Расположение корней квадратного трёхчлена в зависимости от значений параметра. Расположение корней квадратного уравнения в зависимости от параметра.docx - Факультативное занятие "Расположение корней квадратного уравнения в зависимости от параметра"

Самым мощным инструментом при решении сложных задач с параметрами является теорема Виета. Но здесь нужно быть предельно внимательным к формулировке.

Этих двух теорем (прямой и обратной)

Теорема Виета

Если уравнение имеет корни и ; то выполнены равенства .

Особенности теоремы:

Первое . Теорема верна только для уравнения и не верна для

В последнем случае нужно сначала разделить обе части уравнения на ненулевой коэффициент а при х 2 , а потом уже применять теорему Виета.

Второе. Для использования результатов теоремы необходимо иметь факт существования корней уравнений т.е. не забывать наложить условие D>0

Обратная

Теорема Виета

Если есть произвольные числа и то они являются корнями уравнения

Очень важное замечание , облегчающее решение задач: обратная теорема гарантирует существование корней в уравнении что позволяет не возится с дискриминантом. Он автоматически в этом случае неотрицателен.

	Условия на корни	Равносильное условие на коэффициенты а,в,с, и дискриминант D
	Корни существуют (и различны)
	Корни существуют и равны Причем
	Корни существуют и
	Корни существуют и
	Корни существуют и различны
	Корни существуют, один корень равен нулю, а другой >0

1). Установить, при каких значениях параметра уравнение

Не имеет корней.

Если уравнение не имеет корней, то необходимо и достаточно, чтобы дискриминант

имеет различные положительные корни .

Раз корни есть, то если они оба положительные, то и Воспользуемся формулой Виета, тогда для данного уравнения

⟹

Имеет различные отрицательные корни

Имеет корни разного знака

Имеет совпадающие корни

2). При каких значениях параметра а оба корня квадратного уравнения будут положительными?

Решение.

Так как заданное уравнение является квадратным, то оба его корня (равные или различные) будут положительными, если дискриминант неотрицателен, а сумма и произведение корней положительны, то есть

Так как, а по теореме Виета,

То получим систему неравенств

3). Найти все значения параметра а неположительны.

Так как заданное уравнение является квадратным, то . Оба его корня (равные или различные) будут отрицательными или равными нулю, если дискриминант неотрицательный, сумма корней отрицательна или равна нулю, а произведение корней неотрицательно, то есть

а по теореме Виета

то получим систему неравенств.

откуда

4).При каких значениях параметра а равна 22.5 ?

Вначале предложим “ решение “, с которым нам не раз приходилось встречаться.

поскольку то получаем “Ответ” Однако при найденном значении а исходное уравнение корней не имеет.

В этом решении мы столкнулись с одной из “популярнейших” ошибок, связанной с применением теоремы Виета:

вести речь о корнях предварительно не выяснив, существуют они или нет.

Так, в данном примере, в первую очередь необходимо было установить, что лишь при исходное уравнение имеет корни. Только после этого можно обратится к выкладкам, приведенным выше.

Ответ: Таких а не существует.

5). Корни уравнения таковы, что Определить

Решение. По теореме Виета Возведем обе части первого равенства в квадрат Учитывая, что а получаем или Проверка показывает, что значения удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ :

6).При каком значении параметра а сумма квадратов корней уравнения принимает наименьшее значение:

Найдем дискриминант данного уравнения. Имеем Здесь важно не сделать ошибочный вывод о том, что уравнение имеет два корня при любом а . оно действительно имеет два корня при любом, но допустимом а , т.е. при при

Используя теорему Виета, запишем

Таким образом, для получения ответа осталось найти наименьшее значение квадратичной функции

на множестве

Поскольку при а при то функция на указанном множестве принимает наименьшее значение в точке

Задачи для самостоятельного решения

1). Найти все значения параметра а , при которых корни квадратного уравнения

неотрицательны

2). Вычислить значение выражения ,где -корни уравнения

3). Найти все значения параметра а , при которых сумма квадратов действительных корней уравнения больше 6.

