Чему равен плюс на минус. Как понять, почему «плюс» на «минус» дает «минус»? Общие математические правила

Слушая учителя математики, большинство учеников воспринимают материал как аксиому. При этом мало кто пытается добраться до сути и разобраться, почему «минус» на «плюс» дает знак «минус», а при умножении двух отрицательных чисел выходит положительное.

Законы математики

Большинство взрослых не в силах объяснить ни себе, ни своим детям, почему так получается. Они твердо усвоили этот материал в школе, но при этом даже не попытались выяснить, откуда взялись такие правила. А зря. Зачастую современные дети не столь доверчивы, им необходимо докопаться до самой сути и понять, скажем, почему «плюс» на «минус» дает «минус». А иногда сорванцы специально задают каверзные вопросы, дабы насладиться моментом, когда взрослые не могут дать вразумительного ответа. И совсем уж беда, если впросак попадает молодой учитель...

Кстати, следует отметить, что упомянутое выше правило действенно как для умножения, так и для деления. Произведение отрицательного и положительного числа даст лишь «минус. Если речь идет о двух цифрах со знаком «-», то в результате получится положительное число. То же касается и деления. Если одно из чисел будет отрицательным, то частное тоже будет со знаком «-».

Для объяснения правильности этого закона математики, необходимо сформулировать аксиомы кольца. Но для начала следует понять, что это такое. В математике кольцом принято называть множество, в котором задействованы две операции с двумя элементами. Но разбираться с этим лучше на примере.

Аксиома кольца

Существует несколько математических законов.

• Первый из них переместительный, согласно ему, C + V = V + C.
• Второй называется сочетательным (V + C) + D = V + (C + D).

Им же подчиняется и умножение (V х C) х D = V х (C х D).

Никто не отменял и правил, по которым открываются скобки (V + C) х D = V х D + C х D, также верно, что C х (V + D) = C х V + C х D.

Кроме того, установлено, что в кольцо можно ввести специальный, нейтральный по сложению элемент, при использовании которого будет верно следующее: C + 0 = C. Кроме того, для каждого C есть противоположный элемент, который можно обозначить, как (-C). При этом C + (-C) = 0.

Выведение аксиом для отрицательных чисел

Приняв приведенные выше утверждения, можно ответить на вопрос: «"Плюс" на "минус" дает какой знак?» Зная аксиому про умножение отрицательных чисел, необходимо подтвердить, что действительно (-C) х V = -(C х V). А также, что верно такое равенство: (-(-C)) = C.

Для этого придется вначале доказать, что у каждого из элементов существует лишь один ему противоположный «собрат». Рассмотрим следующий пример доказательства. Давайте попробуем представить, что для C противоположными являются два числа - V и D. Из этого следует, что C + V = 0 и C + D = 0, то есть C + V = 0 = C + D. Вспоминая о переместительных законах и о свойствах числа 0, можно рассмотреть сумму всех трех чисел: C, V и D. Попробуем выяснить значение V. Логично, что V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, ведь значение C + D, как было принято выше, равняется 0. Значит, V = V + C + D.

Точно так же выводится и значение для D: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Исходя из этого, становится ясно, что V = D.

Для того чтобы понять, почему все же «плюс» на «минус» дает «минус», необходимо разобраться со следующим. Так, для элемента (-C) противоположными являются C и (-(-C)), то есть между собой они равны.

Тогда очевидно, что 0 х V = (C + (-C)) х V = C х V + (-C) х V. Из этого следует, что C х V противоположно (-)C х V, значит, (-C) х V = -(C х V).

Для полной математической строгости необходимо еще подтвердить, что 0 х V = 0 для любого элемента. Если следовать логике, то 0 х V = (0 + 0) х V = 0 х V + 0 х V. А это значит, что прибавление произведения 0 х V никак не меняет установленную сумму. Ведь это произведение равняется нулю.

Зная все эти аксиомы, можно вывести не только, сколько «плюс» на «минус» дает, но и что получается при умножении отрицательных чисел.

Умножение и деление двух чисел со знаком «-»

Если не углубляться в математические нюансы, то можно попробовать более простым способом объяснить правила действий с отрицательными числами.

Допустим, что C - (-V) = D, исходя из этого, C = D + (-V), то есть C = D - V. Переносим V и получаем, что C + V = D. То есть C + V = C - (-V). Этот пример объясняет, почему в выражении, где идут два «минуса» подряд, упомянутые знаки следует поменять на «плюс». Теперь разберемся с умножением.

(-C) х (-V) = D, в выражение можно добавить и вычесть два одинаковых произведения, которые не поменяют его значения: (-C) х (-V) + (C х V) - (C х V) = D.

Вспомная о правилах работы со скобками, получаем:

1) (-C) х (-V) + (C х V) + (-C) х V = D;

2) (-C) х ((-V) + V) + C х V = D;

3) (-C) х 0 + C х V = D;

Из этого следует, что C х V = (-C) х (-V).

Аналогично можно доказать, что и в результате деления двух отрицательных чисел выйдет положительное.

Общие математические правила

Конечно, такое объяснение не подойдет для школьников младших классов, которые только начинают учить абстрактные отрицательные числа. Им лучше объяснять на видимых предметах, манипулируя знакомым им термином зазеркалья. Например, придуманные, но не существующие игрушки находятся именно там. Их и можно отобразить со знаком «-». Умножение двух зазеркальных объектов переносит их в еще один мир, который приравнивается к настоящему, то есть в результате мы имеем положительные числа. А вот умножение абстрактного отрицательного числа на положительное лишь дает знакомый всем результат. Ведь «плюс» умножить на «минус» дает «минус». Правда, в дети не слишком-то пытаются вникнуть во все математические нюансы.

Хотя, если смотреть правде в глаза, для многих людей даже с высшим образованием так и остаются загадкой многие правила. Все принимают как данность то, что преподают им учителя, не затрудняясь вникать во все сложности, которые таит в себе математика. «Минус» на «минус» дает «плюс» - об этом знают все без исключения. Это верно как для целых, так и для дробных чисел.

