Раскрой материала методом гаусса. Метод Гаусса для чайников: примеры решений
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Пусть нам требуется найти решение системы из n
линейных уравнений с n
неизвестными переменными
определитель основной матрицы которой отличен от нуля.
Суть метода Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных переменных: сначала исключается x 1 из всех уравнений системы, начиная со второго, далее исключается x 2 из всех уравнений, начиная с третьего, и так далее, пока в последнем уравнении останется только неизвестная переменная x n . Такой процесс преобразования уравнений системы для последовательного исключения неизвестных переменных называется прямым ходом метода Гаусса . После завершения прямого хода метода Гаусса из последнего уравнения находитсяx n , с помощью этого значения из предпоследнего уравнения вычисляется x n-1 , и так далее, из первого уравнения находится x 1 . Процесс вычисления неизвестных переменных при движении от последнего уравнения системы к первому называется обратным ходом метода Гаусса .
Кратко опишем алгоритм исключения неизвестных переменных.
Будем считать, что , так как мы всегда можем этого добиться перестановкой местами уравнений системы. Исключим неизвестную переменную x 1
из всех уравнений системы, начиная со второго. Для этого ко второму уравнению системы прибавим первое, умноженное на , к третьему уравнению прибавим первое, умноженное на , и так далее, к n-ому
уравнению прибавим первое, умноженное на . Система уравнений после таких преобразований примет вид
где , а .
К такому же результату мы бы пришли, если бы выразили x 1 через другие неизвестные переменные в первом уравнении системы и полученное выражение подставили во все остальные уравнения. Таким образом, переменная x 1 исключена из всех уравнений, начиная со второго.
Далее действуем аналогично, но лишь с частью полученной системы, которая отмечена на рисунке
Для этого к третьему уравнению системы прибавим второе, умноженное на , к четвертому уравнению прибавим второе, умноженное на , и так далее, к n-ому
уравнению прибавим второе, умноженное на . Система уравнений после таких преобразований примет вид
где , а . Таким образом, переменная x 2
исключена из всех уравнений, начиная с третьего.
Далее приступаем к исключению неизвестной x 3
, при этом действуем аналогично с отмеченной на рисунке частью системы
Так продолжаем прямой ход метода Гаусса пока система не примет вид
С этого момента начинаем обратный ход метода Гаусса: вычисляем x n из последнего уравнения как , с помощью полученного значения x n находим x n-1 из предпоследнего уравнения, и так далее, находим x 1 из первого уравнения.
Пример.
Решите систему линейных уравнений методом Гаусса.
Одним из простейших способов решения системы линейных уравнений является прием, основанный на вычислении определителей (правило Крамера ). Его преимущество состоит в том, что он позволяет сразу провести запись решения, особенно он удобен в тех случаях, когда коэффициенты системы являются не числами, а какими-то параметрами. Его недостаток – громоздкость вычислений в случае большого числа уравнений, к тому же правило Крамера непосредственно не применимо к системам, у которых число уравнений не совпадает с числом неизвестных. В таких случаях обычно применяют метод Гаусса .
Системы линейных уравнений, имеющие одно и то же множество решений, называются эквивалентными . Очевидно, что множество решений линейной системы не изменится, если какие-либо уравнения поменять местами, или умножить одно из уравнений на какое-либо ненулевое число, или если одно уравнение прибавить к другому.
Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных ) заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система приводится к эквивалентной системе ступенчатого вида. Сначала с помощью 1-го уравнения исключается x 1 из всех последующих уравнений системы. Затем с помощью2-го уравнения исключается x 2 из 3-го и всех последующих уравнений. Этот процесс, называемый прямым ходом метода Гаусса , продолжается до тех пор, пока в левой части последнего уравнения останется только одно неизвестное x n . После этого производится обратный ход метода Гаусса – решая последнее уравнение, находим x n ; после этого, используя это значение, из предпоследнего уравнения вычисляем x n –1 и т.д. Последним находим x 1 из первого уравнения.
