Дробь у которой числитель меньше знаменателя называется. Дроби обыкновенные правильные и неправильные, смешанные и составные
С дробями мы сталкиваемся в жизни гораздо раньше, чем начинается их изучение в школе. Если разрезать целое яблоко пополам, то мы получим часть фрукта - ½. Разрежем ещё раз - будет ¼. Это и есть дроби. И все, казалось бы, просто. Для взрослого человека. Для ребенка же (а данную тему начинают изучать в конце младшей школы) абстрактные математические понятия ещё пугающе непонятны, и преподаватель должен доступно объяснить, что такое правильная дробь и неправильная, обыкновенная и десятичная, какие операции можно с ними совершать и, главное, для чего всё это нужно.
Какие бывают дроби
Знакомство с новой темой в школе начинается с обыкновенных дробей. Их легко узнать по горизонтальной черте, разделяющей два числа - сверху и снизу. Верхнее называется числителем, нижнее - знаменателем. Существует и строчный вариант написания неправильных и правильных обыкновенных дробей - через косую черту, например: ½, 4/9, 384/183. Такой вариант используется, когда высота строки ограничена и нет возможности применить «двухэтажную» форму записи. Почему? Да потому что она удобнее. Чуть позже мы в этом убедимся.
Помимо обыкновенных, существуют также десятичные дроби. Различить их очень просто: если в одном случае используется горизонтальная или наклонная черта, то в другом - запятая, разделяющая последовательности цифр. Посмотрим пример: 2,9; 163,34; 1,953. Мы намеренно воспользовались точкой с запятой в качестве разделителя, чтобы разграничить числа. Первое из них будет читаться так: «две целых, девять десятых».
Новые понятия
Вернемся к обыкновенным дробям. Они бывают двух видов.
Определение правильной дроби звучит следующим образом: это такая дробь, числитель которой меньше знаменателя. Почему это важно? Сейчас увидим!
У вас есть несколько яблок, разделенных на половинки. Всего - 5 частей. Как вы скажете: у вас «два с половиной» или «пять вторых» яблока? Конечно, первый вариант звучит естественнее, и при разговоре с друзьями мы воспользуемся им. А вот если потребуется посчитать, сколько фруктов достанется каждому, если в компании пять человек, мы запишем число 5/2 и разделим его на 5 - с точки зрения математики это будет нагляднее.
Итак, для наименования правильных и неправильных дробей правило таково: если в дроби можно выделить целую часть (14/5, 2/1, 173/16, 3/3), то она является неправильной. Если этого сделать нельзя, как в случае с ½, 13/16, 9/10, она будет правильной.
Основное свойство дроби
Если числитель и знаменатель дроби одновременно умножить или разделить на одно и то же число, её величина не изменится. Представьте: торт порезали на 4 равные части и дали вам одну. Такой же торт порезали на восемь частей и дали вам две. Не всё ли равно? Ведь ¼ и 2/8 - это одно и то же!
Сокращение
Авторы задач и примеров в учебниках по математике зачастую стремятся запутать учеников, предлагая громоздкие в написании дроби, которые на самом деле можно сократить. Вот пример правильной дроби: 167/334, который, казалось бы, выглядит очень «страшно». Но на самом деле мы можем записать его как ½. Число 334 делится на 167 без остатка - проделав такую операцию, мы получим 2.
Смешанные числа
Неправильную дробь можно представить в форме смешанного числа. Это когда целая часть вынесена вперед и записана на уровне горизонтальной черты. Фактически выражение принимает вид суммы: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 и так далее.
Чтобы вынести целую часть, нужно разделить числитель на знаменатель. Остаток от деления записать сверху, над чертой, а целую часть - перед выражением. Таким образом, мы получаем две структурные части: целые единицы + правильную дробь.
Можно осуществить и обратную операцию - для этого нужно целую часть умножить на знаменатель и прибавить полученное значение к числителю. Ничего сложного.
Умножение и деление
Как ни странно, умножать дроби проще, чем складывать. Всего-то и требуется - продлить горизонтальную черту: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.
С делением тоже всё просто: нужно перемножить дроби крест-накрест: (7/8) / (14/15) = 7*15 / 8*14 = 15/16.
Сложение дробей
Что делать, если требуется осуществить сложение или а в знаменателе у них разные числа? Поступить так же, как с умножением, не получится - здесь следует понимать определение правильной дроби и её сущность. Нужно привести слагаемые к общему знаменателю, то есть в нижней части обеих дробей должны оказаться одинаковые числа.
Чтобы это осуществить, следует воспользоваться основным свойством дроби: умножить обе части на одно и то же число. Например, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.
Как же выбрать, к какому знаменателю приводить слагаемые? Это должно быть минимальное число, кратное обоим числам, стоящим в знаменателях дробей: для 1/3 и 1/9 это будет 9; для ½ и 1/7 - 14, потому что меньшего значения, делящегося без остатка на 2 и 7, не существует.
Использование
Для чего нужны неправильные дроби? Ведь гораздо удобнее сразу выделить целую часть, получить смешанное число - и дело с концом! Оказывается, если требуется выполнить умножение или деление двух дробей, выгоднее воспользоваться именно неправильными.
Возьмем следующий пример: (2 + 3/17) / (37 / 68).
Казалось бы, сократить и вовсе нечего. Но что, если записать результат сложения в первых скобках в виде неправильной дроби? Посмотрите: (37/17) / (37/68)
Теперь всё встает на свои места! Запишем пример таким образом, чтобы всё стало очевидно: (37*68) / (17*37).
Сократим 37 в числителе и знаменателе и, наконец, разделим верхнюю и нижнюю части на 17. Вы же помните основное правило для правильной и неправильной дроби? Мы можем умножать и делить их на любое число, если делаем это одновременно для числителя и знаменателя.
Итак, получаем ответ: 4. Пример выглядел сложным, а ответ содержит всего одну цифру. В математике так часто происходит. Главное - не бояться и следовать простым правилам.
Распространенные ошибки
При осуществлении учащийся может легко совершить одну из популярных ошибок. Обычно они происходят из-за невнимательности, а иногда - из-за того, что изученный материал ещё не отложился в голове как следует.
Нередко сумма чисел, стоящая в числителе, вызывает желание сократить отдельные её компоненты. Допустим, в примере: (13 + 2) / 13, написанном без скобок (с горизонтальной чертой), многие ученики по неопытности зачеркивают 13 сверху и снизу. Но так делать нельзя ни в коем случае, ведь это грубая ошибка! Если бы вместо сложения стоял знак умножения, мы получили бы в ответе число 2. Но при осуществлении сложения никакие операции с одним из слагаемых не позволительны, только со всей суммой целиком.
Ещё ребята часто ошибаются при делении дробей. Возьмем две правильные несократимые дроби и разделим друг на друга: (5/6) / (25/33). Ученик может перепутать и записать результирующее выражение как (5*25) / (6*33). Но так бы получилось при умножении, а в нашем случае всё будет несколько иначе: (5*33) / (6*25). Сокращаем то, что возможно, и в ответе увидим 11/10. Получившуюся неправильную дробь запишем как десятичную - 1,1.
Скобки
Помните, что в любых математических выражениях порядок действий определяется приоритетом знаков операций и наличием скобок. При прочих равных отсчёт очередности выполнения действий происходит слева направо. Это актуально и для дробей - выражение в числителе или знаменателе рассчитывается строго по этому правилу.
Ведь Это результат деления одного числа на другое. Если они не делятся нацело, получается дробь - вот и всё.
Как записать дробь на компьютере
Поскольку стандартные средства не всегда позволяют создать дробь, состоящую из двух «ярусов», ученики порой идут на различные ухищрения. Например, копируют числители и знаменатели в графический редактор «Пейнт» и склеивают их воедино, рисуя между ними горизонтальную линию. Конечно, есть более простой вариант, который, кстати, предоставляет и массу дополнительных возможностей, которые станут полезны вам в будущем.
Откройте «Майкрософт Ворд». Одна из панелей в верхней части экрана носит называние «Вставка» - нажмите её. Справа, в той стороне, где расположены значки закрытия и сворачивания окна, есть кнопка «Формула». Это именно то, что нам нужно!
Если вы воспользуетесь данной функцией, на экране появится прямоугольная область, в которой можно использовать любые математические знаки, отсутствующие на клавиатуре, а также писать дроби в классическом виде. То есть разделяя числитель и знаменатель горизонтальной чертой. Вы даже можете удивиться, что такую правильную дробь настолько легко записать.
Изучайте математику
Если вы учитесь в 5-6 классе, то уже скоро знание математики (в том числе - умение работать с дробями!) потребуется во многих школьных предметах. Практически в любой задаче по физике, при измерении массы веществ в химии, в геометрии и тригонометрии без дробей никак не обойтись. Уже скоро вы научитесь вычислять всё в уме, даже не записывая выражения на бумаге, но будут появляться всё более и более сложные примеры. Поэтому выучите, что такое правильная дробь и как с ней работать, не отставайте по учебной программе, своевременно делайте домашние задания, и тогда вы преуспеете.
Обыкновенные дроби делятся на \textit{правильные} и \textit{неправильные} дроби. Такое разделение основано на сравнении числителя и знаменателя.
Правильные дроби
Правильной дробью называется обыкновенная дробь $\frac{m}{n}$, у которой числитель меньше знаменателя, т.е. $m
Пример 1
Например, дроби $\frac{1}{3}$, $\frac{9}{123}$, $\frac{77}{78}$, $\frac{378567}{456298}$ являются правильными, так как в каждой из них числитель меньше знаменателя, что отвечает определению правильной дроби.
Существует определение правильной дроби, которое базируется на сравнении дроби с единицей.
правильной , если она меньше единицы:
Пример 2
Например, обыкновенная дробь $\frac{6}{13}$ является правильной, т.к. выполняется условие $\frac{6}{13}
Неправильные дроби
Неправильной дробью называется обыкновенная дробь $\frac{m}{n}$, у которой числитель больше или равен знаменателю, т.е. $m\ge n$.
Пример 3
Например, дроби $\frac{5}{5}$, $\frac{24}{3}$, $\frac{567}{113}$, $\frac{100001}{100000}$ являются неправильными, так как в каждой из них числитель больше или равен знаменателю, что соответствует определению неправильной дроби.
Дадим определение неправильной дроби, которое базируется на ее сравнении с единицей.
Обыкновенная дробь $\frac{m}{n}$ является неправильной , если она равна или больше единицы:
\[\frac{m}{n}\ge 1\]
Пример 4
Например, обыкновенная дробь $\frac{21}{4}$ является неправильной, т.к. выполняется условие $\frac{21}{4} >1$;
обыкновенная дробь $\frac{8}{8}$ является неправильной, т.к. выполняется условие $\frac{8}{8}=1$.
Рассмотрим более подробно понятие неправильной дроби.
Возьмем для примера неправильную дробь $\frac{7}{7}$. Значение этой дроби -- взяли семь долей предмета, который поделен на семь одинаковых долей. Таким образом, из семи долей, которые есть в наличии, можно составить весь предмет. Т.е. неправильная дробь $\frac{7}{7}$ описывает целый предмет и $\frac{7}{7}=1$. Итак, неправильные дроби, у которых числитель равен знаменателю, описывают один целый предмет и такая дробь может быть заменена на натуральное число $1$.
$\frac{5}{2}$ -- достаточно очевидно, что из этих пяти вторых долей можно составить $2$ целых предмета (один целый предмет будут составлять $2$ доли, а для составления двух целых предметов нужны $2+2=4$ доли) и остается одна вторая доля. Т.е., неправильная дробь $\frac{5}{2}$ описывает $2$ предмета и $\frac{1}{2}$ долю этого предмета.
$\frac{21}{7}$ -- из двадцати одной седьмых долей можно составить $3$ целых предмета ($3$ предмета по $7$ долей в каждом). Т.е. дробь $\frac{21}{7}$ описывает $3$ целых предмета.
Из рассмотренных примеров можно сделать следующий вывод: неправильную дробь можно заменить натуральным числом, если числитель нацело делится на знаменатель (например, $\frac{7}{7}=1$ и $\frac{21}{7}=3$), или суммой натурального числа и правильной дроби, если числитель нацело не делится на знаменатель (например,$\ \frac{5}{2}=2+\frac{1}{2}$). Поэтому такие дроби и называются неправильными .
Определение 1
Процесс представления неправильной дроби в виде суммы натурального числа и правильной дроби (например, $\frac{5}{2}=2+\frac{1}{2}$) называется выделением целой части из неправильной дроби .
При работе с неправильными дробями прослеживается тесная связь между ними и смешанными числами.
Неправильная дробь часто записывается в виде смешанного числа -- числа, которое состоит из целой и дробной части.
Чтобы записать неправильную дробь в виде смешанного числа, необходимо разделить числитель на знаменатель с остатком. Частное будет составлять целую часть смешанного числа, остаток -- числитель дробной части, а делитель -- знаменатель дробной части.
Пример 5
Записать неправильную дробь $\frac{37}{12}$ в виде смешанного числа.
Решение.
Разделим числитель на знаменатель с остатком:
\[\frac{37}{12}=37:12=3\ (остаток\ 1)\] \[\frac{37}{12}=3\frac{1}{12}\]
Ответ. $\frac{37}{12}=3\frac{1}{12}$.
Чтобы записать смешанное число в виде неправильной дроби, необходимо знаменатель умножить на целую часть числа, к произведению, которое получилось, прибавить числитель дробной части и записать полученную сумму в числитель дроби. Знаменатель неправильной дроби будет равен знаменателю дробной части смешанного числа.
Пример 6
Записать смешанное число $5\frac{3}{7}$ в виде неправильной дроби.
Решение.
Ответ. $5\frac{3}{7}=\frac{38}{7}$.
Сложение смешанного числа и правильной дроби
Сложение смешанного числа $a\frac{b}{c}$ и правильной дроби $\frac{d}{e}$ выполняет прибавлением к данной дроби дробной части данного смешанного числа:
Пример 7
Выполнить сложение правильной дроби $\frac{4}{15}$ и смешанного числа $3\frac{2}{5}$.
Решение.
Воспользуемся формулой сложения смешанного числа и правильной дроби:
\[\frac{4}{15}+3\frac{2}{5}=3+\left(\frac{2}{5}+\frac{4}{15}\right)=3+\left(\frac{2\cdot 3}{5\cdot 3}+\frac{4}{15}\right)=3+\frac{6+4}{15}=3+\frac{10}{15}\]
По признаку деления на число \textit{5 }можно определить, что дробь $\frac{10}{15}$ -- сократима. Выполним сокращение и найдем результат сложения:
Итак, результатом сложения правильной дроби $\frac{4}{15}$ и смешанного числа $3\frac{2}{5}$ будет $3\frac{2}{3}$.
Ответ: $3\frac{2}{3}$
Сложение смешанного числа и неправильной дроби
Сложение неправильной дроби и смешанного числа сводят к сложению двух смешанных чисел, для чего достаточно выделить целую часть из неправильной дроби.
Пример 8
Вычислить сумму смешанного числа $6\frac{2}{15}$ и неправильной дроби $\frac{13}{5}$.
Решение.
Сначала выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{13}{5}$:
Ответ: $8\frac{11}{15}$.
Дробь в математике — число, состоящее из одной или нескольких частей (долей) единицы. Дроби являются частью поля рациональных чисел. По способу записи дроби делятся на 2 формата: обыкновенные вида и десятичные .
Числитель дроби — число, показывающее количество взятых долей (находится в верхней части дроби - над чертой). Знаменатель дроби — число, показывающее, на сколько долей разделена единица (находится под чертой - в нижней части). , в свою очередь делятся на: правильные и неправильные , смешанные и составные тесно связаны с единицами измерения. 1 метр содержит в себе 100 см. Что означает, что 1 м разделён на 100 равных долей. Таким образом, 1 см = 1/100 м (один сантиметр равен одной сотой метра).
или 3/5 (три пятых), здесь 3 — числитель, 5 — знаменатель. Если числитель меньше знаменателя, то дробь меньше единицы и называется правильной :
Если числитель равен знаменателю, дробь равна единице. Если числитель больше знаменателя, дробь больше единицы. В обоих последних случаях дробь называется неправильной :
Чтобы выделить наибольшее целое число , содержащееся в неправильной дроби, нужно разделить числитель на знаменатель. Если деление выполняется без остатка, то взятая неправильная дробь равна частному:
Если деление выполняется с остатком, то (неполное) частное дает искомое целое число, остаток же становится числителем дробной части; знаменатель дробной части остается прежним.
Число, содержащее целую и дробную части, называется смешанным . Дробная часть смешанного числа может быть и неправильной дробью . Тогда можно из дробной части выделить наибольшее целое число и представить смешанное число в таком виде, чтобы дробная часть стала правильной дробью (или вовсе исчезла).
Изучая царицу всех наук - математику, в определенный момент все сталкиваются с дробями. Хотя это понятие (как и сами виды дробей или математические действия с ними) совсем несложное, к нему нужно относиться внимательно, ведь в реальной жизни за пределами школы оно очень пригодится. Итак, давайте освежим свои знания о дробях: что это, для чего нужно, какие виды их бывают и как совершать с ними различные арифметические действия.
Ее величество дробь: это что такое
Дробями в математике называются числа, каждое из которых состоит из одной или более частей единицы. Такие дроби еще называют обыкновенными, либо простыми. Как правило, они записываются в виде двух чисел, которые разделены горизонтальной или слеш-чертой, она называется «дробной». Например: ½, ¾.
Верхнее, или первое из этих чисел - это числитель (показывает, сколько взято долей от числа), а нижнее, или второе - знаменатель (демонстрирует, на столько частей разделена единица).
Дробная черта фактически выполняет функции знака деления. К примеру, 7:9=7/9
Традиционно обыкновенные дроби меньше единицы. В то время как десятичные могут быть больше ее.
Для чего нужны дроби? Да для всего, ведь в реальном мире далеко не все числа целые. К примеру, две школьницы в столовой купили в складчину одну вкусную шоколадку. Когда они уже собрались делить десерт, встретили подружку и решили угостить и и ее. Однако теперь необходимо правильно разделить шоколадку, если учесть, что она состоит из 12 квадратиков.
Поначалу девчонки хотели разделить все поровну, и тогда каждой бы досталось по четыре кусочка. Но, раздумав, они решили угостить подружку, не 1/3, а 1/4 шоколадки. А поскольку школьницы плохо изучали дроби, то они не учли, что при подобном раскладе в результате у них останется 9 кусочков, которые очень плохо делятся на двоих. Этот довольно простой пример показывает, насколько важно уметь правильно находить часть от числа. А ведь в жизни подобных случаев гораздо больше.
Виды дробей: обыкновенные и десятичные
Все математические дроби делятся на два больших разряда: обыкновенные и десятичные. Об особенностях первого из них было рассказано в предыдущем пункте, так что теперь стоит уделить внимание второму.
Десятичной называют позиционную запись дроби числа, которая фиксируется на письме через запятую, без черточки или слеша. Например: 0,75, 0,5.
Фактически десятичная дробь идентична обыкновенной, однако, в ее знаменателе всегда единица с последующими нулями - отсюда произошло и ее название.
Число, предшествующее запятой, - это целая часть, а все находящееся после - дробная. Любую простую дробь можно перевести в десятичную. Так, указанные в предыдущем примере десятичные дроби можно записать как обычные: ¾ и ½.
Стоит отметить, что и десятичные, и обыкновенные дроби могут быть как положительными, так и отрицательными. Если перед ними стоит знак "-", данная дробь отрицательная, если "+" - то положительная.
Подвиды обыкновенных дробей
Есть такие виды дробей простых.
Подвиды десятичной дроби
В отличие от простой, десятичная дробь делится всего на 2 вида.
- Конечная - получила такое название из-за того, что после запятой у нее ограниченное (конечное) число цифр: 19,25.
- Бесконечная дробь - это число с нескончаемым количеством цифр после запятой. К примеру, при делении 10 на 3 результатом будет бесконечная дробь 3,333…
Сложение дробей
Проводить различные арифметические манипуляции с дробями немного сложнее, чем с обычными числами. Однако, если усвоить основные правила, решить любой пример с ними не составит особого труда.
Например: 2/3+3/4. Наименьшим общим кратным для них будет 12, следовательно, необходимо, чтобы в каждом знаменателе стояло это число. Для этого числитель и знаменатель первой дроби умножаем на 4, получается 8/12, аналогично поступаем со вторым слагаемым, но только множим на 3 - 9/12. Теперь можно легко решить пример: 8/12+9/12= 17/12. Получившаяся дробь - это неправильная величина, поскольку числитель больше знаменателя. Ее можно и нужно пребразовать в правильную смешанную, разделив 17:12= 1 и 5/12.
В случае, если слагаются смешанные дроби, сначала действия совершаются с целыми числами, а потом с дробными.
Если в примере присутствует десятичная дробь и обычная, необходимо, чтобы обе стали простыми, потом привести их к одному знаменателю и сложить. К примеру 3,1+1/2. Число 3,1 можно записать как смешанную дробь 3 и 1/10 или как неправильную - 31/10. Общим знаменателем для слагаемых будет 10, поэтому нужно умножить поочередно числитель и знаменатель 1/2 на 5, получается 5/10. Далее можно легко все высчитать: 31/10+5/10=35/10. Полученный результат - неправильная сократимая дробь, приводим ее в нормальный вид, сократив на 5: 7/2=3 и 1/2, или десятичной - 3,5.
Если слагать 2 десятичные дроби, важно, чтобы после запятой было одинаковое количество цифр. Если это не так, нужно просто дописать необходимое количество нулей, ведь в десятичной дроби это можно сделать безболезненно. Например, 3,5+3,005. Чтобы решить это задание, нужно к первому числу прибавить 2 ноля и далее поочередно слагать: 3,500+3,005=3,505.
Вычитание дробей
Вычитая дроби, стоит поступать так же, как и при сложении: свести к общему знаменателю, отнять один числитель от другого, при необходимости перевести результат в смешанную дробь.
Например: 16/20-5/10. Общим знаменателем будет 20. Нужно привести вторую дробь к этому знаменателю, умножив обе ее части на 2, получается 10/20. Теперь можно решать пример: 16/20-10/20= 6/20. Однако этот результат относится к сократимым дробям, поэтому стоит поделить обе части на 2 и получается результат - 3/10.
Умножение дробей
Деление и умножение дробей - значительно более простые действия, нежели сложение и вычитание. Дело в том, что, выполняя эти задания, нет необходимости искать общий знаменатель.
Чтобы умножить дроби, нужно просто поочередно перемножить между собою оба числителя, а затем и оба знаменателя. Получившийся результат сократить, если дробь - это сократимая величина.
Например: 4/9х5/8. После поочередного умножения получается такой результат 4х5/9х8=20/72. Такая дробь сократима на 4, поэтому конечный ответ в примере - 5/18.
Как делить дроби
Деление дробей - тоже несложное действие, фактически оно все равно сводится к их умножению. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно вторую перевернуть и умножить на первую.
Например, деление дробей 5/19 и 5/7. Чтобы решить пример, нужно поменять местами знаменатель и числитель второй дроби и умножить: 5/19х7/5=35/95. Результат можно сократить на 5 - получается 7/19.
В случае, если необходимо разделить дробь на простое число, методика немного отличается. Изначально стоит записать это число как неправильную дробь, а потом делить по той же схеме. Например, 2/13:5 нужно записать как 2/13: 5/1. Теперь нужно перевернуть 5/1 и умножить получившиеся дроби: 2/13х1/5= 2/65.
Иногда приходится совершать деление дробей смешанных. С ними нужно поступать, как и с целыми числами: превратить в неправильные дроби, перевернуть делитель и умножить все. Например, 8 ½: 3. Превращаем все в неправильные дроби: 17/2: 3/1. Далее следует переворот 3/1 и умножение: 17/2х1/3= 17/6. Теперь следует перевести неправильную дробь в правильную - 2 целых и 5/6.
Итак, разобравшись с тем, что такое дроби и как можно с ними совершать различные арифметические действия, нужно постараться не забывать об этом. Ведь люди всегда более склонны делить что-то на части, нежели прибавлять, поэтому нужно уметь делать это правильно.