В 7 и 8 классе изучается график прямой пропорциональности.

Как построить график прямой пропорциональности?

Рассмотрим на примерах график прямой пропорциональности.

График прямой пропорциональности формула

График прямой пропорциональности представляет функцию .

В общем виде прямая пропорциональность имеет формулу

От величины и знака коэффициента прямой пропорциональности зависит угол наклона графика прямой пропорциональности по отношению к оси икс.

График прямой пропорциональности проходит

График прямой пропорциональности проходит через начало координат.

График прямой пропорциональности есть прямая. Прямая задается двумя точками.

Таким образом при построении графика прямой пропорциональности достаточно определить положение двух точек.

Но одну из них мы всегда знаем - это начало координат.

Осталось найти вторую. Посмотрим пример построения графика прямой пропорциональности.

Постройте график прямой пропорциональности y = 2x

Задача .

Постройте график прямой пропорциональности, заданной формулой

Решение .

Есть все числа.

Берем любое число из области определения прямой пропорциональности, пусть это будет 1.

Найти значение функции при икс равное 1

Y = 2x =
2 * 1 = 2

то есть при x = 1 получаем y = 2. Точка с этими координатами принадлежит графику функции y = 2x.

Мы знаем, что график прямой пропорциональности есть прямая, а прямая задается двумя точками.

Прямая и обратная пропорциональности

Если t - время движение пешехода (в часах), s - пройденный путь (в километрах), и он движется равномерно со скоростью 4 км/ч, то зависимость между этими величинами можно выразить формулой s = 4t. Так как каждому значению t соответствует единственное значение s, то можно говорить о том, что с помощью формулы s = 4t задана функция. Ее называют прямой пропорциональностью и определяют следующим образом.

Определение. Прямой пропорциональностью называется функция, которая может быть задана при помощи формулы у=kх, где k - неравное нулю действительное число.

Название функции у = k х связано с тем, что в формуле у = kх есть переменные х и у, которые могут быть значениями величин. А если отношение двух величин равно некоторому числу, отличному от нуля, их называют прямо пропорциональными . В нашем случае = k (k≠0). Это число называют коэффициентом пропорциональности.

Функция у = k х является математической моделью многих реальных ситуаций, рассматриваемых уже в начальном курсе математики. Одна из них описана выше. Другой пример: если в одном пакете муки 2 кг, а куплено х таких пакетов, то всю массу купленной муки (обозначим ее через у) можно представить в виде формулы у = 2х, т.е. зависимость между количеством пакетов и всей массой купленной муки является прямой пропорциональностью с коэффициентом k=2.

Напомним некоторые свойства прямой пропорциональности, которые изучаются в школьном курсе математики.

1. Областью определения функции у = k х и областью ее значений является множество действительных чисел.

2. Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат. Поэтому для построения графика прямой пропорциональности достаточно найти лишь одну точку, принадлежащую ему и не совпадающую с началом координат, а затем через эту точку и начало координат провести прямую.

Например, чтобы построить график функции у = 2х, достаточно иметь точку с координатами (1, 2), а затем через нее и начало координат провести прямую (рис. 7).

3. При k > 0 функция у = kх возрастает на всей области определения; при k < 0 - убывает на всей области определения.

4. Если функция f - прямая пропорциональность и (х 1 , у 1), (х 2 , у 2) - пары соответственных значений переменных х и у, причем х 2 ≠0 то .

Действительно, если функция f - прямая пропорциональность, то она может быть задана формулой у=kх, и тогда у 1 = kх 1 , у 2 = kх 2 . Так как при х 2 ≠0 и k≠0, то у 2 ≠0. Поэтому и значит .

Если значениями переменных х и у служат положительные действительные числа, то доказанное свойство прямой пропорциональности можно сформулировать так: с увеличением (уменьшением) значения переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Это свойство присуще только прямой пропорциональности, и им можно пользоваться при решении текстовых задач, в которых рассматриваются прямо пропорциональные величины.

Задача 1. За 8 ч токарь изготовил 16 деталей. Сколько часов потребуется токарю на изготовление 48 деталей, если он будет работать с той же производительностью?

Решение. В задаче рассматриваются величины - время работы токаря, количество сделанных им деталей и производительность (т.е. количество деталей, изготавливаемых токарем за 1 ч), причем последняя величина постоянна, а две другие принимают различные значения. Кроме того количество сделанных деталей и время работы- величины прямо пропорциональные, так как их отношение равно некоторому числу, не равному нулю, а именно - числу деталей, изготавливаемых токарем за 1 ч. Если количество сделанных деталей обозначить буквой у, время работы х, а производительность - k, то получим, что = k или у = kх, т.е. математической моделью ситуации, представленной в задаче, является прямая пропорциональность.

Решить задачу можно двумя арифметическими способами:

1 способ: 2 способ:

1) 16:8 = 2 (дет.) 1) 48:16 = 3 (раза)

2) 48:2 = 24(ч) 2) 8-3 = 24 (ч)

Решая задачу первым способом, мы сначала нашли коэффициент пропорциональности к, он равен 2, а затем, зная, что у = 2х, нашли значение х при условии, что у = 48.

При решении задачи вторым способом мы воспользовались свойством прямой пропорциональности: во сколько раз увеличивается количество деталей, сделанных токарем, во столько же раз увеличивается и количество времени на их изготовление.

Перейдем теперь к рассмотрению функции, называемой обратной пропорциональностью.

Если t - время движения пешехода (в часах), v - его скорость (в км/ч) и он прошел 12 км, то зависимость между этими величинами можно выразить формулой v∙t = 20 или v = .

Так как каждому значению t (t ≠ 0) соответствует единственное значение скорости v, то можно говорить о том, что с помощью формулы v = задана функция. Ее называют обратной пропорциональностью и определяют следующим образом.

Определение. Обратной пропорциональностью называется функция, которая может быть задана при помощи формулы у = , где k - неравное нулю действительное число.

Название данной функции связано с тем, что в у = есть переменные х и у, которые могут быть значениями величин. А если произведение двух величин равно некоторому числу, отличному от нуля, то их называют обратно пропорциональными. В нашем случае ху = k(к ≠0). Это число k называют коэффициентом пропорциональности.

Функция у = является математической моделью многих реальных ситуаций, рассматриваемых уже в начальном курсе математики. Одна из них описана перед определением обратной пропорциональности. Другой пример: если купили 12 кг муки и разложили ее в л: банок по у кг в каждую, то зависимость между данными величинами можно представить в виде х-у = 12, т.е. она является обратной пропорциональностью с коэффициентом k=12.

Напомним некоторые свойства обратной пропорциональности, известные из школьного курса математики.

1.Областью определения функции у = и областью ее значений х является множество действительных чисел, отличных от нуля.

2. Графиком обратной пропорциональности является гипербола.

3. При k > 0 ветви гиперболы расположены в 1 -й и 3-й четвертях и функция у = является убывающей на всей области определения х (рис. 8).

Рис. 8 Рис.9

При к < 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция у = является возрастающей на всей области определения х (рис. 9).

4. Если функция f - обратная пропорциональность и (х 1 , у 1), (х 2 , у 2) - пары соответственных значений переменных х и у, то .

Действительно, если функция f - обратная пропорциональность, то она может быть задана формулой у = ,и тогда . Так как х 1 ≠0, х 2 ≠0, х 3 ≠0, то

Если значениями переменных х и у служат положительные действительные числа, то это свойство обратной пропорциональности можно сформулировать так: с увеличением (уменьшением) значения переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Это свойство присуще только обратной пропорциональности, и им можно пользоваться при решении текстовых задач, в которых рассматриваются обратно пропорциональные величины.

Задача 2. Велосипедист, двигаясь со скоростью 10 км/ч, проехал расстояние от А до В за 6 ч. Сколько времени потратит велосипедист на обратный путь, если будет ехать со скоростью 20 км/ч?

Решение. В задаче рассматриваются величины: скорость движения велосипедиста, время движения и расстояние от А до В, причем последняя величина постоянна, а две другие принимают различные значения. Кроме того, скорость и время движения - величины обратно пропорциональные, так как их произведение равно некоторому числу, а именно пройденному расстоянию. Если время движения велосипедиста обозначить буквой у, скорость - х, а расстояние АВ - k, то получим, что ху = k или у = , т.е. математической моделью ситуации, представленной в задаче, является обратная пропорциональность.

Решить задачу можно двумя способами:

1 способ: 2 способ:

1) 10-6 = 60 (км) 1) 20:10 = 2 (раза)

2) 60:20 = 3(4) 2) 6:2 = 3(ч)

Решая задачу первым способом, мы сначала нашли коэффициент пропорциональности к, он равен 60, а затем, зная, что у = , нашли значение у при условии, что х = 20.

При решении задачи вторым способом мы воспользовались свойством обратной пропорциональности: во сколько раз увеличивается скорость движения, во столько же раз уменьшается время на прохождение одного и того же расстояния.

Заметим, что при решении конкретных задач с обратно пропорциональными или прямо пропорциональными величинами накладываются некоторые ограничения на х и у, в частности, они могут рассматриваться не на всем множестве действительных чисел, а на его подмножествах.

Задача 3. Лена купила х карандашей, а Катя в 2 раза больше. Обозначьте число карандашей, купленных Катей через у, выразите у через х и постройте график установленного соответствия при условии, что х≤5. Является ли это соответствие функцией? Какова ее область определения и область значений?

Решение. Катя купила у = 2х карандашей. При построении графика функции у=2х необходимо учесть, что переменная х обозначает количество карандашей и х≤5, значит, она может принимать только значения 0, 1, 2, 3, 4, 5. Это и будет область определения данной функции. Чтобы получить область значений данной функции, надо каждое значение х из области определения умножить на 2, т.е. это будет множество {0, 2, 4, 6, 8, 10}. Следовательно, графиком функции у = 2х с областью определения {0, 1, 2, 3, 4, 5} будет множество точек, изображенных на рисунке 10. Все эти точки принадлежат прямой у = 2х.

Сегодня мы рассмотрим, какие величины называются обратно пропорциональными, как выглядит график обратной пропорциональности и как все это может вам пригодится не только на уроках математики, но и вне школьных стен.

Такие разные пропорциональности

Пропорциональностью называют две величины, которые взаимно зависимы друг от друга.

Зависимость может быть прямой и обратной. Следовательно, отношения между величинами описывают прямая и обратная пропорциональность.

Прямая пропорциональность – это такая зависимость двух величин, при которой увеличение либо уменьшение одной из них ведет к увеличению либо уменьшению другой. Т.е. их отношение не изменяется.

Например, чем больше усилий вы прилагаете для подготовки к экзаменам, тем выше ваши оценки. Или чем больше вещей вы берете с собой в поход, тем тяжелее нести ваш рюкзак. Т.е. количество затраченных на подготовку к экзаменам усилий прямо пропорционально полученным оценкам. И количество запакованных в рюкзак вещей прямо пропорционально его весу.

Обратная пропорциональность – это функциональная зависимость, при которой уменьшение либо увеличение в несколько раз независимой величины (ее называют аргументом) вызывает пропорциональное (т.е. во столько же раз) увеличение либо уменьшение зависимой величины (ее называют функцией).

Проиллюстрируем простым примером. Вы хотите купить на рынке яблок. Яблоки на прилавке и количество денег в вашем кошельке находятся в обратной пропорциональности. Т.е. чем больше вы купите яблок, тем меньше денег у вас останется.

Функция и ее график

Функцию обратной пропорциональности можно описать как y = k/x . В котором x ≠ 0 и k ≠ 0.

Эта функция обладает следующими свойствами:

1. Областью ее определения является множество всех действительных чисел, кроме x = 0. D (y ): (-∞; 0) U (0; +∞) .
2. Областью значений являются все действительные числа, кроме y = 0. Е(у): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Не имеет наибольших и наименьших значений.
4. Является нечетной и ее график симметричен относительно начала координат.
5. Непериодическая.
6. Ее график не пересекает оси координат.
7. Не имеет нулей.
8. Если k > 0 (т.е. аргумент возрастает), функция пропорционально убывает на каждом из своих промежутков. Если k < 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. При возрастании аргумента (k > 0) отрицательные значения функции находятся в промежутке (-∞; 0), а положительные – (0; +∞). При убывании аргумента (k < 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

График функции обратной пропорциональности называется гиперболой. Изображается следующим образом:

Задачи на обратную пропорциональность

Чтобы стало понятнее, давайте разберем несколько задач. Они не слишком сложные, а их решение поможет вам наглядно представить, что такое обратная пропорциональность и как эти знания могут пригодиться в вашей обычной жизни.

