Квадратный трехчлен и его корни. Расположение корней квадратного трехчлена на числовой прямой. Основные типы и методы решения задач с параметрами

Цели урока: рассмотреть свойства соединений серы – сероводорода, сероводородной кислоты и ее солей; сернистой кислоты и ее солей.

Оборудование: образцы сульфидов, сульфитов металлов, компьютерная презентация.

Ход урока

I. Подготовка к уроку

(Проверить готовность к уроку групп учащихся, оборудования, класса; отметить в классном журнале отсутствующих учащихся; сообщить тему и цели урока) .

II. Проверка знаний учащихся.

1. Решить задачу “Слайд № 1-1”:

Самородная сера, содержащая 30% примесей, была использована для получения оксида серы (IV) массой 8 г. Определите массу (в граммах) самородной серы.

Ответ: m(S) = 5,7 г.

2. Устные вопросы:

Расскажите о строении атома серы и степени окисления её.
Охарактеризуйте аллотропию серы.
Раскройте химические свойства серы.

3. Запишите уравнение химической реакции с точки зрения электролитической диссоциации между сульфатом цинка и гидроксидом калия “Слайд № 1-1”.

4. Проверка письменного домашнего задания – 6 учащихся.

5. Блок вопросов “Слайд № 2”:

Прочитайте формулировку Периодического закона, данную Д.И. Менделеевым (свойства химических элементов и образованных ими веществ находятся в периодической зависимости от относительных атомных масс элементов).
Прочитайте современную формулировку Периодического закона (свойства химических элементов и образованных ими веществ находятся в периодической зависимости от зарядов их атомных ядер).
Что называют химическим элементом? (химический элемент – это атомы одного вида)
В каких формах существует химический элемент? (химический элемент существует в трех формах: свободные атомы, простые вещества, сложные вещества).
Какие вещества называют простыми? (простыми называют вещества, молекула которых образована атомами одного химического элемента).
Какие вещества называют сложными? (сложными называют вещества, молекула которых образована атомами разных химических элементов).
На какие классы делятся сложные вещества? (сложные вещества делятся на четыре класса: оксиды, основания, кислоты, соли).
Какие вещества называют солями? (соли – это сложные вещества, молекула которых состоит из атомов металла и кислотных остатков).
Какие вещества называют кислотами? (кислоты – это сложные вещества, молекула которых состоит из атомов водорода и кислотного остатка).

III. Изучение нового материала.

План изучения нового материала “Слайд № 3”.

Сероводород и сульфиды.
Сернистая кислота и её соли.

1. Сероводород и сульфиды.

Сегодня мы как раз и познакомимся с некоторыми кислотами, которые образует сера. На прошлом уроке было отмечено, что при взаимодействии водорода и серы получается сероводород. Точно также проходит реакция водорода со всеми халькогенами. (H 2 O – H 2 S – H 2 Se – H 2 Te) “Слайд № 4-1”. Из них только вода представляет собой жидкость, остальные – газы, растворы которых будут проявлять кислотные свойства. Подобно галогеноводородам, прочность молекул халькогеноводородов уменьшается, а сила кислот, наоборот, возрастает “Слайд № 4-2”.

Сероводород – бесцветный газ с резким запахом. Он очень ядовит. Является сильнейшим восстановителем. Как восстановитель он активно взаимодействует с растворами галогенов “Слайд № 5-1”:

H 2 + S -2 + I 2 0 = S 0 + 2H + I -

Сероводород горит “Слайд № 5-2”:

2H 2 S + O 2 = 2H 2 O + 2S(при охлаждении пламени).

2H 2 S + 3O 2 = 2H 2 O + 2SO 2

При растворении сероводорода в воде образуется слабая сероводородная кислота [Демонстрация действия на кислоту индикаторов].

Сульфиды щелочных и щелочноземельных металлов, а также сульфид аммония хорошо растворимы и окрашены в различные цвета.

Задание. Проклассифицируйте сероводородную кислоту (сероводородная – это бескислородная, двухосновная кислота).