Преобразования Гаусса удобно проводить, осуществляя преобразования не с самими уравнениями, а с матрицами их коэффициентов. Рассмотрим матрицу:
называемую расширенной матрицей системы, ибо в нее, кроме основной матрицы системы, включен столбец свободных членов. Метод Гаусса основан на приведении основной матрицы системы к треугольному виду (или трапециевидному виду в случае неквадратных систем) при помощи элементарных преобразованиях строк (!) расширенной матрицы системы.
Пример 5.1. Решить систему методом Гаусса:
Решение . Выпишем расширенную матрицу системы и, используя первую строку, после этого будем обнулять остальные элементы:
получим нули во 2-й, 3-й и 4-й строках первого столбца:
Теперь нужно чтобы все элементы во втором столбце ниже 2-й строки были равны нулю. Для этого можно умножить вторую строку на –4/7 и прибавить к 3-й строке. Однако чтобы не иметь дело с дробями, создадим единицу во 2-й строке второго столбца и только
Теперь, чтобы получить треугольную матрицу, нужно обнулить элемент четвертой строки 3-го столбца, для этого можно умножить третью строку на 8/54 и прибавить ее к четвертой. Однако чтобы не иметь дело с дробями поменяем местами 3-ю и 4-ю строки и 3-й и 4-й столбец и только после этого произведем обнуление указанного элемента. Заметим, что при перестановке столбцов меняются местами, соответствующие переменные и об этом нужно помнить; другие элементарные преобразования со столбцами (сложение и умножение на число) производить нельзя!
Последняя упрощенная матрица соответствует системе уравнений, эквивалентной исходной:
Отсюда, используя обратный ход метода Гаусса, найдем из четвертого уравнения x 3 = –1; из третьего x 4 = –2, из второго x 2 = 2 и из первого уравнения x 1 = 1. В матричном виде ответ записывается в виде
Мы рассмотрели случай, когда система является определенной, т.е. когда имеется только одно решение. Посмотрим, что получится, если система несовместна или неопределенна.
Пример 5.2. Исследовать систему методом Гаусса:
Решение . Выписываем и преобразуем расширенную матрицу системы
Записываем упрощенную систему уравнений:
Здесь, в последнем уравнении получилось, что 0=4, т.е. противоречие. Следовательно, система не имеет решения, т.е. она несовместна . à
Пример 5.3. Исследовать и решить систему методом Гаусса:
Решение . Выписываем и преобразуем расширенную матрицу системы:
В результате преобразований, в последней строке получились одни нули. Это означает, что число уравнений уменьшилось на единицу:
Таким образом, после упрощений осталось два уравнения, а неизвестных четыре, т.е. два неизвестных "лишних". Пусть "лишними", или, как говорят, свободными переменными , будут x 3 и x 4 . Тогда
Полагая x 3 = 2a и x 4 = b , получим x 2 = 1–a и x 1 = 2b –a ; или в матричном виде
Записанное подобным образом решение называется общим , поскольку, придавая параметрам a и b различные значения, можно описать все возможные решения системы. à
Пусть задана система линейных алгебраических уравнений, которую необходимо решить (найти такие значения неизвестных хi, что обращают каждое уравнение системы в равенство).
Мы знаем, что система линейных алгебраических уравнений может:
1) Не иметь решений (бытьнесовместной
).
2) Иметь бесконечно много решений.
3) Иметь единственное решение.
Как мы помним,правило Крамера и матричный методнепригодны в тех случаях, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна. Метод Гаусса – наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решения любой системы линейных уравнений , который в каждом случае приведет нас к ответу! Сам алгоритм метода во всех трёх случаях работает одинаково. Если в методах Крамера и матричном необходимы знания определителей, то для применения метода Гаусса необходимо знание только арифметических действий, что делает его доступным даже для школьников начальных классов.
Преобразования расширенной матрицы (это матрица системы - матрица, составленная только из коэффициентов при неизвестных, плюс столбец свободных членов) системы линейных алгебраических уравнений в методе Гаусса:
1) с троки матрицыможно переставлять местами.
2) если в матрице появились (или есть) пропорциональные (как частный случай – одинаковые) строки, то следуетудалить из матрицы все эти строки кроме одной.
3) если в матрице в ходе преобразований появилась нулевая строка, то ее также следует удалить .
4) строку матрицы можноумножить (разделить) на любое число,отличное от нуля.
5) к строке матрицы можноприбавить другую строку, умноженную на число , отличное от нуля.
В методе Гаусса элементарные преобразования не меняют решение системы уравнений.
Метод Гаусса состоит из двух этапов:
- «Прямой ход» - с помощью элементарных преобразований привести расширенную матрицу системы линейных алгебраических уравнений к «треугольному» ступенчатому виду: элементы расширенной матрицы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю (ход «сверху-вниз»). Например, к такому виду:
Для этого выполним следующие действия:
1) Пусть мы рассматриваем первое уравнение системы линейных алгебраических уравнений и коэффициент при х 1 равен К. Второе, третье и т.д. уравнения преобразуем следующим образом: каждое уравнение (коэффициенты при неизвестных, включая свободные члены) делим на коэффициент при неизвестном х 1 , стоящий в каждом уравнении, и умножаем на К. После этого из второго уравнения (коэффициенты при неизвестных и свободные члены) вычитаем первое. Получаем при х 1 во втором уравнении коэффициент 0. Из третьего преобразованного уравнения вычитаем первое уравнение, так до тех пор, пока все уравнения, кроме первого, при неизвестном х 1 не будут иметь коэффициент 0.
2) Переходим к следующему уравнению. Пусть это будет второе уравнение и коэффициент при х 2 равен М. Со всеми «нижестоящими» уравнениями поступаем так, как описано выше. Таким образом, «под» неизвестной х 2 во всех уравнениях будут нули.
3) Переходим к следующему уравнению и так до тех пора, пока не останется одна последняя неизвестная и преобразованный свободный член.
- «Обратный ход» метода Гаусса – получение решения системы линейных алгебраических уравнений (ход «снизу-вверх»). Из последнего «нижнего» уравнения получаем одно первое решение – неизвестную х n . Для этого решаем элементарное уравнение А*х n = В. В примере, приведенном выше, х 3 = 4. Подставляем найденное значение в «верхнее» следующее уравнение и решаем его относительно следующей неизвестной. Например, х 2 – 4 = 1, т.е. х 2 = 5. И так до тех пор, пока не найдем все неизвестные.
Пример.
Решим систему линейных уравнений методом Гаусса, как советуют некоторые авторы:
Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:
Смотрим на левую верхнюю «ступеньку». Там у нас должна быть единица. Проблема состоит в том, что в первом столбце единиц нет вообще, поэтому перестановкой строк ничего не решить. В таких случаях единицу нужно организовать с помощью элементарного преобразования. Обычно это можно сделать несколькими способами. Поступим так:
1 шаг
. К первой строке прибавляем вторую строку, умноженную на –1. То есть, мысленно умножили вторую строку на –1 и выполнили сложение первой и второй строки, при этом вторая строка у нас не изменилась.
Теперь слева вверху «минус один», что нас вполне устроит. Кто хочет получить +1, может выполнить дополнительное действие: умножить первую строку на –1 (сменить у неё знак).
2 шаг . Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 5. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3.
3 шаг . Первую строку умножили на –1, в принципе, это для красоты. У третьей строки также сменили знак и переставили её на второе место, таким образом, на второй «ступеньке у нас появилась нужная единица.
4 шаг . К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 2.
5 шаг . Третью строку разделили на 3.
Признаком, который свидетельствует об ошибке в вычислениях (реже – об опечатке), является «плохая» нижняя строка. То есть, если бы у нас внизу получилось что-нибудь вроде (0 0 11 |23) , и, соответственно, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, то с большой долей вероятности можно утверждать, что допущена ошибка в ходе элементарных преобразований.
