Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Определения и свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций в точке. Доказательства свойств и теорем. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями.
Определения бесконечно малой и бесконечно большой функции
Пусть x 0 есть конечная или бесконечно удаленная точка: ∞ , -∞ или +∞ .
Определение бесконечно малой функции
Функция α(x)
называется бесконечно малой
при x
стремящемся к x 0
0
,
и он равен нулю:
.
Определение бесконечно большой функции
Функция f(x)
называется бесконечно большой
при x
стремящемся к x 0
,
если функция имеет предел при x → x 0
,
и он равен бесконечности:
.
Свойства бесконечно малых функций
Свойство суммы, разности и произведения бесконечно малых функций
Сумма, разность и произведение конечного числа бесконечно малых функций при x → x 0 является бесконечно малой функцией при x → x 0 .
Это свойство является прямым следствием арифметических свойств пределов функции .
Теорема о произведении ограниченной функции на бесконечно малую
Произведение функции, ограниченной на некоторой проколотой окрестности точки x 0 , на бесконечно малую, при x → x 0 , является бесконечно малой функцией при x → x 0 .
Свойство о представлении функции в виде суммы постоянной и бесконечно малой функции
Для того, чтобы функция f(x)
имела конечный предел ,
необходимо и достаточно, чтобы
,
где - бесконечно малая функция при x → x 0
.
Свойства бесконечно больших функций
Теорема о сумме ограниченной функции и бесконечно большой
Сумма или разность ограниченной функции, на некоторой проколотой окрестности точки x 0
,
и бесконечно большой функции, при x → x 0
,
является бесконечно большой функцией при x → x 0
.
Теорема о частном от деления ограниченной функции на бесконечно большую
Если функция f(x)
является бесконечно большой при x → x 0
,
а функция g(x)
- ограничена на некоторой проколотой окрестности точки x 0
,
то
.
Теорема о частном от деления ограниченной снизу функции на бесконечно малую
Если функция ,
на некоторой проколотой окрестности точки ,
по абсолютной величине ограничена снизу положительным числом:
,
а функция является бесконечно малой при x → x 0
:
,
и существует проколотая окрестность точки ,
на которой ,
то
.
Свойство неравенств бесконечно больших функций
Если функция является бесконечно большой при :
,
и функции и ,
на некоторой проколотой окрестности точки удовлетворяют неравенству:
,
то функция также бесконечно большая при :
.
Это свойство имеет два частных случая.
Пусть, на некоторой проколотой окрестности точки ,
функции и удовлетворяют неравенству:
.
Тогда если ,
то и .
Если ,
то и .
Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями
Из двух предыдущих свойств вытекает связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.
Если функция является бесконечно большой при , то функция является бесконечно малой при .
Если функция являются бесконечно малой при , и , то функция является бесконечно большой при .
Связь между бесконечно малой и бесконечно большой функцией можно выразить символическим образом:
,
.
Если бесконечно малая функция имеет определенный знак при ,
то есть положительна (или отрицательна) на некоторой проколотой окрестности точки ,
то можно записать так:
.
Точно также если бесконечно большая функция имеет определенный знак при ,
то пишут:
,
или .
Тогда символическую связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями можно дополнить следующими соотношениями:
,
,
,
.
Дополнительные формулы, связывающие символы бесконечности, можно найти на странице
«Бесконечно удаленные точки и их свойства ».
Доказательство свойств и теорем
Доказательство теоремы о произведении ограниченной функции на бесконечно малую
Пусть функция является бесконечно большой при :
.
И пусть имеется проколотая окрестность точки ,
на которой
при .
Возьмем произвольную последовательность ,
сходящуюся к .
Тогда, начиная с некоторого номера N
,
элементы последовательности будут принадлежать этой окрестности:
при .
Тогда
при .
Согласно определению предела функции по Гейне,
.
Тогда по свойству неравенств бесконечно больших последовательностей,
.
Поскольку последовательность произвольная, сходящаяся к ,
то по определению предела функции по Гейне,
.
Свойство доказано.
Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
Вводя в начале главы обозначение, мы ловко уклонились от вопроса о бесконечных суммах, в сущности, заявив: „Отложим это на потом. А пока можно считать, что все встречающиеся суммы имеют только конечное число ненулевых членов! Но пришло, наконец, время расплаты - мы обязаны признать тот факт, что
суммы могут быть и бесконечными. И, по правде говоря, бесконечные суммы сопровождаются как приятными, так и неприятными обстоятельствами.
Сперва о неприятном: оказывается, что те методы, которые мы применяли при обращении с суммами, не всегда справедливы для бесконечных сумм. А теперь о приятном: существует обширный просто устроенный класс бесконечных сумм, для которых вполне законны все те операции, что мы выполняли. Причины, кроющиеся за обоими обстоятельствами, станут ясны после того, как мы выясним подлинный смысл суммирования.
Все знают, что такое конечная сумма: мы добавляем к общему итогу все слагаемые, одно за другим, покуда все они не окажутся сложенными. Но бесконечную сумму следует определить более деликатно, чтобы не попасть впросак.
равна 2, поскольку при ее удвоении получаем
Но тогда, следуя той же логике, надо бы считать сумму
равной -1, ибо при ее удвоении получаем
Происходит нечто странное: как можно получить отрицательное число, суммируя положительные величины? По-видимому, лучше оставить сумму Т неопределенной, а, возможно, нам следует считать, что поскольку слагаемые в Т становятся больше любого фиксированного конечного числа. (Заметим, что величина является другим „решением" уравнения она также „решает" и уравнение
Попробуем дать надлежащее определение величины произвольной суммы где множество К может быть бесконечным. Для начала предположим, что все члены а неотрицательны. В этом случае подходящее определение найти нетрудно: если для любого конечного подмножества существует ограничивающая постоянная А, такая, что
то мы полагаем сумму наименьшей из всех таких А. (Как следует из хорошо известных свойств вещественных чисел, множество всех таких А всегда содержит наименьший элемент.) Но если такой ограничивающей постоянной А не существует, мы считаем, что это означает, что если А -
некоторое вещественное число, то найдется некоторое конечное число членов а, сумма которых превосходит А.
Определение в предыдущем абзаце сформулировано столь деликатно, что оно не зависит ни от какого порядка, который может существовать в индексном множестве К. Поэтому те доводы, которые мы собираемся привести, будут справедливы не только для сумм по множеству целых чисел, но и для кратных сумм со многими индексами
В частности, когда К - множество неотрицательных целых чисел, наше определение для неотрицательных членов а означает, что
И вот почему: любая неубывающая последовательность вещественных чисел имеет предел (возможно, равный Если этот предел равен, некоторое конечное множество неотрицательных целых чисел, все из которых то ; следовательно, либо либо А - ограничивающая постоянная. Но если А - некоторое число, меньшее установленной границы А, то найдется такое что довательно, конечное множество свидетельствует о том факте, что А не является ограничивающей постоянной.
А теперь можно легко вычислить величины конкретных бесконечных сумм в соответствии с только что данным определением. Например, если то
В частности, бесконечные суммы и Т, которые обсуждались минуту назад, равны, соответственно, 2 и - как мы и предполагали. Другой заслуживающий внимания пример:
Теперь рассмотрим тот случай, когда наряду с неотрицательными сумма может содержать отрицательные члены. Какой, к примеру, должна быть величина суммы
Если сгруппировать члены попарно, то получаем:
так что сумма оказывается равной нулю; но если начать группировку по парам шагом позже, то получаем
т. е. сумма равна единице.
Можно было бы также попробовать положить в формуле поскольку мы знаем, что эта формула справедлива при но тогда мы будем вынуждены признать, что данная бесконечная сумма равна ведь это сумма целых чисел!
Другим любопытным примером служит бесконечная в обе стороны сумма в которой при к 0 и при Ее можно записать как
Если мы вычисляем эту сумму, отталкиваясь от „центрального" элемента и двигаясь наружу,
то получаем 1; и мы получим ту же 1, если сдвинем все скобки на один элемент влево,
поскольку сумма всех чисел, заключенных в внутренних скобках, есть
Аналогичное рассуждение показывает, что величина суммы остается равной 1, если эти скобки передвинуть на любое фиксированное число элементов влево или вправо - это укрепляет нас во мнении, что сумма действительно равна 1. Но, с другой стороны, если сгруппировать члены следующим образом:
то пара внутренних скобок будет содержать числа
В гл. 9 будет показано, что следовательно, данный метод группировки приводит к мысли, что бесконечная в обе стороны сумма на самом деле должна равняться
Есть нечто бессмысленное в сумме, которая дает разные значения при сложении ее членов разными способами. В современных руководствах по анализу имеется целый ряд определений, с помощью которых подобным патологическим суммам приписываются осмысленные значения; но если мы позаимствуем эти определения, то не сможем оперировать с -обозначением так же свободно, как делали это до сих пор. Цели этой книги таковы, что нам не нужны рафинированные уточнения понятия „условной сходимости" - мы будем придерживаться такого определения бесконечных сумм, которое оставляет в силе все использованные нами в настоящей главе операции.
В сущности, наше определение бесконечных сумм достаточно просто. Пусть К - некоторое множество, а - вещественнозначный член суммы, определенный при каждом . (На самом деле, может означать несколько индексов так что само множество К может быть многомерным.) Всякое вещественное число х можно представить в виде разности его положительной и отрицательной частей,
(Либо либо Мы уже объясняли, как определять величины бесконечных сумм поскольку неотрицательны. Поэтому наше общее определение таково:
если только обе суммы в правой части не равны . В последнем случае сумма Хлек остается неопределенной.
Пусть Цкекак и Если суммы - конечны, то говорят, что сумма абсолютно сходится к . Если конечна, то говорят, что сумма расходится к Аналогично, если конечна, то говорят, что расходится к Если же то не говорят ничего.
Мы начинали с определения, которое „работало" при неотрицательных членах суммы, а затем распространили его на любые вещественнозначные члены. Если же члены суммы - комплексные числа, то очевидным образом наше определение можно распространить и на этот случай: сумма определяется как - вещественная и мнимая части а при условии, что обе эти суммы существуют. В противном случае сумма Хкек не определена. (См. упр. 18.)
Неприятное, как уже говорилось, заключается в том, что некоторые бесконечные суммы приходится оставлять неопределенными, поскольку операции, которые мы выполняем с ними, могут приводить к несуразностям. (См. упр. 34.) Приятное же заключается в том, что все операции из настоящей главы абсолютно справедливы всякий раз, когда мы имеем дело с суммами, которые абсолютно сходятся в только что установленном смысле.
Мы можем подтвердить это приятное обстоятельство, продемонстрировав, что каждое из наших правил преобразования сумм оставляет величину любой абсолютно сходящейся суммы неизменной. Более определенно, это означает, что следует проверить выполнение распределительного, сочетательного и переместительного законов, плюс правило, согласно которому можно начинать суммировать по любой переменной; все остальное, что мы выполняли в настоящей главе, может быть выведено из этих четырех основных операций с суммами.
Распределительный закон (2.15) можно сформулировать более строго следующим образом: если сумма Хкек а абсолютно сходится к и если с - некоторое комплексное число, то Лкек абсолютно сходится к Это можно доказать, разбивая сумму сначала на вещественную и мнимую, затем на положительную и отрицательную части, как разбивали прежде, и доказывая частный случай, когда и каждый член суммы неотрицателен. Доказательство в этом частном случае проходит в силу того, что для любого конечного множества последний же факт доказывается индукцией по размеру множества
Сочетательный закон (2.16) может быть сформулирован следующим образом: если суммы абсолютно сходятся соответственно к А и В, то сумма абсолютно сходится к Оказывается, что это является частным случаем более общей теоремы, которую мы вскоре докажем.
Переместительный же закон (2.17) в действительности нет нужды доказывать, поскольку при обсуждении формулы (2.35) мы показали, как выводить его в качестве частного случая общего правила изменения порядка суммирования.
Для того, чтобы вычислить сумму ряда , нужно просто сложить элементы ряда, заданное количество раз. Например:
В приведённом выше примере это удалось сделать очень просто, поскольку суммировать пришлось конечное число раз. Но что делать, если верхний предел суммирования бесконечность? Например, если нам нужно найти сумму вот такого ряда:
По аналогии с предыдущим примером, мы можем расписать эту сумму вот так:
Но что делать дальше?! На этом этапе необходимо ввести понятие частичной суммы ряда . Итак, частичной суммой ряда (обозначается S n ) называется сумма первых n слагаемых ряда. Т.е. в нашем случае:
Тогда сумму исходного ряда можно вычислить как предел частичной суммы:
Таким образом, для вычисления суммы ряда , необходимо каким-либо способом найти выражение для частичной суммы ряда (S n ). В нашем конкретном случае ряд представляет собой убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем 1/3. Как известно сумма первых n элементов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
здесь b 1 - первый элемент геометрической прогрессии (в нашем случае это 1) и q - это знаменатель прогрессии (в нашем случае 1/3). Следовательно частичная сумма S n для нашего ряда равна:
Тогда сумма нашего ряда (S ) согласно определению, данному выше, равна:
Рассмотренные выше примеры являются достаточно простыми. Обычно вычислить сумму ряда гораздо сложнее и наибольшая трудность заключается именно в нахождении частичной суммы ряда. Представленный ниже онлайн калькулятор, созданный на основе системы Wolfram Alpha, позволяет вычислять сумму довольно сложных рядов. Более того, если калькулятор не смог найти сумму ряда, вероятно, что данный ряд является расходящимся (в этом случае калькулятор выводит сообщение типа "sum diverges"), т.е. данный калькулятор также косвенно помогает получить представление о сходимости рядов.
Для нахождения суммы Вашего ряда, необходимо указать переменную ряда, нижний и верхний пределы суммирования, а также выражение для n -ого слагаемого ряда (т.е. собственно выражение для самого ряда).
Некоторые задачи физики и математики могут быть решены с использованием свойств числовых рядов. Две самых простых числовых последовательности, которые изучаются в школах, это алгебраическая и геометрическая. В данной статье рассмотрим подробнее вопрос, как найти сумму бесконечной прогрессии геометрической убывающей.
Прогрессия геометрическая
Под этими словами понимают такой ряд действительных чисел, элементы a i которого удовлетворяют выражению:
Здесь i - номер элемента в ряду, r - постоянное число, которое называется знаменателем.
Это определение показывает, что, зная любой член прогрессии и его знаменатель, можно восстановить весь ряд чисел. Например, если известен 10-й элемент, то разделив его на r, получим 9-й элемент, затем, разделив еще раз, получим 8-й и так далее. Эти простые рассуждения позволяют записать выражение, которое справедливо для рассматриваемого ряда чисел:
Примером прогрессии со знаменателем 2 может быть такой ряд:
1, 2, 4, 8, 16, 32, ...
Если же знаменатель будет равен -2, тогда получается совершенно другой ряд:
1, -2, 4, -8, 16, -32, ...
Прогрессия геометрическая является гораздо более быстрой, чем алгебраическая, то есть ее члены быстро растут и быстро уменьшаются.
Сумма i членов прогрессии
Для решения практических задач часто приходиться вычислять сумму нескольких элементов рассматриваемой числовой последовательности. Для этого случая справедлива следующая формула:
S i = a 1 *(r i -1)/(r-1)
Видно, что для вычисления суммы i членов необходимо знать всего два числа: a 1 и r, что является логичным, поскольку они однозначно определяют всю последовательность.
Убывающая последовательность и сумма ее членов
Теперь рассмотрим частный случай. Будем считать, что модуль знаменателя r не превышает единицы, то есть -1 Убывающую геометрическую прогрессию интересно рассмотреть, потому что бесконечная сумма ее членов стремится к конечному действительному числу. Получим формулу суммы Это легко сделать, если выписать выражение для S i , приведенного в предыдущем пункте. Имеем: S i = a 1 *(r i -1)/(r-1) Рассмотрим случай, когда i->∞. Поскольку модуль знаменателя меньше 1, то возведение его в бесконечную степень даст ноль. Это можно проверить на примере r=0,5: 0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009. В итоге сумма членов бесконечной геометрической прогрессии убывающей примет форму: Эта формула часто используется на практике, например, для вычисления площадей фигур. Ее также применяют при решении парадокса Зенона Элейского с черепахой и Ахиллесом. Очевидно, что рассмотрение суммы бесконечной прогрессии геометрической возрастающей (r>1), приведет к результату S ∞ = +∞. Покажем, как следует применять приведенные выше формулы на примере решения задачи. Известно, что сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 11. При этом 7-й ее член в 6 раз меньше третьего члена. Чему равен первый элемент для этого числового ряда? Для начала выпишем два выражения для определения 7-го и 3-го элементов. Получаем: Разделив первое выражение на второе, и выражая знаменатель, имеем: a 7 /a 3 = r 4 => r = 4 √(a 7 /a 3) Поскольку отношение седьмого и третьего членов дано в условии задачи, можно его подставить и найти r: r = 4 √(a 7 /a 3) = 4 √(1/6) ≈ 0,63894 Мы рассчитали r с точностью пяти значащих цифр после запятой. Поскольку полученное значение меньше единицы, значит, прогрессия является убывающей, что оправдывает использование формулы для ее бесконечной суммы. Запишем выражение для первого члена через сумму S ∞ : Подставляем в эту формулу известные значения и получаем ответ: a 1 = 11*(1-0,63894) = 3,97166. Зенон Элейский - известный греческий философ, живший в V веке до н. э. До настоящего времени дошли ряд его апогей или парадоксов, в которых формулируется проблема бесконечно большого и бесконечно малого в математике. Одним из известных парадоксов Зенона являются соревнования Ахиллеса и черепахи. Зенон полагал, что если Ахиллес предоставит некоторое преимущество черепахе в расстоянии, то он никогда не сможет ее догнать. Например, пусть Ахиллес бежит в 10 раз быстрее, чем ползет животное, которое для примера находится на расстоянии 100 метров впереди него. Когда воин пробежит 100 метров, то черепаха отползет на 10. Пробежав вновь 10 метров, Ахиллес увидит, что черепаха отползла еще на 1 метр. Рассуждать так можно до бесконечности, расстояние будет между соревнующимися действительно уменьшаться, но черепаха будет всегда находиться впереди. Привел Зенона к выводу, что движения не существует, и все окружающие перемещения объектов - это иллюзия. Конечно же, древнегреческий философ ошибался. Решение парадокса кроется в том, что бесконечная сумма постоянно уменьшающихся отрезков, стремится к конечному числу. В приведенном выше случае для расстояния, которое пробежал Ахиллес, получим: 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ... Применяя формулу суммы бесконечной прогрессии геометрической, получим: S ∞ = 100 /(1-0,1) ≈ 111,111 метров Этот результат показывает, что Ахиллес догонит черепаху, когда она проползет всего 11,111 метров. Древние греки не умели работать с бесконечными величинами в математике. Однако этот парадокс можно разрешить, если обратить внимание не на бесконечное число промежутков, которые должен преодолеть Ахиллес, а на конечное число шагов бегуна, необходимых для достижения цели. Сумма всех натуральных чисел может быть записана с использованием следующего числового ряда Этот, на первый взгляд, совершенно противоречащий интуиции результат, тем не менее может быть строго доказан. Но прежде, чем говорить о доказательстве, нужно сделать отступление и вспомнить основные понятия. Начнём с того, что «классической» суммой ряда называется предел частичных сумм ряда, если он существует и конечен. Подробности можно найти в википедии и соответствующей литературе. Если конечный предел не существует, то ряд называется расходящимся. Например, частичная сумма первых k членов числового ряда 1 + 2 + 3 + 4 +… записывается следующим образом Нетрудно понять, что эта сумма неограниченно растёт при стремлении k к бесконечности. Следовательно, исходный ряд является расходящимся и, строго говоря, не имеет суммы. Существует, однако, множество способов присвоить конечное значение расходящимся рядам. Ряд 1+2+3+4+… далеко не единственный из расходящихся рядов. Возьмём, например, ряд Гранди Который тоже расходится, но известно, что метод суммирования Чезаро позволяет присвоить этому ряду конечное значение 1/2. Суммирование по Чезаро заключается в оперировании не частичными суммами ряда, а их арифметическими средними. Позволив себе порассуждать в вольном стиле, можно сказать, что то частичные суммы ряда Гранди осцилируют между 0 и 1, в зависимости от того какой член ряда является последним в сумме (+1 или -1), отсюда и значение 1/2, как арифметическое среднее двух возможных значений частичных сумм. Другим интересным примером расходящегося ряда является знакопеременный ряд 1 - 2 + 3 - 4 +... , частичные суммы которого также осцилируют. Суммирование методом Абеля позволяет присвоить данному ряду конечное значение 1/4. Отметим, что метод Абеля является, своего рода, развитием метода суммирования по Чезаро, поэтому результат 1/4 несложно осмыслить с точки зрения интуиции. Здесь важно отметить, что методы суммирования не являются трюками, которые придумали математики, чтобы как-то совладать с расходящимися рядами. Если вы примените суммирование по Чезаро или метод Абеля к сходящемуся ряду, то ответ, который дают эти методы, равен классической сумме сходящегося ряда. Ни суммирование по Чезаро, ни метод Абеля, однако, не позволяют работать с рядом 1 + 2 + 3 + 4 +..., т. к. средние арифметические частичных сумм, равно как и средние арифметические средних арифметических, расходятся. Кроме того, если значения 1/2 или 1/4 ещё как-то можно принять и соотнести с соответствующими рядами, то -1/12 сложно связать с рядом 1 + 2 + 3 + 4 +..., представляющим собой бесконечную последовательность положительных целых чисел. Существует несколько способов прийти к результату -1/12. В этой заметке я лишь кратко остановлюсь на одном из них, а именно регуляризации дзета-функцией . Введём дзета-функцию Подставляя s = -1
, получим исходный числовой ряд 1+2+3+4+…. Проделаем над этой функцией ряд несложных математических действий Где является эта-функцией Дирихле При значении s = -1
эта-функция становится уже знакомым нам рядом 1 - 2 + 3 - 4 + 5 -… «сумма» которого равна 1/4. Теперь мы можем легко решить уравнение Интересно, что этот результат находит своё применение в физике. Например, в теории струн. Обратимся к стр. 22 книги Joseph Polchinski «String Theory»: Если для кого-то теория струн не является убедительным примером в силу отсутствия доказательств множества следствий этой теории, то можно также упомянуть, что похожие методы фигурируют в квантовой теории поля при попытке рассчитать эффект Казимира . Чтобы два раза не ходить, ещё пара интересных примеров с дзета-функцией Для тех, кто захочет получить больше информации по теме отмечу, что написать данную заметку я решил после перевода соответствующей статьи на википедии , где в разделе «Ссылки» вы сможете найти массу дополнительного материала, в основном на английском языке.
Задача на нахождение первого члена прогрессии
Знаменитый парадокс Зенона с быстрым Ахиллесом и медленной черепахой
