Зависимости между величинами могут быть представлены. Величины и их взаимосвязь. Пример константы – число Пифагора
Тема урока «Зависимость между величинами».
Цели урока:
1.Дать понятие зависимости между величинами, выяснить способы их задания.
2.Развивать способность учащихся анализировать и синтезировать учебный материал.
3.Воспитывать творческое отношение к учебному труду.
4.Преподнести учебный материал через эмоционально - переживательную сферу ученика.
А теперь опишем по технологию построения учителем методики урока по технологии деятельностного метода.
1. Этап самоопределения нормы N
На этом этапе определяется тема и обучающая цель урока: «На уроке мы рассмотрим зависимость между различными величинами», то есть объявляется операция без уточнения условий ее применения.
2. Этап актуализации знаний и фиксация затруднения в деятельности.
На этом этапе учитель предлагает список заданий, выполнение которых предполагает выполнение известной ранее нормы.
Как найти:
Площадь прямоугольника?
Периметр прямоугольника?
Объем прямоугольного параллелепипеда?
Скорость по течению?
Скорость против течения?
Последним вопросом на этапе актуализации знаний должен быть вопрос, который фиксирует затруднения в деятельности учащихся, то есть, ранее изученных знаний не хватает, возникает учебная проблема. В данном случае это вопрос: «Для чего нужны эти правила и соответствующие формулы?».
3. Этап постановки учебной задачи.
Учитель ставит перед учащимися проблему: Как измерить площадь участка прямоугольной формы, если мы не знаем формулу S =ав? Можно разбить участок на прямоугольники размером в 1 кв. метр и сосчитать их количество. Удобно ли это?
Учащиеся отвечают, что это возможно, но неудобно. Значит, формулы нужны для вычисления величин, измерение которых затруднительно.
Учитель ставит еще более убедительную проблему: как измерить расстояние от Земли до Солнца? Итак, налицо кризис ранее известной нормы N .
4. Этап построения проекта выхода из затруднения.
Ученые установили, что расстояние от Земли до Солнца 150 млн. км. А как они узнали об этом? Совместно с детьми выясняется формула вычисления расстояния от Земли до Солнца s = ct , где с=300000км, t =8 мин, время, за которое свет доходит до Земли. Вычисления показывают, что s =2400000 км. Почему у нас получилось расхождение с известным фактом?
Вывод: Формулу можно применить только в том случае, когда единицы измерения входящих в нее величин согласованы между собой.
На этом этапе уместно воздействие на эмоционально – переживательную сферу ученика с помощью небольшой воспитательной беседы. « Свет от Земли до Солнца идет в течение 8 минут, значит, мы видим Солнце таким, каким оно было 8 минут назад. Есть звезды, свет от которых идет до нас миллионы лет: звезда может уже погасла, а свет от нее идет до сих пор. Так же бывают и люди: человека уже нет с нами, а его тепло, свет согревают нас всю жизнь. Таким человеком был народный поэт Башкортостана Мустай Карим, день памяти которого мы отмечаем сегодня. Его духовная энергия, тепло его сердца будет нам служить нравственным ориентиром многие годы».
На данном этапе урока учащимся предлагаются различные способы задания зависимостей между величинами: табличный, графический и с помощью формулы.
Дети на этом этапе включаются в ситуацию выбора метода решения учебной задачи: они сравнивают различные способы задания зависимостей между величинами. Результаты сравнения фиксируются на опорно – узловой матрице.
1 2Способы задания Формула график таблица
1-универсальность, 2-точность, 3-наглядность;
(Условные обозначения «Д»- да, «Н»- нет)
На основе анализа опорно – узловой матрицы учащиеся делают вывод о том, что наиболее лучшим является задание зависимости между величинами с помощью формулы, потому что он обладает свойством универсальности: из формулы можно получить таблицу зависимости и построить график зависимости между величинами.
5. Этап первичного закрепления во внешней речи.
Разбирается задача №90
По одной формуле зависимости ширины прямоугольника от его длины при постоянной площади: b =12/а составить таблицу этой зависимости и построить её график.
1 ,5
1,5
График зависимости длины прямоугольника от ширины
Итак, мы связали 3 способа задания зависимостей между величинами:
С помощью формулы,
Графический,
Табличный.
6. Этап самостоятельной работы с самопроверкой по эталону.
Учащиеся самостоятельно решают задания на новый способ действий, выполняют самопроверку по эталону и сами оценивают свои результаты. Создаётся ситуация успеха, снова задействована эмоционально-переживательная сфера ученика. На одном этапе учащимся предлагают задания №133, №140. Для реализации принципа минимакса деятельностной технологии обучения учащимся предлагают задания двух уровней: М, А и В.
Уровень М: №133, А: №140. Уровень В: № 145
7. Включение новых знаний в знаний.
На данном этапе учащиеся убеждаются, что вновь приобретённые знания имеют ценность для дальнейшего обучения. Выполняя упражнение №139, они устанавливают зависимость между
Объёмом V куба и его ребром а;
Площадью S прямоугольного треугольника и катетами а и b
Диаметром D и радиусом R этой окружности;
Длиной стороны а прямоугольника, его периметром Р и площадью S ;
S куба и его ребром а
Площадью полной поверхности S прямоугольного параллелепипеда и его измерениями а, b и с.
8. Рефлексия деятельности (итог урока)
Учащиеся выполняют самооценку собственной деятельности (что нового узнали, какой метод использовали, успешность выполненных шагов). Происходит фиксация успешности деятельности и вывод о следующих шагах. Выявляются ученики, выполнившие задания уровня А и В.
Примечание.
Урок проведён по учебнику Г.В.Дорофеева, Л.Г.Петерсон. Математика, учебник для 6 класса. Часть 2. Ювента. 2011г
Тема: «Моделирование зависимостей между величинами»
Цели урока:
1. Познакомиться с понятиями:
«величины»,
«табличная модель»,
«графическая модель»
Развивающие:
Создать условия для развития умения выделять главное, сравнивать, анализировать, обобщать.
Воспитательные:
Воспитывать внимательность, стремление довести дело до намеченного результата;
Установление взаимных контактов и обмен опытом между учащимися и преподавателем.
Оборудование: компьютер учителя с мультимедийным проектором.
План урока
Организационный момент (2 мин) Постановка целей урока. Объяснение нового материала. (17 мин) Закрепление нового материала (5 мин) Решение заданий из демоверсии ЕГЭ 2010г (15 мин) Подведение итогов (3 мин) Задание на дом (3 мин)
Ход урока
Сообщить учащимся тему урока. (слайд 1) Постановка цели урока(слайд 2)
Цели урока:
1. Познакомиться с понятиями:
«величины»,
« зависимости между величинами»,
«математическая модель»,
«табличная модель»,
«графическая модель»
Рассмотреть на примерах зависимости между величинами.
2. Совершенствовать навыки решения заданий из КИМов ЕГЭ.
Объяснение нового материала. (17 мин)(слайд 3)
Применение математического моделирования постоянно требует учета зависимостей одних величин от других.
1. Время падения тела на землю зависит от первоначальной высоты;
2. Давление газа в баллоне зависит от его температуры;
3. Частота заболеваний жителей бронхиальной астмой зависит от качества городского воздуха
(слайд 4)
Всякое исследование нужно начинать с выделения количественных характеристик исследуемого объекта. Такие характеристики называются величинами. Со всякой величиной связаны три основных свойства: имя, значения, тип.
Имя величины может быть полным (давление газа), а может быть символическим (Р). Для определенных величин используются стандартные имена: время – T, скорость – V, сила – F…
(слайд 5)
Если значение величины не меняется, то она называется постоянной величиной или константой
(π =3,14159…).
Величина, меняющая свое значение, называется переменной.
(слайд 6)
Тип определяет множество значений, которые может принимать величина. Основные типы величин: числовой, символьный, логический. Так как мы будем говорить лишь о количественных характеристиках, то и рассматриваться будут только величины числового типа.
(Слайд 7)
Вернемся к примерам и обозначим переменные величины, зависимости между которыми нас интересуют.
В примере 1:
Т (сек) – время падения; Н (м) – высота падения. Ускорения свободного падения g (м/сек2) – константа.
В примере 2: Р(н/м2) – давление газа; t° C - температура газа.
В примере 3:
Загрязненность воздуха характеризуется концентрацией примесей С(мг/куб. м). Уровень заболеваемости характеризуется числом хронических больных астмой на 1000 жителей данного города – Р(бол/тыс.)
(Слайд 8)
Рассмотрим Методы представления зависимостей
Математическая модель Табличная модель Графическая модель
(Слайд 9)
Математическая модель
Это совокупность количественных характеристик некоторого объекта(процесса) и связей между ними, представленных на языке математики.
Для первого примера математическая модель представляется в виде формулы:
455 " style="width:341.25pt">
(Слайд 11)
Графическая модель
и нарисуем график
 |
(Слайд 12)
Информационные модели, которые описывают развитие систем во времени, имеют специальное название: динамические модели.
В физике динамические информационные модели описывают движение тел; в биологии – развитие организмов и популяций животных; в химии – протекание химических реакций и т. д
(слайд 13)
Решение задачи: (1 ученик у доски, остальные в тетрадях)
Построить математическую, табличную и графическую модели задачи:
Тело движется по закону x (t)=5 t2+2 t-5,
где x – перемещение в метрах, t – время в секундах. Найти скорость тела в момент времени t=2.
Построить таблицу, отражающую зависимость скорости тела от времени движения тела с интервалом в 3 секунды.
Закрепление изученного материала.Ответьте на Вопросы:
1. Какие вам известны формы представления зависимостей между величинами? (ответ 1 ученика )
2. Обоснуйте преимущества и недостатки каждой из трёх форм представления
зависимостей. (ответ 1 ученика )
Решение заданий из демоверсии ЕГЭ 2010г (15 мин)
Повторение 10-ой, 2-ой, 8-ой и 16-ой систем счисления.
Решение задания из демоверсии ЕГЭ (1 )
1. Как представлено число 26310 в восьмеричной системе счисления?
Решение:
Как записывается число 5678 в двоичной системе счисления?
(1 ученик у доски, остальные в тетрадях )
Решение:
Как записывается число А8716 в восьмеричной системе счисления?
(1 ученик у доски, остальные в тетрадях )
Решение:
Задание А1 из демоверсии 2010г. (1 ученик у доски, остальные в тетрадях )
Дано: а=9D16, b=2378 . Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству
Решение:
Подведение итогов (3 мин) Задание на дом (3 мин) §36, вопросы. Пример.
Дано: а= 3328, b= D416. Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству a Зависимость одной случайной величины от значений, которые прини- мает другая случайная величина (физическая характеристика), в статистике принято называть регрессией. В случае если этой зависимости придан аналитический вид, то такую форму представления изображают уравнением регрессии. Процедура поиска предполагаемой зависимости между различными числовыми совокупностями обычно включает следующие этапы: установление значимости связи между ними; возможность представления этой зависимости в форме математиче- ского выражения (уравнения регрессии). Первый этап в указанном статистическом анализе касается выявления так называемой корреляции, или корреляционной зависимости. Корреляция рассматривается как признак, указывающий на взаимосвязь ряда числовых последовательностей. Иначе говоря, корреляция характеризует силу взаимосвязи в данных. В случае если это касается взаимосвязи двух числовых массивов xi и yi, то такую корреляцию называют парной. При поиске корреляционной зависимости обычно выявляется вероятная связь одной измеренной величины x (для какого-то ограниченного диапазона ее изменения, к примеру от x1 до xn) с другой измеренной величиной y (также изменяющейся в каком-то интервале y1 … yn). В таком случае мы будем иметь дело с двумя числовыми последовательностями, между которыми и надлежит установить наличие статистической (корреляционной) связи. На этом этапе пока не ставится задача определить, является ли одна из этих случайных величин функцией, а другая – аргументом. Отыскание количественной зависимости между ними в форме конкретного аналитического выражения y = f(x) - это задача уже другого анализа, регрессионного. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, корреляционный анализ позволяет сделать вывод о силе взаимосвязи между парами данных х и у, а регрессионный анализ используется для прогнозирования одной переменной (у) на основании другой (х). Иными словами, в этом случае пытаются выявить причинно-следственную связь между анализируемыми совокупностями. Строго говоря, принято различать два вида связи между числовыми совокупностями - ϶ᴛᴏ может быть функциональная зависимость или же статистическая (случайная). При наличии функциональной связи каждому значению воздействующего фактора (аргумента) соответствует строго определенная величина другого показателя (функции), ᴛ.ᴇ. изменение результативного признака всецело обусловлено действием факторного признака. Аналитически функциональная зависимость представляется в следую-щем виде: y = f(x). В случае статистической связи значению одного фактора соответствует какое-то приближенное значение исследуемого параметра, его точная величина является непредсказуемой, непрогнозируемой, в связи с этим получаемые показатели оказываются случайными величинами. Это значит, что изме-нение результативного признака у обусловлено влиянием факторного признака х лишь частично, т.к. возможно воздействие и иных факторов, вклад которых обозначен как є: y = ф(x) + є. По своему характеру корреляционные связи - ϶ᴛᴏ соотносительные связи. Примером корреляционной связи показателей коммерческой деятельности является, к примеру, зависимость сумм издержек обращения от объема товарооборота. В этой связи помимо факторного признака х (объема товарооборота) на результативный признак у (сумму издержек обращения) влияют и другие факторы, в том числе и неучтенные, порождающие вклад є. Для количественной оценки существования связи между изучаемыми совокупностями случайных величин используется специальный статистический показатель – коэффициент корреляции r. В случае если предполагается, что эту связь можно описать линейным уравне- нием типа y=a+bx (где a и b - константы), то принято говорить о существовании линейной корреляции. Коэффициент r - это безразмерная величина, она может меняться от 0 до ±1. Чем ближе значение коэффициента к единице (неважно, с каким знаком), тем с большей уверенностью можно утверждать, что между двумя рассматриваемыми совокупностями переменных существует линейная связь. Иными словами, значение какой-то одной из этих случайных величин (y) существенным образом зависит от того, какое значение принимает другая (x). В случае если окажется, что r = 1 (или -1), то имеет место классический случай чисто функциональной зависимости (ᴛ.ᴇ. реализуется идеальная взаимосвязь). При анализе двумерной диаграммы рассеяния можно обнаружить различные взаимосвязи. Простейшим вариантом является линейная взаимосвязь, которая выражается в том, что точки размещаются случайным образом вдоль прямой линии. Диаграмма свидетельствует об отсутствии взаимосвязи, если точки расположены случайно, и при перемещении слева направо невозможно обнаружить какой-либо уклон (ни вверх, ни вниз). В случае если точки на ней группируются вдоль кривой линии, то диаграмма рассеяния характеризуется нелинейной взаимосвязью. Такие ситуации вполне возможны МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАВИСИМОСТЕЙ МЕЖДУ ВЕЛИЧИНАМИ
ТЕХНОЛОГИИ ИНФОРМАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Ключевые понятия Применение математического моделирования Применение математического моделирования постоянно требует учета зависимостей одних величин от других. Примеры зависимостей:
Реализация математической модели
требует владения приемами представления зависимостей между величинами. Методы представления зависимостей Величина
– количественная характеристика исследуемого объекта Характеристики величины
отражает смысл величины определяет возможные значения величины Значение
константа переменная Основные типы величин:
Пример константы – число Пифагора
Имя величины может быть
смысловым
смысловым
числовой
«давление газа» В описании процесса падения тела
переменными величинами
являются высота
H
и время падения
t
символьный
символическим
логический
Виды зависимостей Функциональной зависимостью
называется связь между двумя величинами, при которой изменение одной из них вызывает изменение другой. Пример 1:
t
(c) – время падения; H
(m) – высота падения. Зависимость будем представлять, пренебрегая учетом сопротивления воздуха; ускорение свободного падения g (м/с 2) будем считать константой. Пример 2:
P
(н/м 2) – давление газа (в единицах системы СИ давление измеряется в ньютонах на квадратный метр); t
°C – температура газа. Давление при нуле градусов P
0 будем считать константой для данного газа. определенной
. Виды зависимостей Иная зависимость
носит более сложный характер, одна и та же величина может принять разные значения, поскольку на нее могут оказывать влияния и другие показатели. Пример 3:
Загрязненность воздуха характеризуется концентрацией примесей – С (мг/м 3). Единица измерения – массы примесей, содержится в 1 кубическом метре воздуха, выраженная в миллиграммах. Уровень заболеваемости будет характеризовать числом хронических больных астмой, приходящихся на 1000 жителей данного города P
(бол./тыс.) Зависимость между величинами является полностью определенной
. Математические модели Математические модели -
это совокупность количественных характеристик некоторого объекта (процесса) и связей между ними, представленных на языке математики. Математические модели отражают физические законы и представляются в виде формул: Линейная зависимость Корневая зависимость (время пропорционально квадратному корню высоты) В сложных задачах математические модели представляют в виде уравнений или систем уравнений. Табличные и графические модели Экспериментальным путем проверим закон свободного падения тела
Эксперимент:
стальной шарик сброшен с 6-метровой, 9-метровой высоты и т.д. (через 3 метра), замеряя высоту начального положения шарика и время падения Результат эксперимента представлен в таблице и графике
Н
, м
t
, c
Табличное и графическое представление зависимости времени падения тела от высоты Динамические модели Информационные модели, которые описывают развитие систем во времени, имеют специальное название: динамические модели
. В физике это движение тел, в биологии – развитие организмов или популяций животных, в химии – протекание химических реакций. Самое основное Имя – отражает смысл величины Тип – определяет возможные значения величин Значение: постоянная величина (константа) или переменная Вопросы и задания Иллюстрации: Источники
