Напряженность как градиент потенциала. Эквипотенциальные поверхности

Найдем взаимосвязь между напряженностью электростатического поля, являющейся его силовой характеристикой, и потенциалом - энергетической характеристикой поля.

Работа по перемещению положительного единичного точечного заряда из одной точки поля в другую вдоль оси х при условии, что точки расположены бесконечно близко друг к другу и х 2 -х 1 =dх, равна Exdх . Та же работа равна . Приравняв оба выражения, можем записать

где символ частной производной подчеркивает, что дифференцирование производится только по х. Повторив аналогичные рассуждения для осей y и z, можем найти вектор Е:

где i, j, к - единичные векторы координатных осей х, у, z.

Из определения градиента (12.4) и (12.6), следует, что

т. е. напряженность Е поля равна градиенту потенциала со знаком минус. Знак минус определится тем, что вектор напряженности Е поля направлен в сторону убывания потенциала.

Для графического изображения распределения потенциала электростатического поля,как и в случае поля тяготения (см. § 25), пользуются эквипотенциальными поверхностями - поверхностями, во всех точках которых потенциал φ имеет одно и то же значение.

Если поле создается точечным зарядом, то его потенциал, согласно (84.5),

. Таким образом, эквипотенциальные поверхности в данном случае - концентрические сферы. С другой стороны, линии напряженности в случае точечного заряда - радиальные прямые. Следовательно, линии напряженности в случае точечного заряда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.

Линии напряженности всегда нормальны к эквипотенциальным поверхностям. Действительно, все точки эквипотенциальной поверхности имеют одинаковый потенциал, поэтому работа по перемещению заряда вдоль этой поверхности равна нулю, т. е. электростатические силы, действующие на заряд, всегда направлены по нормалям к эквипотенциальным поверхностям. Следовательно, вектор Е всегда нормален к эквипотенциальным поверхностям, а поэтому линии вектора Е ортогональны этим поверхностям.

Эквипотенциальных поверхностей вокруг каждого заряда и каждой системы зарядов можно провести бесчисленное множество. Однако их обычно проводят так, чтобы ^разности потенциалов между любыми двумя соседними эквипотенциальными поверхностями были одинаковы. Тогда густота эквипотенциальных поверхностей наглядно характеризует напряженность поля в разных точках. Там, где эти поверхности расположены гуще, напряженность поля больше.

Электрическое поле, подобно гравитационному, является потенциальным. Т.е. работа, выполняемая электростатическими силами, не зависит от того, по какому маршруту заряд q перемещен в электрическом поле из точки 1 в точку 2. Эта работа равна разности потенциальных энергий, которыми обладает перемещаемый заряд в начальной и конечной точках поля:

А 1,2 = W 1 – W 2 . (7)

Можно показать, что потенциальная энергия заряда q прямо пропорциональна величине этого заряда. Поэтому в качестве энергетической характеристики электростатического поля используется отношение потенциальной энергии пробного заряда q 0 , помещенного в какую-либо точку поля, к величине этого заряда:

Эта величина представляет собой количество потенциальной энергии на единицу положительного заряда и называется потенциалом поля в заданной точке. [φ] = Дж / Кл = В (Вольт).

Если принять, что при удалении заряда q 0 в бесконечность (r→ ∞) его потенциальная энергия в поле заряда q обращается в нуль, то потенциал поля точечного заряда q на расстоянии r от него:

. (9)

Если поле создаётся системой точечных зарядов, то потенциал результирующего поля равен алгебраической (с учётом знаков) сумме потенциалов каждого из них:

. (10)

Из определения потенциала (8) и выражения (7) работа, совершаемая силами электростатического поля по перемещению заряда из

точки 1 в точку 2, может быть представлена как:

Напряжённость как градиент потенциала

Найдем взаимосвязь между напряженностью Е электростатического поля, являющейся его силовой характеристикой, и потенциалом φ – энергетической характеристикой поля.

Работа по перемещению точечного, положительного заряда q вдоль произвольного направления х из точки 1 в бесконечно близкую к ней точку 2, х 2 – х 1 = dх , будет равна: А 1,2 = q· Е х ∙dх или через потенциал: А 1,2 = q(φ 1 – φ 2) = - q ·dφ. Откуда:

, (12)

т.е. напряженность поля равна градиенту потенциала, взятому со знаком минус. Это означает, что направлен в сторону убывания потенциала.