Ответ:

4).При каких значениях параметра а уравнение ах 2 -4х+а=0 имеет:

а) положительные корни

б) отрицательные корни

Расположение корней квадратичной функции относительно

заданных точек.

Для подобных задач характерна следующая формулировка: при каких значениях параметра корни (только один корень) больше (меньше, не больше, не меньше) заданного числа А; корни расположены между числами А и В; корни не принадлежат промежутку с концами в точках А и В и т.п.

При решении задач, связанных с квадратным трехчленом

часто приходится иметь дело со следующими стандартными ситуациями (которые мы сформулируем в виде «вопрос – ответ».

Вопрос 1 . Пусть дано число (1) оба его корня и больше т.е. ?

Ответ . Коэффициенты квадратного трехчлена (7) должны удовлетворять условиям

где - абсцисса вершины параболы .

Справедливость сказанного вытекает из рис. 1, на котором отдельно представлены случаи и Отметим, что двух условий и еще недостаточно, чтобы корни и были больше На первом из рис. 1 штрихом изображена парабола, удовлетворяющая этим двум условиям, но ее корни меньше Однако, если к указанным двум условиям добавить, что абсцисса вершины параболы больше то и корни будут большими чем

Вопрос 2 . Пусть дано число При каких условиях на коэффициенты квадратного трехчлена (1) его корни и лежат на разные стороны от т.е. ?

Ответ. коэффициенты квадратного трехчлена (1) должны удовлетворять условию

Справедливость сказанного вытекает из рис. 2, на котором отдельно представлены случаи и Отметим, что указанное условие гарантирует существование двух различных корней и квадратного трехчлена (1).

Вопрос 3 . При каких условиях на коэффициенты квадратного трехчлена (1) его корни и различны и только один из них лежит в заданном интервале

Ответ. Коэффициенты квадратного трехчлена (1) должны удовлетворять условию

Вопрос 4. При каких условиях на коэффициенты квадратного трехчлена (1) множество его корней не пусто и все его корни и лежат в заданном интервале т.е.

Ответ . Коэффициенты квадратного трехчлена (1) должны удовлетворять условиям

Для решения таких задач полезно работать с таблицей, которая приведена ниже.

Корни многочлена

Квадратные уравнения с параметрами

(Методическая разработка для учащихся 9-11 классов)

учитель математики высшей квалификационной категории,

заместитель директора по УВР

Мегион 2013

Предисловие

https://pandia.ru/text/80/021/images/image002.png" height="22 src=">2.Применение теоремы Виета

Научные работы" href="/text/category/nauchnie_raboti/" rel="bookmark">научной работы учащегося. В задачах с параметрами содержится множество приёмов, необходимых не только для математического развития личности, но и и в любом другом научном исследовании. Поэтому решение задач с параметрами и в частности решение квадратных уравнений с параметрами является пропедевтикой научно-исследовательской работы учащихся. На ЕГЭ по математике (часто задания С5), ГИА (задания части 2) и на вступительных экзаменах встречаются, в основном, два типа задач с параметрами. Первый: «Для каждого значения параметра найти все решения некоторого уравнения или неравенства». Второй: «Найти все значения параметра, при каждом из которых для данного уравнения или неравенства выполняются некоторые условия». Соответственно и ответы в задачах этих двух типов различаются по существу. В ответе к задаче первого типа перечисляются все возможные значения параметра и для каждого из этих значений записываются решения уравнения. В ответе к задаче второго типа указываются все значения параметра, при которых выполняются условия, указанные в задаче.

Как известно, решению задач с параметрами в школе уделяется очень мало внимания. Поэтому решение задач с параметрами всегда вызывает большие трудности у учащихся; трудно рассчитывать на то, что учащиеся, подготовка которых не содержала «параметрическую терапию», смогут в жесткой атмосфере конкурсного экзамена успешно справиться с подобными задачами, следовательно, учащиеся должны специально готовиться к «встрече с параметрами». Многие учащиеся воспринимают параметр как «обычное» число. Действительно, в некоторых задачах параметр можно считать постоянной величиной, но это постоянная величина принимает неизвестные значения. Поэтому необходимо рассматривать задачу при всех возможных значениях этой постоянной величины. В других задачах бывает удобно искусственно объявить параметром одну из неизвестных.

Задачи с параметрами обладают диагностической и прогностической ценностью – с помощью задач с параметрами можно проверить знание основных разделов школьной математики, уровень математического и логического мышления, первоначальные навыки научно-исследовательской деятельности , а главное, перспективные возможности успешного овладения курсом математики данного вуза.

Анализ вариантов ЕГЭ по математике и вступительных экзаменов в различные вузы показывает, что большинство предлагаемых задач с параметрами связано с расположением корней квадратного трехчлена. Будучи основной в школьном курсе математики, квадратичная функция формирует обширный класс задач с параметрами, разнообразных по форме и содержанию, но объединенных общей идеей – в основе их решения лежат свойства квадратичной функции. При решении таких задач рекомендуется работать с тремя типами моделей:

1. вербальная модель – словесное описание задачи;

2. геометрическая модель – эскиз графика квадратичной функции;

3. аналитическая модель – система неравенств, при помощи которой описывается геометрическая модель.

Методическое пособие содержит теоремы о расположении корней квадратного трехчлена (необходимые и достаточные условия расположения корней квадратичной функции относительно заданных точек), применение теоремы Виета к решению квадратных уравнений с параметрами. Приведены подробные решения 15 задач с методическими рекомендациями . Назначение данного пособия – помочь выпускнику и учителю математики в подготовке к сдаче ЕГЭ и ГИА по математике, и вступительного экзамена в вуз в виде теста или в традиционной форме.

https://pandia.ru/text/80/021/images/image004.png" width="16" height="32 src="> - лежит правее прямой х = n (условие xb>n);

3. парабола пересекается с прямой х = n в точке, лежащей в верхней полуплоскости при a>0 и в точке, лежащей в нижней полуплоскости при а<0 (условие a∙f(n) >0).

https://pandia.ru/text/80/021/images/image007.png" width="266" height="264">.png" width="311" height="264">.png" width="280" height="240">.png" width="38" height="31 src=">.png" width="263" height="264">.png" width="266" height="264">.png" width="311" height="264">.png" width="280" height="264">.png" width="266" height="264">.png" width="263" height="264">.png" width="280" height="264">.png" width="311" height="264">.png" width="263" height="264">.png" width="266" height="264">.png" width="290" height="264">.png" width="266" height="264">.png" width="290" height="264">.png" width="266" height="264">.png" width="263" height="264">.png" width="266" height="264">.png" width="153" height="43 src=">

Теорема 10. Квадратные уравнения х2 + p1x + q1 = 0 и x2 + p2x + q2 = 0,

дискриминанты которых неотрицательны, имеют по крайней мере один общий корень тогда и только тогда, когда (q2 – q1)2 = (p2 – p1)(p1q2 – q1p2).

Доказательство.

Пусть f1(x) = x2 + p1x + q1, f2(x) = x2 + p2x + q2 и числа х1, х2 являются корнями уравнения f1(x) = 0. Для того чтобы уравнения f1(x) = 0 и f2(x) = 0 имели по крайней мере один общий корень, необходимо и достаточно, чтобы f1(x)∙f2(x) = 0, т. е. чтобы (x12 + p2x1 + q2)(x22 + p2x2 + q2) = 0. Представим последнее равенство в виде

(x12 + p1x1 + q1 + (p2 – p1)x1 + q2 – q1) (x22 + p1x2 + q1 + (p2 – p1)x2 + q2 – q1) = 0.

Поскольку х12 + p1x1 + q1 = 0 и x22 + p1x2 + q1 = 0, отсюда получаем

((p2 – p1)x1 + (q2 – q1))((p2 – p1)x2 + (q2 – q1)) = 0, т. е.

(p2 – p1)2x1x2 + (q2 – q1)(p2 – p1)(x1 + x2) + (q2 – q1)2 = 0.

По теореме Виета x1 +x2 = - p1 и x1x2 =q1; следовательно,

(p2 – p1)2q1 – (q2 – q1)(p2 - p1)p1 + (q2 – q1)2 = 0, или

(q2 – q1)2 = (p2 - p1)((q2 – q1)p1 - (p2 - p1)q1) = (p2 – p1)(q2p1 – q1p1 – p2q1 + p1q1) =

(p2 – p1)(q2p1 – p2q1), что и требовалось доказать.

https://pandia.ru/text/80/021/images/image040.png" width="116" height="65 src=">

Квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0

1) имеет два действительных положительных корня тогда и только тогда, когда одновременно выполняются условия:

;

2) имеет два действительных отрицательных корня тогда и только тогда, когда одновременно выполняются условия:

;

3) имеет два действительных корня разных знаков тогда и только тогда, когда одновременно выполняются условия:

;

4) имеет два действительных корня одного знака, если

Замечание 1. Если коэффициент при х 2 содержит параметр, необходимо разбирать случай, когда он обращается в нуль.

Замечание 2. Если дискриминант квадратного уравнения является полным квадратом, то вначале удобней найти явные выражения для его корней.

Замечание 3. Если уравнение, содержащее несколько неизвестных, является квадратным относительно одной из них, то часто ключом к решению задачи служит исследование его дискриминанта.

Приведем схему исследования задач, связанных с расположением корней квадратного трехчлена f (x ) = ax 2 + bx + c :

1.Исследование случая а = о (если первый коэффициент зависит от параметров).

2.Нахождение дискриминанта D в случае а≠0.

3.Если D - полный квадрат некоторого выражения, то нахождение корней х1, х2 и подчинение условиям задачи.

4..png" width="13" height="22 src=">3. Примеры решения задач для подготовки к ГИА и ЕГЭ по математике

Пример 1. Решите уравнение (a - 2)x 2 – 2ax + 2a – 3 = 0.

Решение. Рассмотрим два случая: а = 2 и а ≠ 2. в первом случае исходное уравнение принимает вид - 4х + 1 = 0..png" width="255" height="58 src=">

При а = 1 или а = 6 дискриминант равен нулю и квадратное уравнение имеет один корень: , т. е. при а = 1 получаем корень , а при а = 6 – корень .

При 1 < a < 6 дискриминант положителен и квадратное уравнение имеет два корня: https://pandia.ru/text/80/021/images/image053.png" width="163" height="24 src=">уравнение не имеет корней; при а = 1 уравнение имеет один корень х = -1; при уравнение имеет два корня ; при а = 2 уравнение имеет единственный корень ; при а = 6 уравнение имеет единственный корень .

Пример 2. При каком значении параметра а уравнение (а - 2)х 2 + (4 – 2а )х + 3 = 0 имеет единственный корень?

Решение . Если а = 2, то уравнение превращается в линейное∙х + 3 = 0; которое не имеет корней.

Если а ≠ 2, то уравнение – квадратное и имеет единственный корень при нулевом дискриминанте D .

D = 0 при а 1 = 2 и a 2 = 5. Значение а = 2 исключается, так как противоречит условию, что исходное уравнение – квадратное.

Ответ : а = 5.

(а - 1)х 2 + (2а + 3)х + а + 2 = 0 имеет корни одного знака?

Решение. Так как по условию задачи рассмотренное уравнение – квадратное, значит, а ≠ 1. очевидно, условие задачи предполагает также существование корней квадратного уравнения, что означает неотрицателность дискриминанта

D = (2a + 3)2 – 4(a - 1)(a + 2) = 8a + 17.

Так как по условию корни должны быть одинаковых знаков, то х 1∙х 2 > 0, т. е..png" width="149" height="21 src=">.С учетом условий D ≥ 0 и а ≠ 1 получим https://pandia.ru/text/80/021/images/image060.png" width="191" height="52 src=">.

Пример 3. Найти все значения а, для которых уравнение х2 – 2(а – 1)х + (2а + 1) = 0 имеет два положительных корня.

Решение. Из теоремы Виета для того чтобы оба корня х1 и х2 данного уравнения были положительными, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант квадратного трехчлена х2 – 2(а – 1)х + (2а + 1) был неотрицательным, а произведение х1∙х2 и сумма х1 + х2 были положительными. Получаем, что все а, удовлетворяющие системе

И только они, являются решениями поставленной задачи. Э та система равносильна системе

Решением которой, а следовательно, и самой задачи являются все числа из промежутка целиком находится между корнями квадратного уравнения х 2 -(2а+1)х+а-11=0?

