Таким образом, отделяя группы симметрий от геометрий, связи между симметриями можно установить на уровне групп. Поскольку группа аффинной геометрии является подгруппой проективной геометрии, любое понятие инварианта в проективной геометрии априори имеет смысл в аффинной геометрии, что неверно в обратном направлении. Если добавить требуемые симметрии, получите более сильную теорию, но меньше понятий и теорем (которые будут глубже и более общими).

Точка зрения Тёрстона

Нечётные функции

Интегралы

Теория Галуа

Если задан многочлен, возможно, что некоторые корни связаны различными алгебраическими уравнениями . Например, может оказаться, что для двух корней, скажем, A и B , $A^2\; +\; 5B^3\; =\; 7$. Центральной идеей теории Галуа является факт, что при перестановке корней они продолжают удовлетворять всем этим уравнениям. Важно, что при этом мы ограничиваем себя алгебраическими уравнениями, коэффициенты которых являются рациональными числами . Таким образом, теория Галуа изучает симметрии, унаследованные от алгебраических уравнений.

Автоморфизмы алгебраических объектов

Симметрия в метрических пространствах

Изометрия в пространстве

Изометрия - это сохраняющее расстояние отображение метрических пространств . Пусть задано метрическое пространство, или множество и схема вычисления расстояния между элементами множества. Изометрия - это преобразование, которое отображает элементы в другое метрическое пространство, такое, что расстояние между элементами в новом метрическом пространстве равно расстоянию между элементами исходного пространства. В двумерном или трёхмерном пространстве две геометрические фигуры конгруэнтны , если они связаны изометрией - либо движением абсолютно твёрдого тела , либо композицией движения и отражения .

Симметрия дифференциальных уравнений

В случае, когда события представляют собой интервал вещественных чисел, симметрия, учитывающая перестановки подинтервалов равной длины, соответствует непрерывному равномерному распределению .

В других случаях, таких как «выбор случайного целого» или «выбор случайного вещественного», нет симметрии вероятностного распределения, учитывающего перестановки чисел или интервалов равной длины. Другие приемлемые симметрии не приводят к конкретному распределению, или, другими словами, нет уникального распределения вероятности, обеспечивающего максимальную симметрию.

Существует один тип одномерной изометрии , который может сохранять распределение вероятностей неизменным, это отражение относительно точки, например, нуля.

Возможная симметрия для случайных значений с положительной вероятностью - это та, что применима к логарифмам, то есть когда событие и его обратная величина имеют одинаковое распределение. Однако эта симметрия не приводит к определённому вероятностному распределению.

Для «случайной точки» на плоскости или в пространстве можно выбрать центр и рассматривать симметрию распределения вероятностей относительно окружности или сферы.

См. также

Напишите отзыв о статье "Симметрия в математике"

Ссылки

Библиография

• Hermann Weyl , Symmetry. Reprint of the 1952 original. Princeton Science Library. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1989. viii+168 pp. ISBN 0-691-02374-3
• Mark Ronan, Symmetry and the Monster , Oxford University Press, 2006. ISBN 978-0-19-280723-6 (Concise introduction for lay reader)
• Marcus du Sautoy , Finding Moonshine: a Mathematician’s Journey through Symmetry , Fourth Estate , 2009

Отрывок, характеризующий Симметрия в математике

– Имел удовольствие, – отвечал князь Андрей, – не только участвовать в отступлении, но и потерять в этом отступлении все, что имел дорогого, не говоря об именьях и родном доме… отца, который умер с горя. Я смоленский.
– А?.. Вы князь Болконский? Очень г"ад познакомиться: подполковник Денисов, более известный под именем Васьки, – сказал Денисов, пожимая руку князя Андрея и с особенно добрым вниманием вглядываясь в лицо Болконского. – Да, я слышал, – сказал он с сочувствием и, помолчав немного, продолжал: – Вот и скифская война. Это все хог"ошо, только не для тех, кто своими боками отдувается. А вы – князь Андг"ей Болконский? – Он покачал головой. – Очень г"ад, князь, очень г"ад познакомиться, – прибавил он опять с грустной улыбкой, пожимая ему руку.
Князь Андрей знал Денисова по рассказам Наташи о ее первом женихе. Это воспоминанье и сладко и больно перенесло его теперь к тем болезненным ощущениям, о которых он последнее время давно уже не думал, но которые все таки были в его душе. В последнее время столько других и таких серьезных впечатлений, как оставление Смоленска, его приезд в Лысые Горы, недавнее известно о смерти отца, – столько ощущений было испытано им, что эти воспоминания уже давно не приходили ему и, когда пришли, далеко не подействовали на него с прежней силой. И для Денисова тот ряд воспоминаний, которые вызвало имя Болконского, было далекое, поэтическое прошедшее, когда он, после ужина и пения Наташи, сам не зная как, сделал предложение пятнадцатилетней девочке. Он улыбнулся воспоминаниям того времени и своей любви к Наташе и тотчас же перешел к тому, что страстно и исключительно теперь занимало его. Это был план кампании, который он придумал, служа во время отступления на аванпостах. Он представлял этот план Барклаю де Толли и теперь намерен был представить его Кутузову. План основывался на том, что операционная линия французов слишком растянута и что вместо того, или вместе с тем, чтобы действовать с фронта, загораживая дорогу французам, нужно было действовать на их сообщения. Он начал разъяснять свой план князю Андрею.
– Они не могут удержать всей этой линии. Это невозможно, я отвечаю, что пг"ог"ву их; дайте мне пятьсот человек, я г"азог"ву их, это вег"но! Одна система – паг"тизанская.
Денисов встал и, делая жесты, излагал свой план Болконскому. В средине его изложения крики армии, более нескладные, более распространенные и сливающиеся с музыкой и песнями, послышались на месте смотра. На деревне послышался топот и крики.
– Сам едет, – крикнул казак, стоявший у ворот, – едет! Болконский и Денисов подвинулись к воротам, у которых стояла кучка солдат (почетный караул), и увидали подвигавшегося по улице Кутузова, верхом на невысокой гнедой лошадке. Огромная свита генералов ехала за ним. Барклай ехал почти рядом; толпа офицеров бежала за ними и вокруг них и кричала «ура!».
Вперед его во двор проскакали адъютанты. Кутузов, нетерпеливо подталкивая свою лошадь, плывшую иноходью под его тяжестью, и беспрестанно кивая головой, прикладывал руку к бедой кавалергардской (с красным околышем и без козырька) фуражке, которая была на нем. Подъехав к почетному караулу молодцов гренадеров, большей частью кавалеров, отдававших ему честь, он с минуту молча, внимательно посмотрел на них начальническим упорным взглядом и обернулся к толпе генералов и офицеров, стоявших вокруг него. Лицо его вдруг приняло тонкое выражение; он вздернул плечами с жестом недоумения.
– И с такими молодцами всё отступать и отступать! – сказал он. – Ну, до свиданья, генерал, – прибавил он и тронул лошадь в ворота мимо князя Андрея и Денисова.
– Ура! ура! ура! – кричали сзади его.
С тех пор как не видал его князь Андрей, Кутузов еще потолстел, обрюзг и оплыл жиром. Но знакомые ему белый глаз, и рана, и выражение усталости в его лице и фигуре были те же. Он был одет в мундирный сюртук (плеть на тонком ремне висела через плечо) и в белой кавалергардской фуражке. Он, тяжело расплываясь и раскачиваясь, сидел на своей бодрой лошадке.
– Фю… фю… фю… – засвистал он чуть слышно, въезжая на двор. На лице его выражалась радость успокоения человека, намеревающегося отдохнуть после представительства. Он вынул левую ногу из стремени, повалившись всем телом и поморщившись от усилия, с трудом занес ее на седло, облокотился коленкой, крякнул и спустился на руки к казакам и адъютантам, поддерживавшим его.
Он оправился, оглянулся своими сощуренными глазами и, взглянув на князя Андрея, видимо, не узнав его, зашагал своей ныряющей походкой к крыльцу.
– Фю… фю… фю, – просвистал он и опять оглянулся на князя Андрея. Впечатление лица князя Андрея только после нескольких секунд (как это часто бывает у стариков) связалось с воспоминанием о его личности.
– А, здравствуй, князь, здравствуй, голубчик, пойдем… – устало проговорил он, оглядываясь, и тяжело вошел на скрипящее под его тяжестью крыльцо. Он расстегнулся и сел на лавочку, стоявшую на крыльце.
– Ну, что отец?
– Вчера получил известие о его кончине, – коротко сказал князь Андрей.
Кутузов испуганно открытыми глазами посмотрел на князя Андрея, потом снял фуражку и перекрестился: «Царство ему небесное! Да будет воля божия над всеми нами!Он тяжело, всей грудью вздохнул и помолчал. „Я его любил и уважал и сочувствую тебе всей душой“. Он обнял князя Андрея, прижал его к своей жирной груди и долго не отпускал от себя. Когда он отпустил его, князь Андрей увидал, что расплывшие губы Кутузова дрожали и на глазах были слезы. Он вздохнул и взялся обеими руками за лавку, чтобы встать.
– Пойдем, пойдем ко мне, поговорим, – сказал он; но в это время Денисов, так же мало робевший перед начальством, как и перед неприятелем, несмотря на то, что адъютанты у крыльца сердитым шепотом останавливали его, смело, стуча шпорами по ступенькам, вошел на крыльцо. Кутузов, оставив руки упертыми на лавку, недовольно смотрел на Денисова. Денисов, назвав себя, объявил, что имеет сообщить его светлости дело большой важности для блага отечества. Кутузов усталым взглядом стал смотреть на Денисова и досадливым жестом, приняв руки и сложив их на животе, повторил: «Для блага отечества? Ну что такое? Говори». Денисов покраснел, как девушка (так странно было видеть краску на этом усатом, старом и пьяном лице), и смело начал излагать свой план разрезания операционной линии неприятеля между Смоленском и Вязьмой. Денисов жил в этих краях и знал хорошо местность. План его казался несомненно хорошим, в особенности по той силе убеждения, которая была в его словах. Кутузов смотрел себе на ноги и изредка оглядывался на двор соседней избы, как будто он ждал чего то неприятного оттуда. Из избы, на которую он смотрел, действительно во время речи Денисова показался генерал с портфелем под мышкой.
– Что? – в середине изложения Денисова проговорил Кутузов. – Уже готовы?
– Готов, ваша светлость, – сказал генерал. Кутузов покачал головой, как бы говоря: «Как это все успеть одному человеку», и продолжал слушать Денисова.
– Даю честное благородное слово гусского офицег"а, – говорил Денисов, – что я г"азог"ву сообщения Наполеона.
– Тебе Кирилл Андреевич Денисов, обер интендант, как приходится? – перебил его Кутузов.
– Дядя г"одной, ваша светлость.
– О! приятели были, – весело сказал Кутузов. – Хорошо, хорошо, голубчик, оставайся тут при штабе, завтра поговорим. – Кивнув головой Денисову, он отвернулся и протянул руку к бумагам, которые принес ему Коновницын.
– Не угодно ли вашей светлости пожаловать в комнаты, – недовольным голосом сказал дежурный генерал, – необходимо рассмотреть планы и подписать некоторые бумаги. – Вышедший из двери адъютант доложил, что в квартире все было готово. Но Кутузову, видимо, хотелось войти в комнаты уже свободным. Он поморщился…
– Нет, вели подать, голубчик, сюда столик, я тут посмотрю, – сказал он. – Ты не уходи, – прибавил он, обращаясь к князю Андрею. Князь Андрей остался на крыльце, слушая дежурного генерала.
Во время доклада за входной дверью князь Андрей слышал женское шептанье и хрустение женского шелкового платья. Несколько раз, взглянув по тому направлению, он замечал за дверью, в розовом платье и лиловом шелковом платке на голове, полную, румяную и красивую женщину с блюдом, которая, очевидно, ожидала входа влавввквмандующего. Адъютант Кутузова шепотом объяснил князю Андрею, что это была хозяйка дома, попадья, которая намеревалась подать хлеб соль его светлости. Муж ее встретил светлейшего с крестом в церкви, она дома… «Очень хорошенькая», – прибавил адъютант с улыбкой. Кутузов оглянулся на эти слова. Кутузов слушал доклад дежурного генерала (главным предметом которого была критика позиции при Цареве Займище) так же, как он слушал Денисова, так же, как он слушал семь лет тому назад прения Аустерлицкого военного совета. Он, очевидно, слушал только оттого, что у него были уши, которые, несмотря на то, что в одном из них был морской канат, не могли не слышать; но очевидно было, что ничто из того, что мог сказать ему дежурный генерал, не могло не только удивить или заинтересовать его, но что он знал вперед все, что ему скажут, и слушал все это только потому, что надо прослушать, как надо прослушать поющийся молебен. Все, что говорил Денисов, было дельно и умно. То, что говорил дежурный генерал, было еще дельнее и умнее, но очевидно было, что Кутузов презирал и знание и ум и знал что то другое, что должно было решить дело, – что то другое, независимое от ума и знания. Князь Андрей внимательно следил за выражением лица главнокомандующего, и единственное выражение, которое он мог заметить в нем, было выражение скуки, любопытства к тому, что такое означал женский шепот за дверью, и желание соблюсти приличие. Очевидно было, что Кутузов презирал ум, и знание, и даже патриотическое чувство, которое выказывал Денисов, но презирал не умом, не чувством, не знанием (потому что он и не старался выказывать их), а он презирал их чем то другим. Он презирал их своей старостью, своею опытностью жизни. Одно распоряжение, которое от себя в этот доклад сделал Кутузов, откосилось до мародерства русских войск. Дежурный редерал в конце доклада представил светлейшему к подписи бумагу о взысканий с армейских начальников по прошению помещика за скошенный зеленый овес.
Кутузов зачмокал губами и закачал головой, выслушав это дело.
– В печку… в огонь! И раз навсегда тебе говорю, голубчик, – сказал он, – все эти дела в огонь. Пуская косят хлеба и жгут дрова на здоровье. Я этого не приказываю и не позволяю, но и взыскивать не могу. Без этого нельзя. Дрова рубят – щепки летят. – Он взглянул еще раз на бумагу. – О, аккуратность немецкая! – проговорил он, качая головой.

