Первым этапом математического моделирования является постановка задачи, определение объекта и целей исследования , задание критериев(признаков) изучения объектов и управления ими. Неправильная или неполная постановка задачи может свести на нет результаты всех последующих этапов.

Вторым этапом моделирования является выбор типа математической модели , что является важнейшим моментом, определяющим направление всегоисследования. Обычно последовательно строится несколько моделей.Сравнение результатов их исследования с реальностью позволяет установитьнаилучшую из них. На этапе выбора типа атематической модели при помощианализа данных поискового эксперимента устанавливаются: линейность илинелинейность, динамичность или статичность, стационарность илинестационарность, а также степень детерминированности исследуемого объектаили процесса.Процесс выбора математической модели объекта заканчивается еепредварительным контролем , который также является первым шагом на путик исследованию модели. При этом осуществляются следующие видыконтроля (проверки): размерностей; порядков; характера зависимостей;экстремальных ситуаций; граничных условий; математической замкнутости;физического смысла; устойчивости модели.

Контроль размерностей сводится к проверке выполнения правила,согласно которому приравниваться и складываться могут только величиныодинаковой размерности.

Контроль порядков величин направлен на упрощение модели. При этом пределяются порядки складываемых величин и явно малозначительныеслагаемые отбрасываются.

Анализ характера зависимостей сводится к проверке направления искорости изменения одних величин при изменении других. Направления искорость, вытекающие из ММ, должны соответствовать физическому смыслузадачи.

Анализ экстремальных ситуаций сводится к проверке наглядного смысла решения при приближении параметров модели к нулю или бесконечности.

Контроль граничных условий состоит в том, что проверяетсясоответствие ММграничным условиям, вытекающим из смысла задачи. Приэтом проверяется, действительно ли граничные условия поставлены и учтеныпри построении искомой функции и что эта функция на самом делеудовлетворяет таким условиям.

Анализ математической замкнутости сводится к проверке того, что ММдает однозначное решение.

Анализ физического смысла сводится к проверке физическогосодержания промежуточных соотношений, используемых при построении ММ.

Проверка устойчивости модели состоит в проверке того, чтоварьирование исходных данных в рамках имеющихся данных о реальномобъекте не приведет к существенному изменению решения.

2. Понятие о вычислительном эксперименте

В настоящее время основным способом исследования ММ и проверки еекачественных показателей служит вычислительный эксперимент.

Вычислительным экспериментом называется методология и технологияисследований, основанные на применении прикладной математики и ЭВМ кактехнической базы при использовании ММ. Вычислительный экспериментосновывается на создании ММ изучаемых объектов, которые формируютсяс помощью некоторой особой математической структуры, способной отражатьсвойства объекта, проявляемые им в различных экспериментальных условиях, ивключает в себя следующие этапы.

1. Для исследуемого объекта строится модель, обычно сначала физическая,фиксирующая разделение всех действующих в рассматриваемом явлениифакторов на главные и второстепенные, которые на данном этапе исследованияотбрасываются; одновременно формулируются допущения и условияприменимости модели, границы, в которых будут справедливы полученныерезультаты; модель записывается в математических, терминах, как правило,в виде дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений;создание ММ проводится специалистами, хорошо знающими данную областьестествознания или техники, а также математиками, представляющими себевозможности решения математической задачи.

2. Разрабатывается метод решения сформулированной математическойзадачи. Эта задача представляется в виде совокупности алгебраическихформул, по которым должны вестись вычисления и условия, показывающиепоследовательность применения этих формул; набор этих формул и условийносит название вычислительного алгоритма . Вычислительный экспериментимеет многовариантный характер, так как решения поставленных задач частозависят от многочисленных входных параметров. Тем не менее, каждыйконкретный расчет в вычислительном эксперименте проводится прификсированных значениях всех параметров. Между тем в результате такогоэксперимента часто ставится задача определения оптимального наборапараметров. Поэтому при создании оптимальной установки приходитсяпроводить большое число расчетов однотипных вариантов задачи,отличающихся значением некоторых параметров. В связи с этим приорганизации вычислительного эксперимента можно использовать эффективные численные методы.

3. Разрабатываются алгоритм и программа решения задачи на ЭВМ.Программирование решений определяется теперь не только искусством иопытом исполнителя, а перерастает в самостоятельную науку со своимипринципиальными подходами.

4. Проведение расчетов на ЭВМ. Результат получается в виде некоторойцифровой информации, которую далее необходимо будет расшифровать.Точность информации определяется при вычислительном экспериментедостоверностью модели, положенной в основу эксперимента, правильностьюалгоритмов и программ (проводятся предварительные «тестовые» испытания).

5. Обработка результатов расчетов, их анализ и выводы. На этом этапемогут возникнуть необходимость уточнения ММ (усложнения или, наоборот,упрощения), предложения по созданию упрощенных инженерных способоврешения и формул, дающих возможности получить необходимую информациюболее простым способом.

