Для чего нужны гармонические ряды. Ряды для чайников. Примеры решений

где подпредельная функция монотонно возрастает, то
или

или

Из предыдущего видно, что гармонический ряд есть ряд расходящийся, т.е. сумма первых n его членов неограниченно растет с ростом количества взятых членов. Однако в отличие от других расходящихся рядов скорость роста суммы с увеличением числа членов замедляется. Гармонический ряд называют слабо расходящимся по сравнению с ростом n. Докажем следующую теорему, характеризующую гармонический ряд в этом отношении.

Теорема. При любом n имеет место приближенное равенство
где 0 < g n < 1. Доказательство. Пусть дана площадь криволинейной трапеции aABb, ограниченной равнобочной гиперболой, отнесенной к асимптотам, уравнение которой y = 1/x двумя ее ординатами aA и bB, уравнения которых x = 1 и x = n, и осью абсцисс. Пользуясь "формулами прямоугольников", вычислим эту площадь с недостатком (рис.2) и с избытком (рис.1). Разделив основание на n равных частей, найдем, что площадь aABb равна
или

g n = ж и 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ... + 1 n- 1 ц ш - ln(n) > 0.

Если взять правые ординаты (соответствующие точкам делений 2, 3, ... n) за высоты прямоугольников, то получим площадь ступенчатой линии, меньшую площади криволинейной трапеции aABb (рис. 2). Поэтом можно сказать, что

1 2 + 1 3 + 1 4 + ... + 1 n < ln(n).

Добавим к обеим частям неравенства 1- 1/n

1+ 1 2 + 1 3 + 1 4 + ... + 1 n- 1 < ln(n) + 1 - 1 n .

или

g n = ж и 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ... + 1 n- 1 ц ш - ln(n) < 1- 1 n

Таким образом сумму первых n- 1 членов гармонического ряда можно приближенно выразить через ln(n) следующим равенством
С ростом количества членов гармонического ряда величина g n возрастает. Но 0 < g n < 1- 1/n. Поэтому существует предел g n , меньший или равный единицы, т.е.
Этот предел называют "эйлеровой постоянною". При помощи подсчетов H n- 1 и ln(n) удалось найти значение этого числа с большой точностью и получить C = 0.57721566490...

Гармонический ряд - сумма, составленная из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда :

texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \sum_{k=1}^\mathcal{\infty} \frac{1}{k}=1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots +\frac{1}{k} + \cdots .

Сумма первых n членов ряда

Отдельные члены ряда стремятся к нулю, но его сумма расходится. n-ной частичной суммой s n гармонического ряда называется n-ное гармоническое число:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): s_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}=1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots +\frac{1}{n}

Некоторые значения частичных сумм

Формула Эйлера

При Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc значение Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \varepsilon _n \rightarrow 0 , следовательно, для больших Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc :

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): s_n\approx \ln(n) + \gamma - формула Эйлера для суммы первых Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): n членов гармонического ряда.

Более точная асимптотическая формула для частичной суммы гармонического ряда:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): s_n \asymp \ln(n) + \gamma + \frac{1}{2n} - \frac{1}{12n^2} + \frac{1}{120n^4} - \frac{1}{252n^6} \dots = \ln(n) + \gamma + \frac{1}{2n} - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{B_{2k}}{2k\,n^{2k}} , где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): B_{2k} - числа Бернулли .

Данный ряд расходится, однако ошибка вычислений по нему никогда не превышает половины первого отброшенного члена.

Теоретико-числовые свойства частичных сумм

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \forall n>1\;\;\;\;s_n\notin\mathbb{N}

Расходимость ряда

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): s_n\rightarrow \infty при Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): n\rightarrow \infty

Гармонический ряд расходится очень медленно (для того, чтобы частичная сумма превысила 100, необходимо около 10 43 элементов ряда).

Расходимость гармонического ряда можно продемонстрировать, сравнив его с телескопическим рядом :

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): v_n = \ln(n+1)-\ln n = \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\underset{+\infty}{\sim} \frac {1}{n} ,

частичная сумма которого, очевидно, равна:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \sum_{i=1}^{n-1} v_i= \ln n \sim H_n .

Доказательство Орема

Доказательство расходимости можно построить, группируя слагаемые следующим образом:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \begin{align} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} & {} = 1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right] + \left[\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}\right] + \left[\frac{1}{9}+\cdots\right] +\cdots \\ & {} > 1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right] + \left[\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right] + \left[\frac{1}{16}+\cdots\right] +\cdots \\ & {} = 1 + \ \frac{1}{2}\ \ \ + \quad \frac{1}{2} \ \quad + \ \qquad\quad\frac{1}{2}\qquad\ \quad \ + \quad \ \ \frac{1}{2} \ \quad + \ \cdots. \end{align}

Последний ряд, очевидно, расходится. Это доказательство принадлежит средневековому учёному Николаю Орему (ок. 1350).

Альтернативное доказательство расходимости

Разница между Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): n -м гармоническим числом и натуральным логарифмом Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): n сходится к постоянной Эйлера - Маскерони .

Разница между различными гармоническими числами никогда не равна целому числу и никакое гармоническое число, кроме Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): H_1=1 , не является целым .

Связанные ряды

Ряд Дирихле

Обобщённым гармоническим рядом (или рядом Дирихле) называют ряд

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^\alpha}=1 + \frac{1}{2^\alpha} + \frac{1}{3^\alpha} + \frac{1}{4^\alpha} + \cdots +\frac{1}{k^\alpha} + \cdots .

Обобщённый гармонический ряд расходится при Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \alpha \leqslant 1 и сходится при Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \alpha > 1 .

Сумма обобщённого гармонического ряда порядка Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \alpha равна значению дзета-функции Римана :

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \sum_{k=1}^\mathcal{1} \frac{1}{k^\alpha}=\zeta(\alpha)

Для чётных это значение явно выражается через число пи , например, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \zeta(2)=\frac{\pi^2}{6} , а уже для α=3 его значение аналитически неизвестно.

Другой иллюстрацией расходимости гармонического ряда может служить соотношение Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \zeta(1+\frac{1}{n}) \sim n .

Знакопеременный ряд

В отличие от гармонического ряда, у которого все слагаемые берутся со знаком «+», ряд

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n + 1}}{n} \;=\; 1 \,-\, \frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{3} \,-\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \cdots Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): 1 \,-\, \frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{3} \,-\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \cdots \;=\; \ln 2.

Эта формула - частный случай ряда Меркатора (англ. ), ряда Тейлора для натурального логарифма.

Похожий ряд может быть получен из ряда Тейлора для арктангенса :

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{2n+1} \;\;=\;\; 1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \cdots \;\;=\;\; \frac{\pi}{4}.

Это соотношение известно как ряд Лейбница .

Случайный гармонический ряд

В 2003 году изучены свойства случайного ряда

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \sum_{n=1}^{\infty}\frac{s_{n}}{n},

где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): s_n - независимые , одинаково распределённые случайные величины, которые принимают значения +1 и −1 с одинаковой вероятностью ½. Показано, что этот ряд сходится с вероятностью 1 , и сумма ряда есть случайная величина с интересными свойствами. Например, функция плотности вероятности , вычисленная в точках +2 или −2 имеет значение:

0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7 642 …,

отличаясь от ⅛ на менее чем 10 −42 .

«Истончённый» гармонический ряд

Ряд Кемпнера (англ. )

Если рассмотреть гармонический ряд, в котором оставлены только слагаемые, знаменатели которых не содержат цифры 9, то окажется, что оставшаяся сумма сходится к числу <80 . Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, так как с ростом разрядов в числе Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): n , все меньше слагаемых берется для суммы «истончённого» ряда. То есть в конечном счете отбрасывается подавляющее большинство членов образующих сумму гармонического ряда, чтобы не превзойти ограничивающую сверху геометрическую прогрессию.

Напишите отзыв о статье "Гармонический ряд"

Примечания

Просмотр этого шаблона Последовательности и ряды Последовательности Ряды, основное Числовые ряды (действия с числовыми рядами) Функциональные ряды Другие виды рядов Признаки сходимости Просмотр этого шаблона Признаки сходимости рядов Для всех рядов Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \sum^\infty_{n=1}a_n Для знакоположительных рядов Для знакочередующихся рядов Для рядов вида Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \sum^\infty_{n=1}a_n b_n Для функциональных рядов Для рядов Фурье

Отрывок, характеризующий Гармонический ряд

Страшный день подходил к концу. Я сидела у распахнутого окна, ничего не чувствуя и не слыша. Мир стал для меня застывшим и безрадостным. Казалось – он существовал отдельно, не пробиваясь в мой уставший мозг и никак не касаясь меня... На подоконнике, играясь, всё также верещали неугомонные «римские» воробьи. Внизу звучали человеческие голоса и обычный дневной шум бурлящего города. Но всё это доходило до меня через какую-то очень плотную «стену», которая почти что не пропускала звуков... Мой привычный внутренний мир опустел и оглох. Он стал совершенно чужим и тёмным... Милого, ласкового отца больше не существовало. Он ушёл следом за Джироламо...
Но у меня всё ещё оставалась Анна. И я знала, что должна жить, чтобы спасти хотя бы её от изощрённого убийцы, звавшего себя «наместником Бога», святейшим Папой... Трудно было даже представить, если Караффа был всего лишь его «наместником», то каким же зверем должен был оказаться этот его любимый Бог?!. Я попыталась выйти из своего «замороженного» состояния, но как оказалось – это было не так-то просто – тело совершенно не слушалось, не желая оживать, а уставшая Душа искала только покоя... Тогда, видя, что ничего путного не получается, я просто решила оставить себя в покое, отпустив всё на самотёк.
Ничего больше не думая, и ничего не решая, я просто «улетела» туда, куда стремилась моя израненная Душа, чтобы спастись... Чтобы хотя бы чуточку отдохнуть и забыться, уйдя далеко от злого «земного» мира туда, где царил только свет...
Я знала, что Караффа не оставит меня надолго в покое, несмотря на то, что мне только что пришлось пережить, даже наоборот – он будет считать, что боль ослабила и обезоружила меня, и возможно именно в этот момент попробует заставить меня сдаться, нанеся какой-то очередной ужасающий удар...
Дни шли. Но, к моему величайшему удивлению, Караффа не появлялся... Это было огромным облегчением, но расслабляться, к сожалению, не позволяло. Ибо каждое мгновение я ожидала, какую новую подлость придумает для меня его тёмная, злая душа...
Боль с каждым днём потихонечку притуплялась, в основном, благодаря пару недель назад происшедшему и совершенно меня ошеломившему неожиданному и радостному происшествию – у меня появилась возможность слышать своего погибшего отца!..
Я не смогла увидеть его, но очень чётко слышала и понимала каждое слово, будто отец находился рядом со мной. Сперва я этому не поверила, думая, что просто брежу от полного измождения. Но зов повторился... Это и, правда, был отец.
От радости я никак не могла придти в себя и всё боялась, что вдруг, прямо сейчас, он просто возьмёт и исчезнет!.. Но отец не исчезал. И понемножку успокоившись, я наконец-то смогла ему отвечать...
– Неужели это и правда – ты!? Где же ты сейчас?.. Почему я не могу увидеть тебя?
– Доченька моя... Ты не видишь, потому, что совершенно измучена, милая. Вот Анна видит, я был у неё. И ты увидишь, родная. Только тебе нужно время, чтобы успокоиться.
Чистое, знакомое тепло разливалось по всему телу, окутывая меня радостью и светом...
– Как ты, отец!?. Скажи мне, как она выглядит, эта другая жизнь?.. Какая она?
– Она чудесна, милая!.. Только пока ещё непривычна. И так не похожа на нашу бывшую, земную!.. Здесь люди живут в своих мирах. И они так красивы, эти «миры»!.. Только у меня не получается ещё. Видимо, пока ещё рано мне... – голос на секунду умолк, как бы решая, говорить ли дальше.
– Меня встретил твой Джироламо, доченька... Он такой же живой и любящий, каким был на Земле... Он очень сильно скучает по тебе и тоскует. И просил передать тебе, что так же сильно любит тебя и там... И ждёт тебя, когда бы ты ни пришла... И твоя мама – она тоже с нами. Мы все любим и ждём тебя, родная. Нам очень не хватает тебя... Береги себя, доченька. Не давай Караффе радости издеваться над тобою.
– Ты ещё придёшь ко мне, отец? Я ещё услышу тебя? – боясь, что он вдруг исчезнет, молила я.
– Успокойся, доченька. Теперь это мой мир. И власть Караффы не простирается на него. Я никогда не оставлю ни тебя, ни Анну. Я буду приходить к вам, когда только позовёшь. Успокойся, родная.
– Что ты чувствуешь, отец? Чувствуешь ли ты что-либо?.. – чуть стесняясь своего наивного вопроса, всё же спросила я.