Выполняем обратный ход, в оформлении примеров часто не переписывают саму систему, а уравнения «берут прямо из приведенной матрицы». Обратный ход, напоминаю, работает «снизу вверх». В данном примере получился подарок:
x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, следовательно x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1
Ответ :x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.
Решим эту же систему по предложенному алгоритму. Получаем
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
Разделим второе уравнение на 5, а третье – на 3. Получим:
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
Умножим второе и третье уравнения на 4, получим:
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
Вычтем из второго и третьего уравнений первое уравнение, имеем:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
Разделим третье уравнение на 0,64:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
Умножим третье уравнение на 0,4
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
Вычтем из третьего уравнения второе, получим «ступенчатую» расширенную матрицу:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
Таким образом, так как в процессе вычислений накапливалась погрешность, получаем х 3 = 0,96 или приблизительно 1.
х 2 = 3 и х 1 = –1.
Решая таким образом, Вы никогда не запутаетесь в вычислениях и не смотря на погрешности вычислений, получите результат.
Такой способ решения системы линейных алгебраических уравнений легко программируем и не учитывает специфические особенности коэффициентов при неизвестных, ведь на практике (в экономических и технических расчетах) приходиться иметь дело именно с нецелыми коэффициентами.
Желаю успехов! До встречи на занятиях! Репетитор .
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Две системы линейных уравнений называются равносильными, если множество всех их решений совпадает.
Элементарные преобразования системы уравнений - это:
- Вычеркивание из системы тривиальных уравнений, т.е. таких, у которых все коэффициенты равны нулю;
- Умножение любого уравнения на число, отличное от нуля;
- Прибавление к любому i -му уравнению любого j -то уравнения, умноженного на любое число.
Переменная x i называется свободной, если эта переменная не является разрешенной, а вся система уравнений - является разрешенной.
Теорема. Элементарные преобразования переводят систему уравнений в равносильную.
Смысл метода Гаусса заключается в том, чтобы преобразовать исходную систему уравнений и получить равносильную разрешенную или равносильную несовместную систему.
Итак, метод Гаусса состоит из следующих шагов:
- Рассмотрим первое уравнение. Выберем первый ненулевой коэффициент и разделим все уравнение на него. Получим уравнение, в которое некоторая переменная x i входит с коэффициентом 1;
- Вычтем это уравнение из всех остальных, умножая его на такие числа, чтобы коэффициенты при переменной x i в остальных уравнениях обнулились. Получим систему, разрешенную относительно переменной x i , и равносильную исходной;
- Если возникают тривиальные уравнения (редко, но бывает; например, 0 = 0), вычеркиваем их из системы. В результате уравнений становится на одно меньше;
- Повторяем предыдущие шаги не более n раз, где n - число уравнений в системе. Каждый раз выбираем для «обработки» новую переменную. Если возникают противоречивые уравнения (например, 0 = 8), система несовместна.
В результате через несколько шагов получим либо разрешенную систему (возможно, со свободными переменными), либо несовместную. Разрешенные системы распадаются на два случая:
- Число переменных равно числу уравнений. Значит, система определена;
- Число переменных больше числа уравнений. Собираем все свободные переменные справа - получаем формулы для разрешенных переменных. Эти формулы так и записываются в ответ.
Вот и все! Система линейных уравнений решена! Это довольно простой алгоритм, и для его освоения вам не обязательно обращаться к репетитору высшей по математике. Рассмотрим пример:
Задача. Решить систему уравнений:
![](https://i2.wp.com/berdov.com/img/works/algebra/gauss/formula2.png)
Описание шагов:
- Вычитаем первое уравнение из второго и третьего - получим разрешенную переменную x 1 ;
- Умножаем второе уравнение на (−1), а третье уравнение делим на (−3) - получим два уравнения, в которых переменная x 2 входит с коэффициентом 1;
- Прибавляем второе уравнение к первому, а из третьего - вычитаем. Получим разрешенную переменную x 2 ;
- Наконец, вычитаем третье уравнение из первого - получаем разрешенную переменную x 3 ;
- Получили разрешенную систему, записываем ответ.
Общее решение совместной системы линейных уравнений - это новая система, равносильная исходной, в которой все разрешенные переменные выражены через свободные.
Когда может понадобиться общее решение? Если приходится делать меньше шагов, чем k (k - это сколько всего уравнений). Однако причин, по которым процесс заканчивается на некотором шаге l < k , может быть две:
- После l -го шага получилась система, которая не содержит уравнения с номером (l + 1). На самом деле это хорошо, т.к. разрешенная система все равно получена - даже на несколько шагов раньше.
- После l -го шага получили уравнение, в котором все коэффициенты при переменных равны нулю, а свободный коэффициент отличен от нуля. Это противоречивое уравнение, а, следовательно, система несовместна.
Важно понимать, что возникновение противоречивого уравнения по методу Гаусса - это достаточное основание несовместности. При этом заметим, что в результате l -го шага не может остаться тривиальных уравнений - все они вычеркиваются прямо в процессе.
![](https://i2.wp.com/berdov.com/img/works/algebra/gauss/formula4.png)
Описание шагов:
- Вычитаем первое уравнение, умноженное на 4, из второго. А также прибавляем первое уравнение к третьему - получим разрешенную переменную x 1 ;
- Вычитаем третье уравнение, умноженное на 2, из второго - получим противоречивое уравнение 0 = −5.
Итак, система несовместна, поскольку обнаружено противоречивое уравнение.
Задача. Исследовать совместность и найти общее решение системы:
![](https://i1.wp.com/berdov.com/img/works/algebra/gauss/formula6.png)
Описание шагов:
- Вычитаем первое уравнение из второго (предварительно умножив на два) и третьего - получим разрешенную переменную x 1 ;
- Вычитаем второе уравнение из третьего. Поскольку все коэффициенты в этих уравнениях совпадают, третье уравнение превратится в тривиальное. Заодно умножим второе уравнение на (−1);
- Вычитаем из первого уравнения второе - получим разрешенную переменную x 2 . Вся система уравнений теперь тоже разрешенная;
- Поскольку переменные x 3 и x 4 - свободные, переносим их вправо, чтобы выразить разрешенные переменные. Это и есть ответ.
Итак, система совместная и неопределенная, поскольку есть две разрешенных переменных (x 1 и x 2) и две свободных (x 3 и x 4).
Здесь вы сможете бесплатно решить систему линейных уравнений методом Гаусса онлайн больших размеров в комплексных числах с очень подробным решением. Наш калькулятор умеет решать онлайн как обычную определенную, так и неопределенную систему линейных уравнений методом Гаусса, которая имеет бесконечное множество решений. В этом случае в ответе вы получите зависимость одних переменных через другие, свободные. Также можно проверить систему уравнений на совместность онлайн, используя решение методом Гаусса.
О методе
При решении системы линейных уравнений онлайн методом Гаусса выполняются следующие шаги.
- Записываем расширенную матрицу.
- Фактически решение разделяют на прямой и обратный ход метода Гаусса. Прямым ходом метода Гаусса называется приведение матрицы к ступенчатому виду. Обратным ходом метода Гаусса называется приведение матрицы к специальному ступенчатому виду. Но на практике удобнее сразу занулять то, что находится и сверху и снизу рассматриваемого элемента. Наш калькулятор использует именно этот подход.
- Важно отметить, что при решении методом Гаусса, наличие в матрице хотя бы одной нулевой строки с НЕнулевой правой частью (столбец свободных членов) говорит о несовместности системы. Решение линейной системы в таком случае не существует.
Чтобы лучше всего понять принцип работы алгоритма Гаусса онлайн введите любой пример, выберите "очень подробное решение" и посмотрите его решение онлайн.