Как найти корень из 7. Квадратный корень. Действия с квадратными корнями. Модуль. Сравнение квадратных корней
На кружке показала, как в столбик можно извлекать квадратные корни. Вычислить корень можно с произвольной точностью, найти сколько угодно цифр в его десятичной записи, даже если он получается иррациональным. Алгоритм запомнился, а вопросы остались. Непонятно было, откуда взялся метод и почему он дает верный результат. В книжках этого не было, а может, просто не в тех книжках искала. В итоге, как и многое из того, что на сегодняшний день знаю и умею, вывела сама. Делюсь своим знанием здесь. Кстати сказать, до сих пор не знаю, где приведено обоснование алгоритма)))
Итак, сначала на примере рассказываю, “как работает система”, а потом объясняю, почему она на самом деле работает.
Возьмем число (число взято “с потолка”, только что в голову пришло).
1. Разбиваем его цифры на пары: те, что стоят слева от десятичной запятой, группируем по две справа налево, а те, что правее – по две слева направо. Получаем .
2. Извлекаем квадратный корень из первой группы цифр слева — в нашем случае это (ясно, что точно корень может не извлекаться, берем число, квадрат которого максимально близок к нашему числу, образованному первой группой цифр, но не превосходит его). В нашем случае это будет число . Записываем в ответ — это старшая цифра корня.
3. Возводим число, которое стоит уже в ответе — это — в квадрат и вычитаем из первой слева группы цифр — из числа . В нашем случае остается .
4. Приписываем справа следующую группу из двух цифр: . Число , которое уже стоит в ответе, умножаем на , получаем .
5. Теперь следите внимательно. Нам нужно к числу справа приписать одну цифру , и число умножить на , то есть на ту же самую приписанную цифру. Результат должен быть как можно ближе к , но опять-таки не больше этого числа. В нашем случае это будет цифра , ее записываем в ответ рядом с , справа. Это следующая цифра в десятичной записи нашего квадратного корня.
6. Из вычитаем произведение , получаем .
7. Далее повторяем знакомые операции: приписываем к справа следующую группу цифр , умножаем на , к полученному числу > приписываем справа одну цифру, такую, чтобы при умножении на нее получилось число, меньшее , но наиболее близкое к нему –– это цифра –– следующая цифра в десятичной записи корня.
Вычисления запишутся следующим образом:
А теперь обещанное объяснение. Алгоритм основан на формуле
Комментариев: 50
2 Антон:
Слишком сумбурно и запутано. Разложите всё по пунктам и пронумеруйте их. Плюс: объясните откуда в каждом действии мы подставляем нужные значения. Никогда раньше не вычислял корень в столбик – разобрался с трудом.
5 Юлия:
6 :
Юлия, 23 на данный момент записано справа, это две первые (слева) уже полученные цифры корня, стоящие в ответе. Умножаем на 2 согласно алгоритму. Повторяем действия, описанные в пункте 4.
7 zzz:
ошибка в “6. Из 167 вычитаем произведение 43 * 3 = 123 (129 нада), получаем 38.”
непонятно как после запятой получилось 08…9 Федотов Александр:
А ещё в докалькуляторную эпоху нас в школе учили не только квадратный, но и кубический корень в столбик извлекать, но это более нудная и кропотливая работа. Проще было таблицами Брадиса воспользоваться или логарифмической линейкой, которую мы уже в старших классах изучали.
10 :
Александр, Вы правы, можно извлекать в столбик и корни больших степеней. Я собираюсь написать как раз о том, как находить кубический корень.
12 Сергей Валентинович:
Уважаемая Елизавета Александровна! Мной в конце 70-х разработана схема автоматического (т.е. не подбором) вычисления квадр. корня на арифмометре “Феликс”. Если заинтересуетесь, могу выслать описание.
