Классификация функций принадлежности нормальных нечеткихмножеств. Определение нечеткого множества

Нечеткая логика – одно из интереснейших и активно развивающихся направлений теории искусственного интеллекта. Отличие теории нечетких множеств от классической теории четких множеств состоит в том, что если для четких множеств результатом вычисления функции принадлежности могут быть только два значения – ноль или единица, то для нечетких множеств это количество бесконечно, но ограничено диапазоном от нуля до единицы.В статье рассматриваются способы и примеры определения значений функции принадлежности, а именно частотный анализ, экспертный метод нормирования и метод попарных сравнений, L-R – функции. Рассмотренные методы просты в применении.Материалы данной статьи представляют методическую и практическую ценность для преподавателей и студентов, интересующихся вопросами нечеткого моделированияи анализа данных.

Ключевыеслова: нечеткая логика

функция принадлежности

1. Курзаева Л.В., Новикова Т.Б., Лактионова Ю.С., Петеляк В.Е. Применение метода попарных сравнений для определения функции принадлежности нечеткой переменной в задачах управления социально-экономическими системами // Научно-практический журнал «Заметки ученого». - 2015 - №5. - С.87-90

2. Курзаева Л.В. Нечеткая логика и нейронные сети. – Магнитогорск: Изд-во Магнитогорск, гос.тех. ун-та им. Г.И.Носова, 2016.

4. Курзаева Л.В. Введение в теорию систем и системный анализ: учеб. пособие/Л.В. Курзаева. -Магнитогорск: МаГУ, 2015. -211 с.

5. Курзаева Л.В. Введение в методы и средства получения и обработки информации для задач управления социальными и экономическими системами: учеб. пособие / Л.В. Курзаева, И.Г. Овчинникова, Г.Н. Чусавитина. -Магнитогорск: Магнитогорск. гос. техн. ун-та им. Г.И. Носова, 2016. -118 с.

Все методы определения значений функций принадлежности условно можно разделить на следующие группы: прямые методы, косвенные методы, L-R & dash; функции.

К первой группе методов можно отнести частотный анализ по результатам опросов экспертов.

Пример. По результатам опросов респондентов по прогнозам цены литра молока в 2016 г. получены следующие результаты (табл.1).

Ко второй группе методов можно отнести экспертные методы (например, анкетный метод нормирования, а также метод попарных сравнений).

Метод нормирования, заключается в следующем. Эксперту предлагается оценить степень принадлежности к множеству А каждого элемента из Ux1 & dash; х, соотнеся свое мнение со значениями по некоторой, заранее выбранной шкале (например, от 0 до 100%, или относительных величинах от 0 до 1, или любой другой).

Результаты опроса нескольких экспертов сводятся в матрицу опроса (табл. 2).

Затем производятся следующая последовательность действий:

Таблица 1

Данные по опросу экспертов о прогнозируемой цене на молоко в 2016 г

Матрица опроса нескольких экспертов

Пример. В табл. 3 приведены результаты опроса четырех экспертов о степени принадлежности трех элементов & dash; автомобилей «Chevrolet iva», «JeepGra dCherokee», «CheryTiggo F» множеству «Внедорожники», оцененные по 100 бальной шкале.

Таблица 3

Матрица опроса

Рассчитывается сумма весов, даваемых i-м экспертом всем элементам:

Таблица 4

Рассчитывается относительный вес j-го элемента на основании оценки i-го эксперта:

Таблица 5

Матрица опроса с элементами расчетов

Рассчитывается результирующий вес j-го элемента:

Таблица 6

Итак, согласно собранным данным и методу расчета множестово«Внедорожники» ={0,43/ «JeepGra dCherokee»; 0,29/ «Chevrolet iva»; 0,28/ «CheryTiggo F»}

Метод попарных сравнений, заключается в том, что только один эксперт на основе своего субъективного мнения оценивает принадлежность элемента данному множеству относительно другого элемента. Для проведения субъективных парных сравнений Т. Саати была разработана шкала относительной важности, ее модификация приведена в табл. 7:

Таблица 7

Матрица опроса с элементами расчетов и результатами

Результаты попарного сравнения элементов заносятся в матрицу сравнения размерности n×n, где n число сравниваемых элементов. Элемент указанной матрицы выражает результат сравнения элементов i и j. Если при сравнении элементов i и j получено a(i,j)=b, то результатом сравнения элементов jи iдолжно быть a(j,i)=1/b. Очевидно, что диагональные элементы матрицы равны 1.

