31.01(01.02)Урок математики по теме "Поворот и центральная симметрия". 6-й класс

Цели урока:

повторение действий с десятичными дробями;

знакомство учащихся с понятием поворот и центральная симметрия;

формирование навыка построения симметричных точек относительно центра;

воспитание устойчивого интереса к изучению математики через применение различных видов деятельности на уроке;

воспитание графической культуры;

развитие мыслительной деятельности, анализа и синтеза через практическую деятельность на уроке;

развитие внимания, познавательного интереса.

Оборудование: интерактивная доска, презентация к уроку.

План урока.

Организационный момент.

Повторение действий с десятичными дробями.

Изучение нового материала, первоначальное закрепление.

Итог урока, домашнее задание.

Ход урока

1. Организационный момент.

Сообщение о требованиях к уроку, необходимых инструментах и пособиях.

Что изучает математика в 6 классе.

2. Повторение.

1) Вспомнить правила действий с десятичными дробями, привести примеры.

2) Устный счет (используется “Математический тренажер”, 6 класс, стр. 10 , задание на ИД).

3) Письменная работа № 14, 15 по первой строчке в каждом номере (у доски 1 ученик по желанию работает на оценку).

№14 а) 2, 31+ 15, 7= 18, 01

в) 4, 327 – 2, 05 = 2, 277

д) 15, 6 + 0, 671 = 16, 271

№15 а) 91, 05 · 3, 2 = 291, 36

в) 268, 8: 5,6 = 48

д) 7, 02 · 0, 0055 = 0, 03861

3. Изучение нового материала.

Тема нашего урока “Поворот и центральная симметрия” (Слайд 1)

В геометрии рассматриваются вопросы, связанные с движением фигур. Мы сегодня познакомимся с поворотом и центральной симметрией.

1) Возьмем на плоскости точки О и А. Повернем точку А вокруг точки О на некоторый угол. Точка А перейдет в точку А 1 . (Слайд 2). Сделаем такое же построение в тетради, заполним пропуски в тексте.

При этом точка О (неподвижная точка) будет являться центром поворота, точка А – подвижная точка, а угол поворота - это угол АОА 1 . Поворот может быть как по часовой, так и против часовой стрелки.

Таким образом мы можем дать определение поворота:

Опр. Поворо"т (враще"ние) - движение, при котором по крайней мере одна точка плоскости остаётся неподвижной (щелчок мышью).

2) Рассмотрите рисунок (щелчок мышью ). Здесь также показаны повороты точек. Опишите этот рисунок и определите, на какой угол поворачивается точка в каждом случае. Для какой точки угол поворота можно определить без транспортира? Охарактеризуйте расположение начальной и конечной точек относительно центра. (Устная работа по рисунку 2 из учебника)

3) Поворот - естественный процесс, происходящий в природе, окружающем нас мире.

Рассмотрите рисунки, дайте характеристику каждому повороту. (Слайд 3, 4)

4) Выполним письменно задание №1. (Слайд 5)

Постройте образ отрезка MN= 4 см при повороте на угол 90° вокруг точки О по часовой стрелке.

(Обсуждается алгоритм выполнения поворота и поэтапно вместе с анимацией выполняется построение в тетрадях. Учитель контролирует выполнение заданий и оказывает необходимую помощь).

Сравните отрезки MN и M 1 N 1 .

5) На следующем слайде вы видите различные орнаменты (Слайд 6). Все они состоят из одинаково повторяющихся элементов. Укажите эти элементы. Обратите внимание на фрагменты орнаментов б), г), е), ж). Что их объединяет? (Каждый из них можно получить из другой части поворотом на 180° относительно некоторой точки).

6) Рассмотрим следующий поворот. (Слайд 7)

Отметим на плоскости точки О и А, проведем прямую АО. На этой прямой отложим от точки О отрезок ОА 1 , равный отрезку АО, но по другую сторону от точки О. Получим развернутый угол АОА 1 . Это значит, что точку А 1 можно получить поворотом точки А на 180° вокруг точки О. Точки А и А 1 называют симметричными относительно точки О, а точку О называют центром симметрии.