Для графического изображения распределения потенциала электростатического поля пользуются эквипотенциальными поверхностями – поверхность, во всех точках которой потенциал φ имеет одно и то же значение. Для точечных зарядов в однородной среде, например, эти поверхности представляют собой сферы (рис.133а Трофимова, стр139).

Для любой точки поля линии напряженности всегда направлены по нормали к эквипотенциальным поверхностям. (рис.133б Трофимова, стр139).

Э л е к т р и ч е с к и й д и п о л ь

Электрический диполь – система двух равных по величине разноименных точечных зарядов +q и -q, расстояние между которыми значительно меньше расстояния до рассматриваемых точек поля. Прямая, проходящая через оба заряда, называется осью диполя . Вектор , направленный от отрицательного заряда к положительному и равный по модулю расстоянию между ними, называетсяплечом диполя . Вектор ,

, (13)

называется электрическим моментом диполя или дипольным моментом .

Определим потенциал и напряженность поля диполя в произвольной точке M на расстоянии r от середины диполя. Потенциал поля в точке М:

Учитывая, что l ‹‹ r, r + ≈ r - = r и r - – r + ≈ l cos(π-θ), окончательно для φ получим:

. (15)

В соответствии с принципом суперпозиции напряженность поля диполя
. Вывод формулы для модуля напряженности поля диполя более сложен. Запишем эту формулу без вывода:

(16)

7. Градиент электрического потенциала и вектор е. Силовые линии поля. Эквипотенциальные поверхности.

8.Диполь в электрическом поле. Поле диполя. Момент сил, действующих на диполь. Энергия диполя в роле.

9.Поле внутри проводника и у его поверхности. Свойства замкнутой проводящей оболочки. Электростатическая защита.

10. Классическая теория электропроводности металлов. Пределы её применимости.

11.Электрический ток в вакууме и газах. Несамостоятельный и самостоятельный газовый разряд.

12. Электрический ток в жидкостях. Законы электролиза Фарадея.

13. Электроёмкость уединённого проводника. Ёмкость проводника, имеющёго форму шара радиусом r. Единица ёмкости

14. Параллельное и последовательное соединение конденсаторов. Ёмкость плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов.

15. Электростатическое поле в диэлектрике. Полярные и неполярные диэлектрики.

16)Диэлектрическая восприимчивость. Свободные и связные заряды.

Зависимость от времени

17)Электрическая индукция. Теорема Гаусса для поля вектора d. Дифференциальная форма теоремы.

18) Связь между векторами d и e. Диэлектрическая проницаемость.

19) Граничные условия для векторов e и d. Преломление линий e и d. Поле в однородном диэлектрике.

20) Энергия взаимодействия системы точечных зарядов; зарядов распределенных непрерывно по объему и по поверхности

21) Энергия уединенного проводника. Энергия конденсатора.

22) Плотность энергии электрического поля (на примере плоского конденсатора)

23) Постоянный ток. Единица измерения. Плотность тока. Уравнение непрерывности

24)Диффиринциальная форма ур-я непрывности. Условие стационарности.

25) Сторонние силы. Эдс. Напряжение. Обобщенный закон Ома.

26) Закон Ома для замкнутой цепи, участка цепи, содержащего эдс.

27) Дифференциальная форма закона Ома.

28) Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа

29) Закон Джоуля-Ленца. Дифференциальная форма закона Джоуля-Ленца

30. Магнитное поле. Сила Лоренца. Сила Ампера.

32.Магнитное поле прямолинейного тока,кругового тока.Сила взаимодействия прямолинейных токов.

2. Магнитное поле в центре кругового проводника с током.

33.Дивергенция, циркуляция, ротор и поток магнитной индукции.

34.Графическое представление поля в. Теорема Гаусса для поля в.

35.Закон полного тока. Потенциальные и соленоидные векторные поля

36.Магнитное поле прямого тока, бесконечного соленоида, тороида.

37.Дифференциальная форма основных законов магнитного поля. Дивергенция и ротор поля b.

38.Магнитный момент. Силы, действующие на магнитный момент и его энергия в магнитном поле.

39. Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле.

40.Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном поле.Эффект Холла.

41. Магнитные свойства вещества. Пара-, диа-, ферро-, ферри- и антиферромагнетики.

42. Опыт Эйнштейна – де Гааза. Опыт Барнета. Магнетомеханическое отношение спин электрона.

43. Магнитная восприимчивость и проницаемость. Намагничивание вещества. Напряжённость магнитного поля.