– Ну, теперь все, – сказал Кутузов, подписывая последнюю бумагу, и, тяжело поднявшись и расправляя складки своей белой пухлой шеи, с повеселевшим лицом направился к двери.
Попадья, с бросившеюся кровью в лицо, схватилась за блюдо, которое, несмотря на то, что она так долго приготовлялась, она все таки не успела подать вовремя. И с низким поклоном она поднесла его Кутузову.
Глаза Кутузова прищурились; он улыбнулся, взял рукой ее за подбородок и сказал:
– И красавица какая! Спасибо, голубушка!
Он достал из кармана шаровар несколько золотых и положил ей на блюдо.
– Ну что, как живешь? – сказал Кутузов, направляясь к отведенной для него комнате. Попадья, улыбаясь ямочками на румяном лице, прошла за ним в горницу. Адъютант вышел к князю Андрею на крыльцо и приглашал его завтракать; через полчаса князя Андрея позвали опять к Кутузову. Кутузов лежал на кресле в том же расстегнутом сюртуке. Он держал в руке французскую книгу и при входе князя Андрея, заложив ее ножом, свернул. Это был «Les chevaliers du Cygne», сочинение madame de Genlis [«Рыцари Лебедя», мадам де Жанлис], как увидал князь Андрей по обертке.
– Ну садись, садись тут, поговорим, – сказал Кутузов. – Грустно, очень грустно. Но помни, дружок, что я тебе отец, другой отец… – Князь Андрей рассказал Кутузову все, что он знал о кончине своего отца, и о том, что он видел в Лысых Горах, проезжая через них.
– До чего… до чего довели! – проговорил вдруг Кутузов взволнованным голосом, очевидно, ясно представив себе, из рассказа князя Андрея, положение, в котором находилась Россия. – Дай срок, дай срок, – прибавил он с злобным выражением лица и, очевидно, не желая продолжать этого волновавшего его разговора, сказал: – Я тебя вызвал, чтоб оставить при себе.
– Благодарю вашу светлость, – отвечал князь Андрей, – но я боюсь, что не гожусь больше для штабов, – сказал он с улыбкой, которую Кутузов заметил. Кутузов вопросительно посмотрел на него. – А главное, – прибавил князь Андрей, – я привык к полку, полюбил офицеров, и люди меня, кажется, полюбили. Мне бы жалко было оставить полк. Ежели я отказываюсь от чести быть при вас, то поверьте…
Умное, доброе и вместе с тем тонко насмешливое выражение светилось на пухлом лице Кутузова. Он перебил Болконского:
– Жалею, ты бы мне нужен был; но ты прав, ты прав. Нам не сюда люди нужны. Советчиков всегда много, а людей нет. Не такие бы полки были, если бы все советчики служили там в полках, как ты. Я тебя с Аустерлица помню… Помню, помню, с знаменем помню, – сказал Кутузов, и радостная краска бросилась в лицо князя Андрея при этом воспоминании. Кутузов притянул его за руку, подставляя ему щеку, и опять князь Андрей на глазах старика увидал слезы. Хотя князь Андрей и знал, что Кутузов был слаб на слезы и что он теперь особенно ласкает его и жалеет вследствие желания выказать сочувствие к его потере, но князю Андрею и радостно и лестно было это воспоминание об Аустерлице.
– Иди с богом своей дорогой. Я знаю, твоя дорога – это дорога чести. – Он помолчал. – Я жалел о тебе в Букареште: мне послать надо было. – И, переменив разговор, Кутузов начал говорить о турецкой войне и заключенном мире. – Да, немало упрекали меня, – сказал Кутузов, – и за войну и за мир… а все пришло вовремя. Tout vient a point a celui qui sait attendre. [Все приходит вовремя для того, кто умеет ждать.] A и там советчиков не меньше было, чем здесь… – продолжал он, возвращаясь к советчикам, которые, видимо, занимали его. – Ох, советчики, советчики! – сказал он. Если бы всех слушать, мы бы там, в Турции, и мира не заключили, да и войны бы не кончили. Всё поскорее, а скорое на долгое выходит. Если бы Каменский не умер, он бы пропал. Он с тридцатью тысячами штурмовал крепости. Взять крепость не трудно, трудно кампанию выиграть. А для этого не нужно штурмовать и атаковать, а нужно терпение и время. Каменский на Рущук солдат послал, а я их одних (терпение и время) посылал и взял больше крепостей, чем Каменский, и лошадиное мясо турок есть заставил. – Он покачал головой. – И французы тоже будут! Верь моему слову, – воодушевляясь, проговорил Кутузов, ударяя себя в грудь, – будут у меня лошадиное мясо есть! – И опять глаза его залоснились слезами.
– Однако до лжно же будет принять сражение? – сказал князь Андрей.
– До лжно будет, если все этого захотят, нечего делать… А ведь, голубчик: нет сильнее тех двух воинов, терпение и время; те всё сделают, да советчики n"entendent pas de cette oreille, voila le mal. [этим ухом не слышат, – вот что плохо.] Одни хотят, другие не хотят. Что ж делать? – спросил он, видимо, ожидая ответа. – Да, что ты велишь делать? – повторил он, и глаза его блестели глубоким, умным выражением. – Я тебе скажу, что делать, – проговорил он, так как князь Андрей все таки не отвечал. – Я тебе скажу, что делать и что я делаю. Dans le doute, mon cher, – он помолчал, – abstiens toi, [В сомнении, мой милый, воздерживайся.] – выговорил он с расстановкой.
– Ну, прощай, дружок; помни, что я всей душой несу с тобой твою потерю и что я тебе не светлейший, не князь и не главнокомандующий, а я тебе отец. Ежели что нужно, прямо ко мне. Прощай, голубчик. – Он опять обнял и поцеловал его. И еще князь Андрей не успел выйти в дверь, как Кутузов успокоительно вздохнул и взялся опять за неконченный роман мадам Жанлис «Les chevaliers du Cygne».
Как и отчего это случилось, князь Андрей не мог бы никак объяснить; но после этого свидания с Кутузовым он вернулся к своему полку успокоенный насчет общего хода дела и насчет того, кому оно вверено было. Чем больше он видел отсутствие всего личного в этом старике, в котором оставались как будто одни привычки страстей и вместо ума (группирующего события и делающего выводы) одна способность спокойного созерцания хода событий, тем более он был спокоен за то, что все будет так, как должно быть. «У него не будет ничего своего. Он ничего не придумает, ничего не предпримет, – думал князь Андрей, – но он все выслушает, все запомнит, все поставит на свое место, ничему полезному не помешает и ничего вредного не позволит. Он понимает, что есть что то сильнее и значительнее его воли, – это неизбежный ход событий, и он умеет видеть их, умеет понимать их значение и, ввиду этого значения, умеет отрекаться от участия в этих событиях, от своей личной волн, направленной на другое. А главное, – думал князь Андрей, – почему веришь ему, – это то, что он русский, несмотря на роман Жанлис и французские поговорки; это то, что голос его задрожал, когда он сказал: „До чего довели!“, и что он захлипал, говоря о том, что он „заставит их есть лошадиное мясо“. На этом же чувстве, которое более или менее смутно испытывали все, и основано было то единомыслие и общее одобрение, которое сопутствовало народному, противному придворным соображениям, избранию Кутузова в главнокомандующие.

После отъезда государя из Москвы московская жизнь потекла прежним, обычным порядком, и течение этой жизни было так обычно, что трудно было вспомнить о бывших днях патриотического восторга и увлечения, и трудно было верить, что действительно Россия в опасности и что члены Английского клуба суть вместе с тем и сыны отечества, готовые для него на всякую жертву. Одно, что напоминало о бывшем во время пребывания государя в Москве общем восторженно патриотическом настроении, было требование пожертвований людьми и деньгами, которые, как скоро они были сделаны, облеклись в законную, официальную форму и казались неизбежны.
С приближением неприятеля к Москве взгляд москвичей на свое положение не только не делался серьезнее, но, напротив, еще легкомысленнее, как это всегда бывает с людьми, которые видят приближающуюся большую опасность. При приближении опасности всегда два голоса одинаково сильно говорят в душе человека: один весьма разумно говорит о том, чтобы человек обдумал самое свойство опасности и средства для избавления от нее; другой еще разумнее говорит, что слишком тяжело и мучительно думать об опасности, тогда как предвидеть все и спастись от общего хода дела не во власти человека, и потому лучше отвернуться от тяжелого, до тех пор пока оно не наступило, и думать о приятном. В одиночестве человек большею частью отдается первому голосу, в обществе, напротив, – второму. Так было и теперь с жителями Москвы. Давно так не веселились в Москве, как этот год.
Растопчинские афишки с изображением вверху питейного дома, целовальника и московского мещанина Карпушки Чигирина, который, быв в ратниках и выпив лишний крючок на тычке, услыхал, будто Бонапарт хочет идти на Москву, рассердился, разругал скверными словами всех французов, вышел из питейного дома и заговорил под орлом собравшемуся народу, читались и обсуживались наравне с последним буриме Василия Львовича Пушкина.
В клубе, в угловой комнате, собирались читать эти афиши, и некоторым нравилось, как Карпушка подтрунивал над французами, говоря, что они от капусты раздуются, от каши перелопаются, от щей задохнутся, что они все карлики и что их троих одна баба вилами закинет. Некоторые не одобряли этого тона и говорила, что это пошло и глупо. Рассказывали о том, что французов и даже всех иностранцев Растопчин выслал из Москвы, что между ними шпионы и агенты Наполеона; но рассказывали это преимущественно для того, чтобы при этом случае передать остроумные слова, сказанные Растопчиным при их отправлении. Иностранцев отправляли на барке в Нижний, и Растопчин сказал им: «Rentrez en vous meme, entrez dans la barque et n"en faites pas une barque ne Charon». [войдите сами в себя и в эту лодку и постарайтесь, чтобы эта лодка не сделалась для вас лодкой Харона.] Рассказывали, что уже выслали из Москвы все присутственные места, и тут же прибавляли шутку Шиншина, что за это одно Москва должна быть благодарна Наполеону. Рассказывали, что Мамонову его полк будет стоить восемьсот тысяч, что Безухов еще больше затратил на своих ратников, но что лучше всего в поступке Безухова то, что он сам оденется в мундир и поедет верхом перед полком и ничего не будет брать за места с тех, которые будут смотреть на него.

«1.1. Фундаментальные и частные типы симметрии 1.1.1. Зеркальная симметрия 1.1.2. Симметрия вращения (поворотная симметрия) 1.1.3. Винтовая симметрия 1.1.4. ...»

ГЛАВА 1. Разновидности симметрии и эволюция форм в культуре

1.1. Фундаментальные и частные типы симметрии

1.1.1. Зеркальная симметрия

1.1.2. Симметрия вращения (поворотная симметрия)

1.1.3. Винтовая симметрия

1.1.4. Спиральная симметрия

Редукция

1.2. Редукция типов симметрии в фигурах и объемах

1.3. Циклическая привязка типов симметрии

ГЛАВА 2. Эволюция типов симметрии в истории

2.1. Геометрические фигуры и тела и их связанность с типами

менталитета

2.2. Проблема исторического синтеза 2.2.1. Центрическое и иерархическое

2.3. Возможности синтеза 2.3.1. Возможности будущего синтеза в истории

БИБЛИОГРАФИЯ

ГЛАВА 1. Разновидности симметрии и эволюция форм в культуре В переводе с греческого когда-то означала “симметрия” гармония пропорций. Сегодня симметрия стала “соразмерность”, общенаучной категорией, характеризующей закономерность структуры организации систем. Понятие о симметрии содержит представление об инвариантнocтu. Инвариантность – это сохранение некоторых признаков (геометрических, физических, биологических и т. д.) по отношению к вполне определенным преобразованиям. Объект или явление можно считать симметричным, если с ними можно сделать что-то такое, после чего они остаются неизменными.

Хронотоп развивается в ментальной истории в направлении от простых форм к сложным . Мы хотим показать, что динамика усложнения пространственно-временных представлений в истории опосредована постепенным освоением в менталитете фундаментальных типов симметрии. Для начала рассмотрим типы симметрии.

1.1. Фундаментальные и частные типы симметрии С нашей точки зрения, явление симметрии как-то связано со временем.

Есть только четыре типа представления моделей времени в пространстве, и мы говорили об этом ранее в наших книгах. Мы не базируемся ни на чьих взглядах, кроме собственных. Это позволяет нам везде удерживать единство классиологического инварианта.

К фундаментальным мы относим четыре типа симметрии: это – зеркальная, поворотная, винтовая и спиральная (коническая) симметрия.

В геометрическом выражении это, по сути, линия, окружность, цилиндрический винт и коническая спираль (двух видов).

Таковы же по основанию и модели времени:

Рис. 1. Четыре модели – типы симметрии и типы геометрического представления времени.

Скорее всего эта закономерность связана и с единством инварианта четверки и с набором способов геометрического выражения.

Если начать осмыслять эту поразительную закономерность, то получается некий инвариант, даже более общий, чем хронотоп и симметрия. Но то, что мы здесь так простенько выразили, на самом деле требует кардинального философского и общенаучного осмысления, результатом которого может стать очередная Нобелевская премия.

Жаль, что это выходит за пределы избранной здесь темы.

В литературе по симметрии такого единства понимания мы не встретим. И связано это с тем, что осмысление феноменологии симметрии происходит по-разному в разных областях знания. Есть и попытки выйти на самые широкие обобщения, но они почему-то стремятся отыскать один ведущий принцип.

Еще один важный момент связан с наличием в нашем менталитете и культуре двух представлений о плоскости: модель Евклида (бесконечная ровная плоскость на основе такой же прямой) и модель Лобачевского – сферическое представление о плоскости. В связи с этим иногда отдельно рассматривается симметрия на плоскости и симметрия на шаре. Но это имеет смысл только для первых двух типов симметрии.

Кроме того можно поговорить и об ионах этих четырех основных типов симметрии, а, кстати, и моделей времени тоже. Принцип тот же, что описан в нашей первой книге , потому подробно мы его здесь разворачивать не будем.

Это такие основные и переходные состояния:

1 упрощение зеркальной симметрии до линейной;

симметрия;

1 зеркальная симметрия;

1 зеркально-поворотная симметрия;

2 поворотно-зеркальная симметрия (вид симметрии подобия);

симметрия;

2 поворотная симметрия;

2 поворотно-винтовая симметрия (вид симметрии подобия) – свастики, окна готики;

3 винтовая симметрия с поворотностью (вид симметрии подобия);

симметрия;

3 винтовая симметрия;

3 винтовая, переходящая в коническую спиральность (вид симметрии подобия), 4 коническая спиральность, тяготеющая к винту (вид симметрии подобия);

4 коническая спиральная симметрия (двух типов – дивергентная и (двух конвергентная);

конвергентная);

4 коническая спиральность, переходящая в “импульс”.

*** Некоторые особо важные переходные варианты мы рассмотрим чуть подробнее.

Так, например, зеркальную симметрию предваряет переносная.

Речь идет о линии, но не в полном, а в частичном использовании ее свойств.

симметрия, Переносная симметрия которую не относят к фундаментальным, возникает в линейных последовательностях (перенос одного и того же элемента вдоль линии). С ее помощью появляются бордюры, их в основе семь:

Рис. 2. Основные виды линейных бордюров.

Стоит отметить, что переносная симметрия имеет продолжение в более сложном виде – в симметрии подобия. Иногда ее рассматривают как наиболее важный тип симметрии, но такое понимание не универсально: все типы могут рассматриваться как доминирующие.

Бордюры обладают массой комбинаторных возможностей, а благодаря сочетанию переносной и зеркальной симметрии возможности расширяются безгранично.

1.1.1. Зеркальная симметрия Данный тип симметрии – наиболее простой. Он называется зеркальным в силу очевидности: речь идет об отраженности левого и правого, верха и низа – здесь фигурирует некая ось или плоскость симметрии. В любом случае определяющей выступает прямая линия.

Такой симметрии в природе много. Человек встречается с зеркальной симметрией в мире флоры и фауны, замечает ее в самом себе. Соприкосновение с очевидной симметрией своего тела, возможно, и породило восприятие человеком двустороннего пространства, различение правого и левого. Наши естественные оси “вертикаль – горизонталь” неравнозначны . В природе преимущественно мы имеем дело с вертикальными осями и плоскостями симметрии, что обусловлено гравитацией. Единственная горизонтальная симметрия в природе – отражения в зеркале воды. Видимо, поэтому вертикальная симметрия воспринимается нами не так напряженно, как горизонтальная (не встречаются обои с горизонтальными осями симметрии). Зато горизонтальная симметричность дает необычные и завораживающие по силе воздействия эффекты (отчего и применяется в декадансе).

Дважды симметричным по осям горизонталь” “вертикаль – является, например, квадрат.

(поворотная симметрия) 1.1.2. Симметрия вращения (поворотная симметрия) Поворотную симметрию человек наблюдал в деревьях, растениях, узорах снежинок и т.д.

Поворотная симметрия, как и переносная, тесно связана с числом (задается n – порядок симметрии). С ее помощью образуются так называемые “розетки”. Розетки получаются поворотом фигуры вокруг вертикальной оси на угол 360°/ п (п = 2,3,4,5,6...), т. е. они обладают поворотной симметрией п-го порядка.

Изучая симметрию в природе, Геккель обнаружил множество водорослей на этой основе (см. Шубников А.В. Симметрия. – М.-Л.

Издательство АН СССР, 1940.):

Рис. 3. Диатомовые водоросли (по Геккелю).

Сочетание поворотно-симметричных конструкций с приемами переносной и зеркальной симметрии создает все разнообразие плоских паркетов, а также вариантов симметрии на шаре с применением симметрии подобия. Основных типов плоских решеток такого рода – пять квадратная, пятиугольная, шестиугольная, (треугольная, восьмиугольная) плюс комбинированные (3+4, 4+6, 4+8, 3+6, 3+4+6, 5+6 и т.д.). Они дают в итоге семнадцать возможных типов орнаментов. Вот некоторые основные примеры.

Рис. 4. Примеры решеток и схем образования плоских орнаментов на их основе.

В принципе, в истории искусств наиболее распространен смешанный, комбинаторный тип симметрии, его называют также языком симметрии.

орнаментальной симметрии Рис. 5. Примеры смешанной (орнаментальной) симметрии на плоскости.

Все проиллюстрированные приемы пока находятся в пределах двухмерности.

Выходя за пределы мира кристаллов к живому, мы всегда будем иметь дело с криволинейной симметрией. Она связана с жизнью и ростом, но иногда применяется и в человеческой культуре. Из многих видов криволинейной симметрии мы рассмотрим две, наиболее подобия, характерные.

Они к тому же обычно связаны и с симметрией подобия в которой уже известный нам по бордюрам перенос осуществляется не на прямой оси, а более сложным образом:

Рис. 6. Примеры симметрии подобия. Спиральная ось. Закон плотнейшей гексагональной упаковки плодов растений. Подсолнух.

Шишка. Система логарифмических спиралей. Клумба.

К случае, когда равными фигурами считаются все фигуры одной и той же формы, вне зависимости от их размеров, мы имеем преобразование подобия. Оно широко распространено в живой природе

– таковы листья на деревьях, спиральные раковины, семена подсолнуха, ромашки и т.д. С визуальной точки зрения, для нас важнее всего те оси, по которым происходит рост.

Представленное зримое поле показывает, что логарифмическая спираль является математическим выражением одной формообразующей линии в плотнейшей упаковке. Эта спираль присуща природным формам, в то время как биосоциальной сущности человека присуща спираль Гёте.

Вот визуальный пример типа 2 поворотно-винтовая симметрия:

(вид симметрии подобия), в котором есть и радиальные оси, и то качество, которое явно шире простого принципа поворотной симметрии.

Здесь организация подобных элементов (так называемый “рыбий пузырь”, тот же по основе, что и “капля” в символе тайцзи) приводит к указанию направления вращения (влево или вправо, по отношению к перпендикулярной к плоскости оси). Это мы обсуждали ранее на примере двух квадратных свастик, хотя выразить это можно любым числом элементов, больше единицы. Такая особенность принадлежит к свойствам объемных моделей (левый-правый винт, дивергентный и конвергентный конус).

Рис. 7. Готические окна-розетки разных стран с N = 2,3,4,5,6.

Прежде чем мы перейдем к спиралям, следует сказать, что существует еще так называемая конформная (круговая) симметрия. В ее основе – инверсия формы относительно окружности. Все рассмотренные преобразования симметрии сдвиги, зеркальные (параллельные отражения, повороты) представляют собой частные случаи конформной симметрии. Она присуща живому – от растений и раковин моллюсков до тела человека (золотой вурф). Но в целом данная тема ближе к законам пропорций, которые мы рассмотрим позже. В искусстве освоение конформной (круговой) симметрии еще впереди – это задел на будущее.

Рис. 8. Определение конформной симметрии.

1.1.3. Винтовая симметрия Постижение третьего измерения, дополняющего круговое винтовой основание, ведет к самой простой винтовой форме модели (круг + ось из центра круга). Форма винта уже криволинейна.

Винтовая симметрия есть способ освоения трехмерности, где к перемещению по кругу добавляется одновременное перемещение по оси. Оно может быть и равномерным, и не очень, оба перемещения действуют, как правило, синхронно, хотя в принципе могут быть и независимыми, но тогда их закономерность будет не так очевидна.

Поскольку эта симметрия основывается на круге в основании плюс вертикальная ось, сфера ее применения в искусстве невелика: витые колонны, винтовые лестницы и, как максимум, башни на основе все той же, винтовой, лестницы. Что интересно, непрерывность наблюдается только в колоннах, а лестницы – квантированная вертикаль. Спиральные горки для детей и спуски в воду – это максимум того, на что пригодился непрерывный винт в сфере досуга и развития. Ввиду редкости такая форма экзотична, к ней обращались в истории искусства в развитые послеклассические периоды: в позднем Риме, в готике, в барокко – и в модерне, где она использовалась завуалировано.

Рис. 9. Винтовые лестницы. Палаццо, Венеция. В. Гропиус, Ле Корбюзье, К. Мельников.

Зато в технике “червячные передачи” можно встретить в любом автомобиле, не говоря уже о станках. Любой винт, болт, резьбовое соединение, даже винтовые движители и подъемник Архимеда – одна и та же конструкция, и здесь действует непрерывность винта.

1.1.4. Спиральная симметрия Фактор времени (рост как изменение) в сочетании с вращением и спирали.

направленным движением организует форму спирали Многообразие плоских спиралей в природе очень велико, в том числе в ее эволюционных глубинах – они присутствуют в структуре ДНК.

Есть они и в структуре произведений искусства – все, имеющее отношение ко временной композиции, мы привязываем по структуре к спирали Гёте, в которой последовательность убывания радиусов подчинена закону золотого сечения:

Рис. 10. Спиральный закон в структуре ДНК. Спираль Гёте.

Если говорить о комбинаторике, можно отметить, что при переходе к объему мы вступаем в многообразный природный мир раковин, начиная с простейшей изогнутой сферы и переходя ко все более сложным (цилиндр + спираль, конические раковины, рог).

Рис. 11. Раковины, графика М. Эшера. Способ образования плоских раковин (изгибание сферы). Простейшая спиральная раковина (плоская спиральная ось + цилиндрическое сечение).

Прообраз объемной спирали – винт. Различие в том, что верхняя окружность формообразующего цилиндра у конической спирали равна нулю.

Спирально-коническая основа формы наиболее распространена в мире растений (по схеме она напоминает спиральную лестницу), но и винтовая конструкция в природе тоже распространена:

Рис. 12. Винт и коническая спираль в расположении листьев растений. Винтовая и спиральная лестницы.

А вот в искусстве разнообразие спиралей пока не велико. Здесь по частотности мы имеем нечто, обратное бордюрам и орнаментальной симметрии: спиральной симметрии в искусстве чистом виде мало, в основном она присутствует в узорах, изредка – в архитектуре.

Это наводит на мысль, что спираль присуща не пространству, а времени. Время – это проявление человеческое, ведь в текущем времени реально живет лишь человек. Как только возникает возможность проявления свободы человека, в искусстве расцветает спиральность.

У греков, с их евклидовой геометрией пространства, спираль использовалась преимущественно в плоском варианте, например в волютах. Объемная визуальная спираль есть только в знаменитом “Дискоболе” Мирона, но, поскольку он известен лишь по мраморным римским копиям, говорить о его достоверности трудно. Примеры из эллинизма – “Менада” Скопаса и “Лаокоон”. В эллинизме спиральность играет ту же роль, что и в барокко.

Рис. 13. “Дискобол” Мирона. “Менада” Скопаса. Волюта в ионическом ордере. “Лаокоон” Агесандра, Полидора и Афинодора.

Известных пространственных спиралей в истории архитектуры так мало, что можно привести их все для иллюстрации:

Рис. 14. Коническая спираль в архитектуре: купол Борромини трубы на кровле дома Мила, четыре спирали в фасаде (барокко);

собора “Саграда Фамилиа”, А. Гауди; БАУХАУЗ, учебный проект.

1.2. Редукция типов симметрии в фигурах и объемах Предпримем интересную редукцию: сведем представление о типах симметрии к простейшим геометрическим фигурам, плоским и объемным. Такая ассоциация достаточно вольна, но она имеет право на существование. Отметим, что здесь берется не абстрактная симметрия, а антропоцентрированная, связанная с геометрией и осями человека.

1. Зеркальная симметрия (по двум осям) – квадрат; квадрат + квадрат = куб.

2. Симметрия вращения – треугольник как простейшая поворотная фигура, имеющая ценность и как проявление зеркальной симметрии по вертикальной оси (пирамиды).

Переход от квадрата к треугольнику (квадрат + треугольник = трапеция).

Вообще в переходе от использования квадрата к (куба) треугольнику и его производным (шестиугольник, соты) в искусстве и архитектуре наблюдается много закономерного . Когда возникает усталость от равномерности метрического ритма квадрата и его производных, треугольник начинает восприниматься как свободная природная фигура. На этом переходе в ХХ веке возникает “ступенчатый стиль” небоскребов и американского стайлинга 30-х – 50-х, “стиль трапеций” в дизайне 60-х.

Прототипы этого стиля – зиккураты (трапеция + квадрат) и даже пагода “даяньяна” в Сиань:

–  –  –

Ступенчатые пирамиды (мастаба) исторически возникли первыми.

Это верно и для Египта, и для Азии, и для цивилизаций доколумбовой Америки.

Смысл трапеции в перспективе наклонный квадрат

– (прямоугольник). А в подобном объеме – обрезанный треугольник. Намек на треугольник и его интенцию тут сохранен.

В объеме сочетание дает простейшие пирамиды: треугольную (треугольник + треугольник) и более распространенную – с квадратным основанием (треугольник + квадрат), вместе лежат в основании геометрической конструкции пространства .

Рис. 16. Триангулярная решетка, тетраэдр и октаэдр – конструкция пространства.

Все правильные многогранники (тела Пифагора – Платона), кроме основанных на пентаграмме, производны от квадрата и треугольника.

Пятое (эфир) есть то, что их объединяет, служит их объемлющей средой . И в этом – глубокий смысл: пятерка сложнее четверки и тройки.

Четыре идеальных тела презентируют пространство (а время – тела вращения).

Рис. 17. Тела Платона- Пифагора как символы стихий.

Вообще же ценность треугольника в искусстве во многом состоит в его интенциональности: треугольник задает ось, особенно часто – ось вверх (почти все храмы), нередко вытянутый треугольник удерживает в картине диагональную ось – основу романтизма, а использование указания по горизонтали вниз – крайне редко (музей Нимейера, картины Малевича, модернизм).

Ничто так не выражает незыблемость, как идеальная пирамида с квадратным основанием.

Ничто так не выражает устремленность, как наклонная треугольная пирамида. Мы находим ее и в древнегреческих “Тираноубийцах”, и в “Плоте Медузы” Т. Жерико, и в знаменитой скульптуре В. Мухиной “Рабочий и колхозница”. Мы рассмотрим эти примеры подробнее при обсуждении категории силы и особенностей формообразования романтического стиля .

Переход от треугольника к кругу. Если много раз поворачивать плоский треугольник вокруг центра, будут возникать все более сложные звезды, приближающиеся к кругу – lim.

Рис. 18. Превращение треугольника в круг.

Распространим сказанное универсально – на хронотоп.

Пифагор и Платон считали атомы четырех стихий: земли, воды, огня и воздуха – геометрически симметричными, в виде правильных многогранников, а планетные орбиты – в виде совершенных окружностей (на деле они оказались эллипсами, коническими сечениями).

Круг обладает поворотной симметрией с группой преобразований бесконечного порядка. Квадрат и треугольник – конечного. В этом смысле круг обладает пределом идеальности, после которого возможно идти лишь по пути сложных органических линий, увеличения хаоса. В принципе, круг есть lim вращения в плоскости любой правильной фигуры, а при вращении по двум осям он превратится в шар (круг + круг = шар).

Ближе всего из правильных многогранников к шару – додекаэдр:

он лежит в основе геометрии Земли . Интересно, что он являлся в древности геометрическим выражением понятия “вселенная”.

Шар – крайне редко встречающийся в искусстве и архитектуре объект. Если не считать проектов Леду, как и проекта шарообразного музея Ленина Леонидова, шаровые постройки в качестве уникальных выставочных комплексов реально появились только в 60-х гг. ХХ века.

Рис. 19. К. Леду. Домик смотрителя. Кенотаф Ньютона. И.

Леонидов, институт Ленина. Павильон США на ЭКСПО-67.

Другое дело – полусфера и ее производные. Сферические купола были в ходу начиная с римского Пантеона, храма Св. Софии в Константинополе, а русские “луковицы” или “шелома” – более сложное развитие такого купола. Арабы в мечетях также применяли почти чистую полусферу.

Конусное завершение круглых храмов появляется раньше, чем шаровое. Сочетание круга и треугольника рождает конус, он иногда применяется в архитектуре как схема: почти конический Храм неба в Пекине и традиционные конические соломенные шляпы китайцев – одного происхождения. Храмы Индии и буддийского мира – сложнее.

(См. Искусство Китая. Альбом / Автор-составитель Н.А. Виноградова. – М.: Изобразительное искусство, 1988.; Тюляев С.И. Искусство Индии. III тыс. до н.э. – VII в. н.э. – М.: Искусство, 1988.) У них в основе лежит не столько геометрия пространства, сколько понятие о времени. Очень важно, что основа архитектуры буддизма связана с идеей вращения: на плоскости она становится “колесом сансары”, в объеме – это тела вращения, а вращающиеся молельные барабаны и т.п. – ее производные.

3. Винтовая симметрия – круг; круг + квадрат = цилиндр. Только на цилиндре можно нарисовать чистый винт (цилиндрическая спираль).

Данный тип симметрии в самом упрощенном виде представляет цилиндр (цилиндр – это основа, на которой винт может появиться).

Если соединить модель “колеса времени” (античность) и “стрелы времени” у Орема (средневековье), получим винтовую спираль.

Основная модель времени в науке и в менталитете Нового времени – винтовая.

Вот ее вид, с четырьмя временными точками:

Рис. 20. Один виток винта – цикл цилиндрической спирали.

4. Спиральная симметрия – плоская спираль; конус (круг + треугольник). Вот их плоская связь:

Рис. 21. Спираль на основе системы треугольников, чаще всего встречающаяся в природе.

Итогом синтеза (круг + треугольник + спираль) в объеме является коническая спираль.

Рис. 22. Примеры конических спиралей.

Между винтовой и спиральной симметрией гораздо больше сходного, чем различного. В нашем исследовании форм выражения времени мы показали, что их связанность носит закономерный характер, а цилиндрическая спираль есть более простой общий вид для образования многообразия конических спиралей.

Рис. 23. Основные объемные циклические модели.

Вместе они лежат в основании геометрии времени.

Что же касается геометрии в пространстве, то заменителем (упрощением) цилиндрического винта служит цилиндр, а заменой спирали на конусе – сам конус как геометрическое тело. Цилиндрические храмы появляются в античности и в Новом времени после прямоугольных, а сферическое завершение на них – после конического как более простого технологически.

Рис. 24. Круглый храм на бычьем рынке в Риме, 120 г. до н.э.;

Булле. Опера, проект. XVIII в.

В качестве дополнений к сказанному о цилиндре приведем две характерных иллюстрации.

Рис. 25. Булле. Реконструкция Королевской библиотеки. Конец XVIII века. Полуцилиндрический свод. К. Мельников. Рабочий клуб в Москве – внедрение цилиндров.

Перечисленный набор объемов и является наиболее употребимым в истории архитектуры.

Совокупность объемных тел, чаще всего применяемых в архитектуре, – комбинированная: она содержит и часть абстрактных идеальных тел, и часть простейших тел вращения:

Рис. 26. Основные объемные тела, применяемые в архитектуре.

1.3. Циклическая привязка типов симметрии Эта мысль не так сложна, как кажется поначалу, а основная проблема ее раскрытия состоит в решении, по отношению к какому циклу в истории можно и нужно расположить известную последовательность типов симметрии: зеркальная симметрия – симметрия вращения – винтовая симметрия – спиральная симметрия.

Мы считаем, что первые две относятся к пространству, а вторые две – ко времени. И в этом тоже есть своеобразное проявление пары Свобода Общества – Свобода Личности: общество осуществляет экспансию в пространстве, а человек живет во времени. Отметим также, что два первых типа не выходят за рамки плоскости, а два вторых – объемные.

Пятый тип симметрия) в списке фундаментальных (линейная отсутствует, но мы найдем его в истории – он имеет отношение к первобытности. И если следовать логике нарастания мерностей, то обнаружится закономерность: от одномерной переносной симметрии происходит переход к двум двухмерным, а затем – к двум трехмерным.

Главное: перед нами – не просто пять типов, а пятифазовая конструкция, привязанная к истории. Вполне очевидно, что есть ментальное преобладание типов симметрии по формациям.

На планете мы обнаружили четыре главных типа менталитета .

В них осваивались возможности одномерной переносной симметрии и двухмерной симметрии подобия, а также применялись остальные виды симметрии. Но у каждого из них есть и свой, доминирующий, тип симметрии. Этот параллельный процесс пока никем не изучен.

Второе наше наблюдение состоит в том, что на основной тип симметрии накладывается опять та же (формационный) последовательность из пяти типов симметрии, – и так может быть несколько раз. Данная закономерность вторична, однако она модифицирует основной формационный закон. При трех уровнях возникает та же конструкция, что и “формации – категории – стили”, – по инварианту одно и то же, по проявлениям – разной длительности и влияния. Мы можем соотнести их и присвоить каждой последовательности свое наименование.

Сложение типов симметрии многих уровней – увлекательная по очевидности исследовательская работа. Вся она укладывается в одну матрицу или может быть представлена как логическое дерево, аналогично дереву “категории – стили – модусы”.

зеркальной Метрический узор, полученный с помощью 1.

симметрии трии, симметрии имеет слишком простой и очевидный закон построения, для нас эстетическая ценность такого узора невелика, а в древности он, несомненно, производил сильное впечатление самим фактом организации.

Зеркальная, двусторонняя, симметрия – явление, характерное для периодов спокойствия и равновесия: это – кубические формы, подчеркивание плоскостей и осевых геометрических форм, отражающих независимость, абстрактную свободу общества от времени и пространства.

Зеркальная симметрия была особенно любима шумерами. Но и в искусстве ХХ века начиная с супрематизма и конструктивизма понимали ее значение и силу и умело использовали. Ступенчатые пирамиды древности и мавзолей Ленина в визуальном отношении едины.

Линейной переносной симметрии в природе очень мало (здесь преобладает симметрия подобия), а в искусстве – напротив, очень много: мы видим ее в оградах парков, в решетках мостов, в лестничных маршах, в бордюрах, которые издревле были предпочтительным декоративным элементом. Это лишь доказывает, что такая метрическая линейность рациональна и принадлежит скорее обществу, чем человеку.

В искусстве в чистом виде она встречается редко, но именно в начале ХХ века делались попытки осмыслить ее и конструктивно, и художественно:

Рис. 27. Узоры для ткани А. Родченко и В. Степановой.

Кстати, симметрия на плоскости и симметрия на шаре, как и евклидова и неевклидова геометрия, дают разные закономерности построения узоров.

Это было осознано и в науке ХХ века, и в искусстве, причем в основном в самом начале – в первое тридцатилетие:

Рис. 28. Варианты симметрии на шаре, схемы. Скульптуры и спиральный шар М. Эшера.

