Вычисление выражений с логарифмами. Преобразование выражений с использованием свойств логарифмов: примеры, решения. Задания из ЕГЭ

Сейчас мы взглянем на преобразование выражений, содержащих логарифмы, с общих позиций. Здесь мы разберем не только преобразование выражений с использованием свойств логарифмов, а рассмотрим преобразование выражений с логарифмами общего вида, которые содержат не только логарифмы, но и степени, дроби, корни и т.д. Весь материал по обыкновению будем снабжать характерными примерами с детальными описаниями решений.

Навигация по странице.

Выражения с логарифмами и логарифмические выражения

Выполнение действий с дробями

В предыдущем пункте мы разобрали основные преобразования, которые проводятся с отдельными дробями, содержащими логарифмы. Эти преобразования, естественно, можно проводить с каждой отдельной дробью, являющейся частью более сложного выражения, например, представляющего собой сумму, разность, произведение и частное подобных дробей. Но помимо работы с отдельными дробями, преобразование выражений указанного вида часто подразумевает выполнение соответствующих действий с дробями. Дальше мы рассмотрим правила, по которым эти действия проводятся.

Еще с 5-6 классов нам известны правила, по которым выполняются . В статье общий взгляд на действия с дробями мы распространили эти правила с обыкновенных дробей на дроби общего вида A/B , где A и B – некоторые числовые, буквенные выражения или выражения с переменными, причем B тождественно не равно нулю. Понятно, что дроби с логарифмами являются частными случаями дробей общего вида. И в связи с этим понятно, что действия с дробями, которые содержат в своих записях логарифмы, проводятся по тем же правилам. А именно:

• Чтобы сложить или вычесть две дроби с одинаковыми знаменателями, надо соответственно сложить или вычесть числители, а знаменатель оставить прежним.
• Чтобы сложить или вычесть две дроби с разными знаменателями, надо привести их к общему знаменателю и выполнить соответствующие действия по предыдущему правилу.
• Чтобы умножить две дроби, надо записать дробь, числителем которой является произведение числителей исходных дробей, а знаменателем – произведение знаменателей.
• Чтобы разделить дробь на дробь, надо делимую дробь умножить на дробь, обратную делителю, то есть, на дробь, с переставленными местами числителем и знаменателем.

Приведем несколько примеров на выполнение действий с дробями, содержащими логарифмы.

Пример.

Выполните действия с дробями, содержащими логарифмы: а) , б) , в) , г) .

Решение.

а) Знаменатели складываемых дробей, очевидно, одинаковые. Поэтому, согласно правилу сложения дробей с одинаковыми знаменателями складываем числители, а знаменатель оставляем прежним: .

б) Здесь знаменатели различные. Поэтому, сначала нужно привести дроби к одинаковому знаменателю . В нашем случае знаменатели уже представлены в виде произведений, и нам остается взять знаменатель первой дроби и добавить к нему недостающие множители из знаменателя второй дроби. Так мы получим общий знаменатель вида . При этом к общему знаменателю вычитаемые дроби приводятся при помощи дополнительных множителей в виде логарифма и выражения x 2 ·(x+1) соответственно. После этого останется выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, что не представляет сложностей.

Итак, решение таково:

в) Известно, что результатом умножения дробей является дробь, числитель которой есть произведение числителей, а знаменатель – произведение знаменателей, поэтому

Несложно заметить, что можно провести сокращение дроби на двойку и на десятичный логарифм, в результате имеем .

г) Переходим от деления дробей к умножению, заменяя дробь-делитель обратной ей дробью . Так

Числитель полученной дроби можно представить в виде , из которого явно виден общий множитель числителя и знаменателя – множитель x , на него можно сократить дробь:

Ответ:

а) , б) , в) , г) .

Следует помнить, что действия с дробями проводятся с учетом порядка выполнения действий : сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание, а если есть скобки, то сначала проводятся действия в скобках.

Пример.

Выполните действия с дробями .

Решение.

