This article discusses printing web pages in Firefox. For a tutorial on how to use Firefox"s printing features, read below.

• For troubleshooting printing problems, see Fix printing problems in Firefox .

Table of Contents

Printing a web page

Print preview settings

Print

Pages

• Navigate to different pages by entering a page number or using the arrows.

Page Setup

Scale

• To try and make the web page fit on fewer sheets of printed paper, you can adjust the scale. Shrink to fit

Orientation

• Select Portrait
• Select Landscape for very wide pages and images.

Simplify Page

• Select Simplify Page to save paper and ink when printing web pages. Remove unwanted ads, unrelated text and images, and blank spaces from the page to print your content on fewer pages. See Firefox Simplify Page for clutter-free printing for more information.

Printer section:

• Click the drop-down menu next to Name to change which printer prints the web page you"re viewing.

Note: The default printer is the Windows one. When a web page is printed with the selected printer, it becomes the new default printer.

• Click on Properties... to change the paper size, print quality, and other settings specific to your printer.

Print range section: Lets you specific which pages of the current web page are printed:

• Select All to print everything.
• Select Pages and enter the range of pages you want to print. For example, selecting "from 1 to 1" prints the first page only.
• Select Selection to print only the part of the page you"ve highlighted.

Copies section: Lets you specific how many duplicates you want to print.

• If you enter more than 1 in the Number of copies field, you can also choose whether to collate them. For example, if you choose to make two copies and select Collate , they will print in the order 1,2,3,1,2,3. Otherwise, they will print in the order 1,1,2,2,3,3.

Note: The following settings are saved as Firefox preferences on a per-printer basis.

Changing the page setup

Format and Options

The Format & Options tab allows you to change:

• Orientation:
  • Select Portrait for most documents and web pages.
  • Select Landscape for very wide pages and images.
• Scale: To try to make the web page fit on fewer sheets of printer paper, you can adjust the scale. Shrink to fit automatically adjusts the scale.
• Options: Select Print Background (colors & images) to have Firefox print backgrounds for web pages. Otherwise, Firefox leaves page backgrounds white.

Margins and Header/Footer

The Margins & Header/Footer tab allows you to change:

• Margins: You can enter the width of the page margins for the top, bottom, left and right sides of the page separately.
• Headers & Footers: Use the dropdown menus to select what appears on the printed page. The top-left dropdown box"s value appears at the top-left corner of the page; the top-center dropdown box"s value appears at the top-center portion of the page and so on. Choose from:
  • --blank--: Nothing will be printed.
  • Title: Print the title of the page.
  • URL: Print the web address of the page.
  • Date/Time: Print the date and time when the page was printed.
  • Page #: Print the page number.
  • Page # of #: Print the page number and total number of pages.
  • Custom...: Enter your own header or footer text. This can be used to show a company or organization name at the top or bottom of every printed page.

Click OK to finish making changes and close the Page Setup window.

Advanced tips

• If you want to edit the web page content prior to printing, you can use an extension from Firefox Add-ons such as Print Edit WE .
• To print a single image from a page, you can typically right-click it and select View Image or View Background Image then print using the instructions above.
• Web pages can set themselves up to appear different on paper to how they look on screen, so don"t be surprised to see some changes. (If you see some colors on background images missing, follow the step preceding step).

Это, как правило, случается в самое неподходящее время — когда вам нужно срочно распечатать важный документ. Еще вчера исправно работавший принтер вдруг отказывается выполнять свои обязанности: вместо документа выбрасывает чистые листы бумаги или тупо моргает лампочками, будто не понимая, что вы от него хотите.

С проблемами при печати сталкивается почти каждый, кто пользуется принтером регулярно. Самая обширная группа таких проблем — различные дефекты печатного изображения, на втором месте — полное отсутствие печати. Причинами того, что принтер не печатает совсем или печатает плохо, бывает очень многое — от неправильных настроек в операционной системе до неисправности самого аппарата.

Почему принтер не печатает

Все причины, которые приводят к сбоям и полному отказу системы печати, условно делятся на 3 большие группы:

1. Проблемы с установкой и настройкой печатающего устройства в операционной системе. Прочие виды программных неполадок.
2. Проблемы с картриджами или системой непрерывной подачи чернил (СНПЧ).
3. Неполадки в аппаратной части самого принтера.

Первая группа наиболее проста для диагностики и устранения самим пользователем. Справиться с ней удается примерно в 90% случаев. Группа проблем, связанных с картриджами, не всегда поддается решению в домашних условиях, однако если позволяют средства, достаточно просто купить новый картридж. Третья группа решается лишь при простых и типовых неполадках, вроде замятия бумаги, залома соединительного кабеля и т. п. Проблемы, связанные с неисправностью аппарата, требуют обращения в сервис.

Неполадки, связанные с установкой принтера и работой системы печати в Windows

К счастью, основная масса неполадок в системе печати, связанная с работой ПО, устраняется очень просто. К ним относятся:

• Отсутствие в операционной системе драйвера принтера или сбой в работе драйвера.
• Отключение службы печати.
• Неправильный выбор печатающего устройства по умолчанию.
• Приостановка печати пользователем.
• Переключение принтера в автономный режим.
• Проблемы с документом, стоящим в очереди печати (слишком большой, не распознается и т. п.). Принтер при этом все-таки печатает, но крайне медленно. Или вместо текста выводит что-то, похожее на иероглифы.
• Запрет доступа к системе печати политиками безопасности.

Более сложные случаи — это повреждение компонентов ОС, конфликт драйверов и вирусное заражение. С ними, в отличие от предыдущих, не всегда удается справиться парой кликов мыши.

Причины, по которым не печатает сетевой принтер:

• На удаленном компьютере заблокирован порт принтера.
• Сетевой путь к принтеру указан неверно.
• Неправильно установлены параметры общего доступа.

Чтобы отделить неполадки самого принтера от проблем, возникших на компьютере, попытайтесь распечатать документ с другого ПК или мобильного устройства. Если он (принтер) подключен по USB, по возможности подключите его по беспроводной связи и наоборот. Ваша задача — выяснить, работает ли функция печати хоть где-то.

Убедившись, что источник сбоя находится не в печатающем девайсе, а связан с компьютером, загляните в диспетчер устройств (принтер должен быть подсоединен к компьютеру и включен в электросеть). Отсутствие в списке устройств группы «Принтеры» и наличие неизвестного оборудования, отмеченного восклицательным или вопросительным знаком, говорит о том, что в системе нет необходимого драйвера. Чтобы решить проблему, достаточно скачать его с сайта производителя аппарата (например, HP, Epson, Samsung, Canon, Brother) и установить.

Если ПК видит принтер, но он все равно не печатает, загляните в приложение «Службы» (удобнее всего открывать через одноименную вкладку диспетчера задач).

Найдите в списке служб «Диспетчер печати» и удостоверьтесь, что он запущен. Если нет, откройте правым кликом его свойства. В выпадающем списке «Тип запуска» установите «Автоматически», следом нажмите расположенную ниже кнопку «Запустить».

Неполадка не устранена? Идем дальше. Запустите системное приложение «Параметры», зайдите в раздел «Устройства» — «Принтеры и сканеры» (эта и дальнейшие инструкции рассматриваются на примере Windows 10). В правой половинке окна отображается список всех установленных принтеров, среди которых должен быть и тот, с которым возникли проблемы. Если его там нет, проверьте физическое подключение аппарата к ПК. Если есть, нажмите «Открыть очередь».

• Используется ли принтер по умолчанию (если нет, возможно, печатающим устройством по умолчанию назначен виртуальный принтер, который вместо печати, например, конвертирует файл в другой формат).
• Не стоит ли метка возле пунктов «Приостановка печати» и «Работать автономно». Самопроизвольное переключение принтера в автономный режим указывает на плохую связь с компьютером, проблемы с питанием или неисправность.
• Если в очереди печати есть документы, нажмите «Очистить очередь» и попытайтесь распечатать пробную страницу.

Если принтер не печатает только по сети, нажмите «Общий доступ» и проверьте, разрешен ли он к этому устройству.

Следом загляните на вкладку «Безопасность» и удостоверьтесь, что вашей учетной записи не запрещено пользоваться функцией печати.

Причиной того, что принтер не ставит файлы в очередь, может быть что-то из следующего:

• Закончилась или замялась бумага.
• Закончился тонер или чернила.
• В устройство установлен неоригинальный картридж.
• Счетчик количества распечаток достиг предела — печать заблокирована.
• У учетной записи пользователя нет прав на печать файлов.
• Аппарат неисправен.
• Произошел сбой в операционной системе.

Устройства разных производителей блокируют печать в различных ситуациях. Так, когда в картридже заканчивается краска, один аппарат перестает обрабатывать документы и обнуляет очередь печати, а другой просто выплевывает пустые листы. То же самое и в остальных ситуациях. О том, какие именно проблемы приводят к блокировке, обычно написано в инструкции к принтеру.

Многие неполадки принтеров неплохо распознает их система самодиагностики. Если аппарат оснащен дисплеем, причина сбоя чаще всего отображается на нем. Диагностику более простых девайсов проводят с помощью их фирменного приложения. Оно, как правило, присутствует на диске, который шел в комплекте с устройством, а также на сайте производителя.

Ниже показан пример функции диагностики неполадок в фирменном приложении принтера HP Deskjet 1050.

Остановка при отсылке на печать какого-то конкретного документа чаще всего связана с самим документом. Так, если принтер не печатает файл pdf, возможно, автор защитил его от распечатывания (pdf поддерживает такие функции). В подобных случаях проще всего сделать скриншоты страниц проблемного файла, вставить их, например, в документ Word и спокойно распечатать как картинки.

При появлении на печатном оттиске иероглифов, «кракозябр» или пробелов вместо текста попробуйте заменить в документе шрифт на один из предустановленных в Windows (их распознают все принтеры).

Проблемы с картриджами, красителем, СНПЧ

Любой краситель — тонер или чернила, рано или поздно заканчивается. Но это происходит не внезапно. На мысли о том, что краски осталось мало, наталкивает снижение качества оттиска — бледные цвета, белесые полосы, частичная непропечатка. Бывает, что принтер перестает печатать и при нормальном уровне красителя. Это происходит из-за:

• Засыхания капли краски в печатающей головке или закупорки ее воздушной пробкой.
• Неправильной установки картриджа (например, когда не сняты защитные пленки, не полностью закрыта крышка).
• Загрязнения воздуховодов картриджей.
• Пережатия или закупорки чернильного шлейфа СНПЧ.
• Блокировки неоригинального картриджа.
• Достижения лимита количества распечаток.
• Неисправности картриджа.

Закупорка головки засохшими чернилами — обычное дело при долгом неиспользовании струйного принтера. Если пробка относительно небольшая, решить проблему помогает прочистка дюз (выходных отверстий). Это тоже делается с помощью фирменной утилиты принтера, причем у каждого производителя эта функция называется по-своему:

• У HP — очистка картриджей.

• У Epson — прочистка печатающей головки.
• У Canon — очистка и глубокая очистка (вторая — усиленный вариант, когда не помогает первая) и т. д.

Во время прочистки специальная помпа, установленная внутри принтера, прогоняет через дюзы немного чернил под большим давлением. От этого сгусток краски или воздушная пробка выходит наружу.

Самые бюджетные модели принтеров не оборудованы помпой, и функция прочистки дюз на них не работает (несмотря на поддержу ее драйвером). В случае закупорки печатные головки таких устройств приходится отмачивать и промывать в чистящей жидкости.

На современных струйных принтерах Epson печатающая головка встроена не в картриджи, а в сам аппарат, причем стоит она довольно дорого. Выход ее из строя равнозначен выходу из строя всего принтера, который в подобных случаях остается только выбросить. Чтобы не допустить пересыхания чернил, владельцам принтеров Epson важно делать прочистку дюз хотя бы раз в 2 недели, если аппарат простаивает без дела.

Если вы вынимали картриджи из принтера, убедитесь, что они правильно установлены и их воздуховоды ничем не закрыты.

При использовании СНПЧ в первую очередь также следует проверить, проходим ли чернильный шлейф и свободны ли воздушные отверстия резервуаров.

Пятна и полосы (иногда почти черные листы) при печати на лазерном или светодиодном принтере — следствие негерметичности картриджа (тонер высыпается), переполнения бункера-отходника, попадания внутрь устройства посторонних мелких предметов, повреждения, неправильной установки или износа деталей картриджа.

Проблемы после заправки, когда:

• принтер печатает только одним оттенком, например, красным;
• оттиск выглядит слишком бледно при полном картридже;
• вместо изображения — разноцветные пятна и т. п.,

возникают, как правило, из-за загрязнения, неправильной установки картриджа на место или нарушения технологии заправки.

Полное отсутствие изображения (белые листы) либо дефекты печати после замены оригинального картриджа или красителя на условно подходящие — как раз результат несовместимости последних с вашей моделью принтера. В одних случаях решается перепрошивкой картриджей или аппарата, в других — только покупкой оригинальных комплектующих и расходников.

Неполадки принтера

Поломка печатающего устройства не всегда проявляется полным отказом, когда аппарат не включается или совершенно не выполняет свои функции. В ряде случаев она выглядит так:

• Принтер не печатает одним из цветов, например, чёрным. Картридж при этом исправен, совместим, краска есть. Замена картриджа и тонера не помогает.
• Печатается только часть документа.
• Тонер не закрепляется на бумаге.
• Нет захвата бумаги из лотка.
• Принтер не печатает или некорректно переносит на бумагу текст любых документов, не воспроизводит типовые частоиспользуемые шрифты.
• Оттиск неправильно позиционируется на листе.
• Вместо одного документа печатается несколько и наоборот.

В домашних условиях без специальной подготовки основную массу таких проблем не решить. Самостоятельно пользователь может посмотреть, не зажевал ли аппарат бумагу; если да — попытаться ее извлечь; проверить, правильно ли установлен картридж; удалить посторонние предметы, попавшие в устройство, если они легко доступны; очистить видимые загрязнения. В остальных случаях остается обратиться в сервис или купить новый аппарат, если он из серии одноразовых, которые стоят очень дешево.

Угол между двумя векторами , :

Если угол между двумя векторами острый, то их скалярное произведение положительно; если угол между векторами тупой, то скалярное произведение этих векторов отрицательно. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, тогда и только тогда, когда эти векторы ортогональны.

Задание. Найти угол между векторами и

Решение. Косинус искомого угла

16. Вычисление угла между прямыми, прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью , пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, - это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Определение угла между прямой и плоскостью позволяет заключить, что угол между прямой и плоскостью представляет собой угол между двумя пересекающимися прямыми: самой прямой и ее проекцией на плоскость. Следовательно, угол между прямой и плоскостью есть острый угол.

Угол между перпендикулярными прямой и плоскостью считают равным , а угол между параллельными прямой и плоскостью либо не определяют вовсе, либо считают равным .

§ 69. Вычисление угла между прямыми.

Задача вычисления угла между двумя прямыми в пространстве решается так же, как и на плоскости (§ 32). Обозначим через φ величину угла между прямыми l 1 и l 2 , а через ψ - величину угла между направляющими векторами а и b этих прямых.

Тогда, если

ψ 90° (рис. 206,6), то φ = 180° - ψ. Очевидно, что в обоих случаях верно равенство cos φ = |cos ψ|. По формуле (1) § 20 имеем

следовательно,

Пусть прямые заданы своими каноническими уравнениями

Тогда угол φ между прямыми определяется с помощью формулы

Если одна из прямых (или обе) задана не каноничecкими уравнениями, то для вычисления угла нужно найти координаты направляющих векторов этих прямых, а затем воспользоваться формулой (1).

17. Параллельные прямые, Теоремы о параллельных прямых

Определение. Две прямые на плоскости называются параллельными , если они не имеют общих точек.

Две прямые в трехмерном пространстве называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Угол между двумя векторами.

Из определения скалярного произведения:

.

Условие ортогональности двух векторов :

Условие коллинеарности двух векторов:

.

Следует из определения 5 - . Действительно, из определения произведения вектора на число, следует . Поэтому, исходя из правила равенства векторов, запишем , , , откуда вытекает . Но вектор , получившийся в результате умножения вектора на число , коллинеарен вектору .

Проекция вектора на вектор:

.

Пример 4 . Даны точки , , , .

Найти скалярное произведение .

Решение . найдем по формуле скалярного произведения векторов, заданных своими координатами. Поскольку

, ,

Пример 5. Даны точки , , , .

Найти проекцию .

Решение . Поскольку

, ,

На основании формулы проекции, имеем

.

Пример 6. Даны точки , , , .

Найти угол между векторами и .

Решение . Заметим, что вектора

, ,

не являются коллинеарными, поскольку не пропорциональны их координаты:

.

Эти вектора не являются также перпендикулярными, так как их скалярное произведение .

Найдем ,

Угол найдем из формулы:

.

Пример 7. Определить при каких вектора и коллинеарны.

Решение . В случае коллинеарности, соответствующие координаты векторов и должны быть пропорциональны, то есть:

.

Отсюда и .

Пример 8 . Определить, при каком значении вектора и перпендикулярны.

Решение . Вектора и перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Из этого условия получаем: . Стало быть, .

Пример 9 . Найти , если , , .

Решение . В силу свойств скалярного произведения, имеем:

Пример 10 . Найдите угол между векторами и , где и - единичные векторы и угол между векторами и равен 120о.

Решение . Имеем: , ,

Окончательно имеем: .

5.б. Векторное произведение .

Определение 21 .Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , или , определяемый следующими тремя условиями:

1) Модуль вектора равен , где - угол между векторами и , т.е. .

Отсюда следует, что модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах.

2) Вектор перпендикулярен к каждому из векторов и ( ; ), т.е. перпендикулярен плоскости параллелограмма, построенного на векторах и .

3) Вектор направлен так, что если смотреть из его конца, то кратчайший поворот от вектора к вектору был бы против часовой стрелки (векторы , , образуют правую тройку).

Как вычислить углы между векторами?

При изучении геометрии немало вопросов возникает по теме векторов. Особенные трудности обучающийся испытывает при необходимости найти углы между векторами.

Основные термины

Перед тем как рассматривать углы между векторами, необходимо ознакомиться с определением вектора и понятием угла между векторами.

Вектором называют отрезок, имеющий направление, то есть отрезок, для которого определено его начало и конец.

Углом между двумя векторами на плоскости, имеющих общее начало, называют меньший из углов, на величину которого требуется переместить один из векторов вокруг общей точки, до положения, когда их направления совпадут.

Формула для решения

Поняв, что собой представляет вектор и как определяется его угол, можно вычислить угол между векторами. Формула решения для этого достаточно проста, и результатом её применения будет значение косинуса угла. Согласно определению, он равен частному скалярного произведения векторов и произведения их длин.

Скалярное произведение векторов считается как сумма помноженных друг на друга соответствующих координат векторов-сомножителей. Длина вектора, или его модуль, вычисляется как квадратный корень из суммы квадратов его координат.

Получив значение косинуса угла, вычислить величину самого угла можно с помощью калькулятора или воспользовавшись тригонометрической таблицей.

Пример

После того как вы разберетесь с тем, как вычислить угол между векторами, решение соответствующей задачи станет простым и понятным. В качестве примера стоит рассмотреть несложную задачу о нахождении величины угла.

Первым делом удобнее будет вычислить необходимые для решения значения длин векторов и их скалярного произведения. Воспользовавшись описанием, представленным выше, получим:

Подставив полученные значения в формулу, вычислим значение косинуса искомого угла:

Это число не является одним из пяти распространённых значений косинуса, поэтому для получения величины угла, придётся воспользоваться калькулятором или тригонометрической таблицей Брадиса. Но перед тем, как получить угол между векторами, формула может быть упрощена, чтобы избавиться от лишнего отрицательного знака:

Итоговый ответ для сохранения точности можно оставить в таком виде, а можно вычислить значение угла в градусах. По таблице Брадиса его величина составит примерно 116 градусов и 70 минут, а калькулятор покажет значение 116,57 градуса.

Вычисление угла в n-мерном пространстве

При рассмотрении двух векторов в трёхмерном пространстве, понять, о каком угле идёт речь гораздо сложнее, если они не лежат в одной плоскости. Для упрощения восприятия можно начертить два пересекающихся отрезка, которые образуют наименьший угол между ними, он и будет искомым. Несмотря на наличие третьей координаты в векторе, процесс того, как вычисляются углы между векторами, не изменится. Вычислите скалярное произведение и модули векторов, арккосинус их частного и будет являться ответом на данную задачу.

В геометрии нередко встречаются задачи и с пространствами, имеющими больше трёх измерений. Но и для них алгоритм нахождения ответа выглядит аналогично.

Разница между 0 и 180 градусами

Одна из распространённых ошибок при написании ответа на задачу, рассчитанную на то чтобы вычислить угол между векторами, - решение записать, что векторы параллельны, то есть искомый угол получился равен 0 или 180 градусам. Этот ответ является неверным.

Получив по итогам решения значение угла 0 градусов, правильным ответом будет обозначение векторов как сонаправленных, то есть у векторов будет совпадать направление. В случае получения 180 градусов векторы будут носить характер противоположно направленных.

Специфические векторы

Найдя углы между векторами, можно встретить один из особых типов, помимо описанных выше сонаправленных и противоположно направленных.

• Несколько векторов параллельных одной плоскости называются компланарными.
• Векторы, одинаковые по длине и направлению, называются равными.
• Векторы, лежащие на одной прямой, независимо от направления, именуются коллинеарными.
• Если длина вектора равна нулю, то есть его начало и конец совпадают, то его называют нулевым, а если единице, то единичным.

Как найти угол между векторами?

помогите пожалуйста! формулу знаю, а вычислить не получается ((
вектор a (8; 10; 4) вектор b (5; -20; -10)

Александр титов

Угол между векторами, заданными своими координатами, находится по стандартному алгоритму. Сначала нужно найти скалярное произведение векторов a и b: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Подставляем сюда координаты данных векторов и считаем:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Далее определяем длины каждого из векторов. Длина или модуль вектора - это корень квадратный из суммы квадратов его координат:
|a| = корень из (x1^2 + y1^2 + z1^2) = корень из (8^2 + 10^2 + 4^2) = корень из (64 + 100 + 16) = корень из 180 = 6 корней из 5
|b| = корень из (x2^2 + y2^2 + z2^2) = корень из (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = корень из (25 + 400 + 100) = корень из 525 = 5 корней из 21.
Перемножаем эти длины. Получаем 30 корней из 105.
И наконец, делим скалярное произведение векторов на произведение длин этих векторов. Получаем, -200/(30 корней из 105) или
- (4 корня из 105) / 63. Это - косинус угла между векторами. А сам угол равен арккосинусу из этого числа
ф = arccos(-4 корня из 105) / 63.
Если я всё правильно посчитал.

Как вычислить синус угла между векторами по координатам векторов

Михаил ткачев

Умножаем эти вектора. Их скалярное произведение равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Угол нам неизвестен, зато известны координаты.
Математически запишем это так.
Пусть, даны вектора a{x1;y1} и b{x2;y2}
Тогда

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Рассуждаем.
a*b-скалярное произведение векторов, равно сумме произведений соответствующих координат координат этих векторов, т. е. равно x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-произведение длин векторов, равно √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

Значит, косинус угла между векторами равен:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Зная косинус угла, можем вычислить и его синус. Рассуждаем, как это сделать:

Если косинус угла положительный, значит это угол лежит в 1 или 4 четверти, значит его синус либо положительный, либо отрицательный. Но т. к. угол между векторами-меньше или равен 180 градусов, то его синус - положительный. Аналогично рассуждаем, если косинус - отрицательный.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2))^2)

Вот так)))) удачи разобраться)))

Дмитрий левищев

То, что напрямую синус нельзя - это неправда.
Кроме формулы:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
Есть ещё и такая:
||=|a|*|b|*sin A
То есть вместо скалярного произведения можно взять модуль векторного произведения.