Вращение связано с возможностью поворота в нужном 2.

направлении. При этом пространство начинает восприниматься человеком как переменное. Непрерывность пространства не нарушается, но оно явно индивидуализируется за счет выбора пространственного направления и черт релятивности (Свобода личности).

Фигуры вращения вторичны по отношению к зеркальносимметричным. Цилиндрические храмы появляются и в первобытном мире, и в античности – после прямоугольных, центрические композиции Ренессанса – после прямоугольно-треугольных композиций средневековья.

Такой тип симметрии активно эксплуатировался и в 20-е гг. ХХ в.:

Рис. 29. В. Гропиус, проект Дворца Советов. К. Мельников, рабочий клуб им. Русакова.

3. Винтовые схемы соотносятся с периодами иррациональности, повышенной эмоциональности и экзальтированности. В архитектуре винт в чистом виде встречается только в формах витых колонн и винтовых лестниц. Вот примеры витых колонн:

Рис. 30. Витые колонны: Рим, спиральный барельеф колонны императора Траяна; палаццо ди Сан-Марцано в Турине; Бернини, киворий в соборе Св. Петра; А. Гауди, угловая опора.

Пространственным упрощением винта является цилиндр – архитектурная основа колонны, ордеров, барабанов и т.д. Винт вырастает из цилиндра в конце цикла, где становится декором.

Вообще намечается интересный переход: зеркальная симметрия породила квадрат и треугольник. На их основе созданы и пирамиды, и греческие храмы. Цилиндр здесь имеет вспомогательную функциональную роль – колонна родилась из спиленного дерева еще в Египте. Цирк, античный театр – гениально простое решение на основе конуса. Круглый храм появляется лишь в Риме, хотя и у греков было нечто подобное (водяные часы, клепсидры). Но в основном античность круглых форм не применяла, и они как экзотика возникают уже в позднем Риме: Колизей (по схеме – тот же конус греческого театра), Пантеон и т.п. А вот Восток – напротив: индийская ветка базируется на круге и на его производных (полусферы ступ, тела вращения) больше, чем на прямых.

В начале средневекового цикла уже есть цилиндр (рацио), в конце появится винт (иррацио). В средневековье происходит первичная редукция: применяются все три основные фигуры (квадрат, треугольник, круг), а также все три основных объемных тела (куб, цилиндр, конус, а позже – своды). Они и лежат в основании романского стиля. Центрические композиции как формообразующие, действительно, появляются только в архитектуре Ренессанса. И что характерно, возрожденческие купола отнюдь не цилиндрические – они скорее параболические.

А парабола есть переход от цилиндра и шара к спирали, что вскоре и обнаружилось в искусстве барокко, особенно – рококо.

4. Спиральные формы создаются в двух сторонах цикла: либо в его начале, где они несут идею роста и развития во времени – здесь они откровенно лаконичны, энергичны и огромны по масштабу; либо при исчерпании формального многообразия – в конце циклов, где они приобретают признаки сложных и преувеличенных напряжений, но все это – в микромасштабе человека и его дома.

Спиральная динамика форм присуща раннему христианству, и раннему исламу, и авангарду:

Рис. 31. Примеры применения чистой спиральной симметрии в архитектуре: радиобашня Шухова; башня III Интернационала В. Татлина;

Информцентр на выставке 1930, по проекту Л. Лисицкого; проект памятника Колумбу К. Мельникова; учебная работа, БАУХАУЗ.

Стоит заметить, что, как и в случае с винтовой симметрией, к данному типу склоняются не только непрерывные, но и квантированные, ступенчатые конические, конструкции, например редкие разновидности конической лестницы и т.п.

Рис. 32. Примеры применения квантированной спиральной симметрии в архитектуре: варианты проекта мавзолея 26-ти бакинским комиссарам В. Щуко и Г. Якулова; проект гаража в Париже К.

Мельникова; учебная работа по композиции МАРХИ.

Спиральные формы легли в основу стиля “рокайль” (рококо), что переводится как “раковина”. Но природная раковина, как известно, построена на основе деформации сферы, причем поздние варианты раковин по своей форме представляют собой изогнутую сферу. Они характеризуются тремя плоскостями симметрии: одна – проходит между створками, другая – пересекает раковину вдоль, третья – поперек.

Обычно первая и третья плоскости бывают изогнутыми, вторая – плоская, а у наиболее эволюционно молодых все три плоскости изогнуты. В этом сверхсложном стилеобразовании можно было делать разве что декор и ту часть архитектуры, которая не является несущей.

Рококо и стало таким, насквозь декоративным, стилем избалованной эпохи, в которую аристократия вложила всю свою галантную фантазию.

Рис. 33. Образцы стиля “рококо”.

Поразительной исторической особенностью данного стиля является то, что он приходится на “мертвое время системы” – между историческими циклами, между двумя Людовиками (стиль Регентства:

1715–1723). Продолжение его в “стиле Людовика XV” и немецких вариантах рококо имело уже другие особенности, более нагруженные общественным.

Настоящее французское рококо – это стиль аристократии, которая стала сама себе хозяином и проявила все, на что способен бесконтрольный богатый индивидуализм. Нравы такого сообщества мы знаем по французской литературе, а вот стилистика рококо, с точки зрения симметрии, не описана. Между тем она закономерна: всякий цикл должен кончаться спиральными формами. Раковины прежде всего спиральные формы. Такие формы, используемые в основном в качестве декора, применялись в барокко. Рококо стремится превратить их в единственный источник формообразования. Абсолютность данной тенденции выражается в том, что спиральный изгиб форм рококо происходит во всех трех измерениях свободой обладают

– исключительно природные формы. Многие особенности рококо повторятся в модерне, и мы сейчас их рассмотрим подробнее. Прежде всего – овальность (знаменитые овальные будуары и окна рококо), постоянно переходящая в трехмерные спиральные конструкции, и избыточная перегруженность визуального поля деталями при общей легкости.

Стиль модерн – это рококо XIX века для буржуа и интеллигенции со средствами.

Если брать за основу стиля модерн коническую спираль (а других чистых спиралей в пространстве не бывает), то она “в фас и в профиль” состоит из треугольника и такого наклонного конического сечения, как овал. Весь арсенал стиля – спираль (проекция конической спирали на плоскость), треугольник и овал. Но не в чистом виде, а в комбинированном: в нем фигурируют срезанные и наклонные овалы, треугольные спирали и т.п.

Если соединить эти три основы в самых немыслимых комбинациях, получится основа пластического языка интернационального модерна :

Рис. 34. Интерьер В. Орта. Характерные овальные черты стиля модерн. Вокзал в Хельсинки.

Наличие овальности – наиболее простое из того, что можно увидеть в модерне, сложнее рассмотреть, как в нем сочетательно используются треугольник и спираль (треугольные спирали).

Рис. 35. К. Сомов, заставка для журнала; обложка журнала, Англия;

П. Беренс, типографский знак; Ф. Шехтель, ткань и решетки.

ГЛАВА 2. Эволюция типов симметрии в истории Кроме того, схему можно дополнить и основными типами симметрии, которые доминировали в разные моменты истории.

Но к этому выводу нужно подойти постепенно, потому что он влечет за собой массу прогностических вариантов.

При обращении к данной теме мы обнаружили ряд интересных законов, упоминания о них в литературе нам не встретились.

Первый закон: типы симметрии попарно распределены по отношению к хронотопу:

Рис. 36. Хронотоп и четыре типа симметрии.

Характерно, что в пространстве зеркальная симметрия (квадрат, прямоугольник, матрица) выступает принадлежностью в основном культуры Запада, а поворотная – Востока. То же касается и моделей времени: винт – ментальная модель истории Нового времени, а спираль

– излюбленный мотив учений Востока. Это нетрудно подтвердить множеством иллюстративных примеров, хотя отмеченная закономерность в целом не носит абсолютного характера.

Второй закон является вариацией первого, применительно к циклу.

В цикле в качестве доминанты сначала идет пространство, а затем – время (по причине действия пары «Свобода Общества – Свобода Личности»). А это ведет за собой соответствующее ментальное “лидирование” типов симметрии.

Закон ментального доминирования типов симметрии в истории означает, что в ментальной формации доминирует один тип симметрии, связанный с картиной мира. Мы детально рассмотрели, как в менталитете ведет себя хронотоп , данный закон дополняет наши выкладки.

Его можно дать как в двух строках, так и развернуто:

Первобытность - Египет - Греция - Рим - средневековье - (Возр., барр., класс.) - Нов. время - ХХ век, наше время

ЗЕРКАЛЬНАЯ – ПОВОРОТНАЯ – ВИНТОВАЯ – СПИРАЛЬНАЯ

Рис. 37. Доминирование типов симметрии в истории.

Это – во-первых. Во-вторых, всякий новый этап не выбрасывает достижений предшествующего, а переводит их в план потенциальности.

Применяемые типы симметрии накапливаются по мере движения истории в формационных циклах.

Рис. 38. Ступенчатое накопление типов симметрии в истории.

Не только у египтян открыто доминирует зеркальная симметрия, но и шумеры проявляют к ней неподдельный интерес – у них абсолютно симметричные в фас статуи со сложенными на груди руками.

Греки делают чудеса с этим типом симметрии, дополняя его приемами поворотно-орнаментальной симметрии. Изумительно ясные чертежноциркульные постройки Возрождения основаны всего на двух типах симметрии (зеркальной и поворотной), a рядом, в барокко, осваивается уже следующий – винтовой – тип симметрии, надстраивающийся над этими двумя. Кстати, из произведений стиля барокко обычно приводят всего одну объемную коническую спираль – спиральный купол (часть здания), зато в начале ментального ХХ века спиральные проекты зданий в архитектуре следуют один за другим. Можно написать целую книгу о последовательном наложении типов симметрии в истории – настолько это очевидно и ярко.

При том, что в ментальной формации доминирует один тип внутри формации симметрии, связанный с картиной мира, обнаруживается все тот же ряд: зеркальный, поворотный, винтовой, спиральный типы симметрии. Но они только налагаются на ведущий тип симметрии, связанный с картиной мира, и тем модифицируют его. Мы вполне можем встретить разнообразные спирали при доминировании в целом зеркальной симметрии – они есть в эллинизме и в Риме. Мы говорим об иерархии уровней симметрии, принадлежащих циклам разного уровня. Это добавляет еще и альтитудную трактовку к ряду типов симметрии, связанному с циклом, и открывает нам очередную глобальную закономерность. Что характерно, здесь мы лишь связали ряд типов симметрии с тем конструктом, который уже был описан нами ранее как формула истории . Он и здесь открывает сразу целое направление для исследований.

В работе А. Тинг в истории выделено циклов 11 (длительностью от 500 до 1000 лет) на основании привязки к циклу типов симметрии. Если пять наших формаций модифицировать тройкой категорий, мы получим 15 эстетических циклов . Какие-то из первых могут быть проигнорированы так же, как и последние, еще только развивающиеся. Во всяком случае, западноевропейская ветка истории включает около десяти значимых циклов, что, по-видимому, и рассматривает А. Тинг.

2.1. Геометрические фигуры и тела и их связанность с типами менталитета Это – еще одна крайне интересная тема. Для начала она требует гипотезы, и наш метод инвариантов просто-таки требует связать четыре ментальных типа с четырьмя типами симметрии. Здесь пространство для дополнительных значимых связок огромно: оно включает все четверки из множества наук и культур .

Фигуры и типы менталитета связываются, в общем, неплохо, но только комбинаторно.

Квадрат во многих смыслах – знак земного, прагма (действие).

Дарителям в средние века в Византии тоже рисовали нимбы, но квадратные, а святым круглые. Квадрату более свойственна

– горизонтальная плоскость: он – земной.

Треугольник – идеальное отражение иерархии. Он обычно стоит на вертикальной плоскости, ибо устремлен острием к небу. Обратное начали делать лишь в ХХ веке.

Соединим их вместе и получим египетскую пирамиду, начало Европы.

Рис. 39. Пирамиды в Гизе, снятые с разных точек.

Очень похожи на нее и все прочие ранние пирамиды и пирамидальные храмы мира.

Рис. 40. Пирамиды американских индейцев.

Европейская линия соединения основных простых фигур (квадрат, прямоугольник, треугольник, круг) и объемов (куб, цилиндр, конус) видна и в раннем, и в позднем средневековье:

Рис. 41. Собор и замки романского стиля.

Рис. 42. Готические соборы.

–  –  –

Рис. 43. Кааба – священный центр ислама в Мекке. Узор на фронтисписе Корана Аргун-шаха (XIV век).

Соединим в вертикали два взаимообратных треугольника и получим “звезду евреев”. Очень важно, что она заключает в себе два начала: иерархическое и круговое.

Рис. 44. Шестиугольные звезды.

Эта звезда есть и в Древней Индии, а вот круг в основании – символ, характерный только для Востока. Это – Колесо сансары, знак Дао, янтры и мандалы.

Рис. 45. Восточные знаки на основе круга.

Но вернемся к нашим фигурам. Соединяя горизонтальный круг с вертикальным треугольником, мы увидим прообраз китайского Храма Неба. Коническая соломенная шляпа – отсюда же, та же модель. Но китайские пагоды в основании обычно квадратные – в пределах Индокитая китайцы всегда были наиболее прагматичным торговым народом.

Рис. 46. Символы тайдзи. Храм неба в Пекине. Традиционная форма китайской пагоды.

Что касается Индии и буддийской архитектуры, то здесь главные храмы посвящены скорее времени, чем пространству. Вверх их все равно ведет треугольник (парабола), но иногда это – очень сложные тела вращения. У них в основании – мандальные конструкции.

Рис. 47. Мандала и архитектура буддизма.

И, наконец, классические русские храмы – пятикупольные . В их основе лежит все та же пирамида острием вверх, но четыре купола по краям – круглые, как и центральный барабан. Запад и Восток воссоединены в этом евразийстве геометрически. Что интересно, в своей верхней части русская духовная архитектура ближе всего именно к индийскому варианту.

Рис. 48. Единство исходной пирамидальной схемы. Успенский соборв Кремле, Москва.

А вот исламские символы в конструкции духовной архитектуры демонстрируют нечто обратное: здесь невидимая визуальная пирамида повернута острием к Земле (а это – символика прагматическая). Ее задают минареты, более высокие, чем храм. Например, так выглядит после достройки бывший православный храм Святой Софии в Константинополе (Стамбуле). Обратные в исламе и интерьерные “вогнутые внутрь” элементы декора сводов и т.п.

Рис. Перевернутая пирамида визуальный конструкт, 49. – примененный в исламской архитектуре.

2.2. Проблема исторического синтеза Стоит заметить, что аналогичные понятия в западной, “евклидовой”, и восточной, “радиальной”, системах по происхождению гораздо древнее Евклида. Но начала в этой древности – те же, что подтверждает нашу гипотезу об основных типах менталитета на Земле.

Так, в основании топической европейской (средиземноморской) ветки еще со времен Египта противоречие представлялось в прямоугольной форме, а на Востоке (Индокитай) – в круговой:

Рис. 50. Противоречие в Древнем Египте и в Индокитае.

Можно предложить способ перевода из прямоугольника в круг, который сам по себе приводит к идее спирали.

Эта идея гораздо глубже, чем может показаться на первый взгляд:

Рис. 51. Перевод пары из прямоугольной формы в круговую.

Если посмотреть на тему трансформации с более общих позиций, то обнаружится переход типов: из зеркальной (прямоугольник) – в поворотную симметрию (круг). Внутри этого перехода есть не только пара статических оснований (А и В), но и порождаемое ими третье, оно – динамичное. Диагональ прямоугольника стала спиралью круга и привела к самому сложному типу симметрии – спиральному (хоть пока и на плоскости).

Что это нам дает? Это выводит на общую коническую модель для Запада и Востока Единой, и в этом смысле исходной и итоговой моделью в менталитете является коническая спираль. Сопоставим на данной основе две онтологии: западную и восточную.

Восточные "картины" не выходят в объем, они принципиально плоскостны, мы не встретим здесь привычной нам рационализированной иллюзии трехмерности (линейной перспективы) в живописи (хотя и у этого искусства есть свои собственные эффектные способы моделирования пространства). Но вот что интересно, принципиально плоскостными являются не только произведения живописи, но и ментальные модели мира в восточной культуре (они представлены обычно на плоскости, как бы на “блюде”). Подобный тип видения присущ всему “восточному менталитету”, куда можно отнести и Ближний, и Средний, и Дальний Восток.

Европейская система видения преодолела плоскость и вышла к объемности уже в Древней Греции (аксонометрическое видение). В то же время и европейцам всегда была присуща своя плоскостность: это – фронтальность, породившая первую проекционную перспективу. Такая тенденция видения была намечена еще в Древнем Египте, но ничто не изменилось и в Новом времени: перед нами – все та же “фасадность” дворцов и улиц, как и почти всегдашняя фронтальность парадных портретов. Фронтальность есть точка зрения на мир с высоты человека (или ранее – зооморфно-антропоморфного божества), то есть это прежде всего горизонтальная фронтальность В данном случае взгляд фронтальность.

вертикальную сориентирован на вертикальную (онтологическую) иерархию мира из горизонтального (текущего, временного) измерения бытия. Эта точка зрения позволяет увидеть иерархические уровни, или ступени, как в библейской “лестнице Иакова”. Если использовать термины Августина, то можно назвать это взглядом из “града земного” на “град небесный”.

Восточная “точка зрения на мир” предполагает взгляд сверху, из вертикального измерения, на наше, горизонтальное. Это противоположизмерения, ный взгляд: из онтологического – в деятельностное измерение бытия, из “града небесного” – на “град земной”. А потому она часто завершается в символе. Но как представить иерархию в плоском символе?

Такие модели (вложенность + иерархия) имеют много вариантов выражения. Мы для простоты рассмотрим круговые объемные. На плоскости это будут вложенные окружности, а в объеме – вложенные цилиндры, которые затем “телескопически” раздвигаются по прямой оси.

Серия восходящих вверх (по треугольнику) вложенных цилиндров – это, кстати, основная схема русских колоколен, например колокольни Ивана Великого в московском Кремле.

Если теперь уровни проинтегрировать, перейти от дискретной ярусной (ступенчатой) формы к непрерывной, получится конус и коническая спираль на нем. Ступенчатый “телескоп“ в итоге (в движении) превращается в непрерывную коническую спираль.

Рис. Вложенность и иерархия в дискретности и в 52.

непрерывности.

Эта модель позволяет иначе увидеть то, что поначалу представляется простым: вложенные круги (или геометрические фигуры, вписанные в круг) репрезентируют итоговую непрерывность конической спирали с двойным упрощением, не как непрерывную, а как квантированную на уровни, и не в объеме, а как спроецированную на плоскость. Причем характерная для Востока самозавершенность круга приводит китайцев к модели из вложенных сфер – это до сих пор одна из любимых игрушек, входящих и в арсенал фокусников. От нее, через Японию, ведет свое происхождение русская матрешка, придуманная художником только в преддверии ХХ века.

Но то же самое можно изобразить и другими фигурами, и тогда мы увидим “крадратный телескоп” китайской пагоды:

Рис. 53. Вложенные плоские конструкции как отображение исходной объемной спирали.

–  –  –

иерархии в объеме. Здесь непрерывность и дискретность предельно отчетливы. Вот характерные примеры применения данного приема:

Рис. 54. Вложенность (иерархичность) миров. Реконструкция плана столицы Атлантиды, по Платону (1). Примеры представления небесных сфер из книг европейского средневековья (2 и 3). Индейский узор (4).

Объясняться языком радиально-лучевых построений искусство научилось давно – вот только читать его на Западе некому. Его дополняет нумеро-логика, и вместе они образуют такой же синтез, как европейская матрица и аристотелевская логика.

По сути, Восток использует полярную систему координат, хотя уровни в ней изображаются не обязательно кругами (такова же и тибетская космограмма, которую мы приводим ниже):

Рис. 55. Янтра. Мандала. Восточные круговые знаки. Колесо учения.

Возникшая система не могла игнорировать завершенной спирали и существования двух типов спирали, что привело к знакам правого и левого вращения, смысл которых виден из схемы:

Рис. 56. Эволюционная и инволюционная спирали и их значение.

Вообразим, что мы смотрим на конус прямо сверху, – в этом случае витки конической спирали предстанут как “разорванные окружности”.

Каждый такой виток имеет свое, отличающееся, качество. Для простоты, чтобы его акцентировать, “разорванные окружности” (витки спирали на плоскости) можно представить как нормальные окружности. Это правомерно, если мы хотим определить связь и преемственность сменяющих друг друга качеств (своеобразную “узловую линию мер”). Но само такое уровневое разделение показывает мир через квантовые уровни.

Рис. Различие способов визуального представления 57.

инвариантов устройства мира на Востоке и на Западе при наличии единой первоосновы (коническая спираль).

2.2.1. Центрическое и иерархическое В нашей первой книге серии мы отметили, что все китайское учение о символах и числах никогда не выходит за пределы плоскости, но зато на этой плоскости расположена проекция мира из космоса. В восточном менталитете, например в той же китайской нумерологии, весь мир как бы "спроецирован на плоское блюдо", поэтому здесь исходной является проблема центра. И если европейцы всегда начинают с монады (как единицы), то китайские диалектики помещают в центр знак Дао, где черное и белое взаимопроникают и взаимодействуют, то есть они начинают с пары точнее, в развернутом виде, – с креста-пятерки, пары, как и показано на рисунке.

Но такова же, по принципу, и тибетская космография, где применяются и круг, и прямоугольные вложенные ярусы.

Вот ее вид:

Рис. 58. Тибетская космограмма со множеством символически обозначенных уровней и внутренним разнообразием внутри них.

Европейские группировки (например, каббала, с ее иерархической пирамидой чисел, или тот же тетрактис Пифагора) показывают уровневый иерархический срез подобной модели. Таким образом, одну и ту же объемную коническую спираль социальной эволюции Запад и Восток рассматривают с двух точек зрения: плоский тетрактис Пифагогра мы можем отнести к единому нумерологическому полю, презентирующему "мир сверху" – вот почему в Древней Греции возобладало не пифагорейство (ибо оно задает вертикальную онтологию мира!), а формальная логика Аристотеля горизонтальная, или (она деятельностная).

Это очень поучительно, если исходить из нашего глобального ментального подхода: точка зрения "иерархия мира с позиций глаз человека" началась с древнеегипетских пирамид, и "логическое дерево" есть то же самое, отображенное затем в соборах и церквях в виде иерархии.

ментального инварианта иерархии.

Египетские композиции (например, ранняя палетка Нармера) были расчленены на плоскости снизу вверх, они читаются, как мы сегодня иерархически, вниз.

читаем текст, – по ярусам, иерархически, сверху вниз Переход от ступенчатых пирамид, которые являются дифференцированным поуровневым воспроизведением треугольника к интегрированной непрерывности чистого треугольника был колоссальным шагом в развитии видения. Отсюда, кстати, возник термин “масштаб” (мастаба – доска, которой укрепляли склон в ступенчатых пирамидах):

Рис. 59. Палетка фараона Нармера. Ступенчатая пирамида Джосера. Схема иерархии К. Мельникова.

То же повторилось и в архаике ранневизантийского искусства.

Развитый византийский канон (взятый за основу средневековой Европой) имел прежде всего мировоззренческое значение: церковь была модели.

представлена как вся вселенная в модели Роспись церкви понималась как воссоздание гармонии сотворенного мира. Это была художественная модель христианского мировоззрения с целой совокупностью типологий.

Хронотоп Византии мы анализируем отдельно , а выражение иерархии мира по вертикали требует отдельного акцентирования.

Воссоздание иерархии в восприятии достигалось за счет трех иерархических зон (для сцен разной предназначенности): чем священнее изображение, тем оно выше помещалось. Принципиально этот христианский канон Византии не изменился до сих пор: он един и для католиков, и для православных. Различие между ними – это различие внешнего и внутреннего: суровые снаружи православные храмы наполнены великолепием внутри, католические, особенно – готические, соборы – это многоярусная модель миров снаружи, каменная книга для неграмотных. К тому же в традиции православия осталась принципиальная плоскосность (здесь нет скульптур, а иконопись бестелесна), а католическая ветка церковного искусства тяготеет не только к объему, но и к имитации, почти до натурального, цветного объема.

Симптоматично, что древнеегипетские приемы повторились в ХХ веке:

Рис. 60. Арх. А. Щусев. Мавзолей Ленина на Красной площади в Москве. Арх. Г. Бархин. Главный павильон ВХНХ, 1935 г. Проект.

Рис. 61. Арх. А. Буров. Проект монумента “Сталинградская эпопея”, 1944.

2.3. Возможности синтеза Мы наблюдаем в истории искусств тот факт, что основные значимые постройки западноевропейской культуры имеют в основе зеркальную и поворотную симметрию. Но, оказывается, это свойственно вообще основному способу классификации, применяемому Западом.

Всякий таксон-квант предстает здесь как количественно и качественно определенный (мера как единство количества и качества), и для этого применяется плоская ортогональная матрица. В ней горизонталь имеет значение количества, а вертикаль – качества. Таким образом, западная модель преподносит разнообразие по уровням (вертикальное разнообразие) как фронтальную иерархию (дерево, восходящие уровни качества), а количественное разнообразие – внутри уровня (горизонтальное разнообразие, ступени накопления количества).

ортогональной матрицы, Оперируя понятием плоской мы применяем синонимичное название “морфологический ящик” или для краткости именуем его “матрицей”.

Рис. 62. Образование матрицы, или “морфологического ящика”.

Например, в Периодической системе химических элементов Д.И.

Менделеева вертикальная и горизонтальная оси – это качественные “периоды” и количественно нарастающие “группы”.

В восточной модели для той же цели используются круговая проекция и радиальная система координат. Это – радиусы, заменяющие уровни (их столько, сколько уровней качества), а место горизонтальных слоев здесь занимают вложенные (количественных) “кольца”, пересекающиеся с радиусами-уровнями, в результате чего и образуются модусы-точки. Радиальная система превращается в спиральную – представленная в радиальной системе координат коническая спираль является заготовкой для построения спиральной Периодической системы химических элементов попытку построения (такую предпринимал Д.И.

Менделеев):

Рис. 64. Радиальная система координат. Спиральная основа, генетически объединяющая таксоны в радиальной системе координат.

Культуре буддизма присуща “страсть к вращению”. Это – ступы, центрические храмы, вращающиеся барабаны с символами, кручение в руках трещоток и т.п. Основание – то же, что и в самой принципиальной конструкции мандалы, – круг. Поэтому центрические мандалы являются основой для построения всякого здания, в том числе жилого.

Использование наряду с матрицей и мандалой исходной (итоговой) объемно-конической модели дает возможность провести интереснейшие аналогии и осуществить прямой и обратный перевод из одной системы координат – в другую.

Рис. 65. Итоговая схема, воссоединяющая матрицу и мандалу.

На этой схеме представлены в связанности:

1. С одной стороны, коническая спираль, иерархия (уровни – витки конической спирали) = восходящее качество, ступенчатая функция = восходящее количество, морфологический ящик (ортогональная матрица);

2. С другой стороны, коническая спираль и ее плоская проекция (концентрически-лучевая – на плоскости), группировка тех же таксонов.

Например, так будет выглядеть плоская спирально-периодическая система химических элементов:

Рис. 66. Плоская спирально-периодическая система химических элементов.

Построение и итоговая картина спиральной симметричной системы (по Г.Г. Длясину*) Данная группировка устраняет многие традиционные проблемы табличной менделеевской Периодической системы. Но не все. Полная модель должна быть объемно-спиральной, тогда не только обнаружатся специфические уровневые связи, но и свяжутся матрица и мандала.

С позиции качества, вложенные окружности восточного менталитета и иерархический треугольник (дерево) западного есть две проекции одного и того же. В обоих случаях деление на уровни зависит от циклов: каждый уровень есть цикл на конической спирали. На круговой модели видна преемственная вложенность уровней – это тоже уровневые кванты, соответствующие “столбцам” европейской матрицы.

И, наконец, радиусы образуют здесь количественные сечения, что соответствует в европейской матрице горизонтальным “строкам”.

*Длясин Г.Г. Организация знаний на основе симметрии (гармонический подход в теории периодической системы и в образовательном процессе) // В сб. "Системогенетика и учение о цикличности развития". Кн. 1. Ч. 1. Под ред. Н.Н. Александрова и А.И.

Субетто. - Тольятти: Изд-во МАБ и БД, 1994. С. 33-124.

Наш синтетический подход соединяет обе онтологии: через единую систему проекций разрешается проблема перевода из одного менталитета в другой, с использованием теории циклов и т.д. (речь идет обо всех четырех обозначенных нами ранее подходах). Исторически разделенные две системы воззрений на мир должны воссоединиться.

2.3.1. Возможности будущего синтеза в истории Интересно отметить, что наиболее фантастическое в области формы, как правило, связано с конической спиралью. Об этом насмешливо писали братья Стругацкие – как фантастическое будущее, так звездолеты и спиральные пандусы. Новые виртуальные миры художников ХХ века без спиралей, видимо, просто-таки немыслимы:

Рис. 67. Обложки альбомов группы “Yes” (70-е годы ХХ века).

Спиральность приписывается Вавилонской башне, в связи с зиккуратами. Кроме нее, в Библии упоминается “лестница Иакова”, которую символисты Нового времени тоже рисуют спиральной. Но традиция, видимо, еще древнее, она – добиблейская, египетская и шумерская.

Рис. 68. П. Брейгель, “Вавилонская башня”. К. Шваб, “Святая дева в лилиях”. У. Блейк, “Сон Иакова”.

Спираль связана со временем. Спиральная симметрия – исторически последняя в ряду фундаментальных типов симметрии. Как мы показали, и в циклах интерес к спиральным формам обостряется в истории во вполне определенные периоды: на переходах от полной дестабилизации общества индивидуалистов к жесткой, почти тиранической дисциплине общественного диктата ранних стадий. Это, кстати, разные спирали.

Из того, что мы только что рассмотрели, явствует, что объемноспиральная система – итоговая для синтеза восточного и западного типа организованных ментальных представлений.

Синтетической направленностью по отношению к менталитету человечества в целом обладает в истории русская культура. Наиболее ярко это видно в нашей литературе XIX века – в творчестве А.С.

Пушкина, Л.Н. Толстого, Ф.М. Достоевского, В.С. Соловьева, А.А. Блока, а уж акмеизм – “тоска по мировой культуре” – весь пронизан этим устремлением. В изобразительном искусстве показателен чисто русский воссоединение пространственной и временной “кубофутуризм” – аналитики, пронизывавшей в тот момент западное искусство .

Но корни такого синтетического устремления, как нам кажется, еще древнее.

Примером сложной спирально-конической конструкции является Покровский собор (храм Василия Блаженного) на Красной площади в Москве. В ее основе лежит десятикупольная композиция, где каждый купол обладает центральной (и не только) симметрией, в целом не содержит ни зеркальной, ни видимой поворотной симметрии. Симметричные архитектурные детали собора благодаря “кружатся” применению трех восходящих спиральных конических осей, смещенных с определенным шагом. Отсюда возникает впечатление об асимметричности, сложности целого, близкой к хаосу, что, сочетаясь со многими цветами, и создает впечатление развеселого праздничного хоровода.

Общий конструкт, примененный здесь, примерно таков:

Рис. 70. Покровский собор на Красной площади. Снимок, макет и зрительный конструкт.

–  –  –

Рис. 71. Древнеегипетский Жезл Тота (кадуцей). Египетские орнаменты. Греческие орнаменты. Двойная спираль в модели ДНК.

В Покровском соборе конструкт еще сложнее. Это – общий по осям конструкт объемной спирально-периодической системы химических элементов. Сверху он выглядит как венец из девяти спиралей, и девять “луковиц” Покровского собора (храма Василия Блаженного) на Красной площади в Москве расположены точно по этому конструкту. Кстати, древние русские города росли на земле именно по спирали от центра (например, это хорошо видно в старинном плане г. Сызрани, да и ряда других).

А теперь вспомним русские футуристические проекты 20-х годов ХХ века: башню Татлина, памятника Колумбу К. Мельникова и т.д. – в искусстве всегда выражается то, что уже есть в менталитете. Есть и требует своего выражения. То, что они остались проектами, “бумажной архитектурой”, никак не умаляет их культурного значения и влияния на последующее. По большому счету их время еще впереди. Они что-то прокричали, но пока их не услышали. До вершин нашего прошлого еще надо суметь дорасти в будущем.

*** Чтобы завершить мысль об эволюции симметрии, подчеркнем одну особенность истории.

Доцивилизационная история использует разве что одномернолинейное начало – симметрию перемещения, хотя в конце первобытной истории есть и загадочный Стоунхендж, и многое другое. Но не они определили ход истории, если говорить о симметрии. Хотя очень симптоматично, что Стоунхендж – круглый. Отсюда – все гипотезы о его связи со временем.

Цивилизованная история начинается зеркально-симметричными формами, которые производили мощное впечатление на современников именно своей ясной организованностью, почти божественным порядком.

А заканчивается античность тоже круглыми римскими храмами (Пантеон) и цирками (Колизей). Кстати, круг стремится здесь скорее к эллипсу, кроме того, иногда используется винт (колонна Траяна и т.д.).

Здесь произошло разделение: Восток использует в качестве ментальной и зримой первоосновы круг, Запад – зеркальную симметрию.

Язык линейной, зеркальной и поворотной симметрии применяется в течение самого длинного периода истории от древнейшей

– первобытной истории до Возрождения и барокко, а если говорить о нижнем слое, о “подсознании” искусства, он остается определяющим и поныне. Люди на земле строят свои дома в массе именно по этим трем канонам.

Средневековье тоже начинает с этого набора, причем кроме креста именно круг – важнейшая составляющая архитектуры и в Византии, и в романских замках. А заканчивается средневековье снова-таки центрическими композициями Ренессанса, в которых уже есть винт.

Полное развитие он получит в барокко. Причем круг снова стремится к эллипсу, а в искусстве постепенно снова появляется спиральность.

Используются даже две симметричные по (взаимообратные направлениям) витые колонны (они стоят перед входом в здание в Вене).

Резкий переход к новой жесткой стилистике осуществляет искусство Нового времени. Проекты архитектора Леду, Буле и иных ранних «рационалистов» – почти наши, конструктивистские. Они так же грандиозны и почти так же невыполнимы. В них впервые в истории в качестве главной формы фигурируют сфера – символ равенства (равноправие всех сторон) – и силы разума, рацио. Это происходит в самом начале на фоне перехода от барокко к рококо, и преобладает в формообразовании раковина (спираль).

Рационализм Нового времени в конце своего цикла от освоенного пространства переходит к освоению времени. Начавшись с грандиозных и простых форм общественного предназначения, он закончился в индивидуалистическом модерне, где все определяет спираль (коническая спираль, овал, эллипс, треугольник).

Искусство первой трети ментального ХХ века вытащило все первичные формы в их обнаженном виде и осмыслило как конструкт, оттого наиболее отчетливое выражение сама тенденция получила в конструктивизме. Поначалу кажется, что язык конструктивизма беден – одни простые формы на базе круга, квадрата и треугольника (кубпризма, конус-пирамида, цилиндр-шар), но здесь есть и винт, и коническая спираль. Это в декларациях вроде бы все просто, но на деле из простоты за одно десятилетие (1920-1930) создается, по сути, новый выразительный язык. В этом языке главную роль играет композиция из первоэлементов, основанная на техническом понятии “конструкция”, а также комбинаторика, еще не осмысленная в должной мере (попытка, предпринятая в работах Ю.Г. Божко , пока единственная).

Если говорить о симметрии, важно отметить, что язык конструктивизма отнюдь не зеркально-симметричный, он скорее симметрично-асимметричный, т.е. диссимметричный как собор

– Василия Блаженного. В его пластической основе лежит спираль, но, чтобы понять это, нужно последовательно пройти по его следам и рассмотреть все ключевые произведения и авторов. Кроме откровенно зримых спиральных конструкций (мы их привели) этот новый язык использует визуальные оси, заставляющие глаз двигаться спирально.

Иногда это трудно обнаружить сразу, но если перед вами нечто не зеркально-симметрично, не поворотно-симметрично, не винт, то тогда будьте уверены: в его основе лежит спиральная ось.

Зуева. Я. Чернихов, композиция № 12.

Я считаю, что эта, неявная, спиральность и есть ментальная основа нашего времени. Но настоящее освоение спиральности происходит не столько в пространстве, сколько во временных искусствах. Эту тему зримо раскрыть сложнее, но все, кто читал многотомный роман о времени М. Пруста или цикл из 12 книг Н. Рериха, поймут, о чем здесь речь.

В начале ментального века, с 1920-го до конца 50-х, во всем мире разрабатывался аналогичный неорациональный стиль: от БАУХАУЗа – до арт-деко (см. Стерноу С. Арт деко. Полет художественной фантазии.

Минск: Белфакс, 1997. - 128 с.), от Ле Корбюзье и группы “Стиль” – до А. Аалто и т.д. и т.п. Самыми концептуально талантливыми тут оказались русские, после них – немцы, а самыми остро стильными – французы и голландцы.

Рис. 73. В. Гропиус, здание БАУХАУЗа и его макет. Ле Корбюзье, вилла Савой. И. Буйс, торговое здание.

Функционализм 30-х поменял доминанты, а функционализм 60-х – принцип формообразования. Кстати, в 50-е и 60-е годы активно осваивались конструкции” параболоиды, “пространственные – гиперболические и т.п. оболочки, связанные с движением в пространстве и основанные на геометрии Лобачевского. Они геометрически значительно сложнее всех предшествующих простых форм при всем том, что, вообще-то, они могут образовываться из самых элементарных прямых.

В этом отношении башня Шухова настолько опередила свое время, что стала символом наших 60-х, – она нам известна как фон телевизионных огоньков”. Стоит вспомнить: геометрия “Голубых Лобачевского рождается именно в тот момент истории, когда в менталитете начинает осознаваться переход от доминирования пространства к доминированию времени.

Средина века демонстрирует высшие достижения, с которых следующий век начнется. Если Лобачевский показал в этом пике XIX века новую геометрию, то с нее и начался век ХХ. А в средине ХХ века архитектура демонстрировала вдохновляющие образцы новых форм на основе его геометрии.

Они единичны и экзотичны, даже робки, но именно за ними – будущее:

Рис. 74. Пространственные конструкции из журналов 60-х годов.

Мы уже вошли в какую-то новую историческую фазу, которую пора осмыслять. Закон один, поэтому мы должны будем повторить в конце круга, эллипса, спирали.

цикла этап доминирования круга, эллипса, винта и конической спирали Наложите это на доминирующую спиральность – и вы получите новое современное искусство. Грубо говоря, исполните башню Татлина в стиле “модерн” для индивидуального заказчика. Если это покажется нелепым, напомним, что нечто подобное продемонстрировал в свое время А.

Гауди – архитектор, во многом опередивший свой век. А в 20-е годы – В.Е. Татлин, придававший спирально-сложным формам главное значение. Но мы пока не поняли прозрений, воплощенных в его Летатлине, в пружинящей мебели, и т.д. Эту линию формообразования в дизайне в 70-90 гг. ХХ века развивала минская школа О. Чернышева.

Приведем некоторые образцы, наиболее часто воспроизводившиеся в литературе:

Рис. 75. Примеры новых пространственных решений в искусстве и технике ХХ века.

Интересно отметить, что все эти формы в архитектуре в принципе не новы. Но использовались они ранее не в интерьерных формах зданий, а во внутреннем их убранстве или в декоре. Новое, появившееся наружным, именно в ХХ веке явление: бывшее внутреннее становится наружным, внешним.

внешним Или же, как у Татлина, осмысляется в качестве универсального конструкта, способного дать новое формообразование.

Рис. 76. Интерьер Пражского Кремля (XV век). Стул, мастерская Татлина. Летатлин, фрагменты (20-30 гг. ХХ века).

В заключение – несколько слов о возможной логике будущего развития симметрии.

Исследователь криволинейной симметрии в живом мире (раковины древних моллюсков) Д.В. Наливкин обнаружил: чем древнее моллюск, тем проще его симметрия. Самые древние брахиоподы, кембрийские, часто характеризуются тремя плоскими плоскостями симметрии, а если первая и третья плоскости изогнуты, то слегка. У пермских брахиопод, эволюционно более молодых, все три плоскости изогнуты. Его вывод таков: форм выражается усложнением, изгибанием “изменение элементов симметрии. Это изгибание, дойдя до некоторого геометрического предела, дает формы, не могущие существовать без разрыва сплошности. Возможно, что достижение какой-либо группой, в своей изменчивости, такого предела и вызывает ее вымирание” .

Мы исследуем мир искусства, но генетически и он живет по тем же всеобщим законам. Развитие форм симметрии происходит и в ходе эволюции ментального хронотопа, причем снова-таки в сторону усложнения. Мы считаем, что первый предел пространственного выражения был достигнут в “золотой точке истории”, на грани Возрождения и барокко, а второй – в ХХ веке, где произошел переход от непрерывных форм евклидовой геометрии к более сложным формам неевклидовой. В этом отношении показателен путь Ле Корбюзье от виллы Савой, выполненной из геометрически правильных объемов, и линий к павильону фирмы Филипс и капелле Роншан. Показательно также его обращение к опыту формообразования А. Гауди, постройки которого он специально изучал. Но Гауди – продукт, по крайней мере, 300-летнего цикла развития архитектуры Нового времени: такой пушкинско-цветаевской свободы мог достичь только человек XIX века. И на этом, собственно, он и поставил точку – его дома-организмы значительно сложнее стилистики модерна, они имеют непрерывность внешне-внутренних поверхностей, как лента Мёбиуса и бутылка Клейна .

Аналитическое искусство ХХ века античеловечно. Здесь человек предстает придатком технических систем (свобода общества), и эта поработившая человека сила, с ее гигантскими масштабами и массовыми скоплениями людей, потребовала для себя адекватного языка. Им стал язык инженерии, черчения, комбинаторики, проективной геометрии и т.д. Типы симметрии, которые здесь применяются, не соотносятся с человеком и даже с гравитацией. Можно построить в проекте парящие города, и можно возвести в натуре музей Нимеера в форме перевернутой пирамиды на склоне горы. Но эта техническая жизнь, с ее пафосом, быстро надоедает – человека снова тянет к природе и ее сложным формам, близким к «хаосу». Они все более и более проявляют себя в сфере частной жизни, но пока не приобретают того масштаба, который позволил бы говорить о новом стиле.

Попытка объединения не столько технологической, сколько гигиенической и артистической чистоты линий и форм до состояния нового уюта предпринималась в 70-е – 80-е годы. К чему следует перейти от неконтрастного геометризма с имитацией естественных материалов? К тому же, к чему перешли рококо и модерн, но с учетом аналитической тенденции ХХ века. Уберите декор – и вам откроется красота конструкции – примерно так выглядела концепция 20-х, концепция аналитичности начала века, противостоявшая эклектике и модерну. Но предельность концептуального напряжения игнорировала человека как такового: здесь строили общественные здания, а мечтали о еще более грандиозных постройках. Самое забавное, что бытовавший в то же время как бы параллельно стиль арт-деко сделал из аналитических форм новый декор – надо же было его приспособить к менее продвинутым американцам и не чуждой моды аристократии. И нередко именно от линии арт-деко, не ведая того, отталкивались продолжатели аналитического функционализма в 60-х.

В 60-е Л. Нерви смело повторяет конструктивно-декоративные инварианты итальянского Возрождения, а все “пространственные конструкции” из математически простых параболоидов и гиперболоидов

– давно существовавшие купола и т.п. Но в этом технологически упрощенном повторе была новая струя комбинаторная и

– конструктивно-техническая. В большинстве случаев аналитическая комбинаторика и пропорционирование заменили композицию. Восторг вызывала именно математическая формульность новых форм, в которых ничего нового, вообще-то, и не было. Зато здесь происходило то, о чем мы уже говорили: бывшее ранее внутренним выходило вовне, становилось внешне-внутренним единством. В большинстве своем это были снова-таки общественные здания, хоть и поменьше, но появлялись и всякого рода модули”, автономные и комбинаторно “жилые соединяемые (типа сот).

Сегодня ситуация противоположна: аналитически освоив весь этот мир очищенных форм и конструкций, искусство застыло перед необходимостью нового модерна. Время от времени в нем прорывается нота отрицания идеологии конструктивизма (аконструктивизм, деконструктивизм), но это – позиция без продолжения, одноразовая в своей эффектности. К гиперпорядку напрямую приплюсовывают намеренные вставки хаоса, но это лишь приводит к временному контрасту – формальному и содержательному. Что же должен освоить новый стиль? Конечно, спираль, конечно же, “природные формы”, конечно же, овалы и эллипсы, треугольники и комбинации из всего этого набора. И где? Только в индивидуальном жилище.

Из того, что еще не было освоено в искусстве (а может, и было, но не стало объектом особого интереса), приведем “граненые” спиральные конструкции: мы почти не обнаружили винты и спирали на основе треугольной призмы и пирамиды, на основе квадратной призмы и пирамиды, пяти- и далее “угольных”. А между тем они весьма эффектны.

Изредка подобные поиски встречались в переходные эпохи (Франция позднего Возрождения), рококо, модерн. Если перевести поиск на позиции технологии, возникнет серия комбинаторных упражнений, которую кто-нибудь в мире уже обязательно делает.

*** Завершая тему, сформулируем вывод.

Симметрия, воспринимаемая человеком как закономерность структуры, как внешнее проявление внутреннего порядка, обладает несомненной эстетической ценностью. В искусстве она используется и в чистом виде, и в самом завуалированном.

Из всего арсенала законов, предшествующих композиционированию, выбор и применение типов симметрии является самым сильнодействующим средством. Эта тема предваряет учение о композиции, так как нам кажется, что сама закономерность симметрии значительно шире искусства и внутри искусства используется в определенных целях. При всем том, что об этом очень много написано, предложенный нами вариант трактовки симметрии в нашем очерке получился шире всех известных.

Мы не считаем, что искусство делается при помощи одной лишь симметрии. Поскольку она закон, ее прямое применение в искусстве опасно, ибо вместо искусства можно получить науку или технику, так бывало. Открытая симметрия позволительна только на ранних этапах становления менталитета. Здесь ею любуются, но она всегда демонстрирует нечто внечеловеческое пугающую мощь

– закономерного. Истина искусства лежит за пределами симметрии: она – в диссимметрии.

БИБЛИОГРАФИЯ

Александров Н.Н. Циклические закономерности развития 1.

образных систем в дизайне. // В сб. “Футуро-дизайн, 89”. Материалы первой Всесоюзной конференции по проблемам проектного прогнозирования. – М.: Изд-во ВНИИТЭ, 1990. С. 110-112.

2. Александров Н.Н. Моделирование индикаторов качества в эстетической системогенетике. // в сб. Квалиметрия образования.

Методология и практика. – М.: Изд-во ИЦ ПК ПС, 1993. С. 27-61.

3. Александров Н.Н. Структура и динамика многоуровневых образных систем. – Тольятти: Изд-во МАБ и БД, 1994. – 102 с.

4. Александров Н.Н. Глобальные ментальные циклы и модели времени в истории. // В сб. “Системогенетика и учение о цикличности развития”. Кн. 1. Ч. 1. Под ред. Н.Н. Александрова и А.И. Субетто. – Тольятти: Изд-во МАБ и БД, 1994. С. 8-33.

5. Александров Н.Н. Взлет и падение. Место “производственного искусства” в контексте советского искусства 20-х годов. – Тольятти: Издво МАБ и БД, 1994. – 26 с.

6. Александров Н.Н. Звезда деятельности. – Кострома: Изд-во КГУ, 2000. – 230 с.

7. Александров Н.Н. Числовые инварианты в менталитете. – Кострома: Изд-во КГУ, 2000. – 475 с.

8. Александров Н.Н. Понимание времени. Культура и циклы. – Кострома: Изд-во КГУ, 2000. – 446 с.

9. Александров Н.Н. Эволюция ментального хронотопа. – Кострома:

Изд-во КГУ, 2000.– 434 с.

10. Александров Н.Н. Формула истории. – Кострома: Изд-во КГУ, 2000. – 516 с.

Александров Н.Н. Экзистенциальная системогенетика.

11. – Кострома: Изд-во КГУ, 2000. – 350 с.

12. Александров Н.Н. Эволюция искусства (системогенетический очерк). – Кострома: Изд-во КГУ, 2000. – 475 с.

13. Арнхейм Р. Искусство и визуальное восприятие. / Пер. с англ.

Общ. ред и вст. статья В.П. Шестакова. – М.: Искусство, 1974. – 392 с.

14. Архитектура и психология. Учебное пособие для вузов. / Степанов А.В., Иванова Г.И., Нечаев Н.Н. – М.: Стройиздат, 1993. – 295 с.

15. Беда Г.В. Живопись и ее изобразительные средства.– М.:

Просвещение, 1977. – 188 с. Илл.

16. Береснева В.Я. Типологическая структура визуального языка. // В сб. “Человек и предметный мир”. – Горький: НТО, 1980. С. 135-137.

17. Биндерманн Г. Энциклопедия символов. Пер. с нем. – М.:

Республика, 1999. – 355 с., илл.

Божко Ю.Г. Эстетические свойства архитектуры.

Моделирование и проектирование. – Киев: Будивэльнык, 1990. –144 с.

19. Боумен У. Графическое представление информации. Пер с англ. – М.: Мир, 1971. – 226 c.

20. Вагнер Г.К. Канон и стиль в древнерусском искусстве. – М.:

Искусство, 1987. – 288 с.

21. Васютинский Н.А. Золотая пропорция. – М.: Молодая гвардия, 1990. – 238 с. (Эврика).

22. Вёльфлин Г. Основные понятия истории искусств. Проблема эволюции стиля в новом искусстве. – СПб.: МИФРИЛ, 1994. – 398 с. – (Классика искусствознания).

23. Вёльфлин Г. Классическое искусство. Введение в изучение итальянского Возрождения. Перевод с нем. А.А. Константиновой и В.М.

Невежиной. СПб.: Алетейя, с.

– 1997. – 398 – (Классика искусствознания).

24. Винкельман И.И. Основные понятия истории искусства. – СПБ.:

Эрмитаж,2000. – 687 с.

25. Волновые процессы в общественном развитии (под ред. В.В.

Василькова, И.П. Яковлева, И.Н. Барыгина и др.). – Новосибирск: Изд-во НГУ, 1992. – 229 с.

26. Волошинов А.В. Математика и искусство. – М.: Просвещение, 1992. – 335 с.

27. Волошинов А.В. Пифагор: союз истины, добра и красоты. – М.:

Просвещение, 1993. – 224 с.

28. Выготский Л.С. Психология искусства. Изд. 3-е. – М.: Искусство, 1986. – 573 с.

29. Гартман К.О. Стили. – М.: Искусство, 2000. – 302 с.

30. Гидион З. Пространство, время, архитектура. – М.: Стройиздат, 1984. – 456 с.

31. Гинзбург М.Я. Ритм в архитектуре. – М: Академия, 1923. – 120 с.

32. Глазычев В.Л. О дизайне. – М.: Искусство, 1970. – 192 с.

33. Голицын Г.А., Петров В.М. Гармония и алгебра живого. – М.:

Знание, 1990. – 128 с. – (Естественнонаучный фак.).

34. Гутнов А.Э. Мир архитектуры (язык архитектуры). – М.: Молодая гвардия, 1985. – 351 с.

35. Даниэль С.М. Искусство видеть. О творческих способностях восприятия, о языке линий и красок и о воспитании зрителя. – Л.:

Искусство, 1990. – 223 с.

36. Дмитриева Н.А. Краткая история искусств. Вып. II. Северное Возрождение; страны Западной Европы XVII и XVIII веков; Россия XVIII века. – 2-е изд., доп. – М.: Искусство, 1989. – 318 с., илл.

37. Дмитриева Н.А. Краткая история искусств. Вып. III. Страны Зап.

Европы XIX в.; Россия XIX в. – М.: Искусство, 1993. – 361 с., илл.

38. Древние цивилизации. / Сост. С.С. Аверинцев, В.П. Алексеев,

В.Г. Ардзинба и др. Под общей редакцией Г.М. Бонград-Левина. – М.:

Мысль, 1989. – 479 с., илл.

39. Иконников А.В. Художественный язык архитектуры. – М.:

Искусство, 1985. – 175 с. ил. (Проблемы искусства и архитектуры).

40. Иконников А.В. Архитектура и история. – М.: ARHITECTURA, 1993. – 252 с. илл.

41. Ильина Т.В. История искусств. Отечественное искусство.

Учебник, ч. 2. Изд. 2-е, перераб. и доп. – М.: ВШ, 1994. – 461 с.

42. История средних веков. В 2 т. Т. 1.: Учебник для вузов по спец.

“История”/ Под ред. З.В. Удальцовой и С.П. Карпова. – М.: Высш. шк., 1990. – 495 с.

43. История русского искусства в трех томах. Изд. 3-е, испр. и доп.

Учебник. / Отв. ред. И.В. Рязанцев. – М.: Изобразительное искусство,

1991. Т. 1 – 508 с. Т. 2 – 312 с.

44. Казаринова В.И. Товароведу о красоте и композиции. – М.:

Экономика, 1973. – 151 с.

45. Кобзев А.И. Учение о символах и числах в китайской философии. – М.: Восточная литература, 1994. – 432 с.

46. Кох Рудольф. Книга символов. – М.: Ассоциация “Золотой век”, 1995. – 368 с.

47. Левитин К.Е. Геометрическая рапсодия. – 2-е изд., переработ. и доп. – М.: Знание, 1984. – 176 с.

48. Лосев А.Ф. Форма – Стиль – Выражение. /Сост. А.А.Тахо-Годи. – М.: Мысль, 1995. – 944 с.

49. Лотман Ю. Николаенко Н. “Золотое сечение” и проблемы внутримозгового диалога. // ДИ СССР. N 9. 1983. С. 31-34.

50. Месарович М., Мако Д., Такахара И. Теория иерархических многоуровневых систем. – М.: Мир, 1973. – 344 с.

51. Система. Симметрия. Гармония (под ред. В.С. Тюхтина, Ю.А.

Уральцева). – М: Мысль, 1988. – 315 с.

52. Смолина Н.И. Традиции симметрии в архитектуре. – М.:

Стройиздат, 1990. – 344 с.

53. Сонин А.С. Постижение совершенства. Симметрия, асимметрия, диссимметрия, антисимметрия. – М.: Знание, 1987. – 208 с.

Приложение № 1 к сетевому научному журналу "Вестник Института социологии". 2014. № 2(9). От редакции: Представленное эссе известного жаропрочные сплавы и стали Конструкционные стали История разработки сталей во Всесоюзном (ныне Всероссийском) научноисследовательском институте авиационных материалов (ВИАМ) начинается с момента его образования в 1932 году. К 1940 году в структ...»

«История А. Т. Шашков СИБИРСКИЙ ПОХОД ЕРМАКА: ХРОНОЛОГИЯ СОБЫТИЙ 1581-1582 гг. Впервые проблема, вынесенная в заголовок настоящей статьи, еще два с половиной столетия назад во всей своей сложности встала перед “отцом сибирской историографии” Г. Ф Миллером. С тех пор исследователи мно­ гократно обращались к ней, предложив...»

«Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА И ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ ПРИ ПРЕЗИДЕНТЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ" ВОЛОГОДСКИЙ ФИЛИАЛ Утверждена Ученым советом Вологодского филиала РАНХиГС Протокол № _ от "" _ 201 г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ Б1.В.ДВ.3...»

ОТЕЧЕСТВЕННОЙ ИСТОРИОГРАФИИ: ГЕОГРАФИЧЕСКИЙ ОБЪЕКТ ИЛИ МНИМАЯ РЕАЛЬНОСТЬ? Трудно найти в современной отечественной историограф...» Eugenievna, кафедра зарубежной филологии,Московского финанChair of Foreign Philology, Moscow University of Finance сово-юридического университета, Москва, Россия and Law, Moscow, Russia ksusha...» Р59 Словарь создан сотрудниками Экспериментальной лаборатории учебной лексикографии Псковского государственного педуниверситета.Рецензе...» РЕГИОНАЛЬНОЙ ИСТОРИИ Музеи как институты общественной "системы памяти" занимают особое место в ряду социокультурных учреждений, расп...»

«РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по предмету "История" Планируемые предметные результаты освоения учебного предмета В результате изучения истории на профильном уровне обучающийся должен знать/понимать: основные факты, процессы и явления, характеризующие целостность и системность отечественной и всемирно...»

«Оглавление Оглавление RUSSIAN ACADEMY FOR SCIENCES INSTITUTE FOR THE HISTORY OF MATERIAL CULTURE ACADEMIC ARCHAEOLOGY ON THE BANKS OF THE NEVA (from RAHMC to IHMC RAS, 1919–2014) St. Petersburg Оглавление РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ИСТОРИИ МАТЕРИАЛ...»

« М.Н. Громов, Т.Б. Д...»

2017 www.сайт - «Бесплатная электронная библиотека - электронные материалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам , мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.

Понятие движения

Разберем сначала такое понятие как движение.

Определение 1

Отображение плоскости называется движением плоскости, если при этом отображении сохраняются расстояния.

Существуют несколько теорем, связанных с этим понятием.

Теорема 2

Треугольник, при движении, переходит в равный ему треугольник.

Теорема 3

Любая фигура, при движении, переходит в равную ей фигуру.

Осевая и центральная симметрия являются примерами движения. Рассмотрим их более подробно.

Осевая симметрия

Определение 2

Точки $A$ и $A_1$ называются симметричными относительно прямой $a$, если эта прямая перпендикулярна к отрезку ${AA}_1$ и проходит через его центр (рис. 1).

Рисунок 1.

Рассмотрим осевую симметрию на примере задачи.

Пример 1

Построить симметричный треугольник для данного треугольника относительно какой-либо его стороны.

Решение.

Пусть нам дан треугольник $ABC$. Будем строить его симметрию относительно стороны $BC$. Сторона $BC$ при осевой симметрии перейдет в саму себя (следует из определения). Точка $A$ перейдет в точку $A_1$ следующим образом: ${AA}_1\bot BC$, ${AH=HA}_1$. Треугольник $ABC$ перейдет в треугольник $A_1BC$ (Рис. 2).

Рисунок 2.

Определение 3

Фигура называется симметричной относительно прямой $a$, если каждая симметричная точка этой фигуры содержится на этой же фигуре (рис. 3).

Рисунок 3.

На рисунке $3$ изображен прямоугольник. Он обладает осевой симметрией относительно каждого своего диаметра, а также относительно двух прямых, которые проходят через центры противоположных сторон данного прямоугольника.

Центральная симметрия

Определение 4

Точки $X$ и $X_1$ называются симметричными относительно точки $O$, если точка $O$ является центром отрезка ${XX}_1$ (рис. 4).

Рисунок 4.

Рассмотрим центральную симметрию на примере задачи.

Пример 2

Построить симметричный треугольник для данного треугольника какой-либо его вершины.

Решение.

Пусть нам дан треугольник $ABC$. Будем строить его симметрию относительно вершины $A$. Вершина $A$ при центральной симметрии перейдет в саму себя (следует из определения). Точка $B$ перейдет в точку $B_1$ следующим образом ${BA=AB}_1$, а точка $C$ перейдет в точку $C_1$ следующим образом: ${CA=AC}_1$. Треугольник $ABC$ перейдет в треугольник ${AB}_1C_1$ (Рис. 5).

Рисунок 5.

Определение 5

Фигура является симметричной относительно точки $O$, если каждая симметричная точка этой фигуры содержится на этой же фигуре(рис. 6).

Рисунок 6.

На рисунке $6$ изображен параллелограмм. Он обладает центральной симметрией относительно точки пересечения его диагоналей.

Пример задачи.

Пример 3

Пусть нам дан отрезок $AB$. Построить его симметрию относительно прямой $l$, не пересекающий данный отрезок и относительно точки $C$, лежащей на прямой $l$.

Решение.

Изобразим схематически условие задачи.

Рисунок 7.

Изобразим для начала осевую симметрию относительно прямой $l$. Так как осевая симметрия является движением, то по теореме $1$, отрезок $AB$ отобразится на равный ему отрезок $A"B"$. Для его построение сделаем следующее: проведем через точки $A\ и\ B$ прямые $m\ и\ n$, перпендикулярно прямой $l$. Пусть $m\cap l=X,\ n\cap l=Y$. Далее проведем отрезки $A"X=AX$ и $B"Y=BY$.

Рисунок 8.

Изобразим теперь центральную симметрию относительно точки $C$. Так как центральная симметрия является движением, то по теореме $1$, отрезок $AB$ отобразится на равный ему отрезок $A""B""$. Для его построения сделаем следующее: проведем прямые $AC\ и\ BC$. Далее проведем отрезки $A^{""}C=AC$ и $B^{""}C=BC$.

Рисунок 9.

Сбалансированная композиция кажется правильной. Она смотрится устойчиво и эстетически привлекательно. Хотя какие-то из ее элементов могут особенно выделяться, являясь фокальными точками — ни одна часть не притягивает взгляд настолько, чтобы подавлять остальные. Все элементы сочетаются друг с другом, плавно соединяясь между собой и образуя единое целое.

Несбалансированная композиция вызывает напряжение. Когда дизайн дисгармоничен, отдельные его элементы доминируют над целым, и композиция становится меньше, чем сумма ее частей. Иногда подобная дисгармония может иметь смысл, но чаще всего баланс, упорядоченность и ритм — это лучшее решение.

Несложно понять, что такое баланс с точки зрения физики — мы ощущаем его постоянно: если что-то не сбалансировано, оно неустойчиво. Наверняка в детстве вы качались на качелях-доске — вы на одном конце, ваш друг — на другом. Если вы весили примерно одинаково, вам было легко на них балансировать.

Нижеследующая картинка иллюстрирует баланс: два человека одинакового веса находятся на равном расстоянии от точки опоры, на которой балансируют качели.

Качели в симметричном равновесии

Человек на правом конце доски раскачивает ее по часовой стрелке, а человек на левом — против. Они прикладывают одинаковую силу в противоположных направлениях, так что сумма равна нулю.

Но если бы один человек был намного тяжелее, равновесие бы исчезло.

Отсутствие равновесия

Эта картинка кажется неправильной, потому что мы знаем, что фигура слева слишком мала, чтобы уравновесить фигуру справа, и правый конец доски должен касаться земли.

Но если передвинуть более крупную фигуру в центр доски, картинка приобретет более правдоподобный вид:

Качели в асимметричном равновесии

Вес более крупной фигуры нивелируется тем, что она расположена ближе к точке опоры, на которой балансируют качели. Если вы когда-нибудь качались на таких качелях или, по крайней мере, видели, как это делают другие, то понимаете, что происходит.

Композиционное равновесие в дизайне основано на тех же принципах. Физическая масса заменяется визуальной, и направление, в котором на нее действует сила притяжения, заменяется визуальным направлением:

1. Визуальная масса — это воспринимаемая масса визуального элемента, мера того, насколько данный элемент страницы привлекает внимание.

2. Визуальное направление — это воспринимаемое направление визуальной силы, в котором, как нам кажется, двигался бы объект, если бы он мог двигаться под влиянием физических сил, действующих на него.

Для измерения этих сил нет инструментов и для расчета зрительного баланса нет формул: чтобы определить, сбалансирована ли композиция, вы ориентируетесь только на свои глаза.

Почему визуальное равновесие важно?

Визуальное равновесие так же значимо, как и физическое: несбалансированная композиция вызывает у зрителя дискомфорт. Посмотрите на вторую иллюстрацию с качелями: она кажется неправильной, потому что мы знаем, что качели должны касаться земли.

С точки зрения маркетинга, визуальная масса — это мера визуального интереса, который вызывает какая-либо область или элемент страницы. Когда лендинг визуально сбалансирован, каждая его часть вызывает некоторый интерес, а сбалансированный дизайн удерживает внимание зрителя.

При отсутствии визуального равновесия посетитель может не увидеть некоторые элементы дизайна — скорее всего, он не станет рассматривать области, уступающие другим по визуальному интересу, так что информация, связанная с ними, останется незамеченной.

Если вы хотите, чтобы пользователи узнали все, что вы намерены им сообщить — подумайте о разработке сбалансированного дизайна.

Четыре типа равновесия

Есть несколько способов добиться композиционного равновесия. Картинки из раздела выше иллюстрируют два из них: первая — пример симметричного баланса, а вторая — асимметричного. Два других типа — радиальный и мозаичный.

Симметричное равновесие достигается, когда объекты, равные по визуальной массе, размещаются на равном расстоянии от точки опоры или оси в центре. Симметричное равновесие вызывает ощущение формальности (поэтому иногда оно называется формальным равновесием) и элегантности. Приглашение на свадьбу — пример композиции, которую вы, скорее всего, захотите сделать симметричной.

Недостаток симметричного равновесия в том, что оно статично и иногда кажется скучным: если половина композиции — это зеркальное отражение другой половины, то как минимум одна половина будет достаточно предсказуема.

2. Асимметричное равновесие

Асимметричное равновесие достигается, когда объекты по разные стороны от центра имеют одинаковую визуальную массу. При этом на одной половине может находиться доминирующий элемент, уравновешенный несколькими менее важными фокальными точками на другой половине. Так, визуально тяжелый элемент (красный круг) на одной стороне уравновешен рядом более легких элементов на другой (синие полосы).

Асимметричное равновесие более динамично и интересно. Оно вызывает ощущение современности, движения, жизни и энергии. Асимметричного равновесия сложнее достичь, потому что отношения между элементами более сложны, но, с другой стороны, оно оставляет больше простора для творчества.

Радиальное равновесие достигается, когда элементы расходятся лучами из общего центра. Лучи солнца или круги на воде после того, как в нее упал камень — это примеры радиального равновесия. Удерживать фокальную точку (точка опоры) легко, поскольку она всегда в центре.

Лучи расходятся из центра и ведут к нему же, делая его самой заметной частью композиции.

Мозаичное равновесие (или кристаллографический баланс) — это сбалансированный хаос, как на картинах Джексона Поллока. У такой композиции нет выраженных фокальных точек, и все элементы одинаково важны. Отсутствие иерархии, на первый взгляд, создает визуальный шум, но, тем не менее, каким-то образом все элементы сочетаются и образуют единое целое.

Симметрия и асимметрия

И симметрия, и асимметрия может применяться в композиции вне зависимости от того, каков тип ее равновесия: вы можете использовать объекты симметричной формы для создания асимметричной композиции, и наоборот.

Симметрия, как правило, считается красивой и гармоничной. Впрочем, она также может показаться статичной и скучной. Асимметрия обычно представляется более интересной и динамичной, хотя и не всегда красивой.

Симметрия

Зеркальная симметрия (или двусторонняя симметрия) возникает, когда две половины композиции, расположенные по разные стороны от центральной оси, являются зеркальными отражениями друг друга. Скорее всего, услышав слово «симметрия», вы представляете себе именно это.

Направление и ориентация оси могут быть какими угодно, хотя зачастую она или вертикальная, или горизонтальная. Многие естественные формы, растущие или движущиеся параллельно поверхности земли, отличаются зеркальной симметрией. Ее примеры — крылья бабочки и человеческие лица.

Если две половины композиции отражают друг друга абсолютно точно, такая симметрия называется чистой. В большинстве случаев отражения не полностью идентичны, и половины немного отличаются друг от друга. Это неполная симметрия — в жизни она встречается гораздо чаще, чем чистая симметрия.

Круговая симметрия (или радиальная симметрия) возникает, когда объекты располагаются вокруг общего центра. Их количество и угол, под которым они расположены относительно центра, могут быть любыми — симметрия сохраняется, пока присутствует общий центр. Естественные формы, растущие или движущиеся перпендикулярно поверхности земли, отличаются круговой симметрией — например, лепестки подсолнуха. Чередование без отражения может быть использовано, чтобы продемонстрировать мотивацию, скорость или динамичное действие: представьте крутящиеся колеса движущегося автомобиля.

Трансляционная симметрия (или кристаллографическая симметрия) возникает, когда элементы повторяются через определенные промежутки. Пример такой симметрии — повторяющиеся планки забора. Трансляционная симметрия может возникнуть в любом направлении и на любом расстоянии, если направление совпадает. Естественные формы обретают такую симметрию через репродукцию. При помощи трансляционной симметрии вы можете создать ритм, движение, скорость или динамичное действие.

Бабочка — пример зеркальной симметрии, планки забора — трансляционной, подсолнух — круговой.

Симметричные формы чаще всего воспринимаются как фигуры на фоне. Визуальная масса симметричной фигуры будет больше, чем масса асимметричной фигуры подобного размера и формы. Симметрия создает баланс сама по себе, но она может оказаться слишком стабильной и слишком спокойной, неинтересной.

У асимметричных форм нет такой сбалансированности, как у симметричных, но вы можете и асимметрично уравновесить всю композицию. Асимметрия часто встречается в естественных формах: вы правша или левша, ветки деревьев растут в разных направлениях, облака принимают случайные формы.

Асимметрия приводит к более сложным отношениям между элементами пространства и поэтому считается более интересной, чем симметрия, а значит — ее можно использовать, чтобы привлечь внимание.

Пространство вокруг асимметричных форм более активно: узоры часто непредсказуемы, и в целом у вас больше свободы самовыражения. Обратная сторона асимметрии в том, что ее сложнее сделать сбалансированной.

Вы можете совмещать симметрию и асимметрию и добиваться хороших результатов — создавайте симметричное равновесие асимметричных форм и наоборот, разбивайте симметричную форму случайной меткой, чтобы сделать ее интереснее. Сталкивайте симметрию и асимметрию в композиции, чтобы ее элементы привлекали больше внимания.

Принципы гештальт-психологии

Принципы дизайна не возникают из ничего: они следуют из психологии нашего восприятия визуальной среды. Многие принципы дизайна вырастают из принципов гештальт-психологии, а также основываются друг на друге.

Так, один из принципов гештальт-психологии касается именно симметрии и порядка и может применяться к композиционному равновесию. Впрочем, это едва ли не единственный принцип, применимый к нему.

Другие принципы гештальт-психологии, такие как фокальные точки и простота — складываются в визуальную массу, а фактор хорошего продолжения, фактор общей судьбы и параллелизм, задают визуальное направление. Симметричные формы чаще всего воспринимаются как фигуры на фоне.

Примеры различных подходов к веб-дизайну

Настало время реальных примеров. Лендинги, представленные ниже, сгруппированы по четырем типам равновесия. Возможно, вы воспримите дизайн этих страниц по-другому, и это хорошо: критическое мышление важнее, чем безоговорочное принятие.

Примеры симметричного равновесия

Дизайн сайта Helen & Hard симметричен. Страница «О нас» на скриншоте снизу и все остальные страницы этого сайта сбалансированы похожим образом:

Скриншот страницы «О нас» сайта Helen & Hard

Все элементы, находящиеся по разные стороны вертикальной оси, расположенной в центре страницы, зеркально отражают друг друга. Логотип, навигационная панель, круглые фотографии, заголовок, три колонки текста — центрированы.

Впрочем, симметрия не идеальна: например, колонки содержат разное количество текста. Кстати, обратите внимание на верх страницы. И логотип, и навигационная панель расположены по центру, но визуально они не кажутся центрированными. Возможно, логотип стоило центрировать по амперсанду или, по крайней мере, по области рядом с ним.

В трех текстовых ссылках меню, расположенных в правой части навигационной панели, больше букв, чем в ссылках левой части — кажется, что центр должен располагаться между About и People. Может быть, если расположить эти элементы в действительности не по центру, но так, чтобы визуально они казались центрированными, композиция в целом выглядела бы более сбалансированной.

Домашняя страница Tilde — еще один пример дизайна с симметричным равновесием. Как и на Helen & Hard, все располагается вокруг вертикальной оси, проходящей по центру страницы: навигация, текст, люди на фотографиях.

Скриншот домашней страницы Tilde

Как и в случае с Helen & Hard, симметрия не идеальна: во-первых, центрированные строчки текста не могут быть отражением фотографии снизу, а во-вторых, пара элементов выбивается из общего ряда — стрелка «Meet the Team» указывает вправо, и текст внизу страницы заканчивается еще одной стрелкой вправо. Обе стрелки являются призывами к действию и обе нарушают симметрию, привлекая к себе дополнительное внимание. Кроме того, по цвету обе стрелки контрастируют с фоном, что тоже притягивает взгляд.

Примеры асимметричного равновесия

Домашняя страница Carrie Voldengen демонстрирует асимметричное равновесие вокруг доминирующей симметричной формы. Глядя на композицию в целом, можно увидеть несколько отдельных друг от друга форм:

Скриншот веб-сайта Carrie Voldengen

Большую часть страницы занимает прямоугольник, состоящий из решетки меньших прямоугольных изображений. Сама по себе решетка симметрична и по вертикальной, и по горизонтальной оси и выглядит очень прочной и стабильной — можно даже сказать, что она слишком сбалансирована и выглядит неподвижной.

Блок текста справа нарушает симметрию. Решетке противопоставлен текст и круглый логотип в левом верхнем углу страницы. Эти два элемента имеют примерно равную визуальную массу, воздействующую на решетку с разных сторон. Расстояние до воображаемой точки опоры примерно такое же, как и масса. Блок текста справа больше и темнее, но круглый голубой логотип добавляет веса своей области и даже совпадает с верхним левым углом решетки по цвету. Текст внизу решетки, кажется, свисает с нее, но он достаточно легкий, чтобы не нарушать композиционного равновесия.

Обратите внимание, что пустое пространство тоже кажется сбалансированным. Пустоты слева, сверху и снизу, а также справа под текстом — уравновешивают друг друга. В левой части страницы больше пустого пространства, чем справа, но в правой части есть дополнительное пространство вверху и внизу.

Изображения в шапке страницы Hirondelle USA сменяют друг друга. Скриншот, представленный ниже, был сделан специально для того, чтобы продемонстрировать асимметричное композиционное равновесие.

Скриншот Hirondelle USA

Колонна на фотографии смещена чуть вправо от центра и создает заметную вертикальную линию, поскольку мы знаем, что колонна — это очень тяжелый объект. Перила слева создают прочную связь с левым краем экрана и тоже представляются достаточно надежными.

Текст над перилами как будто опирается на них; к тому же, справа он визуально сбалансирован фотографией мальчика. Может показаться, что перила как бы свисают с колонны, нарушая баланс, но наличие мальчика и более темный фон за ним уравновешивают композицию, а светлый текст восстанавливает баланс в целом.

Примеры радиального равновесия

Домашняя страница Vlog.it демонстрирует радиальное равновесие, что заметно на скриншоте. Все, кроме объекта в правом верхнем углу, организовано вокруг центра, и три кольца изображений вращаются вокруг центрального круга.

Скриншот домашней страницы Vlog.it

Впрочем, на скриншоте не видно, как страница загружается: линия рисуется из нижнего левого угла экрана к его центру — и с этого момента все, что появляется на странице, вращается вокруг центра или расходится из него лучами, как круги по воде.

Маленький круг в правом верхнем углу добавляет трансляционной симметрии и асимметрии, повышая визуальный интерес к композиции.

На домашней странице Opera’s Shiny Demos нет кругов, но все текстовые ссылки расходятся из общего центра, и легко представить, как вся эта конструкция вращается вокруг одного из центральных квадратов или, может быть, одного из углов:

Скриншот домашней страницы Opera’s Shiny Demos

Название Shiny Demos в левом верхнем углу и логотип Opera в правом нижнем — уравновешивают друг друга и тоже как будто исходят из того же центра, что и текстовые ссылки.

Это хороший пример того, что для достижения радиального равновесия не обязательно использовать круги.

Примеры мозаичного равновесия

Вы можете подумать, что мозаичный баланс используется на сайтах реже всего, особенно после того, как в качестве примера были названы картины Джексона Поллока. Но мозаичное равновесие встречается гораздо чаще, чем кажется.

Яркий пример — домашняя страница Rabbit’s Tale. Разбросанные по экрану буквы определенно создают ощущение хаоса, но композиционное равновесие присутствует.

Скриншот домашней страницы Rabbit’s Tale

Почти равные по величине области цвета и пространства, расположенные с двух сторон, справа и слева — уравновешивают друг друга. Кролик в центре служит точкой опоры. Каждый элемент не привлекает внимания сам по себе.

Сложно разобраться, какие конкретные элементы уравновешивают друг друга, но в целом баланс присутствует. Может быть, визуальная масса правой стороны немного больше, но не настолько, чтобы нарушить равновесие.

Сайты с большим количеством контента, например, новостные порталы или сайты журналов, тоже демонстрируют мозаичное равновесие. Вот скриншот домашней страницы The Onion:

Скриншот домашней страницы The Onion

Здесь множество элементов, их расположение не симметрично, размер текстовых колонок не одинаков, и сложно понять, что уравновешивает что. Блоки содержат разное количество контента, и, следовательно, их размеры различаются. Объекты не располагаются вокруг какого-нибудь общего центра.

Блоки разных размеров и плотности создают некоторое ощущение беспорядка. Поскольку сайт обновляется каждый день, структура этого хаоса постоянно меняется. Но в целом равновесие сохраняется.

Заключение

Принципы дизайна во многом берут начало из гештальт-психологии и теории восприятия и опираются на то, как мы воспринимаем и интерпретируем окружающую визуальную среду. Например, одна из причин, по которым мы замечаем фокальные точки, заключается в том, что они контрастируют с элементами вокруг них.

В классической физике немало величин (таких, как импульс, энергия и момент количества движения) сохраняется. Теоремы о сохранении соответствующих величин существуют и в квантовой механике. Самое прекрасное в квантовой механике это то, что теоремы сохранения в определенном смысле удается в ней вывести из чего-то другого; в классической же механике они сами практически являются исходными для других законов. (Можно, правда, и в классической механике поступать так же, как в квантовой, но это удается только на очень высоком уровне.) В квантовой механике, однако, законы сохранения очень тесно связаны с принципом суперпозиции амплитуд и с симметрией физических систем относительно различных изменений. Это и есть тема настоящей лекции. Хотя идеи эти мы будем применять главным образом к сохранению момента количества движения, но существенно здесь то, что все теоремы о сохранении каких угодно величин всегда связаны - в квантовой механике - с симметриями системы.

Начнем поэтому с изучения вопроса о симметриях систем. Очень простым примером служат молекулярные ионы водорода (впрочем, в равной степени подошли бы и молекулы аммиака), у которых имеется по два состояния. У молекулярного иона водорода за одно базисное состояние мы принимали такое состояние, когда электрон расположен возле протона №1, а за другое базисное состояние то, в котором электрон располагался возле протона №2. Эти два состояния (мы их называли и ) мы снова показываем на фиг. 15.1,а. И вот, поскольку оба ядра в точности одинаковы, в этой физической системе имеется определенная симметрия. Иначе сказать, если бы нам пришлось отразить систему в плоскости, поставленной посредине между двумя протонами (имеется в виду, если бы все находящееся с одной стороны плоскости симметрично перешло на другую сторону), то возникла бы картина, представленная на фиг. 15.1,б. А коль скоро протоны тождественны, операция отражения переводит в , а в . Обозначим эту операцию отражения и напишем

. (15.1)

Значит, наше - это оператор, в том смысле, что он «что-то делает» с состоянием, чтобы вышло новое состояние. Интересно здесь то, что , действуя на любое состояние, создает какое-то другое состояние системы.

Фиг. 15.1. Если состояния и отразить в плоскости , они перейдут соответственно в состояния и .

суть матричные элементы, которые получаются, если и умножить слева на . Согласно уравнению (15.1), они равны

(15.2)

Таким же путем можно получить и , и . Матрица относительно базисной системы и есть

Мы снова убеждаемся, что слова оператор и матрица в квантовой механике практически взаимозаменяемы. Есть, конечно, легкие технические различия, как между словами «числительное» и «число», но мы не такие педанты, чтобы забивать себе этим голову. Так что будем именовать то оператором, то матрицей, независимо от того, определяет ли оно операцию или реально использовано для получения численной матрицы.

Теперь мы хотели бы кое на что обратить ваше внимание. Предположим, что физика всей системы молекулярного иона водорода сама по себе симметрична. Этого могло бы и не быть - это зависит, например, от того, что находится с нею рядом. Но если система симметрична, то с необходимостью должна быть справедлива следующая идея. Предположим, что вначале, при , система находится в состоянии , а через промежуток времени мы обнаруживаем, что система оказалась в более сложном положении - в какой-то линейкой комбинации обоих базисных состояний. Вспомните, что в гл. 6 (вып. 8) мы привыкли представлять «эволюцию во времени» умножением на оператор . Это означает, что система через мгновение (скажем для определенности, через 15 сек) окажется в каком-то ином состоянии. Например, это состояние на может состоять из состояния и на из состояния , и мы бы написали

Теперь спросим: что же произойдет, если вначале мы запустим систему в симметричном состоянии и при тех же условиях подождем 15 сек? Ясно, что если мир симметричен (что мы и предполагаем), то обязательно получится состояние, симметричное с (15.4):

Те же идеи схематично изображены на фиг. 15.2. Итак, если физика системы симметрична относительно некоторой плоскости и мы рассчитали поведение того или иного состояния, то нам также известно поведение состояния, которое получилось бы после отражения исходного состояния в плоскости симметрии.

Фиг. 15.2. Если в симметричной системе чистое состояние развивается во времени так, как показано в части (а), то чистое состояние будет во времени развиваться так, как показано в части (б).

То же самое можно высказать чуть более общо, т. е. чуть более отвлеченно. Пусть - любая из множества операций, которые вы можете произвести над системой, не меняя физики. К примеру, за мы можем принять операцию отражения в плоскости, расположенной посредине между двумя атомами молекулы водорода. Или в системе с двумя электронами можно было бы под подразумевать операцию обмена двумя электронами. Третьей возможностью явилась бы в сферически симметричной системе операция поворота всей системы на конечный угол вокруг некоторой оси; от этого физика не изменится. Конечно, в каждом отдельном случае мы бы обозначали по-своему. В частности, через мы обычно будем обозначать операцию «поверни систему вокруг оси на угол ». Под мы просто понимаем один из названных операторов или любой другой, который оставляет всю физическую ситуацию неизменной. Оператор мы будем называть оператором симметрии для системы.

Вот вам еще примеры операторов симметрии. Если у нас имеется атом, а внешнее магнитное или внешнее электрическое поле отсутствует, то после поворота системы координат вокруг любой оси физическая система остается той же самой. Опять-таки молекула аммиака симметрична относительно отражения в плоскости, параллельной той, в которой лежат три атома водорода (пока нет электрического поля). Если есть электрическое поле, то при отражении надо было бы обратить и поле, а это меняет всю физическую задачу. Но пока внешнего поля нет, молекула симметрична.

Теперь рассмотрим общий случай. Положим, мы начали с состояния , а через некоторое время или под влиянием других физических условий оно превратилось в состояние . Напишем

[Посмотрите на формулу (15.4).] Теперь вообразите, что над всей системой мы проводим операцию . Состояние преобразится в состояние , которое также записывается в виде . А состояние превращается в . И вот, если физика симметрична относительно (не забывайте про это, если это отнюдь не общее свойство системы), тогда, подождав в тех же условиях то же время, мы должны получить

[Как в (45.5).] Но вместо можно написать , а вместо написать , так что (15.7) переписывается в виде, выполняется и для матриц и .]

Кстати, поскольку для бесконечно малого времени мы имеем , где - обычный гамильтониан [см. гл. 6 (вып. 8)], то легко видеть, что когда (15.10) выполнено, то выполнено и

Так что (15.11) есть математическая формулировка условий на симметричность физической ситуации относительно оператора . Она определяет симметрию.