Вычислительный эксперимент приобретает исключительное значение в техслучаях, когда натурные эксперименты и построение физической моделиоказываются невозможными. Особенно ярко можно проиллюстрироватьзначение вычислительного эксперимента при исследовании влияния городскойзастройки на параметры распространения радиосигнала. В связис интенсивным развитием систем мобильной связи данная задача в настоящеевремя является особенно актуальной. С целью снижения затрат при частотно-территориальном планировании производится оптимизация частотно-территориального плана с учетом таких факторов как рельеф местности,конфигурация городской застройки, атмосферные воздействия. Кроме этого,с учетом динамичности развития города необходимо постоянное уточнениесоответствующих моделей. То, что принято называть уровнем сигнала (средняянапряженность электромагнитного поля) представляет собой результатсложного взаимодействия физических процессов, протекающих прираспространении сигнала: прохождение сигнала сквозь здания и сооружения;воздействие на сигнал помех искусственного и естественного происхождения;атмосферная рефракция сигнала; отражения сигнала от зданий и от земнойповерхности; потери энергии сигнала в осадках и др. В данном случаеокружающую среду можно исследовать, строя соответствующую ММ, котораядолжна позволять предсказывать уровень сигнала при заданной конфигурациизастройки, рельефе местности, погодных условиях и т. п. Масштабы средыраспространения сигнала настолько грандиозны, что эксперимент даже в одномкаком-то регионе требует существенных затрат.

Таким образом, глобальный эксперимент по исследованиюраспространения сигнала возможен, но не натурный, а вычислительный,проводящий исследования не реальной системы (окружающей среды), а ее ММ.

В науке и технике известно немало областей, в которых вычислительныйэксперимент оказывается единственно возможным при исследовании сложныхсистем.

Пригодность ММ для решения задач исследования характеризуется тем,в какой степени она обладает так называемыми целевыми свойствами, основными из которых являются адекватность, устойчивость ичувствительность.

Главная особенность моделирования в том, что оно дает возможность опосредованного познания с помощью объектов-заме- стителей. Модель выступает как своеобразный инструмент для познания, который исследователь ставит между собой и объектом, с помощью которого изучает интересующий его объект. Необходимость использования метода моделирования определяется тем, что многие объекты (или проблемы, относящиеся к этим объектам) непосредственно исследовать или вовсе невозможно (когда объект недосягаем, как, например, ядро Земли и глубины Вселенной, либо еще реально не существует: будущее состояние экономики, будущие потребности общества и т.п.), или это исследование требует много времени и средств.

Процесс моделирования состоит из трех структурных элементов: субъект (исследователь); объект исследования; модель, опосредствующая отношения познающего субъекта и познаваемого объекта (рис. 2.8).

Рис. 2.8.

Пусть имеется некоторый объект Л, который необходимо исследовать. Мы конструируем или находим подходящую модель В для объекта А. Этап построения модели предполагает наличие некоторых знаний об объекте-оригинале. Познавательные возможности модели обусловливаются тем, что модель отображает (воспроизводит, имитирует) какие-либо существенные черты объекта-оригинала. Таким образом, изучение одних сторон моделируемого объекта осуществляется ценой отказа от исследования других сторон. Для одного объекта может быть построено несколько «специализированных» моделей, концентрирующих внимание на определенных сторонах исследуемого объекта или же характеризующих объект с разной степенью детализации.

На втором этапе процесса моделирования модель выступает как самостоятельный объект исследования. Одной из форм такого исследования является проведение «модельных» экспериментов, при которых сознательно изменяются условия функционирования модели и систематизируются данные об ее «поведении». Конечным результатом этого этапа является множество (совокупность) знаний о модели.

На третьем этапе осуществляется перенос знаний с модели на оригинал - формирование множества знаний об объекте. Одновременно мы переходим с «языка» модели на «язык» оригинала. Этот процесс проводится по определенным правилам. Знания о модели должны быть скорректированы с учетом тех свойств объекта - оригинала, которые нашли отражения или были изменены при построении модели.

Четвертый этап - практическая проверка получаемых с помощью моделей знаний и их использование для построения обобщающей теории объекта, его преобразования или управления им. В итоге мы снова возвращаемся к проблематике реального объекта.

Для понимания сущности моделирования важно не упускать из виду, что моделирование - не единственный источник знаний об объекте. Процесс моделирования «погружен» в общий процесс познания. Это обстоятельство учитывается не только на этапе построения модели, но и на завершающей стадии, когда происходит объединение и обобщение результатов исследования, получаемых на основе многообразных средств познания.

Основные этапы процесса моделирования уже рассматривались выше. В различных отраслях знаний, в том числе и в экономике, они приобретают свои специфические черты. Проанализируем последовательность и содержание этапов одного цикла экономикоматематического моделирования (рис. 2.9).

Первый этап - сбор сведений об объекте исследования. Необходимо аккумулировать имеющиеся знания об экономическом объекте (процессе). Установить основные свойства, признаки и зависимости по различным источникам информации, в том числе по натурным. Выявить внутренние и внешние связи, необходимые для функционирования ресурсы, используемые технические и технологические схемы. Чем полнее будет собранная информация, тем проще будет определяться с имеющимися проблемами или возможными путями развития.

