Следствия из преобразований Лоренца. Элементы специальной теории относительности

Лекция: Инвариантность модуля скорости света в вакууме. Принцип относительности Эйнштейна

Принцип относительности Галилея

Чтобы понять, что происходит с телами, которые двигаются с высокими скоростями, следует более детально рассмотреть принцип относительности Галилея.

Итак, давайте представим, что мы находимся на корабле, в каюте которого нет ни окон, ни любых других отверстий, через которые можно было бы посмотреть на окружение корабля. Вопрос: сможем ли мы определить, двигается корабль равномерно или неподвижен? В данной каюте мы можем рассматривать те же процессы, что и если бы мы находились на Земле. Мы можем рассматривать движение тела по наклонной плоскости, движение тела, которое падает или же любые виды движения. Но все они будут протекать таким же образом, как и если бы происходили вне корабля на суше.

Таким образом, можно сделать вывод, что, если вы неподвижны или находитесь в системе, которая двигается равномерно, все физические процессы протекают одинаково. А, следовательно, нельзя определить, как ведет себя корабль, находясь в каюте.

Таким образом, все системы, двигающиеся равномерно, или находящиеся в состоянии покоя, инерциальные.

Согласно принципу относительности Галилея, все процессы протекают одинаково во всех ИСО.

Инвариантность скоростей

Рассмотрим две ИСО, причем, одна из которых неподвижна, а вторая двигается равномерно.

В начальный момент времени начало координат обоих систем совпадает. После начала движения начинается отчет времени. Для определения координаты тела в подвижной системы отсчета относительно неподвижной, следует воспользоваться формулой:

Заметьте, так как движение происходит вдоль одной оси, то и изменение координаты заметно только относительно нее, все остальные параметры остаются неизменными.

С помощью относительности Галилея можно определить положение подвижной системы относительно той, которая не двигается.

А теперь давайте представим, что в данной подвижной системе еще двигается частица. Пусть скорость данной частицы относительно неподвижной системы u, а относительно подвижной u 1 . Теперь мы рассмотрим, как эти две скорости связаны между собой.

Мы знаем, что скорость - это первая производная координаты, поэтому найдем производные предыдущих трех уравнений:

Обобщив три уравнения, получим:

Данная формула нам уже достаточно давно знакома, как закон сложения скоростей.

Принцип относительности Эйнштейна

Мы говорили ранее, что нельзя определить, в какой ИСО мы находимся подвижной или нет, с точки зрения механики. Но что нам стоит постараться сделать это с точки зрения других разделов физики.

Оказывается, законы других разделов физики не подвластны относительности Галилея, это доказал Максвелл. Ученый доказал, что скорость света в вакууме является постоянной величиной, с какой бы скоростью и как не двигалась бы система, в которой происходят эксперименты.

Представьте себе ситуацию, в которой Вы двигаетесь на сверхскоростном корабле со скоростью 5*10 7 м/с . На носу этого корабля находится лампочка, свет которой распространяется с известной нам скоростью 3*10 8 м/с . Это значит, что по принципу относительности Галилея, её скорость относительно Вас достигает 3,5*10 8 м/с . Но, как уже было сказано, скорость света не может принимать величину, больше граничной.

Кроме некоторых изменений относительно сложения скоростей Лоренц заметил, что тела, двигающиеся со скоростями, приближенными ко скорости света, заметно сокращаются в размере.

Достижения предшественников были осмыслены и приведены в стройную систему благодаря работам А. Пуанкаре и А. Эйнштейна .

Рис. 6.5. А. Эйнштейн

К 1905 г. была создана специальная теория относительности. Специальная теория относительности (СТО) представляет собой современную физическую теорию пространства и времени, в которой, как и в классической ньютоновской механике, предполагается, что время однородно, а пространство однородно и изотропно . СТО основана на двух постулатах.

Принцип относительности:

Никакие опыты (механические, электрические, оптические), проведенные внутри данной инерциальной системы, не дают возможности обнаружить, покоится ли эта система или движется равномерно и прямолинейно: все законы природы инвариантны по отношению к переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой.

Принцип инвариантности скорости света:

Скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника света или наблюдателя и одинакова во всех инерциальных системах отсчета.

Первый постулат является обобщением механического принципа относительности Галилея на все явления природы. Согласно второму постулату, постоянство скорости света - фундаментальное свойство природы, которое констатируется как опытный факт. Выше мы использовали этот постулат в форме уравнений движения светового импульса

Из этих постулатов следует необходимость замены преобразований Галилея преобразованиями Лоренца .

Непосредственное следствие преобразований Лоренца: не может быть объектов, движущихся быстрее света. С такими объектами можно было бы связать систему отсчета, а при V > c для координат и времен получатся мнимые значения. Выходит, что скорость света играет роль предельно возможной скорости распространения сигнала.

Инвариантность интервала . Пусть даны два события: одно произошло в момент времени t 1 в точке с координатами x 1 , y 1 , z 1 , а второе - в момент времени t 2 в точке с координатами x 2 , y 2 , z 2 .

Интервалом между событиями называется величина

Поставив над координатами и временами штрихи, мы получим величину интервала s" 12 между этими же событиями в другой системе отсчета. Из преобразований Лоренца находим:

откуда следует:

Таким образом,

Величина интервала является инвариантом относительно преобразований Лоренца.

