Математический анализ. Условия, налагаемые извне. Математические методы в экономическом анализе
В истории математики условно можно выделить два основных периода: элементарной и современной математики. Рубежом, от которого принято вести отсчет эпохи новой (иногда говорят - высшей) математики, стал XVII век – век появления математического анализа. К концу XVII в. И. Ньютоном, Г. Лейбницем и их предшественниками был создан аппарат нового дифференциального исчисления и интегрального исчисления, составляющий основу математического анализа и даже, пожалуй, математическую основу всего современного естествознания.
Математический анализ – это обширная область математики с характерным объектом изучения (переменной величиной), своеобразным методом исследования (анализом посредством бесконечно малых или посредством предельных переходов), определенной системой основных понятий (функция, предел, производная, дифференциал, интеграл, ряд) и постоянно совершенствующимся и развивающимся аппаратом, основу которого составляют дифференциальное и интегральное исчисления.
Попробуем дать представление о том, какая математическая революция произошла в XVII в., чем характеризуется связанный с рождением математического анализа переход от элементарной математики к той, что ныне составляет предмет исследований математического анализа и чем объясняется его фундаментальная роль во всей современной системе теоретических и прикладных знаний.
Представьте себе, что перед вами прекрасно выполненная цветная фотография набегающей на берег штормовой океанской волны: могучая сутуловатая спина, крутая, но чуть впалая грудь, уже наклоненная вперед и готовая упасть голова с терзаемой ветром седой гривой. Вы остановили мгновение, вам удалось поймать волну, и вы можете теперь без спешки внимательно изучать ее во всех подробностях. Волну можно измерить, и, пользуясь средствами элементарной математики, вы сделаете много важных выводов об этой волне, а значит, и всех ее океанских сестрах. Но, остановив волну, вы лишили ее движения и жизни. Ее зарождение, развитие, бег, сила, с которой она обрушивается на берег, - все это оказалось вне вашего поля зрения, потому что вы не располагаете пока ни языком, ни математическим аппаратом, пригодными для описания и изучения не статических, а развивающихся, динамических процессов, переменных величин и их взаимосвязей.
«Математический анализ не менее всеобъемлющ, чем сама природа: он определяет все ощутимые взаимосвязи, измеряет времена, пространства, силы, температуры». Ж. Фурье
Движение, переменные величины и их взаимосвязи окружают нас повсюду. Различные виды движения и их закономерности составляют основной объект изучения конкретных наук: физики, геологии, биологии, социологии и др. Поэтому точный язык и соответствующие математические методы описания и изучения переменных величин оказались необходимыми во всех областях знания примерно в той же степени, в какой числа и арифметика необходимы при описании количественных соотношений. Так вот, математический анализ и составляет основу языка и математических методов описания переменных величин и их взаимосвязей. В наши дни без математического анализа невозможно не только рассчитать космические траектории, работу ядерных реакторов, бег океанской волны и закономерности развития циклона, но и экономично управлять производством, распределением ресурсов, организацией технологических процессов, прогнозировать течение химических реакций или изменение численности различных взаимосвязанных в природе видов животных и растений, потому что все это - динамические процессы.
Элементарная математика была в основном математикой постоянных величин, она изучала главным образом соотношения между элементами геометрических фигур, арифметические свойства чисел и алгебраические уравнения. Ее отношение к действительности в какой-то мере можно сравнить с внимательным, даже тщательным и полным изучением каждого фиксированного кадра киноленты, запечатлевшей изменчивый, развивающийся живой мир в его движении, которого, однако, не видно на отдельном кадре и которое можно наблюдать, только посмотрев ленту в целом. Но как кино немыслимо без фотографии, так и современная математика невозможна без той ее части, которую мы условно называем элементарной, без идей и достижений многих выдающихся ученых, разделенных порой десятками столетий.
Математика едина, и «высшая» ее часть связана с «элементарной» примерно так же, как следующий этаж строящегося дома связан с предшествующим, и ширина горизонтов, которые математика открывает нам в окружающий мир, зависит от того, на какой этаж этого здания нам удалось подняться. Родившийся в XVII в. математический анализ открыл нам возможности для научного описания, количественного и качественного изучения переменных величин и движения в широком смысле этого слова.
Каковы же предпосылки появления математического анализа?
К концу XVII в. сложилась следующая ситуация. Во-первых, в рамках самой математики за долгие годы накопились некоторые важные классы однотипных задач (например, задачи измерения площадей и объемов нестандартных фигур, задачи проведения касательных к кривым) и появились методы их решения в различных частных случаях. Во-вторых, оказалось, что эти задачи теснейшим образом связаны с задачами описания произвольного (не обязательно равномерного) механического движения, и в частности с вычислением его мгновенных характеристик (скорости, ускорения в любой момент времени), а также с нахождением величины пройденного пути для движения, происходящего с заданной переменной скоростью. Решение этих проблем было необходимо для развития физики, астрономии, техники.
Наконец, в-третьих, к середине XVII в. трудами Р. Декарта и П. Ферма были заложены основы аналитического метода координат (так называемой аналитической геометрии), позволившие сформулировать разнородные по своему происхождению геометрические и физические задачи на общем (аналитическом) языке чисел и числовых зависимостей, или, как мы теперь говорим, числовых функций.
|
НИКОЛАЙ НИКОЛАЕВИЧ ЛУЗИН
Н. Н. Лузин – советский математик, основоположник советской школы теории функций, академик (1929). Лузин родился в Томске, учился в томской гимназии. Формализм гимназического курса математики оттолкнул от себя талантливого юношу, и лишь способный репетитор смог раскрыть перед ним красоту и величие математической науки. В 1901 г. Лузин поступил на математическое отделение физико-математического факультета Московского университета. С первых лет обучения в круг его интересов попали вопросы, связанные с бесконечностью. В конце XIX в. немецкий ученый Г. Кантор создал общую теорию бесконечных множеств, получившую многочисленные применения в исследовании разрывных функций. Лузин начал изучать эту теорию, но его занятия были прерваны в 1905 г. Студенту, принимавшему участие в революционной деятельности, пришлось на время уехать во Францию. Там он слушал лекции виднейших французских математиков того времени. По возвращении в Россию Лузин окончил университет и был оставлен для подготовки к профессорскому званию. Вскоре он вновь уехал в Париж, а затем в Геттинген, где сблизился со многими учеными и написал первые научные работы. Основной проблемой, интересовавшей ученого, был вопрос о том, могут ли существовать множества, содержащие больше элементов, чем множество натуральных чисел, но меньше, чем множество точек отрезка (проблема континуума). Для любого бесконечного множества, которое можно было получить из отрезков с помощью операций объединения и пересечения счетных совокупностей множеств, эта гипотеза выполнялась, и, чтобы решить проблему, нужно было выяснить, какие еще есть способы конструирования множеств. Одновременно Лузин изучал вопрос, можно ли представить любую периодическую функцию, даже имеющую бесконечно много точек разрыва, в виде суммы тригонометрического ряда, т.е. суммы бесконечного множества гармонических колебаний. По этим вопросам Лузин получил ряд значительных результатов и в 1915 г. защитил диссертацию «Интеграл и тригонометрический ряд», за которую ему сразу присудили ученую степень доктора чистой математики, минуя существовавшую в то время промежуточную степень магистра. В 1917 г. Лузин стал профессором Московского университета. Талантливый преподаватель, он привлекал к себе наиболее способных студентов и молодых математиков. Своего расцвета школа Лузина достигла в первые послереволюционные годы. Ученики Лузина образовали творческий коллектив, который шутливо называли «лузитанией». Многие из них получили первоклассные научные результаты еще на студенческой скамье. Например, П. С. Александров и М. Я. Суслин (1894-1919) открыли новый метод конструирования множеств, что послужило началом развития нового направления - дескриптивной теории множеств. Исследования в этой области, проводившиеся Лузиным и его учениками, показали, что обычных методов теории множеств недостаточно для решения многих возникавших в ней проблем. Научные предвидения Лузина полностью подтвердились в 60-е гг. XX в. Многие ученики Н. Н. Лузина стали впоследствии академиками и членами-корреспондентами АН СССР. Среди них П. С. Александров. А. Н. Колмогоров. М. А. Лаврентьев, Л. А. Люстерник, Д. Е. Меньшов, П. С. Новиков. Л. Г. Шнирельман и другие. Современные советские и зарубежные математики в своих работах развивают идеи Н. Н. Лузина. |
Стечение этих обстоятельств и привело к тому, что в конце XVII в. двум ученым – И. Ньютону и Г. Лейбницу – независимо друг от друга удалось создать для решения названных задач математический аппарат, подытоживший и обобщивший отдельные результаты предшественников, среди которых и ученый древности Архимед и современники Ньютона и Лейбница – Б. Кавальери, Б. Паскаль, Д. Грегори, И. Барроу. Этот аппарат и составил основу математического анализа – нового раздела математики, изучающего различные развивающиеся процессы, т.е. взаимосвязи переменных величин, которые в математике называют функциональными зависимостями или, иначе, функциями. Кстати, сам термин «функция» потребовался и естественно возник именно в XVII в., а к настоящему времени он приобрел не только общематематическое, но и общенаучное значение.
Начальные сведения об основных понятиях и математическом аппарате анализа даны в статьях «Дифференциальное исчисление» и «Интегральное исчисление».
В заключение хотелось бы остановиться только на одном общем для всей математики и характерном для анализа принципе математического абстрагирования и в этой связи объяснить, в каком виде математический анализ изучает переменные величины и в чем секрет такой универсальности его методов для изучения всевозможных конкретных развивающихся процессов и их взаимосвязей.
Рассмотрим несколько поясняющих примеров и аналогий.
Мы порой уже не отдаем себе отчета в том, что, например, математическое соотношение , написанное не для яблок, стульев или слонов, а в отвлеченном от конкретных объектов абстрактном виде, - выдающееся научное завоевание. Это математический закон, который, как показывает опыт, применим к различным конкретным объектам. Значит, изучая в математике общие свойства отвлеченных, абстрактных чисел, мы тем самым изучаем количественные соотношения реального мира.
Например, из школьного курса математики известно, что , поэтому в конкретной ситуации вы могли бы сказать: «Если мне для перевозки 12 т грунта не выделят два шеститонных самосвала, то можно запросить три четырехтонки и работа будет выполнена, а если дадут только одну четырехтонку, то ей придется сделать три рейса». Так привычные теперь для нас отвлеченные числа и числовые закономерности связаны с их конкретными проявлениями и приложениями.
Примерно так же связаны законы изменения конкретных переменных величин и развивающихся процессов природы с той абстрактной, отвлеченной формой-функцией, в которой они появляются и изучаются в математическом анализе.
Например, абстрактное соотношение может быть отражением зависимости кассового сбора у кинотеатра от количества проданных билетов, если 20 – это 20 копеек – цена одного билета. Но если мы едем по шоссе на велосипеде, проезжая 20 км в час, то это же соотношение можно истолковать как взаимосвязь времени (часов) нашей велосипедной прогулки и покрытого за это время расстояния (километров)., вы всегда можете утверждать, что, например, изменение в несколько раз приводит к пропорциональному (т.е. во столько же раз) изменению величины , а если , то верно и обратное заключение. Значит, в частности, для увеличения кассового сбора кинотеатра в два раза вам придется привлечь вдвое больше зрителей, а для того, чтобы на велосипеде с той же скоростью проехать вдвое большее расстояние, вам придется ехать вдвое дольше.
Математика изучает и простейшую зависимость , и другие, значительно более сложные зависимости в отвлеченном от частной интерпретации, общем, абстрактном виде. Выявленные в таком исследовании свойства функции или методы изучения этих свойств будут носить характер общих математических приемов, заключений, законов и выводов, применимых к каждому конкретному явлению, в котором встречается изученная в абстрактном виде функция, независимо от того, к какой области знания это явление относится.
Итак, математический анализ как раздел математики оформился в конце XVII в. Предметом изучения в математическом анализе (как он представляется с современных позиций) являются функции, или, иначе, зависимости между переменными величинами.
С возникновением математического анализа математике стало доступно изучение и отражение развивающихся процессов реального мира; в математику вошли переменные величины и движение.
Математическое исследование благодаря своей универсальности применяется в областях, весьма далеких от математики. Это объясняется тем, что любое положение, правило или закон, записанные на математическом языке, ста- новятся инструментом предсказания (прогнозирования), являющегося важнейшей задачей каждого научного исследования.
Основой традиционной (классической) математики является система аксиом, из которых методом дедукции получают результаты, представляемые в виде лемм, теорем и т.п. Получаемые на их основе аналитические решения в пределе являются точными. В рамках этих методов исследуются вопросы существования решений, их единственности, а также устойчивости и сходимости к абсолютно точным решениям при неограниченном возрастании их числа.
Разработка таких методов способствует развитию собственно математики (появлению новых ее разделов и направлений). Однако для решения многих прикладных задач они оказываются малоэффективными, так как для их использования необходимо вводить массу допущений, приводящих к тому, что математическая модель исследуемого процесса оказывается существенно отличающейся от реального физического процесса.
В связи с этим в математике возникло ответвление, называемое прикладной математикой. Ее основное отличие от традиционной состоит в том, что здесь находится не точное, а приближенное решение с точностью, достаточной для инженерных приложений, но без учета тех допущений, которые принимаются в рамках классической математики. Оценка точности полученных решений выполняется путем сравнения с точными решениями каких-либо тестовых задач либо с результатами экспериментальных исследований.
К методам прикладной математики относятся вариационные (Ритца, Треффтца, Канторовича и др.), ортогональные методы взвешенных невязок (Бубнова-Галеркина, Канторовича), коллокаций, моментов, наименьших квадратов и др.; вариационно-разностные методы (конечных элементов, граничных элементов; спектральный метод и др.)- Все они относятся к группе так называемых прямых методов - это такие приближенные аналитические методы решения задач математической физики, которые сводят решение дифференциальных и интегральных уравнений к решению систем алгебраических линейных уравнений. Коротко остановимся на хронологии развития этих методов и их физической сути.
В 1662 г. французский математик П. Ферма сформулировал закон преломления света на границе двух сред следующим образом: из всех возможных путей движения света от пункта А к пункту В реализуется тот, на котором время движения достигает минимума. Это была одна из первых формулировок вариационного принципа.
В 1696 г. И. Бернулли сформулировал задачу нахождения длины пути (траектории), по которому материальная точка, двигаясь от точки А под действием только силы тяжести, за наименьшее время достигает точки В. Нахождение такой кривой, называемой брахистохроной (кривой наискорейшего спуска), сводится к определению минимума функционала
при граничных условиях у (0) = 0; у{а) = у а, являющихся координатами точек начала и конца движения.
Здесь Т - время наискорейшего спуска; g - ускорение силы тяжести.
Введением функционала (а) было положено начало появлению вариационного исчисления. Подобные функционалы в общем виде записываются следующим образом:
при граничных условиях у(а) = А = const, y(b) = В = const.
Обычно в задачах математической физики находятся экстремумы некоторых функций у = у(х). Значение вариационного исчисления заключается в том, что здесь определяются экстремумы более сложных, чем функции, величин - экстремумы функционалов J =J от функций у(х). В связи с чем открылись возможности исследования новых физических объектов и развития новых математических направлений.
В 1774 г. Л. Эйлер показал, что если функция у(х) доставляет минимум линейному интегралу J = J [у (х), то она должна удовлетворять некоторым дифференциальным уравнениям, названным впоследствии уравнениями Эйлера. Открытие этого факта явилось важным достижением математического моделирования (построения математических моделей). Стало ясно, что одна и та же математическая модель может быть представлена в двух эквивалентных видах: в виде функционала или в виде дифференциального уравнения Эйлера (системы дифференциальных уравнений). В связи с этим замена дифференциального уравнения функционалом получила название обратной задачи вариационного исчисления. Таким образом, решение задачи на экстремум функционала можно рассматривать так же, как и решение соответствующего этому функционалу дифференциального уравнения Эйлера. Следовательно, математическая постановка одной и той же физической задачи может быть представлена либо в виде функционала с соответствующими граничными условиями (экстремум этого функционала доставляет решение физической задачи), либо в виде соответствующего этому функционалу дифференциального уравнения Эйлера с теми же граничными условиями (интегрирование этого уравнения доставляет решение поставленной задачи).
Широкому распространению вариационных методов в прикладных науках способствовало появление в 1908 г. публикации В. Ритца, связанной с методом минимизации функционалов, названным впоследствии методом Ритца. Этот метод считается классическим вариационным методом. Основная его идея заключается в том, что искомая функция у = у(х) у доставляющая функционалу (А) с граничными условиями у (а) = А, у(Ъ ) = В минимальное значение, разыскивается в виде ряда
где Cj (i = 0, гг) - неизвестные коэффициенты; (р/(д) (г = 0, п) - координатные функции (алгебраический или тригонометрический полипом).
Координатные функции находятся в таком виде, чтобы они точно удовлетворяли граничным условиям задачи.
Подставляя (с) в (А), после определения производных от функционалаJ по неизвестным С, (г = 0, гг) относительно последних получается система алгебраических линейных уравнений. После определения коэффициентов С, решение задачи в замкнутом виде находится из (с).
При использовании большого числа членов ряда (с) (п - 5 ? °о) в принципе можно получить решение требуемой точности. Однако, как показыва- ют расчеты конкретных задач, матрица коэффициентов С, (г = 0, п) представляет собой заполненную квадратную матрицу с большим разбросом коэффициентов по абсолютной величине. Такие матрицы близки к вырожденным и, как правило, являются плохо обусловленными. Это связано с тем, что они не удовлетворяют ни одному из условий, при которых матрицы могут быть хорошо обусловленными. Рассмотрим некоторые из этих условий.
- 1. Положительная определенность матрицы (члены, находящиеся на главной диагонали, должны быть положительными и максимальными).
- 2. Ленточный вид матрицы относительно главной диагонали при минимальной ширине ленты (коэффициенты матрицы, находящиеся вне ленты, равны нулю).
- 3. Симметричность матрицы относительно главной диагонали.
В связи с этим при увеличении приближений в методе Ритца число обусловленности матрицы, определяемое отношением ее максимального собственного числа к минимальному, устремляется к бесконечно большой величине. А точность получаемого при этом решения ввиду быстрого накопления ошибок округления при решении больших систем алгебраических линейных уравнений может не улучшаться, а ухудшаться.
Наряду с методом Ритца развивался родственный с ним метод Галерки- на. В 1913 г. И. Г. Бубнов установил, что алгебраические линейные уравнения относительно неизвестных С, (/ = 0, п ) из (с) можно получать, не используя функционал вида (А). Математическая постановка задачи в данном случае включает дифференциальное уравнение с соответствующими граничными условиями. Решение, как и в методе Ритца, принимается в виде (с). Благодаря особой конструкции координатных функций ф,(х) решение (с) точно удовлетворяет граничным условиям задачи. Для определения неизвестных коэффициентов С, (г = 0, п) составляется невязка дифференциального уравнения и требуется ортогональность невязки ко всем координатным функциям ф 7 Сг) (/ = i = 0, п). Определяя получающиеся при этом интегралы, относительно неизвестных коэффициентов С, (г = 0, гг) получаем систему алгебраических линейных уравнений, которая полностью совпадает с системой аналогичных уравнений метода Ритца. Таким образом, при решении одних и тех же задач с использованием одинаковых систем координатных функций методы Ритца и Бубнова - Галеркина приводят к одинаковым результатам.
Несмотря на идентичность получаемых результатов, важным преимуществом метода Бубнова-Галеркина по сравнению с методом Ритца является то, что он не требует построения вариационного аналога (функционала) дифференциального уравнения. Отметим, что подобный аналог не всегда может быть построен. В связи с этим методом Бубнова-Галеркина могут быть решены задачи, для которых классические вариационные методы неприменимы.
Еще одним методом, относящимся к группе вариационных, является метод Канторовича . Его отличительным признаком является то, что в качестве неизвестных коэффициентов в линейных комбинациях вида (с) принимаются не константы, а функции, зависящие от одной из независимых переменных задачи (например, времени). Здесь, как и в методе Бубнова-Галеркина, составляется невязка дифференциального уравнения и требуется ортогональность невязки ко всем координатным функциям (ру(дг) (j = i = 0, п). После определения интегралов относительно неизвестных функций fj(x) будем иметь систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Методы решения таких систем хорошо разработаны (имеются стандартные программы для ЭВМ).
Одним из направлений при решении краевых задач является совместное использование точных (Фурье, интегральных преобразований и др.) и приближенных (вариационных, взвешенных невязок, коллокаций и др.) аналитических методов. Такой комплексный подход позволяет наилучшим образом использовать положительные стороны этих двух важнейших аппаратов прикладной математики, так как появляется возможность без проведения тонких и громоздких математических расчетов в простой форме получать выражения, эквивалентные главной части точного решения, состоящего из бесконечного функционального ряда. Для практических расчетов, как правило, используется именно эта час- тичная сумма нескольких слагаемых . При использовании таких методов для получения более точных результатов на начальном участке параболической координаты необходимо выполнять большое число приближений. Однако при большом п координатные функции с соседними индексами приводят к алгебраическим уравнениям, связанным почти линейной зависимостью. Матрица коэффициентов в этом случае, являясь заполненной квадратной матрицей, близка к вырожденной и оказывается, как правило, плохо обусловленной. И при п - 3 ? °° приближенное решение может не сходиться даже к слабо точному решению. Решение систем алгебраических линейных уравнений с плохо обусловленными матрицами представляет существенные технические трудности вследствие быстрого накопления ошибок округления. Поэтому такие системы уравнений необходимо решать с большой точностью промежуточных вычислений .
Особое место среди приближенных аналитических методов, позволяющих получать аналитические решения на начальном участке временной (параболической) координаты занимают методы, в которых используется понятие фронта температурного возмущения. Согласно этим методам, весь процесс нагрева или охлаждения тел формально разделяется на две стадии. Первая из них характеризуется постепенным распространением фронта температурного возмущения от поверхности тела к его центру, а вторая - изменением температуры но всему объему тела вплоть до наступления стационарного состояния. Такое разделение теплового процесса по времени на две стадии позволяет осуществлять поэтапное решение задач нестационарной теплопроводности и для каждой из стадий в отдельности, как правило, уже в первом приближении находить удовлетворительные по точности, достаточно простые и удобные в инженерных приложениях расчетные формулы. Данные методы обладают и существенным недостатком, заключающимся в необходимости априорного выбора координатной зависимости искомой температурной функции. Обычно принимаются квадратичная или кубическая параболы. Эта неоднозначность решения порождает проблему точности, так как, принимая заранее тот или иной профиль температурного поля, всякий раз будем получать различные конечные результаты.
Среди методов, в которых используется идея конечной скорости перемещения фронта температурного возмущения, наибольшее распространение получил интегральный метод теплового баланса . С его помощью уравнение в частных производных удается свести к обыкновенному дифференциальному уравнению с заданными начальными условиями, решение которого довольно часто можно получить в замкнутом аналитическом виде. Интегральный метод, например, можно использовать для приближенного решения задач, когда теплофизические свойства не являются постоянными, а определяются сложной функциональной зависимостью, и задач, в которых совместно с теплопроводностью приходится также учитывать и конвекцию. Интегральному методу также присущ отмеченный выше недостаток - априорный выбор температурного профиля, что порождает проблему однозначности решения и приводит к низкой его точности.
Многочисленные примеры применения интегрального метода к решению задач теплопроводности приведены в работе Т. Гудмена . В этой работе наряду с иллюстрацией больших возможностей показана и его ограниченность. Так, несмотря на то что многие задачи успешно решаются интегральным методом, существует целый класс задач, для которых этот метод практически не применим. Это, например, задачи с импульсным изменением входных функций. Причина обусловлена тем, что температурный профиль в виде квадратичной или кубической параболы не соответствует истинному профилю температур для таких задач. Поэтому если истинное распределение температуры в исследуемом теле принимает вид немонотонной функции, то получить удовлетворительное решение, согласующееся с физическим смыслом задачи, ни при каких условиях не удается.
Очевидный путь повышения точности интегрального метода - использование полиномиальных температурных функций более высокого порядка. В этом случае основные граничные условия и условия плавности на фронте температурного возмущения не являются достаточными для определения коэффициентов таких полиномов. В связи с этим возникает необходимость поиска недостающих граничных условий, которые совместно с заданными позволили бы определять коэффициенты оптимального температурного профиля более высокого порядка, учитывающего все физические особенности исследуемой задачи. Такие дополнительные граничные условия могут быть получены из основных граничных условий и исходного дифференциального уравнения их дифференцированием в граничных точках но пространственной координате и но времени .
При исследовании различных задач теплообмена предполагают, что теп- лофизические свойства не зависят от температуры, а в качестве граничных принимают линейные условия. Однако если температура тела изменяется в широких пределах, то ввиду зависимости теплофизических свойств от температуры уравнение теплопроводности становится нелинейным. Его решение значительно усложняется, и известные точные аналитические методы оказываются неэффективными. Интегральный метод теплового баланса позволяет преодолеть некоторые трудности, связанные с нелинейностью задачи. Например, с его помощью уравнение в частных производных с нелинейными граничными условиями приводится к обыкновенному дифференциальному уравнению с заданными начальными условиями, решение которого часто может быть получено в замкнутой аналитической форме.
Известно, что точные аналитические решения в настоящее время получены лишь для задач в упрощенной математической постановке, когда не учитываются многие важные характеристики процессов (нелинейность, переменность свойств и граничных условий и пр.). Все это приводит к существенному отклонению математических моделей от реальных физических процессов, протекающих в конкретных энергетических установках. К тому же точные решения выражаются сложными бесконечными функциональными рядами, которые в окрестностях граничных точек и при малых значениях временной координаты являются медленно сходящимися. Такие решения малопригодны для инженерных приложений, и особенно в случаях, когда решение температурной задачи является промежуточным этапом решения каких-либо других задач (задач термоуиругости, обратных задач, задач управления и др.). В связи с этим большой интерес представляют перечисленные выше методы прикладной математики, позволяющие получать решения, хотя и приближенные, но в аналитической форме, с точностью, во многих случаях достаточной для инженерных приложений. Эти методы позволяют значительно расширить круг задач, для которых могут быть получены аналитические решения по сравнению с классическими методами.
Сравним методику применения математики в практических исследованиях с методикой других естественных наук. Такие науки, как физика, химия, биология изучают непосредственно сам реальный объект (возможно в уменьшенных масштабах и в лабораторных условиях). Научные результаты, после необходимой проверки, также непосредственно можно применить на практике. Математика же изучает не сами объекты, а их модели. Описание объекта и формулировка проблемы переводятся с обычного языка на «язык математики» (формализуются), в результате чего получается математическая модель. Далее эта модель исследуется как математическая задача. Полученные научные результаты не сразу применяются на практике, так как они сформулированы на математическом языке. Поэтому осуществляется обратный процесс - содержательная интерпретация (на языке исходной проблемы) полученных математических результатов. Только после этого решается вопрос об их применении на практике.
Неотъемлемой частью методики прикладной математики является всесторонний анализ реальной проблемы, предшествующий ее математическому моделированию. В целом системный анализ проблемы, предполагает выполнение следующих этапов:
· гуманитарный (доматематический) анализ проблемы;
· математическое исследование проблемы;
· применение полученных результатов на практике.
Проведение такого системного анализа каждой конкретной проблемы должно осуществляться исследовательской группой, включающей экономистов (как постановщиков проблемы или заказчиков), математиков, юристов, социологов, психологов, экологов и т. д. Причем математики, как основные исследователи, должны участвовать не только в «решении» задачи, но и в ее постановке, а также во внедрении результатов на практике.
Для проведения математических исследований экономической задачи требуется выполнение следующих основных этапов:
1. изучение предметной области и определение цели исследования;
2. формулировка проблемы;
3. сбор данных (статистических, экспертных и прочих);
4. построение математической модели;
5. выбор (или разработка) вычислительного метода и построение алгоритма решения задачи;
6. программирование алгоритма и отладка программы;
7. проверка качества модели на контрольном примере;
8. внедрение результатов на практике.
Этапы 1 -3 относятся к доматематической части исследования. Предметная область должна быть досконально изучена самими экономистами для того, чтобы они, как заказчики, могли четко сформулировать проблему и определить цели перед исследователями. Исследователям должны быть предоставлены все необходимые документальные и статистические данные в исчерпывающем объеме. Математиками производится организация, хранения, анализ и обработка данных, предоставленных им в удобной (электронной) форме заказчиками.
Этапы 4 -7 относятся к математической части исследований. Результатом этого этапа является формулировка исходной проблемы в виде строгой математической задачи. Математическую модель редко можно «подобрать» из числа имеющихся, известных моделей (рис.1.1). Процесс подбора параметров модели таким образом, чтобы она соответствовала изучаемому объекту, называется идентификацией модели . Исходя из характера полученной модели (задачи) и цели исследования выбирают либо известный метод, либо приспосабливают (модифицируют) известный метод, либо разрабатывают новый. После этого составляют алгоритм (порядок решения задачи) и программу для ЭВМ. Полученные с помощью этой программы результаты анализируют: решают тестовые задачи, вводят необходимые изменения и исправления в алгоритм и программу.
Если для «чистой» математики традиционным является однократный выбор математической модели и однократная формулировка допущений в самом начале исследования, то в прикладных работах часто бывает полезно вернуться к модели и внести в нее исправления после того, как первый тур пробных расчетов уже произведен. Более того, часто оказывается плодотворным сопоставление моделей, когда одно и то же явление описывается не одной, а несколькими моделями. Если выводы оказываются (приблизительно) одними и теми же при разных моделях, разных методах исследования - это является свидетельством правильности расчетов, адекватности модели самому объекту, объективности выдаваемых рекомендаций.
Заключительный этап 8 проводится совместными усилиями заказчиков и разработчиков модели.
Результаты математических (как и всяких научных) исследований являются только рекомендацией к использованию на практике. Окончательное решение этого вопроса - применять модель или нет - зависит от заказчика, т. е. от лица ответственного за исход и за последствия, к которым приведет применение рекомендуемых результатов.
Для построения математической модели конкретной экономической задачи (проблемы) рекомендуется выполнение следующей последовательности работ:
1. определение известных и неизвестных величин, а также существующих условий и предпосылок (что дано и что требуется найти?);
2. выявление важнейших факторов проблемы;
3. выявление управляемых и неуправляемых параметров;
4. математическое описание посредством уравнений, неравенств, функций и иных отношений взаимосвязей между элементами модели (параметрами, переменными), исходя из содержания рассматриваемой задачи.
Известные параметры задачи относительно ее математической модели считаются внешними (заданными априори, т. е. до построения модели). В экономической литературе они называются экзогенными переменными . Значение же изначально неизвестных переменных вычисляются в результате исследования модели, поэтому по отношению к модели они считаются внутренними . В экономической литературе они называются эндогенными переменными .
В § 2 под важнейшими понимаются факторы, которые играют существенную роль в самой задаче и которые, так или иначе, влияют на конечный результат. В § 3 управляемыми называются те параметры задачи, которым можно придавать произвольные числовые значения исходя из условий задачи; неуправляемыми считаются те параметры, значение которых зафиксировано и не подлежит изменению.
С точки зрения назначения, можно выделить описательные модели и модели принятия решения . Описательные модели отражают содержание и основные свойства экономических объектов как таковых. С их помощью вычисляются числовые значения экономических факторов и показателей.
Модели принятия решения помогают найти наилучшие варианты плановых показателей или управленческих решений. Среди них наименее сложным являются оптимизационные модели, посредством которых описываются (моделируются) задачи типа планирования, а наиболее сложными - игровые модели, описывающие задачи конфликтного характера с учетом пересечения различных интересов. Эти модели отличаются от описательных тем, что в них имеется возможность выбора значений управляющих параметров (что отсутствует в описательных моделях).
Примеры составления математических моделей
Пример 1.1. Пусть некоторый экономический регион производит несколько видов продуктов исключительно своими силами и только для населения данного региона. Предполагается, что технологический процесс отработан, а спрос населения на эти товары изучен. Надо определить годовой объем выпуска продуктов, с учетом того, что этот объем должен обеспечить как конечное, так и производственное потребление.
Составим математическую модель этой задачи. По условию даны: виды продуктов, спрос на них и технологический процесс; требуется найти объем выпуска каждого вида продукта Обозначим известные величины: - спрос населения на -й продукт ; - количество i-го продукта, необходимое для выпуска единицы -го продукта по данной технологии 
. Обозначим неизвестные величины: - объем выпуска -го продукта . Совокупность 
называется вектором спроса, числа - технологическими коэффициентами, а совокупность 
- вектором выпуска. По условию задачи вектор распределяется на две части: на конечное потребление (вектор ) и на воспроизводство (вектор ). Вычислим ту часть вектора которая идет на воспроизводство. В силу обозначений для производства количества -го товара идет количества -го товара. Тогда сумма 
показывает ту величину -го товара, которая нужна для всего выпуска . Следовательно, должно выполняться равенство:
Обобщая это рассуждение на все виды продуктов, приходим к искомой модели:
Решая полученную систему линейных уравнений относительно находим требуемый вектор выпуска.
Для того чтобы написать эту модель в более компактной (векторной) форме, введем обозначения:
Квадратная матрица А (размером ) называется технологической матрицей. Очевидно, модель можно записать в виде: или
Получили классическую модель «Затраты-выпуск», автором которой является известный американский экономист В. Леонтьев.
Пример 1.2. Нефтеперерабатывающий завод располагает двумя сортами нефти: сортом в количестве 10 единиц, сортом - 15 единиц. При переработке из нефти получаются два материала: бензин () и мазут (). Имеется три варианта технологического процесса переработки:
I : 1ед.А + 2ед.В дает 3ед.Б + 2ед.М ;
II :2ед.А + 1ед.В дает 1ед.Б + 5ед.М ;
III :2ед.А + 2ед.В дает 1ед.Б + 2ед.М.
Цена бензина - 10 долл. за единицу, мазута - 1 долл. за единицу. Требуется определить наиболее выгодное сочетание технологических процессов переработки имеющегося количества нефти.
Перед моделированием уточним следующие моменты. Из условия задачи следует, что «выгодность» технологического процесса для завода следует понимать в смысле получения максимального дохода от реализации своей готовой продукции (бензина и мазута). В связи с этим понятно, что «выбор (принятие) решения» завода состоит в определении того, какую технологию и сколько раз применить. Очевидно, что таких возможных вариантов достаточно много.
Обозначим неизвестные величины: - количество использования -го технологического процесса . Остальные параметры модели (запасы сортов нефти, цены бензина и мазута) известны .
Тогда одно конкретное решение завода сводится к выбору одного вектора , для которого выручка завода равна 
долл. Здесь 32 долл. - это доход, полученный от одного применения первого технологического процесса (10 долл. 3ед.Б
+ 1 долл. 2ед.М
= 32 долл.). Аналогичный смысл имеют коэффициенты 15 и 12 для второго и третьего технологических процессов соответственно. Учет запаса нефти приводит к следующим условиям:
для сорта А
: 
,
для сорта В
: 
,
где в первом неравенстве коэффициенты 1, 2, 2 - это нормы расхода нефти сорта А для одноразового применения технологических процессов I , II , III соответственно. Коэффициенты второго неравенства имеют аналогичный смысл для нефти сорта В .
Математическая модель в целом имеет вид:
Найти такой вектор , чтобы
максимизировать
при выполнении условий:
,
,
.
Сокращенная форма этой записи имеет вид:
при ограничениях
, (1.4.2)
,
Получили так называемую задачу линейного программирования. Модель (1.4.2.) является примером оптимизационной модели детерминированного типа (с вполне определенными элементами).
Пример 1.3. Инвестору требуется определить наилучший набор из акций, облигаций и других ценных бумаг для приобретения их на некоторую сумму с целью получения определенной прибыли с минимальным риском для себя. Прибыль на каждый доллар, вложенный в ценную бумагу - го вида, характеризуется двумя показателями: ожидаемой прибылью и фактической прибылью. Для инвестора желательно, чтобы ожидаемая прибыль на один доллар вложений была для всего набора ценных бумаг не ниже заданной величины . Заметим, что для правильного моделирования этой задачи от математика требуются определенные базовые знания в области портфельной теории ценных бумаг. Обозначим известные параметры задачи: - число разновидностей ценных бумаг; - фактическая прибыль (случайное число) от -го вида ценной бумаги - ожидаемая прибыль от -го вида ценной бумаги. Обозначим неизвестные величины: - средства, выделенные для приобретения ценных бумаг вида . В силу обозначений вся инвестированная сумма определяется как . Для упрощения модели введем новые величины
Таким образом, - это доля от всех средств, выделяемая для приобретения ценных бумаг вида . Очевидно, что . Из условия задачи видно, что цель инвестора - достижение определенного уровня прибыли с минимальным риском. Содержательно риск - это мера отклонения фактической прибыли от ожидаемой. Поэтому его можно отождествить с ковариацией
прибыли для ценных бумаг вида и вида . Здесь М - обозначение математического ожидания. Математическая модель исходной задачи имеет вид:
(1.4.3)
Получили известную модель Марковица для оптимизации структуры портфеля ценных бумаг. Модель (1.4.3.) является примеров оптимизационной модели стохастического типа (с элементами случайности).
Пример 1.4. На базе торговой организации имеется типов одного из товаров ассортиментного минимума. В магазин должен быть завезен только один из типов данного товара. Требуется выбрать тот тип товара, который целесообразно завести в магазин. Если товар типа будет пользоваться спросом, то магазин от его реализации получит прибыль , если же он не будет пользоваться спросом - убыток .
Математические методы наиболее широко используются при проведении системных исследований. При этом решение практических задач математическими методами последовательно осуществляется по следующему алгоритму:
математическая формулировка задачи (разработки математической модели);
выбор метода проведения исследования полученной математической модели;
анализ полученного математического результата.
Математическая формулировка задачи обычно представляется в виде чисел, геометрических образов, функций, систем уравнений и т. п. Описание объекта (явления) может быть представлено с помощью непрерывной или дискретной, детерминированной или стохастической и другими математическими формами.
Математическая модель представляет собой систему математических соотношений (формул, функций, уравнений, систем уравнений), описывающих те или иные стороны изучаемого объекта, явления, процесса или объект (процесс) в целом.
Первым этапом математического моделирования является постановка задачи, определение объекта и целей исследования, задание критериев (признаков) изучения объектов и управления ими. Неправильная или неполная постановка задачи может свести на нет результаты всех последующих этапов.
Модель является результатом компромисса между двумя противоположными целями:
модель должна быть подробной, учитывать все реально существующие связи и участвующие в его работе факторы и параметры;
в то же время модель должна быть достаточно простой, чтобы можно было получить приемлемые решения или результаты в приемлемые сроки при определенных ограничениях на ресурсы.
Моделирование можно назвать приближенным научным исследованием. А степень его точности зависит от исследователя, его опыта, целей, ресурсов.
Допущения, принимаемые при разработке модели, являются следствием целей моделирования и возможностей (ресурсов) исследователя. Они определяются требованиями точности результатов, и как сама модель, являются результатом компромисса. Ведь именно допущения отличают одну модель одного и того же процесса от другой.
Обычно при разработке модели отбрасываются (не принимаются во внимание) несущественные факторы. Константы в физических уравнениях считаются постоянными. Иногда усредняются некоторые величины, изменяющиеся в процессе (например, температура воздуха может считаться неизменной за какой-то промежуток времени).
Процесс разработки модели
Это процесс последовательной (и возможно, неоднократной) схематизации или идеализации исследуемого явления.
Адекватность модели - это ее соответствие тому реальному физическому процессу (или объекту), который она представляет.
Для разработки модели физического процесса необходимо определить:
Иногда используется подход, когда применяется модель небольшой полноты, носящая вероятностный характер. Потом с помощью ЭВМ производится ее анализ и уточнение.
Проверка модели начинается и проходит в самом процессе ее построения, когда выбираются или устанавливаются те или иные взаимосвязи между ее параметрами, оцениваются принятые допущения. Однако после сформирования модели в целом надо проанализировать ее с некоторых общих позиций.
Математическая основа модели (т. е. математическое описание физических взаимосвязей) должна быть непротиворечивой именно с точки зрения математики: функциональные зависимости должны иметь те же тенденции изменения, что и реальные процессы; уравнения должны иметь область существования не менее диапазона, в котором проводится исследование; в них не должно быть особых точек или разрывов, если их нет в реальном процессе, и т. д. Уравнения не должны искажать логику реального процесса.
Модель должна адекватно, т. е. по возможности точно, отражать действительность. Адекватность нужна не вообще, а в рассматриваемом диапазоне.
Расхождения между результатами анализа модели и реальным поведением объекта неизбежны, так как модель - это отражение, а не сам объект.
На рис. 3. представлено обобщенное представление, которое используется при построении математических моделей.
Рис. 3. Аппарат для построения математических моделей
При использовании статических методов наиболее часто используется аппарат алгебры и дифференциальные уравнения с независимыми от времени аргументами.
В динамических методах таким же образом используются дифференциальные уравнения; интегральные уравнения; уравнения в частных производных; теория автоматического управления; алгебра.
В вероятностных методах используются: теория вероятностей; теория информации; алгебра; теория случайных процессов; теория Марковских процессов; теория автоматов; дифференциальные уравнения.
Важное место при моделировании занимает вопрос о подобии модели и реального объекта. Количественные соответствия между отдельными сторонами процессов, протекающих в реальном объекте и его модели, характеризуются масштабами.
В целом подобие процессов в объектах и модели характеризуется критериями подобия. Критерий подобия - это безразмерный комплекс параметров, характеризующий данный процесс. При проведении исследований в зависимости от области исследований применяют различные критерии. Например, в гидравлике таким критерием является число Рейнольдса (характеризует текучесть жидкости), в теплотехнике - число Нусссельта (характеризует условия теплоотдачи), в механике - критерий Ньютона и т. д.
Считается, что если подобные критерии для модели и исследуемого объекта равны, то модель является правильной.
К теории подобия примыкает еще один метод теоретического исследования - метод анализа размерностей, который основан на двух положениях:
физические закономерности выражаются только произведениями степеней физических величин, которые могут быть положительными, отрицательными, целыми и дробными; размерности обоих частей равенства, выражающего физическую размерность, должны быть одинаковы.
Суть и определение математических методов исследования экономики
Определение 1
Экономико-математическое моделирование - это концентрированное выражение наиболее существенных взаимосвязей и закономерностей поведения управляемой системы в математической форме.
На сегодняшний день существует целый ряд видов и модификаций методов экономико-математического моделирования. В системе управления инновационным развитием промышленного предприятия применяется значительное их количество. Рассмотрим основные классификационные подходы к методам моделирования.
По отрасли и целью использования методы экономико-математического моделирования различают на:
- теоретико-аналитические - анализируют общие свойства и закономерности;
- прикладные - применяются при решении конкретных экономических задач анализа и управления.
Классификация методов моделирования
По типу подхода к социально-экономическим системам: дескриптивные модели - предназначены для описания и объяснения явлений, которые фактически наблюдаемых или для прогноза этих явлений; нормативные модели - показывает развитие экономической системы в разрезе влияния определенных критериев.
По способу отражения реальных объектов: функциональные модели - субъект моделирования пытается достичь сходства модели и оригинала только в понимании того, что они выполняют те же функции; структурные модели - субъект моделирования пытается воссоздать внутреннюю построение моделируемой, и за счет более точного отображения структуры получить более точное отображение функции.
По учету фактора времени: статические модели - все зависимости относятся к одному моменту времени; динамические модели - описывают экономические системы в развитии. По типу используемой в модели: аналитические модели - задаются на основе априорной информации, строятся с учетом существующих закономерностей, записанных в формально-теоретическом виде; модели, идентифицируются - построены на результатах наблюдений за объектами.
По ступеням использования типовых элементов: модели с фиксированной структурой - процесс моделирования сводится к подбору и настройке значений параметров типовых блоков; модели с переменной структурой - структура модели создается при моделировании и не является типичной.
По характеристике математических объектов, включенных в модели (особенности каждого вида обусловлены типом математического аппарата, используемого в модели): матричные модели; структурные модели; сетевые модели; модели линейного и нелинейного программирования; факторные модели; комбинированные; модели теории игр и т.д.
По способу представления или описания модели: модели, представленные в аналитической форме - модели подаются на языке математики; модели, представленные в виде алгоритма - реализуются численно или с помощью программного обеспечения; имитационные модели - численная реализация соотношений, составляющих модель, осуществляется без предварительных преобразований, в процессе имитации алгоритм расчетов воспроизводит логику функционирования объекта-оригинала.
По ожидаемым результатом: модели, в которых минимизируются затраты - ожидаемый конечный результат опирается на минимизацию затрат; модели, в которых минимизируется конечный результат - модели, в которых целью поставлено уменьшение показателей, характеризующих объект исследования (если эти показатели направлены до максимума) или увеличить значение показателей (если эти показатели направлены в минимизации).
Место математических методов исследования в управлении предприятием
При изучении методов экономико-математического моделирования в разрезе прогнозирования инновационного развития промышленных предприятий возникает необходимость их адаптации к реальным экономическим условиям современности, выдвигает рыночную среду и основы стратегического маркетингового управления. Так, формализованные методы прогнозирования целесообразно сочетать с аналитическими методами, которые могут качественно охватить всю проблематику рыночной среды.
Замечание 1
Экономико-математические модели оптимизации включают одну целевую функцию, формализует критерий оптимальности, по которому среди допустимых планов выбирается наилучший, а ограничения по переменных определяют множество допустимых планов.
Так, составным элементом текущего плана предприятия является план производства или производственная программа, включает систему плановых показателей производства по объему, ассортименту и качеству продукции. Ведь важным этапом разработки производственной программы является формирование оптимальной структуры портфеля продукции предполагает определение такого объема, номенклатуры и ассортимента продукции, которые бы обеспечили предприятию эффективное использование имеющихся ресурсов и получения удовлетворительного финансового результата.
Утверждение портфеля продукции и ресурсов на ее изготовление происходит благодаря применению экономико-математических методов, к которым предъявляются определенные требования. Прежде всего, они должны быть тождественными внешним условиям рынка, а также учитывать разнообразие путей достижения главной цели предприятия - максимизации прибыли.