Рис. 2.9.

Второй этап - определение цели моделирования и постановка задачи. Для правильной постановки задачи важен качественный анализ собранной на первом этапе информации об экономическом объекте (процессе). Это поможет наиболее точно определиться с неизвестными характеристиками объекта, которые необходимо найти, а самое главное - с критерием, позволяющим установить, достигнута или нет конечная цель моделирования.

Поставить задачу и определиться с целью недостаточно, необходимо установить важные для достижения цели влияющие факторы, возможные предпосылки и допущения. Все факторы разделяются на существенные и несущественные, характеризующиеся количественными и качественными показателями. Установка количественных характеристик очень важна с точки зрения дальнейшего применения математического аппарата. Для качественных характеристик необходимо будет подобрать методику их числовых преобразований и алгоритм их включения в модель.

Третий этап - построение экономико-математической модели. Выполняется формализация экономической проблемы, выражения ее в виде конкретных математических зависимостей и отношений (функций, уравнений, неравенств и т.д.). Обычно сначала уточняется конкретный перечень переменных и параметров, форма связей. Затем строится непосредственно сама модель. Таким образом, построение модели подразделяется, в свою очередь, на несколько стадий.

На этом этапе важно не только правильно подобрать метод решения проблемы, но и разделить влияющие факторы на существенные и несущественные. То же можно сказать о таких характеристиках сложности модели, как используемые формы математических зависимостей (линейные и нелинейные), учет факторов случайности и неопределенности и т.д. Излишняя сложность и громоздкость модели затрудняют процесс исследования. Нужно не только учитывать реальные возможности информационного и математического обеспечения, но и сопоставлять затраты на моделирование с получаемым эффектом (при возрастании сложности модели прирост затрат может превысить прирост эффекта).

Одна из важных особенностей математических моделей - потенциальная возможность их использования для решения разнокачественных проблем. Поэтому, даже сталкиваясь с новой задачей, не нужно стремиться «изобретать» модель; вначале необходимо попытаться применить для решения этой задачи уже известные модели.

В процессе построения модели осуществляется взаимосопо- ставление трех систем научных знаний - экономических, естественных и математических. Необходимо стремиться к тому, чтобы получить модель, принадлежащую хорошо изученному классу математических задач. Часто это удается сделать путем некоторого упрощения исходных предпосылок модели, не искажающих существенных черт моделируемого объекта. Однако возможна и такая ситуация, когда формализация экономической проблемы приводит к неизвестной ранее математической структуре 1 . Потребности эко-

Советов Б.Я., Яковлев С.Л. Моделирование систем: учебник для вузов. 3-е изд., перераб. и доп. М.: Высшая школа, 2001.

номической науки и практики в середине XX в. способствовали развитию математического программирования, теории игр, функционального анализа, вычислительной математики. Вполне вероятно, что в будущем развитие экономической науки станет важным стимулом для создания новых разделов математики

Четвертый этап - анализ модели. Целью этого этапа является выяснение общих свойств модели. Здесь применяются чисто математические приемы исследования. Наиболее важный момент - доказательство существования решений в сформулированной модели (теорема существования). Если удастся доказать, что математическая задача не имеет решения, то необходимость в последующей работе по первоначальному варианту модели отпадает; следует скорректировать либо постановку экономической задачи, либо способы ее математической формализации. При аналитическом исследовании модели выясняются такие вопросы, как: единственно ли решение, какие переменные (неизвестные) могут входить в решение, каковы будут соотношения между ними, в каких пределах и в зависимости от каких исходных условий они изменяются, каковы тенденции их изменения и т.д.

Аналитическое исследование модели по сравнению с эмпирическим (численным) имеет то преимущество, что получаемые выводы сохраняют свою силу при различных конкретных значениях внешних и внутренних параметров модели.

Знание общих свойств модели имеет столь важное значение, что часто ради доказательства подобных свойств исследователи сознательно идут на идеализацию первоначальной модели. И все же модели сложных производственных объектов с большим трудом поддаются аналитическому исследованию. В тех случаях, когда аналитическими методами не удается выяснить общих свойств модели, а упрощения модели приводят к недопустимым результатам, переходят к численным методам исследования.

Пятый этап - сбор исходной информации. Данный этап не менее важен, чем остальные. От точности и полноты собранной исходной информации, необходимой для модели, зависит успешность ее дальнейшей реализации. Необходимо определить источники и методы сбора информации. Основные требования, которые предъявляются к информации, - определенность, достоверность, точность, соответствие размерности, достаточность. Для моделирования процессов в сельскохозяйственном производстве источниками информации служат годовые отчеты, технологические карты, данные первичного учета, нормативные справочники, региональные сводки, заключенные договоры и т.д. Характер информации зависит от целей задачи. Если цель связана с перспективой развития, то применяется нормативная или эталонная информация. Если решаются задачи текущего, оперативного планирования, то нормативная, отчетная и первичная. В качестве исходной информации могут использоваться данные, также полученные на основе построенных ранее зависимостей, например, статистических.

