Уменьшаемое, вычитаемое, разность. Вычитание натуральных чисел

Урок на тему: Урок на тему: "Правила вычитания натуральных чисел. Примеры"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 5 класса
Интерактивное пособие "Правила и упражнения по математике" для 5-6 классов
Мультимедийное учебное пособие для 5-6 классов "Понятная математика"

Какие числа называются натуральными?

- это числа, которые возникли естественным образом для счета предметов, к ним относятся числа:
Эти числа мы используем в повседневной жизни для счета и указания порядкового номера предмета в каком-либо числовом ряду.

Запомните!
Число 0 и отрицательные числа -1, -2, -3, ... не являются натуральными числами.
Наименьшим натуральным числом является число 1. Каждое следующее число в ряду натуральных чисел больше предыдущего на единицу. Наибольшего натурального числа нет, поэтому говорят, что ряд натуральных чисел бесконечен.

Вычитание - это действие, обратное сложению. С помощью операции вычитания определяется одно из двух слагаемых, если известна их сумма.
С помощью этого арифметического действия можно определить, насколько одно число больше или меньше другого.

Рассмотрим пример: 5 - 4 = 1.
В этом примере:
5 - это уменьшаемое число;
4 - это вычитаемое число;
1 - это разность двух чисел.

Что такое вычитание можно пояснить, используя координатный луч.

Связь арифметических действий "сложение" и "вычитание"

Операции сложения и вычитания взаимосвязаны.
Если операцию сложения можно представить следующим образом: A + B = C.
То операцию вычитания можно представить так: С - А = В.
Из этого следует, что результаты операции вычитание легко можно проверить с помощью сложения и наоборот.

Например, необходимо найти разность двух чисел: 78 - 18 = ?
78 - 18 = 60.
Результат решения примера проверяем операцией сложения: 60 + 18 = 78.

Правила вычитания натуральных чисел

1. Если из натурального числа вычесть число ноль, то в результате получится то же самое число.
2. Если из натурального числа вычесть это же число, то в результате получится число ноль.
3. Если из числа необходимо вычесть сумму чисел, то сначала можно из этого числа вычесть первое слагаемое, а за тем из полученной разности вычесть второе слагаемое.

Поясним третье правило на примере: 48 - (14 + 12) = 48 - 14 - 12 = 22.

4. Если из суммы чисел необходимо вычесть число, то сначала можно из первого слагаемого вычесть число, а затем к полученной разности прибавить второе слагаемое.

Поясним это правило на примере: (37 + 43) - 17 = 37 - 17 + 43 = 63.

Операции вычитания между любыми натуральными числами присущ ряд особенностей, называемых свойствами. В данной статье мы рассмотрим основные свойства натуральных чисел и приведем разъясняющие примеры.

Свойство вычитания равных натуральных чисел

Свойство вычитания двух равных натуральных чисел

Для двух равных натуральных чисел их разность равна нолю. Если a - любое натуральное число, то a - a = 0 .

Это самое простое свойство. Число ноль указывает на отсутствие чего либо. Если из множества каких-то объектов вычесть такое же множество объектов, получится ноль. Например, у Пети было 15 яблок, он решил угостить Машу и отдал ей все 15 штук. Теперь у Пети ноль яблок.

Переместительный закон (не выполняется для вычитания)

Известно, что при сложении чисел от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Так же, как и при умножении произведение не меняется при перестановке множителей. Эта особенность называется переместительным, или коммутативным законом. Однако при вычитании коммутативный закон работает только в одном случае: когда вычитаемое число равно уменьшаемому.

В случаях, когда уменьшаемое число становится меньше вычитаемого, теряется сам смысл вычитания натуральных чисел. Например:

38 - 21 очевидно, не равно 21 - 38

В общем виде можно записать это так: a - b ≠ b - a .

Свойства вычитания натуральных чисел

Для операции вычитания натуральных чисел переместительный закон не выполняется!

Вычитание суммы двух чисел из натурального числа

Сформулируем свойство, а затем рассмотрим пример, который даст глубокое понимание и поможет осмыслить сказанное.

Свойство вычитания суммы двух чисел из натурального числа

Вычитание суммы двух натуральных чисел из другого натурального числа равносильно последовательному вычитанию из числа сначала одного слагаемого суммы, а затем другого.

Математически это запишется так:

a - (b + c) = (a - b) - c

Обратимся к примеру. У Пети и у Васи было по 8 монет. Петя сразу купил напиток за две монеты и конфету за одну монету. Вася сначала купил напиток, а потом подумал, и тоже купил конфету. В итоге, у обоих осталось по пять монет. Операции с монетами Пети и Васи можно соответственно записать так:

8 - (2 + 1) = 5 (8 - 2) - 1 = 5

Важно отметить, что данная операция для натуральных чисел имеет смысл только тогда, когда уменьшаемое число больше или равно сумме чисел, которые из него вычитают.

В соответствии с рассмотренным свойством и сочетательным законом, можно вычитать из натурального числа сумму двух, трех и более чисел.

Вычитание числа из суммы

Представим, что у Родиона в одном кармане 3 конфеты, а в другом - 5 конфет. 2 конфеты он обещал отдать Зухре. Какими способами может Родион отдать Зухре конфеты?

Во-первых, можно все конфеты переложить в один карман и оттуда уже достать 2 штуки. Останется конфет: 3 + 5 - 2.

Во-вторых, можно сразу достать две конфеты из первого кармана. Останется конфет: 3 + 5 - 2 .

Наконец, в-третьих, можно достать две конфеты из второго кармана. В итоге имеем: 5 + (3 - 2) .

Количество конфет в итоге остается неизменным и справедливы равенства:

3 + 5 - 2 = 5 + (3 - 2) = (3 + 5) - 2 .

Теперь можно сформулировать правило вычитания числа из суммы других натуральных чисел.

Свойство вычитания натурального числа из суммы двух чисел

Вычитание натурального числа из суммы других натуральных чисел эквивалентно последовательному вычитанию данного числа из одного слагаемого и сложению полученной разности с другим слагаемым.

В буквенной форме свойство имеет следующий вид:

(a + b) - c = (a - c) + b

Если выполняется условие b ≥ c , можно записать (a + b) - c = a + (b - c) .

При a ≥ c и b ≥ c оба равенства можно переписать в виде (a + b) - c = (a - c) + b = a + (b - c) .

Свойство вычитания натурального числа из суммы трех и более чисел формулируется аналогично и вытекает из свойства вычитания числа из суммы двух чисел.

Рассмотрим пример.

Пример. Вычитание числа из суммы

a , b , c , d - некоторые натуральные числа.

Если a ≥ d то a + b + c - d = (a - d) + b + c .

Если b ≥ d то a + b + c - d = a + (b - d) + c .

Если c ≥ d то a + b + c - d = a + b + (c - d) .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Если сложение связано с объединением двух множеств в одно, то вычитание связано с разъединением данного множества на два или больше множества. Пусть у нас есть некоторое множество пластиков колбасы на тарелке. Возьмем один или несколько пластиков из этого множества и уберем в сторону, а лучше скушаем. Мы убрали, то есть отняли у начального множества пластиков колбасы несколько пластиков, при этом результат на тарелке изменился в меньшую сторону. В этом и заключается смысл вычитания.

Схематически вычитание двух натуральных чисел выглядит следующим образом:

уменьшаемое − вычитаемое = разность.

Для обозначения вычитания на письме используют знак «−» минус.

Сначала записывают уменьшаемое, после этого – знак минус, потом – вычитаемое. Например, запись 9 − 5 означает, что из 9 вычитается 5.

Уменьшаемое – это число, из которого вычитают. В нашем примере это число "9"

Вычитаемое – это число, которое вычитают из уменьшаемого. В нашем примере это число "5"

Разность – это число, которое является результатом вычитания.

Фразы «найти разность» , «вычислить разность» , «вычесть из натурального числа 86 число 9» понимается так: требуется определить число, которое является результатом вычитания данных натуральных чисел.

СВОЙСТВА ВЫЧИТАНИЯ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Свойство 1.

Разность двух равных натуральных чисел равна нулю.

a − a = 0, где a – любое натуральное число.

Свойство 2.

Вычитание натуральных чисел НЕ обладает переместительным свойством.

Если a и b неравные натуральные числа, то a − b ≠ b − a

45 − 20 ≠ 20 − 45.

Свойство 3. Вычесть из данного натурального числа данную сумму двух натуральных чисел - это все равно, что из данного натурального числа вычесть первое слагаемое данной суммы, после чего из полученной разности вычесть второе слагаемое.

a − (b + c) = (a − b) − c, где a, b и c – некоторые натуральные числа, причем выполняются условия a > b + c или a = b+c.

10 - (2+1) = (10 - 2) - 1 = 7

Свойство 4. Вычесть из данной суммы двух чисел данное натуральное число – это все равно, что вычесть данное число из одного из слагаемых, после чего сложить полученную разность и другое слагаемое. Следует оговориться, что вычитаемое число НЕ должно быть больше, чем слагаемое, из которого это число вычитается.