Движение электрона в электрическом и магнитном поле. Движение электронов в магнитном поле

Рассмотрим оператор Паули для случая постоянного магнитного поля. Вычисления мы проведем для наглядности в прямоугольных декартовых координатах. Если магнитное поле достаточно слабо, то членами в операторе содержащими квадрат

векторного потенциала, мы можем пренебречь, в линейных же членах мы можем заменить выражениями

которые дают

где составляющие орбитального момента количества движения электрона (см. (1) § 1).

Используя (2), мы получим для приближенное выражение

Добавляя к согласно (19) § 5, члены, зависящие от спина, мы будем иметь

В это выражение входит скалярное произведение магнитного поля на вектор магнитного момента электрона

Этот вектор складывается из двух частей: орбитальной и спиновой. Орбитальная часть пропорциональна орбитальному моменту количества движения электрона

и спиновая часть пропорциональна собственному (спиновому) моменту

При этом множитель пропорциональности между магнитным и механическим моментом для спиновой части вдвое больше, чем для орбитальной. Этот факт иногда называют магнитной аномалией спина.

В задаче со сферической симметрией зависящая от магнит» иого поля поправочная часть оператора энергии (4) коммутирует

с главной частью (оператором (7) § 5). Поэтому поправка к уровню энергии на магнитное поле состоит просто в добавлении к нему собственного значения поправочного члена в (4). Если направить ось вдоль магнитного поля, то добавка будет равна

где есть собственное значение оператора

Однако происходящая от спина поправка к состоящая в замене на не вносит новых уровней, поскольку есть целое число. Существенную роль играют здесь лишь поправки на теорию относительности.

В операторе энергии Паули Я [формула (4)] эти поправки не учитываются. Учет их приводит к тому, что в поле со сферической симметрией уравнение для радиальных функций будет содержать не только квантовое число I теории Шредингера, но и квантовое число входящее в уравнение для шаровых функций со спином

[формула (22) § 1] и связанное с соотношением

[формула (20) § 1].

Мы знаем, что при будет единственное значение но при возможны два значения а именно, . В результате Шредингеровский уровень, соответствующий данному значению I (и определенному значению главного квантового числа распадается при на два близких уровня, которые образуют дублет. Этот дублет принято называть релятивистским дублетом.

В уравнении для радиальных функций порядок величины релятивистского поправочного члена по отношению к главному (потенциальной энергии) может характеризоваться величиной где

есть безразмерная постоянная, которую принято называть постоянной тонкой структуры. Влияние же магнитного поля на уровни энергии характеризуется величиной (8).

Расщепление уровней энергии в магнитном поле носит название явления Зеемана (Zeeman).

Полная теория явления Зеемана для атома водорода будет изложена в конце этой книги на основе теории Дирака. Здесь же мы хотели бы только подчеркнуть тот факт, что поведение

электрона в магнитном поле убедительно доказывает наличие у него новой степени свободы, связанной со спином.

Существование этой новой степени свободы электрона играет особенно важную роль в квантовомеханической теории системы многих электронов (например, атома или молекулы), которую нельзя даже формулировать, не учитывая свойств симметрии волновой функции по отношению к перестановкам электронов. Эти свойства заключаются в требовании, чтобы волновая функция системы электронов, выраженная через совокупности переменных относящихся к каждому электрону, меняла знак при перестановке двух таких совокупностей, относящихся к двум электронам. Требование это называется принципом Паули или принципом антисимметрии волновой функции. Существенно отметить, что в число переменных каждого электрона входит, кроме его координат, также и его спиновая переменная а. Это показывает, что введение спиновой степени свободы электрона необходимо уже в нерелятивистской теории.

Многоэлектронной задаче квантовой механики будет посвящена следующая часть этой книги.

Управление движением свободных электронов в большинстве электронных приборов осуществляется с помощью электрических или магнитных полей. В чем состоит сущность этих явлений?

