ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Алгебраической формой комплексного числа является запись комплексного числа \(\ z \) в виде \(\ z=x+i y \), где \(\ x \) и \(\ y \) - вещественные числа, \(\ i \) - мнимая единица, удовлетворяющая соотношению \(\ i^{2}=-1 \)

Число \(\ x \) называется вещественной частью комплексного числа \(\ z \) и обозначается \(\ x=\operatorname{Re} z \)

Число \(\ y \) называется мнимой частью комплексного числа \(\ z \) и обозначается \(\ y=\operatorname{Im} z \)

Например:

Комплексное число \(\ z=3-2 i \) и его присоединенное число \(\ \overline{z}=3+2 i \)записаны в алгебраической форме.

Мнимая величина \(\ z=5 i \)записывается в алгебраической форме.

Кроме того, в зависимости от решаемой задачи вы можете перевести комплексное число в тригонометрическую или экспоненциальную.

Напомним необходимые сведения о комплексных числах.

Комплексное число - это выражение вида a + bi , где a , b - действительные числа, а i - так называемая мнимая единица , символ, квадрат которого равен –1, то есть i 2 = –1. Число a называется действительной частью , а число b - мнимой частью комплексного числа z = a + bi . Если b = 0, то вместо a + 0i пишут просто a . Видно, что действительные числа - это частный случай комплексных чисел.

Арифметические действия над комплексными числами те же, что и над действительными: их можно складывать, вычитать, умножать и делить друг на друга. Сложение и вычитание происходят по правилу (a + bi ) ± (c + di ) = (a ± c ) + (b ± d )i , а умножение - по правилу (a + bi ) · (c + di ) = (ac – bd ) + (ad + bc )i (здесь как раз используется, что i 2 = –1). Число = a – bi называется комплексно-сопряженным к z = a + bi . Равенство z · = a 2 + b 2 позволяет понять, как делить одно комплексное число на другое (ненулевое) комплексное число:

(Например, .)

У комплексных чисел есть удобное и наглядное геометрическое представление: число z = a + bi можно изображать вектором с координатами (a ; b ) на декартовой плоскости (или, что почти то же самое, точкой - концом вектора с этими координатами). При этом сумма двух комплексных чисел изображается как сумма соответствующих векторов (которую можно найти по правилу параллелограмма). По теореме Пифагора длина вектора с координатами (a ; b ) равна . Эта величина называется модулем комплексного числа z = a + bi и обозначается |z |. Угол, который этот вектор образует с положительным направлением оси абсцисс (отсчитанный против часовой стрелки), называется аргументом комплексного числа z и обозначается Arg z . Аргумент определен не однозначно, а лишь с точностью до прибавления величины, кратной 2π радиан (или 360°, если считать в градусах) - ведь ясно, что поворот на такой угол вокруг начала координат не изменит вектор. Но если вектор длины r образует угол φ с положительным направлением оси абсцисс, то его координаты равны (r · cos φ ; r · sin φ ). Отсюда получается тригонометрическая форма записи комплексного числа: z = |z | · (cos(Arg z ) + i sin(Arg z )). Часто бывает удобно записывать комплексные числа именно в такой форме, потому что это сильно упрощает выкладки. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме выглядит очень просто: z 1 · z 2 = |z 1 | · |z 2 | · (cos(Arg z 1 + Arg z 2) + i sin(Arg z 1 + Arg z 2)) (при умножении двух комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются). Отсюда следуют формулы Муавра : z n = |z | n · (cos(n · (Arg z )) + i sin(n · (Arg z ))). С помощью этих формул легко научиться извлекать корни любой степени из комплексных чисел. Корень n-й степени из числа z - это такое комплексное число w , что w n = z . Видно, что , а , где k может принимать любое значение из множества {0, 1, ..., n – 1}. Это означает, что всегда есть ровно n корней n -й степени из комплексного числа (на плоскости они располагаются в вершинах правильного n -угольника).

Комплексные числа - расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма , где и - вещественные числа, - мнимая единица.

Запись комплексного числа в виде , , называется алгебраической формой комплексного числа.

Свойства комплексных чисел. Геометрическая интерпретация комплексного числа.

Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме:

Рассмотрим правила, по которым производятся арифметические действия над комплекс­ными числами.

Если даны два комплексных числа α = a + bi и β = c + di, то

α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

α – β = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i . (11)

Это следует из определения действий сложения и вычитания двух упорядоченных пар действительных чисел (см. формулы (1) и (3)). Мы получили правила сложения и вычитания комплексных чисел: чтобы сложить два комплексных числа, надо отдельно сложить их действительные части и соответственно мни­мые части; чтобы из одного комплексного числа вычесть другое, необходимо вычесть соответственно их действительные и мнимые части.

Число – α = – a – bi называют противополож­ным числу α = a + bi . Сумма двух этих чисел равна нулю: - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b)i = 0.

Для получения правила умножения комплексных чисел воспользуемся формулой (6), т. е. тем, что i2 = -1. Учитывая это соотношение, находим (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc)i – bd, т.е.

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i . (12)

Эта формула соответствует формуле (2), которой определялось умножение упорядоченных пар дей­ствительных чисел.

Отметим, что сумма и произведение двух комп­лексно сопряженных чисел являются действительными числами. Всамомделе, еслиα = a + bi, = a – bi, тоα = (a + bi)(a - bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2 , α + = (a + bi) + (a - bi) = (a + a) + (b - b)i= 2a, т.е.

α + = 2a, α = a2 + b2. (13)

При делении двух комплексных чисел в алгеб­раической форме следует ожидать, что частное вы­ражается также числом того же вида, т. е. α/β = u + vi, где u, v R. Выведем правило деления комплексных чисел. Пусть даны числа α = a + bi, β = c + di, причем β ≠ 0, т. е. c2 + d2 ≠ 0. Послед­нее неравенство означает, что c и d одновременно в нуль не обращаются (исключается случай, когда с = 0, d = 0). Применяя формулу (12) и вто­рое из равенств (13), находим:

Следовательно, частное двух комплексных чисел определяется формулой:

соответствующей формуле (4).

С помощью полученной формулы для числа β = с + di можно найти обратное ему число β-1 = 1/β. Полагая в формуле (14) а = 1, b = 0, получаем

Эта формула определяет число, обратное данному комплексному числу, отличному от нуля; это число также является комплексным.

Например: (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i;

(6 + 5i) – (3 + 8i) = 3 – 3i;

(5 – 4i)(8 – 9i) = 4 – 77i;

Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

55. Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма записи комплексного числа (вывод).

Арг.ком.числа. – между положительным направлением действительной оси Х вектором изображающим данное число.

Формула тригон. Числа: ,

14.3 Бесконечно удалённая точка как особая точка функции комплексного переменного

Предисловие

Правильно распределить время и силы при подготовке к теоретической и практической частям экзамена или аттестации по модулю достаточно сложно, тем более что в период сессии времени всегда не хватает. И как показывает практика, справиться с этим получается не у всех. В результате на экзамене одни студенты правильно решают задачи, но затрудняются ответить на простейшие теоретические вопросы, а другие могут сформулировать теорему, но не могут её применить.

Настоящие методические рекомендации для подготовки к экзамену по курсу «Теория функций комплексного переменного» (ТФКП) являются попыткой разрешить это противоречие и обеспечить одновременное повторение теоретического и практического материала курса. Руководствуясь принципом «Теория без практики мертва, практика без теории слепа», они содержат как теоретические положения курса на уровне определений и формулировок, так и примеры, иллюстрирующие применение каждого приведенного теоретического положения, и, тем самым, облегчающие его запоминание и понимание.

Цель предлагаемых методических рекомендаций – помочь студенту подготовиться к экзамену на базовом уровне. Иными словами, составлен расширенный рабочий справочник, содержащий основные моменты, используемые на занятиях по курсу ТФКП, и необходимые при выполнении домашнего задания и подготовке к контрольным мероприятиям. Помимо самостоятельной работы студентов, настоящее электронное учебное издание можно использовать при проведении занятий в интерактивной форме с использованием электронной доски или для размещения в системе дистанционного обучения.

Обращаем внимание, что настоящий труд не заменяет собой ни учебников, ни конспекта лекций. Для углублённого изучения материала рекомендуется обращаться к соответствующим разделам изданного в МГТУ им. Н.Э. Баумана базового учебника .

В конце пособия помещён список рекомендуемой литературы и предметный указатель, в который входят все выделенные в текстеполужирным курсивом термины. Предметный указатель состоит из гиперссылок на разделы, в которых эти термины строго определены или описаны и где приведены примеры, иллюстрирующие их применение.

Пособие предназначено для студентов 2 курса всех факультетов МГТУ им. Н.Э. Баумана.

1. Алгебраическая форма записи комплексного числа

Запись вида z = x + iy , где x , y - действительные числа, i - мнимая единица (т.е. i 2 = − 1)

называют алгебраической формой записи комплексного числа z. При этом x называют действительной частью комплексного числа и обозначают Re z (x = Re z ), y называют мнимой частью комплексного числа и обозначают Im z (y = Im z ).

Пример. У комплексного числа z = 4 − 3i действительная часть Re z = 4 , а мнимая Im z = − 3 .

2. Плоскость комплексных чисел

В теории функций комплексного переменного рассматривают плоскость комплексных чисел , которую обозначают либо, либо используют буквы, обозначающие комплексные числа z , w и т.п.

Горизонтальная ось комплексной плоскости называется действительной осью , на ней располагают действительные числа z = x + 0 i = x .

Вертикальная ось комплексной плоскости называется мнимой осью , на ней располагают

3. Комплексно сопряжённые числа

Числа z = x + iy и z = x − iy называют комплексно сопряжёнными . На комплексной плоскости им соответствуют точки, симметричные относительно действительной оси.

4. Действия с комплексными числамив алгебраической форме

4.1 Сложение комплексных чисел

образом, операция умножения комплексных чисел аналогична операции умножения алгебраических двучленов с учётом того, что i 2 = − 1.

Рекомендуем почитать

Воинский учет

Десять открытий российских ученых, которые потрясли мир

Болезни

«Правописание суффиксов причастий

Болезни

Секретные фото луны Загадочные объекты на луне

Служба

Книга: Генри Форд. Моя жизнь. Мои достижения. Генри Форд: Моя жизнь, мои достижения

Военный билет

Как отличаются баллы ЕГЭ по регионам: результаты школьников и региональное неравенство

Призыв

Крупнейшие моря Индийский океан биография