Тайлар искренне не понимал, как можно было поставить директором серьезного учебно-магического заведения такого человека, как Вайленьен. Легко смущающийся, не всегда могущий держать себя в руках, постоянно устраивающий истерики на тему «за что мне все это?» и отпаиваемый успокоительным. Да, магических сил у перевертыша хватало, чтобы задавить пол-академии грубой силой. Но дело же не только в силе! Чего Тайлар не понимал еще больше – так это причин, по которым за перевертыша так резво вступился весь преподавательский состав. Довольно нелицеприятно высказавшемуся в отношении директора новичку не то чтобы устроили бойкот, но определенно дали понять негативность своего отношения. Никто из профессоров не разговаривал с ним на темы помимо учебных. Никто не упускал возможности съязвить в его адрес. Да и студентов, решивших прогулять занятия Тайлара, прикрывали на редкость охотно. Нет, маг готов был признать, что несколько погорячился – несмотря на все свои недостатки, Вайленьен неплохо справлялся со своими обязанностями, и был вполне уважаем студентами. Вот только слушать его никто не хотел. А встать посреди преподавательской и проорать, что он был неправ Тайлару не позволяла гордость. Вот и приходилось коротать свободное время в одиночестве, что порядком огорчало общительного эльфа.
- Привет, - с ним рядом внезапно кто-то плюхнулся.
Тайлар настороженно покосился вправо. Лицо оказалось незнакомым, для студента неизвестный выглядел слишком взрослым…
- Ну, привет, если не шутишь.
- А ты у нас новый преподаватель, да? - незнакомец протянул руку. - Лирс.
- Тайлар, - эльф осторожно пожал протянутую конечность. – Да, преподаю магическое конструирование. А ты кто будешь?
- А я преподаю...
Что он преподает, Лирс сказать не успел - шарахнуло магическим взрывом. К счастью, он оказался не особо сильным, так что Тайлара только слегка оглушило да сбросило с лавки. Эльф ошарашено потряс головой, прогоняя звон в ушах:
- Прости, что ты сказал?
- Я говорю, а я преподаю курс деструкции магических конструктов.
- Ааа… приятно познакомиться, - Тайлар потер ухо, даже не делая попыток подняться с пола. – Однако, нехилый же у нас конфликт энергий – так бахнуло… Видимо, ты великолепный деструктор.
- Один из лучших, - скромно признался Лирс.
- Я прочувствовал, - хохотнул эльф. – Чай будешь? Могу угостить.
- Ну, давай, что ли, угощай.
- Ну, пошли, что ли, я чайник с собой не ношу, - в тон ему ответил Тайлар. – Кстати, какой предпочитаешь?
- Черный с бергамотом, - Лирс улыбнулся, не делая больше попыток тронуть эльфа.
- Замечательно! Я его тоже люблю, правда, под настроение, - обрадовался Лар совпадению вкусов. Может, хотя бы с Лирсом удастся наладить нормальные отношения? И бездна с ним, с конфликтом сил. Разговаривать же он не мешает?
- Тогда идем. А что это ты один?
- В смысле, один? – выгнул бровь Тайлар.
- Ну, никто не подходит, не сидишь за общим столиком. Ты не стесняйся...
- Да я не стесняюсь… - замялся эльф. – Просто мы слегка характерами не сошлись…
- Что, со всеми сразу?
- Ну, так получилось.
- Вау. Уважаю, - хмыкнул Лирс. – Не сойтись характером сразу с Лиэром и Альмарином – надо быть на редкость многогранной личностью.
- Не издевайся...
- А как ты умудрился-то?
- Давай, я лучше не буду этого говорить? Не хотелось бы разругаться с единственным человеком, который со мной нормально общается.
- Ну, вообще-то я не совсем человек…
- А кто?
Лирс скромно улыбнулся:
- Демон, а это важно?
- Демон? Настоящий? Вау!
- Точно "вау" а не "ааа"? - весело поинтересовался Лирс.
- Можно и «аааа», только повиснуть у тебя на шее подобно восторженной студентке у меня не выйдет – сила сконфликтует. Так что только «вау».
Лирс расхохотался, звонко и весело. Тайлар улыбнулся в ответ, от паршивого настроения не осталось и следа.
- Идем, где там твой чай?
- В чайнике, я полагаю, - улыбнулся Лар, распахивая дверь своих покоев. – Проходи, сейчас заварю.
Чай и в самом деле был готов в рекордные сроки. И не только чай – на радостях эльф натащил столько съестного, что хватило бы десяток вечно голодных студентов накормить.
- Ого, да ты на диво гостеприимен, смотрю.
- Ну, были бы гости, - развел руками Тайлар. – Ты ешь, не стесняйся.
- Я не стесняюсь.
- А почему не ешь?
- Демоны не едят такое.
- А что едят? – эльф отпил из своей чашки.
- Энергию, как правило. Вот пить можем все.
- Увы, спиртного не держу. Могу предложить только чай и сок, - развел руками Тайлар.
- Чай меня устроит.
- Чашка перед тобой, - напомнил эльф.
Демон кивнул, отпивая немного. Чай у эльфа оказался отличный – насыщенный, ароматный, одно слово – эльфийский. Сам Тайлар еще и аппетитно похрустывал какой-то печенюшкой, вызывая невольное желание последовать своему примеру. Лирс даже пожалел, что действительно такое не ест. Однако организм все равно не принял бы... так что демон ограничился чаем. А поскольку сам эльф больше налегал на печенье, Лирс выпил почти весь чайник. Попутно они разговаривали на самые разные темы – начиная от различия в сортах чая и заканчивая теормагом.
- Ты потрясающий.
- Хм? Чем же это?
- Ну, не считая многогранности личности, - Лирс клыкасто усмехнулся, - далеко не каждый эльф сможет так спокойно пить чай с демоном.
- Да ну?
- Да...
- Ну, так заходи в гости, полюбуешься на «потрясающий» экземпляр. Мне тут скучно…
- А почему скучно?
- Так мне даже поговорить не с кем, кроме студентов, - развел руками Тайлар.
- Я так и не понял, что ты не поделил с остальными?
- Да ляпнул гадость в адрес директора, - скривился эльф. – Но если он и правда ведет себя как застенчивый школьник?
- Ну, есть такое, - поразмыслив, согласился Лирс.
- Вот, ты меня понимаешь, - протянул эльф. – А остальные даже извиниться потом не дали. Особенно этот, - Лар прищелкнул пальцами, - как же его… Райлис, кажется.
- Влюбленный-то наш? Это да-а-а.
- Влюбленный? То-то он меня чуть взглядом не испепелил… Кто он вообще? Остальные к нему странно относятся.
- Местная знаменитость, самый умный из студентов, практически магистр...
- Так студент или магистр?
- Студент, учится... Влюблен в кого-то, никто не знает, в кого.
- Разве? А по-моему, вся Академия свято уверена, что он подбивает клинья к директору. Правда, никто не знает, насколько успешно.
- Видимо, не особо...
- Ну, может быть. То-то он на меня так вызверился…
Демон снова засмеялся.
- Все нормально будет, вот увидишь.
- Надеюсь… Ты еще чай будешь?
- Наливай, я его могу много выпить.
Тайлар хохотнул:
- Провести, что ли, эксперимент – сколько в тебя влезет. Пойдешь подопытным?
- Пойду, - весело кивнул Лирс.
- Ну, тогда берегись, - эльф угрожающе приподнял чайник. – На своих ногах ты отсюда не уйдешь!
Демон зажмурился и придвинул к нему поближе чашку... Обещание свое эльф сдержал – уйти самостоятельно Лирсу не получилось. Правда, дело там было не только в чае – в какой-то момент расслабившиеся маги забыли о конфликте сил. Бабахнуло хорошо, и, что самое обидное, вдребезги разнесло чайник, чашки и столик, на котором они стояли.
- Оххх, - только и пробормотал Лирс, теряя сознание.
Тайлар и рад был бы последовать его примеру, но щепка, больно впившаяся в бок, прочно удерживала сознание. Со стоном эльф сел, опираясь на стену.
- И что теперь делать? Я же даже осмотреть его не могу, снова шарахнет.
Лирс, по вполне понятным причинам, ему ничего ответить не мог. Тайлар с трудом поднялся и по стеночке побрел в сторону лазарета, искренне надеясь, что Альмарин окажется на месте. И что профессиональное у друида возобладает над личным.
- Что случилось? - тот хмуро взглянул на явившегося.