44. Закон электромагнитной индукции Фарадея. Правило Ленца.

45. Природа электромагнитной индукции. Вихревое электрическое поле.

46. Способы измерения индукции магнитного потока. Единица измерения магнитного потока.

48. Взаимная индукция. Теорема взаимности.

49. Потенциальные и соленоидальные векторные поля. Необходимое и достаточное условие потенциальности векторного поля.

50. Энергия магнитного поля. Изолированный контур с током.

51. Магнитная энергия тока. Плотность энергии магниного поля. Энергия соленоида.

52. Переменный ток. Конденсатор, индуктивность и сопротивление в цепи переменного тока.

54. Колебательный контур. Свободные и затухающие колебания.

55. Вынужденные колебания. Резонанс.

56. Уравнение Максвелла. Интегральная и дифференциальная форма уравнений. Вектор Пойнтинга. Физический смысл уравнений Максвелла.

57. Ток смещения. Закон сохранения энергии для электромагнитного поля.

58. Электормагнитные волны. Волновое уравнение. Поляризация. Плоские, сферические и цилиндрические волны.

59. Проводимость полупроводников. Элементы зонной теории кристаллов.

60. Собственные и примесные полупроводники. Дрейфовый и диффузные токи. P-n переходы.

7. Градиент электрического потенциала и вектор е. Силовые линии поля. Эквипотенциальные поверхности.

Градиент (потенциала) – вектор, показывающий направление наибольшего роста скалярной функции :

, (9)

где , – координатные орты.

Величина этого вектора равна изменению потенциала при перемещении на единицу длины в направлении быстрейшего изменения.

Длина градиента (потенциала) равна

. (10)

Из механики известно, что консервативная сила равна градиенту потенциальной энергии частицы, взятому с обратным знаком, т.е.

, (11)

где
– символический вектор, называемый оператором Гамильтона или оператором набла .

Для электростатического поля имеем:

Тогда соотношение (11) принимает вид

,

или

, (12)

т.е. напряженность электрического поля равна градиенту потенциала с обратным знаком.

Знак минус в (12) показывает, что вектор направлен противоположно вектору градиента потенциала , и силовые линии электрического поля являются линиями, вдоль которых потенциал изменяется наиболее быстро.

Очевидно, что проекция вектора на произвольное направление l равна со знаком минус частной производной потенциала по данному направлению:

. (13)

В случае однородного электрического поля (поля плоского конденсатора), в любой точке которого вектор напряженности постоянен как по величине, так и по направлению, имеем простое соотношение:

, (14)

где
– разность потенциалов или напряжение между пластинами конденсатора (или между двумя эквипотенциальными поверхностями);

– расстояние между пластинами конденсатора (или между двумя эквипотенциальными поверхностями).

Поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется поверхностью равного потенциала или эквипотенциальной поверхностью , для которой

. (15)

Перенос заряда вдоль эквипотенциальной поверхности не требует работы (разность потенциалов двух любых точек этой поверхности равна нулю). Это означает, что сила, действующая на переносимый заряд, перпендикулярна к перемещению.

Следовательно, вектор всегда направлен по нормали к эквипотенциальной поверхности, т.е. линии напряженности в каждой точке ортогональны к эквипотенциальной поверхности.

Итак, можно сделать важный вывод о том, что электрическое поле полностью можно описать векторной величиной – напряженностью . Но во многих случаях оказывается, что для вычисления напряженности электрического поля удобнее сначала определить потенциал φ и затем по формуле

вычислить напряженность
.

Силовые линии - направленные линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора напряженности электрического поля. Отсюда следует, что напряженность равна разности потенциалов U на единицу длины силовой линии .

Именно вдоль силовой линии происходит максимальное изменение потенциала. Поэтому всегда можно определитьмежду двумя точками, измеряя U между ними, причем тем точнее, чем ближе точки. В однородном электрическом поле силовые линии – прямые. Поэтому здесь определить наиболее просто:

Графическое изображение силовых линий и эквипотенциальных поверхностей показано на рисунке 3.4.

При перемещении по этой поверхности на dl потенциал не изменится:

Отсюда следует, что проекция вектора на dl равнанулю, то есть Следовательно, в каждой точке направлена по нормали к эквипотенциальной поверхности.

