Векторное пространство. Определение векторного пространства. Примеры векторных пространств. Арифметическое n-мерное векторное пространство

4.3.1 Определение линейного пространства

Пусть ā , , - элементы некоторого множества ā , , L и λ , μ - действительные числа, λ , μ R ..

Множество L называется линейным или векторным пространством, если определены две операции:

1 0 . Сложение. Каждой паре элементов этого множества поставлен в соответствие элемент того же множества, называемый их суммой

ā + =

2°. Умножение на число. Любому действительному числу λ и элементу ā L ставится в соответствие элемент того же множества λ ā L и выполняются следующие свойства:

1. ā+ = + ā;

2. ā+(+ )=(ā+ )+ ;

3. существуетнулевой элемент
, такой, что ā +=ā ;

4. существуетпротивоположный элемент -
такой, что ā +(-ā )=.

Если λ , μ - действительные числа, то:

5. λ(μ , ā)= λ μ ā ;

6. 1ā= ā;

7. λ(ā +)= λ ā+λ ;

8. (λ+ μ ) ā=λ ā + μ ā

Элементы линейного пространства ā, , ... называют векторами.

Упражнение. Покажите самостоятельно, что данные множества образуют линейные пространства:

1) Множество геометрических векторов на плоскости;

2) Множество геометрических векторов в трехмерном пространстве;

3) Множество многочленов некоторой степени;

4) Множество матриц одинаковой размерности.

4.3.2 Линейно зависимые и независимые векторы. Размерность и базис пространства

Линейной комбинацией векторов ā 1 , ā 2 , …, ā n L называется вектор того же пространства вида:

,

где λ i - действительные числа.

Векторы ā 1 , .. , ā n называются линейно независимыми, если их линейная комбинация будет нулевым вектором в том и только в том случае, когда все λ i равны нулю, то есть

λ i =0

Если же линейная комбинация будет нулевым вектором и хотя бы один из λ i отличен от нуля, то эти векторы называются линейно-зависимыми. Последнее означает, что хотя бы один из векторов может быть представлен как линейная комбинация других векторов. Действительно, пусть и, например,
. тогда,
, где

.

Максимально линейно-независимая упорядоченная система векторов называется базисом пространства L . Число векторов базиса называется размерностью пространства.

Допустим, что существует n линейно-независимых векторов, тогда пространство называют n -мерным. Другие векторы пространства могут быть представлены как линейная комбинация n векторов базиса. За базис n - мерного пространства можно взять любые n линейно-независимых векторов этого пространства.

Пример 17. Найти базис и размерность данных линейных пространств:

а) множества векторов, лежащих на прямой (коллинеарных некоторой прямой)

б) множество векторов, принадлежащих плоскости

в) множество векторов трёхмерного пространства

г) множество многочленов степени не выше второй.

Решение.

а) Любые два вектора, лежащие на прямой будут линейно-зависимыми, так как вектора коллинеарные
, то
, λ - скаляр. Следовательно, базисом данного пространства является только один (любой) вектор, отличный от нулевого.

Обычно это пространство обозначают R , размерность его равна 1.

б) любые два неколлинеарные векторы
будут линейно-независимы, а любые три вектора на плоскости - линейно-зависимы. Для любого вектора , существуют числа и такие, что
. Пространство называют двумерным, обозначают R 2 .

Базис двумерного пространства образуют любые два неколлинеарных вектора.

в) Любые три некомпланарные векторы будут линейно независимые, они образуют базис трехмерного пространства R 3 .

г) В качестве базиса пространства многочленов степени не выше второй можно выбрать такие три вектора: ē 1 = x 2 ; ē 2 = x ; ē 3 =1 .

(1 - это многочлен, тождественно равный единице). Данное пространство будет трехмерным.

Пусть Р – поле. Элементы a, b, ... ÎР будем называть скалярами .

Определение 1. Класс V объектов (элементов) , , , ... произвольной природы называется векторным пространством над полем Р , а элементы класса V называются векторами , если V замкнуто относительно операции «+» и операции умножения на скаляры из Р (т.е. для любых , ÎV +ÎV ;"aÎ Р aÎV), и выполняются следующие условия:

А 1: алгебра - абелева группа;

А 2: для любых a, bÎР, для любого ÎV выполняется a(b)=(ab)- обобщенный ассоциативный закон;

А 3: для любых a, bÎР, для любого ÎV выполняется (a+b)= a+ b;

А 4: для любого a из Р, для любых , из V выполняется a(+)=a+a(обобщённые дистрибутивные законы);

А 5: для любого из V выполняется 1 = , где 1 – единица поля Р - свойство унитарности.