Шестой этап - численное решение модели. Математическая модель наполняется собранными на предыдущем этапе числовыми характеристиками. Такую модель принято называть развернутой числовой моделью. Этот этап включает разработку алгоритмов для численного решения задачи, составления программ на ЭВМ и непосредственное проведение расчетов. Трудности этого этапа обусловлены прежде всего большой размерностью задач, необходимостью обработки значительных массивов информации.

Численные методы - раздел математики, изучающий методы, связанные с вычислениями и поиском численных решений математических задач, в том числе с помощью ЭВМ.

Обычно расчеты по экономико-математической модели носят многовариантный характер. Благодаря высокому быстродействию современных ЭВМ удается проводить многочисленные «модельные» эксперименты, изучая «поведение» модели при различных изменениях некоторых условий. Исследование, проводимое численными методами, может существенно дополнить результаты аналитического исследования, а для многих моделей оно является единственно осуществимым. Класс задач, которые можно решать численными методами, значительно шире, чем класс задач, доступных аналитическому исследованию.

Знаете ли вы?

Первое известное применение численных методов - вавилонская табличка с расчетом приближенного значения V2 (1800 г. до н.э.). Это иррациональное число, не представимое в виде дроби. Другой пример - число та, которое к тому же трансцендентное. На практике часто не нужны точные выражения. Нужны числа. Платон: «Числа правят миром».

Седьмой этап - интерпретация численных результатов. Проверяется адекватность модели по существенным свойствам объекта. Математические методы проверки могут выявлять некорректные построения модели и тем самым сужать класс потенциально правильных моделей. Неформальный анализ теоретических выводов и численных результатов, получаемых посредством модели, сопоставление их с имеющимися знаниями и фактами действительности также позволяют обнаруживать недостатки постановки экономической задачи, сконструированной математической модели, ее информационного и математического обеспечения.

Полученные результаты согласовываются не только с целью решения, но и с точки зрения их целесообразности и практического применения. Естественно, что в зависимости от конкретных условий и характера задачи этапы моделирования могут меняться: расширяться или сокращаться. В любом случае этот процесс будет носить циклический характер.

Таким образом, математические модели, основанные на экономическом анализе, обогащают его полученными количественными оценками явлений. В процессе работы над моделью удается, сохранив качественную сторону явления, несколько уточнить логическую структуру связей, описывающих исследуемый экономический процесс. Моделирование экономических явлений - теоретическая основа применения математики в экономике.

Математическая модель выражает существенные черты объекта или процесса языком уравнений и других математических средств.

Огромный толчок развитию математического моделирования дало появление ЭВМ, хотя сам метод зародился одновременно с математикой тысячи лет назад. моделирование нелинейный задача математический

Математическое моделирование не всегда требует компьютерной поддержки. Каждый специалист, профессионально занимающийся математическим моделированием, делает все возможное для аналитического исследования модели. Аналитические решения (т. е. представленные формулами, выражающими результаты исследования через исходные данные) обычно удобнее и информативнее численных. Однако возможности аналитических методов решения сложных математических задач очень ограничены и, как правило, эти методы гораздо сложнее численных.

Этапы математического моделирования

С появлением ЭВМ метод математического моделирования занял ведущее место среди других методов исследования. Особенно важную роль этот метод играет в современной экономической науке. Изучение и прогнозирование какого-либо экономического явления методом математического моделирования позволяет проектировать новые технические средства, прогнозировать воздействие на данное явление тех или иных факторов, планировать эти явления даже при существовании нестабильной экономической ситуации.

Построение математической модели - это центральный этап исследования или проектирования любой системы. От качества модели зависит весь последующий анализ объекта. Построение модели - это процедура не формальная. Сильно зависит от исследователя, его опыта и вкуса, всегда опирается на определенный опытный материал. Модель должна быть достаточно точной, адекватной и должна быть удобна для использования.

Основные этапы моделирования

1. Постановка задачи.

Определение цели анализа и пути ее достижения и выработки общего подхода к исследуемой проблеме. На этом этапе требуется глубокое понимание существа поставленной задачи. Иногда, правильно поставить задачу не менее сложно чем ее решить. Постановка - процесс не формальный, общих правил нет.

2. Изучение теоретических основ и сбор информации об объекте оригинала.

На этом этапе подбирается или разрабатывается подходящая теория. Если ее нет, устанавливаются причинно - следственные связи между переменными описывающими объект. Определяются входные и выходные данные, принимаются упрощающие предположения.

В целях правильного построения числовой модели, получения приемлемого оптимального решения особое внимание необходимо уделять подготовке исходной информации, её переработке в технико-экономические характеристики объекта исследования.

Информация как совокупность необходимых для моделирования сведений об процессе и объекте должна быть репрезентативной, содержательной, достаточной, доступной, актуальной, своевременной, точной, достоверной, устойчивой.

На рисунке показана информация, используемая для экономико-математического моделирования. Она разделена на входную, выходную, первичную, вторичную, определенную, стохастическую, неопределенную и другую.

Входную информацию по способу ее использования подразделяют на две основные группы - условно-постоянную (справочную) и переменную.

Условно-постоянная информация объединяет большую группу зафиксированной информации, используемой неоднократно. Информация данной группы используется в моделях в виде нормативных коэффициентов, например, нормы затрат i - го вида производственных ресурсов по j - м видам деятельности, нормы выхода i - го вида продукции по j - м видам деятельности.

Переменная информация обеспечивает разработку и решение конкретной математической задачи. К переменной информации относят многие коэффициенты, сформулированные для данной числовой модели с учетом конкретных условий; задания на гарантированные объемы производства (); главным образом, информацию технико-экономического планирования, оперативных планов производственных процессов, использования средств, финансовые планы и т. п.

Переменная информация используется при моделировании, как правило, одноразово, а затем она теряет свои качества и становится непригодной для дальнейших работ.

По стадии обработки можно выделить первичную и вторичную информацию.

Первая из них возникает непосредственно в процессе деятельности объекта и регистрируется на начальной стадии, а вторичная - является результатом обработки первичной информации и может использоваться в качестве исходных данных для последующих расчетов, либо для выработки управленческих решений.

По продолжительности данные, используемые при моделировании, анализируются в разрезе одного месяца, года или ряда лет.

Информацию можно группировать по уровню обобщения: данные об отраслях, хозяйствах, группах хозяйств, муниципальных образованиях и о регионе.

По степени определенности выделяют производственно-экономическую информацию в виде определенных, стохастических и неопределенных величин.

Определенные (детерминированные) показатели производственных процессов, как правило, являются постоянными и предсказуемыми. К таким показателям относятся земельные ресурсы, площади сельскохозяйственных угодий, сельскохозяйственная техника и другие.

К стохастическим (случайным) величинам относятся такие характеристики, которые могут быть описаны с помощью вероятностных законов распределения. Во многих случаях ряды урожайностей сельскохозяйственных культур в отдельных хозяйствах подчинены гамма и логарифмически нормальному закону распределения. Для хозяйств с неустойчивым сельскохозяйственным производством в группу случайных величин могут попасть затраты, прибыль, трудовые ресурсы.

Под неопределенностью следует понимать отсутствие, неполноту, недостаточность информации об объекте, процессе, явлении или неуверенность в достоверности информации. В ряде случаев сведения о неопределенных характеристиках можно получить с помощью экспертных оценок.

Источниками информации для разработки оптимизационной модели служат годовые отчеты, производственно-финансовые и перспективные планы, данные первичного учета сельскохозяйственных предприятий, технологические карты по возделыванию и уборке сельскохозяйственных культур и выращиванию животных, а также различные нормативные справочники.

3. Формализация.

Заключается в выборе системы условных обозначений и с их помощью записывать отношения между составляющими объекта в виде математических выражений. Устанавливается класс задач, к которым может быть отнесена полученная математическая модель объекта. Значения некоторых параметров на этом этапе еще могут быть не конкретизированы.

4. Выбор метода решения.

На этом этапе устанавливаются окончательные параметры моделей с учетом условия функционирования объекта. Для полученной математической задачи выбирается какой- либо метод решения или разрабатывается специальный метод. При выборе метода учитываются знания пользователя, его предпочтения, а также предпочтения разработчика.

5. Реализация модели.

Разработав алгоритм, пишется программа, которая отлаживается, тестируется и получается решение нужной задачи.

6. Анализ полученной информации.

Сопоставляется полученное и предполагаемое решение, проводится контроль погрешности моделирования.

7. Проверка адекватности реальному объекту.

Результаты, полученные по модели сопоставляются либо с имеющейся об объекте информацией или проводится эксперимент и его результаты сопоставляются с расчётными.

Процесс моделирования является итеративным. В случае неудовлетворительных результатов этапов 6. или 7. осуществляется возврат к одному из ранних этапов, который мог привести к разработке неудачной модели. Этот этап и все последующие уточняются и такое уточнение модели происходит до тех пор, пока не будут получены приемлемые результаты.

/ этап - постановка задачи исследования, решение которой должно быть получено посредством математического моделирова­ния. На этом этапе определяют объект изучения. Однако этого не­достаточно, ибо любой объект изучения, любой процесс неисчер­паемы в своих свойствах и отношениях (связях). Поэтому следует в соответствии с задачами исследования и конкретными условия­ми выделить из них наиболее существенные, исследование кото­рых должно привести к достижению поставленных целей.

II этап - разработка математической модели. Специалисты в области разработки математических моделей утверждают, что со­ставление математической модели - творческий процесс, кото­рый нельзя уложить в рамки конкретных рекомендаций. По их мнению, интуиция, знание дела и другие интеллектуальные каче­ства, которые, в сущности, не поддаются регулированию, играют важнейшую роль в процессе построения математической модели, и поэтому невозможно написать инструкцию или учебник по по­строению математических моделей. Более того, они считают, что если бы такой учебник был написан, то его появление скорее все­го приведет к ограничению творческих возможностей и не будет способствовать их развитию. Тем не менее анализ накопленного опыта позволил выявить определенные принципы построения ма­тематических моделей поршневых компрессоров*, которые изла­гаются в главе 9 настоящего пособия.

Определенный интерес представляют работы по автоматизации некоторых операций, связанных с разработкой математических моделей. Отметим, что успешные разработки автоматизированно­го составления математических моделей поршневых компрессо­ров возможны только после разработки структуры и основных принципов построения системы математических моделей из мо­дулей с последующим составлением и накоплением модульных математических моделей на всех уровнях иерархии.

III этап - выбор или разработка числового метода, реализующе­го разработанную математическую модель.

IVэтап - проверка математической модели на адекватность.

Уэтап - исследование на математической модели. Все вычисли­тельные эксперименты по заранее намеченному плану проводятся на разработанной математической модели.

VI этап -рассмотрение вопроса о переносе полученных на мате­матической модели данных на реальный объект изучения и об ис­пользовании полученной информации в практической деятельно­сти.

Пример последовательности математического моделирования. Процессы математического моделирования компрессора сложны и разнообразны и вряд ли могут быть представлены какой-то кон­кретной универсальной последовательностью действий, справед­ливой для всех случаев. Поэтому рассмотрим одну из возможных последовательностей работ по математическому моделированию рабочих процессов, протекающих в поршневом компрессоре, ко­торая используется в МГТУ им. Н. Э. Баумана (рис. 8.2).

Представленная на рис. 8.2 последовательность работ при мате­матическом моделировании, предусматривающая 12 стадий, явля­ется одновременно и типичной, и условной. Типичной она является, поскольку в ней представлены основные действия, выполня­емые при математическом моделировании рабочих процессов в поршневых компрессорах. Условность ее заключается в том, что в ряде случаев эта последовательность может быть сокращена или дополнена в зависимости от постановки задачи исследования и наличия информации на начальной стадии исследования.

Следует учитывать, что на практике часто вопросы, входящие в состав различных стадий, решаются одновременно и стадии быва­ет трудно разделить. Кроме того, при разработке и реализации ма­тематической модели, как правило, приходится возвращаться на­зад к уже пройденным стадиям и снова решать вопросы, относя­щиеся к ним. Причем такие циклы могут повторяться многократ­но. Например, в случаях, когда на стадии «Проверка адекватности» выявляется неадекватность математической модели поставленным при исследовании задачам, приходится возвра­щаться к стадии «Схематизация процесса» и по-новому произво­дить упрощение действительного процесса или возвращаться к стадии «Подбор и получение экспериментальных данных» и уточ­нять экспериментальную информацию.

Стадии 1, 2 и 3 соответствуют I этапу математического модели­рования, стадии 4, 5, 6 и 7 - II этапу, стадия 8 - III этапу, стадия 9 - IV этапу, стадия 10 - V этапу и стадии 11 и 12 - VI этапу.

Все стадии математического моделирования (см. рис. 8.2) име­ют большое значение для успешного моделирования. Однако при разработке математической модели наибольшее значение имеют мысленное представление физической сущности процесса, его схематизация, содержательное описание схематизированного про­цесса и возможность подбора необходимых экспериментальных данных из накопленного опыта.

Содержание основных стадий моделирования. Мысленное пред­ставление (стадия 2) физической сущности процесса включает в себя выделение контрольного объема (подробнее см. в главе 9), предусматривает четкое знание количественных и качественных характеристик процесса, ясное понимание составляющих процесс явлений, их взаимосвязей и взаимодействий, правильное опреде­ление главных, наиболее существенных факторов, оказывающих влияние на изучаемый процесс.

Цель исследования должна быть конкретной и четко сформу­лирована в письменном виде (стадия 3). Последнее позволяет из­бежать недоразумений и связанных с ними трудностей при обра­щении к цели исследования на любой последующей стадии моде­лирования.

При схематизации процесса (стадия 4) вводятся и обосновыва­ются допустимые с точки зрения исследователя упрощения, кото­рые позволяют описать основные явления формально, т. е. мате­матически.

Содержательное описание математической модели (Иногда содержательное описание математической модели называют концеп­туальной моделью) (стадия 5) представляет собой текстовое описание основных подходов, фи­зических принципов, допущений и предположений, которые образуют основу для создания модели. Предположения и обоснова­ния возможных аппроксимаций и усреднений данных, вводимых в математическую модель, также входят в содержательное описа­ние. На этой стадии определяют вид и форму представления на­чальных и граничных условий, перечень необходимых экспери­ментальных данных и вид их представления в математической мо­дели. На этой стадии экспериментальные данные могут быть представлены в виде таблиц или графиков. Читатель уже встречал­ся с содержательным описанием мысленной модели идеального компрессора в § 2.1.

Составление содержательного описания математической моде­ли очень полезно при исследованиях сложных объектов и процес­сов, так как позволяет более полно осмыслить математическую модель, на понятном языке согласовать модель с заказчиком и провести консультации со специалистами.

На стадии 6 необходимо закончить запись всех математических соотношений, представить все логические отношения в виде не­равенств, а также облечь в математическую форму остальные све­дения о процессе, включая экспериментальные данные, при этом такие данные аппроксимируются соответствующими функциями или полиномами, удобными для вычисления на ЭВМ.

Взаимодействие уравнений и экспериментальных данных. На од­ной из стадий моделирования (чаще всего это бывает на стадии не­посредственного написания математической модели) целесообраз­но рассмотреть схему взаимодействия отдельных частей математи­ческой модели, взаимосвязи между уравнениями, а также между уравнениями и экспериментальными данными (рис. 8.3 и 8.4).

Основные достоинства имитационного моделирования.

Основные недостатки имитационного моделирования.

Наука, как специфический род занятий человека, его содержание и цель

13. Технические науки и техническая политика. Задачи и содержание технических наук.

15. Мышление и понятие; виды понятий - перечислить и дать характеристики.

16. Суждение и умозаключение. Две категорий умозаключений.

17. Основные этапы научного исследования.

19. Научная теория: определение, структура.

20. Системный анализ, основные этапы системного анализа

Этапы системного анализа.

21. Цель научного исследования, объект и предмет исследования

22.Фундаментальные и прикладные исследования

24. Цели и задачи теоретических исследований. Состав теоретических исследований

27. Математическая формулировка задачи исследования и математическая модель, выбор вида математической модели, виды ее контроля.

Вопрос 28. Дайте определение научного эксперимента. Виды экспериментов, классификация экспериментов

30. По характеру получения экспериментальных данных, методика планирования эксперимента подразделяется на пассивный и активный эксперименты.

31. Основные концепции математического эксперимента, обеспечивающие реализацию задач исследования. Структурная схема эксперимента.

Этапы технологического цикла вычислительного эксперимента

33. Метрологическое обеспечение экспериментальных исследований, суть измерений. Метрология – как наука об измерениях.

35. Эталоны и средства измерений, метрологическая служба.

36. Методы измерений: прямые, косвенные, абсолютные и относительные.

37. Совокупные и совместные методы измерения, непосредственные и сравнительные оценки результатов измерений.

38. Средства измерения, меры, измерительные приборы, установки и системы.

39. Технические характеристики средств измерения: погрешность, точность, стабильность, чувствительность, диапазон измерений.

40. Классы точности измерительных приборов. Проверка приборов на точность, организация проверки.

41. Технология машиностроения, как направление науки, ее цель и задачи

44. Имитационные модели информационных систем (определение). Пять особенностей применения метода исследования информационных систем

45. Основные достоинства и недостатки метода имитационного моделирования

46. Основные составляющие имитационной модели: компоненты, параметры, переменные, функциональные зависимости, ограничения, целевые функции.

47. В чем заключается суть машинного эксперимента с имитационной моделью.

Вопрос 48. Функциональные действия (фд) при реализации имитационной модели. Упрощенные действия (фд). Что порождает ошибки имитации процесса функционирования реальной системы

Определение понятий: класс объектов, работа (активность), события, процесс, фаза процесса. Описание их взаимосвязи в имитационной модели и при её реализации.

Общие черты (этапы) машинного эксперимента при решении сложных прикладных задач. Графическая схема этапов машинного эксперимента

53. Испытание имитационной модели: задание исходной информации, верификация модели, проверка адекватности и калибровка модели.

55. Информационные продукты. Библиографические базы данных (первичная и вторичная информация)

56. Что такое научный документ. Первичный и вторичный документ.

57. Опубликованные документы и непубликуемые. Виды и значения опубликованных документов: монографии, книги, брошюры, периодические издания.

59. Первичные непубликуемые документы (научно-технические отчеты, диссертации, депонированные рукописи и др.)

60. Вторичные опубликованные документы и издания: справочные, обзорные и др.

7. Математическое моделирование.

Теория математического моделирования обеспечивает выявление закономерностей протекания различных явлений окружающего мира или работы систем и устройств путем их математического описания и моделирования без проведения натурных испытаний. При этом используются положения и законы математики, описывающие моделируемые явления, системы или устройства на некотором уровне их идеализации.

Целью математического моделирования является анализ реальных процессов (в природе или технике) математическими методами. В свою очередь, это требует формализации ММ процесса, подлежащего исследованию. Модель может представлять собой математическое выражение, содержащее переменные, поведение которых аналогично поведению реальной системы. Модель может включать элементы случайности, учитывающие вероятности возможных действий двух или большего числа «игроков», как, например, в теории игр; либо она может представлять реальные переменные параметры взаимосвязанных частей действующей системы.

Математическое моделирование для исследования характеристик систем можно разделить на аналитическое, имитационное и комбинированное. В свою очередь, ММ делятся на имитационные и аналитические.

Основные этапы математического моделирования

1) Построение модели. Выбор типа математической модели. На этом этапе задается некоторый «нематематический» объект - явление природы, конструкция, экономический план, производственный процесс и т. д. При этом, как правило, четкое описание ситуации затруднено. Сначала выявляются основные особенности явления и связи между ними на качественном уровне. Затем найденные качественные зависимости формулируются на языке математики, то есть строится математическая модель. Это самая трудная стадия моделирования.

2) Решение математической задачи, к которой приводит модель . На этом этапе большое внимание уделяется разработке алгоритмов и численных методов решения задачи на ЭВМ, при помощи которых результат может быть найден с необходимой точностью и за допустимое время.

3) Интерпретация полученных следствий из математической модели. Следствия, выведенные из модели на языке математики, интерпретируются на языке, принятом в данной области.

4) Проверка адекватности модели. На этом этапе выясняется, согласуются ли результаты эксперимента с теоретическими следствиями из модели в пределах определенной точности.

5) Модификация модели. На этом этапе происходит либо усложнение модели, чтобы она была более адекватной действительности, либо ее упрощение ради достижения практически приемлемого решения.

Вопрос 8. Метрологическое обеспечение экспериментальных исследований

Под метрологическим обеспечением (МО) понимается установление и применение научных и организационных основ, технических средств, правил и норм, необходимых для достижения единства и требуемой точности измерений. Важнейшие значения в метрологии отводятся эталонам и образцовым средствам измерений (СИ), которые являются неотъемлимой частью экспериментальных исследований . К СИ относят меры, измерительные приборы, установки и системы. СИ должны соответствовать цели и задачам НИР, обеспечивать требуемое качество экспериментальных работ; иметь высокую экономическую эффективность; обеспечивать эргономические требования и требования техники безопасности.

Метрологическое обеспечение и особенно обеспечение единства измерений, однообразия средств измерения является важнейшим фактором успешного проведения научных исследований .

При разработке МО необходимо использовать системный подход, суть которого состоит в рассмотрении указанного обеспечения как совокупности взаимосвязанных процессов, объединенных одной целью – достижением требуемого качества измерений .

Таким образом, требования к метрологическому обеспечению научных исследований и экспериментов должны предусматривать:

установление метрологических требований, правил и норм в методиках проведения экспериментальных исследований;

обеспечение экспериментальных исследований необходимыми методами и средствами измерений, контроля, испытаний, средствами и методами поверки (калибровки) СИ .

Общая характеристика математических методов в научных исследованиях

Решение практических задач математическими методами осуществляется путем реализации этапов следующего алгоритма: разработка математической модели; выбор метода проведения исследования математической модели; анализ полученного математического результата.

Математическая модель − система формул, функций, уравнений, средствами которых описывается то или иное явление, процесс, объект в целом. При разработке модели нужно учитывать все реально существующие связи факторов и параметров, хотя при этом нельзя забывать о возможности последующего решения математической модели. Следует прибегать к каким-либо упрощениям, допущениям, аппроксимациям.

Установление общих характеристик объекта позволяют выбрать математический аппарат, на базе которого и строится математическая модель. Для описания объектов с большим количеством параметров возможно разделение объекта на подсистемы.

Не стоит забывать, что особенное место на этапе выбора вида математической модели занимает описание входных сигналов в выходные характеристики объекта.

Если характер изменения исследуемого показателя не известен, то ставится поисковый эксперимент и предпочтение отдается той математической формуле, которая дает наилучшее совпадение с данными поискового эксперимента. Результаты поискового эксперимента и априорный информационный массив позволяют установить схему взаимодействия объекта с внешней средой по соотношению входных и выходных величин.

Процесс выбора математической модели объекта заканчивается ее предварительным контролем. При этом осуществляются следующие виды контроля: размерностей; порядков; характера зависимостей; экстремальных ситуаций; граничных условий; математической замкнутости; физического смысла; устойчивости модели.

10. Оптимизация в исследовании (О) - (от лат. optimus-наилучший) - понимают целенаправленную деятельность, заключающуюся в получении наилучших результатов при соответствующих условиях. Постановка задачи О. предполагает наличие ее объекта, набора независимых параметров (переменных), описывающих данную задачу, а также условий (часто наз. ограничениями), характеризующие приемлемые значения независимых переменных, которые и образуют модель рассматриваемой системы.Еще одной обязательным условием описания оптимизационной задачи служит мера "качества", носящая название критерия оптимизации и зависящая от переменных О. Решение оптимизационной задачи - поиск определенного набора значений переменных, которому отвечает оптимизационное значение критерия О.

Описанные и построенные модели реального объекта – важнейший этап оптимизационного исследования, так как он определяет практическую ценность получаемого решения и возможность его реализации.

Процесс оптимизации с использованием модели можно рассматривать как метод отыскания оптимального решения для реального объекта без непосредственного экспериментирования с самим объектом. «Прямой» путь, ведущий к оптимальному решению, заменяется «обходным», включающим построение и оптимизацию модели, а также преобразование полученных результатов в практически реализуемую форму. При формировании такой модели следует учитывать характеристики объекта, которые должны быть отражены в модели, а менее существенные особенности в модель можно не включать. Необходимо сформулировать логически обоснованные допущения, выбрать форму представления модели, уровень ее детализации и метод реализации на ЭВМ. Все это относятся к этапу построения модели. Модели можно упорядочить по степени адекватности описания поведения реального объекта. Таким образом, качество модели нельзя оценивать ни по структуре, ни по форме. Единственным критерием такой оценки может служить лишь достоверность полученных на модели примеров поведения реального объекта.