Измерительные шкалы.

Рациональное использование информации, получаемой от экспертов, возможно при условии преобразования ее в форму, удобную для дальнейшего анализа, направленного на подготовку и принятие решений.

Если эксперт в состоянии сравнить и оценить возможные варианты действий, приписав каждому из них определенное число, будем считать, что он обладает определенной системой предпочтений.

В зависимости от того, по какой шкале могут быть заданы эти предпочтения, экспертные оценки содержат больший или меньший объем информации и обладают различной способностью к математической формализации.

В жизни мы привыкли пользоваться количественными показателями, выраженными в разных измерительных шкалах. Можно записать, что вес тела равен 5 кг, но можно использовать и другую шкалу – 5000 г или 0,005 т, но можно указать интервал: «вес тела больше 3 кг и меньше 10 кг» или «вес тела в пределах первого десятка». Вместо «750 мм ртутного столба» можно записать «1000 гектопаскалей», а можно указать, что «атмосферное давление несколько выше нормы». «451 градус по Фаренгейту» (температура возгорания бумаги) – это «232,78 градусов Цельсия» или «505,93 градусов Кельвина». Понятия «шкала измерения», «тип шкалы», «допустимые преобразования» играют важную роль в теории измерений.

Рассмотрим основные логические аксиомы, используемые в экспертных методах при формализации информации с помощью различных шкал.

5.1. Дихотомическая (номинальная) шкала.

Если различные градации шкалы измерения показателя нельзя упорядочить по условию «больше – меньше» («лучше – хуже») или расположить в порядке появления во времени, то такая совокупность градаций образует шкалу наименований. Шкалу наименований имеют показатели, градации которых могут быть заданы только в виде перечня. В частности, шкала, содержащая всего две градации – «есть» и «нет» (дихотомическая) – является шкалой наименований. Характеристикой центральной тенденции (среднего) на шкале наименований может служить «мода» – значение показателя, которое указано наибольшим числом экспертов, или же наибольшее число раз встретилось в проведённом статистическом исследовании (если речь идёт, например, о видах дефектов продукции). Для небольшого числа оценок эта характеристика также теряет смысл, и тогда центральную тенденцию характеризовать невозможно. Если в распределении двум (или нескольким) каким-либо значениям показателя соответствуют приблизительно одинаковые числа оценок, распределение называют бимодальным (полимодальным).

При использовании номинальных шкал исследуемые объекты можно опознавать на основе трех аксиом идентификации:

1) Х либо есть Y , либо есть не Y ;

2) если Х есть Y , то Y есть Х ;

3) если Х есть Y , и Y есть Z , то Х есть Z .

Дихотомическая шкала позволяет отметить, относится ли данный объект к интересующей нас группе или нет.

Пример. Две сравниваемые переменные X (семейное положение) и Y (отчисление из института) измеряются в дихотомической шкале (табл.22).

Для вычисления коэффициента корреляции Пирсона составляется таблица сопряжённости (табл.23).

Таблица 22

Вычисление коэффициента корреляции Пирсона для дихотомических данных проводится по формуле

(5.1)

Напомним, что при случайные величины и являются независимыми, а при связь между ними линейная. Так как в нашем случае , то корреляция между величинами существует, но непрямая ().

5.2. Шкала наименований.

Шкала наименований (номинальная), в которой числа используются исключительно с целью обозначения объектов. Кроме сравнения на совпадение, любые арифметические действия над числами, обозначающими имена объектов, бессмысленны. С помощью шкалы наименований часто отмечают, присутствует или отсутствует какой-то признак в объекте.

Аксиомы тождества:

(5.2)

Допустимые операции:

– символ Кронекера ;

– число наблюдений го класса; ;

– относительная частота класса ;

– мода ;

– коэффициент согласия (конкордации);

– проверка по тесту .

Примеры номинальных шкал: названия болезней; поч­товые, телефонные, автомобильные индексы регионов и стран; пол человека.

5.3. Шкала порядков (ранговые шкалы).

В случаях, когда исследуемые объекты можно в результате сравнения расположить в определенной последовательности с учетом какого-либо существенного фактора (факторов), используются порядковые шкалы, позволяющие устанавливать равноценность или доминирование.

Шкала порядков (ранговая шкала), при измерении в которой мы получаем информацию лишь о том, в каком порядке объекты следуют друг за другом по какому-то свойству. Примером могут служить шкалы, по которым измеряются твёрдость материалов, «похожесть» объектов. К этой группе шкал относится большинство шкал, используемых в социологических и психологических исследованиях. Частным случаем шкал порядка являются балльные шкалы, используемые в практике спортивного судейства или оценок знаний в школе. Если, скажем, по некоторой дисциплине два студента имеют оценки «отлично» и «удовлетворительно», то можно лишь утверждать, что уровень подготовки по этой дисциплине первого студента выше (больше), чем второго, но нельзя сказать, на сколько или во сколько раз больше.

Оказывается, что в таких случаях проблема оценки тесноты связи разрешима, если упорядочить, или ранжировать, объекты анализа по степени выраженности измеряемых признаков. При этом каждому объекту присваивается определенный номер, называемый рангом. Например, объекту с наименьшим проявлением (значением) признака присваивается ранг 1, следующему за ним – ранг 2 и т.д. Объекты можно располагать и в порядке убывания проявления (значений) признака. Если объекты ранжированы по двум признакам, то имеется возможность оценить тесноту связи между признаками, основываясь на рангах, т.е. тесноту ранговой корреляции.

В дополнение к (5.2) в этой шкале необходимо добавить следующие аксиомы - аксиомы упорядоченности :

Существует ещё шкала частичного порядка . «Частичный порядок» часто встречается при оценке субъективных предпочтений.

Примеры шкалы порядков :

1) Более длинный отпуск предпочтительнее уменьшения рабочего дня на полчаса. Уменьшение рабочего дня на полчаса предпочтительнее повышения зарплаты на 500 р. Но необязательно более длинный отпуск предпочтительнее повышения зарплаты на 500 р.

2) Что лучше: клетчатые шарфы или семискоростные миксеры; чтение литературы или прослушивание музыкальных записей.

3) Шкала твёрдости по Моору (1811 г.): из двух минералов твёрже тот, который оставляет на другом царапины или вмятины при достаточно сильном соприкосновении. Эталоны: 1 – тальк, 2 – гипс, 3 – кальций, 4 – флюорит, 5 – апатит, 6 – ортоклаз, 7 – кварц, 8 – топаз, 9 – корунд, 10 – алмаз.

4) Шкала силы ветра по Бофорту (1806 г.). Сила ветра определяется по волнению моря: 0 – штиль, 4 – умеренный ветер, 6 – сильный ветер, 10 – шторм (буря), 12 – ураган.

5) Балльные шкалы оценки знаний учащихся.

Отметим, что отношение порядка ничего не говорит о дистанции между сравниваемыми классами. Поэтому порядковые экспериментальные данные, даже если они выражены числами, нельзя рассматривать как числа, например, нельзя вычислять выборочное среднее.

Допустимые операции:

– ранг объёма

, где .

(5.3)

Ранги можно присваивать по старшему в группе одинаковых, по среднему, либо случайным образом.

