Неоднородные линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение, частное решение для правой части вида eat * (f(t)*cos(bt) + g(t)*sin(bt)), где f(t), g(t) - многочлены

Решить уравнение

Ищем общее решение соответствующего исходному однородного уравнения.

Характеристическое уравнение имеет вид:

Его решение:

есть пара простых комплексно-сопряженных корней. Тогда общее решение однородного уравнения:

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:

Для нахождения неизвестных функций решаем систему:

В нашем случае система принимает вид:

Решаем эту систему:

Находим неизвестные функции:

Тогда частное решение неоднородного уравнения имеет вид:

Общее решение неоднородного уравнения:

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Автономная система обыкновенных дифференциальных уравнений. Положения равновесия, точки покоя

Если состояние динамического процесса описывается более чем одним числом, то в этом случае фазовое пространство становится многомерным, а динамический процесс описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пусть -точка фазового n-мерного пространства. Тогда, для большого числа динамических систем верно, что скорость изменения состояния зависит от состояния и времени t. Отсюда получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка.

где - вектор скорости изменения состояния;

Некоторые функции от состояния и времени t.

Первая часть системы дифференциальных уравнений определяет скорость изменения состояния.

Система уравнений (1) может быть записана в матричном виде. Пусть x - вектор-столбец неизвестных и f(x,t) - вектор-столбец функция.

Тогда система (1) записывается в виде:

Введем понятия решения систем дифференцированных уравнений (1) или (2)

Множество из n функций называется решением дифференциального уравнения (1), если при подстановке их в дифференциальное уравнение оно превращается в тождество.

Общим решением системы (1) называется такое решение, которое охватывает все возможные решения системы (1).

Общее решение системы (1) будет зависеть от n производных постоянных

При некоторых условиях аналогичных условиям для уравнения первого порядка может быть сформулирована теорема существования и единственности решения.

Если при система находится в состоянии

то существует единственное решение

проходящее в момент через точку т.е.

Определение.

Система дифференциальных уравнений (1) или (2) называется автономной, если правые части системы не зависят от времени t т.е. скорость изменения состояния определяется только состоянием x.

В матричном виде система имеет вид

где, f(x) - n-мерная вектор-функция состояния x.

В развернутом виде автономная система имеет вид:

Приравняем первые части системы (8) к нулю. Найдем значение переменных удовлетворяющих системе из уравнений:

Система (9) из n уравнений для n неизвестных может иметь одно или несколько решений или не иметь решений (быть неразрешимой).

Пусть существует решение системы и пусть - одно из этих решений. Это набор из n-чисел для которых верно (9). С механической точки зрения это означает, что в этой точке скорость изменения состояния равна нулю, т.е. если система находится в этой точке, то она будет находиться в этой точке вечно.

С другой стороны, если подставить в систему дифференциальное уравнение (8) (10), то получится тождество. Это означает, что (10) является решением системы дифференциальных уравнений (8).

Тогда - называются положением равновесия или точкой покоя системы дифференциальных уравнений (8).

Как решить систему дифференциальных уравнений?

Предполагается, что читатель уже неплохо умеет решать дифференциальные уравнения, в частности, однородные уравнения второго порядка и неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. В системах дифференциальных уравнений нет ничего сложного, и если вы уверенно расправляетесь с вышеуказанными типами уравнений, то освоение систем не составит особого труда.

Существуют два основных типа систем дифференциальных уравнений:

– Линейные однородные системы дифференциальных уравнений
– Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений

И два основных способа решения системы дифференциальных уравнений:

– Метод исключения . Суть метода состоит в том, что в ходе решения система ДУ сводится к одному дифференциальному уравнению.

– С помощью характеристического уравнения (так называемый метод Эйлера).

В подавляющем большинстве случаев систему дифференциальных уравнений требуется решить первым способом. Второй способ в условиях задач встречается значительно реже, за всю мою практику я решил им от силы 10-20 систем. Но и его тоже коротко рассмотрим в последнем параграфе данной статьи.

Сразу прошу прощения за теоретическую неполноту материала, но зато я включил в урок только те задания, которые реально могут встретиться на практике. То, что выпадает метеоритным дождем раз в пятилетку, вы вряд ли здесь найдете, и с такими нежданчиками следует обратиться к специализированным кирпичам по диффурам.

Линейные однородные системы дифференциальных уравнений

Простейшая однородная система дифференциальных уравнений имеет следующий вид:

Собственно, почти все практические примеры такой системой и ограничиваются =)

Что тут есть?

– это числа (числовые коэффициенты). Самые обычные числа. В частности, один, несколько или даже все коэффициенты могут быть нулевыми. Но такие подарки подкидывают редко, поэтому числа чаще всего не равны нулю.

И – это неизвестные функции. В качестве независимой переменной выступает переменная – это «как бы икс в обычном дифференциальном уравнении».

И – первые производные неизвестных функций и соответственно.

Что значит решить систему дифференциальных уравнений?

Это значит, найти такие функции и , которые удовлетворяют и первому и второму уравнению системы. Как видите, принцип очень похож на обычные системы линейных уравнений . Только там корнями являются числа, а здесь – функции.

Найденный ответ записывают в виде общего решения системы дифференциальных уравнений :

В фигурных скобках! Эти функции находятся «в одной упряжке».

Для системы ДУ можно решить задачу Коши, то есть, найти частное решение системы , удовлетворяющее заданным начальным условиям. Частное решение системы тоже записывают с фигурными скобками.

Более компактно систему можно переписать так:

Но в ходу традиционно более распространен вариант решения с производными, расписанными в дифференциалах, поэтому, пожалуйста, сразу привыкайте к следующим обозначениям:
и – производные первого порядка;
и – производные второго порядка.

Пример 1

Решить задачу Коши для системы дифференциальных уравнений с начальными условиями , .

Решение: В задачах чаще всего система встречается с начальными условиями, поэтому почти все примеры данного урока будут с задачей Коши. Но это не важно, поскольку общее решение по ходу дела все равно придется найти.

Решим систему методом исключения . Напоминаю, что суть метода – свести систему к одному дифференциальному уравнению. А уж дифференциальные уравнения, надеюсь, вы решаете хорошо.

Алгоритм решения стандартен:

1) Берем второе уравнение системы и выражаем из него :

Данное уравнение нам потребуется ближе к концу решения, и я помечу его звёздочкой. В учебниках, бывает, натыкают 500 обозначений, а потом ссылаются: «по формуле (253)…», и ищи эту формулу где-нибудь через 50 страниц сзади. Я же ограничусь одной единственной пометкой (*).

2) Дифференцируем по обе части полученного уравнения :

Со «штрихами» процесс выглядит так:

Важно, чтобы этот простой момент был понятен, далее я не буду на нём останавливаться.

3) Подставим и в первое уравнение системы :

И проведём максимальные упрощения:

Получено самое что ни на есть обычное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Со «штрихами» оно записывается так: .

– получены различные действительные корни, поэтому:
.

Одна из функций найдена, пол пути позади.

Да, обратите внимание, что у нас получилось характеристическое уравнение с «хорошим» дискриминантом, а значит, мы ничего не напутали в подстановке и упрощениях.

4) Идём за функцией . Для этого берём уже найденную функцию и находим её производную. Дифференцируем по :

Подставим и в уравнение (*):

Или короче:

5) Обе функции найдены, запишем общее решение системы:

Ответ: частное решение:

Полученный ответ достаточно легко проверить, проверку осуществим в три шага:

1) Проверяем, действительно ли выполняются начальные условия , :

Оба начальных условия выполняются.

2) Проверим, удовлетворяет ли найденный ответ первому уравнению системы .

Берём из ответа функцию и находим её производную:

Подставим , и в первое уравнение системы:

Получено верное равенство, значит, найденный ответ удовлетворяет первому уравнению системы.

3) Проверим, удовлетворяет ли ответ второму уравнению системы

Берём из ответа функцию и находим её производную:

Подставим , и во второе уравнение системы:

Получено верное равенство, значит, найденный ответ удовлетворяет второму уравнению системы.

Проверка завершена. Что проверено? Проверено выполнение начальных условий. И, самое главное, показан тот факт, что найденное частное решение удовлетворяет каждому уравнению исходной системы .

Аналогично можно проверить и общее решение , проверка будет даже еще короче, так как не надо проверять выполнение начальных условий.

Теперь вернемся к прорешанной системе и зададимся парой вопросов. Решение начиналось так: мы взяли второе уравнение системы и выразили из него . А можно ли было выразить не «икс», а «игрек»? Если мы выразим , то это нам ничего не даст – в данном выражении справа есть и «игрек» и «икс», поэтому нам не удастся избавиться от переменной и свести решение системы к решению одного дифференциального уравнения.

Вопрос второй. Можно ли было начать решение не со второго, а с первого уравнения системы? Можно. Смотрим на первое уравнение системы: . В нём у нас два «икса» и один «игрек», поэтому необходимо выразить строго «игрек» через «иксы»: . Далее находится первая производная: . Потом следует подставить и во второе уравнение системы. Решение будет полностью равноценным, с тем отличием, что сначала мы найдем функцию , а затем .

И как раз на второй способ будет пример для самостоятельного решения:

Пример 2

Найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

В образце решения, который приведен в конце урока, из первого уравнения выражен и вся пляска начинается от этого выражения. Попытайтесь самостоятельно по пунктам провести зеркальное решение, не заглядывая в образец.

Можно пойти и путём Примера №1 – из второго уравнения выразить (заметьте, что выразить следует именно «икс»). Но этот способ менее рационален, по той причине, что у нас получилась дробь, что не совсем удобно.

Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений

Практически то же самое, только решение будет несколько длиннее.

Неоднородная система дифференциальных уравнений, которая в большинстве случаев может встретиться вам в задачах, имеет следующий вид:

По сравнению с однородной системой в каждом уравнении дополнительно добавляется некоторая функция, зависящая от «тэ». Функции могут быть константами (причем, по крайне мере одна из них не равна нулю), экспонентами, синусами, косинусами и т.д.

Пример 3

Найти частное решение системы линейных ДУ, соответствующее заданным начальным условиям

Решение: Дана линейная неоднородная система дифференциальных уравнений, в качестве «добавок» выступают константы. Используем метод исключения , при этом сам алгоритм решения полностью сохраняется. Для разнообразия я начну как раз с первого уравнения.

1) Из первого уравнения системы выражаем:

Это важная штуковина, поэтому я её снова замаркирую звёздочкой. Скобки лучше не раскрывать, зачем лишние дроби?

И еще раз заметьте, что из первого уравнения выражается именно «игрек» – через два «икса» и константу.

2) Дифференцируем по обе части:

Константа (тройка) исчезла, ввиду того, что производная константы равна нулю.

3) Подставим и во второе уравнение системы :

Сразу после подстановки целесообразно избавиться от дробей, для этого каждую часть уравнения умножаем на 5:

Теперь проводим упрощения:

В результате получено линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Вот, по сути, и всё отличие от решения однородной системы уравнений, разобранного в предыдущем параграфе.

Примечание: Тем не менее, в неоднородной системе иногда может получиться и однородное уравнение .

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

Составим и решим характеристическое уравнение:

– получены сопряженные комплексные корни, поэтому:
.

Корни характеристического уравнения опять получились «хорошими», значит, мы на верном пути.

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде .
Найдем первую и вторую производную:

Подставим в левую часть неоднородного уравнения:

Таким образом:

Следует отметить, что частное решение легко подбирается устно, и вполне допустимо вместо длинных выкладок написать: «Очевидно, что частное решение неоднородного уравнения: ».

В результате:

4) Ищем функцию . Сначала находим производную от уже найденной функции :

Не особо приятно, но подобные производные в диффурах приходится находить часто.

Шторм в самом разгаре, и сейчас будет девятый вал. Привяжите себя канатом к палубе.

Подставим
и в уравнение (*):

5) Общее решение системы:

6) Найдем частное решение, соответствующее начальным условиям :

Окончательно, частное решение:

Вот видите, какая история со счастливым концом, теперь можно безбоязненно плавать на шлюпках по безмятежному морю под ласковым солнцем.

Ответ: частное решение:

Кстати, если начать решать эту систему со второго уравнения, то вычисления получатся заметно проще (можете попробовать), но многие посетители сайта просили разбирать и более трудные вещи. Как тут откажешь? =) Пусть будут и более серьезные примеры.

Пример проще для самостоятельного решения:

Пример 4

Найти частное решение линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений, соответствующее заданным начальным условиям

Данная задача решена мной по образцу Примера №1, то есть, из второго уравнения выражен «икс». Решение и ответ в конце урока.

В рассмотренных примерах я не случайно использовал различные обозначения, применял разные пути решения. Так, например, производные в одном и том же задании записывались тремя способами: . В высшей математике не нужно бояться всяких закорючек, главное, понимать алгоритм решения.

Метод характеристического уравнения (метод Эйлера)

Как уже отмечалось в начале статьи, с помощью характеристического уравнения систему дифференциальных уравнений требуют решить довольно редко, поэтому в заключительном параграфе я рассмотрю всего лишь один пример.

Пример 5

Дана линейная однородная система дифференциальных уравнений

Найти общее решение системы уравнений с помощью характеристического уравнения

Решение: Смотрим на систему уравнений и составляем определитель второго порядка:

По какому принципу составлен определитель, думаю, всем видно.

Составим характеристическое уравнение, для этого из каждого числа, которое располагается на главной диагонали , вычитаем некоторый параметр :

На чистовике, естественно, сразу следует записать характеристическое уравнение, я объясняю подробно, по шагам, чтобы было понятно, что откуда взялось.

Раскрываем определитель:

И находим корни квадратного уравнения:

Если характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня , то общее решение системы дифференциальных уравнений имеет вид:

Коэффициенты в показателях экспонент нам уже известны, осталось найти коэффициенты

1) Рассмотрим корень и подставим его в характеристическое уравнение:

(эти два определителя на чистовике тоже можно не записывать, а сразу устно составить нижеприведенную систему)

Из чисел определителя составим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

Из обоих уравнений следует одно и то же равенство:

Теперь нужно подобрать наименьшее значение , такое, чтобы значение было целым. Очевидно, что следует задать . А если , то

Рассмотрим систему

Предполагаем, что а и (х), b t (x) е С((а, b)), i,j - 1,п.

Все решения системы (19) определены на (а; Ь), также напомним, что здесь имеет место существование и единственность решения задачи Коши (при допустимых начальных условиях: х 0 е (а; Ь), начальное значение у 0 можно выбирать произвольно).

Пусть У(х) - ее фундаментальная матрица. Общее решение системы (20) тогда можно записать в виде

Сделаем замену переменных в системе (19)

Получаем

Отсюда имеем Тогда

где с - вектор произвольных постоянных.

В итоге, получаем общее решение системы (19)

Запишем также общее решение системы (19) в форме Коши

Если мы имеем систему с постоянными коэффициентами (А - постоянная матрица), а в качестве Y(x) выбрана фундаментальная матрица е Ал ", то формулы (22), (23) принимают вид

§ 7. МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ

Рассмотрим линейную неоднородную стационарную систему:

Предполагаем, что b^x) e C((a, b)), i, j = 1, n.

Рассмотрим соответствующую однородную систему

Общее решение системы (26) является суммой общего решения соответствующей ей однородной системы (27) и некоторого частного решения системы (26).

Частное решение линейной неоднородной системы с постоянными коэффициентами (26) можно искать методом неопределенных коэффициентов в том случае, когда функции b i (x),i=l,n состоят из сумм и произведений функций d 0 + d x x + ... + d m x m , е‘ х, costox, sincox.

Если bj(x) = Р т.(х)е 1Х, где P„ h (x) -многочлен степени m, то частное решение системы (26) ищется в виде

где Qm+s(*) - многочлены степени т + s т = тахт,-. Число s = 0, если у - не корень характеристического уравнения det(A - 7.Е) = 0, а если у - корень, то s можно взять равным кратности этого корня. Неизвестные коэффициенты многочленов определяются путем подстановки выражений (28) в систему (26) и сравнения коэффициентов подобных членов.

Если в функции bj(x), i = l,n входят синус и косинус, то их можно выразить через показательную функцию по формулам Эйлера

и свести задачу к уже рассмотренному случаю.

Если же элементы матрицы А вещественны, то можно обойтись без перехода к комплексным функциям. Для

можно искать частное решение в виде

где R‘ m + S (x), Tj I+s (x) - многочлены степени т + s с неизвестными коэффициентами, т - наибольшая из степеней многочленов Р и Q. Число s = О, если у + cot - не корень характеристического уравнения det(A - ХЕ) = 0, а если у + Ч- со/ - корень, то s можно взять равным кратности этого корня. Неизвестные коэффициенты многочленов определяются путем подстановки выражений (29) в систему (26) и сравнения коэффициентов подобных членов.

Пример 1. Рассмотрим систему

Найдем ее решение.

Построим общее решение соответствующей однородной системы:

Характеристическое уравнение имеет вид: или

Корни этого уравнения Х± = О, Х 2 = 2. Корню Х г = 0 соответствует частное решение системы:

Подставляя значения jc 1(у 1 в однородную систему, получаем систему уравнений для нахождения р: и v x:

Отсюда имеем, например, pj = 1, Vj = -1, так что первое частное решение однородной системы:

Корню А. 2 = 2 соответствует частное решение:

Числа р 2 и v 2 находим из системы:

которой удовлетворяют, например, числа ц 2 = 1, v 2 = 1.

Тогда второе решение однородной системы:

Общее решение однородной системы:

Теперь методом неопределенных коэффициентов находим частное решение неоднородной системы. Исходя из вида правых частей b x (t) = е 1 , b 2 (t ) = -е 1 , записываем вид частного решения:

Подставляя эти значения в неоднородную систему, имеем:

Приравнивая коэффициенты при равных степенях е", получаем:

Таким образом, М = -1, N = 1. Значит, частное решение неоднородной системы имеет вид:

Общее решение неоднородной системы:

Пример 2. Решить систему

Как и в предыдущем примере, найдем сначала общее решение соответствующей однородной системы. Характеристическое уравнение имеет вид:

Корни характеристического уравнения: = 2, А, 2 =

1. Общее решение соответствующей однородной системы:

Найдем частное решение неоднородной системы методом неопределенных коэффициентов. Исходя из вида правых частей bi(t) = -5cosi, b 2 (t ) = 0, записываем вид частного решения:

Задания для самостоятельной работы

Найти общие решения следующих однородных систем дифференциальных уравнений одним из рассмотренных методов, и произвести их проверку любым другим методом:

8.1. 8.2.

8.3. 8.4.

8.5. 8.6.

8.7. 8.8.

8.9. 8.10.

Линейная система дифференциальных уравнений имеет вид:

(9.1)

Системы (9.1) и (9.2) называются неоднородными , если хотя быодна из функций f i (х ) не равна тождественно нулю.Если при всех значениях независимой переменной х все функции f i (х ) равны нулю, то, например, система (8.14) принимает вид:

и называется однородной линейной системой.

Если все функции a ij (x ) и f i (х ) непрерывны на отрезке a £x £b , то система, например, (9.2) имеет единственное решение:

(9.4)

определенное во всем отрезке a £x £b и удовлетворяющее начальным условиям:

причем начальные данные можно выбирать совершенно произвольно, а х 0 необходимо выбирать из интервала a £x £b .

Неоднородная линейная система уравнений с постоянными коэффициентами имеет вид:

(9. 6)

Если все f i (x ) =0, то получим однородную систему с постоянными коэффициентами

Если компоненты некоторого вектора ,

а компоненты производной вектора , при этом коэффициенты a ij являются элементами матрицы , то, например, систему уравнений (9.8) можно представить в виде:

Рассмотрим методы интегрирования линейных систем с постоянными коэффициентами.

1. Систему дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами можно разрешить, например, методом Эйлера . Суть этого метода заключается в том, что решение системы (9.9) ищется в виде

, (9.10)

где λ k - собственные значения матрицы коэффициентов А , которые можно найти из уравнения :

(9.11)

(Е – единичная матрица), которое называется характеристическим уравнением ; - компоненты собственного вектора P ( k ) , соответствующие собственному значению λ k .

Если выражение (9.10) подставить в уравнение (9.9) и после сокращения на множитель , получим однородную систему линейных алгебраических уравнений из которой можно найти вектора P ( k ) :

,

или в развернутом виде

(9.12)

Таким образом, общее решение системы (9.9) будет выражаться формулой:

. (9.13)

Из этой формулы видно, что решение исходной системы зависит от собственных значений матрицы коэффициентов λ k или, что по существу то же самое от вида корней характеристического уравнения .

1-й случай. Все корни λ k –действительные и различные, тогда общее решение системы определяется формулой (9.13). Запишем ее в развернутом виде:

(9.14)

Пример 9.1.6. Найти общее решение системы

▲ Составим матрицу коэффициентов , а затем составим характеристическое уравнение (31):

Корни этого характеристического уравнения действительные и различные: .

Найдем собственные вектора, соответствующие своим собственным значениям (корням характеристического уравнения).

.

Значение можно взять произвольно, например, пусть =1, тогда , следовательно вектор Р (1) равен: Р (1) =.

Для этого корня также составим систему (9.12)

,

следовательно, если =1, тогда . Поэтому вектор Р (2) =.

Таким образом, общее решение исходной системы можно записать в виде:

Следовательно, компоненты общего решения принимают вид:

▲

2-й случай. Корни λ k различные, но среди них имеются комплексные. Если является корнем характеристического уравнения, то и тоже будет его корнем, т.к. все коэффициенты исходной системы a ij являются действительными.

Компоненты общего решения системы (8.29), отвечающие корню находим точно так же, как и в случае 1. Затем, отделив комплексную и действительную часть из функций y k , образующих это решение, получим два действительных решения той же системы (8.29). Сопряженный корень не дает новых решений (если использовать этот корень, то получим решения, линейно зависимые от уже полученных). Так поступают для каждого комплексного корня.

Пример 9.2. Найти общее решение системы

Корни этого характеристического уравнения комплексно-сопряженные: .

Найдем собственный вектор, соответствующий собственному значению (корню характеристического уравнения) равному: .

Составим систему алгебраических уравнений (9.12)

Таким образом, приняв =1, находим , т.е. собственный вектор Р (1) равен: Р (1) =.

Следовательно, фундаментальная система будет иметь вид:

В этих решениях отделим действительную и мнимую части (корень мы не рассматриваем, т.к. решения соответствующие этому корню являются линейно зависимыми корню), в результате получаем:

Таким образом, общее решение окончательно имеет вид:

3-й случай. Среди корней характеристического уравнения имеются кратные корни.

Если корень λ k , имеет кратность т , то ему соответствует п частных решений системы (9.9). Эти решения получаем в виде:

где q 1 (x ),…., q n (x ) – многочлены от х с неопределенными коэффициентами, каждый степени не выше (т -1):

Следовательно, решения будут иметь вид:

(9.15)

Подставляя выражения (9.15) в систему (9.9) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях независимой переменной х в каждом уравнении, мы получим систему алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов многочленов q 1 (x ),…., q n (x ). Число полученных алгебраических уравнений будет меньше числа неизвестных коэффициентов, поэтому т из этих коэффициентов остаются произвольными, а остальные выражаются через них.

Если λ 1 , является комплексным числом, то полученные рассмотренным путем решения тоже будут комплексными функциями от х . Отделив в каждом из решений действительные и мнимые части, получим 2т решений. Эти решения соответствуют паре сопряженных т – кратных комплексных корней и .

Пример 9.3. Найти общее решение системы

▲ Составим матрицу коэффициентов , а затем составим характеристическое уравнение (9.11):

Корни этого характеристического уравнения действительные и различные: . Степень кратности т равна: т = 2. Следовательно, в этом случае многочлены p 1 (t ) и p 2 (t ) имеют вид:

Таким образом, двукратному корню соответствует решение

Дифференцируя х и у , получим

Значения х , у , подставим в исходную систему, и после сокращения на e 4 t будем иметь

Приравнивая коэффициенты при t и свободные члены, получим следующие системы

Отсюда следует, что

Таким образом, общее решение исходной системы будет иметь вид:

▲

2. Систему вида (9.8): ,

можно разрешить методом неопределенных коэффициентов . Алгоритм этого метода следующий:

1. Составить характеристическое уравнение системы (9.8):

и найти его корни .

2. В зависимости от вида корней записать решение системы, причем для каждого решения y i имеет свои произвольные постоянные:

3. Вычисляются производные и вместе с найденными функциями , подставляются в уравнения исходной системы.

4. Приравниваются коэффициенты при одинаковых функциях в левых и правых частях уравнений.

5. Из полученных систем можно выразить все коэффициенты через одни, например, коэффициентычерез коэффициент C i .

Пример 9.4. Найти общее решение системы