Эквипотенциальные поверхности ортогональность силовым линиям. §9 Силовые линии и эквипотенциали
Эквипотенциальные поверхности это такие поверхности каждая из точек, которых обладают одинаковым потенциалом. То есть на эквипотенциальной поверхности электрический потенциал имеет неизменное значение. Такой поверхностью является поверхности проводников, так как их потенциал одинаков.
Представим себе такую поверхность, для двух точек которой разность потенциалов будет равна нулю. Это и будет эквипотенциальная поверхность. Поскольку потенциал на ней одинаков. Если рассматривать эквипотенциальную поверхность в двухмерном пространстве, допустим на чертеже, то она будет иметь форму лини. Работа сил электрического поля по перемещению электрического заряда вдоль этой лини будет равна нулю.
Одним из свойств эквипотенциальных поверхностей является то, что они всегда перпендикулярны силовым линиям поля. Это свойство можно сформулировать и наоборот. Любая поверхность, которая перпендикулярна во всех точках к линиям электрического поля и называется эквипотенциальной.
Также такие поверхности никогда не пересекаются между собой. Так как это означало бы различие потенциала в пределах одной поверхности, что противоречит определению. Еще они всегда замкнуты. Поверхности равного потенциала не могут начаться и уйти в бесконечность, не имея при этом четких границ.
Как правило, на чертежах нет необходимости изображать поверхности целиком. Чаще изображают перпендикулярное сечение к эквипотенциальным поверхностям. Таким образом, они вырождаются в линии. Этого оказывается вполне достаточно для оценки распределения данного поля. При изображении графически поверхности располагают с одинаковым интервалом. То есть между двумя соседними поверхностям соблюдается одинаковый, шаг скажем в один вольт. Тогда по густоте линий образованных сечением эквипотенциальных поверхностей можно судить о напряжённости электрического поля.
Для примера рассмотрим поле, создаваемое точечным электрическим зарядом. Силовые линии такого поля радиальные. То есть они начинаются в центре заряда и направлены на бесконечность, если заряд положительный. Или направлены к заряду, если он отрицательный. Эквипотенциальные поверхности такого поля будут иметь форму сфер с центром в заряде и расходящихся от него. Если же изобразить двухмерное сечение, то тогда эквипотенциальные лини будут в виде концентрических окружностей, центр которых также расположен в заряде.
Рисунок 1 — эквипотенциальные лини точечного заряда
Для однородного поля такого как, например поле между обкладками электрического конденсатора поверхности равного потенциала будут иметь форму плоскостей. Эти плоскости расположены параллельно друг другу на одинаковом расстоянии. Правда на краях обкладок картина поля исказится вследствие краевого эффекта. Но мы представим себе, что обкладки бесконечно длинные.
Рисунок 2 — эквипотенциальные линии однородного поля
Чтобы изобразить эквипотенциальные лини для поля, создаваемого двумя равными по величине и противоположными по знаку зарядами не достаточно применить принцип суперпозиции. Так как в этом случае при наложении двух изображений точечных зарядов будут точки пересечения линий поля. А этого быть не может, так как поле не может быть направлено сразу в две разные стороны. В этом случае задачу необходимо решить аналитически.
Рисунок 3 — Картина поля двух электрических зарядов
Для более наглядного графического изображения полей, кроме линий напряжённости, используют поверхности равного потенциала или эквипотенциальные поверхности. Как следует из названия, эквипотенциальная поверхность – это такая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал. Если потенциал задан как функция x, y, z, то уравнение эквипотенциальной поверхности имеет вид:
Линии напряжённости поля перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.
Докажем это утверждение.
Пусть линия и силовая линия составляют некоторый угол (рис.1.5).
Переместим из точки 1 в точку 2 вдоль линии пробный заряд . При этом силы поля совершают работу:
. (1.5)
То есть работа перемещения пробного заряда вдоль эквипотенциальной поверхности равна нулю. Эту же работу можно определить и другим способом – как произведение заряда на модуль напряженности поля, действующего на пробный заряд, на величину перемещения и на косинус угла между вектором и вектором перемещения , т.е. косинус угла (см.рис.1.5):
.
Величина работы не зависит от способа её подсчёта, согласно (1.5) она равна нулю. Отсюда вытекает, что и, соответственно, , что и требовалось доказать.
Эквипотенциальную поверхность можно провести через любую точку поля. Следовательно, таких поверхностей может быть построено бесконечное множество. Условились, однако, проводить поверхности таким образом, чтобы разность потенциалов для двух соседних поверхностей была бы всюду одна и та же. Тогда по густоте эквипотенциальных поверхностей можно судить о величине напряжённости поля. Действительно, чем гуще располагаются эквипотенциальные поверхности, тем быстрее изменяется потенциал при перемещении вдоль нормали к поверхности.
На рис.1.6,а показаны эквипотенциальные поверхности (точнее, их пересечения с плоскостью чертежа) для поля точечного заряда. В соответствии с характером изменения эквипотенциальные поверхности при приближении к заряду становятся гуще. На рис.1.6,б изображены эквипотенциальные поверхности и линии напряжённости для поля диполя. Из рис.1.6 видно, что при одновременном использовании эквипотенциальных поверхностей и линий напряжённости картина поля получается особенно наглядной.
Для однородного поля эквипотенциальные поверхности, очевидно, представляют собой систему равноотстоящих друг от друга плоскостей, перпендикулярных к направлению напряжённости поля.
1.8. Связь между напряжённостью поля и потенциалом
(градиент потенциала)
Пусть имеется произвольное электростатическое поле. В этом поле проведём две эквипотенциальные поверхности таким образом, что они отличаются одна от другой потенциалом на величину dφ
(рис. 1.7)
Вектор напряжённости направлен по нормали к поверхности . Направление нормали совпадает с направлением оси x. Ось x
, проведённая из точки 1, пересекает поверхность 
в точке 2.
Отрезок dx представляет собой кратчайшее расстояние между точками 1 и 2. Работа, совершаемая при перемещении заряда вдоль этого отрезка:
С другой стороны, эту же работу можно записать как:
Приравнивая эти два выражения, получаем:
где символ частной производной подчёркивает, что дифференцирование производиться только по x . Повторив аналогичные рассуждения для осей y и z , можем найти вектор :
, (1.7)
где – единичные векторы координатных осей x, y, z.
Вектор, определяемый выражением (1.7), называется градиентом скаляра φ . Для него наряду с обозначением применяется также обозначение . («набла») означает символический вектор, называемый оператором Гамильтона
> Эквипотенциальные линии
Характеристика и свойства линий эквипотенциальной поверхности : состояние электрического потенциала поля, статическое равновесие, формула точечного заряда.
Эквипотенциальные линии поля – одномерные области, где электрический потенциал остается неизменным.
Задача обучения
- Охарактеризовать форму эквипотенциальных линий для нескольких конфигураций заряда.
Основные пункты
- Для конкретного изолированного точечного заряда потенциал основывается на радиальной дистанции. Поэтому эквипотенциальные линии выступают круглыми.
- Если контактирует несколько дискретных зарядов, то их поля пересекаются и демонстрируют потенциал. В итоге, эквипотенциальные линии перекашиваются.
- Когда заряды распределяются по двум проводящим пластинам в статическом балансе, эквипотенциальные линии практически прямые.
Термины
- Эквипотенциальный – участок, где каждая точка обладает единым потенциалом.
- Статическое равновесие – физическое состояние, где все компоненты пребывают в покое, а чистая сила приравнивается к нулю.
Эквипотенциальные линии отображают одномерные участки, где электрический потенциал остается неизменным. То есть, для такого заряда (где бы он ни находился на эквипотенциальной линии) не нужно осуществлять работу, чтобы сдвинуться с одной точки на другую в пределах конкретной линии.