Таким образом, диссоциация сероводородной кислоты происходит ступенчато “Слайд № 5-3”:

H 2 S <–> H + + HS - (первая ступень диссоциации)

HS - <–> H + + S 2- (вторая ступень диссоциации),

значит, сероводородная кислота образует два вида солей:

гидросульфиды – соли, в которых металлом замещен только один атом водорода (NaHS)

сульфиды – соли, в которых металлом замещены оба атома водорода (Na 2 S).

2. Сернистая кислота и её соли .

Рассмотрим еще одну кислоту, которую образует сера. Мы уже выяснили, что при горении сероводорода образуется оксид серы (IV). Это бесцветный газ с характерным запахом. Он проявляет типичные свойства кислотных оксидов и хорошо растворяется в воде, образуя слабую сернистую кислоту [Демонстрация действия на кислоту индикаторов]. Она не устойчива и разлагается на исходные вещества “Слайд № 6-1”:

H 2 O + SO 2 <–> H 2 SO 3

Оксид серы (IV) можно получить разными способами “Слайд № 6-2:

а) горение серы;
б) горение сероводорода;
в) общих сульфидов.

Оксид серы (IV) и сернистая кислота являются типичными восстановителями и одновременно слабыми окислителями “Слайд № 7-1”. [Демонстрация действия кислоты на цветную ткань].

Таблица 1. “Слайд № 7-2”

Степени окисления серы в соединениях.

Вывод “Слайд № 8”. Только восстановительные свойства проявляют элементы, находящиеся в низшей степени окисления .

Только окислительные свойства проявляют элементы, находящиеся в высшей степени окисления .

Как восстановительные, так и окислительные свойства проявляют элементы, имеющие промежуточную степень окисления .

Задание. Проклассифицируйте сернистую кислоту (сернистая – это бескислородная, двухосновная кислота).

Значит, сернистая кислота образует два вида солей:

гидросульфиты – соли, в которых металлом замещен только один атом водорода (NaHSО 3)

сульфиты – соли, в которых металлом замещены оба атома водорода (Na 2 SО 3).

IV. Задание на дом
“Слайд № 9”: § 23 (с.134-140) упр. 1, 2, 5.

“Слайд № 10”.

Литература

Габриелян О.С. Химия. 9 класс: учебн. для общеобразоват. учреждений / О.С. Габриелян. – 14-е изд., испр. – М. : Дрофа, 2008. – 270, с. : ил.
Габриелян О.С. Настольная книга учителя. Химия. 9класс / О.С. Габриелян, И.Г. Остроумов. – М.: Дрофа, 2002. – 400 с.
Глинка Н.Л. Общая химия: Учебное пособие для вузов / Под ред. А.И. Ермакова. – изд. 30-е, исправленное – М.: Интеграл-Пресс, 2008. – 728 с.
Горковенко М.Ю. Химия. 9 класс. Поурочные разработки к учебникам О.С. Габриеляна (М.: Дрофа); Л.С. Гузея и др. (М.: Дрофа); Г.Е. Рудзитиса, Ф.Г Фельдмана (М.: Просвещение). – М.: “ВАКО”, 2004, 368 с. – (В помощь школьному учителю).
Химия. – 2-е изд., перераб. / ред. коллегия: М. Аксёноыв, И. Леенсон, С. Мартынова и др. – М.: Мир энциклопедий Аванта+, Астрель, 2007. – 656 с.: ил. (Энциклопедия для детей).

Кислород с амый распространённый элемент земной коры. Молекула кислорода двухатомна (O 2). Простое вещество – молекулярный кислород – представляет собой газ без цвета и запаха, плохо растворимый в воде. В атмосфере Земли содержится 21 % (по объёму) кислорода. В природных соединениях кислород встречается в виде оксидов (H 2 O, SiO 2) и солей оксокислот. Одно из важнейших природных соединений кислорода – вода, или оксид водорода H 2 O.