Т. Саати предложил упрощенную процедуру вычисления вектора w. Пусть v& dash; вектор геометрических средних строк некоторой матрицы сравнения:

Тогда вектор wбудет определяться следующим образом:

Пример. По результатам оценки эксперта степени принадлежности трех элементов & dash; значений температур в градусах Цельсия определить множество «Холодно».

Соответствующие матрицам сравнения векторы локальных приоритетов находятся следующим образом:

Рис. 1. Примеры L-R -функций

Итак, по данным расчетов «Холодно»={0,747/ -25; 0,134/ -10; 0,119/-5}.

Третью группу составляют способы на основе использования так называемые L-R & dash; функций (типовых форм кривых рис. 1) для задания функций принадлежности с уточнением их параметров путем приближения к реальным данным.

Пример. Если мы оцениваем параметр качественно, например, говоря: «Это значение параметра является средним», необходимо ввести уточняющее высказывание типа « Среднее значение — это примерно от a до b», которое есть предмет экспертной оценки (нечеткой классификации), и тогда можно использовать для моделирования трапециевидную функцию.

Если мы хотим выразить «приблизительно равно α», то можно использовать треугольные функции.

Библиографическая ссылка

Курзаева Л.В. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ НЕЧЕТКОГО МНОЖЕСТВА // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2016. – № 12-6. – С. 1047-1051;
URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=10983 (дата обращения: 06.04.2019). Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»

Функция принадлежности μ A (x) ∈ ставит в соответствие каждому числу

x ∈ X число из интервала , характеризующее степень принадлежности решения к подмножеству А.

Т.е. это некоторая не вероятностная субъективная мера нечеткости, определяемая в результате опроса экспертов о степени соответствия элемента x понятию, формализуемому нечетким множеством A. В отличие от вероятностной меры, которая является оценкой стохастической неопределенности, имеющей дело с неоднозначностью наступления некоторого события в различные моменты времени, нечеткая мера является численной оценкой лингвистической неопределенности, связанной с неоднозначностью и расплывчатостью категорий человеческого мышления. При построении функции принадлежности μ A (x) с каждым нечетким множеством A ассоциируется некоторое свойство, признак или атрибут, который характеризует некоторую совокупность объектов X. Чем в большей степени конкретный объект x ∈ X обладает этим свойством, тем более близко к 1 соответствующее значение μ A (x). Если элемент x ∈ X определенно обладает этим свойством, то μ A (x)=1, если же x ∈ X определенно не обладает этим свойством, то μ A (x)=0.

Основные виды функций принадлежности

На практике удобно использовать те функции принадлежности, которые допускают аналитическое представление в виде некоторой простой математической функции.

1. Кусочно-линейные,

использующиеся для задания неопределенностей типа: «приблизительно равно», «среднее значение», «расположен в интервале», «подобен объекту», «похож на предмет» и т.п.

Треугольная trimf

Трапецеидальная trapmf

2. S-образные,

использующиеся для задания неопределенностей типа: «большое количество», «большое значение», «значительная величина», «высокий уровень» и т.п.

Квадратичный S-сплайн smf

3. Z -образные,

использующиеся для задания неопределенностей типа «малое количество», «небольшое значении е», «незначительная величина», «низкий уровень» и т.п.

Квадратичный Z -сплайн z mf

4. П-образные,

использующиеся для задания неопределенностей типа: «приблизительно в пределах от и до», «примерно равно», «около» и т.п.

К данному типу функций принадлежности можно отнести целый класс кривых, которые по своей форме напоминают колокол, сглаженную трапецию или букву "П".

Колоколообразная gbellmf

a - коэффициент концентрации функции принадлежности; b – коэффициент крутизны функции принадлежности; c – координата максимума функции принадлежности.

Гауссовская gaussmf

a – координата максимума функции принадлежности; b – коэффициент концентрации функции принадлежности.

Методы построения функций принадлежности

Прямые и косвенные

В зависимости от числа привлеченных к опросу экспертов как прямые, так и косвенные методы делятся на одиночные и групповые .

Прямые

В прямых методах эксперт либо группа экспертов просто задают для каждого

x ∈ X значение функции принадлежности μ A (x).

Как правило, прямые методы построения функций принадлежности используются для таких свойств, которые могут быть измерены в некоторой количественной шкале. Например, такие физические величины, как скорость, время, расстояние, давление, температура и другие имеют соответствующие единицы и эталоны для своего измерения.

При прямом построении функций принадлежности следует учитывать, что теория нечетких множеств не требует абсолютно точного задания функций принадлежности. Зачастую бывает достаточно зафиксировать лишь наиболее характерные значения и вид функции принадлежности.

Так, например, если необходимо построить нечеткое множество, которое представляет свойство "скорость движения автомобиля примерно 50 км/ч", на начальном этапе может оказаться достаточным представить соответствующее нечеткое множество треугольной функцией принадлежности с параметрами а = 40 км/ч, b = 60 км/ч и с = 50 км/ч. В последующем функция принадлежности может быть уточнена опытным путем на основе анализа результатов решения конкретных задач.

Процесс построения или задания нечеткого множества на основе некоторого известного заранее количественного значения измеримого признака получил даже специальное название - фаззификация или приведение к нечеткости. Речь идет о том, что хотя иногда нам бывает известно некоторое значение измеримой величины, мы признаем тот факт, что это значение известно неточно, возможно с погрешностью или случайной ошибкой. При этом, чем меньше мы уверены в точности измерения признака, тем большим будет интервал носителя соответствующего нечеткого множества. Следует помнить, что в большинстве практических случаев абсолютная точность измерения является лишь удобной абстракцией для построения математических моделей. Именно по этой причине фаззификация позволяет более адекватно представить объективно присутствующую неточность результатов физических измерений.

Метод относительных частот (прямой групповой)

Пусть имеется m экспертов, n 1 из которых на вопрос о принадлежности элемента x ∈ X нечеткому множеству A отвечают положительно. Другая часть экспертов n 2 = m – n 1 отвечает на этот вопрос отрицательно. Тогда принимается μ A (x) = n 1 / (n 1 + n 2) = n 1 / m.

Пример. Рассмотрим нечеткое множество A, соответствующее понятию «скорость изменения температуры положительная средняя». Объект x – скорость изменения температуры. Экспертам предъявляются различные значения скорости изменения температуры x, и каждому из них задается вопрос: считает ли эксперт, что данная скорость изменения температуры x положительная средняя. Результаты опроса сведены в табл.

В качестве непрерывного представления данной нечеткой переменной можно использовать гауссовскую ФП gaussmf с максимумом функции принадлежности а=5 и коэффициентом концентрации функции принадлежности b=1.7:

μ(x) = exp [ – (x–5) 2 / 2*1.7 2 ]

Косвенные

Используются при решении задач, для которых свойства физических величин не могут быть измерены. Наибольшее распространение среди косвенных методов получил метод парных сравнений.

Метод парных сравнений

Интенсивность принадлежности определяют, исходя из попарных сравнений рассматриваемых элементов.

Для каждой пары элементов универсального множества эксперт оценивает преимущество одного элемента над другим по отношению к свойству нечеткого множества. Парные сравнения удобно представлять следующей матрицей:

где - уровень преимущество элементанад(), определяемый по девятибальной шкале Саати:

1 - если отсутствует преимущество элемента над элементом;

3 - если имеется слабое преимущество над;

5 - если имеется существенное преимущество над;

7 - если имеется явное преимущество над;

9 - если имеется абсолютное преимущество над;

2, 4, 6, 8 - промежуточные сравнительные оценки.

Пример. Построить функцию принадлежности нечеткого множества "высокий мужчина" на универсальном множестве {170, 175, 180, 185, 190, 195}, если известны такие экспертные парные сравнения:

абсолютное преимущество 195 над 170;

явное преимущество 195 над 175;

существенное преимущество 195 над 180;

слабое преимущество 195 над 185;

отсутствует преимущество 195 над 190.

Приведенным экспертным высказываниям соответствует такая матрица парных сравнений:

При согласованных мнениях эксперта матрица парных сравнений обладает следующими свойствами:

она диагональная‚ т. е. a ii =1 ‚ i=1..n ;

она обратно симметрична‚ т. е. элементы‚ симметричные относительно главной диагонали‚ связаны зависимостью a ij =1/a ji , i,j=1..n ;

она транзитивна‚ т. е. a ik a kj =a ij , i,j,k=1..n .

Наличие этих свойств позволяет определить все элементы матрицы парных сравнений:

После определения всех элементов матрицы парных сравнений, степени принадлежности нечеткого множества вычисляются по формуле:

Для нормализации нечеткого множества разделим все степени принадлежности на максимальное значение, т.е. на 0.3588.


μ высокий мужчина (u i) (субнормальное нечеткое множество)
μ высокий мужчина (u i) ((нормальное нечеткое множество)

Fuzzy Logic Toolbox включает 11 встроенных функций принадлежностей, которые используют следующие основные функции:

кусочно-линейную;
гауссовское распределение;
сигмоидную кривую;
квадратическую и кубические кривые.

Для удобства имена всех встроенных функций принадлежности оканчиваютя на mf. Вызов функции принадлежности осуществляется следующим образом:

namemf(x, params),

где namemf – наименование функции принадлежности;
x – вектор, для координат которого необходимо рассчитать значения функции принадлежности;
params – вектор параметров функции принадлежности.

Простейшие функции принадлежности треугольная (trimf ) и трапециевидная (trapmf ) формируется с использованием кусочно-линейной аппроксимации. Трапециевидная функция принадлежности является обобщение треугольной, она позволяет задавать ядро нечеткого множества в виде интервала. В случае трапециевидной функции принадлежности возможна следующая удобная интерпретация: ядро нечеткого множества – оптимистическая оценка; носитель нечеткого множества – пессимистическая оценка.

Две функции принадлежности – симметричная гауссовская (gaussmf ) и двухстороняя гауссовская (gaussmf ) формируется с использованием гауссовского распределения. Функция gaussmf позволяет задавать ассиметричные функция принадлежности. Обобщенная колоколообразная функция принадлежности (gbellmf ) по своей форме похожа на гауссовские. Эти функции принадлежности часто используются в нечетких системах, так как на всей области определения они является гладкими и принимают ненулевые значения.

Функции принадлежности sigmf , dsigmf , psigmf основаны на использовании сигмоидной кривой. Эти функции позволяют формировать функции принадлежности, значения которых начиная с некоторого значения аргумента и до + (-) равны 1. Такие функции удобны для задания лингвистических термов типа “высокий” или “низкий”.

Полиномиальная аппроксимация применяется при формировании функций zmf, pimf и smf , графические изображения которых похожи на функции sigmf , dsigmf , psigmf , соответственно.

Основная информация о встроенных функциях принадлежности сведена в табл. 6.1. На рис. 6.1 приведены графические изображения функций принадлежности, полученные с помощью демонстрационной сценария mfdemo . Как видно из рисунка, встроенные функции принадлежности позволяют задавать разнообразные нечеткие множества.

В Fuzzy Logic Toolbox предусмотрена возможность для пользователя создания собственной функции принадлежности. Для этого необходимо создать m -функцию, содержащую два входных аргумента – вектор, для координат которого необходимо рассчитать значения функции принадлежности и вектор параметров функции принадлежности. Выходным аргументом функции должен быть вектор степеней принадлежности. Ниже приведена m -функция, реализующая колоколообразную функцию принадлежности :

function mu=bellmf(x, params)
%bellmf – bell membership function;
%x – input vector;
%params(1) – concentration coefficient (>0);
%params(2) – coordinate of maximuma.
a=params(1);
b=params(2);
mu=1./(1+ ((x-b)/a).^2);

Рисунок 6.1. Встроенные функции принадлежности

Таблица 6.1. Функции принадлежности

Наименование функции	Описание	Аналитическая формула	Порядок параметров
dsigmf	функция принадлежности в виде разности между двумя сигмоидными функциями
gauss2mf	двухсторонняя гауссовская функция принадлежности	если c1; если c1>c2, то .
gaussmf	симметричная гауссовская функция принадлежности
gbellmf	обобщенная колокообразная функция принадлежности
pimf	пи-подобная функция принадлежности	произведение smf и zmf функций	– носитель нечеткого множества;

В обыденной жизни мы часто сталкиваемся со случаями, когда не существует элементарных измеримых свойств и признаков, которые определяют интересующие нас понятия, например, красоту, интеллектуальность. Бывает трудно проранжировать степень проявления свойства у рассматриваемых элементов. Так как степени принадлежности рассматриваются на данном реальном множестве, а не в абсолютном смысле, то интенсивность принадлежности можно определять, исходя из попарных сравнений рассматриваемых элементов.

Среди косвенных методов определения функции принадлежности наибольшее распространение получил метод парных сравнений Саати . Сложность использования этого метода заключается в необходимости нахождения собственного вектора матрицы парных сравнений, которая задается с помощью специально предложенной шкалы. Причем эти сложности увеличиваются с ростом размерности универсального множества , на которой задается лингвистический терм .

Мы рассмотрим метод, также использующий матрицу парных сравнений элементов универсального множества . Но, в отличие от метода Саати, он не требует нахождения собственного вектора матрицы, т.е. освобождает исследователя от трудоемких процедур решения характеристических уравнений .

Пусть - некоторое свойство, которое рассматривается как лингвистический терм . Нечеткое множество , с помощью которого формализуется терм , представляет собой совокупность пар:

Где - универсальное множество , на котором задается нечеткое множество . Задача состоит в том, чтобы определить значения для всех . Совокупность этих значений и будет составлять неизвестную функцию принадлежности.

Метод, который предлагается для решения поставленной проблемы, базируется на идее распределения степеней принадлежности элементов универсального множества согласно с их рангами. Эта идея раньше использовалась в теории структурного анализа систем, где рассмотрены различные способы определения рангов элементов.

В нашем случае под рангом элемента будем понимать число , которое характеризует значимость этого элемента в формировании свойства, описываемого нечетким термом. Допускаем, что выполняется правило: чем больший ранг элемента, тем больше степень принадлежности .

Для последующих построений введем такие обозначения: , . Тогда правило распределения степеней принадлежности можно задать в виде системы соотношений:

Используя данные соотношения, легко определить степени принадлежности всех элементов универсального множества через степень принадлежности опорного элемента.

Если опорным является элемент с принадлежностью , то

Учитывая условие нормирования, находим:

Полученные формулы дают возможность вычислять степени принадлежности элементов к нечеткому терму двумя независимыми путями:

Эта матрица обладает следующими свойствами:

а) она диагональная, т.е.

б) ее элементы, которые симметричны относительно главной диагонали, связаны зависимостью

в) она транзитивна, т.е. .

Наличие этих свойств приводит к тому, что при известных элементах одной строки матрицы легко определить элементы всех других строк. Если известна -я строка, т.е. элементы , , то произвольный элемент находится так:

Поскольку матрица может быть интерпретирована как матрица парных сравнений рангов, то для экспертных оценок элементов этой матрицы можно использовать 9 балльную шкалу Саати. В нашем случае шкала формируется так:

Числовая оценка	Качественная оценка (сравнение и )
1	отсутствие преимущества над
3	слабое преимущество над
5	существенное преимущество над
7	явное преимущество над
9	абсолютное преимущество над
2, 4, 6, 8	промежуточные

Решая задачи, приходится встречаться с ситуациями, когда элемент в некоторой степени принадлежит данному множеству. Например, определяется множество небольших величин. Кто может точно сказать, начиная с какого значения величины можно считать величину небольшой? На этот вопрос нет однозначного ответа. Поэтому одним из способов математического описания нечеткого множества является определение степени принадлежности элемента нечеткому множеству. Степень принадлежности задается числом из интервала . Границы интервала - 0, 1, означают, соответственно, «не принадлежит» и «принадлежит». В разд. 1 принадлежность элемента x множеству А записывается в формализованном виде xÎА . Данная запись может быть представлена в виде характеристической функции:

Принадлежность множеству может быть представлена в графической виде. Например, в одномерном арифметическом пространстве R заданы два множества AÎR и BÎR . Принадлежность xÎА можно представить в виде прямоугольника П А , показанного на рис. 2.1, а принадлежность xÎВ - в виде прямоугольника П В , показанного на рис. 2.2. Принадлежность x объединению множеств xÎАÇВ представлена прямоугольником П А Ç В , показанны на рис. 2.3. Принадлежность двухмерному множеству будет представлена параллепипедом в трехмерном пространстве, а принадлежность n –мерному множеству – (n +1)-мерным параллепипедом.

Рис. 2.1 Рис. 2.2

Нечетким подмножеством A множества X называется множество двоек . Функция m A , являющаяся отражением элементов xÎX в элементы множества (m a:X®), называется функцией принадлежности нечеткого множества , а X - базовым множеством.

Конкретное значение m A (x) , заданное для элемента x , называется степенью принадлежности элемента x нечеткому множеству . Hосителем нечеткого множества называется подмножество ÎX , содержащее те элементы xÎX , для которых значение функции принадлежности больше нуля.

Пример. Пусть X - множество натуральных чисел X={1,2,3, ...,x max } , предназначенных для определения цены изделия. Нечеткое подмножество «небольшая цена» может быть задано в следующем виде:

={<1/1>,<0,9/2>,<0,8/3>,<0,7/4>,<0,6/5>,<0,5/6>,<0,4/7>,<0,3/8>,

<0,2/9>,<0,1/10>,<0/11>,...,<0/x max >}.

Принадлежность значений цены нечеткому подмножеству «небольшая цена» показана на рис.2.4.

Если рассматривать множество X как непрерывное множество натуральных чисел, то принадлежность значений цены нечеткому подмножеству «небольшая цена» будет иметь вид непрерывной функции, как показано на рис.2.5. Рассмотрим свойства нечетких множеств.

Высота (height - hgt) нечеткого множества : .

Нечеткое множество с hgtA=1 называется нормальным, а при hgtA<1 - субнормальным. Ядро (core, kernal, nucleus) или центр нечеткого множества : core ={xÎX/m A (x)=1} . Основание (support – supp) нечеткого множества : supp ={xÎX/m A (x)>1} . Поперечными точками (crossover point) нечеткого множества называется совокупность core {xÎX/m A (x)=0,5} . Уровень a , или a –разрез (сечение) нечеткого множества : a ={xÎX/m A (x)³a} . a –разрез нечеткого множества еще обозначают: a -cut . Строгий a –разрез нечеткого множества : a ={xÎX/m A (x)>a} . Выпуклое (convex) нечеткое множество : "x 1 ,x 2 ,x 3 ÎX:x 1 £x 2 £x 3 ®m A (x 2)³min(m A (x 1),m A (x 3)). При невыполнении неравенства нечеткое множество называется невыпуклым. На рис. 2.6 приведена иллюстрация вышеназванных свойств.

Отдельным видом нечеткого множества А является нечеткое число (нечеткий синглтон) при выполнении условий : А является выпуклым, высота является нормальной (hgt А=1 ), m А (x) является кусочно-непрерывной функцией, ядро или центр множества A (core A ) содержит одну точку. Пример принадлежности x нечеткому числу «приблизительно 5» показан на рис. 2.7.

Другим видом нечеткого множества является задание некоторых переменных в виде нечеткого интервала. Известно определение.

Нечеткий интервал – это выпуклая нечеткая величина A , функция принадлежности которой квазивогнута, так что

"u,v, "wÎ, m A (w)³min(m A (u), m A (v)), u,v,wÎX.

Тогда нечеткое число - полунепрерывный сверху нечеткий интервал с компактным носителем и единственным модальным значением. Задание параметров задачи в виде нечеткого интервала – это очень удобная форма для формализации неточных величин. Обычный интервал часто является неудовлетворительным представлением, т.к. необходимо фиксировать его границы. Могут быть оценки завышенными или заниженными, что вызовет сомнение в результатах расчетов. Задание параметров задачи в виде нечеткого интервала будет одновременно и завышенным, и заниженным, а носитель (базовое множество) нечеткого интервала будут выбран так, что ядро содержит наиболее правдоподобные значения и будет гарантировано нахождение рассматриваемого параметра в требуемых пределах.

Задание нечетких интервалов может быть осуществлено экспертами следующим образом. Нечеткий интервал задают четверкой параметровМ= () (см. рис.2.8), где и - соответственно нижнее и верхнее модальные значения нечеткого интервала, а a и b представляют собой левый и правый коэффициент нечеткости. Задание нечеткого интервала может быть выполнено следующими способами.

Вариант 1. Нижнее и верхнее модальные значения интервала совпадают, а a и b равны нулю. Значение x определяется с неопределенностью равной нулю. Для задания нечеткой входной переменной на множестве X определим формально нечеткий интервал =(x min =x, x m ax =x,0,0), где x imin - нижнее модальное значение , а x m ax - верхнее модальное значение .

Четкое задание x на множестве значений X, как это показано на рис. 2.9, является частным случаем задания нечеткого интервала, причем, m A (x) - значение степени принадлежности интервалу.

Вариант 2. Задание x определяется с неопределенностью отличной от нуля. Пример показан на рис. 2.10. Нечеткий интервал определен, как =(x min , x m ax =x min ,0,b), т.е. верхнее и нижнее модальные значения интервала совпадают.

Рис. 2.9 Рис. 2.10

Вариант 3. Задание x может быть получено из интервала [А,В] . Пример показан на рис. 2.11. Степень принадлежности равна единице, причем =(А=x min ,В=x m ax ,0,0) , где А – нижнее модальное значение (минимально возможное значение входной переменнойx ), В – верхнее модальное значение (максимальное значение входной переменнойx .

Вариант 4. Значение входной переменнойx i может быть получено из интервала значений [А,С] [А,В] (A£B£С). Формально нечеткий интервал определен в виде =(А=x min ,В=x max ,0,b) . Пример задания показан на рис. 2.12, гдеb=С-В.

Вариант 5. Значение входной переменнойq i экспертами может быть определено из интервала значений [А,D] таким образом, что в интервале [В,C] неопределенность получения равна единице (A£B£С£D). Формально нечеткий интервал в этом случае определим в виде =(B=x min ,C=x max ,a,b) . Пример задания нечеткого интервала показан на рис. 2.13, гдеa=B-A, b=D-C.

Рассмотрим операции над нечеткими интервалами.

Рис. 2.11 Рис. 2.12

Операция нечеткого суммирования для нечетких интервалов определяется следующим образом. Сумма двух нечетких интервалов М i =() и М j =(), записываемая в виде М i М j , также есть нечеткий интервал М i М j = , где a=a i + a j ; b=b i + b j ; , . Сумма n нечетких интервалов определится формулами:

Если , a , где и - выпуклые интервалы, то , причем - совокупность интервалов, которая определена по предыдущим формулам.

Операция разности нечетких интервалов определяется следующим образом. Нечеткая разность двух нечетких интервалов и есть трапециевидный интервал , для которого c=|a-h|, d=|b-l|, , , где - соответственно нижние модальные значения нечетких интервалов , - верхние модальные значения нечетких интервалов .

Принятие решений связано с осуществлением сравнений полученного нечеткого интервала либо экспертами, либо по данным моделирования с действительным числом. Операция сравнения нечеткого интервала и действительного числа выполняется следующим образом.

Действительное число А представим в виде интервала (А,А,0,0) . Определение меньшего или большего значения нечеткого интервала по отношению к действительному числуА производится по формулам:

А , если |A-()|£|A-()| и A£ ;

А , если |A-()|³|A-()| и A³ .

Для нечетких интервалов существует операция произведения и деления. Произведение двух нечетких интервалов и определится в виде трапециевидного интервала , параметры которого определяют по формулам:

c=ah, d=bl, ; .

Эти правила для умножения двух нечетких интервалов в зависимости от знаков чисел , , , принимают вид:

Если , то ;

Если , то .

Рассмотрим операцию деления. Деление двух нечетких интервалов и даст трапециевидный интервал , параметры которого определяются следующим образом:

c=ah, d=bl, ; ,

причем в зависимости от знаков чисел , , , данное правило для деления двух нечетких интервалов будет выглядеть так:

Если , то ;

Если , то .

Функции принадлежности

Функции принадлежности является субъективным понятием, т.к. они определяются людьми (экспертами) и каждый человек дает свою оценку. Существуют различные методы задания функций принадлежности .

Будем считать, что функция принадлежности - это некоторое невероятное субъективное измерение нечеткости и что она отличается от вероятностной меры, т.е. степень принадлежности m A (x) элемента x нечеткому множеству есть субъективная мера того, насколько элемент xÎX соответствует понятию, смысл которого формализуется нечетким множеством .

Степень соответствия элемента x понятию, формализуемому нечетким множеством , определяется опросом экспертов и представляет собой субъективную меру.

Существует два класса методов построения функций принадлежности множества : прямые и косвенные.

2.2.1. Прямые методы построения. Прямыми методами построения функций принадлежности называют такие методы, в которых степени принадлежности элементов x множества X непосредственно задаются либо одним экспертом, либо коллективом экспертов. Прямые методы подразделяются на прямые методы для одного эксперта и для группы экспертов в зависимости от количества экспертов.

Прямой метод для одного эксперта состоит в том что эксперт каждому элементу xÎX ставит в соответствие определенную степень принадлежности m A (x) , которая, по его мнению, наилучшим образом согласуется со смысловой интерпретацией множества .

Применение простых методов для группы экспертов позволяет интегрированно учитывать мнение всех экспертов и строить график соответствия между элементами из множества X . Возможна следующая процедура построения функции принадлежности m A (x) .

Экспертам, составляющим группу из m человек, задается вопрос о принадлежности элемента xÎX нечеткому множеству . Пусть часть экспертов, состоящая из n 1 человек, ответила на вопрос положительно, а другая часть экспертов n 2 =m-n 1 ответила отрицательно. Тогда принимается решение, что m A (x)=n 1 /m .

В более общем случае оценкам экспертов сопоставляются весовые коэффициенты a i Î . Коэффициенты a i отражают степень компетентности экспертов. Степень принадлежности элемента x нечеткому множеству определится

где p i =1 при положительном ответе и p i =0 при отрицательном ответе эксперта.

Недостатки прямых методов состоят в присущем им субъективизме т.к. человеку присуще ошибаться.

2.2.2. Косвенные методы построения функций принадлежности. Косвенными методами построения функций принадлежности называют такие методы, в которых достигается снижение субъективного влияния за счет разбиения общей задачи определения степени принадлежности m A (x) , xÎX на ряд более простых подзадач. Одним из косвенных методов является метод попарных сравнений. Рассмотрим его суть.

На основе ответов экспертов строится матрица попарных сравнений M=½½m ij ½½ , в которой элементы m ij представляют собой оценки интенсивности принадлежности элементов x i ÎX подмножеству по сравнению с элементами x j ÎX . Функция принадлежности m a (x) определяется из матрицы M . Предположим, что известны значения функции принадлежности m A (x) для всех значений xÎХ . Пусть m A (x)=r i , Тогда попарные сравнения определяются m ij =r i /r j . Если отношения точны, то получается соотношение в матричном виде MR=n*R , где R=(r 1 ,r 2 ,...,r n), n - собственное значение матрицы M , по которому восстанавливается векторR с учетом условия Эмпирический вектор R имеет решение в задаче на поиск собственного значения M*R=l max , где l max - наиболее собственное значение. Задача сводится к поиску вектора R , который удовлетворяет уравнению

M*R=l max *R . (2.1)

Это уравнение имеет единственное решение. Значения координат собственного вектора, соответствующие максимальному собственному значению l max , деленные на их сумму, будут искомыми степенями принадлежности. Понятия, которые предложены экспертам, а также соответствие этих понятий величинам m ij , приведены в табл.2.1.

Таблица 2.1

Интенсивность важности	Качественная оценка	Объяснения
	Несравнимость	Нет смысла сравнивать элементы
	Одинаковая значимость	Элементы равны по значению
	Слабо значимее	Существуют показания о предпочтении одного элемента другому, но показания неубедительны.
	Существенно или сильнее значимее	Существует хорошее доказательство и логические критерии, которые могут показать, что один из элементов более важен
	Очевидно значимее	Существует убедительное доказательство большей значимости одного элемента по сравнению с другим
	Абсолютно значимее	Максимально подтверждается ощутимость предпочтения одного элемента другим
2,4,6,8	Промежуточные оценки между соседними оценками	Необходим компромисс
Обратные величины ненулевых значений	Если оценка m ij имеет ненулевое значение, приписанное на основании сравнения элемента r i с элементом r j , то m ij имеет обратное значение 1/m ij .

Производится опрос экспертов относительно того, насколько, по их мнению, величина m A (x i) превышает величину m A (x i) , т.е. насколько элемент x i более значим для понятия, описываемого нечетким множеством , чем элемент x j . Опрос позволит построить матрицу попарных сравнений, которая имеет вид

Определение элемента r i ÎR происходит следующим образом. Вычисляется сумма каждого j -го столбца матрицы M. Из построения матрицы M следует, что Отсюда следует, что r i =1/k i .

Определив все величины k j , получим значения элементов вектора R . Исходя из того, что матрица M , как правило, построена неточно, найденный вектор R используется как начальный в итерационном методе решения уравнения (2.1).

2.2.3. Виды функций принадлежности. Выше было определено, что функции принадлежности могут иметь трапецеидальный вид (см. рис. 2.7), треугольный вид (см. рис. 2.7). Функции принадлежности могут иметь также и колоколообразный вид (рис. 2.14).

Для колоколообразного вида функция принадлежности определена выражением

где m - заданное число, d - показатель нечеткости.

Для трапецеидального вида функция принадлежности определена выражением: m A (x)=min{max(a-k|x-b|;0);1}, где a , b - заданные числа, k - показатель нечеткости.

При решении задач нечеткого управления могут быть применены и другие функции:

m A (x)=e -kx , x>0; m A (x)=1-a x , 0£x£a -1/k ; m A (x)=(1+kx 2) -1 , k>1.

Нечеткое множесто с одномерной функцией принадлежности m A (x) принято называть нечетким множеством первого рода .

Существуют нечеткие множества второго рода , для который функция принадлежности: .

Двухмерное нечеткое множество A определено в следующем виде: A=(A 1 ´A 2: m A (x 1 ,x 2)) , где A 1 ´A 2 - декартово произведение, m A (x 1 ,x 2)=min{a-k 1 |x 1 -b| - k 2 |x 2 -c|; (x 1 =0, x 2 =0)); - двухмерная функция принадлежности трапецеидального вида, в которой: a , b , c - заданные числа, k 1 , k 2 - показатели нечеткости. Пример задания двухмерной функции принадлежности трапецеидального вида приведен на рис. 2.15.