Умножение одночленов, возведение в натуральную степень. Видеоурок «Умножение одночленов. Возведение в степень

Цели урока

Обучающие: организовать деятельность учащихся на: восприятие, осмысление и первичное закрепление знаний, умений, а так же опыта самостоятельной деятельности по теме “Умножение одночленов. Возведение одночлена в степень”

Воспитательная: воспитывать умение преодолевать трудности, воспитывать сознательную дисциплину.

Развивающая: развивать умение выделять главное, формировать овладение навыками самооценки, формировать познавательный интерес к математике.

Ход урока

1. Организационный момент (Задача этапа: подготовка учащихся к работе на занятии. Полная готовность класса и оборудования, быстрое включение учащихся в деловой ритм.)

2. Актуализация знаний учащихся

Учитель: Ребята, вы знаете кто такие следопыты? А вы бы хотели быть следопытами? Так сегодня у будет возможность доказать всем, что вы самый лучший следопыт. Что на вас можно смело положиться, что вы умеете преодолевать все трудности, возникшие у вас на пути. Хотите это сделать? Тогда вперёд к новым знаниям!!!

Итак, вперед зарабатывать звёздочки.

Проверим домашнее задание.

Для домашнего решения ученики получили три номера по два примера в каждом.

(на доске записаны ответы отдельно к каждому номеру, ученики работая в парах, сверяются, если пример решен верно, то 1 бонус заносят себе в карту достижений, если ошибка, то о бонусов, итак за каждый пример.)

Учитель: переходим ко второму уровню

Учитель предлагает ученикам перечислить правила, которые они применяли при выполнении домашнего задания. (за каждое правило дополнительный бонус)

Разгадайте кроссворд

Вопросы к кроссворду:

По вертикали:

2. Числовой множитель в одночлене стандартного вида.

3. Чему равен коэффициент одночлена а 5 вс 5 .

4. Чему равна степень одночлена 85?

5. Чему равна степень одночлена 10 2 ху 5 z 2 ?

6. Чему равно (-2) 2 ?

7. Какое число получается при возведении отрицательного числа в нечётную степень?

8. Сумма показателей всех переменных одночлена.

9. Вид одночлена, в котором на первом месте числовой множитель, а за ним степени различных переменных.

Одночлен - произведение, состоящее из числового множителя (коэффициента) и одной или нескольких букв, взятых каждая с тем или иным показателем степени.

3. Изучение нового материала

Учитель: Еще древние мудрецы считали, что “Величие человека в его способности мыслить”. Нам сегодня предстоит на основании имеющихся у нас знаний получить новое знание.

Приведите пример одночлена, у которого 2 буквенных множителя

Приводят пример, например (1 бонус) я записываю свой

(-5х 25 у 4 ) запишем их следующим образом

(-5х 25 у 4 )

(произведение одночленов)

Учитель: Давайте попробуем вывести правило умножения одночленов?

(ученики на основе имеющихся знаний формулируют правило умножения одночленов) 3 звёздочки

Учитель: Какой закон умножения применяется при умножении одночленов? (переместительный закон умножения) 2 звёздочки

Учитель: Какие правила еще можно выделить в правиле умножения многочленов?

Возможные ответы учащихся:

Правило умножения степеней с одинаковыми основаниями 2 звёздочки

Учитель: В этом примере мы выполнили …(умножение одночленов)

Таким образом, мы сделали первое открытие … (как умножаются одночлены)

Выводится слайд с правилом умножения одночленов. Ученикам предлагается еще два примера на применение правила умножения одночленов к доске для решения вызываются ученики, работающие на воспроизводящем уровне.

Учитель: Составим новый пример

Приведите пример одночлена, у которого 3 буквенных множителя

Например

Записываю

Учитель: Что я хочу сделать с многочленом?

Ответ учащихся (Возвести во вторую степень)

Учитель: Как это можно сделать?

Ответ учащихся (записать как произведение одночленов и выполнить умножение)

Ответ учащихся (выполнить возведение в степень, пользуясь правилом возведения в степень произведения)

Учитель: Как удобнее возводить одночлен в степень?

Ответ учащихся 2 способом.

Учитель: Почему? Обоснуйте.

(ответ учащихся)

Учитель: Значит, мы сделали второе открытие …(вывели правило возведения одночлена в степень) 2 звёздочки

Учитель: Запишем тему урока “Возведение одночлена в степень”

Учитель: На уроке мы сегодня будем работать с выражениями, которые называются (одночлены)

Учитель: Сегодня мы будем возводить одночлены в степень

Правила этих действий мы открыли, теперь будем учиться применять их при решении примеров.

Итак, уровень, 5

Впрочем, сделаем небольшую остановку, дадим себе немного отдохнуть, сейчас я буду читать вам задания, а вы будите в воздухе чертить ответ, взяв в руки ручки и внимательно следя за ее кончиком

Если вдруг поставить в ряд букву с 7 раз подряд, и чтоб долго не писать можно вот как записать (дети чертят в воздухе ручкой с 7)

а в квадрате в в седьмой в третью степень возводили и конечно получили а в шестой в 21 (дети чертят в воздухе ответ)

после физкультминутки

5. Закрепление знаний

Решим №477 (а,б,г), 483(а,б,в)

Молодцы мы справились, но усложним задачу

6. Самостоятельная работа

1 вариант	2вариант	3 вариант
(1 уровень)	(2 уровень)	(3 уровень)
1. 2,5ху * 4ху	1. –ав * (-6а 2 в 5 с 2)	1. -100х 3 * 0,1х
2. (3а 2) 4	2. -10а * 0,1а 3	2. (-2 2 ху) 2
3. 4х * 7у	3. 10 2 а 1 * а 4	3. –а 0 (-а 2) 2
4. 2а 2 вс * 0,5ав 2 с 3	4. (2 2 ху) 2	4. (-10а) 2 * а 3
5. (4ху) 2	5. 3а 2 * 3а 2	5. -1,4х * (-20у)
6. -а 2 * а 2	6. 0,5а 2 в * 2в 2 с* ас 3	6. -0,5а 2 в * 2в 2 с *(- ас 3)

Проверка самостоятельной работы

7. Подведение итогов занятий. (Задача этапа: дать анализ и оценку успешности достижения цели и наметить перспективу последующей работы. Адекватность самооценки учащегося оценке учителя. Получение учащимися информации о реальных результатах учения.)

Какая была сегодня тема урока?
Какие открытия мы сделали?
Сформулируем открытые правила? Ученики дают ответы. Каждый верный ответ – 1 звёздочка
Посчитайте звёздочки

8. Домашнее задание

Обязательное №488(а-в), №484(а-в), 480(а,г)

Дополнительное 1) №493(з)

2) придумай сказку или стих “жил, да был одночлен”.

§ 1 Умножение одночленов. Возведение в степень

В этом уроке мы научимся умножать одночлены, а также познакомимся с правилами возведения одночленов в натуральную степень.

Начнём с примера. Выполнить умножение одночлена 2аb4 на одночлен -3а2b. Посмотрите, как выглядит это задание, записанное на математическом языке:

2аb4 ∙ (-3а2b)

На самом деле перед нами записан новый одночлен - одночлен нестандартного вида. И нам остается только привести его к стандартному виду. Вспомним:

Одночлен стандартного вида - это одночлен, состоящий из произведения только одного числового множителя, стоящего на первом месте, и буквенных множителей, каждый из которых встречается только один раз.

В нашем примере нам надо будет перемножить числовые множители 2 и -3, затем выполнить умножение степеней с одинаковыми основаниями а и b. Получим:

2аb4∙ (-3а2b) = 2 ∙ (-3) ∙ а ∙ а2 ∙ b4 ∙ b = -6а3b5

Как видите, выполнение умножения одночленов не требует каких-либо дополнительных правил. Можно выполнять и обратную операцию, т.е. представлять одночлен в виде произведения двух или нескольких одночленов. Например, представить одночлен 12а3b6 в виде произведения двух одночленов. Данная задача может иметь несколько вариантов решения:

12а3b6 = (2аb) ∙ (6а2b5) или 12а3b6 = (4а2b3) ∙ (3аb3) или 12а3b6 = (-а3вb4) ∙ (-12b2) и т.д.

Теперь перейдём к возведению одночлена в натуральную степень. И опять начнём с примера. Возвести в квадрат одночлен 4х3у5. Запишем эту ситуацию на математическом языке, получим запись:

Видим возведение в степень произведения, а такое правило нам уже знакомо.

Чтобы возвести в степень произведение, надо возвести в эту степень каждый множитель. Кроме того, чтобы возвести степень в степень, надо основание оставить прежним, а показатели перемножить.

(4х3у5)2 = 42 ∙ (х3)2 ∙ (у5)2 = 16 х6у10

Здесь также можно выполнять обратные действия, т.е. представлять одночлен в виде степени какого-либо другого одночлена.

§ 2 Примеры по теме урока

Пример 1. Представить одночлен 27а3b6 в виде куба другого одночлена.

Заметим, что 27 = 33; а3 есть куб числа а; b6 можно представить как (b2)3.

27а3b6 = (3аb2)3

Пример 2. Представить одночлен 27а3b6 в виде квадрата какого-либо одночлена.ъ

Заметим, что множитель b6 можно представить в виде (b3)2. А вот число 27 не является квадратом какого-либо числа, да и множитель а3 нельзя представить в виде квадрата какой-либо натуральной степени. Всё это говорит о том, что перед нами задача, не имеющая решений. В таких случаях математики употребляют термин некорректная задача. К некорректным относятся различные виды заведомо невыполнимых задач. Например, некорректным является задание сложить одночлены 2а и 3b, т.к. это неподобные одночлены, их складывать нельзя. Или такое задание:

На 0 делить нельзя, поэтому данное задание некорректно.

Список использованной литературы:

Мордкович А.Г, Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 1, Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. – 10 – е изд., переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007
Мордкович А.Г., Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 2, Задачник для общеобразовательных учреждений/ [А.Г. Мордкович и др.]; под редакцией А.Г. Мордковича – 10-е издание, переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007
Е.Е. Тульчинская, Алгебра 7 класс. Блиц опрос: пособие для учащихся общеобразовательных учреждений, 4-е издание, исправленное и дополненное, Москва, «Мнемозина», 2008
Александрова Л.А., Алгебра 7 класс. Тематические проверочные работы в новой форме для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича, Москва, «Мнемозина», 2011
Александрова Л.А. Алгебра 7 класс. Самостоятельные работы для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича – 6-е издание, стереотипное, Москва, «Мнемозина», 2010

Возведение любого натурального одночлена в степень сопровождается применением правил стандартного умножения. Рассмотрим такой пример:

Для того, что бы найти значение этого выражения, произведем почленное умножение:

(ах) 4 = ах*ах*ах*ах

Как мы помним, любые переменные в одном одночлене являются, по факту, перемноженными. Иными словами, одночлен ах представляет собой скрытое произведение а на х. Поэтому, можно с уверенностью сказать, что:

ах*ах*ах*ах = ахахахах

С другой стороны, произведение любого количества любых одночленов дает тоже одночлен. Собственно говоря, разницы между произведением одночленов и общим мономом никакой нет. Скрытый или явный знак умножения роли особой не играет и никак не отображается на общем результате. Перегруппировав, получаем:

ахахахах = аааахххх = а 4 х 4

Сравниваем это выражение с начальным вариантом:

(ах) 4 = а 4 х 4

Возведение в степень n одночлена, состоящего из двух переменных х и у приводит к новому одночлену, в котором и х, и у, имеют степень n:

(ху) n = (х) n (у) n

Это правило прекрасно работает для любого количества переменных в одночлене. Например, для монома асху возведение в куб будет выглядеть так:

(асху) 3 = (а) 3 (с) 3 (х) 3 (у) 3

Таким образом, что бы возвести в степень одночлен, состоящий из многих элементов, необходимо каждый из этих элементов возвести в данную степень, а результаты перемножить, так что бы получился одночлен. Основание результата будет подобным начальному моному. Не стоит забывать, что свободный член тоже является элементом одночлена и подлежит возведению в степень.

Найдем значение выражения вида:

Как мы видим, заданный одночлен состоит из трех элементов - множителей: а, х, и (-3). Каждый из них возведем в третью степень, а полученный результат перемножим, скрыв знаки умножения. При этом можно сразу рассчитать значение куба (-3):

(-3ах) 3 = -27а 3 х 3

(а4) 2 = (а4)*(а4) = (аааа)(аааа) = (а) 8

Мы получили одночлен, который можно сократить до основания и показателя новой степени. При возведении любого основания х, имеющего степень а, в степень у, получаем выражение вида (х)ау. Иначе говоря, в подобных случаях степени перемножаются друг на друга.