Решение.

Рассмотрим квадратный трехчлен у(х)= х 2 -(2а+1)х+а-11

Графиком является парабола.

Геометрическая модель данной задачи представлена на рисунке.

Y (x )

X 1 -1 0 3 x 2 x

Y (-1)

Y (3)

При этих условиях Д>0, так как ветви параболы направлены вверх.

Ответ: а

Общий случай № 6.

При каких значениях параметра а корни квадратного трехчлена находятся вне заданного интервала (k ; m ), т.е. х 1 < k < m <х 2 .

х 2 -(2а+1)х+4-а=0 лежат по разные стороны числа от числа 3?

Решение.

Рассмотрим квадратный трехчлен у(х)= х 2 -(2а+1)х+4-а.

Графиком является парабола, ветви направлены вверх (первый коэффициент равен 1). Изобразим геометрическую модель задачи.

X 1 3 x 2 x

Y (3)

Перейдем от геометрической модели к аналитической.

Замечаем, что у(3)<0, а ветви параболы направлены вверх. При этих условиях Д>0 автоматически. +вх+с меньше некоторого числа к: х 1 ≤ х 2 <к

3. При каких значениях параметра а корни квадратного трехчлена ах 2 +вх+с принадлежат интервалу (к,т) к<х 1 ≤х 2 <т

4. При каких значениях параметра а только меньший корень квадратного трехчлена ах 2 +вх+с принадлежит заданному интервалу (к,т),т.е.к<х 1 <т<х 2

1.Изобразить геометрическую модель данной задачи.

2. Записать систему условий, к которой сводится решение данной задачи

1.Изобразить геометрическую модель данной задачи.

2. Записать систему условий, к которой сводится решение данной задачи

1.Изобразить геометрическую модель данной задачи.

2. Записать систему условий, к которой сводится решение данной задачи

Корни квадратного уравнения х 2 -4х-(а-1)(а-5)=0, больше чем 1.

Ответ: 2<а<4

Корни квадратного уравнения х 2 +(а+1)х-2а(а-1)=0, меньше чем 1.

Ответ:

-0,5<а<2

Корни квадратного уравнения х 2 -2ах+а=0, принадлежат интервалу (0;3).

Ответ: 1≤а< 9 / 5

Только меньший корень уравнения х 2 -2ах+а=0, принадлежит интервалу (0;3).

Ответ: 1≤а< 9 / 5
1.Изобразить геометрическую модель данной задачи.
2. Записать систему условий, к которой сводится решение данной задачи

1.Изобразить геометрическую модель данной задачи.

2. Записать систему условий, к которой сводится решение данной задачи

1.Изобразить геометрическую модель данной задачи.

2. Записать систему условий, к которой сводится решение данной задачи

Только больший корень уравнения х 2 +4х-(а+1)(а+5)=0, принадлежит промежутку [-1;0).

Ответ:(-5;-4]U[-2;-1)

Отрезок [-1;3] целиком находится между корнями квадратного уравнения х 2 -(2а+1)х+а-11=0.

Ответ:-1 <а<3

Корни квадратного уравнения х 2 -2(а+1)х+4-а=0, лежат по разные стороны от числа 3.

Ответ( 10 / 7 ;∞)

Спасибо за урок ребята!

При каком значении параметра a один корень уравнения

больше 1, а другой меньше 1?

Рассмотрим функцию -

Цель работы:

Исследование всевозможных особенностей расположения корней квадратного трехчлена относительно заданной точки и относительно заданного отрезка на основе свойств квадратичной функции и графических интерпретаций.
Применение изученных свойств при решении нестандартных задач с параметром.

Задачи:

Изучить различные приемы решения задач на основе исследования расположения корней квадратного трехчлена графическим методом.
Обосновать всевозможные особенности расположения корней квадратного трехчлена, разработать теоретические рекомендации для решения нестандартных задач с параметром.
Овладеть рядом технических и интеллектуальных математических умений, научится их использовать при решении задач.