Стационарные и нестационарные стохастические процессы. Стационарный процесс

На практике очень часто встречаются случайные процессы, протекающие во времени приблизительно однородно и имеющие вид непрерывных случайных колебаний вокруг некоторого среднего значения, причем ни средняя амплитуда, ни характер этих колебаний не обнаруживают существенных изменений с течением времени. Такие случайные процессы называются стационарными.

В качестве примеров стационарных случайных процессов можно привести: случайные шумы в радиоприемнике; процесс качки корабля и т. п. Каждый стационарный процесс можно рассматривать как продолжающийся во времени неопределенно долго; при исследовании стационарного процесса в качестве начала отсчета можно выбрать любой момент времени. Исследуя стационарный процесс на любом участке времени, мы должны получить одни и те же его характеристики. Образно выражаясь, стационарный процесс «не имеет ни начала, ни конца».

Случайный процесс называется стационарным в строгом (узком) смысле, если его функция распределения любого порядка не изменяется при сдвиге совокупности точек на величину , т.е. Другими словами, для стационарного процесса функция распределения любого порядка и, следовательно, его характеристики не зависят от положения начала отсчета времени. Стационарность означает статистическую однородность процесса во времени. Физически стационарный случайный процесс представляет собой случайный процесс в установившемся режиме.

Если приведенное выше условие не выполняется, то процесс называется нестационарным. Заметим, что далеко не все нестационарные случайные процессы являются существенно нестационарными на всем протяжении своего развития. Существуют нестационарные процессы, которые (на известных отрезках времени и с известным приближением) могут быть приняты за стационарные.

Из определения стационарного процесса следует, что т.е. одномерная функция распределения вообще не зависит от времени, а двумерная функция распределения зависят только от разностей времен . Отсюда следует, что для стационарного случайного процесса среднее значение и дисперсия являются постоянными величинами, т.е. не зависит от времени, а корреляционная функция такого процесса зависит только от одной переменной



Случайный процесс называют стационарным в широком смысле, если его среднее значение и дисперсия не зависят от времени, а корреляционная функция зависит только от разности времен . Стационарность в широком смысле не тождественна строгому определению стационарности. Случайные процессы, стационарные в строгом смысле, всегда стационарны в широком смысле, но не наоборот.

Стационарным случайным процессом называется такой процесс, вероятностные характеристики которого не зависят от времени. Все плотности вероятностей не меняются при любом сдвиге рассматриваемого участка процесса во времени, т. е. при сохранении постоянной разности.

Можно сказать, что стационарный случайный процесс в какой-то мере аналогичен обычным стационарным или установившимся процессам в автоматических системах. Например, при рассмотрении обычных установившихся периодических колебаний ничего не изменится, если перенести начало отсчета на какую-нибудь величину. При этом сохранят свои значения такие характеристики, как частота, амплитуда, среднеквадратичное значение и т. п.

В стационарном случайном процессе закон распределения один и тот же для каждого момента времени, т. е. плотность вероятности не зависит от времени:

Отсюда получаем вдоль всего случайного процесса. Следовательно, в стационарном случайном процессе средняя линия, в отличие от общего случая (см. рис. 11.12), будет прямая (рис. 11.13), подобно постоянному смещению средней линии обычных периодических

колебаний. Рассеяние значений переменной х в стационарном случайном процессе, определяемое также будет все время одинаковым, подобно постоянному значению среднеквадратичного отклонения обычных установившихся колебаний от средней линии.

Аналогичным образом и двумерная плотность вероятности также будет «дна и та же для одного и того же промежутка времени - между любыми (рис. 11.13), т. е.

и также для -мерной плотности вероятности.

Задание всех этих функций распределения плотности определяет случайный процесс. Однако более удобно иметь дело с некоторыми осредненными и характеристиками процесса.

Прежде чем перейти к ним, отметим два важных для практики свойства.

1. Ограничиваясь только стационарными случайными процессами, можно будет определить только установившиеся (стационарные) динамические ошибки автоматических систем при случайных воздействиях. Такой прием применялся и ранее при рассмотрении регулярных воздействий, когда определялись динамические свойства систем регулирования по величине динамических ошибок в установившемся периодическом режиме.

2. Стационарные случайные процессы обладают замечательным свойством, которое известно под названием эргодической гипотезы.

Для стационарного случайного процесса с вероятностью, равной единице (т. е. практически достоверно), всякое среднее по множеству равно соответствующему среднему по времени, в частности

В самом деле, поскольку вероятностные характеристики стационарного случайного процесса с течением времени не меняются (например, то длительное наблюдение случайного процесса на одном объекте (среднее но времени) дает в среднем такую же картину, как и большое число наблюдений, сделанное в один и тот же момент времени на большом числе одинаковых объектов (среднее по множеству).

Для многих случаев существует математическое доказательство этого свойства. Тогда оно сводится к эргодической теореме.

Итак, среднее значение (математическое ожидание) для стационарного процесса будет

Аналогичным образом могут быть записаны моменты более высоких порядков - дисперсия, среднеквадратичное отклонение и т. п.

Эргодическая гипотеза позволяет сильно упрощать все расчеты и эксперименты. Она позволяет для определения вместо параллельного испытания многих однотипных систем в один и тот же момент времени, пользоваться одной кривой полученной при испытании одной системы в течение длительного времени.

Таким образом, важное свойство стационарного случайного процесса состоит в том, что отдельная его реализация на бесконечном промежутке времени полностью определяет собой весь случайный процесс со всеми бесчисленными возможными его реализациями. Этим свойством не обладает никакой другой тип случайного процесса.

Определение. Случайным процессом Х (t ) называется процесс, значение которого при любом значении аргумента t является случайной величиной.

На практике часто встречаются случайные процессы, протекающие во времени приблизительно однородно и имеющие вид случайных колебаний вокруг некоторого среднего значения, причем ни средняя амплитуда, ни характер этих колебаний существенно не изменяются с течением времени. Такие случайные процессы называются стационарными . Примерами стационарных случайных процессов могут служить колебания самолета на установившемся режиме горизонтального полета, колебания напряжения в электрической цепи, случайные шумы в радиоприемнике, процесс качки корабля, и т.д.

Каждый стационарный процесс можно рассматривать как продолжающийся во времени непрерывно долго, и при исследовании стационарного процесса в качестве начала отсчета можно выбрать любой момент времени. Исследуя стационарный процесс на любом участке времени, мы должны получить одни и те же его характеристики.

Как правило, случайный процесс в любой динамической системе начинается с нестационарной стадии, после чего система обычно переходит в установившийся режим, и тогда процессы, происходящие в ней, можно считать стационарными. В связи с этим получила широкое применение теория стационарных случайных процессов или, точнее, теория стационарных случайных функций (так как аргументом стационарной случайной функции в общем случае может быть и не время).

Определение . Случайная функция Х (t ) называется стационарной , если все ее вероятностные характеристики не зависят от t (точнее, не меняются при любом сдвиге аргументов, от которых они зависят, по оси t ).

В предыдущей главе при изучении случайных функций мы не пользовались такими вероятностными характеристиками, как законы распределения: изучались только математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция. Сформулируем определение стационарной случайной функции в терминах этих характеристик.



Так как изменение стационарной случайной функции должно протекать однородно по времени, естественно потребовать, чтобы ее математическое ожидание было постоянным:

m x (t ) = m x = const .

Обратим внимание, однако, на то, что это требование не является существенным: мы знаем, что от случайной функции Х (t ) всегда можно перейти к центрированной случайной функции , для которой математическое ожидание тождественно равно нулю. Таким образом, если случайный процесс нестационарен только за счет математического ожидания, то это не мешает изучать его как стационарный.

Второе условие, которому, очевидно, должна удовлетворять стационарная случайная функция, - это условие постоянства дисперсии:

D x (t ) = D x = const .