Помимо оксидов, кислород способен образовывать пероксиды – вещества, содержащие следующую группировку атомов: –O–O– . Один из важнейших пероксидов – пероксид водорода H 2 O 2 (H–O–O–H). В пероксидах атомы кислорода имеют промежуточную степень окисления минус 1, поэтому эти соединения могут быть как окислителями, так и восстановителями:

Из величин стандартных электродных потенциалов следует, что окисли

тельные свойства H2O2 наиболее сильно проявляются в кислой среде, а восстановительные – в щелочной. Например, пероксид водорода в кислой среде способен окислять те вещества, стандартный потенциал электрохимической системы которых не превышает +1,776 В, и восстанавливать только те, у которых потенциал больше +0,682 В.

Аллотропной модификацией кислорода является озон (O3) – газ со специфическим запахом. Озон получают действием «тихих» электрических разрядов на кислород в специальных приборах – озонаторах. Реакция превращения кислорода в озон требует затраты энергии:

3O2 ↔ 2O3 – 285 кДж.

Обратный процесс – распад озона – протекает самопроизвольно.

Озон – один из сильнейших окислителей; по окислительной активности он уступает только фтору.

При высокой температуре сера взаимодействует с водородом с образованием сероводорода (H2S) – бесцветного газа с характерным запахом гниющего белка. Поскольку эта реакция обратима, то на практике сероводород обычно получают действием разбавленных кислот на сульфиды металлов:

FeS + 2 HCl → H2S + FeCl2 .

Сероводород – сильный восстановитель; при поджигании на воздухе горит голубоватым пламенем:

2 H2S + 3 O2 → 2 SO2 + 2 H2O (в избытке кислорода).

Поэтому смесь сероводорода с воздухом взрывоопасна. При недостатке кислорода сероводород окисляется только до свободной серы:

2 H2S + O2 → 2 S + 2 H2O .

Сероводород очень ядовит и способен вызвать тяжёлые отравления.

Раствор сероводорода в воде обладает свойствами слабой двухосновной кислоты (К1 = 6×10–8, К2 = 1×10–14). Средние соли сероводородной кислоты – сульфиды – можно получить непосредственным взаимодействием металлов с серой. Малорастворимые сульфиды можно получить, действуя сероводородом на растворы солей соответствующих металлов:

CuSO4 + H2S CuS+ H2SO4 .

Оксид серы (IV) образуется при горении серы на воздухе:

S + O2 → SO2 .

В промышленности SO2 получают при обжиге сульфидов и полисульфидов металлов, а также термическим разложением сульфатов (в частности CaSO4):

Диоксид серы – бесцветный газ с запахом жжёной серы. SO2 хорошо растворяется в воде, образуя сернистую кислоту:

Сернистая кислота – слабая двухосновная кислота (К1=1,6×10–2, К2=6×10–8). H2SO3 и её соли являются хорошими восстановителями и окисляются до серной кислоты или сульфатов:

При высокой температуре в присутствии катализатора (V2O5, сплавы на основе платины) диоксид серы окисляется кислородом до триоксида:

Оксид серы (VI) – это ангидрид серной кислоты:

В газообразном состоянии оксид серы (VI) состоит из молекул SO3, построенных в форме правильного треугольника. При конденсации паров SO3 образуется летучая жидкость (t кипения = +44,8 °C), состоящая преимущественно из тримерных циклических молекул. При охлаждении до +16,8 °C она затвердевает, и образуется так называемая льдовидная модификация SO3 . При хранении она постепенно превращается в асбестовидную модификацию SO3, состоящую из полимерных молекул.

Концентрированная серная кислота, особенно горячая, – энергичный окислитель. Она окисляет бромид- и иодид-ионы до свободных галогенов, уголь – до углекислого газа, серу – до SO2. При взаимодействии с металлами концентрированная серная кислота переводит их в сульфаты, восстанавливаясь до SO2, S или H2S. Чем более активен металл, тем более глубоко восстанавливается кислота.

Например, при взаимодействии концентрированной серной кислоты с медью преимущественно выделяется SO2; при взаимодействии с цинком может наблюдаться одновременное выделение и оксида серы (IV), и свободной серы, и сероводорода:

H2SO4 – сильная двухосновная кислота, диссоциированная по первой стадии

практически нацело; диссоциация по второй стадии протекает в меньшей степени, однако в разбавленных водных растворах серная кислота диссоциирована практически нацело по схеме:

H2SO4 → 2 H + + SO4 2-

Большинство солей серной кислоты хорошо растворимо в воде. К практически нерастворимым относятся BaSO4 , SrSO4 , PbSO4; малорастворим CaSO4. Качественная реакция на ионы SO4 2– обусловлена образованием малорастворимых сульфатов. Например, при введении ионов бария в раствор, содержащий сульфатионы, выпадает белый осадок сульфата бария, практически нерастворимый в воде и разбавленных кислотах:

Ba 2+ + SO4 2- → BaSO4↓ .

Серную кислоту применяют в производстве минеральных удобрений;

как электролит в свинцовых аккумуляторах; для получения различных минеральных кислот и солей; в производстве химических волокон, красителей, дымообразующих и взрывчатых веществ; в нефтяной, металлообрабатывающей, текстильной, кожевенной и др. отраслях промышленности и т.д.

Квадратным трехчленом называют трехчлен вида a*x 2 +b*x+c, где a,b,c некоторые произвольные вещественные (действительные) числа, а x – переменная. Причем число а не должно равняться нулю.

Числа a,b,c называются коэффициентами. Число а – называется старшим коэффициентом, число b коэффициентом при х, а число с называют свободным членом.

Корнем квадратного трехчлена a*x 2 +b*x+c называют любое значение переменной х, такое, что квадратный трехчлен a*x 2 +b*x+c обращается в нуль.

Для того, чтобы найти корни квадратного трехчлена необходимо решить квадратное уравнение вида a*x 2 +b*x+c=0.

Как найти корни квадратного трехчлена

Для решения можно использовать один из известных способов.

1 способ.

Нахождение корней квадратного трехчлена по формуле.

1. Найти значение дискриминанта по формуле D =b 2 -4*a*c.

2. В зависимости от значения дискриминанта вычислить корни по формулам:

Если D > 0, то квадратный трехчлен имеет два корня.

x = -b±√D / 2*a

Если D < 0, то квадратный трехчлен имеет один корень.

Если дискриминант отрицателен, то квадратный трехчлен не имеет корней.

2 способ.

Нахождение корней квадратного трехчлена выделением полного квадрата. Рассмотрим на примере приведенного квадратного трехчлена. Приведенное квадратное уравнение, уравнение у которого на старший коэффициент равен единице.

Найдем корни квадратного трехчлена x 2 +2*x-3. Для этого решим следующее квадратное уравнение: x 2 +2*x-3=0;

Преобразуем это уравнение:

В левой части уравнения стоит многочлен x 2 +2*x, для того чтобы представить его в виде квадрата суммы нам необходимо чтобы там был еще один коэффицент равный 1. Добавим и вычтем из этого выражения 1, получим:

(x 2 +2*x+1) -1=3

То, что в скобках можно представить в виде квадрата двучлена

Данное уравнение распадается на два случая либо x+1=2 , либо х+1=-2.

В первом случае получаем ответ х=1, а во втором, х=-3.

Ответ: х=1, х=-3.

В результате преобразований нам необходимо получить в левой части квадрат двучлена, а в правой части некоторое число. В правой части не должна содержаться переменная.

Описание видеоурока

Каждое из выражений три икс пятой степени минус икс четвертой степени плюс три икс куб минус шесть икс плюс два; пять игрек четвертой степени минус игрек куб плюс пять игрек квадрат минус три игрек плюс восемнадцать; три зет шестой степени минус зет четвертой степени плюс зет квадрат минус зет плюс два является многочленом с одной переменной.

Значение переменной, при котором многочлен обращается в нуль, называют корнем многочлена.

Найдем, например, корни многочлена икс куб минус четыре икс. Для этого решим уравнение икс куб минус четыре икс равно нулю. Разложив левую часть уравнения на множители, получим произведение из трех множителей: икс, икс минус два и икс плюс два, равное нулю. Отсюда икс первое равно нулю, икс второе равно два, икс третье равно минус два.

Таким образом, числа нуль, два и минус два - являются корнями многочлена икс куб минус четыре икс…

Многочлен второй степени с одной переменной называют квадратным трехчленом.

