Как понять тему проценты. Формула подсчета числа от процента. Новое направление в
Отправляя ребенка в школу, многие родители переживают за то, что они не смогут помочь им решить простую задачу, упав, тем самым, в глазах детей. Этого не надо бояться, а чтобы избежать подобных ситуаций, вам придется вспоминать некогда полученные знания, а может и учиться по-новому. Если задачи, предлагаемые в начальных классах, вы еще можете решать, то далеко не каждый может справиться с программой пятого класса, а именно на этом этапе ребенку предстоит узнать, что такое проценты, а вам придется думать, как объяснить ребенку проценты в математике. Покопавшись в своей памяти, многие найдут решение вопроса, но если вы забыли, как вычислять проценты, придется садиться за учебники.
Учим ребенка вычислять проценты
Учитель математики точно знает, как объяснить ребенку проценты по математике, научит он и другим арифметическим действиям, но не все дети наделены способностью воспринимать информацию на слух или из книг самостоятельно. В этом случае они обратятся к родителям, которые должны объяснить, как вычислить процентную долю чего-либо. Если вы не знаете, как объяснить проценты школьнику, постарайтесь перевести занятие в увлекательную игру. Возможно, для этого вам придется нарисовать 100 фигур, но это того стоит, ведь так вы сможете объяснить все наглядно. Вы должны рассказать, что все сто фигур это и есть 100%, а если раскрасить 50 фигур в какой-либо цвет, то нераскрашенных фигур останется ровно половина, а половина – это 50%.
Вероятнее всего, ребенку понравится такая игра, при этом у вас есть возможности для маневра – вы можете раскрасить любое количество фигур, предложив ребенку их посчитать. Ведь здесь все просто – 30 раскрашенных фигур – 30% и так далее. После того, как ребенок на наглядных примерах осознал, что такое проценты, вы можете решать, как вычислять процентную долю от количества. Если вы не знаете, как объяснить ребенку тему проценты 5,6 класс, предложите ему решить простую задачу, вычислив 50 процентов от какого-либо количества людей. Для этого ему достаточно разделить 50 на 100 и умножить на общее количество людей. Существуют и другие возможности, при этом не стоит забывать несколько забытые пропорции, которые для вычисления процентной доли подходят наилучшим образом.
Применяем проценты в жизни
Чтобы ребенок лучше осваивал проценты, и если вы еще не поняли, как объяснить ребенку задачи на проценты 5,6 класс, для начала постарайтесь объяснить, а для чего это ему нужно, в принципе. Для этого вам придется проявить изобретательность. Возьмите, к примеру, ребенка в банк и попытайтесь ему объяснить, что такое проценты на примере процентной ставки по кредиту. Ребенку это должно быть интересно, и он поймет, что знание процентов – это важно, и теперь вы можете спокойно приступать к изучению процентов. Вы можете применять вспоминать о процентах и в других жизненных ситуациях, главное, чтобы ребенку это было интересно, и он понимал, что если он не будет разбираться в процентах, многое потеряет.
Первое, что должен усвоить ребенок – это то, что процент представляет собой сотую часть числа. Вы можете перевести проценты в десятичную дробь, разделив необходимое число на 100, а чтобы перевести десятичную дробь в проценты, вам надо сделать все наоборот – умножить дробное число на 100. Если ребенок заинтересовался изучением процентов, предложите ему выучить наизусть таблицу, в которой указаны соотношения дробей и процентов, облегчив усвоение информации при помощи интересных картинок.
Изучение задач на проценты в 5 - 6 классе
Приступив к теме, изучающей проценты, мы осознаем, что они «преследуют» нас не только в школе, но и в обычной жизни, а именно: дома, магазине, больнице, на заправочных станциях, в банках, в интернете и т. д.
Исходя из истории, слово процент происходит от латинского слова procentum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Еще в древности у вавиловян появилась идея, вызванная практическими соображениями, выражения частей целого в одних и тех же долях. Множество задач изображенных на клинописных табличках, отображают исчисление процентов. Наиболее распространенное использование проценты получили в Древнем Риме. От римлян проценты перешли к другим народам Европы.
Тема проценты – является одной из самых трудных тем для пятиклассников. Это объясняется тем, что понятие процента не является только математическим, а относится к терминам экономики. Например, в учебнике Виленкина Н.Я., Чеснокова А.С., Шварцбурда С.И. и Жохова В.И. дается следующее определение процента: «Процентом называют одну сотую часть числа».
Проценты встречаются ученикам не только на уроках математики, они так же тесно связаны с такими дисциплинами как: физика, химия, география, биология и т. д.. В связи с этим знание и изучение темы «Проценты» является неотъемлемой частью математики, именно в 5 классе.
Рассмотрим подборку типовых задач на проценты.
Тип 1: Находим процент от числа.
Задача. За месяц на металлургическом предприятии изготовили 200 автомобильных пружин. 40% изготовленных пружин не смогли пройти контроль качества. Сколько автомобильных пружин не прошло контроль качества?
Решение. Нужно найти 40% от общего количества изготовленных пружин, 200 * 40% =200 * 0,4 =80.
Ответ: 80 пружин из общего количества изготовленных контроль не прошли.
Тип 2: Находим число по его проценту.
Задача. Готовясь к уроку, школьник решил 13 задач из учебника. Что составляет 13% числа всех задач в учебнике. Сколько всего задач собрано в этом учебнике?
Решение. Мы не знаем, сколько всего задач в учебнике. Но зато нам известно, что 13 задач составляют 13% от общего их количества. Запишем 13% в виде дроби: 0,13. Далее нам следует известную нам часть целого разделить на ту долю, которую она составляет от всего целого:
13 / 0,13 = 13 * 100 / 13 = 100 задач составляет 13% от всех задач учебника.
Х задач – 100%
100 задач – 13%, следовательно:
Х * 13% = 100 * 100%
Х = (100 * 100%) / 13%
Х = 769 задач всего, собрано в учебнике
Ответ: Именно 769 задач собрано в учебнике.
Тип 3: Находим процентное отношение двух чисел (часть от целого числа).
Задача. В классе 40 учеников. 16 из них – девочки. Сколько процентов девочек в классе?
Решение. Чтобы узнать, какой процент составляет одно число от другого, нужно то число, которое требуется найти, разделить на общее количество и умножить на 100%.
Решение: 16 / 40*100% = 40%
Ответ: 40 % в классе составляют девочки.
Тип 4: Увеличиваем число на процент.
Задача. На экзамене по математике 120 старшеклассников получили пятерки. В этом году число отличников выросло на 17%. Сколько человек получили пятерки за экзамен по математике в этом году?
Решение. Если некое число, а увеличено на Х %, то оно увеличилось в
(1 + Х /100) раз. Откуда а * (1 + Х /100). Подставим в эту формулу данные нам по условию задачи цифры и получим ответ:
120 * (1 + 17/100) = 140
Ответ: 140 человек в этом году получили пятерки
Тип 5: Уменьшаем число на процент.
Задача. Год назад школу закончили 100 ребят. А в это году выпускников на 25 меньше. Сколько выпускников в этом году?
Решение: Если число а уменьшено на Х % и при этом 0 ≤ Х ≤ 100, то число уменьшено в (1 – Х / 100) раз. И нужное нам число находим по формуле
а * (1 – х/100).
Подставляем цифры из условия задачи и получаем ответ:
100 * (1 – 25 / 100) = 75.
Ответ: 75 выпускников в этом году
Тип 6: Задачи на простые проценты.
Задача. Родители взяли в банке кредит 5000 рублей сроком на год под 15% ежемесячно. Сколько денег они заплатят банку через год?
Решение. Простые проценты называются так, потому что они начисляются многократно, но всякий раз к исходной сумме. Если обозначить исходную сумму как а, сумму, которая наращивается, как S, процентную ставку как Х % и количество периодов начисления процента как у, то формулу можно записать так: S = а * (1 + у * Х / 100).
Теперь подставим сюда цифры из условия задачи и узнаем, сколько денег родители заплатят банку: S = 5000 * (1 + 12 * 15/100) = 14000.
Ответ: 14000 рублей родители заплатят банку через год
Тип 7: Задачи на сложные проценты.
Задача. Сумма кредита составляет 25000 рублей, взятых под 15% сроком на 3 месяца. Узнайте, сколько денег придется заплатить банку по истечении срока кредита.
Решение. Сложные проценты отличаются от простых тем, что процент много раз начисляется не к исходной сумме, а к сумме с уже начисленными раньше процентами. Пусть S – наращиваемая сумма, а – исходная, Х % - процентная ставка, у – количество периодов начисления процента.
В этом случае формула принимает вид: S = а * (1 + Х / 100) у.
Подставляем цифры из условия: S = 25000 * (1 + 15/100) * 3 = 38021,875 – искомая сумма.
В заключении можно сказать, что тема изучения задач на проценты не так сложна, как кажется. Что бы быстрее понять и освоить эту тему, нужно приложить не много усилия, трудолюбия, а так же внимательно послушать учителя. Удачи!
Детей в школе убеждают, что проценты - это очень сложно. Тему проходят в пятом или шестом классе, но многие дети и перед самым ЕГЭ не способны произвести вычисления. Впрочем, какой спрос со школьников, если ректор МГУ считает, что 15% от 100 равно 6 ?
Я считаю, необходимо объяснять, что проценты - это не математическое понятие. В курсе математики они оказались по прагматическим соображениям. Проценты в жизни используются для сравнения различных данных, а математики способны обойтись без них.
Но учебник устроен так, что кажется, будто проценты представляют собой отдельную, важную главу математики. Тем временем, нужно понимать, что процент - это не понятие и его не надо определять. Процент - это удобное обозначение и надо объяснить его употребление. Раскроем интригу:
Процент - это обозначение: % = 1/100 = 0,01.
Соответсвенно, p% = p · % = p · 0,01. В этом ничего необычного, нужно только привыкнуть. Так же, как вы привыкли к обозначению 2π = 2 · π = 2 · 3,14.
Слово «проце́нт» происходит от лат. «pro centum» - «на сотню». От слова centum также происходит цент - одна сотая доллара, сантим (фр.), сентаво (исп), чентезимо (итал.) и др.
С этим значком, который всего лишь обозначает одну сотую, можно производить любые действия: не только умножать на него, но и прибавлять или возводить в квадрат. Но так не делают именно потому, что процент математикам не особо нужен.
Так почему процент вошел в школьную программу?
Рассмотрим пример. За кандидата N на выборах проголосовало 632697 избирателей из 2322582 пришедших. Как оценить успех кандидата? Доля голосов равна 632697/2322582 - не очень приятное число. Переедем в десятичную дробь - 0,27241104942 - тоже не очень наглядно. Для удобства откинем дальние знаки и получим 0,27 = 27/100. Удобно говорить, что за кандидата N проголосовало в среднем 27 человек из 100.
Форма «сколько-то на сотню» оказалось очень удобна, поскольку ясно отражает результат. Возникло желание стандартизировать запись x/100 в виде значка %. И тогда звучит совсем кратко: N набрал 27%, второй тур - и мы бы победили!
На самом деле, люди просто боятся дробей и стремятся всеми способами перейти к целым числам. Если мы скажем, что господин Н. набрал 27,24%, то непонятно, зачем мы переходили к процентам. Соль в том, чтобы знаков после запятой не было.
Еще один важный вопрос: почему, собственно, получила распространение именно форма «сколько-то на 100»? Ответ такой. Видимо, «сколько на 10» еще не дает необходимой точности, а «сколько-то на 1000» - слишком точно.
Впрочем, «сколько-то на 1000» обозначается значком ‰ и зовется несклоняемым существительным женского рода «промилле» от лат. «pro mille» - «на тысячу». И используется там, где важна эта точность. Например, при определении содержания алкоголя в крови.
Итак, процент, знай свое место! Использовать «процентное представление чисел» вне сферы сравнения величин так же противоестественно, как попросить в магазине продать 2500 карат сметаны.
А у читателей мы спросим, что больше: число, составляющее π % от числа e, или число, составляющее e % от числа π?
Сегодня в современном мире без процентов невозможно обойтись. Даже в школе, начиная с 5 класса, дети узнают данное понятие и решают задачи с этой величиной. Проценты встречаются в любой сфере современных структур. Взять, к примеру, банки: размер переплаты кредита зависит от указанной в договоре величины; на размерность прибыли также влияет Поэтому жизненно необходимо знать, что такое процент.
Понятие процента
Согласно одной легенде, процент появился из-за глупой опечатки. Наборщик должен был выставить число 100, но перепутал и поставил так: 010. Это послужило причиной того, что первый ноль немного приподнялся, а второй опустился. Единица превратилась в обратный слеш. Такие манипуляции послужили тому, что появился знак процента. Конечно, есть и другие легенды о происхождении этой величины.
О процентах индусы знали еще в V веке. В Европу же с которыми тесно взаимосвязано наше понятие, появились спустя тысячелетие. Впервые в Старом Свете суждение о том, что такое процент, ввел ученый из Бельгии Симон Стевин. В 1584 году была впервые опубликована таблица величин этим же ученым.
Слово «процент» берет свое начало в латинском языке как pro centum. Если перевести словосочетание, то получится «со ста». Итак, под процентом понимается одна сотая часть какой-либо величины, числа. Обозначается эта величина знаком %.
Благодаря процентам появилась возможность сравнивать части одного целого без особого труда. Появление долей значительно упростило расчеты, поэтому они стали столь распространенным явлением.
Перевод дробей в проценты
Чтобы перевести десятичную дробь в проценты, может понадобиться так называемая формула процентов: дробь умножается на 100, к результату приписывается %.
Если нужно перевести в проценты обыкновенную дробь, ее для начала нужно сделать десятичной, а затем воспользоваться вышеуказанной формулой.
Перевод процентов в дроби
Как таковая формула процентов достаточно условна. Но нужно знать, как переводить данную величину в дробное выражение. Чтобы перевести доли (проценты) в десятичные дроби, нужно знак % убрать и разделить показатель на 100.
Формула подсчета процента от числа
1) 40 х 30 = 1200.
2) 1200: 100 = 12 (учащихся).
Ответ: контрольную работу на "5" написали 12 учащихся.
Можно воспользоваться готовой таблицей, в которой указаны некоторые дроби и проценты, которые им соответсвуют.
Получается, что формула процентов от числа выглядит следующим образом: С = (А∙В) / 100 , где А - исходное число (в конкретном примере равное 40); В - количество процентов (в данной задаче В=30%); С - искомый результат.
Формула подсчета числа от процента
Следующая задача продемонстрирует, что такое процент и как найти число по проценту.
Швейная фабрика изготовила 1200 платьев, где из них 32% - платья нового фасона. Сколько платьев нового фасона изготовила швейная фабрика?
1. 1200: 100 = 12 (платьев) - 1% от всех выпущенных изделий.
2. 12 х 32 = 384 (платья).
Ответ: фабрика изготовила 384 платья нового фасона.
Если нужно найти число по его проценту, можно воспользоваться следующей формулой: С = (А∙100) / В, где А - общее количество предметов (в данном случае А=1200); В - количество процентов (в конкретной задаче В=32%); С - искомая величина.
Увеличение, уменьшение числа на заданное количество процентов
Школьники должны усвоить, что такое проценты, как считать их и решать разнообразные задачи. Для этого нужно понимать, как увеличивается или уменьшается число на N%.
Зачастую даются задания, да и в жизни нужно узнать, чему будет равно число, увеличенное на заданное количество процентов. К примеру, дано число Х. Нужно узнать, чему будет равно значение Х, если его увеличить, допустим, на 40%. Сначала нужно перевести 40% в дробное число (40/100). Итак, результатом увеличения числа Х станет: Х + 40% ∙ Х= (1+40 / 100) ∙ Х = 1,4 ∙ Х. Если вместо Х подставить любое число, возьмем, к примеру, 100, тогда все выражение будет равно: 1,4 ∙ Х = 1,4 ∙ 100 = 140.
Примерно тот же принцип используется и при уменьшении числа на заданное число процентов. Нужно провести расчеты: Х - Х ∙ 40% = Х ∙ (1-40 / 100) = 0,6 ∙ Х. Если величина равна 100, тогда 0,6 ∙ Х = 0,6 . 100 = 60.
Встречаются задания, где нужно узнать, на сколько процентов увеличилось число.
К примеру, дана задача: Машинист ехал по одному участку пути со скоростью 80 км/ч. На другом участке скорость поезда возросла до 100 км/ч. На сколько процентов возросла скорость поезда?
Предположим, 80 км/ч - 100%. Тогда производим расчеты: (100% ∙ 100 км/ч) / 80 км/ч= 1000: 8 = 125%. Получается, что 100 км/ч - это 125%. Чтобы узнать, на сколько увеличилась скорость, нужно вычислить: 125% - 100% = 25%.
Ответ: на 25% увеличилась скорость поезда на втором участке.
Пропорция
Нередки случаи, когда необходимо решить задачи на проценты, используя пропорцию. На самом деле этот метод нахождения результата в значительной мере облегчает задачу учащимся, преподавателям и не только.
Итак, что такое пропорция? Под этим термином понимается равенство двух отношений, которые можно выразить следующим образом: А / В = С / D .
В учебниках математики значится такое правило: произведение крайних членов равняется произведению средних. Это выражается следующей формулой: А х D = В х С.
Благодаря этой формулировке, можно вычислить любое число, если три других члена пропорции известны. К примеру, А - неизвестное число. Чтобы его найти, нужно
При решении задач методом пропорции необходимо понимать, от какого числа брать проценты. Бывают случаи, когда доли нужно взять от разных величин. Сравните:
1. После окончания распродажи в магазине стоимость футболки возросла на 25% и составила 200 рублей. Какова была стоимость во время распродажи.
В данном случае нужно величина 200 рублей соответствует 125% от первоначальной (распродажной) цены футболки. Тогда, чтобы узнать ее стоимость во время распродажи, нужно (200 х 100) : 125. Получится 160 рублей.
2. На планете Виценция 200 000 жителей: люди и представители гуманоидной расы Наави. Наави составляют 80% от всего населения Виценции. Из людей 40% заняты обслуживанием рудника, остальные добывают тетаниум. Сколько людей добывают тетаниум?
В первую очередь нужно найти в численном виде количество людей и количество Наави. Так, 80% от 200 000 будет равняться 160 000. Столько представителей гуманоидной расы проживает на Виценции. Количество людей, соответственно, равняется 40 000. Из них 40%, то есть 16 000, обслуживают рудник. Значит, 24 000 людей занимаются добычей тетаниума.
Многократное изменение числа на некоторое количество процентов
Когда уже понятно, что такое процент, нужно изучить понятие абсолютного и относительного изменения. Под абсолютным преобразованием понимается увеличение числа на конкретное число. Так, Х возрос на 100. Что бы вместо Х ни подставили бы, все равно это число возрастет на 100: 15 + 100; 99,9 + 100; а + 100 и т. д.
Под относительным изменением понимается возрастание величины на некоторое число процентов. Допустим, Х увеличился на 20%. Это значит, что Х будет равен: Х+Х∙20%. Относительное изменение подразумевается каждый раз, когда заходит речь об увеличении на половину или треть, уменьшении на четверть, возрастании на 15% и т. д.
Существует еще один важный момент: если величину Х увеличить на 20%, а затем еще на 20%, то в результате общее возрастание составит 44%, но никак не 40%. Это видно из следующих расчетов:
1. Х + 20% ∙ Х = 1,2 ∙ Х
2. 1,2 ∙ Х + 20% ∙ 1,2 ∙ Х = 1,2 ∙ Х + 0,24 ∙ Х = 1,44 ∙ Х
Это показывает, что Х возрос на 44%.
Примеры задач на проценты
1. Сколько процентов от числа 36 составляет число 9?
По формуле нахождения процента от числа, нужно 9 умножить на 100 и поделить на 36.
Ответ: число 9 составляет 25% от 36.
2. Вычислить число С, которое составляет 10% от 40.
По формуле нахождения числа по его проценту, нужно 40 умножить на 10 и результат разделить на 100.
Ответ: число 4 составляет 10% от 40.
3. Первый партнер вложил в бизнес 4500 рублей, второй - 3500 рублей, третий - 2000 рублей. Они получили прибыль 2400 рублей. Прибыль они разделили поровну. Сколько в рублях потерял первый партнер, по сравнению с тем, сколько бы он получил, если бы они разделили доход согласно проценту вложенных средств?
Итак, вместе они вложили 10 000 рублей. Доход на каждого составил равную долю по 800 рублей. Чтобы узнать, сколько должен был получить первый партнер и сколько он, соответственно, потерял, нужно узнать процент вложенных средств. Затем нужно узнать, сколько в рублях прибыли составляет этот вклад. И последнее - вычесть 800 рублей из полученного результата.
Ответ: первый партнер потерял 280 рублей при разделе прибыли.
Немного экономики
Сегодня довольно популярный вопрос - оформление кредита на определенный срок. Но как выбрать выгодный заем, чтобы не переплачивать? Во-первых, нужно посмотреть процентную ставку. Желательно, чтобы этот показатель был как можно ниже. Затем следует применить по кредиту.
Как правило, на размер переплаты влияет сумма долга, процентная ставка и способ погашения. Различают аннуитетные и В первом случае кредит погашается равными долями каждый месяц. Тут же сумма, которая перекрывает основной заем, растет, а стоимость процентов постепенно уменьшается. Во втором случае кредитозаемщик выплачивает постоянные суммы на погашение займа, к которым прибавляются проценты на остаток основного долга. Ежемесячно общая сумма выплат будет уменьшаться.
Теперь нужно рассмотреть оба способа Так, при аннуитетном варианте сумма переплаты будет выше, а при дифференциальном - сумма первых платежей. Естественно, условия кредита одинаковы для обоих случаев.
Заключение
Итак, проценты. Как считать их? Достаточно просто. Однако иногда они могут вызвать затруднения. Эту тему начинают изучать еще в школе, но она настигает всех в сфере кредитов, депозитов, налогов и т. д. Поэтому желательно вникнуть в суть данного вопроса. Если все же не получается провести расчеты, есть масса онлайн-калькуляторов, которые помогут справиться с поставленной задачей.
«Проценты» - Учебник по математике 5 класс (Виленкин)
Краткое описание:
Слово «процент» в переводе с латинского выражения pro centum, от которого и происходит, означает «со ста» или «за сотню». Как и многие математические знания, проценты зародились еще в Древнем Вавилоне. А особенное распространение они получили в Древнем Риме. Жители этой цивилизации процентами называли деньги, которые должник платил дополнительно помимо взятой в долг суммы заимодавцу. Похожая система действует в современных банках и сейчас. Вы наверняка слышали или читали о кредитах и процентных ставках.
От римлян использование процентов перешло и в другие европейские страны. И очень долгое время под процентами понимали только убыток или прибыль на каждые 100 рублей, фунтов, крон и т.д. Т.е. проценты применялись исключительно в торговых и денежных делах. Много позже сфера их применения значительно расширилась и на сегодняшний момент проценты можно встретить практически во всех сферах деятельности человека.
Что же такое проценты, и для чего они нужны не только в науке математике, но и в практической деятельности, вы узнаете, изучив данный пункт учебника.
Кстати, сам символ «%» происходит от итальянского слова cento, что означает «сто». Предполагают, что это слово при расчетах часто писали сокращенно – cto. Чуть позже и это сокращение сократили, оставив только букву t, которая при быстром письме постепенно превратилась в современный знак процента.