- У меня в комнате демон в бессознанке, - виновато опустил уши эльф. – Резонансом приложило.
- Как? - несказанно удивился друид.
- Мы чай пили… - совсем скуксился эльф.
- С ума сошли?! Демонов в Академии всего двое, и конфликт сил у тебя мог быть только с одним. Какого ты пил чай с Лирсом?!
- Так больше никто бы не согласился…
- Вот дурак, - друид вздохнул. - Ну, идем.
- Почему сразу дурак? – обиделся эльф. – Мы хорошо сидели… пока не бахнуло.
- Идем, посмотрю, что там.
- Где мои комнаты вы знаете, может, вперед пойдете? А то пока я доковыляю…
- А с тобой что?
- Так меня тоже резонансом приложило… - Тайлар пошатнулся.
Целитель тут же принялся вливать в него энергию.
- Ложись и не вставай.
- А как же Лирс? – вяло запротестовал эльф.
- Я дойду...
- Спасибо, Альмарин. Я ваш должник…
- Вообще-то, это входит в мои прямые обязанности, - хмыкнул друид.
- Все равно... - маг закрыл глаза.
Друид покачал головой:
- И почему все эльфы такие балбесы? Ну как можно было принять все это всерьез? Честное слово, ну хуже Вайленьена…
- Вы о чем?
- Да так, мысли вслух. И вообще, я ушел лечить демона в бессознанке.
Тайлар ощутил, как его сковывает дремота, трепыхнулся, но преодолеть лечебный сон не сумел, так и заснул. Лирсу тоже не так уж сильно досталось, Альмарин быстро привел его в порядок, но тащить в лазарет не рискнул. Друиду нравилось его рабочее место, и рисковать разнести его с помощью двух магов с конфликтными силами он не хотел.
- Ммм?
- Ты спи, спи, - отмахнулся Альмарин. Лирс был выше и массивнее хрупкого перевертыша, а воздействовать магией на деструктора крайне не рекомендовалось. Поэтому демон был со всеми удобствами устроен на кровати Тайлара.
- Главное, чтобы они утром опять не пересеклись… А то даже магия не разберет, как именно их закоротит.
Демон спал, счастливо улыбаясь и утыкаясь в подушку лицом. В лазарете не менее умиротворенно сопел Тайлар. В Академии царила тишь да гладь.
Которую утром нарушили – нет, вовсе не студенты, и даже не привычные трения между преподавателями – а мощнейший магический выплеск.
- Нет, ну как они умудрились встретиться? – взвыл Альмарин, срываясь к источнику энергии. – У них же лекции в разных концах Академии!
Как выяснилось, столкнулись магистры в столовой, по разным краям которой теперь и лежали, тихие и умиротворенные.
- Кошмар, - печально вздохнул перевертыш, оглядывая пострадавших. – И ведь даже в лазарет обоих не отнесешь…
- А что с ними? - удивился директор.
- Конфликт сил у них… Еще и с непредсказуемым результатом.
- А как это... исправить?
- О, очнулись? – обрадовался Альмарин. – Ну, голубчики, как самочувствие? Мозги с желудком местами не поменялись?
Лирс слабо улыбнулся:
- Пока не проверял. Как Тайлар?
- Вроде живой, ушами дергает…
- И что вам всем мои уши покоя не дают? – мученически выдал эльф, не открывая глаз.
- Ну, они такие... Уши... - демон пытался шутить. Досталось Лирсу явно меньше, чем вчера – он уже успел пересечь столовую и теперь стоял рядом с Тайларом, выдерживая минимально безопасное расстояние.
- Нормальные уши, - Тайлар дернул острым кончиком. – Эльфийские… Кстати, ты как, живой?
- Еще не определился.
- Ничего, тут народу много, помогут разобраться.
Друид только вздохнул - еще в себя не пришли, а уже зубоскалят. Тайлар тем временем, пошатываясь, встал на ноги, прислонился в стене:
- Ох, как мне похорошело… Стены так и пляшут.
- А ну сядь, - встревожился друид.
- Так здесь не на что, стулья уже все того, - развел руками эльф. Разумеется, снова потерял равновесие, начал падать. На Лирса.
- Нет! – Альмарин метнулся было ловить пациента, но Лиэр, как более благоразумный, дернул друида в сторону от взрывоопасной парочки. Присутствующие в столовой дружно упали на пол…
- Я не понял, а взрыв где? – подал голос Лиэр.
- Какой взрыв? - удивился демон. - Ой, ушки.
- У вас конфликт энергий, - грустно сообщил Альмарин. – И, похоже, вас таки перемкнуло.
- Перемкнуло в чем?
- А ты попробуй, отойди от своего эльфа дальше, чем на десяток шагов.
- Я не его, - вяло запротестовал Тайлар. – Я свой собственный.
- Мой, - внезапно рявкнул демон.
- Ай, - шарахнулся в сторону эльф, - зачем в самое ухо орать-то?
- Мое, - Лирс пригреб покрепче.
Тайлар чуть подергался, убедился, что хватка у демона поистине железная.
- Ну, может отпустишь? Неудобно ж на полу лежать…
- Он не отпустит, - вздохнул друид. - Его переклинило.
- Да на чем?!
- Не на чем, а на ком…
- И на ком? - простонал эльф.
- Не, он дурак или так талантливо прикидывается? – задумчиво вопросил потолок Лиэр.
- На дурака вроде не тянет… Молодой еще, в межрасовых отношениях так вообще младенец…
- Я не младенец!
- Точно, совсем молодой еще. Эльфы постарше так бурно не реагируют, - потер висок Вайленьен. – За что мне это? – уже знакомым плаксивым тоном вопросил директор.
Тайлар моргнул. Может, ему все-таки показалось, а?
Демон тем временем уже добрался до его задницы. Почувствовав чужие ладони там, куда их явно не звали, Тайлар вспыхнул в буквальном смысле, окутавшись структурированной магической защитой. Ломать заклинания голыми руками Лирс пока не умел, так что вырваться эльфу удалось. А далеко уйти – нет.
- Мое!!!
Лиэр ржал, сложившись пополам.
- Скажите, что мне показалось? – жалобно попросил эльф, печально вешая ушки. Мордочка у него при этом была настолько уморительной, что несчастный вампир начал икать, не в силах справиться с хохотом. – Не смешно! Что это за поводок?
- Он влюбился просто. Я не могууууууу…
- А поводок откуда?! – Тайлар снова рыпнулся, но наученный опытом Лирс держал крепко. – И как это связано с нашим конфликтом сил, и надолго ли его переклинило?
- Ваши силы вступили в связь, буквально, а чувства... Сам выясняй.
- И надолго это? – Тайлар заехал локтем под ребра демону. – Блин, да хватит меня лапать! Здесь не только наши коллеги, но и студенты, между прочим!
- Он тебя все равно не слышит...
- Директор… Вы же подпишете нам больничный хотя бы на сегодня? Лекции вести я физически не смогу…
- Подпишу-подпишу.
- А чего не сможешь? - хихикнул вампир. - Я вон на некоторых висел на лекции.
- Висел ты, а не на тебе!
- А на мне вообще шарфик изображали…
- Не смешно, - обиженно надулся эльф. – Как я могу создавать примеры конструктов рядом с деструктором?
- Лекцию прочитай - как надо создавать защиту на конструктах.
- Я не умею вести занятие, когда меня нагло лапают, - сдался эльф.
- Учись, - вампир фыркнул.
- Не-а, - неожиданно показал язык эльф. – Мне директор дал отгул. Так что я попрыгал, - эльф бодрым зайчиком двинулся в сторону своих комнат – нормально он идти не мог из-за вцепившегося клещом Лирса.
- Мое, - ныл демон.
- Да твое, твое, только ребра мне не переломай, - пробурчал Тайлар, целеустремленным носорогом топая к своим комнатам.
- Люблю. Мое.
- Вот если б ты еще соображал при этом хоть немного… - тоскливо вздохнул эльф.
Демон соображать отказывался наотрез, лапал эльфа и улыбался. Не сказать, чтобы Тайлару это совсем не нравилось, но ему очень не хотелось терять единственного друга в Академии из-за временного помутнения в мозгах у последнего.
- Ну что за нафиг? Как конфликт сил может так долбануть по мозгам?
- Может-может, - фыркнул Райлис из-за угла.
Доведенный эльф сначала стрельнул в сторону ехидины заклинанием, а потом сообразил, что гонять боевой магией студентов непедагогично. Но стоило Тайлару увидеть, что именно повисло на щитах местного гения, как магистру поплохело:
- Откуда?
- Переплетение сил, вы б лучше не колдовали.
- Кажется, теперь я понимаю директора, - вздохнул Тайлар. – Мне тоже хочется спросить: «За что мне это?», - удивительно точно скопировал плаксивые интонации перевертыша он. – И успокоительного тоже…
- А я принес, - обрадовал его студент.
- Спаситель ты мой! – умилился магистр. Рядом ревниво зарычал Лирс.
- А как же подозрения, что я хочу отравить вас? – преувеличенно-обиженно поинтересовался Райлис.
- Откачают, - отмахнулся эльф. – И потом, ты же не дурак, провоцировать демона в таком состоянии. Да не рычи ты, не рычи, ты все равно самый красивый.
Демон счастливо стиснул эльфа в объятиях. Тайлар придушено пискнул и обмяк, впрочем, не забывая косить глазом из-под опущенных ресниц. Демон упоенно облизывал его шею. Райлис хихикнул и свалил, пока Лирс не узрел в нем конкурента. Эльф все так же старательно притворялся обморочной девицей.
- Ммое, - Лирс нежно цапнул эльфа в плечо.
Тайлар зашипел и огрел демона промеж рогов:
- Эй, я тебе не продзапас на черный день! – после чего печально вздохнул, глядя в бессмысленно-обожающие глаза демона:
- Не прокатило… Слушай, давай ты дашь мне нормально дойти до моих комнат, а я тебя за это поцелую?
- Мое, - согласился демон, отползая на полшага.
- Ты другие слова знаешь? – обреченно поинтересовался эльф, быстро шагая в сторону родной двери. Вдруг Лирс передумает?
Демон, похоже, ничего не знал, только то, какой у него эльф, обворожительный и притягательный, и его собственный.
Наконец, захлопнув за собой спасительную дверь, Тайлар буквально сполз по стеночке… прямо в ласковые объятия демона.
- Мое-мое-мое, - заворковал Лирс.
- Твое, - эльф коротко поцеловал спятившего деструктора. - Доволен?
Демон заурчал и поволок его прямиком на кровать. Тайлар, проглотивший драконью дозу успокоительного, не сопротивлялся, тряпочкой обвиснув на руках Лирса. Сейчас, когда чуть схлынул адреналин, эльфа неудержимо клонило в сон.
Демон, правда, собирался на кровати с эльфом отнюдь не видеть сладкие сны - раздевал, поминутно целуя.
- Лирс, - вяло отбрыкнулся эльф, - ну сам же потом пожалеешь… Спи давай, а то усыплю.
- Мое!
- Спи сказал! – правда, магией Тайлар пользоваться не рискнул, огрев демона подушкой.
- Любиться хочу!
- Другие слова знаешь, - констатировал Тайлар. – Вот соображал бы ты нормально, тогда б я даже не спорил. Ты правда красивый.
- Люби меня?
- А разница? Ты все равно рано или поздно очухаешься. И ждут меня разборки с разозленным деструктором…
- Люби меня, люби.
- Ох, ну что с тобой делать… - Тайлар обнял демона, притягивая к себе. – Ну почему у меня вечно все через непонятно что?
- Хороший, пахнешь сладко, мое чудо.
Эльф тихонько шмыгнул носом. Его еще никогда не называли чудом… Поэтому вдвойне обидно, что Лирс сейчас несколько… в неадеквате. Так хотелось, чтобы это все было по-настоящему, а не из-за странного сплетения энергий…
- Такое чудо, ушки, руки, такие сладкие губы.
Тайлар медленно-медленно погладил щеку демона, грустно опустил уши:
- А ведь ты мне сразу понравился… Ну почему все вот так?
- Ты чудо, самое чудесное чудо, эльф.
- Если бы ты это утром повторил, - вымученно улыбнулся Тайлар, тихонько целуя Лирса в уголок губ. Смысл сопротивляться, если демон все равно сильней, да и самому безумно хочется уступить?
- А почему именно утром?
- Ну, или когда там тебя закорот мозгов отпустит…
- А если уже отпустило?
- Да? А почему ты тогда все равно меня лапаешь?
- Ты чудо, соблазнительное чудо.
- Вот, а говоришь, мозги на место встали. Я самый обычный эльф, - Тайлар невольно прижался ближе. Все равно решил сдаться, чего уж там.
- Нет уж, ты мое чудо.
- Вот заладил… - Тайлар прикрыл глаза, и поцеловал Лирса уже по-настоящему. Утром. Все проблемы утром.
- А ты наслаждайся.
- Угум… - эльф окончательно расслабился, позволяя Лирсу расправиться с одеждой. Демон оказался на удивление чутким и нежным, никакого следа бешеного напора, которого так боялся Тайлар. Казалось, Лирс готов отступить при малейшем намеке на неудовольствие со стороны эльфа.
- Ты чудо, знаешь это? Чудо..
Тайлар не ответил, тихонько вздыхая от удовольствия и выгибаясь в руках демона. Было так хорошо… так правильно…
- Любимое... чудо..
Или послышалось?
Пусть послышалось. Или просто сказано под влиянием бреда… Утром он снова станет рассудительным, понимающим и умеющим обуздать свои порывы. А пока можно просто чувствовать.
- Лииииирс…
- Да? даааа... чудо..
Сколько раз повторялось это «чудо» Тайлар не запомнил. Просто ему казалось, что он даже во сне слышит глубокий бархатный голос демона. И просыпаться ему совсем не хотелось.
- Таким и оставайся. Всегда, слышишь?
- Мммм? – Тайлар попытался было зарыться в подушку. Магистр был тем еще соней. Потом сообразил, что говорящего будильника он точно не приобретал, да и рука, ласково поглаживающая по спине, ему не сниться. – Л-л-лирс?
- Ну да, это я.
Эльф подозрительно осмотрел деструктора. Тот выглядел вполне адекватным и полностью довольным жизнью. Настолько, что возникало невольное желание скормить ему лимон, чтобы не вызывал чувства зависти. Тайлар со стоном рухнул обратно в подушку:
- Скажи, что мне все это приснилось.
- Тебе настолько не понравилось? - огорчился демон.
- Мне настолько не понравилось вчерашнее представление за пределами моей комнаты, - пробурчал эльф. – Я, между прочим, чуть вашего гения не прихлопнул какой-то неведомой хренью. Что это вообще было?
- Меня переклинило. Потом я очухался.
- Когда? – Тайлар чуть повернулся, так, чтобы видеть демона хотя бы одним глазом.
- Уже в комнате...
- Ну, тогда ладно, - эльф снова закопался в подушки. Но после короткого копошения перекатился под бок к Лирсу, обнял того поперек груди и сообщил куда-то в шею:
- Спи, еще полно времени до завтрака.
- Хорошо. Эй, а мы не конфликтуем.
- Мы и вчера не конфликтовали… Надо будет еще проверить, получатся у меня нормальные конструкты, или опять такая же фигня, как вчера. Кстатиии… а почему тебя именно на мне переклинило? Только из-за магии?
- Нет. Ты мне сразу понравился. Такой... Одинокий.
- Мда… так меня еще не называли, - магистр предпринял еще одну попытку урвать пару часов сна, но огорченно убедился, что рядом с Лирсом спать не хотелось. Приподнялся на локтях, принялся рассматривать демона, склоняя голову то вправо, то влево.
А тот дремал, теплый, сонный, совсем не смахивающий на грозного демона, раскинулся по постели.
- Вот где справедливость, а? – пробурчал эльф. – Меня разбудил, а сам спит.
- А нет ее, - оскалился Лирс.
- Раз ты не спишь, значит, есть, - довольно сообщил эльф. Уперся локтями в грудь демону, пристроил сверху подбородок… Магистр еще не решил, как вообще относиться к произошедшему, но одно знал точно – ругаться с Лирсом ему совсем не хочется.
Лирс пристроил ладони ему на спину, согревая. Тайлар чуть прогнулся под горячими руками, локти разъехались, и эльф оказался буквально нос к носу с демоном.
- И что дальше делать будем?
- Жить, ушастик? Жить и любить.
- Дались тебе мои уши, - делано нахмурился эльф, всеми силами сражаясь с расплывающейся улыбкой. – А ты правда будешь… любить?
- Всем сердцем. И кое-чем еще, - уверил его демон, нацелившись на уши.
Тайлар счастливо вздохнул, и даже не стал выдергивать уши из-под загребущих лапок демона. Если уж так нравится – пусть щупает. Тем более, он же любя…
- Мой славный ушастик.
- Мой милый рогатик, - передразнил Тайлар.
- Эй, у меня нет рогов!
- Значит, будут…
Демон зарычал. Тайлар хихикнул:
- Это будет очень интересная задача – прилепить конструкт на такого деструктора, как ты… Эй, а ты что подумал? Нет, ты что подумал, я спрашиваю?
Лирс рычать перестал, сгреб эльфа.
- МОЕ!
Тайлар вырываться не стал, напротив, сам прижал к себе демона:
- Не-а, это ты мое!
- И никаких рогов!

1) Почему минус один умножить на минус один равно плюс один?
2) Почему минус один умножить на плюс один равно минус один?

«Враг моего врага - мой друг».

Проще всего ответить: «Потому что таковы правила действий над отрицательными числами». Правила, которые мы учим в школе и применяем всю жизнь. Однако учебники не объясняют, почему правила именно такие. Мы сначала постараемся понять это, исходя из истории развития арифметики, а потом ответим на этот вопрос с точки зрения современной математики.

Давным-давно людям были известны только натуральные числа: 1, 2, 3, ... Их использовали для подсчета утвари, добычи, врагов и т. д. Но числа сами по себе довольно бесполезны - нужно уметь с ними обращаться. Сложение наглядно и понятно, к тому же сумма двух натуральных чисел - тоже натуральное число (математик сказал бы, что множество натуральных чисел замкнуто относительно операции сложения). Умножение - это, по сути, то же сложение, если мы говорим о натуральных числах. В жизни мы часто совершаем действия, связанные с этими двумя операциями (например, делая покупки, мы складываем и умножаем), и странно думать, что наши предки сталкивались с ними реже - сложение и умножение были освоены человечеством очень давно. Часто приходится и делить одни величины на другие, но здесь результат не всегда выражается натуральным числом - так появились дробные числа.

Без вычитания, конечно, тоже не обойтись. Но на практике мы, как правило, вычитаем из большего числа меньшее, и нет нужды использовать отрицательные числа. (Если у меня есть 5 конфет и я отдам сестре 3, то у меня останется 5 – 3 = 2 конфеты, а вот отдать ей 7 конфет я при всем желании не могу.) Этим можно объяснить, почему люди долго не пользовались отрицательными числами.

В индийских документах отрицательные числа фигурируют с VII века н.э.; китайцы, видимо, начали употреблять их немного раньше. Их применяли для учета долгов или в промежуточных вычислениях для упрощения решения уравнений - это был лишь инструмент для получения положительного ответа. Тот факт, что отрицательные числа, в отличие от положительных, не выражают наличие какой-либо сущности, вызывал сильное недоверие. Люди в прямом смысле слова избегали отрицательных чисел: если у задачи получался отрицательный ответ, считали, что ответа нет вовсе. Это недоверие сохранялось очень долго, и даже Декарт - один из «основателей» современной математики - называл их «ложными» (в XVII веке!).

Рассмотрим для примера уравнение 7x – 17 = 2x – 2 . Его можно решать так: перенести члены с неизвестным в левую часть, а остальные - в правую, получится 7x – 2x = 17 – 2 , 5x = 15 , x = 3 . При таком решении нам даже не встретились отрицательные числа.

Но можно было случайно сделать и по-другому: перенести слагаемые с неизвестным в правую часть и получить 2 – 17 = 2x – 7x , (–15) = (–5)x . Чтобы найти неизвестное, нужно разделить одно отрицательное число на другое: x = (–15)/(–5) . Но правильный ответ известен, и остается заключить, что (–15)/(–5) = 3 .

Что демонстрирует этот нехитрый пример? Во-первых, становится понятна логика, которой определялись правила действий над отрицательными числами: результаты этих действий должны совпадать с ответами, которые получаются другим путем, без отрицательных чисел . Во-вторых, допуская использование отрицательных чисел, мы избавляемся от утомительного (если уравнение окажется посложнее, с большим числом слагаемых) поиска того пути решения, при котором все действия производятся только над натуральными числами. Более того, мы можем больше не думать каждый раз об осмысленности преобразуемых величин - а это уже шаг в направлении превращения математики в абстрактную науку.

Правила действий над отрицательными числами сформировались не сразу, а стали обобщением многочисленных примеров, возникавших при решении прикладных задач. Вообще, развитие математики можно условно разбить на этапы: каждый следующий этап отличается от предыдущего новым уровнем абстракции при изучении объектов. Так, в XIX веке математики поняли, что у целых чисел и многочленов, при всей их внешней непохожести, есть много общего: и те, и другие можно складывать, вычитать и перемножать. Эти операции подчиняются одним и тем же законам - как в случае с числами, так и в случае с многочленами. А вот деление целых чисел друг на друга, чтобы в результате снова получались целые числа, возможно не всегда. То же самое и с многочленами.

Потом обнаружились другие совокупности математических объектов, над которыми можно производить такие операции: формальные степенные ряды, непрерывные функции... Наконец, пришло понимание, что если изучить свойства самих операций, то потом результаты можно будет применять ко всем этим совокупностям объектов (такой подход характерен для всей современной математики).

В итоге появилось новое понятие: кольцо . Это всего-навсего множество элементов плюс действия, которые можно над ними производить. Основополагающими здесь являются как раз правила (их называют аксиомами ), которым подчиняются действия, а не природа элементов множества (вот он, новый уровень абстракции!). Желая подчеркнуть, что важна именно структура, которая возникает после введения аксиом, математики говорят: кольцо целых чисел, кольцо многочленов и т. д. Отталкиваясь от аксиом, можно выводить другие свойства колец.

Мы сформулируем аксиомы кольца (которые, естественно, похожи на правила действий с целыми числами), а затем докажем, что в любом кольце при умножении минуса на минус получается плюс.

Кольцом называется множество с двумя бинарными операциями (т. е. в каждой операции задействованы два элемента кольца), которые по традиции называют сложением и умножением, и следующими аксиомами:

• сложение элементов кольца подчиняется переместительному (A + B = B + A для любых элементов A и B ) и сочетательному (A + (B + C) = (A + B) + C ) законам; в кольце есть специальный элемент 0 (нейтральный элемент по сложению) такой, что A + 0 = A , и для любого элемента A есть противоположный элемент (обозначаемый (–A) ), что A + (–A) = 0 ;
• умножение подчиняется сочетательному закону: A·(B·C) = (A·B)·C ;
• сложение и умножение связаны такими правилами раскрытия скобок: (A + B)·C = A·C + B·C и A·(B + C) = A·B + A·C .

Заметим, что кольца, в самой общей конструкции, не требуют ни перестановочности умножения, ни его обратимости (т. е. делить можно не всегда), ни существования единицы - нейтрального элемента по умножению. Если вводить эти аксиомы, то получаются другие алгебраические структуры, но в них будут верны все теоремы, доказанные для колец.

Теперь докажем, что для любых элементов A и B произвольного кольца верно, во-первых, (–A)·B = –(A·B) , а во-вторых (–(–A)) = A . Из этого легко следуют утверждения про единицы: (–1)·1 = –(1·1) = –1 и (–1)·(–1) = –((–1)·1) = –(–1) = 1 .

Для этого нам потребуется установить некоторые факты. Сперва докажем, что у каждого элемента может быть только один противоположный. В самом деле, пусть у элемента A есть два противоположных: B и С . То есть A + B = 0 = A + C . Рассмотрим сумму A + B + C . Пользуясь сочетательным и переместительным законами и свойством нуля, получим, что, с одной стороны, сумма равна B : B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C , а с другой стороны, она равна C : A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C . Значит, B = C .

Заметим теперь, что и A , и (–(–A)) являются противоположными к одному и тому же элементу (–A) , поэтому они должны быть равны.

Первый факт получается так: 0 = 0·B = (A + (–A))·B = A·B + (–A)·B , то есть (–A)·B противоположно A·B , значит, оно равно –(A·B) .

Чтобы быть математически строгими, объясним еще, почему 0·B = 0 для любого элемента B . В самом деле, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B . То есть прибавление 0·B не меняет сумму. Значит, это произведение равно нулю.

А то, что в кольце ровно один ноль (ведь в аксиомах сказано, что такой элемент существует, но ничего не сказано про его единственность!), мы оставим читателю в качестве несложного упражнения.

Ответил: Евгений Епифанов

Показать комментарии (37)

Свернуть комментарии (37)

Хороший ответ. Но для уровня старшекласника-первокурсника. Мне кажется можно объяснить проще и нагляднее, на примере формулы "расстояние = скорость * время" (2 класс).

Допустим мы идем вдоль дороги, нас обгоняет машина и начинает удаляться. Время растет - и расстояние до нее растет. Скорость такой машины будем считать положительной, она может быть например 10 метров в секунду. Кстати, а сколько это километров в час? 10/1000(км)*60(сек)*60 (мин)= 10*3,6 = 36 км/ч. Немного. Наверное дорога плохая...

А вот машина идущая нам навстречу не удаляется, а приближается. Поэтому и скорость ее удобно считать отрицательной. Например -10 м/сек. Расстояние уменьшается: 30, 20, 10 метров до встречной машины. Каждая секунда - минус 10 метров. Теперь понятно почему скорость с минусом? Вот она пролетела мимо. Какое до нее расстояние через секунду? Правильно, -10 метров, т.е. "в 10 метрах позади".

Вот мы получили первое утверждение. (-10 м/сек) * (1 сек) = -10 м.
Минус (отрицательная скорость) на плюс (положительное время) дал минус (отрицательное расстояние, машина у меня за спиной).

А теперь внимание - минус на минус. Где встречная машина была за секунду ДО того как проехала мимо? (-10 м/сек) * (- 1 сек) = 10 м.
Минус (отрицательная скорость) на минус (отрицательное время) = плюс (положительное расстояние, машина была в 10 метрах у меня перед носом).

Так понятно, или кто-то знает пример еще проще?

Ответить

Да можно доказать проще! 5*2-это два раза отложить на числовой прямой, в положительную сторону, число 5, и тогда получим число 10. если 2*(-5), то отсчитываем два раза по числу 5, но уже в отрицательную сторону, и получим число(-10), теперь представим 2*(-5), как
2*5*(-1)=-10, ответ переписываем из предыдущего вычисления, а не полученного в этом, Значит можно сказать, что при умножении числа на (-1), есть перевёртывание числовой двух полярной оси, т.е. смена полярности на противоположную. То что мы отложили в положительную часть стало отрицательным и наоборот. Теперь (-2)*(-5), запишем как (-1)*2*(-5)=(-1)*(-10), отложив число (-10), и поменяв полярность оси, т.к. умножаем на (-1), получим +10, не знаю только получилось ли проще?

Ответить

С математическими минусами все вроде понятно. А вот в языке, когда задается вопрос с отрицанием как на него отвечать? Вот, например, меня всегда ставил такой вопрос в тупик: "Вы не хоти ли чая?". Как на него ответить при условии, что я чай хочу? Вроде если сказать "Да", то чая не дадут (это как + и -), если нет то должны дать (- и -), а если "Нет, не хочу"???

Ответить

Для того, что бы ответить на такой детский вопрос, нужно сперва ответить на парочку взрослых вопросов: "Что такое минус в математике?" и "Что такое умножение и деление?". Насколько понимаю я, именно там начинаются проблемы, которые в итоге приводят к кольцам и прочей ахинее при ответе на такой простой детский вопрос.

Ответить

Ответ явно не для простых школьников!
В младших классах читала чудесную книжку - ту что про Карликанию и Аль-Джебру, а может и в математическом кружке приводили пример - ставили по разные стороны знака равно двух человек с яблоками разных цветов и предлагали давать друг другу яблоки. Потом между участниками игры ставили и другие знаки - плюс, минус, больше, меньше.

Ответить

Детский ответ, да??))
Может прозвучит жестоко, но автор сам не понимает почему минус на минус даёт плюс:-)
Всё в мире можно объяснить наглядно, ведь абстракции нужны лишь для объяснения мира. Они привязаны к реальности, а не живут сами по себе в бредоватых учебниках.
Хотя для объяснения нужно как минимум знать физику а иногда и биологию в купе с основами нейрофизиологи человека.

Но тем не менее, первая часть дала надежду понять, и очень доступно объяснила необходимость отрицательных чисел.
Но вторая традиционно съехала в шизофрению. А и В - это должны быть реальные объекты! так зачем же их называть этими буквами, когда можно взять например буханки хлеба или яблоки
Если.. если было бы можно... да?))))))

И... даже пользуясь правильной основой из первой части (что умножение это то же сложение) - с минусами получается противоречие))
-2 + -2 = -4
но
-2 * -2 =+4))))
и даже если считать что это минус два, взятое минус два раза, то получится
-2 -(-2) -(-2) = +2

Стоило просто признаться, что раз числа виртуальные, то для относительно правильного учёта пришлось придумать виртуальные правила.
И это было бы ПРАВДОЙ, а не окольцованной чушью.

Ответить

В своём примере Academon допустил ошибку:
На самом деле (-2)+(-2) = (-4) – это 2 раза по (-2), т.е. (-2) * 2 = (-4).
Что же касается умножения двух отрицательных чисел, без противоречий, это то же сложение, только с другой стороны от «0» на числовой прямой. А именно:
(-2) * (-2) = 0 –(-2) –(-2) = 2 + 2 = 4. Так что всё сходится.
Ну, а относительно реальности отрицательных чисел, как вам такой пример?
Если у меня в кармане, допустим, 1000$, настроение моё можно назвать «положительным».
Если 0$, соответственно состояние будет «никаким».
А если (-1000)$ – долг, который надо возвращать, а денег нет...?

Ответить

Минус на минус - всегда будет плюс,
Отчего так бывает - сказать не берусь.

Почему -на-=+ привел меня в недоумение еще в школе, в 7 классе (1961 г). Я попытался придумать другую, более "справедливую" алгебру, где +на+=+, а -на-=-. Так мне показалось будет честнее. Но как тогда быть с +на- и -на+? Потерять коммутативность xy=yx не хотелось, а иначе не выходит.
А что если взять не 2 знака а три, например +, - и *. Равноправные и симметричные.

СЛОЖЕНИЕ
(+a)+(-a),(+a)+(*a),(*a)+(-a) не складывются(!), как действительная и мнимая части комплексного числа.
Но за то (+a)+(-a)+(*a)=0.

Например, чему равно (+6)+(-4)+(*2)?

(+6)=(+2)+(+2)+(+2)
(-4)=(-2)+(-2)
(*2)=(*2)
(+2)+(-2)+(*2)=0
(+6)+(-4)+(*2)=(+2)+(+2)+(+2)+(-2)+(-2)+(*2)=(+2)+(+2)+(-2)= (+4)+(-2)
Не просто, но привыкнуть можно.

Теперь УМНОЖЕНИЕ.
Постулируем:
+на+=+ -на-=- *на*=* (справедливо?)
+на-=-на+=* +на*=*на+=- -на*=*на-=+ (справедливо!)
Казалось бы все хорошо, но умножение не ассоциативно, т.е.
а(bс) не равно (аb)с.

А если так
+на+=+ -на-=* *на*=-
+на-=-на+=- +на*=*на+=* -на*=*на-=+
Опять несправедливо, + выделен как особый. НО родилась НОВАЯ АЛГЕБРА с тремя знаками. Коммутативная, ассоциативная и дистрибутивная. У нее есть геометрическая интерпретация. Она изоморфна Комплексным числам. Ее можно расширять дальше: четыре знака, пять...
Такого еще не было. Берите, люди, пользуйтесь.

Ответить

Детский вопрос - вообще детский ответ.
Есть наш мир, где всё "плюс": яблоки, игрушки, кошки и собаки, они настоящие. Яблоко можно съесть, кошку можно погладить. А ещё есть придуманный мир, зазеркалье. Там тоже есть яблоки и игрушки, зазеркальные, мы можем их представить, но потрогать не можем - они придуманные. Попасть из одного мира в другой мы можем с помощью знака "минус". Если у нас есть два настоящих яблока (2 яблока), и мы поставим знак минус (-2 яблока) - получим два придуманных яблока в зазеркалье. Знак минус переносит нас из одного мира в другой, туда-обратно. Зазеркальных яблок в нашем мире нет. Мы можем их представить целую кучу, даже миллион (минус миллион яблок). Вот только съесть их не получится, потому что минус яблок у нас нет, все яблоки в наших магазинах - это плюс яблоки.
Умножить - значит расставить какие-нибудь предметы в виде прямоугольника. Возьмём две точки ":" и умножим их на три, получим: ": : :" - всего шесть точек. Можно взять настоящее яблоко (+Я) и умножить его на три, получим: "+ЯЯЯ" - три настоящих яблока.
А теперь умножим яблоко на минус три. Мы снова получим три яблока "+ЯЯЯ", но знак минус перенесёт нас в зазеркалье, и у нас окажется три зазеркальных яблока (минус три яблока -ЯЯЯ).
А теперь умножим минус яблоко (-Я) на минус три. То есть берём яблоко, а коли перед ним минус - переносим в зазеркалье. Там мы умножаем его на три. Теперь у нас три зазеркальных яблока! Но остался ещё один минус. Он переместит полученные яблоки назад, в наш мир. В итоге получим три настоящих вкусных яблока +ЯЯЯ, которые можно слопать.

Ответить

• Всё хорошо до последнего шага. При умножении на минус единицу трёх зеркальных яблок, мы должны отразить эти яблоки ещё в одном зеркале. Они по расположению будут совпадать с реальными, но будут такими же мнимыми, как и первые зеркальные и такими же несъедобными. То есть (-1)*(-1)= --1 <> 1.

  На самом деле меня смущает другой момент связанный с умножением отрицательных чисел, а именно:

  Верно ли равенство:
  ((-1)^1,5)^2 = ((-1)^2)^1,5 = (-1)^3 ?

  Этот вопрос возник из попытки осознать поведение графика функции y=x^n, где x и n - действительные числа.
  Получается что график функции расположен будет в 1 и 3 четвертях всегда, кроме тех случаев когда n - чётное. При этом меняется лишь кривизна графика. Но чётность n - величина относительная, ведь мы можем принять другую систему отсчёта, в которой n = 1,1*k, далее мы получаем
  y = x^(1,1*k) = (x^1,1)^k
  и чётность здесь будет уже другая...

  И в добавок я предлагаю добавить к рассуждению то что происходит с графиком функции y = x^(1/n). Я не без оснований предполагаю что график функции должен быть симметричен графику y = x^n относительно графика функции y = x.

  Ответить

Есть несколько способов объяснения правила "минус на минус дает плюс".Вот самый простой. Умножение на натур. число n - это растяжение отрезка (расположенного на числовой оси) в n раз. Умножение на -1 это отражение отрезка относительно начала координат. В качестве кратчайшего объяснения, почему (-1)*(-1) = +1 этот способ пригоден.Узкое место этого подхода в том, что нужно еще отдельно определить сумму таких операторов.

Ответить

Можно идти при объяснении от комплексных чисел
как более общей формы представления чисел
Тригонометрическая форма комплексного числа
Формула Эйлера
Знак в этом случае это просто аргумент (угол поворота)
При умножении углы складываются
0 градусов соответствует +
180 градусов соответствует -
Умножение - на - эквивалентно 180+180=360=0

Ответить

Такое покатит?

Отрицания - это обратная вещь. Для простоты, чтобы временно отойти от минусов, заменим утверждения и сделаем точку отсчета больше. Начнем отсчет не с нуля, а с 1000.

Допустим, мне два человека должны дать по два рубля: 2_человека*2_рубля=4_рубля мне должны в сумме. (мой баланс 1004)

Теперь обратные (отрицательные числа, но обратные/положительные утверждения):

минус 2 человека = значит не мне должны, а я должен (я должен большему числу людей, чем мне должны). Например, я должен 10-и людям, а мне всего 8. Взаимные расчеты можно сократить и не учитывать, но можно иметь ввиду, если удобнее работать с положительными числами. То есть все друг другу выдают деньги.

минус 2 рубля = аналогичный принцип - должно забрать больше, чем дать. Значит я каждому должен по два рубля.

-(2_человека)*2_рубля=я_должен_каждому_по_2=-4 у меня. Мой баланс 996 рублей.

2_человека*(-2_рубля)=двое_должы_забрать_по_2_рубля_у_меня=- 4 у меня. Мой баланс 996 рублей.

-(2_человека)*(-2_рубля)= каждый_должен_взять_у_меня_меньше_чем_должен_дать_на_2_рубля

Вообще, если представить, что все крутится не около 0, а около, к примеру, 1000, а выдают денег по 10, забирая по 8. То можно последовательно выполняя все операции выдачи кому-то денег или отбирания, придти к выводу, что если двое лишних (остальных сократим взаимозачетом) заберут у меня на два рубля меньше, чем вернут, то мое благосостоянии вырастет на положительную цифру 4.

Ответить

В поисках ПРОСТОГО (понятного ребенку) ответа на поставленный вопрос ("Почему минус на минус дает плюс") я старательно прочла и предложенную автором статью, и все комментарии. Считаю наиболее удачным ответом тот, который вынесен в эпиграф: "Враг моего врага - мой друг". Куда уж понятнее! Просто и гениально!

Некий путешественник прибывает на остров, о жителях которого ему известно лишь одно: некоторые из них говорят только правду, другие - только ложь. Внешне их различить невозможно. Путешественник высадился на берег и видит дорогу. Он хочет узнать, ведет ли эта дорога в город. Увидев на дороге местного жителя, он задает ему ТОЛЬКО ОДИН вопрос, позволяющий ему узнать, что дорога в город ведет. Как он спросил об этом?

Решение - тремя строками ниже (просто чтобы сделать паузу и дать вам, взрослым, шанс приостановиться и подумать над этой замечательной задачей!) Моему внуку-третьекласснику задачка оказалась пока не по зубам, но осмысление ответа, без сомнения, приблизило его к пониманию грядущих математических премудростей типа "минус на минус дает плюс".

Итак, ответ:

"Если бы я спросил у вас, ведет ли эта дорога в город, что бы вы мне ответили?"

«Алгебраическое» объяснение не смогло поколебать ни моей горячей любви к отцу, ни глубокого уважения к его науке. Но я навсегда возненавидел аксиоматический метод с его немотивированными определениями.

Интересно, что этот ответ И.В.Арнольда на детский вопрос практически совпал по времени с выходом в свет его книги "Отрицательные числа в курсе алгебры". Там (в главе 7) приводится совершенно другой ответ, по-моему, очень наглядный. Книга доступна в электронном виде http://ilib.mccme.ru/djvu/klassik/neg_numbers.htm

Ответить

Если есть парадокс, нужно искать ошибки в основах. В формулировке умножения три ошибки. Отсюда и получается "парадокс". Нужно просто добавить ноль.

(-3) х (-4) = 0 - (-3) - (-3) - (-3) - (-3) = 0 + 3 + 3 + 3 + 3 = 12

Умножение - это многократное прибавление к нулю (или вычитание из нуля).

Множитель (4) показывает количество операций прибавления или вычитания (количество знаков "минус" или "плюс" при разложении умножения на сложение).

Знаки "минус" и "плюс" у множителя (4) предписывают либо вычитать множимое из нуля, либо прибавлять множимое к нулю.

Конкретно в этом примере (-4) указывает, что нужно вычесть ("-") из нуля множимое (-3) четыре раза (4).

Исправьте формулировку (три логические ошибки). Просто добавьте ноль. Правила арифметики от этого не изменятся.

Подробно на эту тему здесь:

http://mnemonikon.ru/differ_pub_28.htm

Что за привычка механически верить учебникам? Нужно и собственные мозги иметь. Особенно, если встречаются парадоксы, белые пятна, явные противоречия. Все это следствие ошибок в теории.

Разложить на слагаемые произведение двух отрицательных чисел, по существующей сейчас формулировке умножения (без нуля), невозможно. Это никого не напрягает?

Что же это за формулировка умножения, по которой невозможно выполнить умножение? :)

Проблема ещё и чисто психологическая. Слепое доверие авторитетам, нежелание думать самостоятельно. Если в учебниках так написано, если в школе так учат, значит, это истина в последней инстанции. Все меняется, в том числе и науки. Иначе бы не было развития цивилизации.

Исправьте формулировку умножения во всех учебниках! Правила арифметики от этого не изменятся.

Более того, как следует из статьи по ссылки выше, исправленная формулировка умножения станет аналогичной формулировки возведения числа в степень. Там тоже не записывают единицу при возведении в положительную степень. Однако записывают единицу при возведении числа в отрицательную степень.

Господа математики, вашу мать, нужно всегда записывать ноль и единицу, даже если результат от их отсутствия не изменяется.

Изменяется (или даже пропадает) смысл от сокращенных записей. И появляются проблемы с пониманием у школьников.

Ответить

Написать комментарий

Рекомендуем почитать

Служба

Открытый урок "Правописание приставок пре- и при-"6 класс «Правописание приставок при- и пре-«

Воинский учет

Десять открытий российских ученых, которые потрясли мир

Болезни

«Правописание суффиксов причастий

Болезни

Секретные фото луны Загадочные объекты на луне

Служба

Книга: Генри Форд. Моя жизнь. Мои достижения. Генри Форд: Моя жизнь, мои достижения

Военный билет

Как отличаются баллы ЕГЭ по регионам: результаты школьников и региональное неравенство