Эквипотенциальных поверхностей можно провести сколько угодно много. По густоте эквипотенциальных поверхностей можно судить о величине , это будет при условии, что разность потенциалов между двумя соседними эквипотенциальными поверхностями равна постоянной величине

Градиент потенциала

Градиент потенциала Е-grad

Градиент потенциала показывает как меняется потенциал за единицу времени. Градиент перпендикулярен функции и направлен в сторону возрастания функции. Следовательно, вектор напряженности перпендикулярен эквипотенциальной поверхности и направлен в сторону убывания потенциала.

11. Дивергенция электрического поля. Отношение потока к объему V, из которого он вытекает, дает среднюю удельную мощность источников, заключенных в объеме V. В пределе при стремлении V к нулю, выражение даст удельную мощность источников в точке, которую называют дивергенцией вектора v (обозначается div v). Закон Гаусса в дифференциальной форме: .Величину являющуюся пределом отношения к ʌV, при ʌVà0 называют дивергенция поля E (div ). .- дивергенция-скалярная функция координат. Итак - теорема Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме. В точках где div >0 – (положительные заряды) источники поля, где - (отрицательные заряды) стоки. Линии выходят из источников и заканчиваются в стоках.

12. Диполь в однородном и неоднородном электрических полях (момент сил, действующих на диполь; энергия диполя; результирующая сил) Если диполь поместить в однородное эликтрическое поле, образующие диполь заряды +q и –q окажутся под действием равных по величине, но противоположных по направлению сил f1и f2. Эти силы образуют пару, плечо которой равно lsinα т.е. зависит от ориентации диполя относительно поля. Модуль каждой из сил равен qE. Умножив его на плечо, получим величину момента пары сил, действующих на диполь: M=qElsinα=pEsinα, где p- электрический момент диполя. В неоднородном поле силы, действующие на заряды диполя, неодинаковы по величине. При малых размерах диполя силы f1 и f2 можно считать коллинеарными таким образом резултирующая f1 и f2 сил, действующих на диполь будет отлична от нуля. В неоднородном поле на диполь кроме вращательного момента действует сила, под которой диполь будет либо втягиваться в область более сильного поля, либо выталкиваться из нее. Потенциальная энергия диполя в электрическом поле W=-pEcosα=-pE. Любую систему зарядов можно представить как некий эквивалентный диполь

13. Диполь в электростатическом поле. Электрический момент диполя. Диполь – система из двух точечных зарядов, расстояние между которыми L мало по сравнению с любыми расстояниями данной системы. L – плечо диполя. Электрический момент диполя: . Потенциал в точке O: . .Следует отметить, что дипольный момент не зависит от положения диполя в пространстве, так как вектор остается неизменным при любом выборе тела отсчета. Рассчитаем силу, действующую на электрический диполь во внешнем электростатическом поле . - радиус-вектор точки расположения отрицательного заряда диполя, а - радиус-вектор точки расположения положительного заряда диполя. Суммарная сила, действующая на рассматриваемую систему электрических зарядов описывается выражением: . Для момента сил, действующих на рассматриваемую систему электрических зарядов, относительно начала координат имеем: Если в этом выражении использовать соотношение для вычисления и в полученном соотношении пренебречь членом с сомножителем из-за его малости, приходим к результату:

14. Диполь во внешнем электрическом поле. Электрический диполь с электрическим моментом во внешнем электростатическом поле . В этих условиях он испытывает действие силы , момента и приобретает потенциальную энергию . Рассмотрим диполь во внешнем неоднородном электрическом поле. Обозначим и - напряженность и потенциал в точке, где расположены + и – заряды диполя На диполь действует результирующая сила , - приращение вектора напряженности на отрезке длиной в направлении вектора . - т.к. отрезок мал, где левая часть представлена с точностью до величин второго порядка малости. Тогда . , и в проекции на какое-либо направление : .В однородном поле , так как .

15. Дискретное и непрерывное распределение электрических зарядов. Плотность электрических зарядов. Распределение заряда в пространстве может быть дискретным и непрерывным. При дискретном распределении заряд сконцентрирован в математической точке пространства. При непрерывном распределении различают линейное, поверхностное и объемное распределение заряда. При непрерывном распределении заряда вдоль линии вводится понятие линейной плотности зарядов , где dq – заряд малого участка линии длиной dl. При непрерывном распределении заряда по некоторой поверхности вводится понятие поверхностной плотности зарядов , где dq – заряд малого участка поверхности площадью dS. при непрерывном распределении заряда в каком-либо объеме вводится понятие объемной плотности зарядов , где dq –заряд малого участка объема dV.