Рассмотрим рисунок желтой и красной рыбы. Они симметричны относительно точки О.

Опр . Фигуры, симметричные относительно какой-либо точки называют центрально симметричными фигурами.

Как расположены центрально-симметричные точки, относительно центра симметрии?

(Лежат на одной прямой с центром симметрии)

7) Устно №1 стр.7 рис.7. (Слайд 8). Укажите центр симметрии и какие-нибудь пары центрально-симметричных точек.

(Слайд идет в обычном режиме или рисунок выносится на интерактивную доску, чтобы можно было выполнить необходимое построение).

8) Устно ( Слайд 9 ). Укажите, какие фигуры на рисунках имеют центр симметрии.

4. Итог урока.

Ответьте на вопросы:

Как вы поняли, что такое поворот?

Как используя поворот, получить центрально-симметричные точки?

Как построить центрально- симметричные точки?

Классный час в 9 классе, стратегия « Продвинутая лекция »

Осевая и центральная симметрия, параллельный перенос,
поворот - как движения плоскости

Буякова Елена Валерьевна

Цель : показать различные способы задания уравнения прямой и общее уравнение прямой.

Задачи :

1) ознакомиться с такими понятиями, как направляющий вектор и вектор нормали прямой;

2) показать четыре различных способа задания уравнения прямой;

3) показать взаимозаменяемость различных способов задания прямой.

Ход урока .

1. Тема урока. Разбиение класса на пары.

2. Инструктаж по чтению текста (приложение 1) и выполнению работы

Чтение и заполнение ведутся индивидуально. Текст разбит на две части.

Первый номер пары проверяет соответствие выписаных слов читаемому тексту.

Второй номер пары запоминает основные факты, с тем, что объяснить первому номеру.

Вторую часть текста пары читают, поменявшись ролями.

3. Вопрос к первой части: Что вы помните о осевой и центральной симметрии ?

4. Вопрос ко второй части текста: Какие ассоциации у вас возникают с темой «параллельный перенос, поворот »?

На доску выписываются слова - ассоциации, найденные каждой парой (без повторов), в тетрадях учащиеся пополняют свои списки данных слов. После чего читается соответствующий текст.

5. Обсуждение в парах.

6. Рефлексия - 10 минутное эссе на тему «Движения плоскости: виды и их отличия»

Приложение 1

Центральная и осевая симметрия

Определение. Симметрия (означает «соразмерность») — свойство геометрических объектов совмещаться с собой при определенных преобразованиях. Под симметрией понимают всякую правильность во внутреннем строении тела или фигуры.

Симметрия относительно точки — это центральная симметрия (рис. 23 ниже), а симметрия относительно прямой — это осевая симметрия (рис. 24 ниже).

Симметрия относительно точки предполагает, что по обе стороны от точки на одинаковых расстояниях находится что-либо, например другие точки или геометрическое место точек (прямые линии, кривые линии, геометрические фигуры).

Если соединить прямой симметричные точки (точки геометрической фигуры) через точку симметрии, то симметричные точки будут лежать на концах прямой, а точка симметрии будет ее серединой. Если закрепить точку симметрии и вращать прямую, то симметричные точки опишут кривые, каждая точка которых тоже будет симметрична точке другой кривой линии.

Симметрия относительно прямой (оси симметрии) предполагает, что по перпендикуляру, проведенному через каждую точку оси симметрии, на одинаковом расстоянии от нее расположены две симметричные точки. Относительно оси симметрии (прямой) могут располагаться те же геометрические фигуры, что и относительно точки симметрии.

Примером может служить лист тетради, который согнут пополам, если по линии сгиба провести прямую линию (ось симметрии). Каждая точка одной половины листа будет иметь симметричную точку на второй половине листа, если они расположены на одинаковом расстоянии от линии сгиба на перпендикуляре к оси.

