Магнитное поле кругового проводника с током. Магнитное поле кругового тока
Правило буравчика. Наглядное представление о характере магнитного поля, возникающего вокруг какого-либо проводника, по которому идет электрический ток, дают картины линий магнитного поля, получаемые так, как это было описано в § 122.
На рис. 214 и 217 изображены такие картины линий, полученные с помощью железных опилок для поля длинного прямолинейного проводника и для поля кругового витка с током. Рассматривая внимательно эти рисунки, мы прежде всего обращаем внимание на то, что линии магнитного поля имеют, вид замкнутых линий. Это свойство их является, общим и очень важным. Какова бы ни была форма проводников, по которым идет ток, линии создаваемого им магнитного поля всегда замкнуты сами на себя, т. е. не имеют ни начала, ни конца. В этом существенное отличие магнитного поля от электрического, линии которого, как мы видели в § 18, всегда начинаются на одних зарядах и кончаются на других. Мы видели, например, что линии электрического поля заканчиваются на поверхности металлического тела, которая оказывается заряженной, и внутрь металла электрическое поле не проникает. Наблюдение же над магнитным полем показывает, наоборот, что линии его никогда не оканчиваются на какой-нибудь поверхности. Когда магнитное поле создается постоянными магнитами, то не так легко проследить, что и в этом случае магнитное поле не оканчивается на поверхности магнитов, а проникает внутрь их, ибо мы не можем использовать железные опилки для наблюдения того, что делается внутри железа. Однако и в этих случаях тщательное исследование показывает, что магнитное поле проходит сквозь железо, и линии его замыкаются сами на себя, т. е. являются замкнутыми.
Рис. 217. Картина линий магнитного поля кругового витка с током
Это важное различие между электрическими и магнитными полями связано с тем, что в природе существуют электрические заряды и не существует магнитных. Поэтому линии электрического поля идут от заряда к заряду, у магнитного же поля нет ни начала ни конца, и линии его имеют замкнутый характер.
Если в опытах, дающих картины магнитного поля тока, заменить опилки маленькими магнитными стрелками, то северные концы их укажут направление линий поля, т. е. направление поля (§ 122). Рис. 218 показывает, что при изменении направления тока изменяется и направление магнитного поля. Взаимную связь между направлением тока и направлением поля, им создаваемого, легко запомнить при помощи правила буравчика (рис. 219).
Рис. 218. Связь между направлением тока в прямолинейном проводнике и направлением линий магнитного поля, создаваемого этим током: а) ток направлен сверху вниз; б) ток направлен снизу вверх
Рис. 219. К правилу буравчика
Если ввинчивать буравчик (правый винт) так, чтобы он шел по направлению тока, то направление вращения его ручки укажет направление поля (направление линий поля).
В такой форме это правило особенно удобно для установления направления поля вокруг длинных прямолинейных проводников. В случае кольцевого проводника то же правило применимо к каждому участку его. Еще удобнее для кольцевых проводников правило буравчика сформулировать так:
Если ввинчивать буравчик так, чтобы он шел по направлению поля (вдоль линий поля), то направление вращения его ручки укажет направление тока.
Нетрудно видеть, что обе формулировки правила буравчика совершенно равноценны и их можно одинаково применять к определению связи между направлением тока и направлением магнитной индукции поля при любой форме проводников.
124.1. Укажите, какой из полюсов магнитной стрелки на рис. 73 северный и какой южный.
124.2. К вершинам и проволочного параллелограмма (рис. 220) подведены провода от источника тока. Какова магнитная индукция поля в центре параллелограмма ? Как будет направлена магнитная индукция в точке , если ветвь параллелограмма сделать из медной проволоки, а ветвь – из алюминиевой проволоки того же сечения?
Рис. 220. К упражнению 124.2
124.3. Два длинных прямолинейных проводника и , не лежащих в одной плоскости, перпендикулярны друг к другу (рис. 221). Точка лежит посередине кратчайшего расстояния между этими прямыми – отрезка . Токи в проводниках и равны и имеют указанное на рисунке направление. Найдите графически направление вектора в точке . Укажите, в какой плоскости лежит этот вектор. Какой угол образует он с плоскостью, проходящей через и ?
Рис. 221. К упражнению 124.3
124.4. Выполните то же построение, что в задаче 124.3, переменив на обратное: а) направление тока в проводнике ; б) направление тока в проводнике ; в) направление тока в обоих проводниках.
124.5. По двум круговым виткам – вертикальному и горизонтальному идут токи одной и той же силы (рис. 222). Направления их указаны на рисунке стрелками. Найдите графически направление вектора в общем центре витков . Под каким углом будет наклонен этот вектор к плоскости каждого из круговых витков? Выполните то же построение, изменив направление тока на обратное сначала в вертикальном витке, затем в горизонтальном и, наконец, в обоих.
Рис. 222. К упражнению 124.5
Измерения магнитной индукции в разных точках поля вокруг проводника, по которому идет ток, показывают, что магнитная индукция в каждой точке всегда пропорциональна силе тока в проводнике. Но при данной силе тока магнитная индукция в различных точках поля различна и чрезвычайно сложно зависит от размеров и формы проводника, по которому проходит ток. Мы ограничимся одним важным случаем, когда эти зависимости сравнительно просты. Это – магнитное поле внутри соленоида.
Пусть постоянный электрический ток силой I протекает по плоскому круглому контуру радиуса R . Найдем индукцию поля в центре кольца в точке O (рис. 431).
рис. 431
Мысленно разобьем кольцо на малые участки, которые можно считать прямолинейными, и применим закон Био -Саварра-Лапласа для определения индукции поля, создаваемого этим элементом, в центре кольца. В данном случае вектор элемента тока (IΔl) k
и вектор r k
, соединяющий данный элемент с точкой наблюдения (центр кольца), перпендикулярны, поэтому sinα = 1
. Вектор индукции поля, созданного выделенным участком кольца, направлен вдоль оси кольца, а его модуль равен
Для любого другого элемента кольца ситуация абсолютно аналогична − вектор индукции также направлен по оси кольца, а его модуль определяется формулой (1). Поэтому суммирование этих векторов выполняется элементарно и сводится к суммированию длин участков кольца
Усложним задачу − найдем индукцию поля в точке A
, находящейся на оси кольца на расстоянии z
от его центра (рис. 432).
рис. 432
По-прежнему, выделяем малый участок кольца (IΔl) k
и строим вектор индукции поля ΔB k
, созданным этим элементом, в рассматриваемой точке. Это вектор перпендикулярен вектору r
, соединяющему выделенный участок с точкой наблюдения. Векторы (IΔl) k
и r k
, как и ранее, перпендикулярны, поэтому sinα = 1
. Так кольцо обладает осевой симметрией, то суммарный вектор индукции поля в точке A
должен быть направлен по оси кольца. К этому же выводу о направлении суммарного вектора индукции можно прийти, если заметить, что каждому выделенному участку кольца имеется симметричный ему с противоположной стороны, а сумма двух симметричных векторов направлена вдоль оси кольца. Таким образом, для того чтобы определить модуль суммарного вектора индукции, необходимо просуммировать проекции векторов на ось кольца. Эта операция не представляет особой сложности, если учесть, расстояния от всех точек кольца до точки наблюдения одинаковы r k = √{R 2 + z 2 }
, а также одинаковы углы φ
между векторами ΔB k
и осью кольца. Запишем выражение для модуля искомого суммарного вектора индукции
Из рисунка следует, что cosφ = R/r
, с учетом выражения для расстояния r
, получим окончательное выражение для вектора индукции поля
Как и следовало ожидать, в центре кольца (при z = 0
) формула (3) переходит в полученную ранее формулу (2).
Задания для самостоятельной работы.
1.
Постройте график зависимости индукции поля (3) от расстояния до центра кольца.
2.
Сравните полученную зависимость (3) с выражением для модуля напряженности электрического поля, создаваемого равномерно заряженным кольцом (36.6) . Объясните возникшие принципиальные различия между этими зависимостями.
Используя общий рассматриваемый здесь метод, можно рассчитать индукцию поля в произвольной точке. Рассматриваемая система обладает осевой симметрией, поэтому достаточно найти распределение поля в плоскости, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр. Пусть кольцо лежит в плоскости xOy
(рис. 433),
рис. 433
а поле рассчитывается в плоскости yOz
. Кольцо следует разбить на малые участки, видимые из центра под углом Δφ
и просуммировать поля создаваемые этими участками. Можно показать (попробуйте проделать это самостоятельно), что компоненты вектора магнитной индукции поля, создаваемого одним выделенным элементом тока, в точке с координатами (y, z
) рассчитываются по формулам:
Необходимое суммирование не может быть проведено аналитически, так как при переходе от одного участка кольца к другому изменяются расстояния до точки суммирования. Поэтому «простейший» способ провести такое суммирование − использовать компьютер.
Если же известно значение вектора индукции (или хотя бы имеется алгоритм его расчета) в каждой точке, то можно построить картину силовых линий магнитного поля. Очевидно, что алгоритм построения силовых линий векторного поля не зависит от его физического содержания, а такой алгоритм был кратко рассмотрен нами при изучении электростатики.
На рис. 434 картина силовых линий рассчитана при разбиении кольца на 20
частей, этого оказалось вполне достаточно, так как и при 10
интервалах разбиения получался практически тот же рисунок.
рис. 434
Рассмотрим выражение для индукции поля на оси кольца на расстояниях значительно больших радиуса кольца z >> R
. В этом случае формула (3) упрощается и приобретает вид
где IπR 2 = IS = p m
− произведение силы тока на площадь контура, то есть магнитный момент кольца. Эта формула совпадает (если как обычно, заменить μo в числителе на ε o
в знаменателе) с выражением для напряженности электрического поля диполя на его оси.
Такое совпадение не случайно, более того, можно показать, что подобное соответствие справедливо для любой точки поля, находящейся на больших расстояниях от кольца. Фактически малый контур с током является магнитным диполем (два одинаковых малых противоположно направленных элемента тока) − поэтому его поле совпадает с полем
1 Магнитостатика – раздел классической электродинамики, изучающий взаимодействие постоянных токов посредством создаваемого ими постоянного магнитного поля и способы расчета магнитного поля в этом случае.
Магнитное поле – силовое поле, действующее на движущиеся электрические заряды и на тела, обладающие магнитным моментом.
2 Сила Лоренца – сила, действующая на заряженную частицу, движущуюся в электромагнитном поле.
Fm – сила, действующая на движущийся точечный заряд q в магнитном поле.
Вектор В называется напряженностью магнитного поля, v – скорость частицы, с – постоянная, выбор ее значения и размерности определяется системой единиц.
Измерим силу, когда заряд движется перпендикулярно к В со скоростью
,
умножив векторно на
, учитывая
,
получим
В
электрическом поле
,
так как при действии электрического и
магнитного полей, сила действующая на
частицу складывается из магнитной и
электрической составляющих.
4 Закон Био-Савара - закон для определения вектора индукции магнитного поля, порождаемого постоянным электрическим током
Поднесем заряд к магниту на подвесе. Магнитное поле пропорционально скорости движения частицы. Чем больше заряд, тем сильнее отклонение, а также магнитное поле обратно пропорционально квадрату расстояния.
r
–
радиус-вектор проведенный от заряда к
точке наблюдения, с- постоянная зависящая
от выбора системы единиц
-
электрическое поле неподвижного заряда
В гауссовой системе единиц величины В и Е имеют одинаковую размерность. Постоянная с" для простоты выбирается равной с, с – электродинамическая постоянная, по измерениям она совпадает со скоростью света в вакууме.
или
-
закон Био-Савара для объемного элемента
с током
-
для линейного
Опытной проверке доступна только интегральная форма закона Био-Савара, так как выражения применимы для постоянных токов, а постоянные токи замкнуты, следовательно, невозможно выделить отдельные участки постоянных токов и экспериментировать с ними.
5 Принцип суперпозиции для магнитного поля магнитные поля отдельных движущихся зарядов векторно складываются, причем каждый заряд возбуждает поле, совершенно не зависящее от наличия других зарядов.
6 Магнитное поле прямого и кругового токов.
Магнитное поле прямого тока, т е тока текущего по прямому проводу бесконечной длины
-
магнитное поле элемента тока
,dl
–
элемент длины провода
Проинтегрировав в этих пределах последнее выражение получим магнитное поле равное:
-магнитное
поле прямого тока
от
всех элементов тока будет образовываться
конус векторов
,
результирующий вектор направлен вверх
по осиZ.
Сложим проекции векторов
на осьZ,
тогда каждая проекция имеет вид:
угол между и радиус векторомr равен .
Интегрируя по dl и учитывая , получим
-
магнитное поле на оси кругового витка
7 Линии напряженности магнитного поля –
Силовые
линии магнитного поля –
окружности. Линиями
магнитного поля линии, проведенные так,
что касательные к ним в каждой точке
указывают направление поля в этой точке.
линии поля чертятся так, чтобы их
густота, т. е. число линий, проходящих
через единицу площади, давала модуль
магнитной индукции магнитного поля.
Таким образом, мы будем получать
«магнитные карты», способ построения
и употребления которых аналогичен
«электрическим картам» Главное отличие
магнитного поля то, что линии его всегда
оказываются замкнутыми.
построение линий магнитного поля
8 Магнитный момент контура с током
Магнитный момент – величина, характеризующая магнитные свойства вещества.
-
результирующая сила действующая на
виток с током в постоянном магнитном
поле. Если поле однородно, то В –
постоянная выносится из под интеграла, а
= 0
плоский
виток, плоскость которого параллельна
магнитному полю В
Где
- высота
,
Момент сил, образуемый силами F1
и F2.
- плечо пары,
- площадь четырехугольника.
,
S
–
площадь, охватываемая рассматриваемым
витком тока
в
векторной форме
Магнетизм
Характеристики магнитного поля (напряженность, индукция). Силовые линии, напряженность и магнитная индукция прямого тока, в центре кругового тока.
ИНДУКЦИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
Магнитная индукция - векторная величина: в каждой точке поля вектор магнитной индукции направлен по касательной к магнитным силовым линиям.
Наличие магнитного поля обнаруживается по силовому воздействию на внесенные в него проводники с током или постоянные магниты. Название «магнитное поле» связывают с ориентацией магнитной стрелки под действием поля, создаваемого током. Это явление было впервые обнаружено датским физиком Х. Эрстедом (1777-1851).
При исследовании магнитного поля были установлены два факта :
1. Магнитное поле действует только на движущиеся заряды;
2. Движущиеся заряды, в свою очередь создают магнитное поле.
Таким образом, мы видим, что магнитное поле существенно отличается от электростатического поля, которое действует как на движущиеся, так и на покоящиеся заряды.
Магнитное поле – силовое поле, действующее на движущиеся электрические заряды и на тела, обладающие магнитным моментом.
Любое магнитное поле обладает энергией, которая проявляет себя при взаимодействии с другими телами. Под влиянием магнитных сил движущиеся частички меняют направление своего потока. Магнитное поле появляется лишь вокруг тех электрических зарядов, которые находятся в движении. Всякое изменение электрического поля влечет за собой появление магнитных полей.
Обратное утверждение также верно: изменение магнитного поля - предпосылка к возникновению электрического. Такое тесное взаимодействие привело к созданию теории электромагнитных сил, с помощью которых и сегодня успешно объясняются различные физические явления.
Напряжённость магни́тного по́ля - векторная физическая величина, равная разности вектора магнитной индукции B и вектора намагниченности M . Обычно, обозначается символом Н .
Магнитное поле прямого и кругового токов.
Магнитное поле прямого тока, т е тока текущего по прямому проводу бесконечной длины
Магнитное поле элемента тока ,dl – элемент длины провода 
Проинтегрировав в этих пределах последнее выражение получим магнитное поле равное:
Магнитное поле прямого тока
от всех элементов тока будет образовываться конус векторов , результирующий вектор направлен вверх по осиZ. Сложим проекции векторов на осьZ, тогда каждая проекция имеет вид:
Угол между и радиус векторомr равен .
Интегрируя по dl и учитывая , получим
- магнитное поле на оси кругового витка
Линии напряженности магнитного поля
Силовые линии магнитного поля – окружности. Линиями магнитного поля линии, проведенные так, что касательные к ним в каждой точке указывают направление поля в этой точке. линии поля чертятся так, чтобы их густота, т. е. число линий, проходящих через единицу площади, давала модуль магнитной индукции магнитного поля. Таким образом, мы будем получать «магнитные карты», способ построения и употребления которых аналогичен «электрическим картам» Главное отличие магнитного поля то, что линии его всегда оказываются замкнутыми. 
построение линий магнитного поля
что линии магнитной индукции поля кругового тока не являются правильными окружностями, они замыкаются, обходя проводник, по которому идет ток. Направление линий магнитной индукции можно определить с помощью правила правого винта (правило буравчика): если головку винта вращать в направлении тока в проводнике, то поступательное движение острия винта покажет направление магнитной индукции в центре кругового тока .
Закон Био́-Савара-Лапла́са - физический закон для определения вектора индукции магнитного поля, порождаемого постоянным электрическим током.
При прохождении постоянного тока по замкнутому контуру, находящемуся в вакууме, для точки, отстоящей на расстоянии r0, от контура магнитная индукция будет иметь вид.
Где I ток в контуре гамма контур, по которому идет интегрирование r0 произвольная точка
Циркуляцией магнитного поля вдоль замкнутого контура l называется интеграл:
,
где - проекция вектора на направление касательной к линии контура в данной точке.
Соответствующий интеграл для электрического поля в электростатике, как мы знаем, равен нулю, что отражает свойство потенциальности электростатического поля:
Магнитное поле не является потенциальным , оно, как было показано выше, является соленоидальным. Поэтому следует ожидать, что циркуляция магнитного поля вдоль замкнутого контура в общем случае отлична от нуля. Чтобы найти ее величину, выполним сначала некоторые вспомогательные действия.
Поле соленоида и тороидаСоленоид – цилиндрическая катушка, состоящая из большого числа витков, равномерно намотанных на сердечник. Тороид можно рассматривать как длинный соленоид, свернутый в кольцо
внутри соленоида поле однородно, а вне соленоида не однородно и очень слабое (можно считать, равным нулю).
Циркуляция вектора В
по замкнутому контуру, совпадающему с одной из линий магнитной индукции, охватывающему все N
витков, согласно (4.12) равна: 
.
Магнитное поле внутри тороида, так же, как в соленоиде, однородно, сосредоточено внутри; вне тороида магнитное поле, создаваемое круговыми токами тороида, равно нулю. Величина магнитного поля в тороиде определяется выражением причем длина тороида l берется по средней длине тороида (среднему диаметру).
Где μ0 – постоянная величина, которую называют магнитной постоянной. Введение магнитной постоянной в СИ упрощает запись ряда формул. Ее численное значение равно
Магни́тный пото́к - поток как интеграл вектора магнитной индукции через конечную поверхность . Определяется через интеграл по поверхности
Также магнитный поток можно рассчитать как скалярное произведение вектора магнитной индукции на вектор площади.