Сначала выполняем сложение дробей в скобках, после чего будем проводить умножение:

Ответ:

В этом пункте остается проговорить вслух три довольно очевидных, но в то же время важных момента:

Преобразование выражений с использованием свойств логарифмов

Наиболее часто преобразование выражений с логарифмами подразумевает использование тождеств, выражающих определение логарифма и

Задания, решение которых заключается в преобразовании логарифмических выражений , довольно часто встречаются на ЕГЭ.

Чтобы успешно справиться с ними при минимальной затрате времени кроме основных логарифмических тождеств, необходимо знать и правильно использовать ещё некоторые формулы.

Это: a log а b = b, где а, b > 0, а ≠ 1 (Она вытекает непосредственно из определения логарифма).

log a b = log с b / log с а или log а b = 1/log b а
где а, b, с > 0; а, с ≠ 1.

log а m b n = (m/n) log |а| |b|
где а, b > 0, а ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0.

а log с b = b log с а
где а, b, с > 0 и а, b, с ≠ 1

Чтобы показать справедливость четвертого равенства прологарифмируем левую и правую часть по основанию а. Получим log а (а log с b) = log а (b log с а) или log с b = log с а · log а b; log с b = log с а · (log с b / log с а); log с b = log с b.

Мы доказали равенство логарифмов, значит, равны и выражения, стоящие под логарифмами. Формула 4 доказана.

Пример 1.

Вычислите 81 log 27 5 log 5 4 .

Решение.

81 = 3 4 , 27 = 3 3 .

log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5. Следовательно,

log 27 5 · log 5 4 = 1/3 log 3 5 · (log 3 4 / log 3 5) = 1/3 log 3 4.

Тогда 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.

Самостоятельно можно выполнить следующее задание.

Вычислить (8 log 2 3 + 3 1/ log 2 3) - log 0,2 5.

В качестве подсказки 0,2 = 1/5 = 5 -1 ; log 0,2 5 = -1.

Ответ: 5.

Пример 2.

Вычислите (√11) log √3 9- log 121 81 .

Решение.

Выполним замену выражений: 9 = 3 2 , √3 = 3 1/2 , log √3 9 = 4,

121 = 11 2 , 81 = 3 4 , log 121 81 = 2 log 11 3 (использовалась формула 3).

Тогда (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / (11 log 11 3) = 121/3.

Пример 3.

Вычислите log 2 24/ log 96 2- log 2 192 / log 12 2.

Решение.

Логарифмы, содержащиеся в примере, заменим логарифмами с основанием 2.

log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 · 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);

log 2 192 = log 2 (2 6 · 3) = (log 2 2 6 + log 2 3) = (6 + log 2 3);

log 2 24 = log 2 (2 3 · 3) = (log 2 2 3 + log 2 3) = (3 + log 2 3);

log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 · 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3).

Тогда log 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/(2 + log 2 3)) =

= (3 + log 2 3) · (5 + log 2 3) – (6 + log 2 3)(2 + log 2 3).

После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получим число 3. (При упрощении выражения можно log 2 3 обозначить через n и упрощать выражение

(3 + n) · (5 + n) – (6 + n)(2 + n)).

Ответ: 3.

Самостоятельно можно выполнить следующее задание:

Вычислить (log 3 4 + log 4 3 + 2) · log 3 16 · log 2 144 3 .

Здесь необходимо сделать переход к логарифмам по основанию 3 и разложение на простые множители больших чисел.

Ответ:1/2

Пример 4.

Даны три числа А = 1/(log 3 0,5), В = 1/(log 0,5 3), С = log 0,5 12 – log 0,5 3. Расположите их в порядке возрастания.

Решение.

Преобразуем числа А = 1/(log 3 0,5) = log 0,5 3; С = log 0,5 12 – log 0,5 3 = log 0,5 12/3 = log 0,5 4 = -2.

Сравним их

log 0,5 3 > log 0,5 4 = -2 и log 0,5 3 < -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.

Или -2 < log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.

Ответ. Следовательно, порядок размещения чисел: С; А; В.

Пример 5.

Сколько целых чисел расположено на интервале (log 3 1 / 16 ; log 2 6 48).

Решение.

Определим между какими степенями числа 3 находится число 1 / 16 . Получим 1 / 27 < 1 / 16 < 1 / 9 .

Так как функция у = log 3 х – возрастающая, то log 3 (1 / 27) < log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.

log 6 48 = log 6 (36 · 4 / 3) = log 6 36 + log 6 (4 / 3) = 2 + log 6 (4 / 3). Сравним log 6 (4 / 3) и 1 / 5 . А для этого сравним числа 4 / 3 и 6 1/5 . Возведём оба числа в 5 степень. Получим (4 / 3) 5 = 1024 / 243 = 4 52 / 243 < 6. Следовательно,

log 6 (4 / 3) < 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.

Следовательно, интервал (log 3 1 / 16 ; log 6 48) включает в себя промежуток [-2; 4] и на нём размещаются целые числа -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.

Ответ: 7 целых чисел.

Пример 6.

Вычислите 3 lglg 2/ lg 3 - lg20.

Решение.

3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lо g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.

Тогда 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 – lg 20 = lg 0,1 = -1.

Ответ: -1.

Пример 7.

Известно, что log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 – 2) = А. Найдите log 2 (√3 –1) + log 2 (√6 + 2).

Решение.

Числа (√3 + 1) и (√3 – 1); (√6 – 2) и (√6 + 2) – сопряжённые.

Проведем следующее преобразование выражений

√3 – 1 = (√3 – 1) · (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);

√6 + 2 = (√6 + 2) · (√6 – 2)) / (√6 – 2) = 2/(√6 – 2).

Тогда log 2 (√3 – 1) + log 2 (√6 + 2) = log 2 (2/(√3 + 1)) + log 2 (2/(√6 – 2)) =

Log 2 2 – log 2 (√3 + 1) + log 2 2 – log 2 (√6 – 2) = 1 – log 2 (√3 + 1) + 1 – log 2 (√6 – 2) =

2 – log 2 (√3 + 1) – log 2 (√6 – 2) = 2 – А.

Ответ: 2 – А.

Пример 8 .

Упростите и найдите приближенное значение выражения (log 3 2 · log 4 3 · log 5 4 · log 6 5 · … · log 10 9.

Решение.

Все логарифмы приведём к общему основанию 10.

(log 3 2 · log 4 3 · log 5 4 · log 6 5 · … · log 10 9 = (lg 2 / lg 3) · (lg 3 / lg 4)· (lg 4 / lg 5) · (lg 5 / lg 6) · … · (lg 8 / lg 9) · lg 9 = lg 2 ≈ 0,3010. (Приближенное значение lg 2 можно найти с использованием таблицы, логарифмической линейки либо калькулятора).

Ответ: 0,3010.

Пример 9 .

Вычислить log а 2 b 3 √(a 11 b -3), если log √ а b 3 = 1. (В этом примере, а 2 b 3 – основание логарифма).

Решение.

Если log √ а b 3 = 1, то 3/(0,5 log а b = 1. И log а b = 1/6.

Тогда log а 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log а 2 b 3 (a 11 b -3) = log а (a 11 b -3) / (2log а (a 2 b 3)) = (log а a 11 + log а b -3) / (2(log а a 2 + log а b 3)) = (11 – 3log а b) / (2(2 + 3log а b)) Учитывая то, что log а b = 1/6 получим (11 – 3 · 1 / 6) / (2(2 + 3 · 1 / 6)) = 10,5/5 = 2,1.

Ответ: 2,1.

Самостоятельно можно выполнить следующее задание:

Вычислить log √3 6 √2,1, если log 0,7 27 = а.

Ответ: (3 + а) / (3а).

Пример 10.

Вычислить 6,5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log125.

Решение.

6,5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log 125 = (13/2) 4/2 log 3 13 · 3 2/ log 2 13 + 2log 5 5 3 = (13/2) 2 log 13 3 · 3 2 log 13 2 + 6 = (13 log 13 3 / 2 log 13 3) 2 · (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 · (3 log 13 2) 2 + 6 = (3 2 /(2 log 13 3) 2) · (2 log 13 3) 2 + 6.

(2 log 13 3 = 3 log 13 2 (формула 4))

Получим 9 + 6 = 15.

Ответ: 15.

Остались вопросы? Не знаете, как найти значение логарифмического выражения?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

\(a^{b}=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_{a}{c}=b\)

Объясним проще. Например, \(\log_{2}{8}\) равен степени, в которую надо возвести \(2\), чтоб получить \(8\). Отсюда понятно, что \(\log_{2}{8}=3\).

Примеры:		\(\log_{5}{25}=2\)		т.к. \(5^{2}=25\)
		\(\log_{3}{81}=4\)		т.к. \(3^{4}=81\)
		\(\log_{2}\)\(\frac{1}{32}\) \(=-5\)		т.к. \(2^{-5}=\)\(\frac{1}{32}\)

Аргумент и основание логарифма

Любой логарифм имеет следующую «анатомию»:

Аргумент логарифма обычно пишется на его уровне, а основание - подстрочным шрифтом ближе к знаку логарифма. А читается эта запись так: «логарифм двадцати пяти по основанию пять».

Как вычислить логарифм?

Чтобы вычислить логарифм - нужно ответить на вопрос: в какую степень следует возвести основание, чтобы получить аргумент?

Например , вычислите логарифм: а) \(\log_{4}{16}\) б) \(\log_{3}\)\(\frac{1}{3}\) в) \(\log_{\sqrt{5}}{1}\) г) \(\log_{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}\) д) \(\log_{3}{\sqrt{3}}\)

а) В какую степень надо возвести \(4\), чтобы получить \(16\)? Очевидно во вторую. Поэтому:

\(\log_{4}{16}=2\)

\(\log_{3}\)\(\frac{1}{3}\) \(=-1\)

в) В какую степень надо возвести \(\sqrt{5}\), чтобы получить \(1\)? А какая степень делает любое число единицей? Ноль, конечно!

\(\log_{\sqrt{5}}{1}=0\)

г) В какую степень надо возвести \(\sqrt{7}\), чтобы получить \(\sqrt{7}\)? В первую – любое число в первой степени равно самому себе.

\(\log_{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=1\)

д) В какую степень надо возвести \(3\), чтобы получить \(\sqrt{3}\)? Из мы знаем, что – это дробная степень, и значит квадратный корень - это степень \(\frac{1}{2}\) .

\(\log_{3}{\sqrt{3}}=\)\(\frac{1}{2}\)

Пример : Вычислить логарифм \(\log_{4\sqrt{2}}{8}\)

Решение :

\(\log_{4\sqrt{2}}{8}=x\)		Нам надо найти значение логарифма, обозначим его за икс. Теперь воспользуемся определением логарифма: \(\log_{a}{c}=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^{b}=c\)
\((4\sqrt{2})^{x}=8\)		Что связывает \(4\sqrt{2}\) и \(8\)? Двойка, потому что и то, и другое число можно представить двойки: \(4=2^{2}\) \(\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}\) \(8=2^{3}\)
\({(2^{2}\cdot2^{\frac{1}{2}})}^{x}=2^{3}\)		Слева воспользуемся свойствами степени: \(a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}\) и \((a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}\)
\(2^{\frac{5}{2}x}=2^{3}\)		Основания равны, переходим к равенству показателей
\(\frac{5x}{2}\) \(=3\)		Умножим обе части уравнения на \(\frac{2}{5}\)
		Получившийся корень и есть значение логарифма

Ответ : \(\log_{4\sqrt{2}}{8}=1,2\)

Зачем придумали логарифм?

Чтобы это понять, давайте решим уравнение: \(3^{x}=9\). Просто подберите \(x\), чтобы равенство сработало. Конечно, \(x=2\).

А теперь решите уравнение: \(3^{x}=8\).Чему равен икс? Вот в том-то и дело.

Самые догадливые скажут: «икс чуть меньше двух». А как точно записать это число? Для ответа на этот вопрос и придумали логарифм. Благодаря ему, ответ здесь можно записать как \(x=\log_{3}{8}\).

Хочу подчеркнуть, что \(\log_{3}{8}\), как и любой логарифм - это просто число . Да, выглядит непривычно, но зато коротко. Потому что, если бы мы захотели записать его в виде десятичной дроби, то оно выглядело бы вот так: \(1,892789260714.....\)

Пример : Решите уравнение \(4^{5x-4}=10\)

Решение :

\(4^{5x-4}=10\)		\(4^{5x-4}\) и \(10\) никак к одному основанию не привести. Значит тут не обойтись без логарифма. Воспользуемся определением логарифма: \(a^{b}=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_{a}{c}=b\)
\(\log_{4}{10}=5x-4\)		Зеркально перевернем уравнение, чтобы икс был слева
\(5x-4=\log_{4}{10}\)		Перед нами . Перенесем \(4\) вправо. И не пугайтесь логарифма, относитесь к нему как к обычному числу.
\(5x=\log_{4}{10}+4\)		Поделим уравнение на 5
\(x=\)\(\frac{\log_{4}{10}+4}{5}\)		Вот наш корень. Да, выглядит непривычно, но ответ не выбирают.

Ответ : \(\frac{\log_{4}{10}+4}{5}\)

Десятичный и натуральный логарифмы

Как указано в определении логарифма, его основанием может быть любое положительное число, кроме единицы \((a>0, a\neq1)\). И среди всех возможных оснований есть два встречающихся настолько часто, что для логарифмов с ними придумали особую короткую запись:

Натуральный логарифм: логарифм, у которого основание - число Эйлера \(e\) (равное примерно \(2,7182818…\)), и записывается такой логарифм как \(\ln{a}\).

То есть, \(\ln{a}\) это то же самое, что и \(\log_{e}{a}\)

Десятичный логарифм: логарифм, у которого основание равно 10, записывается \(\lg{a}\).

То есть, \(\lg{a}\) это то же самое, что и \(\log_{10}{a}\) , где \(a\) - некоторое число.

Основное логарифмическое тождество

У логарифмов есть множество свойств. Одно из них носит название «Основное логарифмическое тождество» и выглядит вот так:

\(a^{\log_{a}{c}}=c\)

Это свойство вытекает напрямую из определения. Посмотрим как именно эта формула появилась.

Вспомним краткую запись определения логарифма:

если \(a^{b}=c\), то \(\log_{a}{c}=b\)

То есть, \(b\) – это тоже самое, что \(\log_{a}{c}\). Тогда мы можем в формуле \(a^{b}=c\) написать \(\log_{a}{c}\) вместо \(b\). Получилось \(a^{\log_{a}{c}}=c\) – основное логарифмическое тождество.

Остальные свойства логарифмов вы можете найти . С их помощью можно упрощать и вычислять значения выражений с логарифмами, которые «в лоб» посчитать сложно.

Пример : Найдите значение выражения \(36^{\log_{6}{5}}\)

Решение :

Ответ : \(25\)

Как число записать в виде логарифма?

Как уже было сказано выше – любой логарифм это просто число. Верно и обратное: любое число может быть записано как логарифм. Например, мы знаем, что \(\log_{2}{4}\) равен двум. Тогда можно вместо двойки писать \(\log_{2}{4}\).

Но \(\log_{3}{9}\) тоже равен \(2\), значит, также можно записать \(2=\log_{3}{9}\) . Аналогично и с \(\log_{5}{25}\), и с \(\log_{9}{81}\), и т.д. То есть, получается

\(2=\log_{2}{4}=\log_{3}{9}=\log_{4}{16}=\log_{5}{25}=\log_{6}{36}=\log_{7}{49}...\)

Таким образом, если нам нужно, мы можем где угодно (хоть в уравнении, хоть в выражении, хоть в неравенстве) записывать двойку как логарифм с любым основанием – просто в качестве аргумента пишем основание в квадрате.

Точно также и с тройкой – ее можно записать как \(\log_{2}{8}\), или как \(\log_{3}{27}\), или как \(\log_{4}{64}\)… Здесь мы как аргумент пишем основание в кубе:

\(3=\log_{2}{8}=\log_{3}{27}=\log_{4}{64}=\log_{5}{125}=\log_{6}{216}=\log_{7}{343}...\)

И с четверкой:

\(4=\log_{2}{16}=\log_{3}{81}=\log_{4}{256}=\log_{5}{625}=\log_{6}{1296}=\log_{7}{2401}...\)

И с минус единицей:

\(-1=\) \(\log_{2}\)\(\frac{1}{2}\) \(=\) \(\log_{3}\)\(\frac{1}{3}\) \(=\) \(\log_{4}\)\(\frac{1}{4}\) \(=\) \(\log_{5}\)\(\frac{1}{5}\) \(=\) \(\log_{6}\)\(\frac{1}{6}\) \(=\) \(\log_{7}\)\(\frac{1}{7}\) \(...\)

И с одной третьей:

\(\frac{1}{3}\) \(=\log_{2}{\sqrt{2}}=\log_{3}{\sqrt{3}}=\log_{4}{\sqrt{4}}=\log_{5}{\sqrt{5}}=\log_{6}{\sqrt{6}}=\log_{7}{\sqrt{7}}...\)

Любое число \(a\) может быть представлено как логарифм с основанием \(b\): \(a=\log_{b}{b^{a}}\)

Пример : Найдите значение выражения \(\frac{\log_{2}{14}}{1+\log_{2}{7}}\)

Решение :

Ответ : \(1\)

Инструкция

Запишите заданное логарифмическое выражение. Если в выражении используется логарифм 10, то его запись укорачивается и выглядит так: lg b - это десятичный логарифм. Если же логарифм имеет в виде основания число е, то записывают выражение: ln b – натуральный логарифм. Подразумевается, что результатом любого является степень, в которую надо возвести число основания, чтобы получилось число b.

При нахождении от суммы двух функций, необходимо просто их по очереди продифференцировать, а результаты сложить: (u+v)" = u"+v";

При нахождении производной от произведения двух функций, необходимо производную от первой функции умножить на вторую и прибавить производную второй функции, умноженную на первую функцию: (u*v)" = u"*v+v"*u;

Для того, чтобы найти производную от частного двух функций необходимо, из произведения производной делимого, умноженной на функцию делителя, вычесть произведение производной делителя, умноженной на функцию делимого, и все это разделить на функцию делителя возведенную в квадрат. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Если дана сложная функция, то необходимо перемножить производную от внутренней функции и производную от внешней. Пусть y=u(v(x)), тогда y"(x)=y"(u)*v"(x).

Используя полученные выше , можно продифференцировать практически любую функцию. Итак, рассмотрим несколько примеров:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2*x));
Также встречаются задачи на вычисление производной в точке. Пусть задана функция y=e^(x^2+6x+5), нужно найти значение функции в точке х=1.
1) Найдите производную функции: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Вычислите значение функции в заданной точке y"(1)=8*e^0=8

Видео по теме

Полезный совет

Выучите таблицу элементарных производных. Это заметно сэкономит время.

Источники:

• производная константы

Итак, чем же отличается иррациональное уравнение от рационального? Если неизвестная переменная находиться под знаком квадратного корня, то уравнение считается иррациональным.

Инструкция

Основной метод решения таких уравнений - метод возведения обоих частей уравнения в квадрат. Впрочем. это естественно, первым делом необходимо избавиться от знака . Технически этот метод не сложен, но иногда это может привести к неприятностям. Например, уравнение v(2х-5)=v(4х-7). Возведя обе его стороны в квадрат, вы получите 2х-5=4х-7. Такое уравнение решить не составит труда; х=1. Но число 1 не будет являться данного уравнения . Почему? Подставьте единицу в уравнение вместо значения х.И в правой и в левой части будут содержаться выражения, не имеющие смысла, то есть . Такое значение не допустимо для квадратного корня. Поэтому 1 - посторонний корень, и следовательно данное уравнение не имеет корней.

Итак, иррациональное уравнение решается с помощью метода возведения в квадрат обоих его частей. И решив уравнение, необходимо обязательно , чтобы отсечь посторонние корни. Для этого подставьте найденные корни в оригинальное уравнение.

Рассмотрите еще один .
2х+vх-3=0
Конечно же, это уравнение можно решить по той же , что и предыдущее. Перенести составные уравнения , не имеющие квадратного корня, в правую часть и далее использовать метод возведения в квадрат. решить полученное рациональное уравнение и корни. Но и другой , более изящный. Введите новую переменную; vх=y. Соответственно, вы получите уравнение вида 2y2+y-3=0. То есть обычное квадратное уравнение. Найдите его корни; y1=1 и y2=-3/2. Далее решите два уравнения vх=1; vх=-3/2. Второе уравнение корней не имеет, из первого находим, что х=1. Не забудьте, о необходимости проверки корней.

Решать тождества достаточно просто. Для этого требуется совершать тождественные преобразования, пока поставленная цель не будет достигнута. Таким образом, при помощи простейших арифметических действий поставленная задача будет решена.

Вам понадобится

• - бумага;
• - ручка.

Инструкция

Простейший таких преобразований – алгебраические сокращенного умножения (такие как квадрат суммы (разности), разность квадратов, сумма (разность) , куб суммы (разности)). Кроме того существует множество и тригонометрических формул, которые по своей сути теми же тождествами.

Действительно, квадрат суммы двух слагаемых равен квадрату первого плюс удвоенное произведение первого на второе и плюс квадрат второго, то есть (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b^2=a^2+2ab+b^2.

Упростите обеих

Общие принципы решения

Повторите по учебнику по математическому анализу или высшей математике, что собой представляет определённый интеграл. Как известно, решение определенного интеграла есть функция, производная которой даст подынтегральное выражение. Данная функция называется первообразной. По данному принципу и строится основных интегралов.
Определите по виду подынтегральной функции, какой из табличных интегралов подходит в данном случае. Не всегда удается это определить сразу же. Зачастую, табличный вид становится заметен только после нескольких преобразований по упрощению подынтегральной функции.

Метод замены переменных

Если подынтегральной функцией является тригонометрическая функция, в аргументе которой некоторый многочлен, то попробуйте использовать метод замены переменных. Для того чтобы это сделать, замените многочлен, стоящий в аргументе подынтегральной функции, на некоторую новую переменную. По соотношению между новой и старой переменной определите новые пределы интегрирования. Дифференцированием данного выражения найдите новый дифференциал в . Таким образом, вы получите новый вид прежнего интеграла, близкий или даже соответствующий какому-либо табличному.

Решение интегралов второго рода

Если интеграл является интегралом второго рода, векторный вид подынтегральной функции, то вам будет необходимо пользоваться правилами перехода от данных интегралов к скалярным. Одним из таких правил является соотношение Остроградского-Гаусса. Данный закон позволяет перейти от потока ротора некоторой векторной функции к тройному интегралу по дивергенции данного векторного поля.

Подстановка пределов интегрирования

После нахождения первообразной необходимо подставить пределы интегрирования. Сначала подставьте значение верхнего предела в выражение для первообразной. Вы получите некоторое число. Далее вычтите из полученного числа другое число, полученное нижнего предела в первообразную. Если один из пределов интегрирования является бесконечностью, то при подстановке ее в первообразную функцию необходимо перейти к пределу и найти, к чему стремится выражение.
Если интеграл является двумерным или трехмерным, то вам придется изображать геометрически пределы интегрирования, чтобы понимать, как рассчитывать интеграл. Ведь в случае, скажем, трехмерного интеграла пределами интегрирования могут быть целые плоскости, ограничивающие интегрируемый объем.