Квадратным трехчленом называется многочлен вида а икс квадрат плюс бэ икс плюс цэ, где икс -переменная, ..а, бэ и цэ -некоторые числа, причем а не равно нулю.

Коэффициент а называют старшим коэффициентом, цэ - свободным членом квадратного трехчлена.

Примерами квадратных трехчленов являются многочлены два икс квадрат минус икс минус пять; икс квадрат плюс семь икс минус восемь. В первом из них а равно два, бэ равно минус один, цэ равно минус пять, во втором а равно один, бэ равно семь, цэ равно минус восемь. К квадратным трехчленам относятся также и такие многочлены второй степени, у которых один из коэффициентов бэ либо цэ или даже оба равны нулю. Так, многочлен пять икс квадрат минус два икс считают квадратным трехчленом. Коэффициент а равен пяти, бэ равно минус двум, цэ равно нулю.

Для того чтобы найти корни квадратного трехчлена а икс квадрат плюс бэ икс плюс цэ, нужно решить квадратное уравнение а икс квадрат плюс бэ икс плюс цэ равно нулю.

Пример первый. Найдем корни квадратного трехчлена икс квадрат минус три икс минус четыре.

Для этого приравняем данное выражение к нулю и решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант в нем равен двадцати пяти, первый корень равен четырем, второй корень равен минус одному.

Таким образом, квадратный трехчлен икс квадрат минус три икс минус четыре имеет два корня: четыре и минус один.

Так как квадратный трехчлен а икс квадрат плюс бэ икс плюс цэ имеет те же корни, что и уравнение а икс квадрат плюс бэ икс плюс цэ равно нулю, то он может, как и квадратное уравнение иметь два корня, один корень или не иметь корней вообще. Это зависит от значения дискриминанта квадратного уравнения, который также называют дискриминантом квадратного трехчлена.. Если дискриминант больше нуля, то квадратный трехчлен имеет два корня; если дискриминант равен нулю, то квадратный трехчлен имеет один корень; если дискриминант меньше нуля, то квадратный трехчлен не имеет корней.

При решении задач иногда бывает удобно представить квадратный трехчлен а икс квадрат плюс бэ икс плюс цэ в виде суммы а умноженного на квадрат разности а и эм…и числа эн, где эм и эн - некоторые числа. Такое преобразование называется выделением квадрата двучлена из квадратного трехчлена. Покажем на примере, как выполняется такое преобразование.

Второй пример. Выделить из трехчлена два икс квадрат минус четыре икс плюс шесть… квадрат двучлена.

Вынесем за скобки множитель два,.. затем преобразуем выражение в скобках, для чего прибавим и отнимем единицу… В итоге получим сумму удвоенного квадрата разности чисел икс и один… И числа четыре.

Таким образом, два икс квадрат минус четыре икс плюс шесть равно сумме удвоенного квадрата разности чисел икс и один.. И числа четыре…

Рассмотрим задачу, при решении которой используется выделение квадрата двучлена из квадратного трехчлена.

Задача. Докажем, что из всех прямоугольников с периметром 20 см наибольшую площадь имеет квадрат.

Пусть одна сторона прямоугольника равна икс сантиметров. Тогда длина второй будет десять минус икс сантиметров, а площадь прямоугольника равна произведению этих сторон.

Раскрыв скобки в выражении икс умноженное на разность десять и икс, получим десять икс минус икс квадрат. Выражение минус икс квадрат плюс десять икс представляет собой квадратный трехчлен, в котором коэффициент А равен минус один, бэ равно десяти, цэ равно нулю. Выделим квадрат двучлена и получим выражение минус квадрат разности икс и пять.. плюс двадцать пять.

Так как выражение минус квадрат разности икс и пять при любом икс не равном пяти отрицательно, то и всё выражение минус квадрат разности икс и пять… плюс двадцать пять принимает наибольшее значение при икс равном пяти.

Значит, площадь будет наибольшей, когда одна из сторон прямоугольника равна 5 см. В этом случае другая сторона также равна 5 см. Это означает, что данный прямоугольник является квадратом.