В классической механике таким свойством обладали по отдельности временной интервал

и пространственное расстояние

В релятивистской физике (от англ. relativity - относительность) этим свойством обладает только интервал между событиями

Замедление времени . Пусть в начале координат системы К" закреплены часы: их координаты равны тогда х" = у" = z" = 0, a t" - показываемое ими время (то есть время в системе отсчета К" ). Подставляя эти значения в уравнения преобразований Лоренца, находим обычные выражения для координат этих часов в системе К : х = Vt , у = z = 0 (то есть в системе К часы движутся со скоростью V вдоль оси х ). Удивительным является последнее уравнение - преобразование времени:

Время t" , отсчитываемое часами в системе К" , меньше времени t , отсчитываемого часами системы К .

Рис. 6.6. Согласование показаний часов у наблюдателей А и В

Время t" , показываемое часами в системе отсчета, где они покоятся, называется собственным временем .

Конкретное устройство часов здесь не играет никакой роли: речь идет о том, что временной интервал не является больше инвариантом и различен для разных систем отсчета. Это демонстрирует следующий пример.

Пример 1 . Время жизни τ 0 покоящегося мюона (одной из элементарных частиц) равно 2,2 мкс. От точки рождения до детектора, зарегистрировавшего его распад, мюон пролетел расстояние l = 6 км. Определим, с какой скоростью v (в долях скорости света) летел мюон.

В системе отсчета К" , связанной с мюоном, его время жизни равно τ 0 . В лабораторной системе К , согласно полученному соотношению, от рождения мюона до распада пройдет время

За это время мюон преодолеет расстояние

откуда находим

Величина

подставляя cτ 0 и l в (6.4.1), получаем

Если бы время жизни мюона относительно лабораторной системы К было таким же как и в той системе отсчета, где он покоится, то в лабораторной системе отсчета он пролетел бы расстояние L

которое более чем в девять раз меньше действительного. Даже если бы он летел не со своей действительной скоростью (6.4.2), а с предельной скоростью c , что невозможно для частицы с отличной от нуля массой, он пролетел бы всего ct 0 = 660 м, но никак не 6 км.

Многочисленные наблюдения за элементарными частицами, покрывающими гораздо большие расстояния, чем им позволяет классическая механика, - прямое доказательство реальности эффекта замедления времени.

Рис. 6.7. Распад пи-мезона на мюон и нейтрино

Сокращение длины . Пусть в движущейся системе отсчета вдоль оси 0x закреплена линейка, длина которой (собственная длина) равна l 0 . Если один конец линейки находится в начале координат (x" 1 = 0), а ее другой конец находится в точке с координатой x" 2 =l 0 , то из преобразований Лоренца непосредственно следуют координаты концов линейки в системе отсчета К :

Разность этих координат дает длину линейки в системе отсчета К :

Движущаяся линейка становится короче линейки покоящейся. Этот факт также находится в согласии с утверждением, что в релятивистской механике инвариантом является интервал s 12 , а не пространственные расстояния. Полученное сокращение длины движущегося объекта напоминает сокращение Фитцджеральда -Лоренца . Но с той разницей, что никакой эфир на объект не действует и никаких механических напряжений в линейке не возникает. Просто длина в движущейся и неподвижной системе отсчета различается, как различаются временные интервалы между двумя событиями. Эти оба эффекта - сокращение длины и замедление времени - связаны друг с другом.

Пример 2 . Рассмотрим события, описанные в предыдущем примере, с точки зрения наблюдателя, «сидящего» на мюоне.

В момент рождения мюона детектор, регистрирующий его распад, находился с точки зрения наблюдателя в лаборатории на расстоянии l . С точки зрения наблюдателя на мюоне детектор приближается к мюону со скоростью v , причем начальное расстояние L до него будет меньше:

Детектор приблизится к мюону за время

Это время совпадает со временем жизни мюона, который распадется в детекторе, как это видел и неподвижный наблюдатель. Описания событий разные, но оба наблюдателя зафиксируют один и тот же физический факт - распад мюона в детекторе.

Одновременность событий . Пусть имеются два события 1 и 2. Место и время совершения первого из них выберем за начало отсчета соответствующих координат: x 1 = 0, t 1 = 0. Пусть событие 2 происходит одновременно или позже первого

в точке на оси 0x , удаленной на расстояние L . Посмотрим, каковы координаты и моменты времени совершения этих событий с точки зрения наблюдателя, движущегося в положительном направлении оси 0x со скоростью V . Из преобразований Лоренца следует, что x" 1 = 0, t" 1 = 0, то есть координаты и время совершения первого события не изменяются. Второе же событие произойдет в точке x" 2 в момент времени t" 2 , где

Знак координаты x" 2 будет таким же, как и в классической механике. Если наблюдатель не успеет долететь до места совершения события к моменту, когда оно произойдет (Vt 2 < L ), то событие случится у него впереди по курсу (x" 2 > 0), если же успеет (Vt 2 > L ), - то событие 2 произойдет сзади него (x" 2 < 0). Но вот то, что происходит с моментом совершения события 2, не имеет аналога в классической физике. В самом деле, относительно неподвижного наблюдателя событие 2 произошло позже события 1. Но при достаточно большой скорости

знак у t" 2 становится отрицательным, то есть порядок событий меняется!

Но всегда ли это возможно? Ведь события 1 и 2 могут быть причинно связаны друг с другом. Например, событие 1 - рождения отца, а событие 2 - рождение его ребенка. Разве не было бы абсурдным, если бы нашелся наблюдатель, для которого ребенок родился бы прежде отца (нарушилась бы, как говорят, причинно-следственная связь)? Конечно, это невозможно. Давайте сформулируем условие, при котором события 1 и 2 могут быть связаны друг с другом. Так как максимально возможная скорость распространения любого сигнала не превышает c, то события могут находиться в причинно-следственной связи, если они не слишком удалены друг от друга:

Только тогда «сообщение» о первом событии достигнет второго до его совершения. Но если

то для изменения порядка событий наблюдатель должен двигаться со скоростью

А это, как мы видели, невозможно.

Таким образом, события, которые могут в принципе зависеть друг от друга, имеют тот же временной порядок для всех наблюдателей.

Если же события происходят настолько далеко друг от друга, что они не могут быть связаны никаким сигналом

то порядок совершения этих событий зависит от скорости движения наблюдателя и при

порядок событий будет иным, нежели в неподвижной системе отсчета. В частности, одновременные события (t 1 = t 2), происходящие в неподвижной системе отсчета на любом расстоянии друг от друга, не могут быть причинно-связанными (для этого нужны были бы сигналы с бесконечно большой скоростью). Из формулы для преобразования времени получаем при t 2 = 0:

Значит, при любой скорости наблюдателя, движущегося в положительном направлении оси 0x , событие 2 происходит раньше события 1. При движении в обратном направлении (V < 0) событие 2 происходит позже.

Рис. 6.8. События могут быть одновременными, с точки зрения некоего наблюдателя, если ds 2 > 0

Проиллюстрируем сказанное на следующем примере. Пусть движется поезд А’В’ , в концы которого ударяют две молнии, оставляющее на рельсах отметки А и В (рис. 6.9).

Рис. 6.9. К понятию относительности одновременности

Отметим в поезде среднюю точку 0’ , а на полотне - соответственно 0 . Свяжем с железнодорожным полотном систему отсчета 0х , а с поездом - систему отсчета 0х’ . Пусть в точку 0 вспышки света происходят одновременно. Тогда в неподвижной системе отсчета х оба события (удары молнии) происходят одновременно.

Поскольку поезд движется вправо, и, следовательно, в момент прихода вспышек в середину поезда точка 0’ находится правее 0 , то вспышка из точки А’ в точку 0’ придет позже, чем из точки B" . Это означает, что в системе х’ удар молнии в точке В’ происходит раньше, чем в точке А’ .

Мы убедились, что наряду с относительностью временных интервалов и пространственных расстояний даже одновременность событий не имеет абсолютного значения. Все они относительны, то есть зависят от движения наблюдателя. В классической физике относительными были, например, скорости тел, их кинетические энергии . Теперь список подобных величин пополнился, только и всего.

Рис. 6.10. Кинематические преобразования физических величин в СТО

Лекция

Элементы специальной теории относительности

План

Введение

Принцип относительности Галилея Преобразования Галилея.

Принцип относительности Эйнштейна. Преобразования Лоренца

Следствия из преобразований Лоренца

Релятивистское выражение для энергии

Частицы с нулевой массой

Эффект Доплера (продольный)

Выводы 1905 г

Введение

В 1905г. А.Эйнштейн создал специальную теорию относительности (СТО). Эта теория пространства и времени для случая слабых гравитационных полей. В основе этой теории лежат два постулата: принцип относительности Эйнштейна и принцип постоянства скорости света.

В начале рассмотрим принцип относительности Галилея.

Простейшее движение твердого тела – поступательное, равномерное, прямолинейное. Соответственно этим простейшим относительным движениям системы отсчета – поступательная, равномерная, прямолинейная. Если одна из систем отсчета условно неподвижна, то вторая движется относительно первой со скоростью .

Принцип относительности Галилея.

Во всех системах координат, движущихся равномерно и прямолинейно относительно системы неподвижных звезд и друг относительно друга, все механические явления протекают, совершено одинаково. Такие системы координат называются инерциальными . В настоящее время принцип относительности Галилея с большой точностью экспериментально доказан для механических и электромагнитных явлений.

Преобразования Галилея.

Пусть система и движутся со скоростью . Отсчет времени t начинаем с момента совпадения начала координат. Тогда координаты произвольной точки Р в этих системах:

t – время перемещения .

В Ньютоновской механике предполагаем, что время во всех системах отсчета течет одинаково.

Таким образом, в перемещающейся системе вдоль y характер движения может быть произвольным. Совокупность четырех уравнений – преобразования Галилея.

Продифференцируем первое уравнение по времени, учтя, что

- проекция скорости частицы в системе на ось .

Следовательно:

Дифференцируем 2 и 3 уравнения:

; то есть

Иначе:

Это уравнение – формула преобразования скорости частицы от системы к .

Дифференцирование по времени последнего уравнения:

Ускорение частицы относительно систем К и одинаковы.

Законы механики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета – Принцип относительности Галилея.

Величины, которые имеют одно и то же числовое значение, во всех системах отсчета, называются инвариантными: промежуток времени, масса, ускорение, сила, длина предмета.

Принцип постоянства скорости света

Скорость света в вакууме не зависит от движения источников света и, следовательно, одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Впервые скорость света была измерена в 1676г. 300000км\с. Справедливость постоянной c=const была доказана Майкельсоном и Морли в 1887 году.

Итак, с инварианта во всех инерциальных системах координат, считается так же на данном этапе исследований Вселенной, что с = max. Существование предельной скорости приводит к тому, что понятие одновременности становится относительным. Например, в середине поезда зажигается световой сигнал. Если наблюдатель находится в центре поезда, то он отметит одновременное достижение света хвоста и головы поезда. Дежурный на станции отметит, что сигнал достиг хвоста раньше, чем головы. Скорость передачи информации – скорость света – конечна, поэтому путь, проделанный световым сигналом от конца поезда до дежурного меньше пути, проделанного световым сигналом от головы до дежурного, поэтому и время будет различно, хотя очень незначительно. Значительность этого эффекта будет проявляться при скоростях движения объектов, близких к скорости света. Значит, время течет по-разному в различных системах отсчета, но почувствовать это реально можно только при движении объектов со скоростями, близких к с .

Причина СТО – инвариантность скорости света

П.В.Путенихин

[email protected]

Аннотация 2

Вывод СТО из принципа постоянства скорости света 2

Вывод СТО из принципа относительности 7

Анализ принципов СТО 11

Литература 14

Аннотация

В основу СТО Эйнштейн положил два принципа. Однако, для того чтобы получить преобразования Лоренца и все релятивистские следствия из них, достаточно только одного принципа (постулата) - инвариантности скорости света. Этот принцип является первопричиной преобразований Лоренца, единственным, необходимым и достаточным условием для их вывода, а также для провозглашения принципа относительности и равноправия всех инерциальных систем отсчета. Получение преобразований Лоренца из принципа относительности возможно, но при обязательном учёте принципа постоянства скорости света.

Вывод СТО из принципа постоянства скорости света

Все выводы СТО - преобразования Лоренца и релятивистские соотношения получены как корректные математические выводы. Поэтому СТО по своей сути является теорией математической, имеет все её признаки: методология вывода, исходные постулаты. Хотя в основу СТО Эйнштейн положил два постулата (принципа), можно сказать, что СТО фактически базируется на единственном постулате: о неизменности скорости света во всех ИСО – принципе постоянства (инвариантности) скорости света. Покажем это - выведем преобразования Лоренца и основные следствия из них, используя для этого только одно предположение: скорость света «c» всегда одна и та же, независимо от того, движется ИСО или покоится. Иначе можно сказать, что скорость любого фотона равна скорости света, где бы она ни была измерена: в движущейся или в покоящейся ИСО. Это самое общее определение принципа постоянства скорости света. Оно не включает в себя упоминаний об источнике этого фотона и о состоянии движения источника (или приёмника), являющихся излишними . Заявление о предельности скорости света также является производным от принципа постоянства скорости света, его следствием : если скорость света неизменна во всех ИСО, то она автоматически становится максимально возможной скоростью. Назовём этот принцип постоянства скорости света основой теории, а все полученные с его использованием выражения - следствием этого принципа (постулата), следствиями, выводами теории.

Для вывода рассмотрим платформу длиной L, которую пересекает фотон, испущенный неизвестным источником и/или просто пролетающий мимо. Как принято в СТО будем рассматривать две инерциальные системы отсчета - неподвижную К и подвижную К". Фотон для наблюдателей на платформе пролетит через неё за время t 0 = L/c. Сохраним систему обозначений, близкую к принятой в СТО:

L" – длина платформы в инерциальной системе отсчета K";

L – длина платформы в инерциальной системе K;

t" – интервал времени (время), за которое фотон пролетает через платформу и возвращается обратно в системе K";

t – интервал времени (время), за которое фотон пролетает через платформу и возвращается обратно в системе K.

Наблюдатель в движущейся системе K" считает её покоящейся и вычисляет, что фотон преодолеет платформу за время (путь туда и обратно):

Напротив, внешний наблюдатель видит: свет в одном случае догоняет зеркало на противоположном конце платформы, а в другом летит навстречу мишени:

Рис.1 Полет фотона с точки зрения внешнего наблюдателя. Часы внешнего (неподвижного) наблюдателя покажут время t, а часы на платформе (подвижные) покажут время t".

На рисунке видно, что для внешнего наблюдателя время движения фотона вдоль движущейся платформы туда и обратно составит:

Преобразуем уравнение:

Выражение второй дроби выглядит как квадрат некоторой величины. Обозначим эту величину через k (очевидно, что эта величина больше единицы):

Мы получили показания двух часов: движущихся с платформой - t" и неподвижных, мимо которых движется платформа - t. Очевидно, эти показания различаются. Чтобы узнать, как изменилось «время в полёте» фотона через движущуюся платформу при рассмотрении его в разных ИСО, вычислим отношение этих показаний:

Отсюда после сокращений получаем:

(1)

Время t" – это время (интервал времени) пролёта фотона через платформу для наблюдателя, находящегося на этой платформе, а L" – это длина платформы для этого наблюдателя. Очевидно, что наблюдатель ничего не заметил после разгона платформы, для него ничего не произошло, он, вообще говоря, мог и не знать, что платформа движется. Поэтому эти две величины – исходные, не сократившиеся, те, которые были известны до начала эксперимента. А что же за величины t и L? Наблюдателя, который видит движение платформы, мы считаем неподвижным. Следовательно, он видит платформу длиной L и время t, за которое фотон пролетел через платформу туда и обратно. Мы знаем, что на платформе часы стали идти медленнее, то есть время t", прошедшее на платформе, меньше времени, прошедшего в неподвижной системе отсчета t. Аналогично делаем вывод: в неподвижной системе длина платформы видится укороченной до величины L, против исходной длины L". Однако, в соответствии с принятым постулатом о постоянстве скорости света, мы должны признать, что если путь для света изменился, то время в пути у фотона также изменилось. И изменилось оно в ту же сторону, что и длина платформы – уменьшилось, причём ровно во столько же, во сколько сократилась платформа, ведь эти три величины связаны формулой: t 0 = L/с, то есть:

(2)

Подставляя (1) в (2), получаем:

Откуда после преобразований находим:

и, наконец:

Подставим значение величины k и преобразуем к привычному виду:

(3)

Таким образом, стержень, имеющий длину L " в той инерциальной системе, где он покоится, имеет длину
в той инерциальной системе, относительно которой он движется со скоростью v в продольном направлении. Подставляем (3) в (2) и находим такое же выражение для времени:

(4)

Таким образом, движущиеся часы начинают отставать, ход их замедляется в отношении
, хотя с точки зрения той инерциальной системы, которая движется вместе с часами, в часах не произошло абсолютно никаких изменений .

Здесь наблюдательный читатель заметит «противоречие», известное как «парадокс штриха». Это надуманный, формальный парадокс, так сказать, парадокс буквы, но не духа. В нашем случае мы сами выбрали обозначения времён. Как обозначать так называемое «внутреннее время ИСО», является в достаточной мере произволом.

Из уравнений (3) и (4) явно следует предельность скорости света «с» - никакая ИСО не может двигаться со скоростью v > c, поскольку в этом случае подкоренное выражение становится отрицательным. Также в рассмотренной методике вывода приведённых уравнений просматривается принцип относительности: все выкладки мы могли вести, поменяв рассматриваемые ИСО местами, и получить точно такой же результат.

Выведем из провозглашенного выше постулата (принципа) остальные следствия рассматриваемой теории. Для этого нам необходимо показать явным образом две системы отсчета К и К":

Рис.2 В неподвижной инерциальной системе отсчета К часы имеют координату x, а в подвижной инерциальной системы отсчета К" по истечении времени t - координату x".

К инерциальной системе отсчета K привязаны координатные оси XYZ, а к подвижной системе K" - координатные оси X"Y"Z". На рисунке оси Z и Z" не показаны. В начальный момент времени t=t"=0 начала координат неподвижной системы K и движущейся системы K" (положение I) совпадают. По прошествии времени t в неподвижной системе K подвижная система K" удалилась (положение II), и расстояние между началами координат двух систем отсчета стало v t. Произведём преобразование координат неподвижной системы K в координаты движущейся системы K". Из рисунка видно, что координата часов с точки зрения системы К" равна:

Где 0В" и 0А" - длины отрезков на оси 0X с точки зрения движущейся системы K" (с учетом их знаков, поскольку в системе K" часы движутся в отрицательном направлении). Очевидно, что длины этих отрезков с точки зрения подвижной системы K" укорочены по отношению к их реальным размерам в неподвижном состоянии в системе К. Следовательно, чтобы вычислить их длины в подвижной системе K", мы должны воспользоваться полученным выше соотношением (3) для отрезков:

соответственно, второй отрезок:

Подставляем эти величины в исходное уравнение и получаем:

Это уравнение показывает, какую координату в системе K" будут иметь неподвижные часы, имеющие координату x в неподвижной системе К через время t движения со скоростью v . Рассмотрим, какое время будут показывать движущиеся часы. Нам известно, что при движении они отстают от неподвижных. Видимо, чем дольше и быстрее часы движутся, тем больше они отстают. Понятно, что при этом часы удаляются от неподвижных на какое-то расстояние. Интересно, на какое? Чтобы выяснить это, рассмотрим рисунок:

Рис.3 По истечении времени t движущиеся часы переместятся в точку с координатой x и будут показывать время t", которое будет меньше времени t в неподвижной системе отсчета К.

Движущаяся система K" переместилась из положения I в момент времени t=t"=0 в положение II. Часы при этом показывают время t и t" соответственно, координата движущихся часов с точки зрения неподвижной системы K равна x . Преобразуем уравнение (4) следующим образом:

В последнем выражении составного равенства произведём очевидную замену v t = x:

(5)

Таким образом, по прошествии времени t движущиеся со скоростью v часы удалятся на расстояние x и будут показывать время t", и мы получаем все классические уравнения преобразований Лоренца (два последних добавляем из очевидных соображений - движения только по оси X):

; ; y " = y;z " = z .

Последнее и самое загадочное из трёх известных основных следствий преобразований Лоренца - относительность одновременности выведем традиционным способом. Пусть на оси X в инерциальной системе K происходят два события в точках x 1 , x 2 в один и тот же момент времени t. Отметим моменты совершения этих событий t" 1 , t" 2 в системе K". Согласно полученной формуле (5) находим:

,
.

Мы видим, что t" 1 не равно t" 2 , то есть, два события, одновременные относительно K, оказываются разновременными относительно K ". Это расхождение во времени тем больше, чем далее отстоят друг от друга с точки зрения системы K места, где они произошли:

Итак, получив уравнения, в точности совпадающие с уравнениями преобразований Лоренца в СТО, мы показали, что преобразования Лоренца и основные следствия из них можно вывести, используя единственное предположение: скорость света «c» всегда одна и та же, независимо от того, движется ИСО или покоится. Следовательно, это предположение, постулат является единственным необходимым и достаточным условием для появления преобразований Лоренца и всех следствий из них. Поэтому есть достаточные основания считать, что математика кинематического раздела СТО является элементарной математической задачей для школьников старших классов вида «Из пункта А в пункт Б выехал поезд...».

Вывод СТО из принципа относительности

Выше было показано, что для вывода всех лоренц-следствий СТО достаточно одного (второго) постулата – о постоянстве скорости света. Но существует и противоположный подход: для получения этих же следствий достаточно другого (первого) постулата – принципа относительности (равноправия всех ИСО). Причём утверждается, что принцип постоянства скорости света вообще является излишним. Однако, в процессе вывода СТО из принципа относительности неизбежно появляется параметр, который играет в уравнениях Лоренца ту же роль, что и скорость света. То есть, принципы постоянства скорости света и относительности являются всё-таки взаимосвязанными.

Покажем это, воспользовавшись в немалой степени методикой С.Степанова . Запишем результирующие уравнения преобразований времени и координаты между двумя инерциальными системами отсчета в следующем виде:

x" = f(x, t, v), t" = g(x, t, v) (6)

Задачу будем рассматривать как чисто математическую, идеализированную. Поэтому примем, что эти преобразования координат и времени являются линейными функциями:

(7)

Коэффициенты k, m, n, p являются функциями, зависящими от относительной скорости систем отсчёта v .

Будем считать, что в начальный момент времени t=t"= 0 начала координат систем совпадают x=x"= 0. Координата начала подвижной системы отсчета описывается уравнением x=vt . Подставляем x"= 0 и x=vt в первое уравнение и получаем:

откуда находим:

(8)

Теперь подставляем x = 0 и x"=vt в оба уравнения и получаем:

после упрощения:

и затем после подстановки из второго уравнения в первое и учетом (8) получаем:

Вставляем полученные соотношения в исходные уравнения (7):

Введём обозначения (подстановки):

Введённые параметры (подстановки) являются функциями скорости, но в дальнейшем для краткости мы будем записывать их без признака функциональности – без скобок с аргументом v . С учетом этих упрощений преобразования между системами отсчёта принимают окончательный вид:

(9)

Для определения введённых параметров γ и σ, исходя из принципа относительности (первый постулат СТО) – равноправия всех инерциальных систем отсчета, рассмотрим три такие произвольные ИСО - K 1 , K 2 и K 3 .Установим, что система K 2 движется относительно K 1 со скоростью v 1 , система K 3 - относительно K 2 со скоростью v 2 и система K 1 - относительно K 3 со скоростью v 3 =-(v 1 + v 2):

Рис.4 Три системы отсчета, движущиеся друг относительно друга.

Пометим координату x и время t цифровыми индексами, соответствующими номерам систем, к которым они относятся, и запишем преобразования для каждой из них:

Подставим x 2 и t 2 из второй системы уравнений в третью:

Раскроем круглые скобки:

Вынесем за скобки общие множители:

и сгруппируем общие члены:

Полученные уравнения должны иметь (и имеют) такой же вид, что и уравнения системы (9). Это значит, что, как и в системе уравнений (9) в этой системе коэффициенты при первых слагаемых в уравнениях - один и тот же коэффициент:

После сокращения и элементарных преобразований получаем:

Из этого равенства следует, что следующие отношения имеют одно и то же значение для всех систем отсчёта, независимо от скорости их движения:

(10)

Это отношение мы обозначили квадратом величины (константы) «c» - по первой букве слова «const». Поясним, почему необходимо приравнять отношения именно квадрату. Из второго уравнения системы (9) следует, что все полученные отношения имеют размерность квадрата скорости. Чтобы убедиться в этом, анализируем размерности величин (индекс «разм» означает, что рассматривается не значение, а размерность величин):

Очевидно, что в скобках стоят величины с размерностью времени. Отсюда следует, что квадрат размерности константы «c» равен квадрату размерности скорости, а сама величина «с» имеет, соответственно, размерность скорости:

Это и означает, что все отношения (10) равны квадрату некоторой величины «с».

Уравнения (9) должны быть справедливы и для обратного преобразования, когда системы отсчёта «меняются местами». Относительная скорость при этом меняет свой знак:

Подставим в это уравнение значения штрихованных величин из исходной системы (9):

и окончательно:

(11)

Из соотношений (10) находим:

Подставляем это значение в (11) и получаем:

В результате преобразований получаем:

(12)

Функция γ(v ) является четной. Это видно из следующих соображений. Если мы развернём оси двух систем отсчёта на 180 о, то скорость также изменит свой знак. Это равнозначно тому, как если бы мы смотрели на эти системы через зеркало (зеркало заднего вида автомобиля): направления осей и движения развернутся. Следовательно, первое уравнение системы (9) будет иметь вид:

Сравнивая эти уравнение, получаем:

Раскрываем скобки:

и получаем признак четности функции:

(13)

Подставляем полученное значение (13) в (12) и находим:

Теперь находим значение функции гамма:

и подставляем его в уравнения (9):

;
(14)

Имея два этих уравнения, можно легко вывести все остальные следствия преобразований Лоренца, как это было показано в предыдущем разделе. Анализ принципов СТО Итак, мы вывели явный вид уравнений (6) преобразования между двумя инерциальными системами отсчёта и получили уравнения Лоренца (14), в которые мы были вынуждены ввести некую константу с , значение которой нам, строго говоря, неизвестно. Дотошный читатель, наверное, уже давно держит в голове мысль: когда же, наконец, и каким образом автор статьи объявит эту константу скоростью света. По мнению ряда авторов, вопрос этот не простой. Например, С.Степанов считает (у него эта константа α является обратной величиной к нашей константе - с), что «функциональная форма преобразования между наблюдателями двух инерциальных систем отсчёта полностью определяется с точностью до константы α . Выяснение её значения и знака - это уже вопрос экспериментальный. Фундаментальная константа α могла оказаться и нулевой, однако в нашем Мире она больше нуля» .На сайте библиотеки Физического факультета СПбГУ С.Н.Манида (у него величина g также является обратной величиной к нашей константе с): «вводит некоторую постоянную величину, размерность которой - обратный квадрат скорости. Эта величина одинакова во всех системах отсчета, и ее численное значение не может быть выведено из каких-либо общих принципов. Экспериментальное значение этой величины g =c -2 , где c - скорость света в вакууме» .«мы вывели соотношения из принципа относительности и получили следствием постоянство скорости c во всех инерциальных системах отсчета. Важно отметить принципиальное отличие данного подхода к выводу преобразований Лоренца от общепринятого. Постоянство скорости света во всех инерциальных системах отсчета - это экспериментальный факт, установленный с определенной степенью точности. Приведенный выше вывод не опирается на этот факт, из него следует только существование скорости, одинаковой во всех инерциальных системах отсчета» .На одном из форумов в интернете опубликован анализ статьи Фейгенбаума, посвященной, в частности, выводу соотношений СТО из принципа относительности. Там сказано:«Чтобы вывести «специальную теорию относительности» (СТО) постулат постоянства скорости света не нужен. Это значит, что возможно, что скорость света не постоянна (если она меньше фундаментальной константы C). Формулы СТО – логически не зависят от постулата постоянства скорости света. Фейгенбаум пишет, что СТО можно было бы открыть ещё во времена Галилея. Всё, что для этого нужно, это – принцип равноправности равномерно движущихся относительно друг друга систем (принцип относительности Галилея) и изотропия пространства» .Проводится анализ самой константы, аналога скорости света: «Ясно только, что подход Фейгенбаума кардинально меняет всё наше понимание того, что такое релятивистские эффекты. Фундаментальная константа, стоящая в релятивистских формулах не обязательно равна скорости света. Только опыт может определить её значение. Если скорость света меньше этой константы, то фотоны должны иметь массу и, как любые массивные частицы, испытывать гравитационное притяжение, что, возможно, объясняет явление искривления лучей вблизи массивных тел» . Приведённые соображение резонны, однако... Как бы там ни было, но использование для вывода СТО только принципа относительности неизбежно вынуждает нас, требует помимо нашей воли ввести некую константу, сильно напоминающую скорость света в преобразованиях Лоренца в «стандартной» (эйнштейновской) СТО. То есть, принцип относительности сам по себе всё-таки недостаточен для получения релятивистских эффектов. В обязательном порядке ему необходим помощник - светоподобная константа. Попробуем предположить, что эта константа – не скорость света. Но она имеет размерность скорости и, следовательно, это скорость чего-то. Но чего? Рассмотрим, какими свойствами она обладает. В СТО Эйнштейна есть раздел, в котором он анализирует уравнения Максвелла и приходит к выводу, что они инвариантны относительно преобразований Лоренца. У Эйнштейна преобразования Лоренца основаны как на принципе относительности, так и на постулате о постоянстве скорости света. Следовательно, если относительно этих преобразований уравнения Максвелла инвариантны, то принцип относительности в трактовке Эйнштейна имеет силу, справедлив. Тогда возникает вопрос: если принцип относительности соблюдается в виде инвариантности уравнений Максвелла по отношению к преобразованиям Лоренца, то как они могут быть одновременно инвариантны относительно других псевдо-Лоренцевых преобразований, в которых присутствует не скорость света, а какая-то другая константа? Как можно представить себе, что существуют два различающихся принципа относительности? Один из них - это принцип относительности, на который ссылается Эйнштейн при выводе уравнений Лоренца, содержащих скорость света как инвариант. Второй - это принцип относительности Фейгенбаума, Манида и Степанова, из которого выведены те же преобразования Лоренца, но содержащие некую константу, подобную скорости света, но не равную ей. В этом случае возможны только два вывода: либо уравнения Лоренца-Эйнштейна не соответствуют принципу относительности, либо найденная светоподобная константа – это скорость света. Далее. Из основного уравнения (14) Лоренца мы видим, что скорость света - это максимально возможная скорость. Никакая система отсчёта не может двигаться с этой или большей скоростью, поскольку в знаменателе появляется ноль или квадратный корень из отрицательного числа:

Но точно такое же уравнение появляется и при выводе преобразований из принципа относительности, но уже не со скоростью света, а с другой аналогичной константой. То есть в этом случае ни одна система отсчета не может двигаться уже с другой скоростью, с другим максимумом. Очевидно, что эта «другая» скорость не может быть меньше скорости света, если она претендует на звание максимально возможной скорости, поскольку скорость света достоверно измерена. Значит, она может быть только больше скорости света (равенство отождествляет их). Следовательно, в этом случае скорость света - не максимально возможная скорость. Теряют смысл устоявшиеся понятия лоренц-инвариантности, светоподобных и времяподобных интервалов, световой конус Хокинга, радиус Шварцшильда и др. Но Эйнштейн получил максимально возможную скорость, используя как принцип постоянства скорости света, так и принцип относительности. И вновь получается, что принцип относительности Эйнштейна и принцип относительности Степанова - Маниды - Фейгенбаума - это два разных принципа относительности, поскольку они дают разные значения максимально возможной скорости. Два разных принципа относительности для одной теории - это полный абсурд. Вывод уравнений Лоренца на основании одного только постулата о постоянстве скорости света также противоречит уравнениям, выведенным на основании принципа относительности «второго рода» (с трактовками Фейгенбауми и др.). То есть эти два принципа - постоянства скорости света и «новой» относительности - оказываются в этом случае несовместимыми. Постоянство скорости света противоречит принципу относительности («второго рода»). Другими словами, в принципе относительности «второго рода» скорость света не является инвариантом, и системы отсчёта становятся неравноправными, поскольку протекание физических процессов в них зависит от скорости их движения: скорость света можно складывать со скоростью движения системы.

Все эти абсурдные следствия снимаются, если принять значение константы, равное скорости света. Тогда неизбежно следует: для вывода всех следствий СТО, преобразований Лоренца, как минимум, невозможно обойтись без постулата о постоянстве скорости света и, как максимум, для их вывода вообще необходимо и достаточно только одного этого постулата - только он не приводит к привотолкам по поводу неясной констатны. Сам по себе постулат об инварианте скорости света включает в себя основной элемент принципа относительности - одинаковое протекание физических явлений, зависимых от скорости света. А это, в соответствии с известным мнением Лоренца - едва ли не все явления природы. Такой принцип относительности оказывается в определённом смысле следствием инвариантности скорости света, зависимым от него, что, видимо, отвергает трактовку принципа относительности Фейгенбаумом и его единомышленниками.

Учитывая серьёзность доводов процитированных авторов, можно сказать, что объективно они являются наиболее сильными опровержениями специальной теории относительности Эйнштейна, рубящими, что называется, теорию под самый корень, отвергающими её на самом фундаментальном уровне - теоретическом, в противовес доводам традиционных альтернативщиков, анти-СТО-в с их бесчисленными мысленными экспериментами. Два постулата у Эйнштейна неразрывны, не существуют один без другого. Принцип относительности порождает принцип постоянства скорости света. Фраза симметрична неспроста: с одной стороны, использование принципа относительности приводит к появлению принципа постоянства скорости света, а с другой - использование принципа постоянства скорости света означает провозглашение и использование принципа относительности. Кто кого порождает? Каждый - каждого! Действительно, принцип относительности как принцип равноправия всех инерциальных систем отсчёта провозглашает, что во всех этих системах существует одна и та же максимальная скорость, один и тот же инвариант скорости, один и тот же вид уравнений Максвелла, а при выводе уравнений Лоренца неизбежно «порождает» одну и ту же константу скорости для всех систем, причём эта константа неизбежно проявляется как скорость света. С другой стороны, принцип постоянства скорости света означает не что иное, как равноправие всех систем по отношению к этой скорости, что является, по меньшей мере, частью принципа относительности. Вывод уравнений Лоренца из принципа постоянства скорости света даёт однозначно такой же их вид, что и при выводе на основе принципа относительности. А это означает, что принцип относительности един для обоих подходов, что существует лишь одни принцип относительности - это принцип, который как неотъемлемую часть содержит в себе принцип постоянства скорости света, равноправия, так и сам является прямым следствием принципа постоянства скорости света. Литература

http://www.phys.spbu.ru/library/schoollectures/manida-lor/chapter2

http://synset.com/ru/Преобразования_Лоренца

http://www.socintegrum.ru/forum/viewtopic.php?f=17&t=575

http://zhurnal.lib.ru/editors/p/putenihin_p_w/prichina.shtml

) и является воплощением лоренц-инвариантности электродинамики. Более обобщенно можно говорить, что максимальная скорость распространения взаимодействия (сигнала), называемая скоростью света , должна быть одинаковой во всех инерциальных системах отсчёта.

Данное утверждение очень непривычно для нашего повседневного опыта. Мы понимаем, что скорости (и расстояния) меняются при переходе от покоящейся системы к движущейся, при этом интуитивно полагая, что время абсолютно. Однако принцип инвариантности скорости света и абсолютность времени несовместимы. Если максимально возможная скорость инвариантна, то время идёт различным образом для наблюдателей, движущихся друг относительно друга. Кроме этого, события одновременные в одной системе отсчёта, будут неодновременны в другой.

Инвариантность скорости света в лаборатории покоящейся относительно поверхности Земли, твёрдо установлена экспериментально. Интерес представляет поиск возможных небольших отклонений от этого закона .

Примечания

Wikimedia Foundation . 2010 .

Герб СФРЮ
Людовик I

Смотреть что такое "Принцип инвариантности скорости света" в других словарях:

ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ - Теории относительности образуют существенную часть теоретического базиса современной физики. Существуют две основные теории: частная (специальная) и общая. Обе были созданы А.Эйнштейном, частная в 1905, общая в 1915. В современной физике частная… … Энциклопедия Кольера

П:Ф - Начинающим · Сообщество · Порталы · Награды · Проекты · Запросы · Оценивание География · История · Общество · Персоналии · Религия · Спорт · Техника · Наука · Искусство · Философия … Википедия

Уравнения Максвелла - Классическая электродинамика … Википедия

Лоренц-преобразование

Лоренца преобразования - Преобразованиями Лоренца в физике, в частности в специальной теории относительности (СТО), называются преобразования, которым подвергаются пространственно временные координаты (x,y,z,t) каждого события при переходе от одной инерциальной системы… … Википедия

Преобразование Лоренца - Преобразованиями Лоренца в физике, в частности в специальной теории относительности (СТО), называются преобразования, которым подвергаются пространственно временные координаты (x,y,z,t) каждого события при переходе от одной инерциальной системы… … Википедия

История теории относительности - Предпосылкой к созданию теории относительности явилось развитие в XIX веке электродинамики . Результатом обобщения и теоретического осмысления экспериментальных фактов и закономерностей в областях электричества и магнетизма стали уравнения… … Википедия

Преобразования Лоренца - Преобразования Лоренца линейные (или аффинные) преобразования векторного (соответственно, аффинного) псевдоевклидова пространства, сохраняющее длины или, что эквивалентно, скалярное произведение векторов. Преобразования Лоренца… … Википедия

Список научных публикаций Альберта Эйнштейна - Альберт Эйнштейн (1879 1955) был известным специалистом по теоретической физике, который наиболее известен как разработчик общей и специальной теорий относительности. Он также внёс большой вклад в развитие статистической механики, особенно… … Википедия

ТЕОРИЯ - (1) система научных идей и принципов, обобщающих практический опыт, отражающих объективные природные закономерности и положения, которые образуют (см.) или раздел какой либо науки, а также совокупность правил в области какого либо знания млн.… … Большая политехническая энциклопедия