– выборочная медиана, т.е. наблюдение с рангом , ближайшее к ;

– выборочные квантили любого уровня , т.е. наблюдение с рангом , ближайшим к ;

– коэффициенты корреляции: - Спирмена, - Кендалла.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена находится по формуле:

.

(5.4)

где и ранги го объекта по переменным и , число пар наблюдений.

Если ранги всех объектов равны (), то , т.е. при полной прямой связи . При полной обратной связи, когда ранги объектов по двум переменным расположены в обратном порядке, можно показать, что и по формуле (5.4) . Во всех остальных случаях .

Коэффициент ранговой корреляции Кендалла находится по формуле:

.

(5.5)

Для определения необходимо ранжировать объекты по одной переменной в порядке возрастания рангов и определить соответствующие их ранги () по другой переменной. Статистика равна общему числу инверсий (нарушений порядка, когда большее число стоит слева от меньшего) в ранговой последовательности (ранжировке ) . При полном совпадении двух ранжировок имеем и ; при полной противоположности можно показать, что и . Во всех остальных случаях .

5.4. Шкала интервалов.

Шкала интервалов, в которой можно менять как начало отсчёта, так и единицы измерения. Если упорядочивание объектов можно выполнить настолько точно, что известны расстояния между любыми двумя из них, то измерение оказывается значительно сильнее, чем в шкале порядка. Естественно выражать все измерения в единицах, хотя и произвольных, но одинаковых по всей длине шкалы. Следствием такой равномерности шкал этого класса является независимость отношения двух интервалов от того, в какой из шкал эти интервалы измерены (т.е. какова единица длины и какое значение принято за начало отсчёта).

Если в одной шкале измеренные интервалы равны и , а во второй – и , то справедливо соотношение: .

В этой шкале только интервалы могут иметь смысл настоящих чисел, допускающих математические действия с ними. Примерами шкал интервалов могут быть шкалы для измерения температуры (Цельсия, Кельвина (К = 273 + С), Фаренгейта (F = 5/9C + 32)), давления, промежутков времени и т.п.

Допустимые операции – определение интервала между двумя измерениями. Над интервалами – любые арифметические или статистические операции.

5.5. Шкала отношений.

Шкала отношений, в которой начало отсчёта неизменно, а единицы измерения можно изменять (масштабировать). К предыдущим пяти аксиомам необходимо добавить еще четыре.

Аксиомы аддитивности :

(5.6)

Измерения в этой шкале являются полноправными числами, с ними можно выполнять любые арифметические действия. Этот класс шкал обладает следующей особенностью: отношение двух наблюдаемых значений измеряемой величины не зависит от того, в какой из шкал произведены измерения, т.е. .

Примерами шкал отношений являются шкалы для измерения веса, длины и т.п.

5.6. Абсолютная шкала.

Абсолютная шкала, результатом измерения в которой является число, выражающее количество элементов в множестве. В данной шкале начало отсчёта и единицы измерения неизменны. Числа, полученные по такой шкале, можно складывать, вычитать, делить, умножать – все эти действия будут осмысленными. Из перечисленных шкал абсолютная шкала является самой «сильной», а номинальная – самой «слабой». Действительно, из абсолютных данных можно узнать всё то, что могут дать любые другие шкалы, но не наоборот.

Пример. Из того, что в группе А – 15 студентов, в группе В – 20, а в группе С – 30, можно узнать:

в А студентов в 2 раза меньше, чем в С (шкала отношений);

в В студентов на 10 человек меньше, чем в С (шкала интервалов);

в А студентов просто меньше, чем в В и С (шкала порядка);

в А, В, С студентов не одно и то же количество (шкала наименований).

Использовать только абсолютные шкалы не всегда целесообразно. Для получения информации о свойствах, измеряемых в сильных шкалах, требуются более совершенные (сложные, дорогие) измерительные приборы и процедуры. К тому же, таких приборов и процедур для измерения многих характеристик просто нет. Например, можно выяснить, чего данному человеку хочется больше – чая или кофе, но определить, насколько больше или во сколько раз, затруднительно.

В зависимости от существа или важности того или иного фактора на этапе подготовки и принятия решений могут быть использованы различные шкалы. В таблице приведены типы шкал и их основные характеристики.

Измерительные шкалы

Термин «шкала» происходит от латинского слова «Scala», что в переводе означает лестница.

Шкалой измерений называют принятый по соглашению порядок определения и обозначения всевозможных проявлений конкретного свойства (например, значений размера). Различают пять основный типов шкал измерений: наименований, порядка, интервалов (разностей), отношений и абсолютные шкалы.

Шкала наименований .

Это самые простые шкалы, которые отражают качественные свойства. Их элементы характеризуются только соотношениями эквивалентности (равенства) и сходства конкретных качественных проявлений свойства.

Эти шкалы не имеют нуля и единицы измерений, в них отсутствуют отношения сопоставления типа «больше-меньше». На шкале наименований нельзя производить арифметические действия.

Измерение сводится к сравнению измеряемого объекта с эталонными и выбору одного из них (или двух соседних) совпадающего с измеряемым. Измерения в шкалах наименований выполняются довольно часто. Результаты качественного анализа (определение группы крови) – это измерения в шкале наименований.

Шкала порядка .

Шкала порядка. Сравнение одного размера с другим по принципу «что больше» или «что лучше» производится по шкале порядка. Эти шкалы не имеют единиц измерений. Более подробная информация насколько больше ил во сколько раз лучше иногда не требуется. Построив людей по росту, пользуясь шкалой порядка, можно сделать вывод о том, кто выше, однако сказать насколько выше или во сколько нельзя.

Расстановка размеров по мере возрастания или убывания для получения измерительной информации по шкале порядка называется ранжированием. По шкале порядка сравниваются между собой размеры, которые остаются сами неизвестными. Результатом сравнения является ранжированный ряд.

Измерения по шкале порядка являются самыми несовершенными, наименее информативными. Они не дают ответа на вопрос о том, на сколько или во сколько раз один размер больше другого. На шкале порядка могут выполняться лишь некоторые логические операции. Например, если первый размер больше второго, а второй больше третьего, то и первый больше третьего. Если два размера меньше третьего, то их разность меньше третьего.

Эти свойства шкалы называются свойствами транзитивности. В то же время на шкале порядка не могут выполняться никакие арифметические действия.

Измерения по шкале порядка широко используются при контроле. Здесь поверяемый размер Q 1 сравнивается с контрольным Q 2 . Результатом измерения служит решение о том, годно или негодно изделие по контролируемому размеру.

Классическим примером является оценивание твердости минералов на основе шкалы Мооса. Шкала Мооса относительной твердости минералов состоит из 10 эталонов твердости: тальк -1; гипс - 2; кальцит - 3; флюорит - 4; апатит - 5; ортоглаз - 6; кварц - 7; топаз - 8; корунд - 9; алмаз - 10. Относительная твердость определяется путем царапания эталоном поверхности испытываемого объекта. Как праило, шкала порядка используется в том случае, когда не существует метода, позволяющего осуществить оценку в установленных еденицах измерения.

Реперные шкалы.

Для облегчения измерений на шкале порядка можно

зафиксировать некоторые опорные точки в качестве «реперных». Такая шкала называется реперной.

Точкам реперных шкал могут быть проставлены цифры, называемые баллами.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

По реперным шкалам измеряются:

интенсивность землетрясений по 12- ти балльной международной шкале MSK – 64 (табл.1);

сила ветра по шкале Бофорта (табл. 2).;

сила морского волнения;

чувствительность фотопленки;

степень торошения льда;

твердость минералов и т.д.

Например, для оценки скорости (силы) ветра в баллах по его действию на наземные предметы или по волнению на море была составлена условная шкала Ф Бофортом в 1805 г. Соотношения между баллами и скоростью ветра на высоте 10 м была принята в 1946 г. по международному соглашению.

Недостатком реперных шкал является неопределенность интервалов между реперными точками. Поэтому баллы нельзя складывать, вычитать, умножать или делить. Измерительная информация, полученная по шкале порядка непригодна для математической обработки. Невозможно и внесение в результат измерения поправки, ибо если сами сравниваемые размеры неизвестны, то внесение поправки не вносит ясности.

Таблица 1

	Название	Краткая характеристика
	Незамет-ное	Отмечается только сейсмическими приборами
	Очень слабое	Ощущается отдельными людьми, находящимися в состоянии покоя
		Ощущается небольшой частью населения.
	Умерен-ное	Распознается по мелкому дребезжанию и колебанию предметов и оконных стекол, скрипу дверей и стен.
	Доволь-но сильное	Общее сотрясение зданий, колебания мебели, трещины оконных стекол и штукатурки, пробуждение спящих.
		Ощущается всеми. Картины падают со стен, откалываются куски штукатурки, легкое повреждение зданий.
	Очень сильное	Трещины в стенах каменных домов. Антисейсмические, а также деревянные постройки остаются невредимыми
	Разруши-тельное.	Трещины в крутых склонах и на сырой почве. Памятники сдвигаются с места или падают. Дома сильно повреждаются.
	Опустоши-тельное	Сильное повреждение и разрушение каменных домов.
	Уничто-жающее	Крупные трещины в почве. Оползни и обвалы. Разрушение каменных построек, искривление железнодорожных рельсов.
	Катаст-рофа	Широкие трещины в земле. Многочисленные оползни и обвалы. Каменные дома совершенно разрушаются.
	Сильная катаст-рофа	Изменение в почве достигает огромных размеров. Многочисленные обвалы, оползни, трещины. Возникновение водопадов, подпруд на озерах. Отклонение течения рек. Ни одно сооружение не выдерживает.

Таблица 2

	Название ветра	Действие
		Дым идет вертикально
		Дым идет слегка наклонно
		Ощущается лицом, шелестят листья.
		Развеваются флаги
	Умеренный	Поднимается пыль
		Вызывает волны на воде
		Свистит в вантах, гудят провода
		На волнах образуется пена
	Очень крепкий	Трудно идти против ветра
		Срывает черепицу
	Сильный шторм	Вырывает деревья с корнем
	Жестокий шторм	Большие разрушения.
		Опустошительное действие

Шкала интервалов .

Более совершенными в этом отношении являются шкалы интервалов, составленные из строго определенных интервалов. На шкале интервалов откладывается разность между размерами. Общепринятой является измерение времени по шкале, разбитой на интервалы, равные периоду обращения Земли вокруг Солнца (летоисчесление). Эти интервалы (годы) делятся в свою очередь на более мелкие (сутки), равные периоду обращения Земли вокруг оси. Сутки в свою очередь делятся на часы, часы на минуты, минуты на секунды. Такая шкала называется шкалой интервалов

На шкале интервалов определены такие математические действия, как сложение и вычитание. Интервалы с учетом знаков можно складывать друг с другом и вычитать друг из друга. Благодаря этому можно определить, на сколько один размер больше или меньше другого.

Ввиду неопределенности начала отсчета на шкале интервалов нельзя определять во сколько раз один размер больше или меньше другого.

Иногда шкалы интервалов иногда получают путем пропорционального деления интервала между реперными точками. Так, на температурной шкале Цельсия за начало отсчета принята температура таяния льда. С ней сравниваются все другие температуры. Для удобства пользования шкалой интервалов шкала между температурой таяния льда и температурой кипения воды разбит на 100 равных интервалов – градации или градусов. Вся шкала Цельсия разбита на градусы как в сторону положительных, так и в сторону отрицательных интервалов.

На температурной шкале Реомюра за начало отсчета принята та же температура таяния льда, но интервал между этой температурой и температурой кипения воды разбит на 80 равных частей. Тем самым используется другая градация температуры: температура Реомюра больше чем температура Цельсия.

На температурной шкале Фаренгейта тот же интервал разбит на 180 частей. Следовательно, градус Фаренгейта меньше градуса Цельсия. Кроме того, начало отсчета интервалов на шкале Фаренгейта сдвинут на 32 0 в сторону низких температур.

Деление шкалы на рваные части – градации – устанавливает на ней масштаб и позволяет выразить результат измерения в числовой мере.

Шкала отношений.

Если в качестве одной из двух реперных точек выбрать такую, в которой размер не принимается равным нулю, а равен нулю на самом деле, то по такой шкале можно отсчитывать абсолютное значение размера и определять во сколько раз один размер больше ли меньше другого. Эта шкала называется шкалой отношений. Примером может служить температурная шкала Кельвина. В ней за начало отсчета принят абсолютный нуль температуры, при котором прекращается тепловое движение молекул. Второй реперной точкой служит температура таяния льда. По шкале Цельсия интервал между этими реперными точками равен 273,16 0 С. Поэтому на шкале Кельвина интервал между этими точками делят на 273,16 частей. Каждая такая часть называется Кельвином и равна градусу Цельсия, что облегчает переход от одной шкалы в другую.

Шкала отношений является самой совершенной, наиболее информативной. На ней определены все математические действия.: сложение, вычитание, умножение и деление. Отсюда следует, что значения любых размеров на шкале отношений можно складывать между собой, вычитать, перемножать и делить. Следовательно, можно определить, насколько или во сколько раз один размер больше или меньше другого.

В зависимости от того, на какие интервалы разбита шкала, один и тот же размер проставляется по разному. Например, 0,001 км; 1 м; 100 см; 1000 м – четыре варианта представления одного и того же размера. Их называют значениями измеряемой величины.

Таким образом, значение измеряемой величины – это выражение ее размера в определенных единицах измерения. Входящее в нее отвлеченное число называется числовым значением .

Значение измеряемой величины Q определяется ее числовым значением g м некоторым размером
, принятым за единицу измерения:

. (53)

где Q – измеряемая величина;

- единица измерения;

g – числовое значение.

Абсолютные шкалы . Они обладают всеми свойствами шкал отношений. Единицы абсолютных шкал естественны, а не выбраны по соглашению, но эти единицы безразмерны (разы, проценты, доли, полные углы и т. д.). Единицы величин, описываемые абсолютными, не являются производными единицами СИ, так как по определению производные единицы не могут быть безразмерными. Это внесистемные единицы. Стерадиан и радиан – это типичные единицы абсолютных шкал. Абсолютные шкалы бывают ограниченными и неограниченными.

Ограниченные шкалы – это, обычно, шкалы с диапазоном от нуля до единицы (КПД, коэффициент поглощения или отражения и т. п.). Примерами неограниченных шкал являются шкалы, на которых измеряются коэффициенты усиления, ослабления и т. п.

Эти шкалы принципиально нелинейны. Поэтому они не имеют единиц измерений.

14. Понятие, виды, особенности измерительных шкал

Измерение - это алгоритмическая операция, которая данному наблюдаемому состоянию объекта ставит в соответствие определенное обозначение: число, помер или символ. Обозначим через хi. i=1,…, m наблюдаемое состояние (свойство) объекта, а через уi, i = 1,..,m - обозначение для этого свойства. Чем теснее соответствие между состояниями и их обозначениями, тем больше информации можно извлечь в результате обработки данных. Менее очевидно, что степень этого соответствия зависит не только от организации измерений (т. е. от экспериментатора), но и от природы исследуемого явления, и что сама степень соответствия в свою очередь определяет допустимые (и недопустимые) способы обработки данных!

Измерительные шкалы в зависимости от допустимых на них операций различаются по их силе. Самые слабые - номинальные шкалы, а самые сильные - абсолютные.

С. Стивенсом предложена классификация из 4 типов шкал измерения:

1) номинативная, или номинальная, или шкала наименований;

2) порядковая, или ординальная, шкала;

3) интервальная, или шкала равных интервалов;

4) шкала равных отношений.

Выделяют три основных атрибута измерительных шкал, наличие или отсутствие которых определяет принадлежность шкалы к той или иной категории:

1. упорядоченность данных означает, что один пункт шкалы, соответствующий измеряемому свойству, больше, меньше или равен другому пункту;

2. интервальность пунктов шкалы означает, что интервал между любой парой чисел, соответствующих измеряемым свойствам, больше, меньше или равен интервалу между другой парой чисел;

3. нулевая точка (или точка отсчета) означает, что набор чисел, соответствующих измеряемым свойствам, имеет точку отсчета, обозначаемую за ноль, что соответствует полному отсутствию измеряемого свойства.

Кроме того, выделяют следующие группы:

неметрические или качественные шкалы, в которых отсутствуют единицы измерений (номинальная и порядковая(ранговая) шкалы);

количественные или метрические (шкала интервалов, абсолютная шкала).

Шкалирование представляет собой отображение какого-либо свойства объекта или явления в числовом множестве.

Можно сказать, что чем сильнее шкала, в которой производятся измерения, тем больше сведений об изучаемом объекте, явлении, процессе дают измерения. Поэтому так естественно стремление каждого исследователя провести измерения в возможно более сильной шкале. Однако важно иметь в виду, что выбор шкалы измерения должен ориентироваться на объективные отношения, которым подчинена наблюдаемая величина, и лучше всего производить измерения в той шкале, которая максимально согласована с этими отношениями. Можно измерять и в шкале более слабой, чем согласованная (это приведет к потере части полезной информации), но применять более сильную шкалу опасно: полученные данные на самом деле не будут иметь той силы, на которую ориентируется их обработка.

Иногда же исследователи усиливают шкалы; типичный случай - «оцифровка» качественных шкал: классам в номинальной или порядковой шкале присваиваются номера, с которыми дальше «работают» как с числами. Если в этой обработке не выходят за пределы допустимых преобразований, то «оцифровка» - это просто перекодировка в более удобную (например, для ЭВМ) форму. Однако применение других операций сопряжено с заблуждениями, ошибками, так как свойства, навязываемые подобным образом, на самом деле не имеют места.

Виды шкал:

Номинативная или шкала наименований:

Позволяет установить к какому классу относится тот или иной объект измерения. Все объекты группируются по классам. Каждому классу приписывается значение. Особенностью является то, что учитывается одно значение чисел. Обычные арифметические операции недопустимы. Мы можем сделать вывод о тождественности по измеряемому свойству. Иными словами, объекты сравниваются друг с другом и определяется их эквивалентность -- неэквивалентность. В результате процедуры образуется совокупность классов эквивалентности. Объекты, принадлежащие одному классу, эквивалентны друг другу и отличны от объектов, относящихся к другим классам. Эквивалентным объектам присваиваются одинаковые имена. О шкале наименований можно говорить в том случае, когда эмпирические объекты просто "метятся" числом. Несмотря на тенденцию "завышать" мощность шкалы, психологи очень часто применяют шкалу наименований в исследованиях. "Объективные" измерительные процедуры при диагностике личности приводят к типологизации: отнесению конкретной личности к тому или иному типу. Примером такой типологии являются классические темпераменты: холерик, сангвиник, меланхолик и флегматик.

Самая простая номинативная шкала называется дихотомической. При измерениях по дихотомической шкале измеряемые признаки можно кодировать двумя символами или цифрами, например 0 и 1, или 2 и 6, или буквами А и Б, а также любыми двумя отличающимися друг от друга символами. Признак, измеренный по дихотомической шкале, называется альтернативным. В дихотомической шкале все объекты, признаки или изучаемые свойства разбиваются на два непересекающихся класса, при этом исследователь ставит вопрос о том, «проявился» ли интересующий его признак у испытуемого или нет.

Операции с числами для номинативной шкалы.

1) Нахождение частот распределения по пунктам шкалы с помощью процентирования или в

численности к общему ряду распределения (частоты).

2) Поиск средней тенденции по модальной частоте. Модальной (Мо) называют группу с

наибольшей численностью. Эти две операции дают представление о распределении

психологических характеристик в количественных показателях. Его наглядность повышается

отображением в диаграммах.

3) Самым сильным способом количественного анализа является установление взаимосвязи

между рядами свойств, расположенных неупорядоченно. С этой целью составляют

перекрестные таблицы. Помимо простой процентовки в таблицах перекрестной

Порядковая (ранговая) шкала:

Измерения предполагают приписывание объектам чисел в зависимости от выраженности признака. Данная шкала делит всю совокупность признаков на множество, которые связаны отношениями «больше - меньше». Для объектов с одинаковой выраженностью признака используется правило равных рангов. При ранжировании необходимо указывать какому значению (наибольшему или наименьшему) присваивается первый ранг. Эта операция должна быть одинакова для всех признаков.

Чтобы проверить правильность ранжирования используется формула: сумма рангов равна общее количество измерений умноженное на сумму N+1 и делённое на 2.

Шкалы порядка широко используются в психологии познавательных процессов, экспериментальной психосемантике, социальной психологии: ранжирование, оценивание, в том числе педагогическое, дают порядковые шкалы. Классическим примером использования порядковых шкал является тестирование личностных черт, а также способностей. Большинство же специалистов в области тестирования интеллекта полагают, что процедура измерения этого свойства позволяет использовать интервальную шкалу и даже шкалу отношений.

В качестве характеристики центральной тенденции можно использовать медиану, а в качестве характеристики разброса - процентили. Для установления связи двух измерений допустима порядковая корреляция (т-Кэнделла и р-Спирмена).

Характерной особенностью порядковых шкал является то, что отношение порядка ничего не говорит о дистанции между сравниваемыми классами. Поэтому порядковые экспериментальные данные, даже если они изображены цифрами, нельзя рассматривать как числа.Числовые значения порядковой шкалы нельзя складывать, вычитать, делить и умножать.

Интервальная шкала.

Отражает уровень выраженности свойства. Данная шкала предполагает использование единиц измерения. Тестовые шкалы, разработанные в следствии стандартизации. Но в данной шкале не существует нулевой точки отсчёта. Ряд авторов полагают, что относить тесты интеллекта к шкалам интервалов нет оснований. Во-первых, каждый тест имеет "нуль" - любой индивид может получить минимальный балл, если не решит ни одной задачи в отведенное время. Во-вторых, тест имеет максимум шкалы -- балл, который испытуемый может получить, решив все задачи за минимальное время. В-третьих, разница между отдельными значениями шкалы неодинакова. По крайней мере, нет никаких теоретических и эмпирических оснований утверждать, что 100 и 120 баллов по шкале IQ отличаются на столько же, на сколько 80 и 100 баллов.

Скорее всего, шкала любого теста интеллекта является комбинированной шкалой, с естественным минимумом и\или максимумом, но порядковой. Однако эти соображения не мешают тестологам рассматривать шкалу IQ как интервальную, преобразуя "сырые" значения в шкальные с помощью известной процедуры "нормализации" шкалы

Интервальная шкала позволяет применять практически всю параметрическую статистику для анализа данных, полученных с ее помощью. Помимо медианы и моды для характеристики центральной тенденции используется среднее арифметическое, а для оценки разброса--дисперсия. Можно вычислять коэффициенты асимметрии и эксцесса и другие параметры распределения. Для оценки величины статистической связи между переменными применяется коэффициент линейной корреляции Пирсона и т.д.

Операции с числами в интервальной метрической шкале богаче. Чем в номинальных

1) Точка отсчета на шкале выбирается произвольно.

2) Все методы описательной статистики.

3) Возможности корреляционного и регрессионного анализа. Можно использовать коэффициент парной корреляции Пирсона и коэффициенты множественной корреляции, что может предсказать изменения в одной переменной в зависимости от изменений в другой или в целом ряде переменных.

Шкала абсолютная. (шкала отношений):

Шкалу отношений называют также шкалой равных отношений. Особенностью этой шкалы является наличие твердо фиксированного нуля, который означает полное отсутствие какого-либо свойства или признака. Шакала отношений является наиболее информативной шкалой, допускающей любые математические операции и использование разнообразных статистических методов. Шкала отношений по сути очень близка интервальной, поскольку если строго фиксировать начало отсчета, то любая интервальная шкала превращается в шкалу отношений.

Шкала отношений показывает данные о выраженности свойств объектов, когда можно сказать, во сколько раз один объект больше или меньше другого.

Это возможно лишь тогда, когда помимо определения равенства, рангового порядка, равенства интервалов известно равенство отношений. Шкала отношений отличается от шкалы интервалов тем, что на ней определено положение "естественного" нуля. Классический пример -- шкала температур Кельвина. Именно в шкале отношений производятся точные и сверхточные измерения в таких науках, как физика, химия, микробиология и др. Измерение по шкале отношений производятся и в близких к психологии науках, таких, как психофизика, психофизиология, психогенетика.

Измерения массы, времени реакции и выполнения тестового задания -- области применения шкалы отношений.

В шкалах отношений классы обозначаются числами, которые пропорциональны друг другу: 2 так относится к 4, как 4 к 8. Это предполагает наличие абсолютной нулевой точки отсчета. Считается, что в психологии примерами шкал равных отношений являются шкалы порогов абсолютной чувствительности. Возможности человеческой психики столь велики, что трудно представить себе абсолютный нуль в какой-либо измеряемой психологической переменной. Абсолютная глупость и абсолютная честность – понятия скорее житейской психологии.

Возможны преобразования из одной шкалы в другую. Результаты, полученные по шкале интервалов, могут быть преобразованы в ранги или переведены в номинативную шкалу.

Рассмотрим, например, первичные результаты шести испытуемых по шкале экстраверсии-

интроверсии теста Айзенка. психолог обязан помнить, что в действительности

скрывается за величинами, которыми он оперирует.

1) Первое ограничение – соразмерность количественных показателей, фиксированных разными шкалами в рамках одного исследования. Более сильная шкала отличается от слабой тем, что допускает более широкий диапазон математических операций с числами. Все, что допустимо для слабой шкалы допустимо и для более сильной, но не наоборот. Поэтому, смешение в анализе мерительных эталонов разного типа приводит к тому, что не используются возможности сильных шкал.

2) Второе ограничение связано с формой распределения величины фиксированных описанными выше шкалами, которое предполагается нормальным.

Измерение – это совокупность действий, выполняемых при помощи средств измерений с целью нахождения числового значения измеряемой величины в принятых единицах величин.

В более широком понимании измерение представляет собой процедуру количественной или качественной оценки того или иного свойства. Измерение становится возможным, если удается сформировать шкалу рассматриваемого свойства с учетом множества его различных проявлений. Слово «шкала» происходит от латинского «scala – лестница», и означает ряд последовательных значений измеряемой величины в восходящем или нисходящем порядке, которые приняты для измерения.

Свойство рассматривают как некую систему, между элементами которой действуют различные отношения: отношения эквивалентности (равенства), отношения порядка (больше, меньше), отношения аддитивности (суммирования).

В теории измерений рассматривают 5 различных типов шкал:

- шкалы наименований ;

- шкалы интервалов (шкалы разностей);

- шкалы отношений ;

- шкалы порядка (шкалы рангов);

- абсолютные шкалы .

Шкалы наименований – это качественные шкалы, которые соответствуют свойствам только с отношениями эквивалентности . К этим свойствам нельзя применить термин «размер», но они могут быть определены и идентифицированы. Например, наименование или обозначение цвета по атласу цветов.

Шкалы порядка – соответствуют свойствам, для которых могут быть установлены отношения эквивалентности и отношения порядка по возрастанию или уменьшению количественного проявления свойства, но единицы измерения ввести нельзя. Это шкалы с балльной оценкой (сила землетрясения, сила ветра, твердость минералов и металлов).

Шкалы интервалов – соответствуют свойствам с отношениями эквивалентности, порядка и аддитивности . Шкалы интервалов имеют условный ноль, заданные значения интервалов и единицу измерения.

Например, шкала времени имеет условный ноль и установленные интервалы. Единица измерения воспроизводится непосредственно как интервал времени – с, мин, час, сутки и т.д. К шкале интервалов относится температурные шкалы Цельсия и Фаренгейта. Шкала Цельсия имеет условный ноль (температуру замерзания воды или таяния льда) и заданный интервал (100 градусов Цельсия – температура кипения воды). В шкале Фаренгейта началом отсчета является температура смеси льда, поваренной соли и нашатыря. В качестве второй опорной точки выбрана температура тела человека. Единица температуры по Фаренгейту – градус Фаренгейта, определяется как одна девяносто шестая часть полученного интервала. Температура таяния льда по Фаренгейту равна 32 градусам, температура кипения воды – 212 градусов.

