Пирамида. Подробная теория. Объем четырехугольной пирамиды Формула объема правильной четырехугольной пирамиды через ребро

Определение пирамиды

Пирамида – это многогранник, основанием которого является многоугольник, а грани его являются треугольниками.

Онлайн-калькулятор

У пирамиды есть ребра . Можно сказать, что они тянутся к точке, называемой вершиной данной пирамиды. Ее основанием может быть произвольный многоугольник. Грань - это фигура, которая образуется в результате объединения двух ближайших ребер со стороной основания. Гранью пирамиды является треугольник. Расстояние от вершины пирамиды до середины стороны основания называется апофемой . Высотой пирамиды называется длина перпендикуляра, опущенного из вершины к центру ее основания.

Типы пирамид

Различают следующие типы пирамид.

Прямоугольная - у нее ребро образует угол в 90 градусов с основанием.
Правильная - ее основание - какой-либо правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр этого основания.
Тетраэдр - пирамида, у которой в основании лежит треугольник.

Формулы объема пирамиды

Объем пирамиды находится несколькими способами.

По площади основания и высоте пирамиды

Простое умножение одной трети площади основания на высоту пирамиды и является ее объемом.

Объем пирамиды по площади основания и высоте

V = 1 3 ⋅ S осн ⋅ h V=\frac{1}{3}\cdot S_{\text{осн}}\cdot h V = 3 1 ⋅ S осн ⋅ h

S осн S_{\text{осн}} S осн - площадь основания пирамиды;
h h h - высота данной пирамиды.

Задача 1

Площадь основания пирамиды равна 100 см 2 100\text{ см}^2 1 0 0 см 2 , а высота ее равна 30 см 30\text{ см} 3 0 см . Найдите объем тела.

Решение

S осн = 100 S_{\text{осн}}=100 S осн = 1 0 0
h = 30 h=30 h = 3 0

Все величины нам известны, подставляем их численные значения в формулу и находим:

V = 1 3 ⋅ S осн ⋅ h = 1 3 ⋅ 100 ⋅ 30 = 1000 см 3 V=\frac{1}{3}\cdot S_{\text{осн}}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 100\cdot 30=1000\text{ см}^3 V = 3 1 ⋅ S осн ⋅ h = 3 1 ⋅ 1 0 0 ⋅ 3 0 = 1 0 0 0 см 3

Ответ

1000 см 3 . 1000\text{ см}^3. 1 0 0 0 см 3 .

Формула объема правильной треугольной пирамиды

Этот способ подходит, если пирамида правильная и треугольная.

Объем правильной треугольной пирамиды

V = h ⋅ a 2 4 3 V=\frac{h\cdot a^2}{4\sqrt{3}} V = 4 3 h ⋅ a 2

H h h - высота пирамиды;
a a a

Задача 2

Вычислите объем правильной треугольной пирамиды, если в ее основании лежит равносторонний треугольник, в котором сторона равна 5 см 5\text{ см} 5 см , а высота пирамиды равна – 19 см 19\text{ см} 1 9 см .

Решение

A = 5 a=5 a = 5
h = 19 h=19 h = 1 9

Просто подставляем данные величины в формулу для объема:

V = h ⋅ a 2 4 3 = 19 ⋅ 5 2 4 3 ≈ 68.6 см 3 V=\frac{h\cdot a^2}{4\sqrt{3}}=\frac{19\cdot 5^2}{4\sqrt{3}}\approx68.6\text{ см}^3 V = 4 3 h ⋅ a 2 = 4 3 1 9 ⋅ 5 2 ≈ 6 8 . 6 см 3

Ответ

68.6 см 3 . 68.6\text{ см}^3. 6 8 . 6 см 3 .

Формула объема правильной четырехугольной пирамиды

Объем правильной четырехугольной пирамиды

V = 1 3 ⋅ h ⋅ a 2 V=\frac{1}{3}\cdot h\cdot a^2 V = 3 1 ⋅ h ⋅ a 2

H h h - высота пирамиды;
a a a - сторона основания пирамиды.

Задача 3

Дана правильная четырехугольная пирамида. Вычислите ее объем, если ее высота равна 7 см 7\text{ см} 7 см , a сторона основания составляет – 2 см 2\text{ см} 2 см .

Решение

A = 2 a=2 a = 2
h = 7 h=7 h = 7

По формуле вычисляем:

V = 1 3 ⋅ h ⋅ a 2 = 1 3 ⋅ 7 ⋅ 2 2 ≈ 9.3 см 3 V=\frac{1}{3}\cdot h\cdot a^2=\frac{1}{3}\cdot 7\cdot 2^2\approx9.3\text{ см}^3 V = 3 1 ⋅ h ⋅ a 2 = 3 1 ⋅ 7 ⋅ 2 2 ≈ 9 . 3 см 3

Ответ

9.3 см 3 . 9.3\text{ см}^3. 9 . 3 см 3 .

Формула объема тетраэдра

Объем тетраэдра

V = 2 ⋅ a 3 12 V=\frac{\sqrt{2}\cdot a^3}{12} V = 1 2 2 ⋅ a 3

A a a - длина ребра тетраэдра.

Задача 4

Длина ребра тетраэдра равна 13 см 13\text{ см} 1 3 см . Найдите его объем.

Решение

A = 13 a=13 a = 1 3

Подставляем a a a в формулу для объема тетраэдра:

V = 2 ⋅ a 3 12 = 2 ⋅ 1 3 3 12 ≈ 259 см 3 V=\frac{\sqrt{2}\cdot a^3}{12}=\frac{\sqrt{2}\cdot 13^3}{12}\approx259\text{ см}^3 V = 1 2 2 ⋅ a 3 = 1 2 2 ⋅ 1 3 3 ≈ 2 5 9 см 3

Ответ

$259\text{ см}^3.$

Формула объема пирамиды как определитель

Наверное, самый экзотический способ вычисления объема данного тела.

Пусть даны векторы, на которых построена пирамида как на сторонах. Тогда ее объем будет равен одной шестой смешанного произведения векторов. Последний в свою очередь равен определителю составленному из координат этих векторов. Итак, если пирамида построена на трех векторах:

$\vec{a}=(a_x, a_y, a_z)$

тогда объем соответствующей пирамиды это такой определитель:

Объем пирамиды через определитель

$V=\frac{1}{6}\cdot\begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end{vmatrix}$

Задача 5

Найти объем пирамиды через смешанное произведение векторов, координаты которых такие: $a = (2, 3, 5), b = (1, 4, 4), c = (3, 5, 7) .$

Решение

$\vec{a}=(2,3,5)$

По формуле:

$V=\frac{1}{6}\cdot\begin{vmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 4 & 4 \\ 3 & 5 & 7 \\ \end{vmatrix}=\frac{1}{6}\cdot(2\cdot4\cdot7 + 3\cdot4\cdot3 + 5\cdot1\cdot5 - 5\cdot4\cdot3 - 2\cdot4\cdot5 - 3\cdot1\cdot7) =\frac{1}{6}\cdot(56 + 36 + 25 - 60 - 40 - 21)=\frac{1}{6}\cdot(-4)=-\frac{2}{3}\approx-0.7$

Мы должны взять модуль этого числа, так как объем это неотрицательная величина:

$V=0.7\text{ см}^3$

Ответ

$0.7\text{ см}^3.$

Четырехугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит квадрат, а все боковые грани являются одинаковыми равнобедренными треугольниками.

У данного многогранника есть множество различных свойств:

Его боковые ребра и прилегающие к ним двугранные углы равны между собой;
Площади боковых граней одинаковы;
В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат;
Высота, опущенная из вершины пирамиды, пересекается с точкой пересечения диагоналей основания.

Все эти свойства помогают легко находить . Однако довольно часто помимо нее требуется рассчитать объем многогранника. Для этого применяется формула объема четырехугольной пирамиды:

То есть объем пирамиды равен одной третьей произведения высоты пирамиды на площадь основания. Так как равна произведению его равных сторон, то мы сразу вписываем в выражение объема формулу площади квадрата.
Рассмотрим пример расчета объема четырехугольной пирамиды.

Пусть дана четырехугольная пирамида, в основании которой лежит квадрат со стороной a = 6 см. Боковая грань пирамиды равна b = 8 см. Найдите объем пирамиды.

Чтобы найти объем заданного многогранника, нам потребуется длина его высоты. Поэтому мы найдем ее, применив теорему Пифагора. Для начала рассчитаем длину диагонали. В синем треугольнике она будет гипотенузой. Стоит также помнить, что диагонали квадрата равны между собой и в точке пересечения делятся пополам:

Теперь из красного треугольника найдем необходимую нам высоту h . Она будет равна:

Подставим необходимые значения и найдем высоту пирамиды:

Теперь, зная высоту, можем подставлять все значения в формулу объема пирамиды и рассчитывать необходимую величину:

Вот таким образом, зная несколько простых формул, мы смогли рассчитать объем правильной четырехугольной пирамиды. Не забывайте, что данная величина измеряется в кубических единицах.

Пирамида - это многогранник, в основании которого лежит многоугольник. Все грани в свою очередь образуют треугольники, которые сходятся в одной вершине. Пирамиды бывают треугольными, четырехугольными и так далее. Для того чтобы определить, какая пирамида перед вами, достаточно посчитать количество углов в ее основании. Определение "высота пирамиды" очень часто встречается в задачах по геометрии в школьной программе. В статье попробуем рассмотреть разные способы ее нахождения.

Части пирамиды

Каждая пирамида состоит из следующих элементов:

боковые грани, которые имеют по три угла и сходятся в вершине;
апофема представляет собой высоту, которая опускается из ее вершины;
вершина пирамиды - это точка, которая соединяет боковые ребра, но при этом не лежит в плоскости основания;
основание - это многоугольник, на котором не лежит вершина;
высота пирамиды представляет собой отрезок, который пересекает вершину пирамиды и образует с ее основанием прямой угол.

Как найти высоту пирамиды, если известен ее объем

Через формулу V = (S*h)/3 (в формуле V - объем, S - площадь основания, h - высота пирамиды) находим, что h = (3*V)/S. Для закрепления материала давайте сразу же решим задачу. В треугольной основания равна 50 см 2 , тогда как ее объем составляет 125 см 3 . Неизвестна высота треугольной пирамиды, которую нам и необходимо найти. Здесь все просто: вставляем данные в нашу формулу. Получаем h = (3*125)/50 = 7,5 см.

Как найти высоту пирамиды, если известна длина диагонали и ее ребра

Как мы помним, высота пирамиды образует с ее основанием прямой угол. А это значит что высота, ребро и половина диагонали вместе образуют Многие, конечно же, помнят теорему Пифагора. Зная два измерения, третью величину найти будет несложно. Вспомним известную теорему a² = b² + c², где а - гипотенуза, а в нашем случае ребро пирамиды; b - первый катет или половина диагонали и с - соответственно, второй катет, или высота пирамиды. Из этой формулы c² = a² - b².

Теперь задачка: в правильной пирамиде диагональ равна 20 см, когда как длина ребра - 30 см. Необходимо найти высоту. Решаем: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Отсюда с = √ 500 = около 22,4.

Как найти высоту усеченной пирамиды

Она представляет собой многоугольник, который имеет сечение параллельно ее основанию. Высота усеченной пирамиды - это отрезок, который соединяет два ее основания. Высоту можно найти у правильной пирамиды, если будут известны длины диагоналей обоих оснований, а также ребро пирамиды. Пусть диагональ большего основания равна d1, в то время как диагональ меньшего основания - d2, а ребро имеет длину - l. Чтобы найти высоту, можно с двух верхних противоположных точек диаграммы опустить высоты на ее основание. Мы видим, что у нас получились два прямоугольных треугольника, остается найти длины их катетов. Для этого из большей диагонали вычитаем меньшую и делим на 2. Так мы найдем один катет: а = (d1-d2)/2. После чего по теореме Пифагора нам остается лишь найти второй катет, который и является высотой пирамиды.

Теперь рассмотрим все это дело на практике. Перед нами задача. Усеченная пирамида имеет в основании квадрат, длина диагонали большего основания равняется 10 см, в то время как меньшего - 6 см, а ребро равняется 4 см. Требуется найти высоту. Для начала находим один катет: а = (10-6)/2 = 2 см. Один катет равен 2 см, а гипотенуза - 4 см. Получается, что второй катет или высота будет равна 16-4 = 12, то есть h = √12 = около 3,5 см.

Одной из самых простых объемных фигур является треугольная пирамида, поскольку она состоит из наименьшего числа граней, из которого можно образовать фигуру в пространстве. В данной статье рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти объем треугольной правильной пирамиды.

Треугольная пирамида

Согласно общему определению пирамида представляет собой многоугольник, все вершины которого соединены с одной точкой, не расположенной в плоскости этого многоугольника. Если последний представляет собой треугольник, то вся фигура называется треугольной пирамидой.

Рассматриваемая пирамида состоит из основания (треугольника) и трех боковых граней (треугольников). Точка, в которой соединены три боковые грани, называется вершиной фигуры. Опущенный на основание перпендикуляр из этой вершины является высотой пирамиды. Если точка пересечения перпендикуляра с основанием совпадает с точкой пересечения медиан треугольника в основании, тогда говорят о правильной пирамиде. В противном случае она будет наклонной.

Как было сказано, основание треугольной пирамиды может представлять собой треугольник общего типа. Однако если он является равносторонним, а сама пирамида прямой, тогда говорят о правильной объемной фигуре.

Любая треугольная пирамида имеет 4 грани, 6 ребер и 4 вершины. Если длины всех ребер равны между собой, тогда такая фигура называется тетраэдром.

общего типа

Прежде чем записать правильной треугольной пирамиды, приведем выражение этой физической величины для пирамиды общего типа. Это выражение имеет вид:

Здесь S o - площадь основания, h - высота фигуры. Это равенство будет справедливым для любого типа основания многоугольника пирамиды, а также для конуса. Если же в основании находится треугольник, имеющий длину стороны a и высоту h o , опущенную на нее, тогда формула для объема запишется так:

Формулы объема правильной треугольной пирамиды

Правильная пирамида треугольная имеет равносторонний треугольник в основании. Известно, что высота этого треугольника связана с длиной его стороны равенством:

Подставляя это выражение в формулу для объема треугольной пирамиды, записанную в предыдущем пункте, получаем:

V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.

Объем правильной пирамиды с треугольным основанием является функцией длины стороны основания и высоты фигуры.

Поскольку любой правильный многоугольник можно вписать в окружность, радиус которой однозначно определит длину стороны многоугольника, тогда эту формулу можно записать через соответствующий радиус r:

Эту формулу легко получить из предыдущей, если учесть, что радиус r описанной окружности через длину стороны a треугольника определяется выражением:

Задача на определение объема тетраэдра

Покажем, как использовать приведенные выше формулы при решении конкретных задач геометрии.

Известно, что тетраэдр имеет длину ребра 7 см. Найдите объем правильной треугольной пирамиды-тетраэдра.

Напомним, что тетраэдр является правильной в которой все основания равны между собой. Чтобы воспользоваться формулой объема треугольной, необходимо вычислить две величины:

длину стороны треугольника;
высоту фигуры.

Первая величина известна из условия задачи:

Чтобы определить высоту, рассмотрим фигуру, изображенную на рисунке.

Отмеченный треугольник ABC является прямоугольным, где угол ABC равен 90 o . Сторона AC - это гипотенуза, длина которой равна a. Путем несложных геометрических рассуждений можно показать, что сторона BC имеет длину:

Заметим, что длина BC является радиусом описанной вокруг треугольника окружности.

h = AB = √(AC 2 - BC 2) = √(a 2 - a 2 /3) = a*√(2/3).

Теперь можно h и a подставить в соответствующую формулу для объема:

V = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 .

Таким образом, мы получили формулу объема тетраэдра. Видно, что объем зависит только от длины ребра. Если в выражение подставить значение из условия задачи, тогда получаем ответ:

V = √2/12*7 3 ≈ 40,42 см 3 .

Если сравнить эту величину с объемом куба, имеющим такое же ребро, то получим, что объем тетраэдра в 8,5 раз меньше. Это свидетельствует о том, что тетраэдр является компактной фигурой, которая реализуется в некоторых природных веществах. Например, молекула метана имеет тетраэдрическую форму, а каждый атом углерода в алмазе соединен с четырьмя другими атомами, образующими тетраэдр.

Задача с гомотетичными пирамидами

Решим одну любопытную геометрическую задачу. Предположим, что имеется треугольная правильная пирамида с некоторым объемом V 1 . Во сколько раз следует уменьшить размеры этой фигуры, чтобы получить гомотетичную ей пирамиду с объемом, в три раза меньшим исходного?

Задачу начнем решать с записи формулы для исходной правильной пирамиды:

V 1 = √3/12*a 1 2 *h 1 .

Пусть необходимый по условию задачи объем фигуры получится, если умножить ее параметры на коэффициент k. Имеем:

V 2 = √3/12*k 2 *a 1 2 *k*h 1 = k 3 *V 1 .

Поскольку из условия известно отношение объемов фигур, то получаем значение коэффициента k:

k = ∛(V 2 /V 1) = ∛(1/3) ≈ 0,693.

Отметим, что аналогичное значение коэффициента k мы бы получили для пирамиды произвольного типа, а не только для правильной треугольной.

Здесь разберём примеры связанные с понятием объёма. Для решения подобных заданий обязательно нужно знать формулу объёма пирамиды:

h – высота пирамиды

Основанием может быть любой многоугольник. Но в большинстве задач на ЕГЭ речь в условии, как правило, идёт о правильных пирамидах. Напомню одно из её свойств:

Вершина правильной пирамиды проецируется в центр её основания

Посмотрите на проекцию правильной треугольной, четырёхугольной и шестиугольной пирамид (ВИД СВЕРХУ):

Можете на блоге, где разбирались задачи связанные с нахождением объёма пирамиды. Рассмотрим задачи:

27087. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна корню из трёх.

S – площадь основания пирамиды

h – высота пирамиды

Найдём площадь основания пирамиды, это правильный треугольник. Воспользуемся формулой – площадь треугольника равна половине произведения соседних сторон на синус угла между ними, значит:

Ответ: 0,25

27088. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объем равен корню из трёх.

Такие понятия как высота пирамиды и характеристики её основания связаны формулой объёма:

S – площадь основания пирамиды

h – высота пирамиды

Сам объём нам известен, площадь основания можем найти, так как известны стороны треугольника, который является основанием. Зная указанные величины без труда найдём высоту.

Для нахождения площади основания воспользуемся формулой – площадь треугольника равна половине произведения соседних сторон на синус угла между ними, значит:

Таким образом, подставив данные значения в формулу объема можем вычислить высоту пирамиды:

Высота равна трём.

Ответ: 3

27109. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем.

Объём пирамиды вычисляется по формуле:

S – площадь основания пирамиды

h – высота пирамиды

Высота нам известна. Необходимо найти площадь основания. Напомню, что вершина правильной пирамиды проецируется в центр её основания. Основанием правильной четырёхугольной пирамиды является квадрат. Мы можем найти его диагональ. Рассмотрим прямоугольный треугольник (выделен синим):

Отрезок соединяющий центр квадрата с точкой В это катет, который равен половине диагонали квадрата. Этот катет можем вычислить по теореме Пифагора:

Значит BD = 16. Вычислим площадь квадрата воспользовавшись формулой площади четырёхугольника:

Следовательно:

Таким образом, объём пирамиды равен:

Ответ: 256

27178. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12, объем равен 200. Найдите боковое ребро этой пирамиды.

Высота пирамиды и её и объём известны, значит можем найти площадь квадрата, который является основанием. Зная площадь квадрата, мы сможем найти его диагональ. Далее рассмотрев прямоугольный треугольник по теореме Пифагора вычислим боковое ребро:

Найдём площадь квадрата (основания пирамиды):

Вычислим диагональ квадрата. Так как его площадь равна 50, то сторона будет равна корню из пятидесяти и по теореме Пифагора:

Точка О делит диагональ BD пополам, значит катет прямоугольного треугольника ОВ = 5.

Таким образом, можем вычислить чему равно боковое ребро пирамиды:

Ответ: 13

245353. Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 3.

Как уже неоднократно было сказано – объём пирамиды вычисляется по формуле:

S – площадь основания пирамиды

h – высота пирамиды

Боковое ребро перпендикулярное основанию равно трём, это означает, что высота пирамиды равна трём. Основания пирамиды – это многоугольник, площадь которого равна:

Таким образом: