Решить линейную неоднородную систему дифференциальных уравнений. Как решить систему дифференциальных уравнений
Неоднородные линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение, частное решение для правой части вида eat * (f(t)*cos(bt) + g(t)*sin(bt)), где f(t), g(t) - многочлены
Решить уравнение
Ищем общее решение соответствующего исходному однородного уравнения.
Характеристическое уравнение имеет вид:
Его решение:
есть пара простых комплексно-сопряженных корней. Тогда общее решение однородного уравнения:
Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:
Для нахождения неизвестных функций решаем систему:
В нашем случае система принимает вид:
Решаем эту систему:
Находим неизвестные функции:
Тогда частное решение неоднородного уравнения имеет вид:
Общее решение неоднородного уравнения:
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Автономная система обыкновенных дифференциальных уравнений. Положения равновесия, точки покоя
Если состояние динамического процесса описывается более чем одним числом, то в этом случае фазовое пространство становится многомерным, а динамический процесс описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений.
Пусть -точка фазового n-мерного пространства. Тогда, для большого числа динамических систем верно, что скорость изменения состояния зависит от состояния и времени t. Отсюда получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка.
где - вектор скорости изменения состояния;
Некоторые функции от состояния и времени t.
Первая часть системы дифференциальных уравнений определяет скорость изменения состояния.
Система уравнений (1) может быть записана в матричном виде. Пусть x - вектор-столбец неизвестных и f(x,t) - вектор-столбец функция.
Тогда система (1) записывается в виде:
Введем понятия решения систем дифференцированных уравнений (1) или (2)
Множество из n функций называется решением дифференциального уравнения (1), если при подстановке их в дифференциальное уравнение оно превращается в тождество.
Общим решением системы (1) называется такое решение, которое охватывает все возможные решения системы (1).
Общее решение системы (1) будет зависеть от n производных постоянных
При некоторых условиях аналогичных условиям для уравнения первого порядка может быть сформулирована теорема существования и единственности решения.
Если при система находится в состоянии
то существует единственное решение
проходящее в момент через точку т.е.
Определение.
Система дифференциальных уравнений (1) или (2) называется автономной, если правые части системы не зависят от времени t т.е. скорость изменения состояния определяется только состоянием x.
В матричном виде система имеет вид
где, f(x) - n-мерная вектор-функция состояния x.
В развернутом виде автономная система имеет вид:
Приравняем первые части системы (8) к нулю. Найдем значение переменных удовлетворяющих системе из уравнений:
Система (9) из n уравнений для n неизвестных может иметь одно или несколько решений или не иметь решений (быть неразрешимой).
Пусть существует решение системы и пусть - одно из этих решений. Это набор из n-чисел для которых верно (9). С механической точки зрения это означает, что в этой точке скорость изменения состояния равна нулю, т.е. если система находится в этой точке, то она будет находиться в этой точке вечно.
С другой стороны, если подставить в систему дифференциальное уравнение (8) (10), то получится тождество. Это означает, что (10) является решением системы дифференциальных уравнений (8).
Тогда - называются положением равновесия или точкой покоя системы дифференциальных уравнений (8).
Общее решение неоднородной системы есть сумма общего решения однородной системы и некоторого частного решения неоднородной системы.
Для нахождения общего решения неоднородной системы можно применить метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.
Рассмотрим линейную однородную систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида
которая в векторной форме записывается в виде
Матрица Φ , столбцами которой являются n линейно независимых на решений Y1(x), Y2(x), ..., Yn(x) однородной линейной системы Y" = A(x)Y называется фундаментальной матрицей решений системы:
Фундаментальная матрица решений однородной линейной системы Y" = A(x)Y удовлетворяет матричному уравнению Φ" = A(x)Φ.
Напомним, что определитель Вронского линейно независимых на решений Y1(x), Y2(x), ..., Yn(x) отличен от нуля на .
Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений n-го порядка:
Линейная система устойчива по Ляпунову при t ≥ t0, если каждое её решение x = φ(t) устойчиво по Ляпунову при t ≥ t0.
Линейная система асимптотически устойчива по Ляпунову при t → ∞ , если каждое её решение x = φ(t) устойчиво по Ляпунову при t → ∞ .
Решения линейной системы либо все одновременно устойчивы, либо все неустойчивы. Справедливы следующие утверждения.
Теорема об устойчивости решений линейной системы дифференциальных уравнений. Пусть в неоднородной линейной системе x" = A(t)x + b(t) матрица A(t) и вектор-функция b(t) непрерывны на промежутке }