16. Диэлектрики с неполярными молекулами в электрическом поле. Поляризованность диэлектрика. Зависимость поляризованности от напряженности поля, температуры. Неполярными диэлектриками называются диэлектрики молекулы которых построены столь симметрично, что в отсутствие внешнего электрического поля их дипольный момент равен нулю (N2, H2, CO2, ....). При внесении неполярного диэлектрика в электрическое поле, молекулы поляризуются, нарушается симметрия расположения их зарядов, и молекулы приобретают дипольный момент. Если поместить диэлектрик во внешнее электрическое поле, то он поляризуется, т. е. получит неравный нулю дипольный момент p V =∑p i , где p i - дипольный момент одной молекулы. Чтобы произвести количественное описание поляризации диэлектрика вводят векторную величину - поляризованность, которая определяется как дипольный момент единицы объема диэлектрика: . Поляризованность диэлектрика прямо пропорциональна напряженности электрического поля

17. Диэлектрики с полярными молекулами в электрическом поле. Зависимость поляризованности от напряженности поля, температуры. Полярными диэлектриками называются диэлектрики молекулы в отсутствие внешнего электрического поля обладают некоторым дипольным моментом (SO2, H2O, NH3, ....). При внесении полярного диэлектрика в электрическое поле дипольные моменты молекул также будут изменяться, однако более важное значение будет иметь поворот осей молекул (дипольных моментов) по направлению электрического поля под действие момента сил . Поляризованность диэлектрика прямо пропорциональна напряженности электрического поля.

18. Диэлектрики. Процесс поляризации диэлектриков. Смещение электрических зарядов вещ-ва под действием электрического поля называется поляризацией. Способность к поляризации – основное св-во диэлектриков. Поляризуемость диэлектрика бывает: электронная, ионная и ориентационная (дипольная). За меру поляризации принимается вектор поляризации (поляризуемость) , отношение дипольного электрического момента диэлектрика к его объему . Вектор поляризации – электрический момент единичного объема. , где n-концентрация молекул в единице объема - электрический момент одной силы взятый по нормали.

19. Диэлектрическая восприимчивость вещества. Гистерезис. Диэлектри́ческая восприи́мчивость (или поляризу́емость) вещества - физическая величина, мера способности вещества поляризоваться под действием электрического поля. Диэлектрическая восприимчивость - коэффициент линейной связи между поляризацией диэлектрика P и внешним электрическим полем E в достаточно малых полях: В системе СИ: где - электрическая постоянная; произведение называется в системе СИ абсолютной диэлектрической восприимчивостью. В случае вакуума У диэлектриков, как правило, диэлектрическая восприимчивость положительна. Диэлектрическая восприимчивость является безразмерной величиной. Гистере́зис - свойство систем, мгновенный отклик которых на приложенные к ним воздействия зависит в том числе и от их текущего состояния, а поведение системы на интервале времени во многом определяется её предысторией. Для гистерезиса характерно явление "насыщения", а также неодинаковость траекторий между крайними состояниями (отсюда наличие остроугольной петли на графиках).

20. Диэлектрическая проницаемость. безразмерная физическая величина, характеризующая свойства изолирующей (диэлектрической) среды. Связана с эффектом поляризации диэлектриков под действием электрического поля и, с характеризующей этот эффект, величиной диэлектрической восприимчивости среды. Величина ε показывает, во сколько раз сила взаимодействия двух электрических зарядов в среде меньше, чем в вакууме. Относительная диэлектрическая проницаемость воздуха и большинства других газов в нормальных условиях близка к единице, в силу их низкой плотности. Для большинства твёрдых или жидких диэлектриков, для статического поля относительная диэлектрическая проницаемость лежит в диапазоне от 2 до 8. Велики её значения для веществ с молекулами, обладающими большим электрическим диполем. Диэлектрическая проницаемость диэлектриков является одним из основных параметров при разработке электрических конденсаторов. Использование материалов с высокой диэлектрической проницаемостью позволяют существенно снизить физические размеры конденсаторов. Ёмкость конденсаторов определяется: где ε r - диэлектрическая проницаемость вещества между обкладками, ε о - электрическая постоянная, S - площадь обкладок конденсатора, d - расстояние между обкладками.

21 . Закон Кулона. Принцип суперпозиции.