Задача №1. Автомобиль движется со скоростью 60 км/ч. Чтобы доехать до места назначения, ему потребовалось 6 часов. Сколько времени ему потребуется, чтобы преодолеть такое же расстояние, если он будет двигаться со скоростью в 2 раза выше?

Можем начать с того, что запишем формулу, которая описывает отношения времени, расстояния и скорости: t = S/V. Согласитесь, она очень напоминает нам функцию обратной пропорциональности. И свидетельствует о том, что время, которое автомобиль проводит в пути, и скорость, с которой он движется, находятся в обратной пропорциональности.

Чтобы убедиться в этом, давайте найдем V 2 , которая по условию выше в 2 раза: V 2 = 60 * 2 = 120 км/ч. Затем рассчитаем расстояние по формуле S = V * t = 60 * 6 = 360 км. Теперь совсем несложно узнать время t 2 , которое требуется от нас по условию задачи: t 2 = 360/120 = 3 ч.

Как видите время в пути и скорость движения действительно обратно пропорциональны: со скоростью в 2 раза выше изначальной автомобиль потратит в 2 раза меньше времени на дорогу.

Решение этой задачи можно записать и в виде пропорции. Для чего сначала составим такую схему:

↓ 60 км/ч – 6 ч

↓120 км/ч – х ч

Стрелки обозначают обратно пропорциональную зависимость. А также подсказывают, что при составлении пропорции правую часть записи надо перевернуть: 60/120 = х/6. Откуда получаем х = 60 * 6/120 = 3 ч.

Задача №2. В мастерской трудятся 6 рабочих, которые с заданным объемом работы справляются за 4 часа. Если количество рабочих сократить в 2 раза, сколько времени потребуется оставшимся, чтобы выполнить тот же объем работы?

Запишем условия задачи в виде наглядной схемы:

↓ 6 рабочих – 4 ч

↓ 3 рабочих – х ч

Запишем это в виде пропорции: 6/3 = х/4. И получим х = 6 * 4/3 = 8 ч. Если рабочих станет в 2 раза меньше, оставшиеся затратят на выполнение всей работы в 2 раза больше времени.

Задача №3. В бассейн ведут две трубы. Через одну трубу вода поступает со скоростью 2 л/с и наполняет бассейн за 45 минут. Через другую трубу бассейн наполнится за 75 минут. С какой скоростью вода поступает в бассейн через эту трубу?

Для начала приведем все данные нам по условию задачи величины к одинаковым единицам измерения. Для этого выразим скорость наполнения бассейна в литрах в минуту: 2 л/с = 2 * 60 = 120 л/мин.

Поскольку из условия следует, что через вторую трубу бассейн заполняется медленнее, значит, и скорость поступления воды ниже. На лицо обратная пропорциональность. Неизвестную нам скорость выразим через х и составим такую схему:

↓ 120 л/мин – 45 мин

↓ х л/мин – 75 мин

А затем составим пропорцию: 120/х = 75/45, откуда х = 120 * 45/75 = 72 л/мин.

В задаче скорость наполнения бассейна выражена в литрах в секунду, приведем полученный нами ответ к такому же виду: 72/60 = 1,2 л/с.

Задача №4. В небольшой частной типографии печатают визитки. Сотрудник типографии работает со скоростью 42 визитки в час и трудится полный рабочий день – 8 часов. Если бы он работал быстрее и печатал 48 визиток за час, насколько раньше он смог бы уйти домой?

Идем проверенным путем и составляем по условию задачи схему, обозначив искомую величину как х:

↓ 42 визитки/ч – 8 ч

↓ 48 визитки/ч – х ч

Перед нами обратно пропорциональная зависимость: во сколько раз больше визиток в час напечатает сотрудник типографии, во столько же раз меньше времени ему потребуется на выполнение одной и той же работы. Зная это, составим пропорцию:

42/48 = х/8, х = 42 * 8/48 = 7ч.

Таким образом, справившись с работой за 7 часов, сотрудник типографии смогу бы уйти домой на час раньше.

Заключение

Нам кажется, что эти задачи на обратную пропорциональность действительно несложные. Надеемся, что теперь вы тоже считаете их такими. А главное, что знание об обратно пропорциональной зависимости величин действительно может оказаться для вас полезным еще не раз.

Не только на уроках математики и экзаменах. Но и тогда, когда вы соберетесь отправиться в путешествие, пойдете за покупками, решите немного подработать в каникулы и т.п.

Расскажите нам в комментариях, какие примеры обратной и прямой пропорциональной зависимости вы замечаете вокруг себя. Пускай это будет такая игра. Вот увидите, как это увлекательно. Не забудьте «расшарить» эту статью в социальных сетях, чтобы ваши друзья и одноклассники тоже смогли поиграть.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Линейная функция

Линейная функция – это функция, которую можно задать формулой y = kx + b,

где x – независимая переменная, k и b – некоторые числа.

Графиком линейной функции является прямая.

Число k называют угловым коэффициентом прямой – графика функции y = kx + b.

Если k > 0, то угол наклона прямой y = kx + b к оси х острый; если k < 0, то этот угол тупой.

Если угловые коэффициенты прямых, являющихся графиками двух линейных функций, различны, то эти прямые пересекаются. А если угловые коэффициенты одинаковы, то прямые параллельны.

График функции y = kx + b , где k ≠ 0, есть прямая, параллельная прямой y = kx.

Прямая пропорциональность.

Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой y = kx, где х – независимая переменная, k – не равное нулю число. Число k называют коэффициентом прямой пропорциональности .

График прямой пропорциональности представляет собой прямую, проходящую через начало координат (см.рисунок).

Прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции.

Свойства функции y = kx:

Обратная пропорциональность

Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой:

k
y = -
x

где x – независимая переменная, а k – не равное нулю число.

Графиком обратной пропорциональности является кривая, которую называют гиперболой (см.рисунок).

Для кривой, которая является графиком этой функции, оси x и y выступают в роли асимптот. Асимптота – это прямая, к которой приближаются точки кривой по мере их удаления в бесконечность.

k
Свойства функции y = - :
x

I. Прямо пропорциональные величины.

Пусть величина y зависит от величины х . Если при увеличении х в несколько раз величина у увеличивается во столько же раз, то такие величины х и у называются прямо пропорциональными.

Примеры.

1 . Количество купленного товара и стоимость покупки (при фиксированной цене одной единицы товара — 1 штуки или 1 кг и т. д.) Во сколько раз больше товара купили, во столько раз больше и заплатили.

2 . Пройденный путь и затраченное на него время (при постоянной скорости). Во сколько раз длиннее путь, во столько раз больше потратим времени на то, чтобы его пройти.

3 . Объем какого-либо тела и его масса. (Если один арбуз в 2 раза больше другого, то и масса его будет в 2 раза больше )

II. Свойство прямой пропорциональности величин.

Если две величины прямо пропорциональны, то отношение двух произвольно взятых значений первой величины равно отношению двух соответствующих значений второй величины.

Задача 1. Для малинового варенья взяли 12 кг малины и 8 кг сахара. Сколько сахара потребуется, если взяли 9 кг малины?

Решение.

Рассуждаем так: пусть потребуется х кг сахара на 9 кг малины. Масса малины и масса сахара — прямо пропорциональные величины: во сколько раз меньше малины, во столько же раз нужно меньше сахара. Следовательно, отношение взятой (по массе) малины (12:9 ) будет равно отношению взятого сахара (8:х ). Получаем пропорцию:

12: 9=8: х;

х=9· 8: 12;

х=6. Ответ: на 9 кг малины нужно взять 6 кг сахара.

Решение задачи можно было оформить и так:

Пусть на 9 кг малины нужно взять х кг сахара.

(Стрелки на рисунке направлены в одну сторону, а вверх или вниз — не имеет значения. Смысл: во сколько раз число 12 больше числа 9 , во столько же раз число 8 больше числа х , т. е. здесь прямая зависимость).

Ответ: на 9 кг малины надо взять 6 кг сахара.

Задача 2. Автомобиль за 3 часа проехал расстояние 264 км . За какое время он проедет 440 км , если будет ехать с той же скоростью?

Решение.

Пусть за х часов автомобиль пройдет расстояние 440 км.

Ответ: автомобиль пройдет 440 км за 5 часов.

Задача 3. Из трубы поступает вода в бассейн. За 2 часа она заполняет 1/5 бассейна. Какая часть бассейна заполняется водой за 5 часов ?

Решение.

Отвечаем на вопрос задачи: за 5 часов наполнится 1/х часть бассейна. (Весь бассейн принимается за одну целую).