Исследовательская работа: Расположение корней квадратного трехчлена
Стукалова Надежда Васильевна
Место работы, должность:
МБОУ СОШ №15,учитель математики
Тамбовская область
Характеристики урока (занятия)
Уровень образования:
Среднее (полное) общее образование
Целевая аудитория:
Учащийся (студент)
Целевая аудитория:
Учитель (преподаватель)
Класс(ы):
Предмет(ы):
Алгебра
Предмет(ы):
Математика
Цель урока:
Тип урока:
Комбинированный урок
Учащихся в классе (аудитории):
Используемые учебники и учебные пособия:
А. Г. Мордкович, алгебра,9 класс, учебник,2011
А. Г. Мордкович, алгебра,9 класс, задачник,2011
С.А. Теляковский, алгебра 9 класс, учебник, 2009
Используемая методическая литература:
Мирошин, В.В. Решение задач с параметрами: Теория и практика / В.В. Мирошин.- М.: Экзамен, 2009.
Л. В Кузнецова Сборник заданий для экзамена
Используемое оборудование:
Компьютер, кинопроектор
Краткое описание:
План урока: 1. Организационный момент. 2. Обобщение и систематизация знаний (вспомнить необходимые и достаточные условия расположения корней квадратного трёхчлена на числовой прямой). 3. Решение задач с параметрами (работа в группах). 4. Самостоятельная работа с последующей проверкой. 5. Подведение итогов. 6. Домашнее задание.
Конспект урока
на тему
«Расположение корней квадратного трёхчлена
в зависимости от значений параметра»
учитель математики Стукалова Н.В. МБОУ СОШ №15
г. Мичуринск - наукоград РФ 2011г.
Цель урока:
Развивать практические умения и навыки учащихся по решению заданий с параметрами;
Подготовить учащихся к успешной сдачи ГИА по математике;
Развивать исследовательскую и познавательную деятельности учащихся;
Формировать интерес к математике;
Развивать математические способности учащихся.
План урока:
1. Организационный момент.
2. Обобщение и систематизация знаний (вспомнить необходимые и достаточные условия расположения корней квадратного трёхчлена на числовой прямой).
3. Решение задач с параметрами (работа в группах).
4. Самостоятельная работа с последующей проверкой.
5. Подведение итогов.
6. Домашнее задание.
Ход урока.
1. Организационный момент.
Учитель сообщает тему урока, ставит цели и задачи перед учащимися, сообщает план урока.
Задачи с параметрами вызывают большие затруднения. Это связано с тем, что решение таких задач требует не только знания свойств функций и уравнений, умения выполнять алгебраические преобразования, но также высокой логической культуры и хорошей техники исследования.
Наш урок посвящен решению задач по расположению корней квадратного трёхчлена на числовой прямой.
2. Обобщение и систематизация знаний:
Вспомнить необходимые и достаточные условия для выполнения различных требований расположения корней квадратного уравнения относительно заданных точек или промежутков.
После ответа учащихся демонстрируются слайды с правильным ответом.
1. Расположение корней по обе стороны от заданной на числовой прямой
точки.
условию х 1 < m<х 2, необходимо и достаточно выполнения неравенства аf(x)<0.
2. Расположение корней по обе стороны от заданного отрезка.
Для того чтобы корни квадратного уравнения при а ≠ 0 удовлетворяли
условию х 1 < m, х 2 < n, где m системы неравенств 3.
Расположение корней с одной стороны от заданной на числовой прямой
Точки.
Для того чтобы корни квадратного уравнения при а ≠ 0 удовлетворяли условию m<х 1 <х 2, т.е располагались на числовой прямой правее точки х = m, необходимо и достаточно выполнения системы неравенств Если левее точки х = m, необходимо и достаточно выполнения системы неравенств 4. Принадлежность корней заданному интервалу.
интервалу (m;n), необходимо и достаточно выполнения системы неравенств 5.Принадлежность корней заданному отрезку.
Для того чтобы корни квадратного уравнения при а ≠ 0 принадлежали интервалу , необходимо и достаточно выполнения системы неравенств 3. Решение задач с параметрами.
Учащиеся разделены на 4 группы. В каждой группе есть дети более успешные в алгебре. Каждая группа начинает решение задачи, совпадающей с номером своей группы. После обсуждения хода решения задачи, от каждой группы по одному представителю выходят к доске и оформляют решение задачи своей группы, и объясняет её решение (на откидных досках). В это время ребята должны решить задачи другой группы (можно получать консультацию у учителя). Задача №1.
При каких значениях параметра а
один корень уравнения (12а + 7)х 2 + (9а - 42)х + +11 - 3а = =0 больше 1, другой корень меньше 1? Решение.
Графиком функции у = f(х), где f(х) = (12а + 7)х 2 + (9а - 42)х + +11 - 3а, при а ≠ - 7/12 является параболой, ветви которой при а > - 7/12 направлены вверх, при а < - 7/12 - вниз. Тогда значения параметра а
удовлетворяют неравенству (12а +)f(1)< 0, где f(1) = 12а+7+9а-42+11-3а = 18а-24. Решив неравенство (12а+7)(18а-24)<0, получим, что - 7/12<а<4/3. Ответ: (-7/12; 4/3). Задача № 2
. Найдите значения параметра а, при которых корни уравнения (1+а)х 2 - 3ах +4а = 0 больше 1. Решение.
При а≠-1 заданное уравнение является квадратным и D= -а(7а+16). Получим систему , откуда -16/7≤а≤ -1. Значения параметра, при которых корни данного уравнения при а ≠ - 1 больше 1, принадлежат промежутку [-16/7; -1). При а = -1 заданное уравнение имеет вид3х - 4 = 0 и единственный корень Ответ: [-16/7; -1] Задача № 3
. При каких значениях параметра kкорни уравнения (k-2)х 2 -2kх+2k-3=0 принадлежат интервалу (0;1)? Решение.
При k≠2 искомые значения параметра должны удовлетворять системе неравенств ГдеD= 4k 2 -4(k-2)(2k-3) = -4(k 2 -7k+6), f(0) = 2k-3? F(1) = k-5, x в = k/(k-2). Данная система не имеет решений. При k = 2 заданное уравнение имеет вид -4х+1 = 0, его единственный корень х = ¼, который принадлежит интервалу (0;1). Задача №4
. При каких значениях а оба корня уравнения х 2 -2ах+а 2 -а = 0 расположены на отрезке? Искомые значения должны удовлетворять системе неравенств где D= 4а 2 -4(а 2 -а) = 4а, f(2) = a 2 -5a+4, f(6) = a 2 -13a+36, х в = а. Единственным решением системы является значение, а = 4. 4.
Самостоятельная работа (контрольно - обучающая).
Учащиеся работают в группах, выполняют один и тот же вариант, так как материал очень сложный и не всем может быть по силам. №1. При каких значениях параметра а оба корня уравнения х 2 -2ах+а 2 - 1 =0 принадлежит интервалу (-2;4)? №2. Найдите все значения k, при которых один корень уравнения (k-5)x 2 -2kx+k-4=0 меньше1, а другой корень больше 2. №3. При каких значениях а число 1 находится между корнями квадратного трехчлена х 2 + (а+1)х - а 2 ? По окончании времени демонстрируются ответы. Осуществляется самопроверка самостоятельной работы. 5.
Итог урока. Закончить предложение.
«Сегодня на уроке…». «Мне запомнилось …». «Хотелось бы отметить …». Учитель анализирует весь ход урока и его основные моменты, оценивает деятельность каждого ученика на уроке. 6. Домашнее задание
(из сборника заданий для подготовки к ГИА в 9 классе авт. Л. В. Кузнецова) Уравнения содержащие параметр. 3. Дискриминант D=b2−4ac показывает, пересекается ли парабола с Утверждение 4: Оба корня лежат между точками А и В, то есть А < х1 < 2 группа: Квадратные уравнения с параметрами
(Методическая разработка для учащихся 9-11 классов) учитель математики высшей квалификационной категории, заместитель директора по УВР Мегион 2013 Предисловие https://pandia.ru/text/80/021/images/image002.png" height="22 src=">2.Применение теоремы Виета Научные работы" href="/text/category/nauchnie_raboti/" rel="bookmark">научной работы учащегося. В задачах с параметрами содержится множество приёмов, необходимых не только для математического развития личности, но и и в любом другом научном исследовании. Поэтому решение задач с параметрами и в частности решение квадратных уравнений с параметрами является пропедевтикой
научно-исследовательской работы учащихся. На ЕГЭ по математике (часто задания С5), ГИА (задания части 2) и на вступительных экзаменах встречаются, в основном, два типа задач с параметрами. Первый: «Для каждого значения параметра найти все решения некоторого уравнения или неравенства». Второй: «Найти все значения параметра, при каждом из которых для данного уравнения или неравенства выполняются некоторые условия». Соответственно и ответы в задачах этих двух типов различаются по существу. В ответе к задаче первого типа перечисляются все возможные значения параметра и для каждого из этих значений записываются решения уравнения. В ответе к задаче второго типа указываются все значения параметра, при которых выполняются условия, указанные в задаче. Как известно, решению задач с параметрами в школе уделяется очень мало внимания. Поэтому решение задач с параметрами всегда вызывает большие трудности у учащихся; трудно рассчитывать на то, что учащиеся, подготовка которых не содержала «параметрическую терапию», смогут в жесткой атмосфере конкурсного экзамена успешно справиться с подобными задачами, следовательно, учащиеся должны специально готовиться к «встрече с параметрами». Многие учащиеся воспринимают параметр как «обычное» число. Действительно, в некоторых задачах параметр можно считать постоянной величиной, но это постоянная величина принимает неизвестные значения. Поэтому необходимо рассматривать задачу при всех возможных значениях этой постоянной величины. В других задачах бывает удобно искусственно объявить параметром одну из неизвестных. Задачи с параметрами обладают диагностической и прогностической ценностью – с помощью задач с параметрами можно проверить знание основных разделов школьной математики, уровень математического и логического мышления, первоначальные навыки научно-исследовательской деятельности , а главное, перспективные возможности успешного овладения курсом математики данного вуза. Анализ вариантов ЕГЭ по математике и вступительных экзаменов в различные вузы показывает, что большинство предлагаемых задач с параметрами связано с расположением корней квадратного трехчлена. Будучи основной в школьном курсе математики, квадратичная функция формирует обширный класс задач с параметрами, разнообразных по форме и содержанию, но объединенных общей идеей – в основе их решения лежат свойства квадратичной функции. При решении таких задач рекомендуется работать с тремя типами моделей: 1. вербальная модель – словесное описание задачи; 2. геометрическая модель – эскиз графика квадратичной функции; 3. аналитическая модель – система неравенств, при помощи которой описывается геометрическая модель. Методическое пособие содержит теоремы о расположении корней квадратного трехчлена (необходимые и достаточные условия расположения корней квадратичной функции относительно заданных точек), применение теоремы Виета к решению квадратных уравнений с параметрами. Приведены подробные решения 15 задач с методическими рекомендациями . Назначение данного пособия – помочь выпускнику и учителю математики в подготовке к сдаче ЕГЭ и ГИА по математике, и вступительного экзамена в вуз в виде теста или в традиционной форме. https://pandia.ru/text/80/021/images/image004.png" width="16" height="32 src="> - лежит правее прямой х = n (условие xb>n); 3. парабола пересекается с прямой х = n в точке, лежащей в верхней полуплоскости при a>0 и в точке, лежащей в нижней полуплоскости при а<0 (условие a∙f(n) >0). Теорема 10.
Квадратные уравнения х2 + p1x + q1 = 0 и x2 + p2x + q2 = 0, дискриминанты которых неотрицательны, имеют по крайней мере один общий корень тогда и только тогда, когда (q2 – q1)2 = (p2 – p1)(p1q2 – q1p2). Доказательство.
Пусть f1(x) = x2 + p1x + q1, f2(x) = x2 + p2x + q2 и числа х1, х2 являются корнями уравнения f1(x) = 0. Для того чтобы уравнения f1(x) = 0 и f2(x) = 0 имели по крайней мере один общий корень, необходимо и достаточно, чтобы f1(x)∙f2(x) = 0, т. е. чтобы (x12 + p2x1 + q2)(x22 + p2x2 + q2) = 0. Представим последнее равенство в виде (x12 + p1x1 + q1 + (p2 – p1)x1 + q2 – q1) (x22 + p1x2 + q1 + (p2 – p1)x2 + q2 – q1) = 0. Поскольку х12 + p1x1 + q1 = 0 и x22 + p1x2 + q1 = 0, отсюда получаем ((p2 – p1)x1 + (q2 – q1))((p2 – p1)x2 + (q2 – q1)) = 0, т. е. (p2 – p1)2x1x2 + (q2 – q1)(p2 – p1)(x1 + x2) + (q2 – q1)2 = 0. По теореме Виета x1 +x2 = - p1 и x1x2 =q1; следовательно, (p2 – p1)2q1 – (q2 – q1)(p2 - p1)p1 + (q2 – q1)2 = 0, или (q2 – q1)2 = (p2 - p1)((q2 – q1)p1 - (p2 - p1)q1) = (p2 – p1)(q2p1 – q1p1 – p2q1 + p1q1) = (p2 – p1)(q2p1 – p2q1), что и требовалось доказать. https://pandia.ru/text/80/021/images/image040.png" width="116" height="65 src="> Квадратное уравнение ax
2 + bx
+ c
= 0 1) имеет два действительных положительных корня тогда и только тогда, когда одновременно выполняются условия: 2) имеет два действительных отрицательных корня тогда и только тогда, когда одновременно выполняются условия: 3) имеет два действительных корня разных знаков тогда и только тогда, когда одновременно выполняются условия: 4) имеет два действительных корня одного знака, если Замечание 1. Если коэффициент при х
2 содержит параметр, необходимо разбирать случай, когда он обращается в нуль. Замечание 2. Если дискриминант квадратного уравнения является полным квадратом, то вначале удобней найти явные выражения для его корней. Замечание 3. Если уравнение, содержащее несколько неизвестных, является квадратным относительно одной из них, то часто ключом к решению задачи служит исследование его дискриминанта. Приведем схему исследования задач, связанных с расположением корней квадратного трехчлена
f
(x
) =
ax
2
+
bx
+
c
:
1.Исследование случая а = о (если первый коэффициент зависит от параметров). 2.Нахождение дискриминанта D в случае а≠0. 3.Если D - полный квадрат некоторого выражения, то нахождение корней х1, х2 и подчинение условиям задачи. 4..png" width="13" height="22 src=">3. Примеры решения задач для подготовки к ГИА и ЕГЭ по математике
Пример 1.
Решите уравнение (a
- 2)x
2 – 2ax
+ 2a
– 3 = 0. Решение.
Рассмотрим два случая: а = 2 и а ≠ 2. в первом случае исходное уравнение принимает вид - 4х
+ 1 = 0..png" width="255" height="58 src="> При а = 1 или а = 6 дискриминант равен нулю и квадратное уравнение имеет один корень: , т. е. при а = 1 получаем корень При 1 < a
< 6 дискриминант положителен и квадратное уравнение имеет два корня: https://pandia.ru/text/80/021/images/image053.png" width="163" height="24 src=">уравнение не имеет корней; при а = 1 уравнение имеет один корень х
= -1; при Пример 2.
При каком значении параметра а
уравнение (а
- 2)х
2 + (4 – 2а
)х
+ 3 = 0 имеет единственный корень? Решение
. Если а
= 2, то уравнение превращается в линейное∙х
+ 3 = 0; которое не имеет корней. Если а
≠ 2, то уравнение – квадратное и имеет единственный корень при нулевом дискриминанте D
. D
= 0 при а
1 = 2 и a
2 = 5. Значение а
= 2 исключается, так как противоречит условию, что исходное уравнение – квадратное. Ответ
: а
= 5. 4.
(а
- 1)х
2 + (2а
+ 3)х
+ а
+ 2 = 0 имеет корни одного знака? Решение.
Так как по условию задачи рассмотренное уравнение – квадратное, значит, а
≠ 1. очевидно, условие задачи предполагает также существование корней квадратного уравнения, что означает неотрицателность дискриминанта D
= (2a
+ 3)2 – 4(a
- 1)(a
+ 2) = 8a
+ 17. Так как по условию корни должны быть одинаковых знаков, то х
1∙х
2 > 0, т. е..png" width="149" height="21 src=">.С учетом условий D
≥ 0 и а
≠ 1 получим https://pandia.ru/text/80/021/images/image060.png" width="191" height="52 src=">. Пример 3.
Найти все значения а, для которых уравнение х2 – 2(а – 1)х + (2а + 1) = 0 имеет два положительных корня. Решение.
Из теоремы Виета для того чтобы оба корня х1 и х2 данного уравнения были положительными, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант квадратного трехчлена х2 – 2(а – 1)х + (2а + 1) был неотрицательным, а произведение х1∙х2 и сумма х1 + х2 были положительными. Получаем, что все а, удовлетворяющие системе И только они, являются решениями поставленной задачи. Э та система равносильна системе Решением которой, а следовательно, и самой задачи являются все числа из промежутка (M
N
)
, необходимо и достаточно:
(при этом меньший корень лежит вне отрезка ).
5.Найти все значения а, для которых при каждом x из промежутка (-3; -1] значение выражения
Решение:
1.Значения указанных выражений не равны друг другу тогда и только тогда,когда выполнено условие:
Обозначим t=x², тогда t²-8t-2
at.
t²-8t-at-2=t²-(a+8)t-2
0
f(t)=t²-(a+8)t-2
0
Следовательно, в задаче требуется, чтобы уравнение f(t)=0 не имело корней на промежутке
, необходимо и достаточно:
(при этом больший корень лежит вне отрезка
[
M
,
N
])
.
Утверждение 7
.
Для того чтобы один из корней квадратного уравнения был меньше, чем M, а другой больше, чем N (M [
M
,
N
]
целиком лежал внутри интервала между корнями, необходимо и достаточно:
Пример 6:
Найти все значения параметра а, при которых меньший корень уравнения x²+(a+1)x+3=0 лежал в интервале (-1; 3)
Решение:
Ответ: (-∞; -5)
Пример 7:
При каких значениях параметра а один корень уравнения x²-(3a+2)x+2a-1=0 меньше -1, а другой больше 2.
Решение:
Ответ: решений нет.
Проверка качества применимости изложенного материала
Проверочную работу выполняли четыре человека: три ученика 11 класса и один ученик 10 класс (задания см. в Приложении)
В результате анализа проверочной работы была выявлена необходимость совершенствования навыков решения задач на расположение корней квадратного уравнения
Заключение:
В процессе исследования были рассмотрены основные случаи расположения корней квадратного уравнения, приведены утверждения, к которым даны иллюстрации, помогающие понять, как выводятся эти утверждения. Данный материал облегчит понимание решений заданий, содержащих параметры о расположении корней квадратного уравнения. Он может быть использован для индивидуального обучения, а также на внеклассных и факультативных занятий по математике.
Литература:
1. Задачи с параметрами П.И. Горнштейн, .Б. Полонский, М.С. Якир
3. Рабочая тетрадь для подготовки к итоговой аттестации по математике в новой форме (Негосударственное образовательное учреждение «Интернациональные коммуникации»)
4. Школа решения задач с параметрами, авторы Севрюков П.Ф., Смоляков А.Н.
Приложение
Задания:
Урок 2: Расположение корней квадратного уравнения в зависимости
от параметра.
Цель: Формировать умение распознавать положение параболы в
зависимости от ее коэффициентов.
I.
Объяснение нового материала.
Ход урока
Решение многих задач с параметрами, предлагаемых на экзаменах, в
частности, на ЕГЭ по математике, требует умения правильно
формулировать необходимые и достаточные условия, соответствующие
различным случаям расположения корней квадратного трёхчлена на
числовой оси.
Рассмотрим пример: найдите все значения параметра с, при которых оба
меньше, чем – 1.
1
2). Теперь нужно
Уравнение имеет два различных корня при D > 0 (с >
составить систему уравнений когда х1>−1 и х2>−1 . Ее будет
достаточно сложно решить.
Для решения заданий такого типа существует специальный метод.
Сначала рассмотрим квадратичную функцию f(x) = ax2+bx+c,a≠0.
Запишем ее в виде f(x)=a(x+ b
2a)
Вспомним основные характеристики параболы, позволяющие построить ее
график. При решении заданий с параметрами эти характеристики
применяются в другом контексте.
+ 4ac−b2
4a
2
.
1. Прямая x=−b
2a – ось параболы, которая является одновременно
осью ее симметрии. Вершиной параболы является точка (
−b
2a
;4ac−b2
4a).
2. Знак числа а показывает, куда направлены ветви параболы: если а >
0, то вверх, если а < 0, то вниз.
осью абсцисс.
Объединим вышесказанное в таблице:
Расположение графика по отношению к оси абсцисс в зависимости от
знаков коэффициента а и дискриминанта.
а > 0
а < 0
D > 0
D = 0
D < 0
Утверждение 1: Оба корня меньше числа А, то есть х1 < А и х2 < А тогда
и только тогда, когда { D>0,
a>0,
x0
или { D>0,
a<0,
x0
Утверждение 2: Корни лежат по разные стороны от числа А, то есть х1 <
А < х2 , тогда и только тогда, когда { a>0,
системы можно заменить формулой a⋅f(A)<0.
f(A)<0 или { a<0,
f(A)>0.
Эти две
Утверждение 3: Оба корня больше числа А, то есть х1 > А и х2 > А, тогда
и только тогда, когда { D>0,
a>0,
x0>A,
f(A)>0
или { D>0,
a<0,
x0>A,
f(A)<0.
a<0,
А<х0<В,
f(A)<0,
f(В)<0.
a>0,
А<х0<В,
f(A)>0,
f(В)>0
В и А < х2 < В, тогда и только тогда, когда { D>0,
> х2 и А < х1 < В, тогда и только тогда, когда { a>0,
> х2 и А < х2 < В, тогда и только тогда, когда { a>0,
или { D>0,
f(В)>0 или { a<0,
или { a<0,
f(A)>0,
f(В)<0
f(A)>0,
f(В)<0.
f(A)<0,
f(В)>0.
f(A)<0,
Утверждение 5: Больший корень лежит между точками А и В, то есть х1
Утверждение 6: Меньший корень лежит между точками А и В, то есть х1
Утверждение 7: Корни лежат по разные стороны от отрезка
есть х1 < А < В < х2, тогда и только тогда, когда { a>0,
f(A)<0,
f(В)<0
или { a<0,
f(A)>0,
f(В)>0.
[А;В]
, то
Вернемся к примеру1: найдите все значения параметра с, при которых оба
корня квадратного уравнения х2+4сх+(1−2с+4с2)=0 различны и
меньше, чем – 1. (Для решения необходимо воспользоваться утверждением
1.)
Пример 2: При каких действительных значениях k оба корня (в том числе
кратных) уравнения (1 + k)х2 – 3kх + 4k = 0 больше 1? (Для решения
необходимо воспользоваться утверждением 3.)
II. Закрепление пройденного материала. Практическая работа в
группах.
1 группа:
1. При каких значениях k число 2 находится между корнями уравнения 2х2
1
2 х + (k – 3)(k + 5) = 0?
–
2. При каких значениях параметра а оба корня уравнения х2 – ах + 2 = 0
лежат в интервале (0; 3)?
1. При каких значениях k число 3 находится между корнями уравнения х2
+
х + (k – 1)(k + 7) = 0?
2. Существуют ли такие значения параметра а, что корни уравнения х2 +
2х + а = 0 лежат между – 1 и 1?
3 группа:
1. Найдите множество значений параметра k, при число 2 находится
между корнями уравнения 9х2 – 6х – (k – 2)(k + 2) = 3.
2. При каких значениях параметра а все решения уравнения (а – 1)х2 – (а +
1)х + а = 0 имеет единственное решение удовлетворяющее условию 0 <
x < 3?
III. Домашняя работа.
1. При каких значениях параметра а оба корня уравнения (а + 4)х2 – 2(а +
2)х + 3(а + 6) = 0 положительны?
2. При каких значениях параметра а оба корня уравнения (а – 3)х2 – 3(а –
4)х + 4а – 16 = 0 принадлежат интервалу (2; 5)?
3. При каких значениях параметра а один из корней уравнения 2ах2 – 2х –
3а – 2 = 0 больше 1, а другой меньше 1?
https://pandia.ru/text/80/021/images/image007.png" width="266" height="264">.png" width="311" height="264">.png" width="280" height="240">.png" width="38" height="31 src=">.png" width="263" height="264">.png" width="266" height="264">.png" width="311" height="264">.png" width="280" height="264">.png" width="266" height="264">.png" width="263" height="264">.png" width="280" height="264">.png" width="311" height="264">.png" width="263" height="264">.png" width="266" height="264">.png" width="290" height="264">.png" width="266" height="264">.png" width="290" height="264">.png" width="266" height="264">.png" width="263" height="264">.png" width="266" height="264">.png" width="153" height="43 src=">
;
;
;
, а при а = 6 – корень .
уравнение имеет два корня 
; при а
= 2 уравнение имеет единственный корень ; при а
= 6 уравнение имеет единственный корень .
(задача С3 из ЕГЭ).