Линии эквипотенциальной поверхности бывают прямыми, изогнутыми или неправильными. Все это основывается на распределении зарядов. Они располагаются радиально вокруг заряженного тела, поэтому остаются перпендикулярными к линиям электрического поля.
Одиночный точечный заряд
Для одиночного точечного заряда формула потенциала:
Здесь наблюдается радиальная зависимость, то есть, независимо от дистанции к точечному заряду потенциал остается неизменным. Поэтому эквипотенциальные линии принимают круглую форму с точечным зарядом в центре.
Изолированный точечный заряд с линиями электрического поля (синий) и эквипотенциальными (зеленый)
Множественные заряды
Если контактирует несколько дискретных зарядов, то мы видим, как перекрываются их поля. Это перекрытие заставляет потенциал объединяться, а эквипотенциальные линии перекашиваться.
Если присутствует несколько зарядов, то эквипотенциальные линии формируются нерегулярно. В точке между зарядами контрольный способен ощущать эффекты от обоих зарядов
Непрерывный заряд
Если заряды расположены на двух проводящих пластинах в условиях статического баланса, где заряды не прерываются и находятся на прямой, то и эквипотенциальные линии выпрямляются. Дело в том, что непрерывность зарядов вызывает непрерывные действия в любой точке.
Если заряды вытягиваются в линию и лишены прерывания, то эквипотенциальные линии идут прямо перед ними. В качестве исключения можно вспомнить только изгиб возле краев проводящих пластин
Непрерывность нарушается ближе к концам пластин, из-за чего на этих участках создается кривизна – краевой эффект.
Направление силовой линии (линии напряженности) в каждой точке совпадает с направлением . Отсюда следует, что напряженность равна разности потенциалов U на единицу длины силовой линии .
Именно вдоль силовой линии происходит максимальное изменение потенциала. Поэтому всегда можно определитьмежду двумя точками, измеряя U между ними, причем тем точнее, чем ближе точки. В однородном электрическом поле силовые линии – прямые. Поэтому здесь определить наиболее просто:
Графическое изображение силовых линий и эквипотенциальных поверхностей показано на рисунке 3.4.
При перемещении по этой поверхности на dl потенциал не изменится:
Отсюда следует, что проекция вектора на dl равнанулю, то есть Следовательно, в каждой точке направлена по нормали к эквипотенциальной поверхности.
Эквипотенциальных поверхностей можно провести сколько угодно много. По густоте эквипотенциальных поверхностей можно судить о величине , это будет при условии, что разность потенциалов между двумя соседними эквипотенциальными поверхностями равна постоянной величине.
Формула выражает связь потенциала с напряженностью и позволяет по известным значениям φ найти напряженность поля в каждой точке. Можно решить и обратную задачу, т.е. по известным значениям в каждой точке поля найти разность потенциаловмежду двумя произвольными точками поля. Для этого воспользуемся тем, что работа, совершаемая силами поля над зарядом q при перемещении его из точки 1 в точку 2, может быть, вычислена как:
С другой стороны работу можно представить в виде:
, тогда 
Интеграл можно брать по любой линии, соединяющие точку 1 и точку 2, ибо работа сил поля не зависит от пути. Для обхода по замкнутому контуру получим:
т.е. пришли к известной нам теореме о циркуляции вектора напряженности: циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю.
Поле, обладающее этим свойством, называется потенциальным.
Из обращения в нуль циркуляции вектора следует, что линии электростатического поля не могут быть замкнутыми:они начинаются на положительных зарядах (истоки) и на отрицательных зарядах заканчиваются (стоки) или уходят в бесконечность (рис. 3.4).
Это соотношение верно только для электростатического поля. Впоследствии мы с вами выясним, что поле движущихся зарядов не является потенциальным, и для него это соотношение не выполняется.