Изображение графически поле зарядов электрических. Графическое изображение электрических полей
Силовые линии напряженности электрического поля - линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с вектором Е По их направлению можно судить, где расположены положительные (+) и отрицательные (–) заряды, создающие электрическое поле. Густота линий (количество линий, пронизывающих единичную площадку поверхности, перпендикулярную к ним) численно равно модулю вектора Е.
Силовые линии напряженности электрического поля Силовые линии напряженности электрического поля не замкнуты, имеют начало и конец. Можно говорить, что электрическое поле имеет «источники» и «стоки» силовых линий. Силовые линии начинаются на положительных (+) зарядах (Рис. а), заканчиваются на отрицательных (–) зарядах (Рис. б). Силовые линии не пересекаются.
Поток вектора напряженности электрического поля Произвольная площадка dS. Поток вектора напряженности электрического поля через площадку dS: - псевдовектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с направление вектора n к площадке dS. Е = constdФ Е = N - числу линий вектора напряженности электрического поля Е, пронизывающих площадку dS.
Поток вектора напряженности электрического поля Если поверхность не плоская, а поле неоднородное, то выделяют малый элемент dS, который считать плоским, а поле – однородным. Поток вектора напряженности электрического поля: Знак потока совпадает со знаком заряда.
Закон (теорема) Гаусса в интегральной форме. Телесный угол – часть пространства, ограниченная конической поверхностью. Мера телесного угла – отношение площади S сферы, вырезаемой на поверхности сферы конической поверхностью к квадрату радиуса R сферы. 1 стерадиан – телесный угол с вершиной в центре сферы, вырезающий на поверхности сферы площадь, равную площади квадрата со стороной, по длине равной радиусу этой сферы.
Теорема Гаусса в интегральной форме Электрическое поле создается точечным зарядом +q в вакууме. Поток d Ф Е, создаваемого этим зарядом, через бесконечно малую площадку dS, радиус вектор которой r. dS n – проекция площадки dS на плоскость перпендикулярную в ектору r. n – единичный вектор положительной нормали к площадке dS.
Если произвольная поверхность окружает k– зарядов, то согласно принципу суперпозиции: Теорема Гаусса: для электрического поля в вакууме поток вектора напряженности электрического поля сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленных на ε 0.
Методика применения теоремы Гаусса для расчета электрических полей – второй способ определения напряженности электрического поля Е Теорема Гаусса применяется для нахождения полей, созданных телами, обладающими геометрической симметрией. Тогда векторное уравнение сводится к скалярному.
Методика применения теоремы Гаусса для расчета электрических полей – второй способ определения напряженности электрического поля Е 1) Находится поток Ф Е вектора Е по определению потока. 2) Находится поток Ф Е по теореме Гаусса. 3) Из условия равенства потоков находится вектор Е.
Примеры применения теоремы Гаусса 1. Поле бесконечной однородно заряженной нити (цилиндра) с линейной плотностью τ (τ = dq/dl, Кл/м). Поле симметричное, направлено перпендикулярно нити и из соображений симметрии на одинаковом расстоянии от оси симметрии цилиндра (нити) имеет одинаковое значение.
2.Поле равномерно заряженной сферы радиуса R. Поле симметричное, линии напряженности Е электрического поля направлены в радиальном направлении, и на одинаковом расстоянии от точки О поле имеет одно и то же значение. Вектор единичной нормали n к сфере радиуса r совпадает с вектором напряженности Е. Охватим заряженную (+q) сферу вспомогательной сферической поверхностью радиуса r.
2.Поле равномерно заряженной сферы При поле сферы находится как поле точечного заряда. При r
(σ = dq/dS, Кл/м 2). Поле симметричное, вектор Е перпендикулярен плоскости с поверхностной плотностью заряда +σ и на одинаковом расстоянии от плоскости имеет одинаковое значение. 3. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости с поверхностной плотностью заряда + σ В качестве замкнутой поверхности возьмем цилиндр, основания которого параллельны плоскости, и который делится заряженной плоскостью на две равные половины.
Теорема Ирншоу Система неподвижных электрических зарядов не может находиться в устойчивом равновесии. Заряд + q будет находиться в равновесии, если при его перемещении на расстояние dr со стороны всех остальных зарядов системы, расположенных вне поверхности S, будет действовать сила F, возвращающая его в исходное положение. Имеется система зарядов q 1, q 2, … q n. Один из зарядов q системы охватим замкнутой поверхностью S. n – единичный вектор нормали к поверхности S.
Теорема Ирншоу Сила F обусловлена полем Е, созданным всеми остальными зарядами. Поле всех внешних зарядов Е должно быть направлено противоположно направлению вектора перемещения dr, то есть от поверхности S к центру. Согласно теореме Гаусса, если заряды не охватываются замкнутой поверхностью, то Ф Е = 0. Противоречие доказывает теорему Ирншоу.
0 вытекает больше, чем втекает. Ф 0 вытекает больше, чем втекает. Ф 33 Закон Гаусса в дифференциальной форме Дивергенция вектора – число силовых линий, приходящихся на единицу объема, или плотность потока силовых линий. Пример: из объема вытекает и втекает вода. Ф > 0 вытекает больше, чем втекает. Ф 0 вытекает больше, чем втекает. Ф 0 вытекает больше, чем втекает. Ф 0 вытекает больше, чем втекает. Ф 0 вытекает больше, чем втекает. Ф title="Закон Гаусса в дифференциальной форме Дивергенция вектора – число силовых линий, приходящихся на единицу объема, или плотность потока силовых линий. Пример: из объема вытекает и втекает вода. Ф > 0 вытекает больше, чем втекает. Ф
Существует очень удобный способ наглядного описания электрического поля. Этот способ сводится к построению сети линий, при помощи которой изображают модуль и направление напряженности поля в различных точках пространства.
Выберем в электрическом поле какую-либо точку (рис. 31,а) и проведем из нее небольшой прямолинейный отрезок так, чтобы его направление совпадало с направлением поля в точке . Затем из какой-нибудь точки этого отрезка проведем отрезок , направление которого совпадает с направлением поля в точке , и т. д. Мы получим ломаную линию, которая показывает, какое направление имеет поле в точках этой линии.
Рис. 31. а) Ломаная линия, показывающая направление поля только в четырех точках, б) Ломаная линия, показывающая направление поля в шести точках. в) Линия, показывающая направление поля во всех точках. Штриховая линия показывает направление поля в точке
Построенная таким образом ломаная не вполне точно определяет направление поля во всех точках. Действительно, отрезок точно направлен вдоль поля лишь в точке (по построению); но в какой-либо другой точке этого же отрезка поле может иметь уже несколько другое направление. Это построение будет, однако, тем точнее передавать направление поля, чем ближе друг к другу выбранные точки. На рис. 31,б направление поля изображается не для четырех, а для шести точек, и картина более точна. Изображение направления поля сделается вполне точным, когда точки излома будут неограниченно сближаться. При этом ломаная переходит в некоторую плавную кривую (рис. 31,в). Направление касательной к этой линии в каждой точке совпадает с направлением напряженности поля в этой точке. Поэтому ее обычно называют линией электрического поля. Таким образом, всякая мысленно проведенная в поле линия, направление касательной к которой в любой точке ее совпадает с направлением напряженности поля в этой точке, называется линией электрического поля.
Из двух противоположных направлений, определяемых касательной, мы условимся всегда выбирать то направление, которое совпадает с направлением силы, действующей на положительный заряд, и будем отмечать это направление на чертеже стрелками.
Вообще говоря, линии электрического поля являются кривыми. Однако могут быть и прямые линии. Примерами электрического поля, описываемого прямыми линиями, является поле точечного заряда, удаленного от других зарядов (рис. 32), и поле равномерно заряженного шара, также удаленного от других заряженных тел (рис. 33).
Рис. 32. Линии поля точечного положительного заряда
Рис. 33. Линии поля равномерно заряженного шара
При помощи линий электрического поля можно не только изображать направление поля, но и характеризовать модуль напряженности поля. Рассмотрим опять поле одного точечного заряда (рис. 34). Линии этого поля представляют собой радиальные прямые, расходящиеся от заряда во все стороны. Из места нахождения заряда , как из центра, построим ряд сфер. Через каждую из них проходят все линии поля, проведенные нами. Так как площадь этих сфер увеличивается пропорционально квадрату радиуса, т. е. квадрату расстояния до заряда, то число линий, проходящих через единицу площади поверхности сфер, уменьшается как квадрат расстояния до заряда. С другой стороны, мы знаем, что так же уменьшается и напряженность электрического поля. Поэтому в нашем примере мы можем судить о напряженности поля по числу линий поля, проходящих через единичную площадку, перпендикулярную к этим линиям.
Рис. 34. Сферы, проведенные вокруг положительного точечного заряда . На каждой из них показана единичная площадка
Если бы заряд был взят в раз большим, то и напряженность поля во всех точках возросла бы в раз. Поэтому, чтобы и в этом случае можно было судить о напряженности поля по густоте линий поля, условимся проводить из заряда тем больше линий, чем больше заряд. При таком способе изображения густота линий поля может служить для количественного описания напряженности поля. Мы сохраним этот способ изображения и в том случае, когда поле образовано не одним единичным зарядом, а имеет более сложный характер.
Само собой разумеется, что число линий, которое мы проведем через единицу поверхности для изображения поля данной напряженности, зависит от нашего произвола. Необходимо только, чтобы при изображении разных областей одного и того же поля или при изображении нескольких сравниваемых между собой полей была сохранена густота линий, принятая для изображения поля, напряженность которого равна единице.
На чертежах (например, на рис. 35) можно изображать не распределение линий поля в пространстве, а лишь сечение картины этого распределения плоскостью чертежа, что позволит получить так называемые «электрические карты». Такие карты дают наглядное представление о том, как распределяется данное поле в пространстве. Там, где напряженность поля велика, линии проводятся густо, там, где поле слабое, густота линий невелика.
Рис. 35. Линии поля между разноименно заряженными пластинами. Напряженность поля: а) наименьшая – густота линий поля минимальна; 6) средняя – густота линий поля средняя; в) наибольшая – густота линий поля максимальна
Поле, напряженность которого во всех точках одна и та же и по модулю и по направлению, называется однородным. Линии однородного поля представляют собой параллельные прямые. На чертежах однородное поле также представится рядом параллельных и равноотстоящих прямых, проходящих тем гуще, чем сильнее изображаемое ими поле (рис. 35).
Отметим, что цепочки, образуемые крупинками в опыте § 13, имеют ту же форму, что и линии поля. Это естественно, так как каждая удлиненная крупинка располагается по направлению напряженности поля в соответствующей точке. Поэтому рис. 26 и 27 подобны картам линий электрического поля между параллельными пластинами и возле двух заряженных шаров. Используя тела различной формы, можно с помощью таких опытов легко найти картины распределения линий электрического поля для различных полей.
а б
).
Силовые линии напряженности проводят
так, чтобы касательная к ним в каждой
точке совпадала с направлением вектора
напряженности
(рис. 1.4,а
).Число
линий, пронизывающих единичную площадку
dS,
перпендикулярную к ним, проводят
пропорционально модулю вектора
(рис. 1.4,б
).
Силовым
линиям приписывают направление,
совпадающее с направлением вектора
.
Полученная картина распределения линий
напряженности позволяет судить о
конфигурации данного электрического
поля в разных его точках. Силовые линии
начинаются на положительных зарядах и
оканчиваются на отрицательных зарядах.
На
рис. 1.5 приведены линии напряженности
точечных зарядов (рис. 1.5, а
,
б
);
системы двух разноименных зарядов (рис.
1.5, в
)
пример неоднородного электростатического
поля и двух параллельных разноименно
заряженных плоскостей (рис. 1.5, г
)
пример однородного электрического
поля.
1.5. Распределение зарядов
В некоторых случаях для упрощения математических расчетов истинное распределение точечных дискретных зарядов удобно заменить фиктивным непрерывным распределением. При переходе к непрерывному распределению зарядов используют понятие о плотности зарядов линейной , поверхностной и объемной , т. е.
(1.12)
где dq
заряд, распределенный соответственно
по элементу длины
,
элементу поверхностиdS
и элементу объема dV.
С учетом этих распределений формула (1.11) может быть записана в другой форме. Например, если заряд распределен по объему, то вместо q i нужно использовать dq = dV, а символ суммы заменить интегралом, тогда
.
(1.13)
1.6. Электрический диполь
Для объяснения явлений, связанных с зарядами в физике используется понятие электрического диполя .
Систему двух равных по величине разноименных точечных зарядов, расстояние между которыми много меньше расстояния до исследуемых точек пространства, называют электрическим диполем. Согласно определению диполя +q=q= q.
,
направленным от отрицательного заряда
к положительному. Основной характеристикой
диполя являетсяэлектрический
дипольный момент
= q
.
(1.14)По абсолютной величине
р
= q
.
(1.15)
В СИ электрический дипольный момент измеряется в кулонах умноженных на метр (Кл м).
Рассчитаем потенциал
и напряженность электрического поля
диполя, считая его точечным, если
r.
Потенциал
электрического поля, созданного системой
точечных зарядов в произвольной точке,
характеризуемой радиусвектором
,
запишем в виде:
где r 1 r 2
r 2 ,
r 1
r 2
r
=
,
так как
r;
угол между радиус-векторами
и
(рис. 1.6).
С учетом этого получим
.
(1.16)
Используя формулу,
связывающую градиент потенциала с
напряженностью, найдем напряженность,
создаваемую электрическим полем диполя.
Разложим вектор
электрического
поля
диполя на две взаимно перпендикулярные
составляющие, т. е.
(рис. 1. 6).
Первая их них
определяется движением точки,
характеризуемой радиусвектором
(при фиксированном значении угла),
т. е. значение Е
найдем дифференцированием (1.81) по r,
т. е.
.
(1.17)
Вторая составляющая
определяется движением точки, связанным
с изменением угла
(при фиксированном r),
т. е. Е
найдем дифференцированием (1.16) по :
,
(1.18)
где
,d
=
rd.
Результирующая
напряженность Е 2
= Е 2
+ Е 2
или после подстановки
.
(1.19)
Замечание
:
При
= 90 о
,
(1.20)
т. е. напряженность в точке на прямой проходящей через центр диполя (т. О) и перпендикулярно оси диполя.
При
= 0 о
,
(1.21)
т. е. в точке на продолжении прямой, совпадающей с осью диполя.
Анализ формул (1.19), (1.20), (1.21) показывает, что напряженность электрического поля диполя убывает с расстоянием обратно пропорционально r 3 , т. е. быстрее, чем для точечного заряда (обратно пропорционально r 2).
Исследование электростатического поля с помощью электропроводной бумаги
Электрическое поле и его характеристики. Графическое изображение электрического поля. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности.
Электрическое поле – особый вид материи, существующий вокруг тел или частиц, обладающих электрическим зарядом, а также при изменении магнитного поля (например, в электромагнитных волнах). Электрическое поле непосредственно невидимо, но может быть обнаружено благодаря его силовому воздействию на заряженные тела.
Основное свойство электростатического поля заключается в его воздействии на неподвижные электрические заряды.
Для количественного определения электрического поля вводится силовая характеристика - напряженность электрического поля.
Напряженность электрического поля – векторная физическая величина, численно равная силе, действующей на единичный положительный точечный заряд, помещенный в данную точку поля:
Направление вектора Е совпадает в каждой точке пространства с направлением силы, действующей на единичный положительный заряд.
Электрический потенциал – это энергетическая характеристика электрического поля, которая выражает его напряжённость. Она определяет «потенциал», запас энергии, работу, которую можно будет совершить.
Потенциал численно равен потенциальной энергии единичного точечного положительного заряда, помещённого в данную точку поля:
Каждая точка электрического поля обладает потенциалом, а между двумя разными точками образуется разница потенциалов и возникает напряжение . Оно характеризует тот запас энергии, который может высвободиться при перемещении заряда между этими двумя точками внутри рассматриваемого электрического поля.
Напряжение определяется отношением работы электрического поля A к величине заряда q , который перемещается в нём:
Для наглядного графического представления поля удобно использовать силовые линии – направленные линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора напряженности электрического поля (рис. 153).
Силовые линии поля, создаваемого точечным зарядом, представляют собой набор прямых, выходящих (для положительного), или входящих (для отрицательных) в точку расположения заряда (рис. 154).
Свойства силовых линий электрического поля:
1.Силовые линии не пересекаются.
2.Силовые линии не имеют изломов.
3.Силовые линии электростатического поля начинаются и заканчиваются на зарядах или уходят в бесконечность.
Эквипотенциальная поверхность – поверхность, во всех точках которой потенциал электрического поля имеет одинаковое значение:
φ (х; y; z ) = const.
Эквипотенциальные поверхности замкнуты и не пересекаются. Между двумя любыми точками на эквипотенциальной поверхности разность потенциалов равна нулю. Это означает, что вектор силы в любой точке траектории движения заряда по эквипотенциальной поверхности перпендикулярен вектору скорости. Следовательно, линии напряженности электростатического поля перпендикулярны эквипотенциальной поверхности.
Работа сил электрического поля при любом перемещении заряда по эквипотенциальной поверхности dA = 0, так как dφ = 0.
Эквипотенциальными поверхностями поля точечного электрического заряда являются сферы, в центре которых расположен заряд (рис.136).
Эквипотенциальные поверхности однородного электрического поля представляют собой плоскости, перпендикулярные линиям напряженности (рис.137).
