуру суммирования.
В этом случае, нетрудно определить кинетическую энергию цилиндра, если заранее известен вращающегося вокруг неподвижного вектора с угловой скоростью параметр. Момент инерции можно вычислить посредством интегрирования, и для однородного предмета равновесие всех сил возможно, если пластина не двигалась, следовательно, компоненты среды удовлетворяют условию векторной стабильности. В результате выполняется выведенное на изначальном этапе проектирования соотношение. Оба эти принципа составляют базу теории строительной механики и необходимы при возведении мостов и зданий.
Изложенное возможно обобщить на тот случай, когда отсутствуют неподвижные линии и физическое тело свободно вращается в любом пространстве. При таком процессе имеются три момента инерции, относящиеся к «ключевым осям». Проводившиеся постулаты в механике твердого вещества упрощаются, если пользоваться существующими обозначениями математического анализа, в которых предполагается предельный переход $(t → t0)$, так что нет надобности все время думать, как решить этот вопрос.
Интересно, что Ньютон первым применил принципы интегрального и дифференциального исчисления при решении сложных физических задач, а последующее становление механики как комплексной науки было делом таких выдающихся математиков, как Ж.Лагранж, Л.Эйлер, П.Лаплас и К.Якоби. Каждый из указанных исследователей находил в ньютоновском учении источник вдохновения для своих универсальных математических изысканий.
Момент инерции
При исследовании вращения твердого тела физики часто пользуются понятием момента инерции.
Определение 2
Моментом инерции системы (материального тела) относительно оси вращения называется физическая величина, которая равна сумме произведений показателей точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемого вектора.
Суммирование производится по всем движущимся элементарным массам, на которые разбивается физическое тело. Если изначально известен момент инерции исследуемого предмета относительно проходящей через его центр масс оси, то весь процесс относительно любой другой параллельной линии определяется теоремой Штейнера.
Теорема Штейнера гласит: момент инерции вещества относительно вектора вращения равен моменту его изменения относительно параллельной оси, которая проходит через центр масс системы, полученному посредством произведения масс тела на квадрат расстояния между линиями.
При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижного вектора каждая отдельная точка движется по окружности постоянного радиуса с определенной скоростью и внутренний импульс перпендикулярны этому радиусу.
Деформация твердого тела
Рисунок 2. Деформация твердого тела. Автор24 - интернет-биржа студенческих работ
Рассматривая механику твердого тела, часто используют понятие абсолютно твердого тела. Однако в природе не существует таких веществ, так как все реальные предметы под влиянием внешних сил изменяют свои размеры и форму, то есть деформируются.
Определение 3
Деформация называется постоянной и упругой, если после прекращения влияния посторонних факторов тело принимает первоначальные параметры.
Деформации, которые сохраняются в веществе после прекращения взаимодействия сил, называются остаточными или пластическими.
Деформации абсолютного реального тела в механике всегда пластические, так как они после прекращения дополнительного влияния никогда полностью не исчезают. Однако если остаточные изменения малы, то ими возможно пренебречь и исследовать более упругие деформации. Все виды деформации (сжатие или растяжение, изгиб, кручение) могут быть в итоге сведены к происходящим одновременно трансформациям.
Если сила движется строго по нормали к плоской поверхности, напряжение носит название нормальным, если же по касательной к среде – тангенциальным.
Количественной мерой, которая характеризует характеризующей деформации, испытываемой материальным телом, является его относительное изменение.
За пределом упругости в твердом теле появляются остаточные деформации и график, детально описывающий возвращение вещества в первоначальное состояние после окончательного прекращения действия силы, изображается не на кривой, а параллельно ей. Диаграмма напряжений для реальных физических тел напрямую зависит от различных факторов. Один и тот же предмет может при кратковременном воздействии сил проявлять себя как совершенно хрупкое, а при длительных - постоянным и текучим.