З-н Кулона-сила взаимодействия 2 точечных неподвижных зарядов в пустоте пропорциональна величине каждого из зарядов. Обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и направлена по прямой, соединяющий эти заряды

где - сила, с которой заряд 1 действует на заряд 2; - величина зарядов; - радиус-вектор (вектор, направленный от заряда 1 к заряду 2, и равный, по модулю, расстоянию между зарядами - ); - коэффициент пропорциональности. Таким образом, закон указывает, что одноимённые заряды отталкиваются (а разноимённые - притягиваются).

То есть закон Кулона и принцип суперпозиции для электрических полей выполняются тогда и только тогда, когда выполняются уравнения Максвелла для электростатики и, наоборот, уравнения Максвелла для электростатики выполняются тогда и только тогда, когда выполняются закон Кулона и принцип суперпозиции для электрических полей

22. Записать и сформулировать теорему Гаусса для вакуума. Что означает понятие “поток вектора напряженности”?

З-н Гаусса. Поток вектора напряжённости электрического поля через любую произвольно выбранную замкнутую поверхность пропорционален заключённому внутри этой поверхности электрическому заряду

“поток вектора напряженности”-полное число силовых линий проходящих через поверхность S через эту поверхность. поток вектора напряженности E через малую площадку dS есть скалярное произведение векторов E и dS

23. Интегральная зависимость между напряженностью и потенциалом электрического поля. Рассмотрим элементарную работу сил электрического поля на бесконечно малом перемещении точечного заряда q : dA = q E dl , эта же работа равна убыли потенциальной энергии заряда q : dA = - dW п = - q d , где d - изменение потенциала электрического поля на длине перемещения dl . Приравнивая правые части выражений, получаем: E dl = -d или в декартовой системе координат

E x dx + E y dy + E z dz = -d , (1.8)

где E x , E y , E z - проекции вектора напряженности на оси системы координат. Поскольку выражение (1.8) представляет собой полный дифференциал, то для проекций вектора напряженности имеем

Стоящее в скобках выражение является градиентом потенциала j, т. е.

E = - grad = -Ñ .

Напряжённость в какой-либо точке электрического поля равна градиенту потенциала в этой точке, взятому с обратным знаком . Знак «минус» указывает, что напряженность E направлена в сторону убывания потенциала.

В электростатическом поле между двумя близко расположенными точками в общем случае имеется некоторая разность потенциалов. Если эту разность потенциалов разделить на кратчайшее расстояние между взятыми точками, то полученная величина будет характеризовать скорость изменения потенциала в направлении кратчайшего расстояния между точками. Эта скорость будет зависеть от направления, вдоль которого взяты точки.

В математике используют понятие градиента скалярной функции, под которым понимают скорость изменения скалярной функции, взятую в направлении ее наибольшего возрастания.

Возьмем две близко расположенные эквипотенциальные линии. Одна из них имеет потенциал φ 1 , другая – φ 2 , причем φ 1 > φ 2 (рис. 38.3). Тогда градиент изобразится вектором, перпендикулярным к эквипотенциальным линиям и направленным от φ 2 к φ 1 (в сторону увеличения потенциала).

Напряженность электрического поля направлена от более высокого потенциала (φ 1) к менее высокому (φ 2). Если через dn обозначить расстояние по нормали между эквипотенциальными поверхностями, а через вектор, совпадающий с направлением напряженности поля , т.е. ( – единичный вектор, направленный по направлению ), то можно записать выражение

где – приращение потенциала при переходе от точки 1 к точке 2.

Так как векторы и совпадают по направлению, то . Таким образом Отсюда . Вектор напряженности поля . Поэтому

Сопоставляя (19.5) и (19.6), получаем

Вектор напряженности поля Таким образом,

=

Два вектора равны только тогда, когда равны друг другу их соответствующие проекции. Следовательно

(38.9)

Для сокращения записи в математике используют дифференциальный оператор Гамильтона: используя который можно записать

Вопросы для самоконтроля

1. Какова основная отличительная особенность электромагнитного поля как вида материи?

2. Какими двумя сторонами характеризуется электромагнитное поле? Как эти стороны связаны между собой?

3. Охарактеризуйте понятие «электрическое поле».

4. Какими двумя основными величинами характеризуется электрическое поле?

5. Дайте определение потенциала электрического поля.

6. Какие поля называют потенциальными? Почему суммарная работа по переносу электрического заряда по замкнутому контуру в потенциальном поле равна нулю?

7. Что понимают под силовой линией электрического поля?

8. Какая поверхность в электрическом поле называется эквипотенциальной?

9. В чем смысл знака минус в формуле

10. Могут ли быть замкнутыми силовые линии в электростатическом поле?