Теперь установим, какому условию должна удовлетворять корреляционная функция стационарной случайной функции. Рассмотрим случайную функцию Х (t ) и положим в выражении K x (t 1 , t 2) t 2 = t 1 + τ . Рассмотрим теперь K x (t 1 , t 1 + τ ) – корреляционный момент двух сечений случайной функции, разделенных интервалом времени τ . Очевидно, если случайный процесс действительно стационарен, то этот корреляционный момент не должен зависеть от того , где именно на оси 0t мы взяли участок τ , а только от длины этого участка. Т.е., корреляционная функция стационарного случайного процесса должна зависеть только от промежутка между первым и вторым аргументами

K x (t 1 , t 1 + τ ) = k x (τ ).

Т.о., корреляционная функция стационарного случайного процесса есть функция одного аргумента, что сильно упрощает операции над стационарными случайными функциями.

Заметим, что постоянство дисперсии является частным случаем приведенной формулы, т.к. D x (t ) = K x (t , t ) = k x (0) = const .

Таким образом, переформулируем с помощью вышеприведенных рассуждений определение стационарной случайной функции – это есть случайная функция Х (t ), математическое ожидание которой постоянно при всех значениях аргумента t и корреляционная функция которой зависит только от разности аргументов t 2 - t 1 . При этом корреляционная функция есть функция одного аргумента, а дисперсия равна значению корреляционной функции в начале координат (при τ = t 2 - t 1 = 0).

Свойства корреляционной функции стационарной функции .

1 0 . Корреляционная функция стационарной случайной функции – четная функция: k x (τ ) = k x (-τ ). Это следует из того, что K x (t 1 , t 2) = K x (t 2 , t 1).

2 0 . Абсолютная величина корреляционной функции стационарной случайной функции не превышает ее значения в начале координат: |k x (τ )| ≤ k x (0).

На практике вместо корреляционной функции k x (τ ) часто пользуются нормированной корреляционной функцией :

ρ x (τ ) = ,

где D x = k x (0) – постоянная дисперсия стационарного процесса. Очевидно, что ρ x (0) ≡ 1.

Введем еще одно понятие, связанное со стационарностью.

Определение . Две случайные функции называются стационарно связанными , если их взаимная корреляционная функция зависит только от разности аргументов.

Обратим внимание на то, что не всякие две стационарные функции стационарно связаны; с другой стороны, две нестационарные функции могут быть стационарно связаны.

Определение [ | ]

X t (⋅) : Ω → R , t ∈ T {\displaystyle X_{t}(\cdot)\colon \Omega \to \mathbb {R} ,\quad t\in T} ,

где T {\displaystyle T} произвольное множество , называется случайной функцией .

Терминология [ | ]

Данная классификация нестрогая. В частности, термин «случайный процесс» часто используется как безусловный синоним термина «случайная функция».

Классификация [ | ]

  • Случайный процесс X (t) {\displaystyle X(t)} называется процессом дискретным во времени , если система, в которой он протекает, меняет свои состояния только в моменты времени t 1 , t 2 , … {\displaystyle \;t_{1},t_{2},\ldots } , число которых конечно или счётно. Случайный процесс называется процессом с непрерывным временем , если переход из состояния в состояние может происходить в любой момент времени.
  • Случайный процесс называется процессом с непрерывными состояниями , если значением случайного процесса является непрерывная случайная величина. Случайный процесс называется случайным процессом с дискретными состояниями , если значением случайного процесса является дискретная случайная величина:
  • Случайный процесс называется стационарным , если все многомерные законы распределения зависят только от взаимного расположения моментов времени t 1 , t 2 , … , t n {\displaystyle \;t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}} , но не от самих значений этих величин. Другими словами, случайный процесс называется стационарным , если его вероятностные закономерности неизменны во времени. В противном случае, он называется нестационарным .
  • Случайная функция называется стационарной в широком смысле , если её математическое ожидание и дисперсия постоянны, а АКФ зависит только от разности моментов времени, для которых взяты ординаты случайной функции. Понятие ввёл А. Я. Хинчин .
  • Случайный процесс называется процессом со стационарными приращениями определённого порядка, если вероятностные закономерности такого приращения неизменны во времени. Такие процессы были рассмотрены Ягломом .
  • Если ординаты случайной функции подчиняются нормальному закону распределения , то и сама функция называется нормальной .
  • Случайные функции, закон распределения ординат которых в будущий момент времени полностью определяется значением ординаты процесса в настоящий момент времени и не зависит от значений ординат процесса в предыдущие моменты времени, называются марковскими .
  • Случайный процесс называется процессом с независимыми приращениями , если для любого набора t 1 , t 2 , … , t n {\displaystyle t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}} , где n > 2 {\displaystyle n>2} , а t 1 < t 2 < … < t n {\displaystyle t_{1}, случайные величины (X t 2 − X t 1) {\displaystyle (X_{t_{2}}-X_{t_{1}})} , (X t 3 − X t 2) {\displaystyle (X_{t_{3}}-X_{t_{2}})} , … {\displaystyle \ldots } , (X t n − X t n − 1) {\displaystyle (X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}})} независимы в совокупности.
  • Если при определении моментных функций стационарного случайного процесса операцию усреднения по статистическому ансамблю можно заменить усреднением по времени, то такой стационарный случайный процесс называется эргодическим .
  • Среди случайных процессов выделяют импульсные случайные процессы .

Траектория случайного процесса [ | ]

Пусть дан случайный процесс { X t } t ∈ T {\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in T}} . Тогда для каждого фиксированного t ∈ T {\displaystyle t\in T} X t {\displaystyle X_{t}} - случайная величина, называемая сечением . Если фиксирован элементарный исход ω ∈ Ω {\displaystyle \omega \in \Omega } , то X t: T → R {\displaystyle X_{t}\colon T\to \mathbb {R} } - детерминированная функция параметра t {\displaystyle t} . Такая функция называется траекто́рией или реализа́цией случайной функции { X t } {\displaystyle \{X_{t}\}} .

Понятие стационарного случайного процесса. Характеристики стационарной случайной функции. Спектральная плотность ССФ. Эргодическое свойство ССФ.

Рассмотрение на примерах свойств ССФ;

Определение КФ и спектральной плотности ССФ;

Рассмотрение свойств стационарного белого шума.

Вопросы

Примеры

Пояснение. Стационарно связанными называются две случайные функции X (t ) и Y (t ) , взаимная корреляционная функция которых зависит только от разности аргументов
:
.

Не всякие две стационарные функции стационарно связаны; две нестационарные функции могут быть стационарно связанными.

Пример 1 . Задана случайная функция
, где- случайная величина, распределенная равномерно в интервале
.

Доказать, что
- стационарная функция.

Решение .

По формуле МО непрерывной случайной величины имеем:

,

т.е.
.

По формуле КФ случайной функции
(см. Тему 10), учитывая, что

МО второго слагаемого равно нулю, поэтому окончательно

Таким образом, МО функции
постоянно при всех значениях аргумента, а КФ зависит только от разности аргументов.

Следовательно,
- стационарная случайная функция.

Пример 2. Заданы две ССФ:
и
, где- случайная величина, распределенная равномерно в интервале (0,2).

Доказать, что заданные функции стационарно связаны.

Решение. В соответствии с решением предыдущего примера
.

По формуле взаимной КФ двух СФ
и
. (см. пример 2, Тема 10) имеем.

МО второго слагаемого равно нулю, поэтому окончательно .

Так как взаимная КФ зависит только от разности аргументов, то функции X (t ) и Y (t ) являются стационарно связанными.

Пример 3. Нормированная спектральная плотность норм
случайной функцииX (t ) постоянна в интервале частот ,и равна нулю вне этого интервала.

Определить нормированную корреляционную функцию случайной функции X (t ).

Решение. Значение норм
при
норм
при
определяется из условия, что площадь, ограниченная кривой
норм
, рана единице.

норм

Далее по формуле Винера – Хинчиа (в действительной форме) определяем нормированную КФ
случайной функцииX(t):

Общие виды функций
и
представлены на рис.1 и рис. 2. Конкретные виды графиков зависят от значений,.

В пределе при
т.е. при
спектр случайной функции обращается в дискретный с одной единственной линией, соответствующей частоте; при этом корреляционная функция обращается в обычную косинусоиду:
.

Замечание. При дискретном спектре с одной линией спектральное разложение ССФ
имеет вид:
, гдеи- некоррелированные случайные величины с МО, равными нулю, и равными дисперсиями:
.

Пример 4. Найти спектральную плотность, ССФ
, если задана её корреляционная функция
.

Решение. По формуле спектральной плоскости ССФ

.

Общие виды функций
и
представлены на рис. 3 и 4.

При уменьшении корреляционная функция будет убывать медленнее; характер изменения случайной функции становится более плавным, в спектре больший «удельной вес» приобретают малые частоты: кривая спектральной плотности вытягивается вверх, сжимаясь с боков; в пределе при
случайная функция выродится в обычную случайную величину с дискретным спектром, состоящим из единственной линии с частотой
.

При увеличении корреляционная функция убывает быстрее, колебания случайной функции становятся более резкими и беспорядочными; в спектре преобладание малых частот становится все менее выраженным; в пределе при
спектр случайной функции приближается к равномерному, так называемому белому спектру, в котором нет преобладания каких – либо частот.

Пример 5. Найти корреляционную функцию стационарного белого шума – стационарной случайной функции с постоянной спектральной плотностью
.

Решение. По формуле Винера – Хинчина

.

Учитывая, что
, где
-дельта функция,

имеем
.

Тогда окончательно
.

Пояснение. Формально дельта – функцией
называется такая функция, которая равна бесконечности, когда её аргумент равен нулю, и равна нулю при остальных значениях аргумента, причем интеграл от дельта – функции, распространенный на сколь угодно малый отрезок, включающий особую точку, равен единице.

Задачи

1. Найти дисперсию ССФ
, зная её спектральную плотность
.

2. Найти спектральную плотность ССФ
, зная её КФ
при
; КФ равна нулю при
.

Тема 12

Стационарные случайные функции(ССФ)

Преобразование стационарной случайной функции стационарной линейной системой.

Практическое занятие включает:

Определение МО, спектральной плотности и дисперсии ССФ на выходе стационарной линейной системы в установившемся режиме.

Вопросы

1. Дайте определение линейного однородного оператора динамической системы. Перечислите его свойства.

2. Приведите примеры линейных однородных операторов.

3. Дайте характеристику стационарной линейной динамической системы.

4. Что называется передаточной функцией и частотной характеристикой линейной динамической системы?

5. Напишите соотношение, связывающее входную и выходную функции спектральной плотности линейной динамической системы.

Примеры

Пример 1. На вход линейной стационарной динамической системы описываемой уравнением , подается ССФ
с
. Найти МО
на выходе системы в установившемся режиме (после затухания переходного процесса).

Решение. , или

Так как X(t) и Y(t) – стационарные функции, а МО производной стационарной функции равно нулю, то 2
, откуда
.

Пример 2 . На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением , подается ССФ
с

Решение. 1). Используя решение примера 4 предыдущего занятия при
и
, получим.

2). Для нахождения передаточной функции запишем заданное дифференциальное уравнение в операторной форме: , или,

Следовательно, передаточная функция .

3). Частотная характеристика системы получается из передаточной функции при
:.

4). Спектральная плотность
на выходе системы определяется по формуле

5). Искомая дисперсия находится по формуле

Представив подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей, имеем

.

Задачи

1. На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением , подается ССФ
с математическим ожиданием
. Найти МО случайной функции
на выходе системы в установившемся режиме.

2. На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением
, поступает ССФ
с постоянной спектральной плотностью(белый шум).

Найти дисперсию случайной функции
на выходе системы в установившемся режиме.

3. На вход линейной стационарной динамической системы с передаточной функцией поступает ССФ Х со спектральной плотностью
. Найти дисперсию случайной функции
на выходе системы в установившемся режиме.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ

1.
.

8.
.

2.
,
.

9.
.

3.
.

10.

4.
.

11.
.

5.
.

12.
.

6.
.

13.
.

7.
.

14.
.
Рекомендуем почитать