Линия осевой симметрии, как на рисунке 24, вертикальна, и горизонтальные края листа перпендикулярны ей. Т. е. ось симметрии служит перпендикуляром к серединам горизонтальных ограничивающих лист прямых. Симметричные точки (R и F, C и D) расположены на одинаковом расстоянии от осевой прямой — перпендикуляра к прямым, соединяющим эти точки. Следовательно, все точки перпендикуляра (оси симметрии), проведенного через середину отрезка, равноудалены от его концов; или любая точка перпендикуляра (оси симметрии) к середине отрезка равноудалена от концов этого отрезка.

Параллельный перенос

Параллельным переносом называется такое движение, при котором все точки плоскости перемещаются в одном и том же направлении на одинаковое расстояние.

Подробнее: параллельный перенос произвольным точкам плоскости X и Y ставит в соответсвие такие точки X" и Y", что XX"=YY" или еще можно сказать так: параллельный перенос это отображение, при котором все точки плоскости перемещаются на один и тот же вектор - вектор переноса . Параллельный перенос задается вектором переноса: зная этот вектор всегда можно сказать, в какую точку перейдет любая точка плоскости.

Параллельный перенос является движением, сохраняющим направления. Дейсвтительно, пусть при параллельном переносе точки X и Y перешли в точки X" и Y" соответственно. Тогда выполняется равенство XX"=YY". Но из этого равенства по признаку равных векторов следут, что XY=X"Y", откуда получаем, что во-первых XY=X"Y", то есть параллельный перенос является движением, и во вторых, что XY X"Y", то есть при параллельном переносе сохраняются направления.

Это свойство параллельного переноса - его характерное свойство, то есть справедливо утверждение: движение, сохраняющее направления является параллельным переносом.

Поворот

Поворот плоскости относительно цетра O на данный угол () в данном направлении определяется так: каждой точке X плоскости ставится в соответсвие такая точка X", что, во-первых, OX"=OX, во-вторых и, в-третих, луч OX" откладывается от луча OX в заданном направлении. Точка O называется центром поворота , а угол -углом поворота .

Докажем, что поворот является движением:

Пусть при повороте вокруг точки O точкам X и Y сопостовляются точки X" и Y". Покажем, что X"Y"=XY.

Рассмотрим общий случай, когда точки O, X, Y не лежат на одной прямой. Тогда угол X"OY" равен углу XOY. Действительно, пусть угол XOY от OX к OY отсчитывается в направлении поворота. (Если это не так, то рассматриваем угол YOX). Тогда угол между OX и OY" равен сумме угла XOY и угла поворота (от OY к OY"):

с другой стороны,

Так как (как углы поворота), следовтельно . Кроме того, OX"=OX, и OY"=OY. Поэтому - по двум сторонам и углу между ними. Следовтельно X"Y"=XY.

Если же точки O, X, Y лежат на одной прямой, то отрезки XY и X"Y" будут либо суммой, любо разностью равных отрезков OX, OY и OX", OY". Поэтому и в этом случае X"Y"=XY. Итак, поворот является движением.

Научно-практическая конференция

МОУ «Средняя общеобразовательная школа № 23»

города Вологды

секция: естественно - научная

проектно-исследовательская работа

ВИДЫ СИММЕТРИИ

Выполнила работу ученица 8 «а» класса

Кренёва Маргарита

Руководитель: учитель математики высшей

2014 год

Структура проекта:

1. Введение.

2. Цели и задачи проекта.

3. Виды симметрии:

3.1. Центральная симметрия;

3.2. Осевая симметрия;

3.3. Зеркальная симметрия (симметрия относительно плоскости);

3.4. Поворотная симметрия;

3.5. Переносная симметрия.

4. Выводы.

Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство.

Г. Вейль

Введение.

Тема моей работы была выбрана после изучения раздела «Осевая и центральная симметрия» в курсе «Геометрия 8 класса». Меня очень заинтересовала эта тема. Я захотела узнать: какие виды симметрии существуют, чем они отличаются друг от друга, каковы принципы построения симметричных фигур в каждом из видов.