14 Vlad aus Engelsstadt:
(((Извлечение квадратного корня в столбик)))
Алгоритм упрощается, если использовать 2-ную систему счисления, которую изучают в информатике, но полезно и в математике. А.Н. Колмогоров в популярных лекциях для школьников приводил этот алгоритм. Его статью можно найти в “Чебышёвском сборнике” (Математический журнал, ищите ссылку на него в интернете)
К случаю сказать:
Г.Лейбниц в свое время носился с идеей о переходе от 10-ной системы счисления к двоичной из-за ее простоты и доступности для начинающих (младших школьников). Но устоявшиеся традиции ломать это все равно что лбом ломать крепостные ворота: можно, но бесполезно. Вот и получается как по наиболее цитируемому в былые времена бородатому философу: традиции всех мертвых поколений подавляют сознание живых.До следующих встреч.
15 Vlad aus Engelsstadt:
))Сергей Валентинович, да, мне интересно…((
Бьюсь об заклад, что это вариация под “Феликс” Вавилонского метода извлечения коня квадратного методом последовательных приближений. Этот алгоритм был перекрыт методом Ньютона (метод касательных)
Интересно, не ошибся ли я в прогнозе?
18 :
2Vlad aus Engelsstadt
Да, алгоритм в двоичной системе должен быть проще, это довольно очевидно.
О методе Ньютона. Может, оно и так, но все равно интересно
20 Кирилл:
Спасибо большое. А алгоритма так и нету, неизвестно откуда он взялся, но результат правильный получается. СПАСИБО БОЛЬШОЕ! Долго искал это)
21 Александр:
А каким образом пойдёт извлечение корня из числа, где вторая слева-направо группа весьма мала? к примеру, любимое всеми число 4 398 046 511 104 . после первого вычитания не получается продолжить всё по алгоритму. Объясните пожалуйста.
22 Алексей:
Да, знаю этот способ. Я, помню, вычитал его в книге “Алгебра” какого-то старого издания. Тогда еще по аналогии сам вывел, как так же в столбик извлекать кубический корень. Но там уже сложнее: каждая цифра определяется уже не в одно (как для квадратного), а в два вычитания, да еще там каждый раз надо перемножать длинные числа.
23 Артем:
В примере извлечения квадратного корня в столбик из 56789,321 имеются опечатки. Группа цифр 32 приписана дважды к числам 145 и 243, в числе 2388025 вторую 8 необходимо заменить на 3. Тогда последнее вычитание следует записать так: 2431000 – 2383025 = 47975.
Дополнительно, при делении остатка на увеличенное в два раза значение ответа (без учета запятой), получим добавочное количество значащих цифр (47975/(2*238305) = 0.100658819…), которые следует дописать к ответу (√56789,321 = 238,305… = 238,305100659).24 Сергей:
По всей видимости алгоритм пришел из книги Исаака Ньютона “Всеобщая арифметика или книга о арифметических синтезе и анализе”. Вот выдержка из неё:
ОБ ИЗВЛЕЧЕНИИ КОРНЕЙ
Чтобы извлечь из числа квадратный корень, прежде всего следует поставить над его цифрами через одну, начиная с единиц, точки. Затем следует в частном или в корне написать цифру, квадрат которой равен или ближайший по недостатку к цифрам или цифре, предшествующим первой точке. После вычитания этого квадрата остальные цифры корня будут последовательно найдены посредством деления остатка на удвоенную величину уже извлеченной части корня и вычитания всякий раз из остатка квадрата последней найденной цифры и ее удесятеренного произведения на названный делитель.
25 Сергей:
Поправьте ещё название книги “Всеобщая арифметика или книга оБ арифметических синтезе и анализе”
26 Александр:
Спасибо за интересный материал. Но мне этот метод представляется несколько более сложным, чем нужно, например, школьнику. Я применяю более просто метод, основанный на разложении квадратичной функции с помощью первых двух производных. Формула его такая:
sqrt(x)= A1+A2-A3, где
А1 – целое число, квадрат которого ближе всего к х;
А2 – дробь, в числителе х-А1, в знаменателе 2*А1.
Для большинства чисел, встречающихся в школьном курсе, этого достаточно, чтобы получить результат с точностью до сотых.
Если нужен более точный результат, берем
А3 – дробь, в числителе А2 в квадрате, в знаменателе 2*А1+1.
Конечно, для применения нужна таблица квадратов целых чисел, но это в школе не проблема. Запомнить эту формулу достаточно просто.
Меня, правда, смущает, что А3 я получил опытным путем в результате экспериментов с электронной таблицей и не вполне понимаю, почему этот член имеет такой вид. Может, подскажете?27 Александр:
Да, я тоже рассматривал эти соображения, но дьявол кроется в деталях. Вы пишете:
“поскольку a2 и b отличаются уже довольно мало”. Вопрос именно стоит, насколько мало.
Эта формула хорошо работает на числах второго десятка и гораздо хуже (не до сотых, только до десятых) на числах первого десятка. Почему так происходит уже трудно понять без привлечения производных.28 Александр:
Я уточню, в чем я вижу преимущество предложенной мной формулы. Она не требует не вполне естественного разбиения чисел на пары цифр, которое, как показывает опыт, часто выполняется с ошибками. Смысл ее очевиден, а для человека, знакомого с анализом, тривиален. Хорошо работает на числах от 100 до 1000, наиболее часто встречающихся в школе.
29 Александр:
Кстати, я немного покопался и нашел точное выражение для А3 в моей формуле:
А3= А22 /2(A1+A2)30 vasil stryzhak:
В наше время, повсеместного использования вычислительной техники, вопрос извлечения квадратного коня из числа с практической точки зрения не стоит. Но для любителей математики, несомненно, представляют интерес различные варианты решения данной задачи. В школьной программе способ данного вычисления без привлечения дополнительных средств должен иметь место наравне с умножением и делением в столбик. Алгоритм вычисления должен быть не только запоминаемым, но и понятным. Классический метод, предоставленный в данном материале для обсуждения с раскрытием сущности, в полной мере соответствует вышеназванным критериям.
Существенным недостатком предлагаемого Александром способа является использование таблицы квадратов целых чисел. Каким большинством чисел встречающихся в школьном курсе она ограничена автор умалчивает. Что касается формулы, то в целом она мне импонирует в виду относительно высокой точностью вычисления.31 Александр:
для 30 vasil stryzhak
Я ни о чем не умолчал. Таблица квадратов предполагается до 1000. В мое время в школе ее просто заучивали наизусть и она была во всех учебниках математики. Я в явном виде назвал этот интервал.
Что до вычислительной техники, то она не применяется, в основном, на уроках математики, если только не идет специально тема применения калькулятора. Калькуляторы сейчас встроены в устройства, запрещенные к применению на ЕГЭ.32 vasil stryzhak:
Александр, спасибо за разъяснение!Я считал,что для предлагаемого метода теоретически необходимо помнить или пользоваться таблицей квадратов всех двузначных чисел.Тогда для подкоренных чисел не входящих в интервал от 100 до 10000 можно использовать прием их увеличения или уменьшения на необходимое количество порядков переносом запятой.
33 vasil stryzhak:
39 АЛЕКСАНДР:
МОЯ ПЕРВАЯ ПРОГРАММА НА ЯЗЫКЕ “ЯМБ” НА СОВЕТСКОЙ МАШИНЕ “ИСКРА 555″ БЫЛА НАПИСАНА ДЛЯ ИЗВЛЕЧЕНИЯ КВАДРАТНОГО КОРНЯ ИЗ ЧИСЛА ПО АЛГОРИТМУ ИЗВЛЕЧЕНИЯ В СТОЛБИК! а сейчас забыл как извлекать в ручную!
Вы хотите хорошо сдать ЕГЭ по математике? Тогда вам необходимо уметь считать быстро, правильно и без калькулятора. Ведь главная причина потери баллов на ЕГЭ по математике – вычислительные ошибки.
По правилам проведения ЕГЭ, пользоваться калькулятором на экзамене по математике запрещается. Цена может быть слишком высокой - удаление с экзамена.
На самом деле калькулятор на ЕГЭ по математике не нужен. Все задачи решаются без него. Главное – внимание, аккуратность и некоторые секретные приемы, о которых мы расскажем.
Начнем с главного правила. Если какое-то вычисление можно упростить – упростите его.
Вот, например, такое «дьявольское уравнение»:
Семьдесят процентов выпускников решают его «в лоб». Считают дискриминант по формуле , после чего говорят, что корень невозможно извлечь без калькулятора. Но ведь можно разделить левую и правую части уравнения на . Получится
Какой способ проще? :-)
Многие школьники не любят умножение в «столбик». Никому не нравилось в четвертом классе решать скучные «примеры». Однако перемножить числа во многих случаях можно и без «столбика», в строчку. Это намного быстрее.
Обратите внимание, что мы начинаем не с меньших разрядов, а с бoльших. Это удобно.
Теперь – деление. Нелегко «в столбик» разделить на . Но вспомним, что знак деления: и дробная черта – одно и то же. Запишем в виде дроби и сократим дробь:
Другой пример.
Как быстро и без всяких столбиков возвести в квадрат двузначное число? Применяем формулы сокращенного умножения:
Иногда удобно использовать и другую формулу:
Числа, оканчивающиеся на , в квадрат возводятся моментально.
Допустим, надо найти квадрат числа ( - не обязательно цифра, любое натуральное число). Умножаем на и к результату приписываем . Всё!
Например: ( и приписали ).
( и приписали ).
( и приписали ).
Этот способ полезен не только для возведения в квадрат, но для извлечения квадратного корня из чисел, оканчивающихся на .
А как вообще извлечь квадратный корень без калькулятора? Покажем два способа.
Первый способ – разложение подкоренного выражения на множители.
Например, найдем
Число делится на (так как сумма его цифр делится на ). Разложим на множители:
Найдем . Это число делится на . На оно тоже делится. Раскладываем на множители.
Еще пример.
Есть и второй способ. Он удобен, если число, из которого надо извлечь корень, никак не получается разложить на множители.
Например, надо найти . Число под корнем – нечетное, оно не делится на , не делится на , не делится на ... Можно и дальше искать, на что же оно все-таки делится, а можно поступить проще – найти этот корень подбором.
Очевидно, что в квадрат возводили двузначное число, которое находится между числами и , поскольку , , а число находится между ними. Первую цифру в ответе мы уже знаем, это .
Последняя цифра в числе равна . Поскольку , , последняя цифра в ответе – либо , либо . Проверим:
. Получилось!
Найдем .
Значит, первая цифра в ответе – пятерка.
В числе последняя цифра – девятка. , . Значит, последняя цифра в ответе – либо , либо .
Проверим:
Если число, из которого надо извлечь квадратный корень, заканчивается на или – значит, квадратный корень из него будет числом иррациональным. Потому что ни один квадрат целого числа не заканчивается на или . Помните, что в задачах части вариантов ЕГЭ по математике ответ должен быть записан в виде целого числа или конечной десятичной дроби, то есть должен являться рациональным числом.
Квадратные уравнения встречаются нам в задачах , и вариантов ЕГЭ, а также в части . В них нужно считать дискриминант, а затем извлекать из него корень. И совсем не обязательно искать корни из пятизначных чисел. Во многих случаях дискриминант удается разложить на множители.
Например, в уравнении
Еще одна ситуация, в которой выражение под корнем можно разложить на множители, взята из задачи .
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна , один из катетов равен , найти второй катет.
По теореме Пифагора, он равен . Можно долго считать в столбик, но проще применить формулу сокращенного умножения.
А теперь расскажем самое интересное - из-за чего все-таки выпускники теряют на ЕГЭ драгоценные баллы. Ведь ошибки в вычислениях возникают не просто так.
1
. Верный путь к потере баллов - неаккуратные вычисления, в которых что-то исправлено, зачеркнуто, одна цифра написана поверх другой. Посмотрите на свои черновики. Возможно, они выглядят так же? :-)
Пишите разборчиво! Не экономьте бумагу. Если что-то неправильно – не исправляйте одну цифру на другую, лучше напишите заново.
2 . Почему-то многие школьники, считая в столбик, стараются сделать это 1) очень-очень быстро, 2) очень мелкими цифрами, в уголке тетради и 3) карандашом. В результате получается вот что:
Разобрать что-либо невозможно. Что ж тогда удивляться, что оценка за ЕГЭ ниже, чем ожидали?
3 . Многие школьники привыкли игнорировать скобки в выражениях. Иногда встречается и такое:
Помните, что знак равенства ставится не где попало, а только между равными величинами. Пишите грамотно, даже на черновике.
4
. Огромное количество вычислительных ошибок связано с дробями. Если вы делите дробь на дробь – пользуйтесь тем, что
Здесь нарисован «гамбургер», то есть многоэтажная дробь. Крайне сложно при таком способе получить правильный ответ.
Подведем итоги.
Проверка заданий первой части профильного ЕГЭ по математике - автоматическая. Здесь не бывает «почти правильного» ответа. Либо он правилен, либо нет. Одна вычислительная ошибка – и привет, задача не засчитывается. Поэтому в ваших интересах научиться считать быстро, правильно и без калькулятора.
Задания второй части профильного ЕГЭ по математике проверяет эксперт. Позаботьтесь о нем! Пусть ему будет понятен и ваш почерк, и логика решения.
Математика зародилась тогда, когда человек осознал себя и стал позиционироваться как автономная единица мира. Желание измерить, сравнить, посчитать то, что тебя окружает, - вот что лежало в основе одной из фундаментальных наук наших дней. Сначала это были частички элементарной математики, что позволили связать числа с их физическими выражениями, позже выводы стали излагаться лишь теоретически (в силу своей абстрактности), ну а через некоторое время, как выразился один ученый, "математика достигла потолка сложности, когда из нее исчезли все числа". Понятие "квадратный корень" появилось еще в то время, когда его можно было без проблем подкрепить эмпирическими данными, выходя за плоскость вычислений.
С чего все начиналось
Первое упоминание корня, который на данный момент обозначается как √, было зафиксировано в трудах вавилонских математиков, положивших начало современной арифметике. Конечно, на нынешнюю форму они походили мало - ученые тех лет сначала пользовались громоздкими табличками. Но во втором тысячелетии до н. э. ими была выведена приближенная формула вычислений, которая показывала, как извлечь квадратный корень. На фото ниже изображен камень, на котором вавилонские ученые высекли процесс вывода √2 , причем он оказался настолько верным, что расхождение в ответе нашли лишь в десятом знаке после запятой.
Помимо этого, корень применялся, если нужно было найти сторону треугольника, при условии, что две другие известны. Ну и при решении квадратных уравнений от извлечения корня никуда не деться.
Наравне с вавилонскими работами объект статьи изучался и в китайской работе "Математика в девяти книгах", а древние греки пришли к выводу, что любое число, из которого не извлекается корень без остатка, дает иррациональный результат.
Происхождение данного термина связывают с арабским представлением числа: древние ученые полагали, что квадрат произвольного числа произрастает из корня, подобно растению. На латыни это слово звучит как radix (можно проследить закономерность - все, что имеет под собой "корневую" смысловую нагрузку, созвучно, будь то редис или радикулит).
Ученые последующих поколений подхватили эту мысль, обозначая его как Rx. Например, в XV веке, дабы указать, что извлекается корень квадратный из произвольного числа a, писали R 2 a. Привычная современному взгляду "галочка" √ появилась лишь в XVII веке благодаря Рене Декарту.
Наши дни
С точки зрения математики, квадратный корень из числа y - это такое число z, квадрат которого равен y. Иными словами, z 2 =y равносильно √y=z. Однако данное определение актуально лишь для арифметического корня, так как оно подразумевает неотрицательное значение выражения. Иными словами, √y=z, где z больше либо равно 0.
В общем случае, что действует для определения алгебраического корня, значение выражения может быть как положительным, так и отрицательным. Таким образом, в силу того, что z 2 =y и (-z) 2 =y, имеем: √y=±z или √y=|z|.
Благодаря тому, что любовь к математике с развитием науки лишь возросла, существуют разнообразные проявления привязанности к ней, не выраженные в сухих вычислениях. Например, наравне с такими занятными явлениями, как день числа Пи, отмечаются и праздники корня квадратного. Отмечаются они девять раз в сто лет, и определяются по следующему принципу: числа, которые обозначают по порядку день и месяц, должна быть корнем квадратным из года. Так, в следующий раз предстоит отмечать сей праздник 4 апреля 2016 года.
Свойства квадратного корня на поле R
Практически все математические выражения имеют под собой геометрическую основу, не миновала эта участь и √y, который определяется как сторона квадрата с площадью y.
Как найти корень числа?
Алгоритмов вычисления существует несколько. Наиболее простым, но при этом достаточно громоздким, является обычный арифметический подсчет, который заключается в следующем:
1) из числа, корень которого нам нужен, по очереди вычитаются нечетные числа - до тех пор, пока остаток на выходе не получится меньше вычитаемого или вообще будет равен нулю. Количество ходов и станет в итоге искомым числом. Например, вычисление квадратного корня из 25:
Следующее нечетное число - это 11, остаток у нас следующий: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?
Для таких случаев существует разложение в ряд Тейлора:
√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , где n принимает значения от 0 до
+∞, а |y|≤1.
Графическое изображение функции z=√y
Рассмотрим элементарную функцию z=√y на поле вещественных чисел R, где y больше либо равен нулю. График ее выглядит следующим образом:
Кривая растет из начала координат и обязательно пересекает точку (1; 1).
Свойства функции z=√y на поле действительных чисел R
1. Область определения рассматриваемой функции - промежуток от нуля до плюс бесконечности (ноль включен).
2. Область значений рассматриваемой функции - промежуток от нуля до плюс бесконечности (ноль опять же включен).
3. Минимальное значение (0) функция принимает лишь в точке (0; 0). Максимальное значение отсутствует.
4. Функция z=√y ни четная, ни нечетная.
5. Функция z=√y не является периодической.
6. Точка пересечения графика функции z=√y с осями координат лишь одна: (0; 0).
7. Точка пересечения графика функции z=√y также является и нулем этой функции.
8. Функция z=√y непрерывно растет.
9. Функция z=√y принимает лишь положительные значения, следовательно, график ее занимает первый координатный угол.
Варианты изображения функции z=√y
В математике для облегчения вычислений сложных выражений порой используют степенную форму написания корня квадратного: √y=y 1/2 . Такой вариант удобен, например, в возведении функции в степень: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Этот метод является удачным представлением и при дифференцировании с интегрированием, так как благодаря ему корень квадратный представляется обычной степенной функцией.
А в программировании заменой символа √ является комбинация букв sqrt.
Стоит отметить, что в данной области квадратный корень очень востребован, так как входит в состав большинства геометрических формул, необходимых для вычислений. Сам алгоритм подсчета достаточно сложен и строится на рекурсии (функции, что вызывает сама себя).
Корень квадратный в комплексном поле С
По большому счету именно предмет данной статьи стимулировал открытие поля комплексных чисел C, так как математикам не давал покоя вопрос получения корня четной степени из отрицательного числа. Так появилась мнимая единица i, которая характеризуется очень интересным свойством: ее квадратом есть -1. Благодаря этому квадратные уравнения и при отрицательном дискриминанте получили решение. В С для корня квадратного актуальны те же свойства, что и в R, единственное, сняты ограничения с подкоренного выражения.
Рассмотрим этот алгоритм на примере. Найдем
1-й шаг. Число под корнем разбиваем на грани по две цифры (справа налево):
2-й шаг. Извлекаем квадратный корень из первой грани, т. е. из числа 65, получаем число 8. Под первой гранью пишем квадрат числа 8 и вычитаем. К остатку приписываем вторую грань (59):
(число 159 - первый остаток).
3-й шаг. Удваиваем найденный корень и пишем результат слева:
4-й шаг. Отделяем в остатке (159) одну цифру справа, слева получаем число десятков (оно равно 15). Затем делим 15 на удвоенную первую цифру корня, т. е. на 16, так как 15 на 16 не делится, то в частном получается нуль, который записываем как вторую цифру корня. Итак, в частном получили число 80, которое опять удваиваем, и сносим следующую грань
(число 15 901 - второй остаток).
5-й шаг. Отделяем во втором остатке одну цифру справа и полученное число 1590 делим на 160. Результат (цифру 9) записываем как третью цифру корня и приписываем к числу 160. Полученное число 1609 умножаем на 9 и находим следующий остаток (1420):
В дальнейшем действия выполняются в той последовательности, которая указана в алгоритме (корень можно извлекать с нужной степенью точности).
Замечание. Если подкоренное выражение - десятичная - дробь, то ее целую часть разбивают на грани по две цифры справа налево, дробную часть - по две цифры слева направо и извлекают корень по указанному алгоритму.
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
1. Извлеките квадратный корень из числа: а) 32; б) 32,45; в) 249,5; г) 0,9511.
В математике вопрос о том, как извлекать корень, считается относительно несложным. Если возвести в квадрат числа из натурального ряда: 1, 2, 3, 4, 5 …n, то у нас получится следующий ряд квадратов: 1, 4, 9, 16 …n 2 . Ряд квадратов является бесконечным, и если внимательно посмотреть на него, то вы увидите, что в нем нет очень многих целых чисел. Почему это так, объясним немного позже.
Корень из числа: правила вычисления и примеры
Итак, мы возвели число 2 в квадрат, то есть умножили его само на себя и получили 4. А как извлечь корень из числа 4? Сразу скажем, что корни могут быть квадратными, кубическими и какой угодно степени до бесконечности.
Степень корня – всегда натуральное число, то есть нельзя решить такое уравнение: корень в степени 3,6 из n.
Квадратный корень
Вернемся к вопросу о том, как извлечь корень квадратный из 4. Так как возводили мы число 2 именно в квадрат, то и корень будем извлекать квадратный. Для того чтобы правильно извлечь корень из 4, нужно просто правильно подобрать число, которое при возведении в квадрат дало бы число 4. И это, конечно же, 2. Посмотрите на пример:
- 2 2 =4
- Корень из 4 = 2
Этот пример довольно простой. Попробуем извлечь корень квадратный из 64. Какое число при умножении самого на себя дает 64? Очевидно, что это 8.
- 8 2 =64
- Корень из 64=8
Кубический корень
Как выше было сказано, корни бывают не только квадратными, на примере попробуем более понятно объяснить, как извлечь кубический корень или корень третьей степени. Принцип извлечения кубического корня тот же самый, что и у квадратного, разница лишь в том, что искомое число изначально было умножено само на себя не единожды, а дважды. То есть, допустим, мы взяли следующий пример:
- 3x3x3=27
- Естественно, кубическим корнем из числа 27 будет тройка:
- Корень 3 из 27 = 3
Допустим, необходимо найти кубический корень из 64. Для решения этого уравнения достаточно найти такое число, которое при возведении в третью степень дало бы 64.
- 4 3 =64
- Корень 3 из 64 = 4
Извлечь корень из числа на калькуляторе
Конечно, лучше всего учиться извлекать квадратные, кубические и корни другой степени на практике, путем решения многих примеров и запоминания таблицы квадратов и кубов небольших чисел. В будущем это очень облегчит и сократит время решения уравнений. Хотя, нужно отметить, что порой требуется извлечь корень из такого большого числа, что подобрать правильное число, возведенное в квадрат, будет стоить очень больших трудов, если вообще это возможно. На помощь в извлечении квадратного корня придет обычный калькулятор. Как на калькуляторе извлечь корень? Очень просто введите число, из которого хотите найти результат. Теперь внимательно посмотрите на кнопки калькулятора. Даже на самом простом из них найдется клавиша со значком корня. Нажав на нее, вы немедленно получите готовый результат.
Не из каждого числа можно извлечь целый корень, рассмотрим следующий пример:
Корень из 1859 = 43,116122…
Вы можете параллельно попробовать решить этот пример на калькуляторе. Как видите, полученное число не является целым, более того, набор цифр после запятой является не конечным. Более точный результат могут дать специальные инженерные калькуляторы, на дисплее же обычных полный результат просто не умещается. А если вы продолжите начатый ранее ряд квадратов, то не найдете в нем числа 1859 именно потому, что число, которое возвели в квадрат для его получения, не является целым.
Если вам необходимо извлечь корень третьей степени на простом калькуляторе, то необходимо нажать дважды на кнопку со знаком корня. Для примера возьмем использованное выше число 1859 и извлечем из него кубический корень:
Корень 3 из 1859 = 6,5662867…
То есть, если число 6,5662867… возвести в третью степень, то мы получим приблизительно 1859. Таким образом, извлекать корни из чисел не сложно, достаточно лишь запомнить выше приведенные алгоритмы.