Шкалы отношений – соответствуют свойствам с отношениями эквивалентности, порядка и аддитивности . Шкалы отношений считаются наиболее совершенными, так как имеют естественный ноль и единицы измерения, которые принимают по согласованию. Например, температурная шкала Кельвина имеет физически определенный ноль (абсолютный ноль – наиболее низкая возможная температура). Кельвин является одной из основных единиц СИ (до 1968 г. называлась градус Кельвина). 1 К = 1 градусу Цельсия (по определению Кельвин – это единица термодинамической температуры, равная 1/273,16 части термодинамической температуры тройной точки воды, то есть точки сосуществования трех агрегатных состояний воды – жидкого, твердого и газообразного. Тройная точка воды соответствует 0,01 градуса Цельсия. Шкалами отношений также являются шкалы многих физических величин – массы, длины, силы электрического тока и др. С помощью шкал отношений возможны все арифметические операции с измеряемыми величинами: сложение, вычитание, умножение и деление.

Шкалы порядка – соответствуют свойствам с отношениями эквивалентности и порядка (по возрастанию или уменьшению количественного проявления свойства), но единицы измерения ввести нельзя. Эти величины не измеряют, а оценивают. Шкалы порядка имеют балльную оценку. Например, шкала силы землетрясения, шкалы твердости минералов и металлов, шкалы серых и синих эталонов оценки устойчивости окраски и др.

Абсолютные шкалы - соответствуют свойствам с отношениями эквивалентности, порядка и аддитивности , имеющие естественное однозначное определение единицы измерения. Например, шкала измерения плоских углов в радианах (радиан – это центральный угол, соответствующий дуге, длина которой равна ее радиусу).

Измерения классифицируют по нескольким классификационным признакам.

По числу выполненных наблюдений или снятых показаний измерения делят на однократные и многократные .

Однократным называют измерение, выполненное один раз. Например, снятие размерных признаков тела человека.

Многократным называют измерение, результат которого получен из нескольких следующих друг за другом измерений (то есть состоящее из ряда однократных измерений). Многократное измерение выполняют с целью снижения погрешности. Например, определение Рр и Ер ткани по стандартной методике предусматривает использование 3 проб по основе и 4 проб по утку.

В зависимости от способа получения результата измерения делят на прямые, косвенные, совместные и совокупные.

Прямыми называют измерения, в которых искомое значение находят непосредственно из опытных данных. Например, измерение длины, массы и т.д.

Косвенными называют измерения, в которых искомое значение находят по результатам прямых измерений других величин, которые связаны с искомой определенной зависимостью. Например, определение линейной плотности нитей:

Т=m/L, текс.

Совместными называют производимые одновременно измерения двух или нескольких разноименных величин для установления функциональной зависимости между ними. Например, одновременное определение Р и l для построения кривой «деформация – усилие» и нахождения зависимости Р=f(l).

Совокупными называют измерения, в которых значения измеряемых величин находят решением системы уравнений, составленной по данным измерений нескольких одноименных величин . Примером является определение масс отдельных гирь в наборе по известной массе одной из них и по результатам определения масс различных сочетаний гирь.

По характеру зависимости измеряемой величины от времени измерения подразделяют на статические и динамические .

Статическими называют измерения, при которых измеряемая величина принимается за неизменную на время проведения измерения. Например, измерение Рр и Ер является статическим.

Динамическими называют измерения, при которых измеряемая величина изменяется со скоростью, превышающей возможности средства измерений отслеживать ее изменения. В этом случае возникает дополнительная динамическая составляющая погрешности, обусловленная инерционными свойствами измерительного прибора. Например, измерение дискретных значений Р и Е при растяжении пробы; измерение нарастающей влажности воздуха в корпусе установки при определении паропроницаемости материалов.

По уровню точности измерения делят на измерения максимально возможной точности, контрольные и технические (рабочие).

Измерения максимально возможной точности выполняют в метрологических центрах при создании и эксплуатации эталонов, а также в научных исследованиях по определению значений констант, стандартных справочных данных и т.д.

Контрольные измерения выполняют при поверке и калибровке средств измерений. Погрешность таких измерений не должна превышать некоторое заданное контрольное значение.

Технические (рабочие) измерения выполняют в промышленности с помощью рабочих средств измерений.

По особенностям обработки результатов измерения делят на равноточные и неравноточные .

Равноточными называют измерения, выполненные одинаковыми по точности средствами измерений в одних и тех же условиях.

Неравноточными называют измерения, выполненные различающимися по точности средствами измерений и/или в разных условиях.

Системы единиц

Система единиц – совокупность основных (независимых) и производных единиц величин.

Впервые принцип построения такой системы разработал немецкий ученый Гаусс в 1832 г. Разработанная им система получила название абсолютной и включала три основные единицы – миллиметр, миллиграмм и секунду. Абсолютная система не получила широкого распространения, но принцип ее построения используется до настоящего времени.

Принцип построения систем единиц заключается в том, что выбираются независимые друг от друга основные физические величины. Их единицы измерения называются основнымиединицами величин . Остальные величины называются производными, их единицы измерений - производными единицами величин . Производные единицы величин устанавливают через основные с использованием известных физических законов и соотношений. Эти соотношения в метрологии называют уравнениями связи между величинами.

Международная система единиц СИ разработана по решению ГКМВ и первоначально (в 1960 г.) включала шесть основных единиц. Позднее была добавлена седьмая основная единица – количество вещества – моль, а затем две дополнительные единицы – радиан и стерадиан. Система СИ нашла свое отражение в международных стандартах ИСО и государственном стандарте РФ.

Основные единицы СИ:

- метр (м) – единица длины (L) , равная пути, пройденному в вакууме светом за интервал времени 1/299 792 458 с;

- килограмм (кг) – единица массы (М) , равная массе международного прототипа килограмма (прототип килограмма представляет собой гирю в виде прямого цилиндра диаметром и высотой 39 мм из сплава платины и иридия);

- секунда (с) – единица времени (Т) , равная 9 192 631 770 периодам излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133;

- ампер (А) – единица силы электрического тока (I) . Ампер равен силе неизменяющегося тока, который при прохождении по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малой площади кругового поперечного сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1 м один от другого, вызвал бы на каждом участке проводника длиной 1 м силу взаимодействия, равную 2*10 -7 Н;

- кельвин (К) – единица термодинамической температуры (Θ – греч, тэта) , равная 1/273,16 части термодинамической температуры тройной точки воды (то есть точки сосуществования льда, воды и пара, которая соответствует 0,01 градуса Цельсия или 273,16 К);

- кандела (кд) – единица силы света (J) . Кандела есть сила света в заданном направлении источника, испускающего монохроматическое излучение частотой 540,10 12 Гц, электрическая сила света которого в этом направлении составляет 1/683 Вт/ср (Ватт на стерадиан);

- моль (моль) – единица количества вещества (N) . Моль – это количество вещества системы, содержащей столько же структурных элементов, сколько содержится атомов в углероде-12 массой 0,012 кг.

Дополнительные единицы :

- радиан (рад) – единица измерения плоского угла, равная внутреннему углу между двумя радиусами окружности, длина дуги между которыми равна радиусу;

- стерадиан (ср) – единица измерения телесного угла. Стерадиан равен телесному углу с вершиной в центре сферы, вырезающему на поверхности этой сферы площадь, равной площади квадрата со стороной, равной радиусу.