Элементы поля Р будем называть скалярами, а элементы множества V - векторами.

Замечание. Умножение вектора на скаляр не является бинарной операцией на множестве V, так как это отображение P´V®V.

Рассмотрим примеры векторных пространств.

Пример 1. Нулевое (нуль-мерное) векторное пространство - пространство V 0 ={} - состоящее из одного нуль-вектора.

И для любого aÎР a=. Проверим выполнимость аксиом векторного пространства.

Заметим, что нулевое векторное пространство существенно зависит от поля Р. Так, нульмерные пространства над полем рациональных чисел и над полем действительных чисел считаются различными, хоть и состоят из единственного нуль-вектора.

Пример 2. Поле Р само является векторным пространством над полем Р. Пусть V=P. Проверим выполнимость аксиом векторного пространства. Так как Р - поле, то Р является аддитивной абелевой группой и А 1 выполняется. В силу выполнимости в Р ассоциативности умножения выполняется А 2 . Аксиомы А 3 и А 4 выполняются в силу выполнимости в Р дистрибутивности умножения относительно сложения. Так как в поле Р существует единичный элемент 1, то выполняется свойство унитарности А 5 . Таким образом, поле Р является векторным пространством над полем Р.

Пример 3. Арифметическое n-мерное векторное пространство.

Пусть Р - поле. Рассмотрим множество V= P n ={(a 1 , a 2 , … , a n) ½ a i Î P, i=1,…, n}. Введём на множестве V операции сложения векторов и умножения вектора на скаляр по следующим правилам:

"= (a 1 , a 2 , … , a n), = (b 1 , b 2 , … , b n) Î V, "aÎ P += (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n + b n) (1)

a=(aa 1 , aa 2 , … , aa n) (2)

Элементы множества V будем называть n-мерными векторами . Два n-мерных вектора называются равными, если их соответствующие компоненты (координаты) равны. Покажем, что V является векторным пространством над полем Р. Из определения операций сложения векторов и умножения вектора на скаляр следует, что V замкнуто относительно этих операций. Так как сложение элементов из V сводится к сложению элементов поля Р, а Р является аддитивной абелевой группой, то и V является аддитивной абелевой группой. Причём, = , где 0 - ноль поля Р, -= (-a 1 , -a 2 , … , -a n). Таким образом, А 1 выполняется. Так как умножение элемента из V на элемент из Р сводится к умножению элементов поля Р, то:


А 2 выполняется в силу ассоциативности умножения на Р;

А 3 и А 4 выполняются в силу дистрибутивности умножения относительно сложения на Р;

А 5 выполняется, так как 1 Î Р - нейтральный элемент относительно умножения на Р.

Определение 2. Множество V= P n с операциями, определёнными формулами (1) и (2) называется арифметическим n-мерным векторным пространством над полем Р.

Рассмотрим последовательность, состоящую из л элементов некоторого простого поля GF(q) {a^, а. .....а п). Такая последовательность называется л-по

следовательностью над полем GF


Определение Векторное пространство Для векторов трёхмерного пространства указаны правила сложения векторов и умножения их на действительные числа (см. Векторное исчисление ). В применении к любым векторам х, у, z и любым числам a, b эти правила удовлетворяют следующим условиям (условия А):

1) х + у = у + х (перестановочность сложения);

2)(х + у ) + z = x + (y + z ) (ассоциативность сложения);

3) имеется нулевой вектор 0 (или нуль-вектор), удовлетворяющий условию x + 0 = x: для любого вектора x ;

4) для любого вектора х существует противоположный ему вектор у такой, что х + у = 0 ,

5) 1 · х = х,

6) a (bx ) = (ab ) х (ассоциативность умножения);

7) (a + b ) х = aх + bх (распределительное свойство относительно числового множителя);

8) a (х + у ) = aх + aу (распределительное свойство относительно векторного множителя).

Векторным (или линейным) пространством называется множество R, состоящее из элементов любой природы (называемых векторами), в котором определены операции сложения элементов и умножения элементов на действительные числа, удовлетворяющие условиям А (условия 1-3 выражают, что операция сложения, определённая в Векторное пространство , превращает его в коммутативную группу). Выражение

a 1 e 1 + a 2 e 2 + … + a n e n (1)

Называется линейной комбинацией векторов e 1 , e 2 ,..., e n с коэффициентами a 1 , a 2 ,..., a n . Линейная комбинация (1) называется нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов a 1 , a 2 ,..., a n отличен от нуля. Векторы e 1 , e 2 ,..., e n называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная комбинация (1), представляющая собой нулевой вектор. В противном случае (то есть если только тривиальная комбинация векторов e 1 , e 2 ,..., e n равна нулевому вектору) векторы e 1 , e 2 ,..., e n называется линейно независимыми.

Векторы (свободные) трёхмерного пространства удовлетворяют следующему условию (условие В): существуют три линейно независимых вектора; любые четыре вектора линейно зависимы (любые три ненулевых вектора, не лежащие в одной плоскости, являются линейно независимыми).

Векторное пространство называется n-мepным (или имеет «размерность n» ), если в нём существуют n линейно независимых элементов e 1 , e 2 ,..., e n , а любые n + 1 элементов линейно зависимы (обобщённое условие В). Векторное пространство называются бесконечномерным, если в нём для любого натурального n существует n линейно независимых векторов. Любые n линейно независимых векторов n-мepного Векторное пространство образуют базис этого пространства. Если e 1 , e 2 ,..., e n - базис Векторное пространство , то любой вектор х этого пространства может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов:

x = a 1 e 1 + a 2 e 2 +... + a n e n .

При этом числа a 1 , a 2, ..., a n называются координатами вектора х в данном базисе.

Примеры Векторное пространство Множество всех векторов трёхмерного пространства образует, очевидно, Векторное пространство Более сложным примером может служить так называемое n-мерное арифметическое пространство. Векторами этого пространства являются упорядоченные системы из n действительных чисел: l 1 , l 2 ,..., l n . Сумма двух векторов и произведение на число определяются соотношениями:

(l 1 , l 2 , …, l n ) + (m 1 , m 2 , …, m n ) = (l 1 + m 1 , l 2 + m 2 , …, l n + m n );

a (l 1 , l 2 , …, l n ) = (al 1 , al 2 , …, al n ).

Базисом в этом пространстве может служить, например, следующая система из n векторов e 1 = (1, 0,..., 0), e 2 = (0, 1,..., 0),..., e n = (0, 0,..., 1).

Множество R всех многочленов a 0 + a 1 u + … + a n u n (любых степеней n ) от одного переменного с действительными коэффициентами a 0 , a 1 ,..., a n с обычными алгебраическими правилами сложения многочленов и умножения многочленов на действительные числа образует Векторное пространство Многочлены 1, u, u 2 ,..., u n (при любом n ) линейно независимы в R, поэтому R - бесконечномерное Векторное пространство

Многочлены степени не выше n образуют Векторное пространство размерности n + 1 ; его базисом могут служить многочлены 1, u, u 2 ,..., u n .

Подпространства Векторное пространство В. п. R" называется подпространством R, если R" Í R (то есть каждый вектор пространства R" есть и вектор пространства R ) и если для каждого вектора v Î r" и для каждых двух векторов v 1 и v 2 (v 1 , v 2 Î R" ) вектор lv (при любом l ) и вектор v 1 + v 2 один и тот же независимо от того, рассматриваются ли векторы v, v 1 , v 2 как элементы пространства R" или R. Линейной оболочкой векторов x 1 , x 2 ,... x p называется множество всевозможных линейных комбинаций этих векторов, то есть векторов вида a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a p x p . В трёхмерном пространстве линейной оболочкой одного ненулевого вектора x 1 будет, очевидно, совокупность всех векторов, лежащих на прямой, определяемой вектором x 1 . Линейной оболочкой двух не лежащих на одной прямой векторов x 1 и x 2 будет совокупность всех векторов, расположенных в плоскости, которую определяют векторы x 1 и x 2 . В общем случае произвольного Векторное пространство R линейная оболочка векторов x 1 , x 2 ,..., x p этого пространства представляет собой подпространство пространства R размерности р. В n-мерном Векторное пространство существуют подпространства всех размерностей, меньших р. Всякое конечномерное (данной размерности k ) подпространство R" Векторное пространство R есть линейная оболочка любых k линейно независимых векторов, лежащих в R". Пространство, состоящее из всех многочленов степени £ n (линейная оболочка многочленов 1, u, u 2 ,..., u n ), есть (n + 1 )- мepное подпространство пространства R всех многочленов.

Евклидовы пространства. Для развития геометрических методов в теории Векторное пространство нужно указать пути обобщения таких понятий, как длина вектора, угол между векторами и т.п. Один из возможных путей заключается в том, что любым двум векторам х и у из R ставится в соответствие число, обозначаемое (х, у ) и называемое скалярным произведением векторов х и у. При этом требуется, чтобы выполнялись следующие аксиомы скалярного произведения:

1) (х, у ) = (у, х ) (перестановочность);

2) (x 1 + x 2 , y ) = (x 1 , y ) + (x 2 , y ) (распределительное свойство);

3) (ax, у ) = a (х, у ),

4) (х, х ) ³ 0 для любого х , причем (х, х ) = 0 только для х = 0 .

Обычное скалярное произведение в трёхмерном пространстве этим аксиомам удовлетворяет. Векторное пространство , в котором определено скалярное произведение, удовлетворяющее перечисленным аксиомам, называется евклидовым пространством; оно может быть как конечномерным (n-мерным), так и бесконечномерным. Бесконечномерное евклидово пространство обычно называют гильбертовым пространством . Длина |x | вектора x и угол между векторами х и у евклидова пространства определяются через скалярное произведение формулами

Примером евклидова пространства может служить обычное трёхмерное пространство со скалярным произведением, определяемым в векторном исчислении. Евклидово n-мepное (арифметическое) пространство E n получим, определяя в n -мepном арифметическом Векторное пространство скалярное произведение векторов x = (l 1 , …, l n ) и y = (m 1 , …, m n ) соотношением

(x, y ) = l 1 m 1 + l 2 m 2 +… + l n m n . (2)

При этом требования 1)-4), очевидно, выполняются.

В евклидовых пространствах вводится понятие ортогональных (перпендикулярных) векторов. Именно векторы х и у называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю: (х, у ) = 0. В рассмотренном пространстве E n условие ортогональности векторов x = (l 1 , …, l n ) и y = (m 1 , …, m n ), как это следует из соотношения (2), имеет вид:

l 1 m 1 + l 2 m 2 +… + l n m n = 0. (3)

Применение В. п . Понятие Векторное пространство (и различные обобщения) широко применяется в математике и её приложениях к естествознанию. Пусть, например, R - множество всех решений линейного однородного дифференциального уравнения y n + a 1 (x ) y (n + 1 ) + … + a n (x ) y = 0 . Ясно, что сумма двух решений и произведение решения на число являются решениями этого уравнения. Таким образом, R удовлетворяет условиям А. Доказывается, что для R выполнено обобщённое условие В. Следовательно, R является Векторное пространство Любой базис в рассмотренном Векторное пространство называется фундаментальной системой решений, знание которой позволяет найти все решения рассматриваемого уравнения. Понятие евклидова пространства позволяет полностью геометризовать теорию систем однородных линейных уравнений:

Рассмотрим в евклидовом пространстве E n векторы a i = (a i1 , a i2 , …, a in ), i = 1, 2,..., n и вектор-решение u = (u 1 , u 2 ,..., u n ). Пользуясь формулой (2) для скалярного произведения векторов E n , придадим системе (4) следующий вид:

(a i , u ) = 0, i = 1, 2, …, m . (5)

Из соотношений (5) и формулы (3) следует, что вектор-решение u ортогонален всем векторам a i . Иными словами, этот вектор ортогонален линейной оболочке векторов a i , то есть решение u есть любой вектор из ортогонального дополнения линейной оболочки векторов a i . Важную роль в математике и физике играют и бесконечномерные линейные пространства . Примером такого пространства может служить пространство С непрерывных функций на отрезке с обычной операцией сложения и умножения на действительные числа. Упомянутое выше пространство всех многочленов является подпространством пространства С .

Лит.: Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии, М., 1968; Гельфанд И, М., Лекции по линейной алгебре, М. - Л., 1948.

Э. Г. Позняк.

Статья про слово "Векторное пространство " в Большой Советской Энциклопедии была прочитана 20505 раз

Рекомендуем почитать