Косоугольная горизонтальная изометрия. Косоугольная диметрическая проекция (фронтальная)

Для трёхмерных объектов и панорам.

Ограничения аксонометрической проекции

Изометрическая проекция в компьютерных играх и пиксельной графике

Рисунок телевизора в почти-изометрической пиксельной графике. У пиксельного узора видна пропорция 2:1

Примечания

По ГОСТ 2 .317-69 - Единая система конструкторской документации. Аксонометрические проекции.
Здесь горизонтальной называется плоскость, перпендикулярная оси Z (которая является прообразом оси Z").
Ingrid Carlbom, Joseph Paciorek. Planar Geometric Projections and Viewing Transformations // ACM Computing Surveys (CSUR) : журнал. - ACM , декабрь 1978. - Т. 10. - № 4. - С. 465-502. - ISSN 0360-0300 . - DOI :10.1145/356744.356750
Jeff Green. GameSpot Preview: Arcanum (англ.) . GameSpot (29 февраля 2000).(недоступная ссылка - история ) Проверено 29 сентября 2008.
Steve Butts. SimCity 4: Rush Hour Preview (англ.) . IGN (9 сентября 2003). Архивировано
GDC 2004: The History of Zelda (англ.) . IGN (25 марта 2004). Архивировано из первоисточника 19 февраля 2012. Проверено 29 сентября 2008.
Dave Greely, Ben Sawyer.

Для тoгo чтобы получить аксонометрическую проекцию предмета (рис. 106), необходимо мысленно: поместить предмет в систему координат; выбрать аксонометрическую плоскость проекций и расположить предмет перед ней; выбрать направление параллельных проецирующих лучей, которое не должно совпадать ни с одной из аксонометрических осей; направить проецирующие лучи через все точки предмета и координатные оси до пересечения с аксонометрической плоскостью проекций, получив тем самым изображение проецируемого предмета и координатных осей.

На аксонометрической плоскости проекций получают изображение - аксонометрическую проекцию предмета, а также проекции осей систем координат, которые называют аксонометрическими осями.

Аксонометрической проекцией называется изображение, полученное на аксонометрической плоскости в результате параллельного проецирования предмета вместе с системой координат, которое наглядно отображает его форму.

Система координат состоит из трех взаимно пересекающихся плоскостей, которые имеют фиксированную точку - начало координат (точку О) и три оси (X, У, Z), исходящие из нее и расположенные под прямым углом друг к другу. Система координат позволяет производить измерения по осям, определяя положение предметов в пространстве.

Рис. 106. Получение аксонометрической (прямоугольной изометрической) проекции

Можно получить множество аксонометрических проекций, по- разному располагая предмет перед плоскостью и выбирая при этом различное направление проецирующих лучей (рис. 107).

Наиболее употребляемой является так называемая прямоугольная изометрическая проекция (в дальнейшем будем использовать ее сокращенное название - изометрическая проекция). Изометрической проекцией (см. рис. 107, а) называется такая проекция, у которой коэффициенты искажения по всем трем осям равны, а углы между аксонометрическими осями составляют 120°. Изометрическая проекция получается с помощью параллельного проецирования.

Рис. 107. Аксонометрические проекции, установленные ГОСТ 2.317-69:
а - прямоугольная изометрическая проекция; б - прямоугольная диметрическая проекция;
в - косоугольная фронтальная изометрическая проекция;
г - косоугольная фронтальная диметрическая проекция

Рис. 107. Продолжение: д - косоугольная горизонтальная изометрическая проекция

При этом проецирующие лучи перпендикулярны аксонометрической плоскости проекций, а координатные оси одинаково наклонены к аксонометрической плоскости проекций (cм. рис. 106). Если сравнить линейные размеры предмета и соответствующие им размеры аксонометрического изображения, то можно увидеть, что на изображении эти размеры меньше, чем действительные. Величины, показывающие отношение размеров проекций отрезков прямых к действительным их размерам, называют коэффициентами искажения. Коэффициенты искажения (К) по осям изометрической проекции одинаковы и равны 0,82, однако для удобства построения используют так называемые практические коэффициенты искажения, которые равны единице (рис. 108).