Цель работы : Знакомство с различными видами симметрии.

Задачи:

Изучить литературу по данному вопросу.

Обобщить и систематизировать изученный материал.

Подготовить презентацию.

В древности слово «СИММЕТРИЯ» употреблялось в значении «гармония», «красота». В переводе с греческого это слово означает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей чего-либо по противоположным сторонам от точки, прямой или плоскости.

Существуют две группы симметрий.

К первой группе относится симметрия положений, форм, структур. Это та симметрия, которую можно непосредственно видеть. Она может быть названа геометрической симметрией.

Вторая группа характеризует симметрию физических явлений и законов природы. Эта симметрия лежит в самой основе естественнонаучной картины мира: ее можно назвать физической симметрией.

Я остановлюсь на изучении геометрической симметрии .

В свою очередь, геометрической симметрии существует тоже несколько видов: центральная, осевая, зеркальная (симметрия относительно плоскости) радиальная (или поворотная), переносная и другие. Я рассмотрю сегодня 5 видов симметрии.

Центральная симметрия

Две точки А и А 1 называются симметричными относительно точки О, если они лежат на прямой, проходящей через т О и находятся по разные стороны от неё на одинаковом расстоянии. Точка О называется центром симметрии.

Фигура называется симметричной относительно точки О , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры, говорят, что фигура обладает центральной симметрией.

Примерами фигур, обладающими центральной симметрией является окружность и параллелограмм.

Фигуры, изображённые на слайде симметричны, относительно некоторой точки

2. Осевая симметрия

Две точки X и Y называются симметричными относительно прямой t , если эта прямая проходит чрез середину отрезка ХУ и перпендикулярна к нему. Также следует сказать, что каждая точка прямой t считается симметричной сама себе.

Прямая t – ось симметрии.

Фигура называется симметричной относительно прямой t , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой t также принадлежит этой фигуре.

Прямая t называется осью симметрии фигуры, говорят, что фигура обладает осевой симметрией.

Осевой симметрией обладают неразвёрнутый угол, равнобедренный и равносторонний треугольники, прямоугольник и ромб, буквы (смотри презентацию).

Зеркальная симметрия (симметрия относительно плоскости)

Две точки Р 1 и Р называются симметричными относительно плоскости а если они лежат на прямой, перпендикулярной плоскости а, и находятся от неё на одинаковом расстоянии

Зеркальная симметрия хорошо знакома каждому человеку. Она связывает любой предмет и его отражение в плоском зеркале. Говорят, что одна фигура зеркально симметрична другой.

На плоскости фигурой с бесчисленным множеством осей симметрии был круг. В пространстве бесчисленное множество плоскостей симметрии имеет шар.

Но если круг является единственным в своем роде, то в трехмерном мире имеется целый ряд тел, обладающих бесконечным множеством плоскостей симметрии: прямой цилиндр с кругом в основании, конус с круговым основанием, шар.

Легко установить, что каждая симметричная плоская фигура может быть с помощью зеркала совмещена сама с собой. Достойно удивления, что такие сложные фигуры, как пятиконечная звезда или равносторонний пятиугольник, тоже симметричны. Как это вытекает из числа осей, они отличаются именно высокой симметрией. И наоборот: не так просто понять, почему такая, казалось бы, правильная фигура, как косоугольный параллелограмм, несимметрична.

4. П оворотная симметрия (или радиальная симметрия)

Поворотная симметрия - это симметрия, сохраняющаяся форму предмета при повороте вокруг некоторой оси на угол, равный 360°/ n (или кратный этой величине), где n = 2, 3, 4, … Указанную ось называют поворотной осью n -го порядка.

При п=2 все точки фигуры поворачиваются на угол 180 0 ( 360 0 /2 = 180 0 )вокруг оси, при этом форма фигуры сохраняется, т.е. каждая точка фигуры переходит в точку той же фигуры(фигура преобразуется сама в себя). Ось называют осью второго порядка.