Правила деления степенных выражений имеют общие черты с правилами произведения. Действительно, произведем почленные вычисления и преобразование полученного одночлена:

(х/у) 3 = (х/у)*(х/у)*(х/у) = х 3 /у 3

При возведении в куб дроби, мы перемножили эту дробь три раза. По закону умножения дробей мы получили куб делимого и куб делителя в новой дроби. Так же, как и в случае с умножением, степень просто переносится на каждый элемент одночлена, раскрывая скобки.

Следует понимать, что операция внесения степени в скобки в случаях умножения и деления внутри одночлена всегда представляет собой процесс умножения внешней степени на каждую степень внутренних элементов. Если таковая визуально не задана - значит, она равна единице, а умножение на единицу дает начальный результат. Кроме того, следует отличать между собой выражения вида аху 4 , а(ху) 4 , (аху) 4 , потому что степень над скобками относится исключительно к внутреннему содержимому, никак не влияя на остальные элементы одночлена:

аху 4 = аху 4

а(ху) 4 = ах 4 у 4

(аху) 4 = а 4 х 4 у 4

Решим такое практическое упражнение. Найдем значение выражения:

Пользуемся вышеописанными свойствами, возводим одночлен в шестую степень:

(-3х 3 у 2) 6 = (-3) 6 *(х 3) 6 *(у 2) 6 = 729х18у12

Все свойства умножения и деления степенных выражений работают и с основаниями, имеющими нулевую степень, при условии, что эти основания не равны нулю.

Это позволяет ввести еще одно действие – возведение одночлена в степень . Ниже мы получим правило возведения одночлена в степень с натуральным показателем, и рассмотрим решения примеров, чтобы разобрать все нюансы.

Навигация по странице.

Правило возведения одночлена в степень

Проследим все шаги, которые необходимо предпринять, чтобы возвести одночлен в степень. Это проще всего сделать, рассмотрев конкретный пример.

Возьмем одночлен стандартного вида , например, 2·x·y 5 , и возведем его, к примеру, в третью степень. Поставленной задаче отвечает выражение (2·x·y 5) 3 , представляющее собой произведение трех множителей 2 , x и y 5 в третьей степени. Можно провести тождественное преобразование записанного выражения, причем сразу напрашивается применение . Сначала используем свойство степени произведения: (2·x·y 5) 3 =2 3 ·x 3 ·(y 5) 3 . Теперь, обратившись к свойству степени в степени, (y 5) 3 заменяем на y 15 , и получаем 2 3 ·x 3 ·(y 5) 3 =2 3 ·x 3 ·y 15 . Еще можно выполнить числа 2 . Так как 2 3 =8 , то в итоге приходим к выражению 8·x 3 ·y 15 . Очевидно, оно представляет собой одночлен стандартного вида.

Из приведенных рассуждений, во-первых, отчетливо видны все действия, из которых состоит процесс возведения одночлена в степень. Соберем их вместе в виде правила возведения одночлена в степень .

Чтобы возвести одночлен в степень, нужно

записать соответствующее выражение;
применить свойство возведения произведения в степень;
применить свойство возведения степени в степень и вычислить степени чисел.

Во-вторых, из разобранного выше примера видно, что результатом возведения одночлена в степень является новый одночлен . Здесь отметим, что если исходный одночлен записан в стандартном виде, то после его возведения в степень получится одночлен стандартного вида. Если же исходный одночлен дан в виде, отличном от стандартного, то целесообразно этот одночлен привести к стандартному виду перед возведением в степень. Если этого не сделать, то к стандартному виду придется приводить одночлен, полученный после применения записанного выше правила. Мы еще вернемся к этому моменту в следующем пункте.

Примеры

Пришло время решить несколько примеров возведения одночленов в степень. Это поможет отработать применение правила из предыдущего пункта. Начнем с простеньких примеров.

Пример.

Возведите одночлены в указанные степени: (x·y) 10 , и (−0,3·a 2 ·b 3 ·c 4) 3 .

Решение.

Для возведения в степень первого одночлена применяем правило возведения произведения в степень: (x·y) 10 =x 10 ·y 10 . Больше делать ничего не нужно, так как в полученном выражении нет ни степеней в степени, ни степеней чисел.

Переходим дальше. Сначала выполняем такой переход: . В последнем выражении осталось степень заменить ее значением. Так как , то .

Кратко возведение одночлена в степень для этого случая выглядит так: .

Переходим к последнему заданию. Сначала выполняем возведение произведения в степень: (−0,3·a 2 ·b 3 ·c 4) 3 =(−0,3) 3 ·(a 2) 3 ·(b 3) 3 ·(c 4) 3 . Осталось воспользоваться свойством степени в степени, а также вычислить (−0,3) 3 . Так как (a 2) 3 =a 2·3 =a 6 , (b 3) 3 =b 3·3 =b 9 , (c 4) 3 =c 4·3 =c 12 и (−0,3) 3 =(−0,3)·(−0,3)·(−0,3)=−0,027 , то в итоге имеем −0,027·a 6 ·b 9 ·c 12 .

Вот краткое решение: (−0,3·a 2 ·b 3 ·c 4) 3 = (−0,3) 3 ·(a 2) 3 ·(b 3) 3 ·(c 4) 3 = −0,027·a 6 ·b 9 ·c 12 .

Ответ:

(x·y) 10 =x 10 ·y 10 , и (−0,3·a 2 ·b 3 ·c 4) 3 =−0,027·a 6 ·b 9 ·c 12 .

В следующем примере убедимся, что в результате возведения в степень одночлена в виде, отличном от стандартного, и соответствующего ему одночлена в стандартном виде, получаются тождественно равные одночлены.

Пример.

Выполните возведение одночлена 2·x 3 ·5·x в квадрат.

Решение.

Исходный одночлен записан не в стандартном виде. Возведем его в квадрат: (2·x 3 ·5·x) 2 =2 2 ·(x 3) 2 ·5 2 ·x 2 =4·x 6 ·25·x 2 . Если полученный одночлен представить в стандартном виде, то он примет вид 100·x 8 .

А теперь сначала исходный многочлен запишем в стандартном виде 2·x 3 ·5·x=10·x 4 , а теперь выполним возведение полученного одночлена во вторую степень: (10·x 4) 2 =10 2 ·(x 4) 2 =100·x 8 .

Очевидно, мы получили один и тот же результат. Таким образом, можно возводить в степень одночлены в виде, отличном от стандартного, либо сначала приводить их к стандартному виду, после чего возводить в степень, - результат будет один.

Ответ:

(2·x 3 ·5·x) 2 =100·x 8 .

Наконец, стоит обратить внимание на возведение в степень одночленов, которые не содержат числовых множителей, но перед ними стоит знак минус, например, −x , −a 4 ·b 7 ·c 2 и т.п. В этих случаях коэффициент одночлена равен −1 , и его не помешает записать в явном виде перед выполнением возведения в степень. Это поможет избежать ошибок.

>>Математика: Умножение одночленов, Возведение одночлена в натуральную степень

Умножение одночленов. Возведение одночлена в натуральную степень

Найти произведение трех одночленов: 2a 2 bc 5 ,
Решение. Имеем:

Упростить выражение (- 2a 2 bc 3) 5 (т. е. представить его в виде одночлена).

Р е ш е н и е. (- 2a 2 bc 3) 5 = - 2 5 (a 2) 5 b 5 (c 3) 5 =-32a 10 b 5 c15.

Мы использовали, во-первых, то, что при возведении произведения в степень надо возвести в эту степень каждый множитель. Поэтому у нас появилась запись 2 5 (a 2) 5 b5(c 3) 5 .

Во-вторых, мы воспользовались тем, что (- 2) 5 = - 2 5 .

В-третьих, мы использовали то, что при возведении степени в степень показатели перемножаются. Поэтому вместо (а 2) 5 мы написали а 10 , а вместо (с 3) 5 мы написали с 15 .

Представить одночлен 36a 2 b 4 c 5 в виде произведения одночленов.

Решение. Здесь, как и в примере 2 из § 10, решение не единственно. Вот несколько вариантов решения:

36a 2 b 4 c 5 =(18a 2) (2b 4 c 5);
36a 2 b 4 c 5 =(36abc) (аb 3 с 4),
36а 2 b 4 c 5 = (- Зb 4) (- 12а 2 с 5);
36а 2 b 4 c 5 =(2a 3) (3bc) (6b 3 c 4)

Попробуйте сами придумать еще несколько решений примера 3.

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки