Что такое произведение цифр. Умножение целых чисел, правила, примеры
Для решения многих задач "на максимум и минимум", т.е. на разыскание наибольшего и наименьшего значений переменной величины, можно успешно пользоваться некоторыми алгебраическими утверждениями, с которыми мы сейчас познакомимся.
x · y
Рассмотрим следующую задачу:
На какие две части надо разбить данное число, чтобы произведение их было наибольшим?
Пусть данное число а . Тогда части, на которые разбито число а , можно обозначить через
а / 2 + x и a / 2 - x ;
число х показывает, на какую величину эти части отличаются от половины числа а . Произведение обеих частей равно
( а / 2 + x ) · ( a / 2 - x ) = a 2 / 4 - x 2 .
Ясно, что произведение взятых частей будет увеличиваться при уменьшении х , т.е. при уменьшении разности между этими частями. Наибольшим произведение будет при x = 0 , т.е. в случае, когда обе части равны a / 2 .
Итак,
произведение двух чисел, сумма которых неизменна, будет наибольшим тогда, когда эти числа равны между собой.
x · y · z
Рассмотрим тот же вопрос для трех чисел.
На какие три части надо разбить данное число, чтобы произведение их было наибольшим?
При решении этой задачи будем опираться на предыдущую.
Пусть число а разбито на три части. Предположим сначала, что ни одна из частей не равна a / 3 .Тогда среди них найдется часть, большая a / 3 (все три не могут быть меньше a / 3 ); обозначим ее через
a / 3 + x .
Точно так же среди них найдется часть, меньшая a / 3 ; обозначим ее через
a / 3 - y .
Числа х и у положительны. Третья часть будет, очевидно, равна
a / 3 + y - x .
Числа a / 3 и a / 3 + x - y имеют ту же сумму, что и первые две части числа а , а разность между ними, т.е. х - y , меньше, чем разность между первыми двумя частями, которая была равна х + y . Как мы знаем из решения предыдущей задачи, отсюда следует, что произведение
a / 3 · ( a / 3 + x - y )
больше, чем произведение первых двух частей числа а .
Итак, если первые две части числа а заменить числами
a / 3 и a / 3 + x - y ,
а третью оставить без изменения, то произведение увеличится.
Пусть теперь одна из частей уже равна a / 3 . Тогда две другие имеют вид
a / 3 + z и a / 3 - z .
Если мы эти две последние части сделаем равными a / 3 (отчего сумма их не изменится), то произведение снова увеличится и станет равным
a / 3 · a / 3 · a / 3 = a 3 / 27 .
Итак,
если число а разбито на 3 части, не равные между собой, то произведение этих частей меньше чем а 3 / 27 , т.е. чем произведение трех равных сомножителей, в сумме составляющих а .
Подобным же образом можно доказать эту теорему и для четырех множителей, для пяти и т.д.
x p · y q
Рассмотрим теперь более общий случай.
При каких значениях х и y выражение х p у q наибольшее, если х + y = а ?
Надо найти, при каком значении х выражение
х р · (а - х ) q
достигает наибольшей величины.
Умножим это выражение на число 1 / р p q q . Получим новое выражение
x p / p p · (a - x ) q / q q ,
которое, очевидно, достигает наибольшей величины тогда же, когда и первоначальное.
Представим полученное сейчас выражение в виде
(a - x ) / q · (a - x ) / q · ... · (a - x ) / q ,
где множители первого вида повторяются p раз, а второго - q раз.
Сумма всех множителей этого выражения равна
x / p + x / p + ... + x / p + (a - x ) / q + (a - x ) / q + ... + (a - x ) / q =
= px / p + q ( a - x ) / q = x + a - x = a ,
т.е. величине постоянной.
На основании ранее доказанного заключаем, что произведение
x / p · x / p · ... · x / p · (a - x ) / q · (a - x ) / q · ... · (a - x ) / q
достигает максимума при равенстве всех его отдельных множителей, т.е. когда
x / p = (a - x ) / q .
Зная, что а - х = y , получаем, переставив члены, пропорцию
x / y = p / q .
Итак,
произведение х p y q при постоянстве суммы х + у достигает наибольшей величины тогда, когда
x: y = p: q .
Таким же образом можно доказать, что
произведения
x p y q z r , x p y q z r t u и т.п.
при постоянстве сумм x + y + z , x + y + z + t и т.д. достигают наибольшей величины тогда, когда
х: у: z = p: q: r , х: у: z: t = p: q: r: u и т.д.
Одинаковых слагаемых. Например, запись 5*3 обозначает «5 сложить с собой 3 раза», то есть является просто краткой записью для 5+5+5. Результат умножения называется произведением , а умножаемые числа - множителями или сомножителями . Существуют также таблицы умножения .
Запись
Умножение обозначается звездочкой * , крестиком или точкой . Записи
обозначают одно и то же. Знак умножения часто пропускают, если это не приводит к путанице. Например, вместо обычно пишут .
Если сомножителей много, то часть их можно заменить многоточием. Например, произведение целых чисел от 1 до 100 может быть записано как
В буквенной записи применяется также символ произведения:
См. также
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Произведение (математика)" в других словарях:
- (математика) результат умножения. Произведение искусства. Музыкальное произведение. Аудиовизуальное произведение. Служебное произведение … Википедия
Произведение двух или более объектов это обобщение в теории категорий таких понятий, как декартово произведение множеств, прямое произведение групп и произведение топологических пространств. Произведение семейства объектов это в… … Википедия
Произведение Кронекера бинарная операция над матрицами произвольного размера, обозначается. Результатом является блочная матрица. Произведение Кронекера не следует путать с обычным умножением матриц. Операция названа в честь немецкого… … Википедия
История науки По тематике Математика Естественные науки … Википедия
I. Определение предмета математики, связь с другими науками и техникой. Математика (греч. mathematike, от máthema знание, наука), наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. «Чистая … Большая советская энциклопедия
Теория категорий раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов. Некоторые математики[кто?] считают теорию категорий слишком абстрактной и непригодной для… … Википедия
Вектор У этого термина существуют и другие значения, см. Вектор … Википедия
У этого термина существуют и другие значения, см. функция. Запрос «Отображение» перенаправляется сюда; см. также другие значения … Википедия
У этого термина существуют и другие значения, см. Операция. Операция отображение, ставящее в соответствие одному или нескольким элементам множества (аргументам) другой элемент (значение). Термин «операция» как правило применяется к… … Википедия
У этого термина существуют и другие значения, см. Ротор. Ротор, или вихрь векторный дифференциальный оператор над векторным полем. Обозначается (в русскоязычной литературе) или (в англоязычной литературе), а также как векторное умножение … Википедия
Книги
- Комплект таблиц. Математика. 4 класс. 8 таблиц + методика , . Учебный альбом из 8 листов (формат 68 х 98 см): - Доли. - Умножение и деление числа на произведение. - Сложение и вычитание величин. - Умножение и деление величин. - Письменное умножение на…
- Кирик Новгородец - русский ученый XII века в отечественной книжной культуре , Симонов Р.А.. Книга посвящена жизни и деятельности первого известного по имени русского математика и календареведа, новгородского монаха Кирика (1110 - после 1156), написавшего в 1136 г. научный трактат,…
- (product) Результат умножения. Произведение чисел, алгебраических выражений, векторов или матриц; может быть показано точкой, косой крестик или же просто написанием их последовательно один за другим, т.е. f(x).g(y), f(x) x g(y), f(x)g(y)… … Экономический словарь
Наука о целых числах. Понятие целого числа (См. Число), а также арифметических операций над числами известно с древних времён и является одной из первых математических абстракций. Особое место среди целых чисел, т. е. чисел..., 3 … Большая советская энциклопедия
Сущ., с., употр. часто Морфология: (нет) чего? произведения, чему? произведению, (вижу) что? произведение, чем? произведением, о чём? о произведении; мн. что? произведения, (нет) чего? произведений, чему? произведениям, (вижу) что? произведения,… … Толковый словарь Дмитриева
Матрица математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел (или элементов кольца) и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение и др.) между ним и другими подобными объектами. Правила выполнения… … Википедия
В арифметике под умножением понимают краткую запись суммы одинаковых слагаемых. Например, запись 5*3 обозначает «5 сложить с собой 3 раза», то есть является просто краткой записью для 5+5+5. Результат умножения называется произведением, а… … Википедия
Раздел теории чисел, основной задачей к рого является изучение свойств целых чисел полей алгебраических чисел конечной степени над полем рациональных чисел. Все целые числа поля расширения К поля степени п могут быть получены с помощью… … Математическая энциклопедия
Теория чисел, или высшая арифметика раздел математики, изучающий целые числа и сходные объекты. В теории чисел в широком смысле рассматриваются как алгебраические, так и трансцендентные числа, а также функции различного происхождения, которые… … Википедия
Раздел теории чисел, в к ром изучаются закономерности распределения простых чисел (п. ч.) среди натуральных чисел. Центральной является проблема наилучшего асимптотич. выражения при функции p(х), обозначающей число п. ч., не превосходящих х, а… … Математическая энциклопедия
- (в зарубежной литературе scalar product, dot product, inner product) операция над двумя векторами, результатом которой является число (скаляр), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов сомножителей и угол между… … Википедия
Определённая на векторном пространстве L над полем K симметричная эрмитова форма, рассматриваемая обычно в качестве составной части определения этого пространства, делающей пространство (в зависимости от типа пространства и свойств внутреннего … Википедия
Книги
- Сборник задач по мат-ке , Бачурин В.. Рассматриваемые в книге вопросы по математике вполне отвечают содержанию любой из трех программ: школьной, подготовительных отделений, вступительных экзаменов. Ихотя эта книга называется…
- Живая материя. Физика живого и эволюционных процессов , Яшин А.А.. В настоящей монографии обобщены исследования автора за последние несколько лет. Экспериментальные результаты, представленные в книге, получены Тульской научной школой биофизики полей и…
Разберем понятие умножение на примере:
Туристы находились в пути три дня. Каждый день они проходили одинаковый путь по 4200 м. Какое расстояние они прошли за три дня? Решите задачу двумя способами.
Решение:
Рассмотрим задачу подробно.
В первый день туристы прошли 4200м. Во-второй день тот же самый путь прошли туристы 4200м и в третий день – 4200м. Запишем математическим языком:
4200+4200+4200=12600м.
Мы видим закономерность число 4200 повторяется три раза, следовательно, можно сумму заменить умножением:
4200⋅3=12600м.
Ответ: туристы за три дня прошли 12600 метров.
Рассмотрим пример:
Чтобы нам не писать длинную запись можно записать ее в виде умножения. Число 2 повторяется 11 раз поэтому пример с умножением будет выглядеть так:
2⋅11=22
Подведем итог. Что такое умножение?
Умножение – это действие заменяющее повторение n раз слагаемого m.
Запись m⋅n и результат этого выражения называют произведением чисел , а числа m и n называют множителями .
Рассмотрим сказанное на примере:
7⋅12=84
Выражение 7⋅12 и результат 84 называются произведением чисел
.
Числа 7 и 12 называются множителями
.
В математике есть несколько законов умножения. Рассмотрим их:
Переместительный закон умножения.
Рассмотрим задачу:
Мы отдали по два яблока 5 своим друзьям. Математически запись будет выглядеть так: 2⋅5.
Или мы отдали по 5 яблок двум своим друзьям. Математически запись будет выглядеть так: 5⋅2.
В первом и втором случаем мы раздадим одинаковое количество яблок равное 10 штукам.
Если мы умножим 2⋅5=10 и 5⋅2=10, то результат не поменяется.
Свойство переместительного закона умножения:
От перемены мест множителей произведение не меняется.
m
⋅
n
=n⋅
m
Сочетательный закон умножения.
Рассмотрим на примере:
(2⋅3)⋅4=6⋅4=24 или 2⋅(3⋅4)=2⋅12=24 получим,
(2⋅3)⋅4=2⋅(3⋅4)
(a
⋅
b
) ⋅
c
=
a
⋅(b
⋅
c
)
Свойство сочетательного закона умножения:
Чтобы число умножить на произведение двух чисел, можно его сначала умножить на первый множитель, а затем полученное произведение умножить на второй.
Меняя несколько множителей местами и заключая их в скобки, результат или произведение не изменится.
Эти законы верны для любых натуральных чисел.
Умножение любого натурального числа на единицу.
Рассмотрим пример:
7⋅1=7 или 1⋅7=7
a
⋅1=a или 1⋅
a
=
a
При умножении любого натурального числа на единицу произведением будет всегда тоже число.
Умножение любого натурального числа на нуль.
6⋅0=0 или 0⋅6=0
a
⋅0=0 или 0⋅
a
=0
При умножении любого натурального числа на нуль произведение будет равно нулю.
Вопросы к теме “Умножение”:
Что такое произведение чисел?
Ответ: произведением чисел или умножение чисел называется выражение m⋅n, где m – слагаемое, а n – число повторений этого слагаемого.
Для чего нужно умножение?
Ответ: чтобы не писать длинное сложение чисел, а писать сокращенно. Например, 3+3+3+3+3+3=3⋅6=18
Что является результатом умножения?
Ответ: значение произведения.
Что означает запись умножения 3⋅5?
Ответ: 3⋅5=5+5+5=3+3+3+3+3=15
Если умножить миллион на нуль, чему будет равно произведение?
Ответ: 0
Пример №1:
Замените сумму произведением: а) 12+12+12+12+12 б)3+3+3+3+3+3+3+3+3
Ответ: а)12⋅5=60 б) 3⋅9=27
Пример №2:
Запишите в виде произведения: а) а+а+а+а б) с+с+с+с+с+с+с
Решение:
а)а+а+а+а=4⋅а
б) с+с+с+с+с+с+с=7⋅с
Задача №1:
Мама купила 3 коробки конфет. В каждой коробке по 8 конфет. Сколько конфет купила мама?
Решение:
В одной коробке 8 конфет, а у нас таких коробок 3 штуки.
8+8+8=8⋅3=24 конфеты
Ответ: 24 конфеты.
Задача №2:
Учительница рисования сказала приготовить своим восемью ученикам по семь карандашей на урок. Сколько всего карандашей вместе было у детей?
Решение:
Можно посчитать суммой задачу. У первого ученика было 7 карандашей, у второго ученика было 7 карандашей и т.д.
7+7+7+7+7+7+7+7=56
Запись получилась неудобная и длинная, заменим сумму на произведение.
7⋅8=56
Ответ 56 карандашей.
Задача 1.2
Даны два целых числа Х и Т. Если они имеют разные знаки, то присвоить Х значение произведения этих чисел, а Т - значение их разности по модулю. Если числа имеют одинаковые знаки, то присвоить Х значение разности по модулю исходных чисел, а Т - значение произведения этих чисел. Новые значения Х и Т вывести на экран.
Задача тоже несложная. “Непонятки” могут возникнуть только в том случае, если вы забыли, что такое разность по модулю (надеюсь, что такое произведение двух целых чисел, вы всё-таки помните))).
Разность по модулю двух чисел
Разность по модулю двух целых чисел (хотя не обязательно целых - это не имеет значения, просто в нашей задаче числа целые) - это, говоря по простому, когда итогом вычисления является модуль разности двух чисел.
То есть сначала выполняется операция вычитания одного числа из другого. А затем вычисляется модуль результата этой операции.
Математически это можно записать так:
Если кто забыл, что такое модуль или как его вычислить в Паскале, то см. .
Алгоритм определения знаков двух чисел
Решение задачи в целом довольно простое. Трудность у новичков может вызвать лишь определение знаков двух чисел. То есть надо ответить на вопрос: как узнать, имеют числа одинаковые знаки или разные.
Сначала напрашивается поочерёдное сравнение чисел с нулём. Это допустимо. Но исходный код будет довольно большим. Поэтому более правильно использовать такой алгоритм:
- Умножить числа друг на друга
- Если результат меньше нуля, значит у чисел разные знаки
- Если результат равен нулю или больше нуля, то у чисел одинаковые знаки
Этот алгоритм я выполнил в виде отдельной . А сама программа получилась такой, как показано в примерах на Паскале и С++ ниже.
Решение задачи 1.2 на Паскале program checknums; var A, X, T: integer; //**************************************************************** // Проверяет, имеют ли числа N1 и N2 одинаковые знаки. Если да, то // возвращает TRUE, иначе - FALSE //**************************************************************** function ZnakNumbers(N1, N2: integer) : boolean; begin := (N1 * N2) >= 0; end; //**************************************************************** // ОСНОВНАЯ ПРОГРАММА //**************************************************************** begin Write("X = "); ReadLn(X); Write("T = "); ReadLn(T); if ZnakNumbers(X, T) then //Если числа имеют одинаковые знаки begin A:= (X - T); //Получить разность по модулю исходных чисел T:= X * T; end else //Если числа имеют разные знаки begin A:= X * T; T:= Abs(X - T); end; X:= A; //Записать в Х значение А WriteLn("X = ", X); //Вывести Х WriteLn("T = ", T); //Вывести Т WriteLn("The end. Press ENTER..."); ReadLn; end.
Решение задачи 1.2 на С++ #include #include using namespace std; int A, X, T; //**************************************************************** // Проверяет, имеют ли числа N1 и N2 одинаковые знаки. Если да, то // возвращает TRUE, иначе - FALSE //**************************************************************** bool ZnakNumbers(int N1, int N2) { return ((N1 * N2) >= 0); } //**************************************************************** // ОСНОВНАЯ ПРОГРАММА //**************************************************************** int main(int argc, char *argv) { cout > X; cout > T; if (ZnakNumbers(X, T)) //Если числа имеют одинаковые знаки { A = abs(X - T); //Получить разность по модулю исходных чисел T = X * T; } else //Если числа имеют разные знаки { A = X * T; T = abs(X - T); } X = A; //Записать в Х значение А cout
Оптимизация
Эту простую программу можно ещё немного упростить, если не использовать функцию и немного переделать исходный код программы. При этом общее количество строк исходного кода немного сократится. Как это сделать - подумайте сами.