На рисунке 2 показана ось третьего порядка, на рисунке 3 – 4 порядка, на рисунке 4 - 5-го порядка.

Предмет может иметь более одной поворотной оси: рис.1 – 3оси поворота, рис.2 -4 оси, рис 3 – 5 осей, рис. 4 – только 1 ось

Всем известные буквы «И» и «Ф» обладают поворотной симметрией Если повернуть букву «И» на 180° вокруг оси, перпендикулярной к плоскости буквы и проходящей через ее центр, то буква совместится сама с собой. Иными словами, буква «И» симметрична относительно поворота на 180°, 180°= 360°: 2, n =2 , значит она обладает симметрией второго порядка.

Заметим, что поворотной симметрией второго порядка обладает также буква «Ф».

Кроме того буква и имеет центр симметрии, а буква Ф ось симметрии

Вернемся к примерам из жизни: стакан, конусообразный фунтик с мороженым, кусочек проволоки, труба.

Если мы повнимательней присмотримся к этим телам, то заметим, что все они, так или иначе состоят из круга, через бесконечное множество осей симметрии которого проходит бесчисленное множество плоскостей симметрии. Большинство таких тел (их называют телами вращения) имеют, конечно, и центр симметрии (центр круга), через который проходит по меньшей мере одна поворотная, ось симметрии.

Отчетливо видна, например, ось у конуса фунтика с мороженым. Она проходит от середины круга (торчит из мороженого!) до острого конца конуса-фунтика. Совокупность элементов симметрии какого-либо тела мы воспринимаем как своего рода меру симметрии. Шар, без сомнения, в отношении симметрии является непревзойденным воплощением совершенства, идеалом. Древние греки воспринимали его как наиболее совершенное тело, а круг, естественно, как наиболее совершенную плоскую фигуру.

Для описания симметрии конкретного объекта надо указать все поворотные оси и их порядок, а также все плоскости симметрии.

Рассмотрим, например, геометрическое тело, составленное из двух одинаковых правильных четырехугольных пирамид.

Оно имеет одну поворотную ось 4-го порядка (ось АВ), четыре поворотные оси 2-го порядка (оси СЕ, DF , MP , NQ ), пять плоскостей симметрии (плоскости CDEF , AFBD , ACBE , AMBP , ANBQ ).

5 . Переносная симметрия

Ещё одним видом симметрии является переносная с имметрия.

О такой симметрии говорят тогда, когда при переносе фигуры вдоль прямой на какое-то расстояние «а» либо расстояние, кратное этой величине, она совмещается сама с собой Прямая, вдоль которой производится перенос, называется осью переноса, а расстояние «а» - элементарным переносом, периодом или шагом симметрии.

а

Периодически повторяющийся рисунок на длинной ленте называется бордюром. На практике бордюры встречаются в различных видах (настенная роспись, чугунное литье, гипсовые барельефы или керамика). Бордюры применяют маляры и художники при оформлении комнаты. Для выполнения этих орнаментов изготавливают трафарет. Передвигаем трафарет, переворачивая или не переворачивая его, обводим контур, повторяя рисунок, и получается орнамент (наглядная демонстрация).

Бордюр легко построить с помощью трафарета (исходного элемента), сдвигая или переворачивая его и повторяя рисунок. На рисунке изображены трафареты пяти видов: а ) несимметричный; б, в ) имеющие одну ось симметрии: горизонтальную или вертикальную; г ) центрально-симметричный; д ) имеющий две оси симметрии: вертикальную и горизонтальную.

Для построения бордюров используют следующие преобразования:

а ) параллельный перенос; б ) симметрию относительно вертикальной оси; в ) центральную симметрию; г ) симметрию относительно горизонтальной оси.

Аналогично можно построить розетки. Для этого круг делят на n равных секторов, в одном из них выполняют образец рисунка и затем последовательно повторяют последний в остальных частях круга, поворачивая рисунок каждый раз на угол 360°/ n .

Наглядным примером применения осевой и переносной симметрии может служить забор, изображённый на фотографии.

Вывод: Таким образом, существуют различные виды симметрии, симметричные точки в каждом из этих видов симметрии строятся по определённым законам. В жизни мы повсюду встречаемся тем или иным видом симметрии, а часто у предметов, которые нас окружают, можно отметить сразу несколько видов симметрии. Это создаёт порядок, красоту и совершенство в окружающем нас мире.

ЛИТЕРАТУРА:

Справочник по элементарной математике. М.Я. Выгодский. – Издательство « Наука». – Москва 1971г. – 416стр.

Современный словарь иностранных слов. - М.: Русский язык, 1993г .

История математики в школе IX - X классы. Г.И. Глейзер. – Издательство «Просвещение». – Москва 1983г. – 351стр.

Наглядная геометрия 5 – 6 классы. И.Ф. Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева. – Издательство «Дрофа», Москва 2005г. – 189стр.

Энциклопедия для детей. Биология. С. Исмаилова. – Издательство «Аванта+». – Москва 1997г. – 704стр.

Урманцев Ю.А. Симметрия природы и природа симметрии - М.: Мысль arxitekt / arhkomp 2. htm , , ru.wikipedia.org/wiki/

Со-сто-я-щий из зве-ньев оди-на-ко-вой дли-ны и ис-поль-зу-ю-щий пол-зу-ны, пе-ре-дви-га-ю-щи-е-ся по крас-но-му непо-движ-но-му стерж-ню, ре-а-ли-зу-ет на плос-ко-сти осе-вую сим-мет-рию. Дей-стви-тель-но, по-ло-же-ние од-но-го из зе-лё-ных шар-ни-ров за-да-ёт по-ло-же-ние и дли-ну про-ти-во-по-лож-ной сто-ро-ны сво-е-го тре-уголь-ни-ка, а тре-уголь-ни-ки, на-хо-дя-щи-е-ся по раз-ные сто-ро-ны от стерж-ня, все-гда рав-ны. Зна-чит, при лю-бом по-ло-же-нии ме-ха-низ-ма два зе-лё-ных шар-ни-ра сим-мет-рич-ны от-но-си-тель-но крас-но-го стерж-ня.

Возь-мём фигу-ру - кри-во-ли-ней-ный тре-уголь-ник - и по-смот-рим, во что она пе-рей-дёт под дей-стви-ем на-ше-го ме-ха-низ-ма. По-лу-чит-ся сим-мет-рич-ная фигу-ра . Она, в том чис-ле, рав-на из-на-чаль-ной, но по-дру-го-му ори-ен-ти-ро-ва-на. Т.е., ес-ли счи-тать плос-кость бес-ко-неч-ным ли-стом бу-ма-ги с на-ри-со-ван-ной на нём фигу-рой, то чтобы сов-ме-стить фигу-ру и её об-раз, необ-хо-ди-мо сло-жить лист по оси сим-мет-рии, при этом у од-ной его по-ло-вин-ки по-ме-ня-ет-ся верх с ни-зом.

При-ме-ним те-перь к уже по-лу-чив-ше-му-ся тре-уголь-ни-ку наш ме-ха-низм, ре-а-ли-зу-ю-щий сим-мет-рию, с осью, па-рал-лель-ной оси пер-во-го ме-ха-низ-ма. По-лу-чив-ший-ся тре-уголь-ник име-ет ту же ори-ен-та-цию, что и са-мый пер-вый, и по-лу-ча-ет-ся из него па-рал-лель-ным пе-ре-но-сом, т.е. сдви-гом. Двой-ной па-рал-ле-ло-грамм с дву-мя крас-ны-ми за-креп-лён-ны-ми шар-ни-ра-ми ре-а-ли-зу-ет это пре-об-ра-зо-ва-ние на плос-ко-сти. Итак, ре-зуль-та-том двух осе-вых сим-мет-рий с па-рал-лель-ны-ми ося-ми яв-ля-ет-ся про-сто сдвиг. Вер-но и об-рат-ное - лю-бой па-рал-лель-ный пе-ре-нос мож-но раз-ло-жить в две осе-вые сим-мет-рии с па-рал-лель-ны-ми ося-ми. Как нетруд-но за-ме-тить, та-кое раз-ло-же-ние не един-ствен-но.

Та-кой ре-зуль-тат по-сле-до-ва-тель-ных отоб-ра-же-ний на-зы-ва-ет-ся в ма-те-ма-ти-ке ком-по-зи-ци-ей, а в тер-ми-но-ло-гии функ-ций - слож-ной функ-ци-ей. Так же, как и в ана-ли-ти-че-ской за-пи-си, ре-зуль-тат ком-по-зи-ции мож-но по-лу-чить, ли-бо по-сле-до-ва-тель-но вы-пол-няя со-став-ля-ю-щие её дей-ствия, ли-бо как-то пре-об-ра-зо-вав и при-ме-нив уже в «упро-щён-ном» ви-де. При этом пре-об-ра-зо-ван-ный объ-ект внешне мо-жет быть со-вер-шен-но не по-хож на из-на-чаль-ные, из ко-то-рых он по-лу-чал-ся.

А что же бу-дет, ес-ли оси сим-мет-рий не па-рал-лель-ны ?

Ком-по-зи-ци-ей двух осе-вых сим-мет-рий с непа-рал-лель-ны-ми ося-ми яв-ля-ет-ся по-во-рот с цен-тром в точ-ке пе-ре-се-че-ния осей. При этом угол, на ко-то-рый по-во-ра-чи-ва-ет-ся фигу-ра, ра-вен удво-ен-но-му уг-лу меж-ду ося-ми. Как и в слу-чае со сдви-гом, вер-но и об-рат-ное - лю-бой по-во-рот на плос-ко-сти рас-кла-ды-ва-ет-ся на две осе-вые сим-мет-рии.

Шар-нир-ный ме-ха-низм, ос-но-ван-ный на ром-бе, ре-а-ли-зу-ет пре-об-ра-зо-ва-ние по-во-ро-та плос-ко-сти.

А те-перь к плос-ко-сти (на при-ме-ре на-шей фигу-ры) при-ме-ним по-сле-до-ва-тель-но па-рал-лель-ный пе-ре-нос, а за-тем по-во-рот. Мож-но ли ка-ким-то од-ним пре-об-ра-зо-ва-ни-ем сов-ме-стить ис-ход-ную и ко-неч-ную фигу-ры?

Раз-ло-жим ис-поль-зо-ван-ный по-во-рот на две сим-мет-рии . Из этой кар-тин-ки вид-но, что этап по-лу-че-ния се-ро-го тре-уголь-ни-ка и по-том при-ме-не-ния к нему од-ной сим-мет-рии мож-но за-ме-нить про-сто на од-ну сим-мет-рию. А та-кая кар-тин-ка - ком-по-зи-ция двух осе-вых сим-мет-рий с непа-рал-лель-ны-ми ося-ми - нам уже зна-ко-ма, это есть про-сто по-во-рот.

На-ри-су-ем тре-уголь-ник на сто-ле. По-ло-жив ли-сток бу-ма-ги по-верх, об-ве-дём фигу-ру. Под-ни-мем ли-сто-чек и от-пу-стим , чтобы он слу-чай-ным об-ра-зом опу-стил-ся на стол, но при этом не пе-ре-вер-нул-ся. Тем са-мым по-лу-че-но, как го-во-рят ма-те-ма-ти-ки, «в об-щем ви-де» дви-же-ние плос-ко-сти - пре-об-ра-зо-ва-ние, со-хра-ня-ю-щее рас-сто-я-ния и не ме-ня-ю-щее ори-ен-та-цию. Ко-неч-но, мог-ло так слу-чить-ся, что фигу-ры от-ли-ча-ют-ся па-рал-лель-ным пе-ре-но-сом, но ве-ро-ят-ность, что ли-сто-чек ля-жет так ак-ку-рат-но, очень ма-ла. Во всех дру-гих слу-ча-ях это - про-сто по-во-рот с неко-то-рым цен-тром на неко-то-рый угол!

§ 1 Понятие поворот и центральная симметрия

Поворот (вращение) - это движение, при котором хотя бы одна точка плоскости остается неподвижной.

Давайте рассмотрим поворот стрелки часов. Стрелка на циферблате показывает на точку А. Через какое-то время она передвигается на точку А1, при этом место прикрепления стрелки к циферблату точка О остается неподвижным. Таким образом, стрелка часов совершает поворот.

В данном случае показан поворот точки А вокруг точки О. При повороте точка А переходит в точку А1.

Точка О (неподвижная точка) - центр поворота.

Точка А - подвижная точка.

Угол АОА1 - угол поворота, расстояние ОА равно расстоянию ОА1.

Поворот может быть как по часовой так и против часовой стрелки.

§ 2 Правила построения центрально-симметричных точек

Построим поворот точки В на 900 относительно точки О. Для этого, отмечаем на плоскости точки О и В на некотором расстоянии друг от друга.

Проводим луч ОВ. От луча ОВ с помощью транспортира строим угол 900. На полученном луче отмечаем точку В1 так, что ОВ = ОВ1.

Таким образом, мы построили поворот точки В в точку В1 , точка О - центр поворота, угол ВОВ1 - угол поворота.

Поработаем еще. Отметим на плоскости точку О. Проведем через точку О прямую ОС. На прямой обозначим отрезок ОС1 равный ОС, но по другую сторону от точки О. Получим развернутый угол СОС1. Это значит что точка С1 получена при помощи поворота точки С на угол 1800 с центром поворота О.

В данному случае точки С и С1 называются симметричными относительно точки О. Точка О - центр симметрии. Следовательно, поворот фигуры на 1800 с центром в точке называют центральной симметрией. А точки, которые лежат на одной прямой с центром симметрии по разные стороны и на равном расстоянии от него называют центрально-симметричными.

§ 3 Правила построения центрально-симметричных фигур

Центрально-симметричными могут быть и фигуры. Две фигуры F и F" называются центрально-симметричными относительно центра О, если каждой точке одной фигуры соответствует симметричная точка другой фигуры.

F F1

§ 4 Практическое задание

Перейдем к практическому заданию. Попробуем выполнить построение центрально-симметричных отрезков. Построим отрезок АВ. Отметим центр симметрии точку О, не принадлежащую отрезку АВ. Выполним поворот точки А в точку А1, точки В в точку В1 на 1800 относительно центра О. Соединим точки А1 и В1. Отрезки АВ и А1В1 - центрально-симметричные отрезки.

Точку, при повороте вокруг которой на 1800 фигура совпадает со своим первоначальным изображением, называют центром симметрии фигуры. А саму фигуру центрально-симметричной.

Некоторые четырёхугольники — параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат — являются центрально-симметричными фигурами. Центром симметрии для них является точка пересечения диагоналей. Центром симметрии окружности является центр этой окружности. Прямая также обладает центральной симметрией, однако в отличие от других центрально-симметричных фигур у прямой центров симметрии бесконечно много - любая точка прямой.

Итак, на этом уроке мы познакомились с понятиями «поворот» и «центральная симметрия», научились строить центрально-симметричные фигуры и выполнять поворот точки относительно центра, узнали о центрально-симметричных фигурах.

Список использованной литературы:

1. Математика.6 класс: поурочные планы к учебнику И.И.Зубаревой, А.Г. Мордковича //автор-составитель Л.А. Топилина. Мнемозина 2009 г.
2. Математика. 6класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. И.И.Зубарева, А.Г.Мордкович. Мнемозина, 2013 г.

Использованные изображения: