Теории записать определение и свойства перпендикулярных прямых. Принцип Гюйгенса. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Присоединим свободный конец шнурак вибратору, совершающему гармонические колебания.Тогда колебания смещения точки шнура, присоединенной к вибратору, описываютсяформулой:
Найдем смещение произвольнойточки К, находящейся на расстоянииу от начала шнура. Так как скорость распространения колебаний конечна, то колебанияпридут в точку К с запозданием на время
где - скорость распространения колебаний вдоль шнура.
Поэтому колебания смещения произвольной точки К, отстоящей от начала шнура на расстоянииy будут описываться формулой:
Или уравнение волны, определяющее положение точки на расстоянии от источника в любой момент времени.
4 Волна и луч. Длина волны.
Когда волны распространяются не по поверхности среды, а внутри нее, то совокупность точек, колеблющихся в одинаковой фазе, составляет поверхность той или иной формы. Если среда изотропна, т.е. скорость распространения фазы в ней по всем направлениям одинакова, то эта поверхность имеет форму сферы. Такие волны называют сферическими.
Непрерывное геометрическое место точек волны, колеблющихся в одинаковых фазах, называют волновой поверхностью (например, светлые окружности на рисунке 15). Переднюю волновую поверхность, т.е. наиболее удаленную от источника, создающего волны, называют фронтом волны.
Линию, вдоль которой происходит распространения фронта волны, называют лучом. В изотропной среде луч всегда нормален (перпендикулярен) к волновой поверхности. В изотропной среде все лучи представляют собой прямые линии. Каждая прямая, соединяющая точку, в которой находится источник волны, с любой точки фронта волны, в этом случае является лучом.
Перемещение фронта волны в такой среде происходит с постоянной скоростью, поэтому за один период колебаний источника, создающего волны, фронт волны перемещается на строго определенное расстояние λ. Поскольку каждая точка в волне совершает вынужденные колебания, частота этих колебаний равна частоте колебаний источника волны.
Величину λ, характеризующую перемещение волновой поверхности за один период в зависимости от рода среды и частоты колебаний, называют длиной волны. Длину волны измеряют расстоянием, на которое перемещается волновая поверхность за один период колебаний источника волн. Другими словами длиной волны является расстояние между двумя ближайшими точками бегущей волны на одном луче, которые колеблются в одной фазе. (Отметим, что на расстоянии между двумя любыми точками бегущей волны, которые находятся на одном луче и колеблются в одинаковой фазе, всегда укладывается целое число длин волн или четное число полуволн. Если же на луче взять две точки, колеблющиеся в противоположных фазах, то на расстоянии между ними всегда будет укладываться нечетное число полуволн.)
Для поперечных волн (рис. 14) длиной волны является кратчайшее расстояние между двумя ближайшими выпуклостями или впадинами. Для продольных волн длиной волны служит кратчайшее расстояние между центрами двух соседних сгущений или разрежений.
5 Скорость распространения волн и её связь с длиной волны и периодом (частотой) колебаний.
Вспомним, что при распространении колебаний в среде происходит
перемещение фазы (пункт 1). Скорость распространения колебаний в упругой среде называют фазовой скоростью волны. Так как фазовая скорость в изотропной среде постоянна, то её можно найти, разделив перемещение фазы волны на время, за которое оно произошло. Поскольку за время Т фаза волны перемещается на расстояние , то .
Так как , то имеем . (2)
Установлено, что фазовая скорость определяется только физическими свойствами среды и её состоянием, Поэтому механические волны с разной частотой колебаний в заданной среде распространяются с одинаковой скоростью (заметим, что это верно только при не очень большом различии в частоте колебаний).
Место работы: МОКУ «Покровская средняя общеобразовательная школа Октябрьского района»
Должность: учитель физики
Дополнительные сведения: тест разработан по содержанию общеобразовательной программы для 11 класса средней школы
Вариант №1
Процесс обнаружения объектов при помощи радиоволн, называется…
Процесс выделения низкочастотного сигнала называется…
А. модуляция Б. радиолокация В. Детектирование Г. Сканирование
Прямая, перпендикулярная совокупности точек равной фазы называется…
Б. для обнаружения объектов;
А. лучом Б. фронтом волны В. Волновой поверхностью
Фронт волны – это…
А. последняя волновая поверхность Б. первая волновая поверхность
В. Любая волновая поверхность
А. лучом Б. фронтом волны В. Волновой поверхностью
В. Нет
По какой формуле определяется расстояние до объекта при радиолокации?
Тест №3 «Электромагнитные волны. Радио»
Вариант №2
Для чего нужен процесс детектирования?
А. для передачи сигнала на большие расстояния;
Б. для обнаружения объектов;
В. Для выделения низкочастотного сигнала;
Г. Для преобразования низкочастотного сигнала.
Как увеличить частоту колебательного контура?
А. надо уменьшить емкость конденсатора и увеличить индуктивность колебательного контура;
Б. надо увеличить емкость конденсатора и уменьшить индуктивность колебательного контура;
В. Надо уменьшить и емкость конденсатора, и индуктивность колебательного контура;
Г. Надо увеличить и емкость конденсатора, и индуктивность колебательного контура.
Процесс изменения высокочастотных колебаний с помощью колебаний низкой частоты, называется…
А. модуляция Б. радиолокация В. Детектирование Г. Сканирование
Электромагнитные волны являются…
А. поперечными Б. продольными В. И поперечными и продольными одновременно
А. модуляция Б. радиолокация В. Детектирование Г. Сканирование
А. R=2ct Б. R=υt/2 В. R=ct/2 Г. R=2υt
Передача звукового сигнала на большие расстояния осуществляется…
А. непосредственной передачей звукового сигнала без каких-либо преобразований;
Б. с помощью детектированного сигнала;
В. С помощью моделированного сигнала.
А. лучом Б. фронтом волны В. Волновой поверхностью
А. сканирование Б. радиолокация В. Телевещание Г. Модуляция Д. детектирование
С помощью какого устройства можно получить электромагнитные волны?
А. радиоприемник Б. телевизор В. Колебательный контур
Г. Открытый колебательный контур
Совокупность точек одинаковой фазы называется…
Фронт волны – это…
Совокупность точек, до которых дошло возмущение к моменту времени t , называется…
А. лучом Б. фронтом волны В. Волновой поверхностью
Несет ли модулированный сигнал информацию?
А. да, но мы ее не воспринимаем;
Б. да, и мы можем ее воспринимать непосредственно органами слуха;
В. Нет
Как работает передающая часть радиолокатора?
А. работает постоянно Б. отключается самопроизвольно в любое время
В. Отключается сразу после передачи сигнала
Электромагнитные волны распространяются со скоростью, равной…
А. с любой Б. 3*10 8 мм/с В. 3*10 8 км/с Г. 3*10 8 м/с
Тест №3 «Электромагнитные волны. Радио»
Вариант №3
А. модуляция Б. радиолокация В. Детектирование Г. Сканирование
Для чего нужен процесс детектирования?
А. для передачи сигнала на большие расстояния;
Б. для обнаружения объектов;
В. Для выделения низкочастотного сигнала;
Г. Для преобразования низкочастотного сигнала.
Несет ли модулированный сигнал информацию?
А. да, но мы ее не воспринимаем;
Б. да, и мы можем ее воспринимать непосредственно органами слуха;
В. Нет
Электромагнитные волны являются…
А. поперечными Б. продольными В. И поперечными и продольными одновременно
Процесс выделения сигнала низкой частоты называется….
А. модуляция Б. радиолокация В. Детектирование Г. Сканирование
По какой формуле определяется расстояние до объектов?
А. R=2ct Б. R=υt/2 В. R=ct/2 Г. R=2υt
Передача звукового сигнала на большие расстояния осуществляется…
А. непосредственной передачей звукового сигнала без каких-либо преобразований;
Б. с помощью детектированного сигнала;
В. С помощью моделированного сигнала.
Как уменьшить частоту колебательного контура?
А. надо уменьшить емкость конденсатора и увеличить индуктивность колебательного контура;
Б. надо увеличить емкость конденсатора и уменьшить индуктивность колебательного контура;
В. Надо уменьшить и емкость конденсатора, и индуктивность колебательного контура;
Г. Надо увеличить и емкость конденсатора, и индуктивность колебательного контура.
Процесс обнаружения объектов с помощью радиоволн, называется…
А. сканирование Б. радиолокация В. Телевещание Г. Модуляция Д. детектирование
С помощью какого устройства можно получить электромагнитные волны?
А. радиоприемник Б. телевизор В. Колебательный контур
Г. Открытый колебательный контур
Совокупность точек одинаковой фазы называется…
А. лучом Б. волновой поверхностью В. Фронтом волны
Прямая, перпендикулярная совокупности точек равной фазы, называется…
А. лучом Б. фронтом волны В. Волновой поверхностью
Электромагнитные волны распространяются со скоростью, равной…
А. с любой Б. 3*10 8 мм/с В. 3*10 8 км/с Г. 3*10 8 м/с
Фронт волны – это…
А. последняя волновая поверхность Б. любая волновая поверхность
В. Первая волновая поверхность
Совокупность точек, до которых дошло возмущение к моменту времени t , называется…
А. лучом Б. фронтом волны В. Волновой поверхностью
Как работает принимающая часть радиолокатора?
А. работает постоянно Б. отключается самопроизвольно в любое время
В. включается сразу после передачи сигнала
Тест №3 «Электромагнитные волны. Радио»
Вариант №4
Процесс обнаружения объектов с помощью радиоволн называется…
А. сканирование Б. радиолокация В. Телевещание Г. Модуляция Д. детектирование
Совокупность точек одинаковой фазы называется…
А. лучом Б. волновой поверхностью В. Фронтом волны
С помощью какого устройства можно получить электромагнитные волны?
А. радиоприемник Б. телевизор В. Колебательный контур
Г. Открытый колебательный контур
Процесс изменения высокочастотных колебаний с помощью колебаний низкой частоты называется…
А. модуляция Б. радиолокация В. Детектирование Г. Сканирование
Как работает передающая часть радиолокатора?
А. работает постоянно Б. отключается самопроизвольно в любое время
В. Отключается сразу после передачи сигнала
По какой формуле определяется расстояние до объектов?
А. R=2ct Б. R=υt/2 В. R=ct/2 Г. R=2υt
Процесс выделения сигнала низкой частоты называется….
А. модуляция Б. радиолокация В. Детектирование Г. Сканирование
Несет ли детектированный сигнал информацию?
А. да, но мы ее не воспринимаем;
Б. да, и мы можем ее воспринимать непосредственно органами слуха;
В. Нет
Передача звукового сигнала на большие расстояния осуществляется…
А. непосредственной передачей звукового сигнала без каких-либо преобразований;
Б. с помощью детектированного сигнала;
В. С помощью моделированного сигнала.
Как уменьшить период колебаний колебательного контура?
А. надо уменьшить емкость конденсатора и увеличить индуктивность колебательного контура;
Б. надо увеличить емкость конденсатора и уменьшить индуктивность колебательного контура;
В. Надо уменьшить и емкость конденсатора, и индуктивность колебательного контура;
Г. Надо увеличить и емкость конденсатора, и индуктивность колебательного контура.
Прямая, перпендикулярная совокупности точек равной фазы, называется…
А. лучом Б. фронтом волны В. Волновой поверхностью
Для чего нужен процесс модулирования?
А. для передачи сигнала на большие расстояния;
Б. для обнаружения объектов;
В. Для выделения низкочастотного сигнала;
Г. Для преобразования низкочастотного сигнала.
Электромагнитные волны являются…
А. поперечными Б. продольными В. И поперечными и продольными одновременно
Фронт волны – это…
А. последняя волновая поверхность Б. любая волновая поверхность
В. Первая волновая поверхность
Совокупность точек, до которых дошло возмущение к моменту времени t , называется…
А. лучом Б. фронтом волны В. Волновой поверхностью
Электромагнитные волны распространяются со скоростью, равной…
А. с любой Б. 3*10 8 мм/с В. 3*10 8 км/с Г. 3*10 8 м/с
Список литературы:
Физика: Учеб. для 11 кл. общеобразоват. учреждений / Г.Я. Мякишев, Б.Б. Буховцев. - 15-е изд. -М.: Просвещение, 2009.-381с.
Физика. Задачник. 10-11 кл.: Пособие для общеобразоват. учреждений / Рымкевич А. П. - 12-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2008. - 192 с.
Самостоятельные и контрольные работы. Физика. Кирик, Л. А П.-М.:Илекса,2005.
Одно и то же тело может одновременно участвовать в двух и более движениях. Простым примером является движение шарика, брошенного под углом к горизонту. Можно считать, что шарик участвует в двух независимых взаимно перпендикулярных движениях: равномерном по горизонтали и равнопеременном по вертикали. Одно и то же тело (материальная точка) может участвовать в двух (и более) движениях колебательного типа.
Под сложением колебаний понимают определение закона результирующего колебания, если колебательная система одновременно участвует в нескольких колебательных процессах. Различают два предельных случая – сложение колебаний одного направления и сложение взаимно перпендикулярных колебаний.
2.1. Сложение гармонических колебаний одного направления
1. Сложение двух колебаний одного направления (сонаправленных колебаний)
можно провести с помощью метода векторных диаграмм (Рисунок 9) вместо сложения двух уравнений.
На Рисунке 2.1 показаны векторы амплитуд А
1 (t) и А
2 (t) складываемых колебаний в произвольный момент времени t, когда фазы этих колебаний соответственно равны 
и 
. Сложение колебаний сводится к определению 
. Воспользуемся тем фактом, что на векторной диаграмме сумма проекций складываемых векторов равна проекции векторной суммы этих векторов.
Результирующему колебанию соответствует на векторной диаграмме вектор амплитуды и фаза .
Рисунок 2.1 – Сложение сонаправленных колебаний.
Величина вектора А (t) может быть найдена по теореме косинусов:
Фаза результирующего колебания задается формулой:
.
Если частоты складываемых колебаний ω 1 и ω 2 не равны, то и фаза φ(t), и амплитуда А (t) результирующего колебания будут изменяться с течением времени. Складываемые колебания называются некогерентными в этом случае.
2. Два гармонических колебания x 1 и x 2 называются когерентными , если разность их фаз не зависит от времени:
Но так как , то для выполнения условия когерентности двух этих колебаний должны быть равны их циклические частоты .
Амплитуда результирующего колебания, полученного при сложении сонаправленных колебаний с равными частотами (когерентных колебаний) равна:
Начальную фазу результирующего колебания легко найти, если спроектировать векторы А 1 и А 2 на координатные оси ОХ и ОУ (см. Рисунок 9):
.
Итак, результирующее колебание, полученное при сложении двух гармонических сонаправленных колебаний с равными частотами, также является гармоническим колебанием .
3. Исследуем зависимость амплитуды результирующего колебания от разности начальных фаз складываемых колебаний.
Если , где n – любое целое неотрицательное число
(n = 0, 1, 2…), то 
минимальной
. Складываемые колебания в момент сложения находились в противофазе
. При результирующая амплитуда равна нулю .
Если 
, то 
, т.е. результирующая амплитуда будет максимальной
. В момент сложения складываемые колебания находились в одной фазе
, т.е. были синфазны
. Если амплитуды складываемых колебаний одинаковы 
, то .
4. Сложение сонаправленных колебаний с неравными, но близкими частотами .
Частоты складываемых колебаний не равны , но разность частот 
много меньше и ω 1 , и ω 2 . Условие близости складываемых частот записывается соотношениями .
Примером сложения сонаправленных колебаний с близкими частотами является движение горизонтального пружинного маятника, жесткость пружин которого немного различна k 1 и k 2 .
Пусть амплитуды складываемых колебаний одинаковы, а начальные фазы равны нулю . Тогда уравнения складываемых колебаний имеют вид:
, 
.
Результирующее колебание описывается уравнением:
Получившееся уравнение колебаний зависит от произведения двух гармонических функций: одна – с частотой 
, другая – с частотой 
, где ω близка к частотам складываемых колебаний (ω 1 или ω 2). Результирующее колебание можно рассматривать как гармоническое колебание с изменяющейся по гармоническому закону амплитудой.
Такой колебательный процесс называется биениями
. Строго говоря, результирующее колебание в общем случае не является гармоническим колебанием.
Абсолютное значение косинуса взято потому, что амплитуда – величина положительная. Характер зависимости х рез. при биениях показан на Рисунке 2.2.
Рисунок 2.2 – Зависимость смещения от времени при биениях.
Амплитуда биений медленно меняется с частотой . Абсолютное значение косинуса повторяется, если его аргумент изменяется на π, значит и значение результирующей амплитуды повторится через промежуток времени τ б, называемый периодом биений (см. Рисунок 12). Величину периода биений можно определить из следующего соотношения:
Величина - период биений.
Величина 
есть период результирующего колебания (Рисунок 2.4).
2.2. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
1. Модель, на которой можно продемонстрировать сложение взаимно перпендикулярных колебаний, представлена на Рисунке 2.3. Маятник (материальная точка массой m) может совершать колебания по осям ОХ и ОУ под действием двух сил упругости, направленных взаимно перпендикулярно.
Рисунок 2.3
Складываемые колебания имеют вид:
Частоты колебаний определяются как , , где , -коэффициенты жесткости пружин.
2. Рассмотрим случай сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний с одинаковыми частотами
, что соответствует условию (одинаковые пружины). Тогда уравнения складываемых колебаний примут вид:
Когда точка участвует одновременно в двух движениях, ее траектория может быть различной и достаточно сложной. Уравнение траектории результирующего колебаний на плоскости ОХУ при сложении двух взаимно перпендикулярных с равными частотами можно определить, исключив из исходных уравнений для х и y время t:
Вид траектории определяется разностью начальных фаз складываемых колебаний, которые зависят от начальных условий (см. § 1.1.2). Рассмотрим возможные варианты.
а) Если 
, где n = 0, 1, 2…, т.е. складываемые колебания синфазные, то уравнение траектории примет вид:
(Рисунок 2.3 а).
|
|
|
|
Рисунок 2.3.а |
Рисунок 2.3 б |
б) Если 
(n = 0, 1, 2 …), т.е. складываемые колебаний находятся в противофазе, то уравнение траектории записывается так:
(Рисунок 2.3б).
В обоих случаях (а, б) результирующее движение точки будет колебание по прямой, проходящей через точку О. Частота результирующего колебания равна частоте складываемых колебаний ω 0 , амплитуда определяется соотношением.
До сих пор мы занимались геометрической оптикой и изучали распространение световых лучей. При этом понятие луча мы считали интуитивно ясным и не давали ему определения. Основные законы геометрической оптики были сформулированы нами как постулаты.
Теперь мы займёмся волновой оптикой, в которой свет рассматривается как электромагнитные волны. В рамках волновой оптики понятие луча уже можно строго определить. Базовым постулатом волновой теории является принцип Гюйгенса; законы геометрической оптики оказываются его следствиями.
Волновые поверхности и лучи.
Представьте себе маленькую лампочку, которая даёт частые периодические вспышки. Каждая вспышка порождает расходящуюся световую волну в виде расширяющейся сферы (с центром в лампочке). Остановим время - и увидим в пространстве остановившиеся световые сферы, образованные вспышками в различные предшествующие моменты времени.
Эти сферы - так называемые волновые поверхности. Заметьте, что лучи, идущие от лампочки, перпендикулярны волновым поверхностям.
Чтобы дать строгое определение волновой поверхности, давайте вспомним сначала, что такое фаза колебаний. Пусть величина совершает гармонические колебания по закону:
Так вот, фаза
- это величина , которая является аргументом косинуса. Фаза, как видим, линейно возрастает со временем. Значение фазы при равно и называется
начальной фазой.
Вспомним также, что волна представляет собой распространение колебаний в пространстве.В случае механических волн это будут колебания частиц упругой среды, в случае электромагнитных волн - колебания векторов напряжённости электрического поля и индукции магнитного поля.
Вне зависимости от того, какие волны рассматриваются, мы можем сказать, что в каждой точке пространства, захваченной волновым процессом, происходят колебания некоторой величины; такой величиной является набор координат колеблющейся частицы в случае механической волны или набор координат векторов, описывающих электрическое и магнитное поля в электромагнитной волне.
Фазы колебаний в двух различных точках пространства, вообще говоря, имеют разное значение. Интерес представляют множества точек, в которых фаза одна и та же. Оказывается, совокупность точек, в которых фаза колебаний в данный момент времени имеет фиксированное значение, образует двумерную поверхность в пространстве.
Определение. Волновая поверхность - это множество всех точек пространства, в которых фаза колебаний в данный момент времени имеет одно и то же значение.
Коротко говоря, волновая поверхность есть поверхность постоянной фазы. Каждому значению фазы отвечает своя волновая поверхность. Набору различных значений фазы соответствует семейство волновых поверхностей.
С течением времени фаза в каждой точке меняется, и волновая поверхность, отвечающая фиксированному значению фазы, перемещается в пространстве. Следовательно, распространение волн можно рассматривать как движение волновых поверхностей! Тем самым в нашем распоряжении оказываются удобные геометрические образы для описания физических волновых процессов.
Например, если точечный источник света находится в прозрачной однородной среде, то волновые поверхности являются концентрическими сферами с общим центром в источнике. Распространение света выглядит как расширение этих сфер. Мы это уже видели выше в ситуации с лампочкой.
Через каждую точку пространства в данный момент времени может проходить только одна волновая поверхность. В самом деле, если предположить, что через точку проходят две волновых поверхности, отвечающие различным значениям фазы и , то немедленно получим противоречие: фаза колебаний в точке окажется одновременно равна этим двум различным числам.
Коль скоро через точку проходит единственная волновая поверхность, то однозначно определено и направление перпендикуляра к волновой поверхности в данной точке.
Определение. Луч - это линия в пространстве, которая в каждой своей точке перпендикулярна волновой поверхности, проходящей через эту точку.
Иными словами, луч есть общий перпендикуляр к семейству волновых поверхностей. Направление луча - это направление распространения волны. Вдоль лучей осуществляется перенос энергии волны от одних точек пространства к другим.
По мере распространения волны происходит перемещение границы, которая разделяет область пространства, захваченную волновым процессом, и невозмущённую пока область. Эта граница называется волновым фронтом. Таким образом, волновой фронт - это множество всех точек пространства, которых достиг колебательный процесс в данный момент времени. Волновой фронт есть частный случай волновой поверхности; это, если можно так выразиться, "самая первая" волновая поверхность.
К наиболее простым видам геометрических поверхностей относятся сфера и плоскость. Соответственно, имеем два важных случая волновых процессов с волновыми поверхностями такой формы - это сферические и плоские волны.
Сферическая волна.
Волна называется сферической , если её волновые поверхности - сферы (рис. 1 ).
Волновые поверхности показаны синим пунктиром, а зелёные радиальные стрелки - это лучи, перпендикулярные волновым поверхностям.
Рассмотрим прозрачную однородную среду, физические свойства которой одинаковы вдоль всех направлений. Точечный источник света, помещённый в такую среду, излучает сферические волны. Это понятно -
ведь свет пойдёт в каждом направлении с одинаковой скоростью, так что любая волновая поверхность будет сферой.
Ну а световые лучи, как мы заметили, оказываются в этом случае обычными прямолинейными геометрическими лучами с началом в источнике. Помните закон прямолинейного распространения света: в прозрачной однородной среде световые лучи являются прямыми линиями ? В геометрической оптике мы сформулировали его как постулат. Теперь мы видим (для случая точечного источника), как этот закон следует из представлений о волновой природе света.
В теме "Электромагнитные волны" мы ввели понятие плотности потока излучения:
Здесь - энергия, которая переносится за время через поверхность площади , расположенную перпендикулярно лучам. Таким образом, плотность потока излучения - это энергия, переносимая волной вдоль лучей через единицу площади в единицу времени.
В нашем случае энергия равномерно распределяется по поверхности сферы, радиус которой увеличивается в процессе распространения волны. Площадь поверхности сферы равна: , поэтому для плотности потока излучения получим:
Как видим, плотность потока излучения в сферической волне обратно пропорциональна квадрату расстояния до источника.
Поскольку энергия пропорциональна квадрату амплитуды колебаний электромагнитного поля, мы приходим к выводу, что амплитуда колебаний в сферической волне обратно пропорциональна расстоянию до источника
.
Плоская волна.
Волна называется плоской , если её волновые поверхности - плоскости (рис. 2 ).
Синим пунктиром показаны параллельные плоскости, являющиеся волновыми поверхностями. Лучи - зелёные стрелки - снова оказываются прямыми линиями.
Плоская волна - одна из важнейших идеализаций волновой теории; математически она описывается наиболее просто. Этой идеализацией можно пользоваться, например, когда мы находимся на достаточно большом расстоянии от источника. Тогда в окрестности точки наблюдения можно пренебречь искривлением сферической волновой поверхности и считать волну приблизительно плоской.
В дальнейшем, выводя законы отражения и преломления из принципа Гюйгенса, мы будем использовать именно плоские волны. Но сначала разберёмся с самим принципом Гюйгенса.
Принцип Гюйгенса.
Мы говорили выше, что распространение волн удобно представлять себе как движение волновых поверхностей. Но согласно каким правилам перемещаются волновые поверхности? Иными словами - как, зная положение волновой поверхности в данный момент времени, определить её положение в следующий момент?
Ответ на этот вопрос даёт принцип Гюйгенса - основной постулат волновой теории. Принцип Гюйгенса равным образом справедлив как для механических, так и для электромагнитных волн.
Чтобы лучше понять идею Гюйгенса, давайте рассмотрим такой пример. Бросим в воду горсть камней. От каждого камня пойдёт круговая волна с центром в точке падения камня. Эти круговые волны, накладываясь друг на друга, создадут общую волновую картину на поверхности воды. Важно то, что все круговые волны и порождённая ими волновая картина будут существовать и после того, как камни пустятся на дно. Стало быть, непосредственной причиной исходных круговых волн служат не сами камни, а локальные возмущения поверхности воды в тех местах, куда камни упали. Именно локальные возмущения сами по себе являются источниками расходящихся круговых волн и формирующейся волновой картины, и уже не столь важно, что конкретно послужило причиной каждого из этих возмущений - камень ли, поплавок или какой-то иной объект. Для описания последующего волнового процесса важно только то, что в определённых точках поверхности воды возникли круговые волны.
Ключевая идея Гюйгенса состояла в том, что локальные возмущения могут порождаться не только посторонними объектами типа камня или поплавка, но также и распространяющейся в пространстве волной!
Принцип Гюйгенса. Каждая точка пространства, вовлечённая в волновой процесс, сама становится источником сферических волн.
Эти сферические волны, распространяющиеся во все стороны от каждой точки волнового возмущения, называются вторичными волнами. Последующая эволюция волнового процесса состоит в наложении вторичных волн, испущенных всеми точками, до которых волновой процесс уже успел добраться.
Принцип Гюйгенса даёт рецепт построения волновой поверхности в момент времени по известному её положению в момент времени (рис. 3 ).
Именно, каждую точку исходной волновой поверхности мы рассматриваем как источник вторичных волн. За время вторичные волны пройдут расстояние , где - скорость волны. Из каждой точки старой волновой поверхности строим сферы радиуса ; новая волновая поверхность будет касательной ко всем этим сферам. Говорят ещё, что волновая поверхность в любой момент времени служит огибающей семейства вторичных волн.
Но, конечно, для построения волновой поверхности мы не обязаны брать вторичные волны, испущенные точками, лежащими непременно на одной из предыдущих волновых поверхностей.Искомая волновая поверхность будет огибающей семейства вторичных волн, излучённых точками вообще всякой поверхности, вовлечённой в колебательный процесс.
На базе принципа Гюйгенса можно вывести законы отражения и преломления света, которые раньше мы рассматривали лишь как обобщение экспериментальных фактов.
Вывод закона отражения.
Предположим, что на поверхность раздела двух сред падает плоская волна (рис. 4 ). Фиксируем две точки этой поверхности.
В эти точки приходят два падающих луча и ; плоскость , перпендикулярная этим лучам, есть волновая поверхность падающей волны.
В точке проведена нормаль к отражающей поверхности. Угол есть, как вы помните, угол падения.
Из точек И выходят отражённые лучи и . Перпендикулярная этим лучам плоскость есть волновая поверхность отражённой волны. Угол отражения обозначим пока ; мы хотим доказать, что .
Все точки отрезка служат источниками вторичных волн. Раньше всего волновая поверхность приходит в точку . Затем, по мере движения падающей волны, в колебательный процесс вовлекаются другие точки данного отрезка, и в самую последнюю очередь - точка .
Соответственно, раньше всего начинается излучение вторичных волн в точке ; сферическая волна с центром в имеет на рис. 4 наибольший радиус. По мере приближения к точке радиусы сферических вторичных волн, испущенных промежуточными точками, уменьшаются до нуля - ведь вторичная волна будет излучена тем позже, чем ближе её источник находится к точке .
Волновая поверхность отражённой волны есть плоскость, касательная ко всем этим сферам. На нашем планиметрическом чертеже есть отрезок касательной, проведённой из точки к самой большой окружности с центром в и радиусом .
Теперь заметим, что радиус - это расстояние, пройденное вторичной волной с центром в за то время, пока волновая поверхность двигается к точке . Скажем это чуть по-другому: время движения вторичной волны от точки до точки равно времени движения падающей волны от точки до точки . Но скорости движения падающей и вторичной волн совпадают - ведь дело происходит в одной и той же среде! Поэтому, раз совпадают скорости и времена, то равны и расстояния: .
Получается, что прямоугольные треугольники и равны по гипотенузе и катету. Стало быть, равны и соответствующие острые углы: . Остаётся заметить, что (так как оба они равны ) и (оба они равны ).
Таким образом, - угол отражения равен углу падения, что и требовалось.
Кроме того, из построения на рис. 4 нетрудно видеть, что выполнено и второе утверждение закона преломления: падающий луч , отражённый луч и нормаль к отражающей поверхности лежат в одной плоскости.
Вывод закона преломления.
Теперь покажем, как из принципа Гюйгенса следует закон преломления. Будем для определённости считать, что плоская электромагнитная волна распространяется в воздухе и падает на границу с некоторой прозрачной средой (рис. 5 ). Как обычно, угол падения есть угол между падающим лучом и нормалью к поверхности, угол преломления - это угол между преломлённым лучом и нормалью.
Точка является первой точкой отрезка , которой достигает волновая поверхность падающей волны; в точке излучение вторичных волн начинается раньше всего. Пусть - время, которое с этого момента требуется падающей волне, чтобы достичь точки , то есть пройти отрезок .
Скорость света в воздухе обозначим , скорость света в среде пусть будет . Пока падающая волна проходит расстояние и достигает точки , вторичная волна из точки распространится на расстояние .
Поскольку , то . Вследствие этого волновая поверхность не параллельна
волновой поверхности - происходит преломление света! В рамках геометрической оптики не давалось никакого объяснения того, почему вообще наблюдается явление преломления. Причина преломления кроется в волновой природе света и становится понятной с точки зрения
принципа Гюйгенса: всё дело в том, что скорость вторичных волн в среде меньше скорости света в воздухе, и это приводит к повороту волновой поверхности относительно исходного положения .
Из прямоугольных треугольников и легко видеть, что и (для краткости обозначено ). Имеем, таким образом:
Поделив эти уравнения друг на друга, получим:
Отношение синуса угла падения к синусу угла преломления оказалось равно постоянной величине , не зависящей от угла падения. Эта величина называется показателем преломления среды:
Получился хорошо известный нам закон преломления:
Обратите внимание: физический смысл показателя преломления (как отношения скоростей света в вакууме и в среде) прояснился опять-таки благодаря принципу Гюйгенса.
Из рис. 5 очевидно и второе утверждение закона преломления: падающий луч , преломлённый луч и нормаль к границе раздела лежат в одной плоскости.
Еще одним видом движения являются волны. Отличительной особенностью этого движения, делающей его уникальным, является то, что в волне распространяются не сами частицы вещества, а изменения в их состоянии (возмущения).
Среда называется упругой , если между ее частицами существуют взаимодействия, препятствующие какой-либо деформации этой среды.
Если какое-либо тело совершает колебания в упругой среде, то оно воздействует на частицы среды, прилегающие к телу, и заставляет их совершать вынужденные колебания. Среда вблизи колеблющегося тела деформируется, и в ней возникают упругие силы . Эти силы действуют на все более удаленные от тела частицы среды, выводя их из положения равновесия. Постепенно все частицы среды вовлекаются в колебательное движение.
Волнами называются всякие возмущения состояния вещества или поля, распространяющиеся в пространстве с течением времени.
Упругими волнами называются механические возмущения (деформации), которые распространяются в упругой среде. Тела, вызывающие эти возмущения в среде, называются источниками волн . Упругие волны называются звуковыми или акустическими, если соответствующие им механические деформации среды имеют малые амплитуды.
Отличие упругих волн в среде от любого другого упорядоченного движения ее частиц состоит в том, что распространение волн не связано с переносом вещества среды из одного места в другое на большие расстояния.
Волновой поверхностью (фронтом волны) называется совокупность точек среды, колеблющихся в одинаковых фазах. На волновой поверхности фазы колебаний различных точек в рассматриваемый момент времени имеют одно и то же значение.
Лучом называется линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением распространения волны. В однородной изотропной среде луч является прямой, перпендикулярной к фронту волны, и совпадает с направлением переноса энергии волны.
В плоской волневолновыми поверхностями являются плоскости, перпендикулярные к направлению распространения волны. Лучами являются параллельные прямые, совпадающие с направлением скорости распространения волны. Такие волны могут быть получены на поверхности воды с помощью колебаний плоского стержня.
Волна называется поперечной , если частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волны.
Волна называется продольной , если колебания частиц среды происходят в направлении распространения волны.
В газах и жидкостях, которые не обладают упругостью формы, распространение поперечных волн невозможно. В твердых телах возможно распространение как продольных, так и поперечных волн, связанных с наличием упругости формы.
Каждая волна распространяется с некоторой скоростью. Подскоростью волны понимают скорость распространения возмущения.
Скорость волны определяется свойствами среды, в которой эта волна распространяется. В твердых телах скорость продольных волн больше скорости поперечных. Это обстоятельство учитывается для определения местоположения очагов землетрясения.
Землетрясения являются источниками так называемых сейсмических волн , распространяющихся в земной коре в виде как продольных, так и поперечных волн. Первыми на регистрирующую станцию приходят продольные волны, затем поперечные.
Одной из важнейших характеристик любой волны является длина волны.
Длиной волны называется расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебания в ее источнике. Она равна расстоянию между соседними гребнями или впадинами в поперечной волне и между соседними сгущениями или разряжениями в продольной волне.
Длина волны обозначается греческой буквой λ (ламбда). Единицей измерения является метр. Поскольку скорость волны – величина постоянная (для данной среды), то пройденное волной расстояние равно произведению скорости на время ее распространения. Таким образом, длина волны
Длина волны совпадает с расстоянием между двумя ближайшими гребнями (или впадинами) волны и зависит как от свойств среды (через скорость v) , так и от свойств источника волны (через период его колебания Т ).
Связь скорости волны с ее частотой:
здесь – частота колебаний.
При переходе волны из одной среды в другую изменяются скорость и длина волны, а циклическая частота, период и частота при этом не изменяются.
Если частицы среды совершают гармонические колебания, то в этой среде распространяется гармоническая волна. Уравнение бегущей гармонической волны
а отраженной
Здесь х – смещение частиц среды, А – амплитуда их колебаний, ω – циклическая частота колебаний частиц, t – время колебаний частиц, равное времени распространения волнового процесса в среде, k – волновое число, у – координата фронта волны, α 0 – начальная фаза колебаний частиц, α – фаза колебаний.
Циклическую частоту ω и волновое число k можно определить так:
Звук
Звуковые волны с частотами от 16 до 2*10 4 Гц воздействуют на органы слуха человека, вызывают слуховые ощущения и называются слышимыми звуками. Звуковые волны с частотами менее 16 Гц называются инфразвуками , а с частотами более 2*10 4 Гц – ультразвуками .
Восприятие звука органами слуха зависит от того, какие частоты входят в состав звуковой волны.
Шумами называются звуки, образующие набор частот, непрерывно заполняющих некоторый интервал.
Музыкальные звуки обладают линейчатым спектром частот; им соответствуют периодические или почти периодические колебания.
Каждая синусоидальная звуковая волна называется тоном .
Высота тона зависит от частоты: чем больше частота, тем выше тон.
Громкость звука зависит от интенсивности звука, т.е. определяется амплитудой колебаний в звуковой волне. Наибольшей чувствительностью органы слуха обладают к звукам с частотами от 700 до 6000 Гц.
Порогом слышимости называется наименьшая интенсивность звуковой волны, которая может быть воспринята органами слуха. Стандартный порог слышимости принимается равным 10 -12 Вт/м 2 при частоте 0 = l кГц.
Как и всякая волна, звуковая волна характеризуется скоростью распространения колебаний в ней. С длиной волны λ, и частотой колебаний υ скорость v связана формулой:
Скорость звука различна в различных средах (веществах).