Одновременно с принятием системы СИ ГКМВ приняла десятичные кратные и дольные приставки к единицам. Приставка означает, что единица умножена на десять в целой положительной или отрицательной степени. Новая единица называется кратной или дольной (кратно превышающей или составляющей долю от исходной единицы). Из многообразия кратных и дольных единиц выбирают единицу, позволяющую получать числовые значения, удобные для применения на практике – в диапазоне от 0,1 до 1000.

Множители и приставки для образования десятичных кратных и дольных единиц, и их наименования

Примеры: МПа, кН, гПа, даН, дм, см, мм, мкм, нм.

ГКМВ признало использование некоторых внесистемных единиц наравне с единицами СИ из-за их практической важности – минута (мин), час (ч), литр (л) и некоторые другие.

На практике для удобства применяются не только системные и допущенные внесистемные единицы величин. Например, значение атмосферного давления и кровяное давление человека привычно указывают в миллиметрах ртутного столба, а не в Па; мощность двигателей автомобилей - в лошадиных силах, а не в киловаттах и т.д.

Вопросы для самоконтроля

1. С помощью каких шкал можно выполнить наибольшее количество действий:

- шкал наименований ;

- шкал интервалов ;

- шкал отношений ;

- шкал порядка ;

- абсолютных шкалы .

2. Физической величиной, на множестве значений которой возможно выполнение операций, подобных сложению и вычитанию, является:

- сила электрического тока;

- коэффициент линейного расширения;

- твердость минералов;

- сила ветра.

3. Измерения, выполненные различающимися по точности средствами измерений и/или в разных условиях, называются:

- однократными ;

- многократными;

- прямыми;

- косвенными;

- неравноточными.

4. Измерение, результат которого получен из нескольких следующих друг за другом измерений (то есть состоящее из ряда однократных измерений):

- многократное;

- прямое;

- косвенное;

- совместное;

- совокупное.

5. Из приведенных единиц измерения основнымиединицами величин являются:

- метр, м

- килограмм, кг

- джоуль, Дж

- ампер, А

- градус, град

- кельвин, К

- секунда, с

- моль

- кандела, кд

Средства измерений

Средство измерений – техническое средство, которое предназначено для измерений и имеет нормированные метрологические характеристики. К метрологическим характеристикам относят характеристики средства измерений, которые влияют на результат измерений и его погрешность.

Средства измерений выполняют одну из двух функций:

Воспроизводят величину заданного размера (гири, линейки);

Вырабатывают сигнал (показание), несущий информацию о значении измеряемой величины.

Показания средства измерений могут непосредственно восприниматься органами чувств человека (например, показания стрелочного или цифрового прибора), либо преобразуются другими техническими средствами в сигнал, удобный для восприятия (например, записывающими устройствами).

Средства измерений подразделяют на меры, измерительные преобразователи (датчики), измерительные приборы, измерительные установки, измерительные системы .

Мера – средство измерений, предназначенное для воспроизведения и/или хранения величины одного или нескольких размеров, значения которых выражены в установленных единицах с необходимой точностью. Например, гиря воспроизводит один размер, штриховая мера длины – линейка – воспроизводит несколько размеров.

Измерительный преобразователь (датчик) – это средство измерений, предназначенное для преобразования сигналов измерительной информации в форму, удобную для восприятия или дальнейшего преобразования. Например, температурные полоски, тензометрические датчики.

Измерительный прибор – это средство измерений, предназначенное для получения значений измеряемой величины в установленном диапазоне и выработки сигнала измерительной информации в форме, доступной для непосредственного восприятия. По форме представления измерительной информации различают показывающие и регистрирующие приборы . Показывающие приборы позволяют производить отсчет или считывание показаний. Например, стрелочные или цифровые приборы. Регистрирующие приборы записывают информацию на каком-либо носителе. Например, гигрограф записывает кривую изменения влажности воздуха на специальной бумаге в течение суток.

По форме преобразования измерительных сигналов приборы подразделяют на аналоговые и цифровые . Аналоговые приборы имеют показания в виде непрерывной функции изменения измеряемой величины. Например, к аналоговым относятся разрывные машины с маятниковым силоизмерителем, стрелочные тонометры и др. Цифровые приборы автоматически преобразуют результаты измерения непрерывной величины в дискретные сигналы, которые отображаются в виде чисел на цифровом индикаторе (в силу этого существуют отличия в определении и нормировании метрологических характеристик цифровых приборов по сравнению с аналоговыми). Например, разрывные машины с цифровой индикацией, цифровые тонометры и др.

Измерительная установка – это совокупность функционально объединенных средств измерений и вспомогательных устройств, предназначенная для измерения одной или нескольких величин, расположенная в одном месте. Например, установка с эксикаторами для определения паропроницаемости.

Измерительная система - это совокупность функционально объединенных средств измерений и вспомогательных устройств, размещенных в разных точках контролируемого объекта и соединенных между собой каналами связи, предназначенная для измерения одной или нескольких величин.

Вопросы для самоконтроля

1. Совокупность функционально объединенных средств измерений и вспомогательных устройств, предназначенная для измерения одной или нескольких величин, расположенная в одном месте – это средство измерений, которое называется:

- мера,

- измерительный преобразователь (датчик),

- измерительный прибор,

- измерительная установка,

- измерительная система

2. Разрывная машина Р-50, которая имеет цифровые табло для отображения значений нагрузки и деформации проб и самописец для построения кривой «нагрузка-деформация» относится к:

- показывающим измерительным приборам,

- регистрирующим измерительным приборам ,

- аналоговым измерительным приборам,

- цифровым измерительным прибором.

Шкала измерений – это совокупность значений, позволяющих количественно или качественно отобразить свойства объекта измерений. Разнообразные проявления (количественные или качественные) любого свойства образуют множества, отображения элементов которых на упорядоченное множество чисел или в более общем случае условных знаков образуют шкалы измерения этих свойств. Шкала измерений количественного свойства является шкалой физической величины. Шкала физической величины - это упорядоченная последовательность значений ФВ, принятая по соглашению на основании результатов точных измерений.

Виды шкал измерений

В практической деятельности необходимо проводить измерения различных величин, характеризующих свойства тел, веществ, явлений и процессов. Некоторые свойства измерительных шкал в метрологии проявляются только качественно, другие - количественно.

Шкала – упорядоченный числовой или символьный ряд значений, отражающий допустимые вариации значений измеряемой величины.

В соответствии с логической структурой проявления свойств различают пять основных видов шкал измерений: шкалы наименований, шкалы порядка, шкалы интервалов, шкалы отношений, абсолютные шкалы.

Номинальная шкала (шкала наименований)

Рисунок – Пример номинальной шкалы (атлас цветов)

Такие шкалы измерений в метрологии используются для классификации эмпирических объектов, свойства которых проявляются только в отношении эквивалентности эти свойства нельзя считать физическими величинами, поэтому шкалы такого вида но являются шкалами ФВ. Номинальные шкалы, или, как их еще называют шкалы наименований так же называют шкалами измерений, или шкалами классификаций. Это самый простой тип шкал, основанный на приписывании качественным свойствам объектов чисел, играющих роль имен.