– Я чувствую всё то же, что чувствовал на Земле, только намного ярче. Представь рисунок карандашом, который вдруг заполняется красками – все мои чувства, все мысли намного сильнее и красочнее. И ещё... Чувство свободы потрясающе!.. Вроде бы я такой же, каким был всегда, но в то же время совершенно другой... Не знаю, как бы точнее объяснить тебе, милая... Будто я могу сразу объять весь мир, или просто улететь далеко, далеко, к звёздам... Всё кажется возможным, будто я могу сделать всё, что только пожелаю! Это очень сложно рассказать, передать словами... Но поверь мне, доченька – это чудесно! И ещё... Я теперь помню все свои жизни! Помню всё, что когда-то было со мною... Всё это потрясает. Не так уж и плоха, как оказалось, эта «другая» жизнь... Поэтому, не бойся, доченька, если тебе придётся придти сюда – мы все будем ждать тебя.
– Скажи мне отец... Неужели таких людей, как Караффа, тоже ждёт там прекрасная жизнь?.. Но ведь, в таком случае, это опять страшная несправедливость!.. Неужели опять всё будет, как на Земле?!.. Неужели он никогда не получит возмездие?!!
– О нет, моя радость, Караффе здесь не найдётся места. Я слышал, такие, как он, уходят в ужасный мир, только я пока ещё там не был. Говорят – это то, что они заслужили!.. Я хотел посмотреть, но ещё не успел пока. Не волнуйся, доченька, он получит своё, попав сюда.
– Можешь ли ты помочь мне оттуда, отец?– с затаённой надеждой спросила я.
– Не знаю, родная... Я пока ещё не понял этот мир. Я как дитя, делающее первые шаги... Мне предстоит сперва «научиться ходить», прежде чем я смогу ответить тебе... А теперь я уже должен идти. Прости, милая. Сперва я должен научиться жить среди наших двух миров. А потом я буду приходить к тебе чаще. Мужайся, Изидора, и ни за что не сдавайся Караффе. Он обязательно получит, что заслужил, ты уж поверь мне.
Голос отца становился всё тише, пока совсем истончился и исчез... Моя душа успокоилась. Это и правда был ОН!.. И он снова жил, только теперь уже в своём, ещё незнакомом мне, посмертном мире... Но он всё также думал и чувствовал, как он сам только что говорил – даже намного ярче, чем когда он жил на Земле. Я могла больше не бояться, что никогда не узнаю о нём... Что он ушёл от меня навсегда.
Но моя женская душа, несмотря ни на что, всё так же скорбела о нём... О том, что я не могла просто по-человечески его обнять, когда мне становилось одиноко... Что не могла спрятать свою тоску и страх на его широкой груди, желая покоя... Что его сильная, ласковая ладонь не могла больше погладить мою уставшую голову, этим как бы говоря, что всё уладится и всё обязательно будет хорошо... Мне безумно не хватало этих маленьких и вроде бы незначительных, но таких дорогих, чисто «человеческих» радостей, и душа голодала по ним, не в состоянии найти успокоения. Да, я была воином... Но ещё я была и женщиной. Его единственной дочерью, которая раньше всегда знала, что случись даже самое страшное – отец всегда будет рядом, всегда будет со мной... И я болезненно по всему этому тосковала...
Кое-как стряхнув нахлынувшую печаль, я заставила себя думать о Караффе. Подобные мысли тут же отрезвляли и заставляли внутренне собираться, так как я прекрасно понимала, что данный «покой» являлся всего лишь временной передышкой...
Но к моему величайшему удивлению – Караффа всё также не появлялся...
Проходили дни – тревога росла. Я пыталась придумать какие-то объяснения его отсутствию, но ничего серьёзного, к сожалению, в голову не приходило... Я чувствовала, что он что-то готовит, но никак не могла угадать – что. Измученные нервы сдавали. И чтобы окончательно не сойти с ума от ожидания, я начала каждодневно гулять по дворцу. Выходить мне не запрещалось, но и не одобрялось, поэтому, не желая далее сидеть взаперти, я для себя решила, что буду гулять... несмотря на то, что возможно это кому-то и не понравится. Дворец оказался огромным и необычайно богатым. Красота комнат поражала воображение, но лично я в такой бьющей в глаза роскоши никогда не смогла бы жить... Позолота стен и потолков давила, ущемляя мастерство изумительных фресок, задыхавшихся в сверкающем окружении золотых тонов. Я с наслаждением отдавала дань таланту художников, расписывавших это чудо-жилище, часами любуясь их творениями и искренне восхищаясь тончайшим мастерством. Пока что никто меня не беспокоил, никто ни разу не остановил. Хотя постоянно встречались какие-то люди, которые, встретив, с уважением кланялись и уходили дальше, спеша каждый по своим делам. Несмотря на такую ложную «свободу», всё это настораживало, и каждый новый день приносил всё большую и большую тревогу. Это «спокойствие» не могло продолжаться вечно. И я была почти уверена, что оно обязательно «разродится» какой-то жуткой и болезненной для меня бедой...

1.1. Числовой ряд и его сумма

Определение 1. Пусть дана числовая последовательность . Образуем выражение

(1)

которое называетсячисловым рядом . Числа называютсячленами ряда , а выражение
 общим членом ряда.

Пример 1. Найти общий член ряда
.

при
,

при

Нетрудно заметить, что общий член ряда .

Поэтому искомый ряд можно записать следующим образом

.

Построим из членов ряда (1) последовательность таким образом:

;

;

;

Каждый член этой последовательности представляет собой сумму соот-ветствующего числа первых членов числового ряда.

Определение 2. Сумма первых п членов ряда (1) называется n -ой частичной суммой числового ряда.

Определение 3. Числовой ряд называетсясходящимся , если
, где числоназываетсясуммой ряда , и пишут
. Если

предел частичных сумм бесконечен или не существует, то ряд называется расходящимся.

Пример 2. Проверить на сходимость ряд
.

Для того, чтобы вычислить n -ю частичную сумму представим общий член
рядав виде суммы простейших дробей

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях n , получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффици-ентов А и В

Отсюда находим, что
, а
.

Следовательно, общий член ряда имеет вид

Тогда частичную сумму можно представить в виде

После раскрытия скобок и приведения подобных членов, она примет вид

.

Вычислим сумму ряда

Так как предел равен конечному числу, то данный ряд сходится.

Пример 2. Проверить на сходимость ряд

 бесконечную геометрическую прогрессию.

Как известно, сумма первых п членов геометрической прогрессии при q 1 равна
.

Тогда имеем следующие случаи:

1. Если
, то

2. Если
, то
, т.е. ряд расходится.

3. Если
, то ряд имеет види тогда
, т.е. ряд расходится.

4. Если
, то ряд имеет види тогда
, если частичная сумма имеет четное число членов и
, если нечётное число, т.е.
не существует, следовательно, ряд расходится.

Определение 4. Разность между суммой ряда S и частичной суммой называетсяостатком ряда и обозначается
, т.е.
.

Так как для сходящихся рядов
, то
,

т.е. будет б.м.в. при
. Таким образом, значениеявляется приближенным значением суммы ряда.

Из определения суммы ряда следуют свойства сходящихся рядов:

1. Если ряды исходятся, т.е. имеют соответственно суммыS и Q , то сходится ряд , где
, а его сумма равнаA S + B Q .

2. Если сходится ряд , то сходится и ряд, полученный из данного

ряда отбрасыванием или добавлением конечного числа членов. Верно и обратное.

1.2. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд

Теорема . Если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю при
, т.е.
.

Действительно, имеем

тогда , что и требовалось доказать.

Следствие. Если же
, то ряд расходится. Обратное, вообще говоря, неверно, что будет показано ниже.

Определение 5. Ряд вида называется гармоническим .

Для этого ряда выполняется необходимый признак, так как
.

В то же время он является расходящимся. Покажем это

Таким образом, гармонический ряд расходится.

Тема 2 : Достаточные признаки сходимости рядов

с положительными членами

2.1. Признаки сравнения

Пусть даны два ряда с положительными членами:

Признак сравнения. Если для всех членов рядов (1) и (2), начиная с некоторого номера, выполняется неравенство
и ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1). Аналогично, если
и ряд (2) расходится, то расходится и ряд (1).

Пусть исоответственно частичные суммы рядов (1-2), аQ  сумма ряда (2). Тогда для достаточно больших п имеем

Так как
и ограничена, то
, т.е. ряд (1) сходится.

Аналогично доказывается и вторая часть признака.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд

.

Сравним с членами ряда
.

Начиная с
, имеем
.

Так как ряд сходится
, то данный ряд также сходится.

На практике часто более удобно пользоваться так называемым предельным признаком сравнения, который вытекает из предыдущего.

Предельный признак сравнения . Если для двух рядов (1-2) с положи-тельными членами выполняется условие

, то

из сходимости ряда (1) следует сходимость ряда (2), а из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2), т.е. ряды ведут себя одинаково.

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд
.

В качестве ряда для сравнения возьмем гармонический ряд ,

который является расходящимся.

а, следовательно, наш ряд расходится.

Замечание. Часто для сравнения удобно использовать так называемый обобщённый гармонический ряд , который, как будет показано ниже, сходится при
и расходится при
.

Необходимый признак сходимости рядов (доказать).

Теорема 1. (необходимое условие сходимости числового ряда). Если числовой ряд сходится , то .

Доказательство. Ряд сходится, т.е. существует предел . Заметим, что .

Рассмотрим . Тогда . Отсюда, .

Следствие 1. Если не выполнено условие , то ряд расходится.

Замечание 1. Условие не является достаточным для сходимости числового ряда . Например, гармонический ряд расходится, хотя и имеет место .

Определение 1. Числовой ряд a n +1 +a n +2 +…=, полученный из данного ряда отбрасыванием первых п членов, называется n- м остатком данного ряда и обозначается R n .

Теорема 2. Если числовой ряд сходится, то сходится и любой его остаток . Обратно : если сходится хотя бы один остаток ряда, то сходится и сам ряд. При этом для любого n ÎN выполняется равенство S =S n +R n .

Следствие 2. Сходимость или расходимость числового ряда не изменится, если удалить или добавить несколько первых членов.

Следствие 3. .

32. Признаки сравнения и признак для знакоположительных рядов

Теорема 1 (признак сравнения рядов с положительными членами в неравенствах). Пусть и - ряды с неотрицательными членами , причем для каждого п ÎN выполнено условие а n £b n . Тогда :

1) из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими членами ;

2) из расходимости ряда с меньшими членами следует расходимость ряда с большими членами.

Замечание 1. Теорема верна, если условие а n £b n выполняется с некоторого номера N ÎN .

Теорема 2 (признак сравнения рядов с положительными членами в предельной форме).

Пусть и - ряды с неотрицательными членами и существует . Тогда данные ряды сходятся или расходятся одновременно .

33. Признак Даламбера сходимости знакоположительных рядов

Теорема 1 (признак Даламбера). Пусть - ряд с положительными членами и существует .

Тогда ряд сходится при q <1 и расходится при q >1 .

Доказательство. Пусть q <1. Зафиксируем число р такое, что q < p < 1. По определению предела числовой последовательности, с некоторого номера N ÎN выполняется неравенство a n +1 /a n <p, т.е. a n +1 < p×a n . Тогда a N +1 < p×a N , a N +2 < p 2 ×a N . По индукции легко показать, что для любого k ÎN верно неравенство , a N + k < p k ×a N . Но ряд сходится как геометрический ряд (p <1). Следовательно, по признаку сравнения рядов с неотрицательными членами, ряд также сходится. Следовательно, сходится и ряд (по теореме 2.2).

Пусть q >1. Тогда с некоторого номера N ÎN верно неравенство a n +1 /a n >1, т.е. a n +1 >a n . Следовательно, с номера N последовательность (a n ) является возрастающей и условие не выполнено. Отсюда, по следствию 2.1, вытекает расходимость ряда при q >1.

Замечание 1. С помощью интегрального признака несложно проверить, что числовой ряд сходится, если а >1, и расходится, если a £1. Ряд называется гармоническим рядом , а ряд с произвольным a ÎR называется обобщенным гармоническим рядом .

34. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов

Исследование рядов с членами произвольных знаков представляет более трудную задачу, однако в двух случаях есть удобные признаки: для знакочередующихся рядов - теорема Лейбница; для абсолютно сходящихся рядов применим любой признак исследования рядов с неотрицательными членами.

Определение 1. Числовой ряд называется знакочередующимся , если любые два соседних члена имеют противоположные знаки, т.е. ряд имеет вид или , где a n >0 для каждого n ÎN .

Теорема 1 (Лейбница). Знакочередующийся ряд сходится, если:

1) (a n ) - невозрастающая последовательность ;

2) при .

При этом модуль суммы знакочередующегося ряда не превосходит модуля его первого члена, т.е. |S |£ a 1 .

План:

Введение

• 1 Сумма первых n членов ряда
  • 1.1 Некоторые значения частичных сумм
  • 1.2 Формула Эйлера
  • 1.3 Теоретико-числовые свойства частичных сумм
• 2 Сходимость ряда
  • 2.1 Доказательство Орема
  • 2.2 Альтернативное доказательство расходимости
• 3 Частичные суммы
• 4 Связанные ряды
  • 4.1 Ряд Дирихле
  • 4.2 Знакопеременный ряд
  • 4.3 Случайный гармонический ряд
  • 4.4 «Истончённый» гармонический ряд
Примечания

Введение

В математике гармонический ряд представляет собой сумму, составленную из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда :

.

Ряд назван гармоническим , так как каждый его член, начиная со второго, является гармоническим средним двух соседних.

1. Сумма первых n членов ряда

Отдельные члены ряда стремятся к нулю, но его сумма расходится. n-ной частичной суммой s n гармонического ряда называется n-ное гармоническое число:

1.1. Некоторые значения частичных сумм

1.2. Формула Эйлера

В 1740 году Л. Эйлером было получено асимптотическое выражение для суммы первых n членов ряда :

,

где - постоянная Эйлера - Маскерони, а ln - натуральный логарифм.

При значение , следовательно, для больших n:

- формула Эйлера для суммы первых n членов гармонического ряда.

1.3. Теоретико-числовые свойства частичных сумм

2. Сходимость ряда

при

Гармонический ряд расходится очень медленно (для того, чтобы частичная сумма превысила 100, необходимо около 10 43 элементов ряда).

Расходимость гармонического ряда можно продемонстрировать, сравнив его с телескопическим рядом:

,

частичная сумма которого, очевидно, равна:

.

2.1. Доказательство Орема

Доказательство расходимости можно построить, группируя слагаемые следующим образом:

Последний ряд, очевидно, расходится. Это доказательство принадлежит средневековому учёному Николаю Орему (ок. 1350).

2.2. Альтернативное доказательство расходимости

Предположим, что гармонический ряд сходится к сумме :

Тогда, перегруппируя дроби, получим:

Вынесем из второй скобки :

Заменим вторую скобку на :

Перенесём в левую часть:

Подставим обратно вместо сумму ряда:

Это равенство, очевидно, неверно, так как единица больше одной второй, одна треть больше одной четвёртой, и так далее. Таким образом, наше предположение о сходимости ряда ошибочно, и ряд расходится.

не равно 0, т.к. каждая из скобок положительная.

Это означает, что S - есть бесконечность и наши операции по добавлению или вычитанию ее из обоих сторон равенства недопустимы.

3. Частичные суммы

n -ая частичная сумма гармонического ряда,

называется n -ым гармоническим числом .

Разница между n -м гармоническим числом и натуральным логарифмом n сходится к постоянной Эйлера-Маскерони.

Разница между различными гармоническими числами никогда не равна целому число и никакое гармоническое число, кроме H 1 = 1 , не является целым .

4. Связанные ряды

4.1. Ряд Дирихле

Обобщенным гармоническим рядом (или рядом Дирихле) называют ряд

.

Обобщенный гармонический ряд расходится при α≤1 и сходится при α>1 .

Сумма обобщённого гармонического ряда порядка α равна значению дзета-функции Римана:

Для чётных это значение явно выражается через число пи, например, , а уже для α=3 его значение аналитически неизвестно.

4.2. Знакопеременный ряд

Первые 14 частичных сумм знакочередующегося гармонического ряда (чёрные отрезки), показывающие сходимость к натуральному логарифму от 2 (красная линия).

В отличие от гармонического ряда, у которого все слагаемые берутся со знаком «+», ряд

сходится по признаку Лейбница. Поэтому говорят, что такой ряд обладает условной сходимостью . Его сумма равна натуральному логарифму 2:

Эта формула - частный случай Ряд Меркатора (англ. ), ряда Тейлора для натурального логарифма.

Похожий ряд может быть получен из ряда Тейлора для арктангенса:

Это известно как ряд Лейбница.

4.3. Случайный гармонический ряд

Бирон Шмуланд из Университета Альберты рассмотрел свойства случайного ряда

где s n независимые, одинаково распределённые случайные величины, которые принимают значения +1 и −1 с одинаковой вероятностью ½. Показано, что эта сумма с вероятностью 1, и сумма ряда есть случайная величина с интересными свойствами. Например, функция плотности вероятности, вычисленная в точках +2 или −2 имеет значение 0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7642 …, отличаясь от на менее чем 10 −42 . Статья Шмуланда объясняет, почему эта величина близка, но не равна 1/8.

4.4. «Истончённый» гармонический ряд

Ряд Кемпнера (англ. )

Если рассмотреть гармонический ряд, в котором оставлены только слагаемые, знаменатели которых не содержат цифры 9, то окажется, что оставшаяся сумма сходится к числу <80. , точнее - к 22,92067 66192 64150 34816. Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, т.к. с ростом разрядов в числе n, все меньше слагаемых берется для суммы "истонченного" ряда. Т.е. в конечном счете мы отбрасываем подавляющее большинство членов образующих сумму гармонического ряда, чтобы не превзойти ограничивающую сверху геометрическую прогрессию.