Электрон в электрическом поле . Взаимодействие движущихся электронов с электрическим полем – основной процесс, происходящий в большинстве электронных приборов.

Наиболее простым случаем является движение электрона в однородном электрическом поле, т.е. в поле, напряженность которого одинакова в любой точке, как по величине, так и по направлению. На рисунке показано однородное электрическое поле, созданное между двумя параллельными пластинами достаточно большой протяженности, чтобы пренебречь искривлением поля у краев. На электрон, как и на любой заряд, помещенный в электрическое поле с напряженностью Е, действует сила, равная произведению величины заряда на напряженность поля в месте нахождения заряда,

F = -eE . 1.11

Знак минус показывает, что вследствие отрицательного заряда электрона сила имеет направление, противоположное направлению вектора напряженности электрического поля. Под действием силы F электрон двигается навстречу электрическому полю, т.е. перемещается в сторону точек с более высоким потенциалом. Поэтому поле в данном случае является ускоряющим.

Работа, затраченная электрическим полем на перемещение заряда из одной точки в другую, равна произведению величины заряда на разность потенциалов между этими точками, т.е. для электрона

где U - разность потенциалов между точками 1 и 2. Эта работа затрачивается на сообщение электрону кинетической энергии

где V и V 0 - скорости электрона в точках 2 и 1. приравнивая равенства (1.12) и (1.13), получаем

Если начальная скорость электрона V 0 = 0, то

Отсюда можно определить скорость электрона в электрическом поле при разности потенциалов U :

Таким образом, скорость, приобретенная электроном при движении в ускоряющем поле, зависит только от пройденной разности потенциалов. Из формулы (1.17) видно, что скорости электронов, даже при сравнительно небольшой разности потенциалов, получаются значительными. Например, при U = 100 В получаем V = 6000 км/с. При такой большой скорости электронов все процессы в приборах, связанные с движением электронов, протекают очень быстро. Например, время, необходимое для пролета электронов между электродами в электронной лампе, составляет доли микросекунды. Именно поэтому работа большинства электронных приборов может считаться практически безинерционной.

Рассмотрим теперь движение электрона, у которого начальная скорость V o направлена против силы F , действующей на электрон со стороны поля (Рис. 1.8, б ). В этом случае электрическое поле является для электрона тормозящим. Скорость движения электрона и его кинетическая энергия в тормозящем поле уменьшаются, так как в данном случае работа совершается не силами поля, а самим электроном, который за счет своей энергии преодолевает сопротивление сил поля. Энергия, теряемая электроном, переходит к полю. Действительно, поскольку движение электрона в тормозящем поле означает его перемещение в направлении отрицательного полюса источника поля, то при приближении электрона к последнему суммарный отрицательный заряд увеличивается и соответственно увеличивается энергия поля. В тот момент, когда электрон полностью израсходует свою кинетическую энергию, его скорость окажется равной нулю, и затем электрон начнет движение в обратном направлении. Движение его в обратном направлении является не чем иным, как рассмотренным выше движением без начальной скорости в ускоряющем поле. При таком движении электрона поле возвращает ему ту энергию, которую он потерял при своем замедленном движении.

В рассмотренных выше случаях направление скорости движения электрона было параллельным направлению электрических силовых линий поля. Такое электрическое поле называется продольным. Поле, направленное перпендикулярно вектору начальной скорости электрона, называется поперечным.

Рассмотрим вариант, когда электрон влетает в электрическое поле с некоторой начальной скоростью V o и под прямым углом к направлению электрических силовых линий (рис. 1.8, в ). Поле действует на электрон с постоянной силой, определяемой по формуле (1.11) и направленной в сторону более высокого положительного потенциала. Под действием этой силы электрон приобретает скорость V 1 , направленную навстречу полю. В результате электрон совершает одновременно два взаимно перпендикулярных движения: прямолинейное равномерное по инерции со скоростью V 0 и прямолинейно

равномерно ускоренное со скоростью V 1 . Под влиянием этих двух взаимно перпендикулярных скоростей электрон будет двигаться по траектории, представляющей собой параболу. После выхода из электрического поля электрон будет двигаться по инерции прямолинейно.

Электрон в магнитном поле. Влияние магнитного поля на движущийся электрон можно рассматривать как действие этого поля как на проводник с током. Движение электрона с зарядом е и скоростью V эквивалентно току i , проходящему через элементарный отрезок проводника длиной Δl .

Согласно основным законам электромагнетизма сила, действующая в магнитном поле на провод длиной Δl с током i равна

F = Bi Δlsin α. (1.20)

где В- магнитная индукция; α– угол между направлением тока и магнитной силовой линией поля.

Используя соотношение (1.18), получим новое выражение, характеризующее силу воздействия магнитного поля на движущийся в нем электрон,

F = BeV sinα. (1.21)

Из этого выражения видно, что электрон, движущийся вдоль силовых линий магнитного поля (α = 0), не испытывает никакого воздействия поля (F = BeVsin 0=0)и продолжает перемещаться с заданной ему скоростью.

Если вектор начальной скорости электрона перпендикулярен вектору магнитной индукции, т.е. α = 90, то сила, действующая на электрон,

F = BeV .(1.22)

Направление этой силы определяется по правилу левой руки. Сила F всегда перпендикулярна направлению мгновенной скорости V электрона и направлению магнитных силовых линий поля. В соответствии со вторым законом Ньютона эта сила сообщает электрону с массой m e ускорение, равное . Поскольку ускорение перпендикулярно скорости V , то электрон под действием этого нормального (центростремительного) ускорения будет двигаться по окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной к силовым линия поля.

В общем случае начальная скорость электрона может быть неперпендикулярна к магнитной индукции. В данном случае траекторию движения электрона определяют две составляющие начальной скорости:

нормальная V 1 и касательная V 2 , первая из которых направлена перпендикулярно силовым линиям магнитного поля, а вторая параллельно им. Под действием нормальной составляющей электрон движется по окружности, а под действие касательной – перемещается вдоль силовых линий поля рис. 1.9.

В результате одновременного действия обеих составляющих траектория движения электрона принимает вид спирали. Рассмотренная возможность изменения траектории движения электрона с помощью магнитного поля используется для фокусировки и управления электронным потоком в электронно-лучевых трубках и других приборах.

В некоторых электровакуумных приборах используется движение электронов в магнитном поле.

Рассмотрим случай, когда электрон влетает в однородное магнитное поле с начальной скоростью v 0, направленной перпендикулярно магнитным силовым линиям. В этом случае на движущийся электрон действует так называемая сила Лоренца F, которая перпендикулярна вектору н0 и вектору напряженности магнитного поля Н. Величина силы F определяется выражением: F= ev0H.

При v0 = 0 сила Рравна нулю, т. е. на неподвижный электрон магнитное поле не действует.

Сила F искривляет траекторию электрона в дугу окружности. Поскольку сила F действует под прямым углом к скорости н0, она не совершает работы. Энергия электрона и его скорость не изменяются по величине. Происходит лишь изменение направления скорости. Известно, что движение тела по окружности (вращение) с постоянной скоростью получается благодаря действию направленной к центру центростремительной силы, которой именно и является сила F.

Направление поворота электрона в магнитном поле в соответствии с правилом левой руки удобно определяется по следующим правилам. Если смотреть в направлении магнитных силовых линий, то электрон движется по часовой стреле.

Иначе говоря, поворот электрона совпадает с вращательным движением винта, который ввинчивается по направлению магнитных силовых линий.

Определим радиус r окружности, описываемой электроном. Для этого воспользуемся выражением для центростремительной силы, известным из механики: F = mv20/r. Приравняем его значению силы F = ev0H: mv20/r = ev0H. Теперь из этого уравнения можно найти радиус: r = mv0/(eH).

Чем больше скорость электрона v0, тем сильнее он стремится двигаться прямолинейно по инерции и радиус искривления траектории будет больше. С другой стороны, с увеличением Н растет сила F, искривление траектории возрастает и радиус окружности уменьшается.

Выведенная формула справедлива для движения в магнитном поле частиц с любыми массами и зарядом.

Рассмотрим зависимость r от m и e. Заряженная частица с большей массой m сильнее стремится лететь по инерции прямолинейно и искривление траектории уменьшится, т. е. rстанет больше. А чем больше заряд e, тем больше сила F и тем сильнее искривляется траектория, т. е. ее радиус становится меньше.

Выйдя за пределы магнитного поля, электрон дальше летит по инерции по прямой линии. Если же радиус траектории мал, то электрон может описывать в магнитном поле замкнутые окружности.

Таким образом, магнитное поле изменяет только направление скорости электронов, но не ее величину, т. е. между электроном и магнитным полем нет энергетического взаимодействия. По сравнению с электрическим полем действие магнитного поля на электроны является более ограниченным. Именно поэтому магнитное поле применяется для воздействия на электроны значительно реже, нежели электрическое поле.

Схемы питания люминесцентных ламп
Люминесцентные лампы включаются в сеть последовательно с индуктивным сопротивлением (дросселем), обеспечивающим стабилизацию переменного тока в лампе. Дело в том, что электрический разряд в газе...

Предисловие
Алек Томсон, кавалер ордена Британской империи 5-й степени, консультант по вопросам безопасности Настоящая книга выходит в свет в тот момент, когда правительствам, коммерческим и промышленным круга...

Обратная связь
Вы начинаете читать эту главу. Можете ли вы вспомнить, как эта книга очутилась в ваших руках открытой на этой странице? Если это произошло случайно и вы начали читать ее из любопытства, то тогда пон...

В некоторых электронных приборах используется влияние магнитного поля на движущиеся в нем электроны.

В § 3-2, в было получено выражение (3-6) для силы, с которой однородное магнитное поле действует на электрон, движущийся перпендикулярно направлению поля. Величина этой силы пропорциональна произведению магнитной индукции В, заряда электрона и скорости его движения v в направлении, перпендикулярпом направлению поля, т. е. Там же было установлено, что направление этой силы определяется по правилу левой руки.

Из выражения силы (3-6) следует, что при сила , т. е. магнитное поле на неподвижный электрон не действует. Так как направление силы F перпендикулярно направлению скорости движения электрона, то работа, совершаемая ею, равна нулю. Таким образом, энергия электрона и величина его скорости остаются неизменными, а изменяется только направление движения электрона.

Если на электрон действует только магнитное поле, то он будет перемещаться по окружности радиуса (рис. 13-4), расположенной в плоскости, перпендикулярной направлению ноля.

Сила F является центростремительной и уравновешивается центробежной силой электрона .

Так как эти силы равны, то можно написать

откуда определяется радиус, окружности

Отношение массы электрона к его заряду постоянно, следовательно, радиус окружности пропорционален скорости движения электрона и обратно пропорционален магнитной индукции поля.

Рис. 13-4. Движение электрона в магнитном поле при начальной скорости v в плоскости, перпендикулярной вектору магнитной индукции поля.

Рис. 13-5. Движение электрона в магнитном поле при начальной скорости, направленной под острым углом к вектору магнитной индукции поля.

Если начальная скорость электрона не перпендикулярна направлению поля, то ее следует разложить на две составляющие: нормальную, т. е. перпендикулярную к направлению поля и продольную, т. е. совпадающую по направлению с полем (рис. 13-5).

Первая составляющая скорости обусловливает движение электрона по окружности в плоскости, перпендикулярной к направлению поля, вторая составляющая обусловливает равномерное и прямолинейное движение электрона в направлении поля, таким образом, движение электрона происходит по винтовой линии (рис. 13-5).