В номинальных шкалах, в которых отнесение отражаемого свойства к тому или иному классу эквивалентности осуществляется с использованием органов чувств человека, наиболее адекватен результат, выбранный большинством экспертов. При этом большое значение имеет правильный выбор классов эквивалентной шкалы - они должны надежно различаться наблюдателями, экспертами, оценивающими данное свойство. Нумерация объектов по шкале наименований осуществляется по принципу: "не приписывай одну и ту же цифру разным объектам". Числа, приписанные объектам, могут быть использованы для определения вероятности или частоты появления данного объекта, но их нельзя использовать для суммирования и других математических операций.

Поскольку данные шкалы характеризуются только отношениями эквивалентности, то в них отсутствует понятия нуля, "больше" или "меньше" и единицы измерения. Примером номинальных шкал являются широко распространенные атласы цветов, предназначенные для идентификации цвета.

Шкала порядка (рангов)

Если свойство данного эмпирического объекта проявляет себя в отношении эквивалентности и порядка по возрастанию или убыванию количественного проявления свойства, то для него может быть построена шкала порядка. Она является монотонно возрастающей или убывающей и позволяет установить отношение больше/меньше между величинами, характеризующими указанное свойство. В шкалах порядка существует или не существует нуль, но принципиально нельзя ввести единицы измерения, так как для них не установлено отношение пропорциональности и соответственно нет возможности судить во сколько раз больше или меньше конкретные проявления свойства.

В случаях, когда уровень познания явления не позволяет точно установить отношения, существующие между величинами данной характеристики, либо применение удобно и достаточно для практики, используют условные (эмпирические) шкалы порядка. Условная шкала - это шкала ФВ, исходные значения которой выражены в условных единицах. Пример шкалы порядка - шкала вязкости Энглера, 12-бальная шкала Бофорта для силы морского ветра.

Рисунок - Пример шкалы порядка (шкала Бофорта)

Широкое распространение получили шкалы измерений порядка с нанесенными на них реперными точками. К таким шкалам, например, относится шкала Мооса для определения твердости минералов, которая содержит 10 опорных (реперных) минералов с различными условными числами твердости: тальк – 1; гипс – 2; кальций – 3; флюорит – 4; апатит – 5; ортоклаз – 6; кварц – 7; топаз – 8; корунд – 9; алмаз – 10. Отнесение минерала к той или иной градации твердости осуществляется на основании эксперимента, который состоит в том, что испытуемый материал царапается опорным. Если после царапанья испытуемого минерала кварцем (7) на нем остается след, а после ортоклаза (6) - не остается, то твердость испытуемого материала составляет более 6, но менее 7. Более точного ответа в этом случае дать невозможно,

В условных шкалах одинаковым интервалам между размерами данной величины не соответствуют одинаковые размерности чисел, отображающих размеры. С помощью этих чисел можно найти вероятности, моды, медианы, квантили, однако их нельзя использовать для суммирования, умножения и других математических операция. Определение значения величин при помощи шкал порядка нельзя считать измерением, так как на этих шкалах не могут быть введены единицы измерения. Операцию по приписыванию числа требуемой величине следует считать оцениванием . Оценивание по шкалам порядка является неоднозначным и весьма условным, о чем свидетельствует рассмотренный пример.

Шкала интервалов (разностей)

Эти шкалы измерений в метрологии являются дальнейшим развитием шкал порядка и применяются для объектов, свойства которых удовлетворяют отношениям эквивалентности, порядка и аддитивности. Шкала интервалов состоит из одинаковых интервалов, имеет единицу измерения и произвольно выбранное начало – нулевую точку. Пример шкалы интервалов - летоисчисление по различным календарям, в которых за начало отсчета принято либо сотворение мира, либо рождество Христово и т.д. Температурные шкалы Цельсия, Фаренгейта и Реомюра также являются шкалами интервалов.

Рисунок – Пример шкалы интервалов (Температурные шкалы Цельсия и Фаренгейта)

На шкале интервалов определены действия сложения и вычитания интервалов. Действительно, по шкале времени интервалы можно суммировать или вычитать и сравнивать, во сколько раз один интервал больше другого, но складывать даты каких-либо событий просто бессмысленно.

Шкала интервалов величины Q описывается уравнением Q = Q о + q[Q], где q - числовое значение величины; Q о - начало отсчета шкалы; [Q] - единица рассматриваемой величины. Такая шкала полностью определяется заданием начала отсчета Q о шкалы и единицы данной величины [Q].

Задать шкалу практически можно двумя путями. При первом из них выбираются два значения Q о и Q 1 , величины, которые относительно просто реализованы физически. Эти значения называются опорными точками , или основными реперами , а интервал (Q 1 ~ Q о) - основным интервалом . Точка Q о принимается за начало отсчета, а величина (Q 1 -Q о)/n= за единицу Q. При этом n выбирается таким, чтобы [Q] было целой величиной.

Рисунок – Пример шкалы отношений

При втором пути задания шкалы единица воспроизводится непосредственно как интервал, его некоторая доля или некоторое число интервалов размеров данной величины, а начало отсчета выбирают каждый раз по-разному в зависимости от конкретных условий изучаемого явления. Пример такого подхода - шкала времени, в которой 1с = 9192631770 периодов излучения, соответствующих переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133. За начало отсчета принимается начало изучаемого явления.

Шкала отношений

Шкала отношений описывает свойства эмпирических объектов, которые удовлетворяют отношениям эквивалентности, порядка и аддитивности (шкалы второго рода - аддитивные), а в ряде случаев и пропорциональности (шкалы первого рода - пропорциональные). Пример шкалы отношений - шкала массы (второго рода), термодинамической температуры (первого рода).

В шкалах отношений существует однозначный естественный критерий нулевого количественного проявления свойства и единица измерений, установленная по соглашению. С формальной точки зрения этот вид шкал измерений является шкалой интервалов с естественным началом отсчета. К значениям, полученным по этой шкале, применимы все арифметические действия, что имеет важное значение при измерений физических величин.

Рисунок – Пример абсолютной шкалы (шкала температур Кельвина)

Шкалы отношений - самые совершенные. Они описываются уравнением Q = q[Q], где Q - ФВ, для которой строится шкала, [Q] - ее единица измерения, q - числовое значение ФВ. Переход от одной шкалы отношений к другой происходит в соответствии с уравнением q 2 = q 1 /.

Абсолютные шкалы

Абсолютные шкалы - это шкалы, обладающие всеми признаками шкал отношений, но дополнительно имеющие естественное однозначное определение единицы измерения и не зависящие от принятой системы единиц измерения. Примером абсолютной шкалы могут стать шкалы с относительным величинам: коэффициенту усиления, ослабления и др. Для образования многих производных единиц в системе СИ используются безразмерные и счетные единицы абсолютных шкал.

Отметим, что шкалы наименований и порядка называют неметрическими (концептуальными), а шкалы интервалов и отношений - метрическими (материальными) . Метрические и абсолютные шкалы относятся к разряду линейных. Практическая реализация шкал измерений в метрологии осуществляется путем стандартизации как самих шкал и единиц измерений, так и, в необходимых случаях, способов и условий их однозначного воспроизведения.

Изготовление измерительной шкалы своими руками

Видео о том, как самостоятельно сделать шкалу стрелочного прибора на примере изготовления шкалы амперметра.