Рис. 108. Положение осей и коэффициенты искажения изометрической проекции

Существуют изометрические, диметрические и триметрические проекции. К изометрическим проекциям относятся такие проекции, которые имеют одинаковые коэффициенты искажения по всем трем осям. Диметрическими проекциями называются такие проекции, у которых два коэффициента искажения по осям одинаковые, а величина третьего отличается от них. К триметрическим проекциям относятся проекции, у которых все коэффициенты искажения различны.

Косоугольные аксонометрические проекции характеризуются двумя основными признаками: плоскость аксонометрических проекций располагайся параллельно одной из граней предмета, которая изображается без искажения; направление проецирования выбирается косоугольное (составляет с плоскостью проекций острый угол), что дает возможность спроецировать и две другие грани или стороны предмета, но уже с искажением.

Название фронтальная или горизонтальная определяет положение плоскости аксонометрических проекций относительно основных сторон или граней предмета.

Аксонометрические изображения предметов при косоугольном проецировании оказываются менее наглядными, чем при прямоугольном проецировании. Изображенные предметы воспринимаются -только деформированными, со скошенностью в направлении, перпендикулярном плоскости проекций. Однако изображения в косоугольной аксонометрии обладают важным преимуществом, которое довольно часто используют в техническом черчении:плоские элементы предмета, параллельные плоскости аксонометрических проекций, проецируются без искажения. В черчении косоугольные аксонометрические проекции используют в случаях, когда нужно изобразить без искажения части предмета сложной криволинейной формы.

Фронтальная диметрическая проекция. Аксонометрические оси фронтальной диметрии располагаются следующим образом (Рис. 59а): ось ОZ -вертикальная, ось ОХ - горизонтальная, ось OY делит угол ZOX пополам и направлена вправо вниз. Ось OY можно построить, отложив от горизонтали угол 45°. По осям ОХ и OZ, размеры изображения проецируются в истинную величину, а по оси OY сокращаются вдвое.

Фронтальная диметрическая проекция куба с окружностями, вписанными в три видимые грани, показана на рис.596. В передней грани параллельной координатной плоскости XOZ окружность изображается без искажений, в двух других гранях - одинаковыми эллипсами, большие оси которых равны 1,07D, а малые - 0.33D, где D - диаметр окружности, вписанной в грани куба. Направления больших осей эллипсов отклоняются от большей диагонали аксонометрии описанного квадрата (параллелограмма) на 7°.

Фронтальную диметрию целесообразно применять в тех случаях, когда требуется сохранить неискаженными фигуры, расположенные во фронтальных плоскостях что упрощает построение аксонометрического изображения.

Фронтальная изометрическая проекция. Во фронтальной изометрии положение осей (рис. 60а) аналогично положению осей во фронтальной ди-метрии. По всем осям размеры откладывают без сокращений, в истинную величину. На рис. 606 построена фронтальная изометрия куба. Искажение общей формы изображенного предмета и неестественная вытянутость куба вдоль оси OY в этой проекции больше, чем во фронтальной диметрии. Эллипсы рекомендуется строить по восьми точкам. Направление осей эллипсов совпадает с диагоналями граней куба.

Расположение осей во фронтальной изометрии, как и в других аксонометрических проекциях, дает вид предмета сверху.

Горизонтальная изометрическая проекция . Аксонометрические оси горизонтальной изометрии располагают следующим образом (рис. 61а): ось 0Z - вертикальная, угол между осями ОХ и OY равен 90°, ось OY составляет с горизонталью угол 30°. ГОСТ 2.317-69* допускает применять и другие углы между горизонталью и осью OY - 45 и 60°, при этом угол 90° между осями ОХ и OY сохраняется. По всем осям размеры откладывают без искажений, в истинную величину. Искажение формы и вытянутость куба направлены вдоль оси OZ. (Рис. 616).

Размеры осей эллипса, расположенного в грани, параллельной координатной плоскости Y0Z, равны осям эллипсов прямоугольной изометрии. Вместо этого эллипса можно построить овал. Второй эллипс строят по восьми точкам. Оси эллипса совпадают с направлением диагоналей граней куба.

В горизонтальной изометрии плоские фигуры, расположенные на плане и в горизонтальных плоскостях, не искажаются. Это свойство проекции используют при изображении в аксонометрии строительных объектов, когда надо сохранить неискаженными конфигурацию и размерные соотношения плана.

8.2. Ортогональные проекции.

Прямоугольное проецирование на две и три плоскости проекций.

Аксонометрические и перспективные изображения обладают хорошей наглядностью, но по ним трудно определить истинные размеры изображенных предметов, а также воспроизвести их в натуре. Поэтому в основу получения изображений на чертежах положен метод прямоугольного (ортогонального) проецирования на две или три взаимно перпендикулярные плоскости проекций. (Рис.62). Прямоугольные проекции (чертежи) предмета обладают следующим преимуществом: при наличии масштаба и размеров по чертежам можно воспроизвести изображенные предметы в точном соответствии с проектным замыслом.

Две проекции определяют положение, форму и размеры изображенного на чертеже предмета; третья проекция определяется пересечением соответствующих линий связи.

Чертеж предмета должен давать полное представление о форме изображаемого предмета, его устройстве, размерах, материале, из которого изготовлен предмет, а также содержать сведения о способах его изготовления. Вместе с тем чертеж предмета должен быть лаконичным и содержать минимальное количество изображений и текста, достаточных для свободного чтения чертежа, изготовления по нему детали и ее контроля.

Для лучшего понимания и чтения чертежи должны составляться по общим правилам. Все требования к оформлению чертежей, а также условные обозначения, содержащиеся на чертежах, должны быть единообразными. Поэтому при составлении чертежей необходимо руководствоваться основными положениями и правилами ГОСТов «Единой системы конструкторской документации». Все изображения на чертежах в зависимости от их содержания разделяются на виды, разрезы, сечения.

Изображения предметов на чертежах образуются с помощью прямоугольного проецирования предмета на плоскости проекций. При этом предполагается, что предмет расположен между, наблюдателем и соответствующей плоскостью проекций.

Предмет должен располагаться относительно фронтальной плоскости проекций так, чтобы изображение на ней наиболее полно отображало форму и размеры предмета при наилучшем использовании поля чертежа.

За основные плоскости проекций принимают шесть граней куба. Предмет мысленно помещают внутри этого куба (заднюю его грань принимают за фронтальную плоскость проекций) и строят проекции предмета на каждой грани. Если после этого развернуть грани куба до совмещения с фронтальной плоскостью, то получим изображения предмета на шести плоскостях проекций.

На каждой плоскости проекций получается изображение обращенной к наблюдателю видимой части предмета; такое изображение называется видом. В зависимости от направления проецирования установлены следующие названия видов, получаемых на основных плоскостях проекций: 1 - вид спереди (главный вид); 2 - вид сверху; 3 - вид слева; 4 - вид справа; 5 - вид снизу; 6 - вид сзади.

Названия видов на чертежах, выполненных в проекционной связи, не указывают. Чтобы уменьшить количество видов, допускается на них показывать невидимые части поверхностей предметов штриховыми линиями. Виды предмета должны быть увязаны между собой, вид сверху располагается под видом спереди, а виды слева и справа - на одном уровне с видом спереди (справа от него при взгляде на предмет слева и слева от него при взгляде на предмет справа). (Рис.63).

Рис. 63

Для того чтобы правильно разместить изображения предмета и его частей на рабочем поле чертежа, необходимо:

Выбрав масштаб чертежа, определить для каждого вида его основные габаритные размеры: для вида сверху - наибольшую длину и ширину предмета, для вида спереди - наибольшие длину и высоту и т. д.;

Полученные размеры перевести на выбранный масштаб чертежа;

Каждое изображение выразить в виде прямоугольника по установленным в масштабе габаритным размерам;

Для определения формата чертежа полученные размеры прямоугольнике расположить с возможной равномерной плотностью и с учетом необходимых мест для выносных и размерных линий и поясняющих надписей;

После схематической компоновки чертежа приступают к детальному изображению видов предмета внутри этих прямоугольников.

В противоположность ортографическим и аксонометрическим проекциям, для которых проекторы перпендикулярны плоскости проекции, косоугольная проекция формируется параллельными проекторами с центром, лежащим в бесконечности, и расположенными под косым углом к плоскости проекции. Общая схема проекции изображена на рис. 3-20.

Косоугольные проекции показывают общую трехмерную форму объекта. Однако истинные размер и форма изображаются только для граней объекта, распложенных параллельно плоскости проекции, т.е. углы и длины сохраняются только для таких граней. В самом деле, косоугольная проекция этих граней эквивалентна ортографическому виду спереди. Грани, не параллельные плоскости проекции, подвергаются искажению.

Особый интерес представляют две косоугольные проекции - кавалье и кабине. Проекция кавалье получается, когда угол между проекторами и плоскостью проекции составляет . В этой проекции коэффициенты искажения для всех трех главных направлений одинаковы. Результат этой проекции выглядит неестественно утолщенным. Для «коррекции» этого недостатка используется проекция кабине.

Проекцией кабине называется такая косоугольная проекция, у которой коэффициент искажения для ребер, перпендикулярных плоскости проекции, равен 1/2. Как будет показано ниже, для проекции кабине угол между проекторами и плоскостью проекции составляет .

Рис. 3-20 Косоугольная проекция.

Рис. 3-21 Построение косоугольной проекции.

Чтобы построить матрицу преобразования для косоугольной проекции, рассмотрим единичный вектор вдоль оси , показанный на рис. 3-21. Для ортографической или аксонометрической проекции на плоскость вектор задает направление проекции. При косоугольной проекции проекторы составляют угол с плоскостью проекции. На рис. 3-21 показаны типичные косоугольные проекторы и . Проекторы и образуют угол с плоскостью проекции . Заметим, что все возможные проекторы, проходящие через точку или и образующие угол с плоскостью , лежат на поверхности конуса с вершиной в или . Таким образом, для заданного угла существует бесконечное количество косоугольных проекций.

Проектор можно получить из с помощью переноса на точки в точку . В двумерной плоскости, проходящей через перпендикулярно оси , -матрица преобразования равна

В трехмерном пространстве это двумерное преобразование эквивалентно сдвигу вектора в направлениях и . Для этого необходимо преобразование

Проецирование на плоскость дает

Из рис. 3-21 получаем, что

где - длина спроецированного единичного вектора на оси , т.е. коэффициент искажения, а - угол между горизонталью и спроецированной осью . Из рис. 3-21 также ясно, что - угол между косыми проекторами и плоскостью проекции равен

Таким образом, преобразование для косоугольной проекции имеет вид:

. (3-44)

При , получаем ортографическую проекцию. Если , то не подвергаются искажению ребра, перпендикулярные плоскости проекции. А это является условием проекции кавалье. Из равенства (3-43) имеем:

Заметим, что в проекции кавалье является все еще свободным параметром. На рис. 3-22 показаны проекции кавалье для некоторых значений . Наиболее часто используются значения , равные и . Также применяется значение .

Проекцию кабине можно получить при коэффициенте искажения . Отсюда

В этом случае снова угол является переменной величиной, как это показано на рис. 3.23. Наиболее часто встречаются значения и , применяется также значение .

Рис. 3-22 Проекции кавалье. Сверху вниз угол изменяется от до с интервалом , угол .

Рис. 3-23 Проекции кабине. Сверху вниз угол изменяется от до с интервалом , коэффициент искажения .

Рис. 3-24 Косоугольные проекции. Слева направо при .

Рис. 3-25 Искажение, возникающее в косоугольных проекциях, , . (а) Круглая грань параллельна плоскости проекции; (b) круглая грань перпендикулярна плоскости проекции; (с) длинная сторона перпендикулярна плоскости проекции; (d) длинная сторона параллельна плоскости проекции.

На рис. 3-24 изображены косоугольные проекции для коэффициентов искажения с углом .

Поскольку изображается истинная форма одной грани, косоугольные проекции особенно подходят для иллюстрации объектов с круглыми или иными искривленными гранями. Такие грани должны быть параллельны плоскости проекции, чтобы избежать нежелательных искажений. Так же, как и в случае параллельных проекций, объекты с одним измерением, существенно превосходящим другие, подвергаются значительному искажению, если только это измерение не параллельно плоскости проекции. Такие эффекты показаны на рис. 3-25.

Косоугольная диметрическая проекция (фронтальная)

Если расположить координатные оси Х и Y параллельно плоскости П¢, то показатели искажения по этим осям станут равным единице (к = т =1). Показатель искажения по оси Y обычно принимают равным 0,5. Аксонометрические оси X " и Z" составят прямой угол, ось Y" обычно проводят как биссектрису этого угла. Ось Х может быть направлена как вправо от оси Z ", так и влево.

Предпочтительно пользоваться правой системой, так как удобнее изображать предметы в рассеченном виде. В этом виде аксонометрии хорошо чертить детали, имеющие форму цилиндра или конуса.

Для удобства изображения этой детали ось Y надо совместить с осью вращения поверхностей цилиндров. Тогда все окружности будут изображаться в натуральную величину, а длина каждой поверхности будет уменьшаться в два раза (рис.10.21).

Наклонные сечения.

При выполнении чертежей деталей машин приходится нередко применять наклонные сечения.

При решении таких задач необходимо прежде всего уяснить: как должна быть расположена секущая плоскость и какие поверхности участвуют в сечении для того, чтобы деталь читалась лучше. Рассмотрим примеры.

Дана четырехгранная пирамида, которая рассекается наклонной фронтально-проецирующей плоскостью А-А (рис.11.1). Сечением будет четырехугольник.

Сначала строим проекции его на П 1 и на П 2 . Фронтальная проекция совпадает с проекцией плоскости, а горизонтальную проекцию четырехугольника строим по принадлежности пирамиде.

Затем строим натуральную величину сечения. Для этого вводится дополнительная плоскость проекций П 4 , параллельная заданной секущей плоскости А-А , на нее проецируем четырехугольник, а затем совмещаем его с плоскостью чертежа.

Эта четвертая основная задача преобразования комплексного чертежа (модуль №4, стр.15 или задача №117 из рабочей тетради по начертательной геометрии).

Построения выполняются в следующей последовательности (рис.11.2):

1. 1.На свободном месте чертежа проводим осевую линию, параллельную плоскости А-А .

2. 2.Из точек пересечения ребер пирамиды с плоскостью проводим проецирующие лучи, перпендикулярно секущей плоскости. Точки 1 и 3 будут лежать на линии, расположенной перпендикулярно осевой.

3. 3.Расстояние между точками 2 и 4 переносится с горизонтальной проекции.

4. Аналогично строится истинная величина сечения поверхности вращения - эллипс.

Расстояние между точками 1 и 5 -большая ось эллипса. Малую ось эллипса надо строить путем деления большой оси пополам (3-3 ).

Расстояние между точками 2-2, 3-3, 4-4 переносятся с горизонтальной проекции.

Рассмотрим более сложный пример, включающий многогранные поверхности и поверхности вращения (рис.11.3)

Задана четырехгранная призма. В ней расположены два отверстия: призматическое, расположенное горизонтально и цилиндрическое, ось которого совпадает с высотой призмы.

Секущая плоскость фронтально-проецирующая, поэтому фронтальная проекция сечения совпадает с проекцией этой плоскости.

Четырехугольная призма проецирующая к горизонтальной плоскости проекций, а значит и горизонтальная проекция сечения тоже есть на чертеже, она совпадает с горизонтальной проекцией призмы.

Натуральная величина сечения, в которое попадают обе призмы и цилиндр, строим на плоскости, параллельной секущей плоскости А-А (рис.11.3).

Последовательность выполнения наклонного сечения:

1. Проводится ось сечения, параллельно секущей плоскости, на свободном поле чертежа.

2. Строится сечение наружной призмы: длина его переносится с фронтальной проекции, а расстояние между точками с горизонтальной.