Видеоурок «Отрезок. Длина отрезка. Сравнение отрезков. Единицы измерения длины. Актуализация опорных знаний

Урок № 4 (15.09.16)

Предмет: геометрия, 7 класс.

Тема: Сравнение отрезков и углов.

Цели урока:

1) Обучающая: формирование теоретических знаний по теме «Сравнение отрезков и углов»; формирование навыков решения задач на сравнение отрезков и углов.

2) Развивающая : развитие умений применять полученные теоретические знания при выполнении практических заданий.

3) Воспитывающая : воспитание интереса к изучению математики, ответственности, самостоятельности.

Оборудование: учебник «Геометрия 7 – 9 класс» Л.С. Атанасян и др., рабочая тетрадь, карандаш, линейка, раздаточный материал, фигуры из картона.

Тип урока: изучение нового материала

План урока:

Организационный момент.

Актуализация опорных знаний.

Получение знаний.

Закрепление нового материала.

Рефлексия.

Домашнее задание.

Ход урока:

1. Организационный момент.

Приветствие учащихся. Ставятся цели и определяются задачи урока.

Объявляется тема урока. Учащиеся записывают тему урока и дату в рабочих тетрадях.

2. Актуализация опорных знаний.

Давайте вспомним из материала предыдущего урока, что такое отрезок и угол (Учащимся предлагается ответить на вопросы):

– Что такое отрезок?

– Как можно обозначать отрезки?

– Что называют углом?

– Как обозначают углы?

– Изобразите развёрнутый и неразвёрнутый углы.

Сегодня на уроке мы снова поговорим об отрезках и углах, а точнее выясним, как сравнить два отрезка или два угла. Также познакомимся с новым для вас понятием биссектрисы угла.

3. Получение знаний.

Каждому из вас известно, что в окружающем нас мире встречаются предметы, которые имеют одинаковую форму и одинаковые размеры. Например, два одинаковых карандаша, два одинаковых автомобиля, два одинаковых будильника.

В геометрии две фигуры, имеющие одинаковую форму и одинаковые размеры, называют равными.

Давайте возьмём две фигуры F 1 и F 2 (рисунок 1), вырезанные из бумаги.

Рисунок 1.

Чтобы установить, равны они или нет, наложим одну фигуру на другую. Предположим, что наши фигуры совместились, тогда можем сказать, что они равны.

А вот некоторые фигуры P 1 и P 2 (рисунок 2).

Рисунок 2.

Если попробуем наложить их друг на друга эти две фигуры, то увидим, что их совместить невозможно, а, следовательно, они не равны.

Можем сделать следующий вывод:

Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением .

Поговорим, как сравнить два отрезка. Возьмём два произвольных отрезка (рисунок 3).

Рисунок 3.

Чтобы установить, равны данные отрезки или нет, наложим один отрезок на другой так, чтобы конец одного отрезка совместился с концом другого (рисунок 3). При этом совместятся и два других конца отрезков, а, следовательно, отрезки равны.

Теперь возьмём отрезок АВ и отрезок АС (рисунок 4), и наложим их друг на друга таким же образом. Видим, что отрезки не совместились полностью, а значит, они не равны.

Рисунок 4.

Из рисунка также видно, что отрезок АВ составляет часть отрезка АС, поэтому отрезок АВ меньше отрезка АС. Записывают это так: АВ < АС.

Поговорим о том, что же называют серединой отрезка . Рассмотрим отрезок АВ. Отметим на нём точку С, которая делит его на две равные части (рисунок 5). Таким образом, можно сказать, что точка С и есть середина отрезка АВ, т.е. отрезок АС равен отрезку СВ.

Рисунок 5.

Сформулируем определение:

Точка отрезка, делящая его пополам, т. е. на два равных отрезка, называется серединой отрезка .

Далее рассмотрим два неразвёрнутых угла: угол 1 и угол 2 (рисунок 6). Чтобы установить, равны они или нет, наложим один угол на другой так, чтобы сторона одного угла совместилась со стороной другого, а две другие оказались по одну сторону от совместившихся сторон.

Рисунок 6.

Если две другие стороны также совместятся, то и углы полностью совместятся, а, значит, они равны. Но в нашем случае эти стороны не совместились, следовательно, наши углы не равны, и меньшим является угол, который составляет часть другого, а это угол 1.

Записываем это так: 1 < 2.

Возьмём неразвёрнутый угол АОС и развёрнутый угол ВОС (рисунок 7), наложим их друг на друга указанным выше способом (рисунок 8), то увидим, что неразвёрнутый угол составляет часть развёрнутого, а, следовательно, развёрнутый угол больше неразвёрнутого, т.е. угол ВОС больше угла АОС.

Рисунок 7.

Рисунок 8.

Следует отметить, что любые два развёрнутых угла , очевидно, равны.

И напоследок, возьмём некоторый угол hk . Проведём луч l из вершины этого угла так, чтобы он разделил его на два равных угла (рисунок 9).

Рисунок 9.

Таким образом, сформулируем следующее определение:

Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется биссектрисой угла . В нашем случае луч l – биссектриса угла hk .

4. Закрепление нового материала.

Для закрепления материала учащимся предлагается выполнить следующие практические задания.

Задание 1. На прямой A отмечены точки C и D , которые лежат между точками A и B , точка C лежит между точками А и D , отрезки A D и CB равны. Является ли середина отрезка A B серединой отрезка CD (рисунок 10)?

Решение:

Рисунок 10.

А D = AC + CD , CB = CD + DB ,так как AD = CB , то АС= DB .

Пусть точка О – середина отрезка С D , т. е. СО=OD, CD = CO + OD .

AB=AO+OB, AO= АС + С O, OB=OD+DB. А так как АС= DB и СО=OD, то и АО=ОВ, а следовательно, О является серединой и отрезка АВ.

Задание 2. Углы AOB и COD на рисунке 11 равны, луч OE – биссектриса угла ВОС . Является ли луч OE биссектрисой угла AOD ?

Рисунок 11.

Решение: Рассмотрим ∠ AOD .

∠ AOD = ∠ AOE + ∠ EOD . Так как ∠ AOE = ∠ AO В + ∠ ВOE и ∠ EOD = ∠ EO С + ∠ СOD , причём ∠ AO В = ∠ СOD (по условию задачи), ∠ ВOE = =∠ EO С (так как ОЕ – биссектриса ∠ ВОС ), то ∠ AOE = ∠ EOD . Следовательно, ОЕ является биссектрисой ∠ AOD .

5. Рефлексия.

Подводятся итоги урока, обсуждается, что учащиеся узнали. Ребята по кругу высказываются одним предложением, выбирая начало фразы записанной на доске:

сегодня я узнал…

было интересно…

было трудно…

я выполнял задания…

я понял, что…

я научился…

у меня получилось … Оценивается работа учащихся на уроке.

6. Домашнее задание: п. 5,6 стр.10-12, № 18, 20, 30 (доп-но).

Раздаточный материал.

Сравнение геометрических фигур

В геометрии две фигуры, имеющие одинаковую форму и одинаковые размеры, называют равными.

Сравнение позволяет судить о равенстве фигур, и один из способов сравнить фигуры – наложение.

(Если две геометрические фигуры удаётся совместить наложением, они равны).

Сравнение отрезков и углов

А) Как происходит совмещение отрезков AB и CD ?

Конец A одного отрезка совмещают с концом C другого отрезка. Если совпадают и другие концы B и D , то эти отрезки равны AB = CD .

Если нет, то один отрезок меньше другого и этот факт записывают также, как при сравнении чисел: AB < CD

Если совместить один конец отрезка с другим, то одна половина отрезка будет совмещена с другой.

На отрезке точку, которая делит его на две равные части, называют серединной отрезка.

Если точка K серединная точка отрезка JL , то JK = KL .

Б) Как происходит совмещение углов ∡ ABC и ∡ MNK ?

Вершину B одного угла совмещают с вершиной N другого угла и сторону BA одного угла накладывают на сторону NM другого угла так, чтобы другие стороны BC и NK были по одну сторону от совместившихся сторон.

Цели урока:

Знакомство с одним из простейших способов сравнения плоских фигур;
Развитие геометрической интуиции, изобразительных навыков;
Обобщение с использованием элементов исследования, развитие математической речи;
Воспитание интереса к оперированию геометрическими понятиями и образами.

План урока:

Повторение ранее изученного материала. Ответы на вопросы по домашнему заданию.
Изучение нового материала.
Закрепление изученного материала. Контроль усвоения материала (письменный опрос).
Подведение итогов урока. Домашнее задание.

Ход урока

1. Теоретический опрос по вопросам 4-6 (стр. 25).Разбор нерешенных домашних задач.

2. Сообщение темы и цели урока. Слайд 2, слайд 3.

В геометрии очень важно уметь смотреть и видеть, замечать особенности геометрических фигур, делать выводы из замеченных особенностей. Среди окружающих нас предметов встречаются такие, которые имеют одинаковую форму и одинаковые размеры. Приведите примеры.

Как можно назвать такие фигуры? Правильно, такие фигуры называют равными.

Как можно сравнить две фигуры? (Фигуры вырезаны из картона и внешне почти равны)

Чтобы сравнить эти фигуры, надо один наложить на другой. Если из-за верхнего прямоугольника виден нижний, то верхний меньше нижнего и наоборот. А если они совместятся, то данные прямоугольники равны.

Как можно сравнить две фигуры, изображенные на доске или на бумаге? (Внешне фигуры почти равны)

Чтобы проверить это, необходимо скопировать одну фигуру на кальку и наложить на другую.

Какие две геометрические фигуры можно назвать равными? (Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить при наложении)

Сравните отрезки АВ и СД, изображенные на рисунке (рисунок на доске), с помощью линейки без делений.

а) наложить линейку на отрезок АВ и отметить начало и конец данного отрезка:

б) наложить линейку на отрезок СД так, чтобы отмеченное начало отрезка АВ совпало с точкой С, если отмеченный конец отрезка АВ совпадает с точкой Д, то отрезки АВ и СД равны, пишут АВ=СД.

Если отмеченный конец отрезка АВ будет лежать на отрезке СД, то отрезок АВ меньше отрезка СД, пишут АВ < СД (СД > АВ).

Сравните отрезки АС и СВ (рис. 21 учебника). (АС=СВ). Как назовем точку С?(Точка С – середина отрезка АВ).

Как с помощью шарнирной модели угла можно сравнить два угла?

а) Зафиксировать с помощью модели один из углов;

б) наложить зафиксированную модель на другой угол таким образом, чтобы у них совпали вершины и по одной стороне, а две другие оказались по одну сторону от совместившихся сторон. Если вторая сторона модели угла совместиться со второй стороной другого угла, то данные углы равны. Если же эти стороны не совместятся, то меньшим считается тот угол, который составляет часть другого.

Сравните углы, изображенные на рисунке 22 а) (/ 1 < / 2.)

Какие углы являются неразвернутыми? Сравните развернутый и неразвернутый углы.

Кто скажет, как называется луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла?

(Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется биссектрисой.)

С помощью какого инструмента можно построить биссектрису угла? (Учащиеся знакомы с понятием – «биссектриса угла» с 5 класса и знают, что построить ее можно с помощью транспортира.)

Постройте углы АОВ и СМД, равные соответственно 120° и 56° и их биссектрисы.

3. Закрепление изученного материала.

Решить задачи в рабочей тетради № 17, 18, 19, 22,24 самостоятельно с последующим обсуждением решения.(Приложение)

4. Подводятся итоги, выставляются оценки.

Домашнее задание

§3, вопросы 7 – 11. Решить задачи. I уровень – № 20, 21, 23 из рабочей тетради.

II уровень - № 18, 19, 21, 23 из учебника.

Литература:

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б, Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия, 7 – 9.Учебник для общеобразовательных учреждений – 15 –е изд. – М.:Просвещение,2005.
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А., Юдина И.И. Геометрия. Рабочая тетрадь для 7 класса общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2002.
Гаврилова Н.Ф. Поурочные разработки по геометрии: 7 класс. - 2-е изд., перераб. и доп. – М.:ВАКО, 2009.

§ 1 Точка

Начнем изучение темы с такого понятия, как точка. Точкой называют довольно абстрактный объект в пространстве. Ее нельзя измерить, у неё нет длины или ширины. Однако точка является одним из фундаментальных понятий в математике. Точку можно сравнить с меткой. Например, обозначение населенного пункта на карте. Или след от шариковой ручки на листе бумаги. Обозначают точку заглавной латинской буквой, строят карандашом, подписывают ручкой. Например, точка А, точка В, точка С и т.д.

§ 2 Отрезок

Если к двум точкам приложить линейку и соединить, то получится отрезок. Например, отрезок АВ. Тот же отрезок можно обозначить ВА. Точки А и В называют концами отрезка АВ. Любые две точки можно соединить только одним отрезком!

Определение этого понятия следующее:

Отрезок - это часть прямой, ограниченная двумя точками.

На данном рисунке вы видите отрезок ОР, точка Е лежит на отрезке ОР, а точка К и точка С не лежат на отрезке ОР. Таким образом, делаем вывод:

Точка может лежать внутри отрезка, то есть принадлежать ему, а может и не принадлежать отрезку.

§ 3 Сравнение отрезков

Отрезки можно сравнивать между собой. Например, на этом рисунке вы видите, что точка F лежит на отрезке BD, значит отрезок BF является частью отрезка BD, то есть можно сказать, что он короче или меньше отрезка BD, аналогично и отрезок FD меньше отрезка BD. А про отрезок BD, наоборот, можно сказать, что он длиннее или больше отрезка BF и отрезка FD.

А какие отрезки называются равными? Если отрезки при наложении друг на друга полностью совпадают, то они называются равными.

Однако на практике не всегда можно воспользоваться способом наложения при сравнении отрезков, проще их измерить, а затем сравнить.

§ 4 Единицы измерения длины

А как измерять отрезки? Каждый отрезок имеет длину. Длиной отрезка называют расстояние между его концами. Например, отрезок АВ имеет длину, равную расстоянию между точками А и В. Отрезок, длина которого принята за единицу, называется единицей измерения. В нашей стране используют такие единицы измерения как миллиметр, сантиметр, дециметр, метр, километр.

Если расстояние между точками А и В равно 7 см, то записывают АВ = 7 см, читают эту запись так: длина отрезка АВ равна 7 см.

Единицы измерения связаны между собой, например:

1 дециметр = 10 см = 100 мм

1 метр = 10 дециметров =100 см = 1000 мм

1 км = 1000 м.

Все эти соотношения между различными единицами измерения длины нам пригодятся для решения, например, таких задач как:

Выразите в сантиметрах:

8 дм 7 см = 87 см.

Или же выразите в метрах:

3 км 4 м = 3004 м.

Другое задание: Выразите в см и мм:

84 мм = 8 см 4 мм.

Давайте вернемся к сравнению отрезков, можем сделать вывод:

Больше тот отрезок, который имеет большую длину и наоборот, меньше тот отрезок, длина которого меньше. Равными же будут те отрезки, длины которых равны.

Список использованной литературы:

Математика 5 класс. Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др. 31-е изд., стер. - М: 2013.
Дидактические материалы по математике 5 класс. Автор - Попов М.А. - 2013 год
Вычисляем без ошибок. Работы с самопроверкой по математике 5-6 классы. Автор - Минаева С.С. - 2014 год
Дидактические материалы по математике 5 класс. Авторы: Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В. - 2010 год
Контрольные и самостоятельные работы по математике 5 класс. Авторы - Попов М.А. - 2012 год
Математика. 5 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович. - 9-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 270 с.: ил.

§ 1 Равенство геометрических фигур

В повседневной жизни мы нередко встречаемся с равными фигурами: два одинаковых листа бумаги, две облицовочные плитки, две одинаковые тарелки. Представим, что вы решили украсить свой походный костюм нашивкой. Для этого вы рисуете на бумаге изображение, вырезаете его, затем накладываете на материал, из которого будет нашивка, и вновь вырезаете по границе. Фигуры, вырезанные из бумаги и из материала, равны, потому что они совмещаются одна с другой. На равенстве совмещенных фигур основаны раскрой материала для шитья одежды на фабриках, штамповка плоских деталей на заводе и т.д.

Итак, две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

§ 2 Сравнение отрезков и углов

Рассмотрим два отрезка АВ и СD и ответим на вопрос: равны они или нет?

Для этого наложим отрезок АВ на отрезок СD так, чтобы один конец отрезков АВ совпал с концом отрезка СD, т.е. точка А совпала с точкой С.

Если при этом два других конца совместятся, т.е. точка В совпадет с точкой D, то отрезки АВ и СDравны.

Если точка В не совпадет с точкой D, то меньшим отрезком считается тот отрезок, который составляет часть другого. На рисунке отрезок СD составляет часть отрезка АВ, поэтому отрезок СD меньше отрезка АВ. Пишут СD < АВ.

А теперь возьмем отрезок МN и отметим на нем точку О так, что отрезки МО и NО будут равны.

Такая точка О, которая делит отрезок пополам, т.е. на два равных отрезка, называется серединой отрезка.

Рассмотрим два неразвернутых угла АОВ и СОD.

Чтобы сравнить два неразвернутых угла, надо наложить один угол на другой так, чтобы сторона одного угла совместилась со стороной другого, а две другие оказались по одну сторону от совместившихся сторон. Если сторона ОА совместится со стороной ОС, а сторона ОВ совместится со стороной ОD, то углы АОВ и СОD равны. Если же сторона ОВ не совместится со стороной ОD, то меньшим считается тот угол, который составляет часть другого. На рисунке угол АОВ меньше угла СОD, так как угол АОВ составляет часть угла СОD.

Рассмотрим развернутый угол, т.е. угол, обе стороны которого лежат на одной прямой. Неразвернутый угол составляет часть развернутого угла, поэтому любой развернутый угол больше любого неразвернутого угла, а два развернутых угла всегда равны.

А теперь из вершины угла проведем луч так, что он будет делить этот угол на два равных угла, такой луч называется биссектрисой угла.

На рисунке луч ОС - биссектриса угла АОВ, так как этот луч исходит из вершины угла АОВ и делит этот угол на два равных угла АОС и СОВ.

§ 3 Измерение отрезков. Единицы измерения

Фигуры на практике не всегда можно совместить наложением, например, невозможно таким образом проверить, равны ли земельные участки. Поэтому приходится искать другие способы установления равенства фигур. Для сравнения, например, отрезков пользуются измерением, т.е. находят длины отрезков. Чтобы измерить отрезок, надо его сравнить с некоторым другим отрезком, принятым за единицу измерения. Такой отрезок называют еще масштабным отрезком. За единицу измерения можно взять отрезок длиной 1 мм, 1 см, 1 дм, 1м, 1 км или другой отрезок. Выбрав единицу измерения, можно измерить любой отрезок, т.е. выразить его длину некоторым положительным числом. Это число показывает, сколько раз единица измерения и ее части укладываются в измеряемом отрезке.

Равные отрезки имеют равные длины.

Меньший отрезок имеет меньшую длину.

Когда произвольная точка С делит отрезок АВ на два отрезка, то длина всего отрезка АВ равна сумме длин отрезков АС и СВ.

Длину отрезка называют также расстояниеммежду его концами.

Международной единицей измерения выбран метр, это отрезок, приближенно равный одной сорока миллионной части земного меридиана. Эталон метра хранится во Франции, а копии хранятся во всех странах, в том числе и в России. Для измерения очень больших расстояний, например, измерение расстояний между планетами солнечной системы, используют единицу измерения световой год, это путь, который свет проходит в течение одного года. В старину на Руси использовались другие единицы измерения аршин, локоть, сажень.

Для измерения расстояний пользуются различными инструментами, например, линейка, штангенциркуль, рулетка.

§ 4 Решение задачи по теме урока

Решим задачу.

Отрезок ОD длиной 28 см разделен точкой М на два отрезка. Найдите расстояние между серединами получившихся отрезков ОМ и МD.

Расстояние между серединами отрезков ОМ и МD- это расстояние между точками А и В, оно равно сумме отрезков АМ и МВ.

Точка А - середина отрезка ОМ, значит отрезки ОА и АМ равны, точка В - середина отрезка МD, значит отрезки МВ и ВD равны. Отрезок ОD равен сумме отрезков ОА, АМ, МВ, ВD. Так как отрезок ОА равен отрезку АМ, отрезок МВ равен ВD, то длина отрезка ОD равна удвоенной сумме отрезков АМ и МВ, т.е. двум отрезкам АВ.

Следовательно, длину отрезка АВ находим так: 28:2=14 см. Это искомое расстояние между серединами отрезков ОМ и МD.

Список использованной литературы:

Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М. : Просвещение, 2013. – 383 с.: ил.
Гаврилова Н.Ф. Поурочные разработки по геометрии 7 класс. - М.: «ВАКО», 2004, 288с. – (В помощь школьному учителю).
Белицкая О.В. Геометрия. 7 класс. Ч.1. Тесты. – Саратов: Лицей, 2014. – 64 с.

Использованные изображения: