Непараметрические методы обработки данных. Параметрические и непараметрические методы. Предельные теоремы теории вероятностей

Последнее обновление: 14.09.2018

Особый класс операций представляют поразрядные операции. Они выполняются над отдельными разрядами числа. В этом плане числа рассматриваются в двоичном представлении, например, 2 в двоичном представлении 10 и имеет два разряда, число 7 - 111 и имеет три разряда.

Логические операции

    & (логическое умножение)

    Умножение производится поразрядно, и если у обоих операндов значения разрядов равно 1, то операция возвращает 1, иначе возвращается число 0. Например:

    Int x1 = 2; //010 int y1 = 5;//101 Console.WriteLine(x1&y1); // выведет 0 int x2 = 4; //100 int y2 = 5; //101 Console.WriteLine(x2 & y2); // выведет 4

    В первом случае у нас два числа 2 и 5. 2 в двоичном виде представляет число 010, а 5 - 101. Поразрядно умножим числа (0*1, 1*0, 0*1) и в итоге получим 000.

    Во втором случае у нас вместо двойки число 4, у которого в первом разряде 1, так же как и у числа 5, поэтому в итоге получим (1*1, 0*0, 0 *1) = 100, то есть число 4 в десятичном формате.

    | (логическое сложение)

    Похоже на логическое умножение, операция также производится по двоичным разрядам, но теперь возвращается единица, если хотя бы у одного числа в данном разряде имеется единица. Например:

    Int x1 = 2; //010 int y1 = 5;//101 Console.WriteLine(x1|y1); // выведет 7 - 111 int x2 = 4; //100 int y2 = 5;//101 Console.WriteLine(x2 | y2); // выведет 5 - 101

    ^ (логическое исключающее ИЛИ)

    Также эту операцию называют XOR, нередко ее применяют для простого шифрования:

    Int x = 45; // Значение, которое надо зашифровать - в двоичной форме 101101 int key = 102; //Пусть это будет ключ - в двоичной форме 1100110 int encrypt = x ^ key; //Результатом будет число 1001011 или 75 Console.WriteLine("Зашифрованное число: " +encrypt); int decrypt = encrypt ^ key; // Результатом будет исходное число 45 Console.WriteLine("Расшифрованное число: " + decrypt);

    Здесь опять же производятся поразрядные операции. Если у нас значения текущего разряда у обоих чисел разные, то возвращается 1, иначе возвращается 0. Таким образом, мы получаем из 9^5 в качестве результата число 12. И чтобы расшифровать число, мы применяем ту же операцию к результату.

    ~ (логическое отрицание или инверсия)

    Еще одна поразрядная операция, которая инвертирует все разряды: если значение разряда равно 1, то оно становится равным нулю, и наоборот.

    Int x = 12; // 00001100 Console.WriteLine(~x); // 11110011 или -13

Представление отрицательных чисел

Для записи чисел со знаком в C# применяется дополнительный код (two’s complement), при котором старший разряд является знаковым. Если его значение равно 0, то число положительное, и его двоичное представление не отличается от представления беззнакового числа. Например, 0000 0001 в десятичной системе 1.

Если старший разряд равен 1, то мы имеем дело с отрицательным числом. Например, 1111 1111 в десятичной системе представляет -1. Соответственно, 1111 0011 представляет -13.

Чтобы получить из положительного числа отрицательное, его нужно инвертировать и прибавить единицу:

Int x = 12; int y = ~x; y += 1; Console.WriteLine(y); // -12

Операции сдвига

Операции сдвига также производятся над разрядами чисел. Сдвиг может происходить вправо и влево.

    x<

    x>>y - сдвигает число x вправо на y разрядов. Например, 16>>1 сдвигает число 16 (которое в двоичном представлении 10000) на один разряд вправо, то есть в итоге получается 1000 или число 8 в десятичном представлении.

Таким образом, если исходное число, которое надо сдвинуть в ту или другую строну, делится на два, то фактически получается умножение или деление на два. Поэтому подобную операцию можно использовать вместо непосредственного умножения или деления на два.

Разделы на этой странице:

Поразрядные операторы

В C# предусмотрен ряд поразрядных операторов, расширяющих круг задач, для решения которых можно применять С#. Поразрядные операторы воздействуют на отдельные двоичные разряды (биты) своих операндов. Они определены только для целочисленных операндов, поэтому их нельзя применять к данным типа bool, float или double.

Эти операторы называются поразрядными , поскольку они служат для проверки, установки или сдвига двоичных разрядов, составляющих целое значение. Среди прочего поразрядные операторы применяются для решения самых разных задач программирования на уровне системы, включая, например, анализ информации состояния устройства. Все доступные в C# поразрядные операторы приведены в табл. 4.1.

Таблица 4.1. Поразрядные операторы

Оператор Значение
& Поразрядное И
| Поразрядное ИЛИ
^ Поразрядное исключающее ИЛИ
>> Сдвиг вправо
<< Сдвиг влево
~ Дополнение до 1 (унарный оператор НЕ)

Поразрядные операторы И, ИЛИ, исключающее ИЛИ и НЕ

Поразрядные операторы И, ИЛИ, исключающее ИЛИ и НЕ обозначаются следующим образом: &, |, ^ и ~. Они выполняют те же функции, что и их логические аналоги, рассмотренные выше. Но в отличие от логических операторов, поразрядные операторы действуют на уровне отдельных двоичных разрядов. Ниже приведены результаты поразрядных операций с двоичными единицами и нулями.

р q р & q p | q p ^ q ~р
0 0 0 0 0 1
1 0 0 1 1 0
0 1 0 1 1 1
1 1 1 1 0 0

С точки зрения наиболее распространенного применения поразрядную операцию И можно рассматривать как способ подавления отдельных двоичных разрядов. Это означает, что если какой-нибудь бит в любом из операндов равен 0, то соответствующий бит результата будет сброшен в 0. Например:

1101 0011
1010 1010
&_________
1000 0010

В приведенном ниже примере программы демонстрируется применение поразрядного оператора & для преобразования нечетных чисел в четные. Для этой цели достаточно сбросить младший разряд числа. Например, число 9 имеет следующий двоичный вид: 0000 1001. Если сбросить младший разряд этого числа, то оно станет числом 8, а в двоичной форме - 0000 1000.

// Применить поразрядный оператор И, чтобы сделать число четным.
using System;
class MakeEven {
static void Main() {
ushort num; ushort i;
for(i =1; i <= 10; i++) {
num = i;

num = (ushort) (num & 0xFFFE);
Console.WriteLine("num после сброса младшего разряда: "
+ num + "n");
}
}
}

num: 1
num после сброса младшего разряда: 0
num: 2

num: 3
num после сброса младшего разряда: 2
num: 4

num: 5
num после сброса младшего разряда: 4
num: 6

num: 7
num после сброса младшего разряда: 6
num: 8

num: 9
num после сброса младшего разряда: 8
num: 10
num после сброса младшего разряда: 10

Шестнадцатеричное значение 0xFFFE, используемое в поразрядном операторе И, имеет следующую двоичную форму: 1111 1111 1111 1110. Таким образом, поразрядная операция И оставляет без изменения все двоичные разряды в числовом значении переменной num, кроме младшего разряда, который сбрасывается в нуль. В итоге четные числа не претерпевают никаких изменений, а нечетные уменьшаются на 1 и становятся четными.

Поразрядным оператором И удобно также пользоваться для определения установленного или сброшенного состояния отдельного двоичного разряда. В следующем примере программы определяется, является ли число нечетным.

// Применить поразрядный оператор И, чтобы определить,
// является ли число нечетным.
using System;
class IsOdd {
static void Main() {
ushort num;
num = 10;
if((num & 1) == 1)
Console.WriteLine("He выводится.") ;
num = 11;
if((num & 1) == 1)
Console.WriteLine(num + " - нечетное число.");
}
}

Вот как выглядит результат выполнения этой программы.

11 - нечетное число.

В обоих операторах if из приведенной выше программы выполняется поразрядная операция И над числовыми значениями переменной num и 1. Если младший двоичный разряд числового значения переменной num установлен, т.е. содержит двоичную 1, то результат поразрядной операции num & 1 оказывается равным 1. В противном случае он равен нулю. Поэтому оператор i f может быть выполнен успешно лишь в том случае, если проверяемое число оказывается нечетным.

Возможностью проверять состояние отдельных двоичных разрядов с помощью поразрядного оператора & можно воспользоваться для написания программы, в которой отдельные двоичные разряды проверяемого значения типа byte приводятся в двоичной форме. Ниже показан один из способов написания такой программы.

// Показать биты, составляющие байт.
using System;
class ShowBits {
static void Main() {
int t;
byte val;
val = 123;
for(t=128; t > 0; t = t/2) {


}
}
}

Выполнение этой программы дает следующий результат.

0 1 1 1 1 0 1 1

В цикле for из приведенной выше программы каждый бит значения переменной val проверяется с помощью поразрядного оператора И, чтобы выяснить, установлен ли этот бит или сброшен. Если он установлен, то выводится цифра 1, а если сброшен, то выводится цифра 0.

Поразрядный оператор ИЛИ может быть использован для установки отдельных двоичных разрядов. Если в 1 установлен какой-нибудь бит в любом из операндов этого оператора, то в 1 будет установлен и соответствующий бит в другом операнде. Например:

1101 0011
1010 1010
|_________
1111 1011

Используя поразрядный оператор ИЛИ, можно без особого труда превратить упоминавшийся выше пример программы, преобразующей нечетные числа в четные, в приведенный ниже обратный пример, где четные числа преобразуются в нечетные.

// Применить поразрядный оператор ИЛИ, чтобы сделать число нечетным.
using System;
class MakeOdd {
static void Main() {
ushort num;
ushort i;
for(i = 1; i <= 10; i++) {
num = i;
Console.WriteLine("num: " + num);
num = (ushort) (num | 1);
Console.WriteLine("num после установки младшего разряда: "
+ num + "n");
}
}
}

Результат выполнения этой программы выглядит следующим образом.

num: 1
num после установки младшего разряда: 1
num: 2

num: 3
num после установки младшего разряда: 3
num: 4

num: 5
num после установки младшего разряда: 5
num: 6

num: 7
num после установки младшего разряда: 7
num: 8

num: 9
num после установки младшего разряда: 9
num: 10
num после установки младшего разряда: 11

В приведенной выше программе выполняется поразрядная операция ИЛИ над каждым числовым значением переменной num и 1, поскольку 1 дает двоичное значение, в котором установлен младший разряд. В результате поразрядной операции ИЛИ над 1 и любым другим значением младший разряд последнего устанавливается, тогда как все остальные разряды остаются без изменения. Таким образом, результирующее числовое значение получается нечетным, если исходное значение было четным.

Поразрядный оператор исключающее ИЛИ устанавливает двоичный разряд операнда в том и только в том случае, если двоичные разряды сравниваемых операндов оказываются разными, как в приведенном ниже примере.

0111 1111
1011 1001
^_________
1100 0110

У поразрядного оператора исключающее ИЛИ имеется одно интересное свойство, которое оказывается полезным в самых разных ситуациях. Так, если выполнить сначала поразрядную операцию исключающее ИЛИ одного значения X с другим значением Y, а затем такую же операцию над результатом предыдущей операции и значением Y, то вновь получится первоначальное значение X. Это означает, что в приведенном ниже фрагменте кода

R1 = X ^ Y;
R2 = R1 ^ Y;

значение переменной R2 оказывается в итоге таким же, как и значение переменной X. Следовательно, в результате двух последовательно выполняемых поразрядных операций исключающее ИЛИ, в которых используется одно и то же значение, получается первоначальное значение. Этим свойством данной операции можно воспользоваться для написания простой программы шифрования, в которой некоторое целое значение служит в качестве ключа для кодирования и декодирования сообщения с помощью операции исключающее ИЛИ над символами этого сообщения. В первый раз операция исключающее ИЛИ выполняется для кодирования открытого текста в зашифрованный, а второй раз - для декодирования зашифрованного текста в открытый. Разумеется, такое шифрование не представляет никакой практической ценности, поскольку оно может быть легко разгадано. Тем не менее оно служит интересным примером для демонстрации результатов применения поразрядных операторов исключающее ИЛИ, как в приведенной ниже программе.

// Продемонстрировать применение поразрядного оператора исключающее ИЛИ.

using System;
class Encode {
static void Main() {
char ch1 = "H";
char ch2 = "i" ;
char ch3 = "!";
int key = 88;
Console.WriteLine("Исходное сообщение: " + ch1 + ch2 + ch3) ;
// Зашифровать сообщение,
ch1 = (char) (ch1 ^ key);
ch2 = (char) (ch2 ^ key);
ch3 = (char) (ch3 ^ key);
Console.WriteLine("Зашифрованное сообщение: " + ch1 + ch2 + ch3);
// Расшифровать сообщение.
ch1 = (char) (ch1 ^ key);
ch2 = (char) (ch2 ^ key);
ch3 = (char) (ch3 ^ key);
Console.WriteLine("Расшифрованное сообщение: " + ch1 + ch2 + ch3);
}
}

Исходное сообщение: Hi!
Зашифрованное сообщение: Qly
Расшифрованное сообщение: Hi!

Как видите, в результате выполнения двух последовательностей поразрядных операций исключающее ИЛИ получается расшифрованное сообщение. (Еще раз напомним, что такое шифрование не имеет никакой практической ценности, поскольку оно, в сущности, ненадежно.)

Поразрядный унарный оператор НЕ (или оператор дополнения до 1) изменяет на обратное состояние всех двоичных разрядов операнда. Так, если некоторое целое значение А имеет комбинацию двоичных разрядов 1001 0110, то в результате поразрядной операции ~А получается значение с комбинацией двоичных разрядов 0110 1001.

В следующем примере программы демонстрируется применение поразрядного оператора НЕ с выводом некоторого числа и его дополнения до 1 в двоичном коде.

// Продемонстрировать применение поразрядного унарного оператора НЕ.
using System;
class NotDemo {
static void Main() {
sbyte b = -34;
for(int t=128; t > 0; t = t/2) {

}
Console.WriteLine();
// обратить все биты b = (sbyte) ~b;
b = (sbyte) ~b;
for(int t=128; t > 0; t = t/2) {
if((b & t) != 0) Console.Write("1 ");
if((b & t) == 0) Console.Write("0 ");
}
}
}

Результат выполнения этой программы приведен ниже.

1 1 0 1 1 1 1 0
0 0 1 0 0 0 0 1

Операторы сдвига

В C# имеется возможность сдвигать двоичные разряды, составляющие целое значение, влево или вправо на заданную величину. Для этой цели в C# определены два приведенных ниже оператора сдвига двоичных разрядов.

<< Сдвиг влево
>> Сдвиг вправо

Ниже приведена общая форма для этих операторов:

значение « число_битов
значение » число_битов

где число_битов - это число двоичных разрядов, на которое сдвигается указанное значение.

При сдвиге влево все двоичные разряды в указываемом значении сдвигаются на одну позицию влево, а младший разряд сбрасывается в нуль. При сдвиге вправо все двоичные разряды в указываемом значении сдвигаются на одну позицию вправо. Если вправо сдвигается целое значение без знака, то старший разряд сбрасывается в нуль. А если вправо сдвигается целое значение со знаком, то разряд знака сохраняется. Напомним, что для представления отрицательных чисел старший разряд целого числа устанавливается в 1. Так, если сдвигаемое значение является отрицательным, то при каждом сдвиге вправо старший разряд числа устанавливается в 1. А если сдвигаемое значение является положительным, то при каждом сдвиге вправо старший разряд числа сбрасывается в нуль.

При сдвиге влево и вправо крайние двоичные разряды теряются. Восстановить потерянные при сдвиге двоичные разряды нельзя, поскольку сдвиг в данном случае не является циклическим.

Ниже приведен пример программы, наглядно демонстрирующий действие сдвига влево и вправо. В данном примере сначала задается первоначальное целое значение, равное 1. Это означает, что младший разряд этого значения установлен. Затем это целое значение сдвигается восемь раз подряд влево. После каждого сдвига выводятся восемь младших двоичных разрядов данного значения. Далее процесс повторяется, но на этот раз 1 устанавливается на позиции восьмого разряда, а по существу, задается целое значение 128, которое затем сдвигается восемь раз подряд вправо.

// Продемонстрировать применение операторов сдвига.
using System;
class ShiftDemo {
static void Main() {
int val = 1;
for(int i = 0; i < 8; i++) {
for(int t=128; t > 0; t = t/2) {
if((val & t) != 0) Console.Write("1 ");
if((val & t) == 0) Console.Write("0 ");
}
Console.WriteLine();
val = val << 1; // сдвиг влево
}
Console.WriteLine() ;
val = 128;
for(int i = 0; i < 8; i++) {
for(int t=128; t > 0; t = t/2) {
if((val & t) != 0) Console.Write("1 ");
if((val & t) == 0) Console.Write("0 ");
}
Console.WriteLine();
val = val >>1; // сдвиг вправо
}
}
}

Результат выполнения этой программы выглядит следующим образом.

0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 1

Двоичные разряды соответствуют форме представления чисел в степени 2, и поэтому операторы сдвига могут быть использованы для умножения или деления целых значений на 2. Так, при сдвиге вправо целое значение удваивается, а при сдвиге влево - уменьшается наполовину. Разумеется, все это справедливо лишь в том случае, если крайние разряды не теряются при сдвиге в ту или иную сторону. Ниже приведен соответствующий пример.

// Применить операторы сдвига для умножения и деления на 2.
using System;
class MultDiv {
static void Main() {
int n;
n = 10;
Console.WriteLine("Значение переменной n: " + n) ;
// Умножить на 2.
n = n << 1;
"операции n = n * 2: " + n) ;
// Умножить на 4.
n = n << 2;
Console.WriteLine("Значение переменной n: после " +
"операции n = n * 4: " + n) ;
// Разделить на 2.
n = n >> 1;
Console.WriteLine("Значение переменной n: после " +
"операции n = n / 2: " + n) ;
// Разделить на 4.
n = n >> 2;
Console.WriteLine("Значение переменной n: после " +
"операции n = n / 4: " + n) ;

Console.WriteLine();

// Установить переменную n в исходное состояние,
n = 10;
Console.WriteLine("Значение переменной n: " + n);
// Умножить на 2 тридцать раз.
n = n << 30; // данные теряются
Console.WriteLine("Значение переменной n после " +
"сдвига на 30 позиций влево: " + n);
}
}

Ниже приведен результат выполнения этой программы.

Значение переменной n: 10
Значение переменной n: после операции n = n * 2: 20
Значение переменной n: после операции n = n * 4: 80
Значение переменной n: после операции n = n / 2: 40
Значение переменной n: после операции n = n / 4: 10
Значение переменной n: 10
Значение переменной n после сдвига на 30 позиций влево: -2147483648

Обратите внимание на последнюю строку приведенного выше результата. Когда целое значение 10 сдвигается влево тридцать раз подряд, информация теряется, поскольку двоичные разряды сдвигаются за пределы представления чисел для типа int. В данном случае получается совершенно ""непригодное" значение, которое оказывается к тому же отрицательным, поскольку в результате сдвига в старшем разряде, используемом в качестве знакового, оказывается 1, а следовательно, данное числовое значение должно интерпретироваться как отрицательное. Этот пример наглядно показывает, что применять операторы сдвига для умножения или деления на 2 следует очень аккуратно. (Подробнее о типах данных со знаком и без знака см. в главе 3.)

Поразрядные составные операторы присваивания

Все двоичные поразрядные операторы могут быть использованы в составных операциях присваивания. Например, в двух приведенных ниже операторах переменной х присваивается результат выполнения операции исключающее ИЛИ над первоначальным значением переменной х и числовым значением 127.

х = х ^ 127;
х ^ = 127;

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Красноярского края

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Сибирский государственный аэрокосмический университет

имени академика М.Ф. Решетнева»

Кафедра системного анализа и исследования операций

по теме: «Параметрические и непараметрические методы оценивания»

Выполнил студент

группы БС 11-01

Малаховский М. А.

Проверил преподаватель

Медведев А.В.

Красноярск 2013

ВВЕДЕНИЕ

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Параметрические методы оценки

Непараметрические методы оценки

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Практическая часть №1

Практическая часть №2

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ

В последние годы сравнительно остро возникла проблема решения разнообразных задач кибернетики в условиях, когда объем априорной информации об исследуемом процессе или объекте оказывается довольно малым, и сведения о функции цели, ограничениях, действующих на него, не являются исчерпывающими. Это объясняется тем фактом, что быстрая замена одних технологических процессов другими, замена технологического оборудования или его модернизация приводят к необходимости развития методов и подходов построения разнообразных адаптивных систем, способных в процессе функционирования, с целью рационального ведения этих процессов, улучшать свои рабочие характеристики. Потребность в построении обучающихся систем возникает не только в технологических и производственных процессах, но и в других областях деятельности человека (экономика, медицина, социология, биология и т.п.). По существу речь идет об исследуемом объекте и достаточному для математической постановки задачи, которая имеет место в каждом конкретном случае.

Непараметрическая статистика, в частности стохастические аппроксимации различных типов, явились основой для разработки соответствующих адаптивных систем. Последние сохраняют основные свойства стохастических аппроксимаций, которые были положены в основу при их синтезе, и тесно связаны с объемом априорной информации. В данном реферате основное внимание уделяется изложению информации о параметрических и непараметрических системах адаптации.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Параметрические методы оценки

Процедура Роббинса-Монро

Пусть f(x) - некоторая неизвестная функция, значения которой могут быть измерены в любой точке x E 1 . Функция f(x) - монотонная, непрерывная и имеет единственный корень f(x)=0 в точке x 0 . Задача состоит в том, чтобы выработать такой план эксперимента, чтобы x s x 0 при s. Наблюдения y s =f(x s) статически независимы. Тогда имеем

y s +1 (x s , )=f (x s )+g (s +1,x s , (s +1, )),

где (s,) - последовательность независимых случайных величин, определенным на некотором вероятностном пространстве (,U,P) - элементарные случайные события, причем M{g(s,x,)}=0 при любых xE 1 . Для решения этой задачи Роббинса-Монро предложена следующая процедура

x s +1 =x s + s f s +1 (x s , ),

где x 0 - произвольное число. Последовательность положительных чисел s удовлетворяет условиям Роббинса-Монро

Первое из этих условий необходимо для сходимости x s к x 0 при s даже при отсутствии случайных ошибок. Иными словами, необходимо, чтобы s были не слишком малыми. с другой стороны s должны быть не слишком большими, в противном случае случайные ошибки нарушают эту сходимость, поэтому необходимо выполнение второго условия (1.4.5).

Теорема 1.1. Пусть выполнены неравенства:

1) sup f (x )(x-x 0)<0 >0,

<x-x 0 < -1 ,

2) f 2 (x )+M {g 2 (s,x, )}<b (1-x 2), b>0 - постоянная.

Тогда при выполнении условий Роббинса-Монро для любого xЕ 1 , процесс x s , определяемый (1.4.4), сходится с вероятностью 1 при s к корню уравнения f(x)=0, т.е. к x 0 и

P {lim x s =x 0 }=1.

Можно также показать, что x s сходится к x 0 в среднеквадратическом.

Алгоритм Литвакова

Алгоритм Литвакова позволяет отыскать близкое к оптимальному значение вектора параметров с помощью следующей процедуры

при не оптимальном.

Сущность его состоит в следующем.

Пусть дана обучающая выборка объема. Положив и, где а - некоторая постоянная, осуществляется итеративный процесс вычислений по формуле на п -ом шаге находится, которое принимается в качестве нового начального условия и процесс вычислений продолжается по той же самой выборке.

В результате получаем оценку. Продолжая этот процесс к -раз, найдем оценку. Результат Литвакова и состоит в том, что оценка для достаточно больших к (точнее) приближается к. Во многих практических задачах к не превышает 5.

Алгоритм Кестена

Известно, что скорость сходимости рекуррентных вероятностных алгоритмов типа при определяется степенным знаком - это следствие влияние помех. Если бы помехи отсутствовали, то следовало бы и скорость сходимости при этом возрастает и определяется показательным законом.

Сущность алгоритма Кестена состоит в том, что вдали от роль помех при измерениях мала и разность будет иметь постоянный знак, а вблизи знак уже существенно зависит от помех и будет меняться. Поэтому в алгоритме Кестена не меняется, когда разность уже не меняет своего знака, и меняется, если знак изменяется.

Чтобы определить разность необходимо по крайней мере два наблюдения. Поэтому и выбираются произвольно (обычно равными единице). Дальнейшее определение подчинено правилу

где целочисленная функция, определяемая выражением

где z - произвольный аргумент.

Непараметрические методы оценки

Здесь мы рассмотрим стохастические аппроксимации непараметрического типа. Основным их отличительным свойством от известных является отсутствие этапа выбора конкретной формы аппроксимирующего полинома с точностью до вектора параметров.

Непараметрические аппроксимации основаны на соответствующих оценках плотности вероятности, введенных Парзеном Е. в 1962 г.

Непараметрическая оценка плотности вероятности

Пусть х i ., статически независимые наблюдения случайной величины х, распределенной с плотностью вероятности р(х). Естественно связать с каждой точкой дельта функцию, тогда статистика

оказывается несмещенной оценкой р(х) .

Действительно, вычислим M{p(x)}:

Поскольку p(x 1)=p(x 2)=…=p(x n),то и

Следовательно,

Применяя известное свойство д-функции, получим а это и означает несмещенность данной оценки, но она не может быть использована в конкретных расчетах, поэтому естественно д-функцию "размазать" в окрестности точки

где уже не дельта-функция, но обращается в последнюю при n>?.Далее, в качестве мы будем рассматривать следующий тип колоколообразных функций

Тогда оценка p n (x)примет вид

где интегрируемая с квадратом функция Ф такова, что

а параметр С n (коэффициент размытости) удовлетворяет условиям:

C n >0, n=1,2…,

Непараметрическая оценка кривой регрессии

Пусть имеется статически независимые наблюдения двух случайных величин (х,у)=(х 1 ,у 1),…,(х n ,у n), распределенных с неизвестной плотностью вероятности Р(х,у). Предполагается, что р(х)>0 x(x). При аппроксимации неизвестных стохастических зависимостей у от х часто используют регрессию у по х:

непараметрическая оценка которой, как известно, имеет вид

Данную оценку можно получить из подстановкой в нее непараметрической оценки двумерной плотности вероятности Р(х,у) и при условии, что

Выполнение последнего требования всюду в дальнейшем предполагается.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Практическая часть №1

Постановка цели

В первой части практической работы необходимо получить приближение зависимости, используя параметрические методы оценки.

Заранее известна функция, для которой нужно получить приближение - 1)y=0,35*cos(0.5x) - пробный эксперимент; 2)y=sin(0.5x). Исходя из зависимости, необходимо сформировать выборку, с помощью которой собственно и необходимо оценить параметры для приближения.

Практические результаты

Хотелось бы отметить, что, так как зависимость заранее известна и на заданном промежутке данная кривая схожа с прямой, параметр оценки всего один. Это сделано, прежде всего, для лучшего понимания процесса.

Для приближения не случайно выбрана несовпадающая структура, это вносит некоторые помехи в выборочные значения.

В данной работе использовалось процедура Робинса-Монро, которая была оптимизирована с помощью алгоритмов Литвакова и Кестона. В результате этой оптимизации, параметр не влияет на оценку параметра. Доказательством чего является процесс сходимости при разных.

1)y=0,35*cos(0.5x) - пробный эксперимент

В качестве приближения была выбрана следующая зависимость -

При выборке n=100

Увеличим выборку (n=400):

В качестве приближения возьмем -

При сходимости по параметрам, но при неправильном выборе структуры, модель может быть неадекватной реальному объекту или процессу, требуют знания структуры.

В качестве приближения была выбрана следующая зависимость -

В целом, можно отметить, что полученные результаты достаточно неплохи, потому что график функции и приближения схожи, а значение среднеквадратической ошибки не так велико.

Вывод: При сходимости по параметрам, но при неправильном выборе структуры, модель может быть неадекватной реальному объекту или процессу, требуют знания структуры. Если структура выбрана верно, то с увеличением выборки аппроксимация становится лучше.

Практическая часть №2

параметрический стохастический аппроксимация регрессия

Постановка задачи

В данной части работы необходимо получить приближение зависимости с помощью непараметрических методов оценки.

Также как и в первой работе, изначально известна функция - y=7 cos(x), для которой необходимо получить приближение. Исходя из данной зависимости, необходимо получить выборку значений. После чего, полученные выборочные значения должны быть использованы для получения зависимости. Зависимость нужно восстановить, используя методы непараметрической оценки.

Практические результаты

В данной работе получение приближения осуществлялось с помощью следующей оценки:

Параметр размытости (сглаживания) был определен следующим образом - =0,4. В результате получилось следующее приближение:

При выборке n=100

Попробуем увеличить выборку (n=400)

Аппроксимация становится лучше.

Для того чтобы убедиться в правильности работы процедуры, данная непараметрическая оценка была применена к другой функции: y=sin(x)

При выборке n=400

В данной работе проводились эксперименты со значением параметра размытости. Значение сначала было увеличено, затем уменьшено. Итогом увеличения параметра стало следующее приближение:

При выборке n=100 и =7

Аппроксимация хуже, что еще раз доказывает правильность работы процедуры.

А при выборке n=100 и =0.2:

Уменьшение же параметра не привило, к каким либо кардинальным изменениям, в силу того, значение параметра =0,4 достаточно мало, чтобы получить достойное приближение.

Попробуем одновременно увеличить выборку и параметр размытости:

Точная аппроксимация, совпадение с истиной.

Вывод: При увеличении объема выборки и уменьшении параметра размытости аппроксимация улучшается, независимо от функции, для которой необходимо получить приближение, не требуется знание структуры.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, можно сделать следующие выводы:

«Параметрический подход» подразумевает, что мы знаем структуру исследуемого процесса или объекта, но не знаем параметры этой структуры, эти параметры необходимо определить.

От уровня априорной информации зависит то, с каким видом алгоритма (параметрическим или непараметрическим) мы будем работать. Если априорной информации достаточно для выбора структуры объекта, то можно работать с параметрическими алгоритмами. Непараметрический подход используется в случаях недостаточной априорной информации об изучаемом процессе, объекте. Непараметрический и параметрический подходы имеют свои преимущества и недостатки.

Преимущества параметрических алгоритмов:

· Менее ресурсоемкие алгоритмы (требует меньшего количества вычислительных операций в сравнении с непараметрическими алгоритмами);

· После определения неизвестных коэффициентов мы можем определить характер поведения объекта или процесса в любой части допустимой области.

Недостатки параметрических алгоритмов:

· Требуют знания структуры объекта, процесса;

· При сходимости по параметрам, но при неправильном выборе структуры, модель может быть неадекватной реальному объекту или процессу.

Преимущества непараметрических алгоритмов (непараметрическая аппроксимация):

· Отсутствие необходимости выбора структуры объекта с точностью до вектора неизвестных параметров;

· Универсальность алгоритмов позволяет работать с различными зависимостями;

· При увеличении объема выборки, согласно среднеквадратичной сходимости, оценка функциональной зависимости сходится к истинной зависимости.

Недостатки непараметрических алгоритмов (непараметрическая аппроксимация):

· Большое число вычислительных операций (в сравнении с параметрическим подходом);

· Являются более сложными методами обработки исходной информации (выборки).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Медведев А.В. Математические основы теории адаптивных систем. Красноярск, СибГАУ, 2007.

2. Методы стохастической аппроксимации.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

    Главная задача спектрального анализа временных рядов. Параметрические и непараметрические методы спектрального анализа. Сущность понятия "временный ряд". График оценки спектральной плотности для окна Дирихле, при центрированном случайном процессе.

    курсовая работа , добавлен 17.09.2009

    Первые два момента состоятельной оценки спектральной плотности, исследование асимптотического поведения математического ожидания и дисперсии построенной оценки. Сравнительный анализ оценки спектральной плотности в зависимости от окон просмотра данных.

    курсовая работа , добавлен 12.04.2012

    Формализм Якверта. Оценка физической плотности вероятности для оценки риск-нейтральной плотности. Оценка опционов на покупку по теореме Бридена–Литценбергера. Использование свойств функции полезности Канемана–Тверски для прогнозирования финансовых рынков.

    контрольная работа , добавлен 17.10.2016

    Исследование первого момента состоятельной оценки взаимной спектральной плотности. Задачи спектрального анализа временных рядов. Графики оценки для временного ряда, представляющего собой последовательность наблюдений температуры воздуха в городе Бресте.

    курсовая работа , добавлен 16.08.2011

    Исследование кривой второго порядка. Определение типа кривой с помощью инвариантов. Приведение к каноническому виду, построение графиков. Исследование поверхности второго порядка. Определение типа поверхности. Анализ формы поверхности методом сечений.

    курсовая работа , добавлен 28.06.2009

    Оценивание параметров закона распределения случайной величины. Точечная и интервальная оценки параметров распределения. Проверка статистической гипотезы о виде закона распределения, нахождение параметров системы. График оценки плотности вероятности.

    курсовая работа , добавлен 28.09.2014

    Нахождение выборочной средней и дисперсии. Построение гистограммы продолжительности телефонных разговоров и нормальной кривой Гаусса. Нахождение групповых средних и коэффициента корреляции. Выборочные характеристики и параметры уравнений регрессии.

    контрольная работа , добавлен 30.11.2013

    Подходы к оценке кредитного риска: недостатки методик Базеля II. Модели оценки: качество и прозрачность методик, структура данных. Скоринговые методики, кластерный и дискриминантный анализ, нейронные сети и дерево классификаций, data mining и регрессии.

    курсовая работа , добавлен 21.08.2008

    Понятие вероятности события. Петербургский парадокс. Выявление наличия взаимосвязи между признаками в регрессионном анализе. Сравнение коэффициентов корреляции и регрессии. Нахождение тренда с прогнозами в Excel. Методы математического программирования.

    контрольная работа , добавлен 12.02.2014

    Определение вероятности наступления определенного события по законам теории вероятности. Вычисление математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения. Нахождение выборочного уравнения регрессии по данным корреляционной таблицы.

При решении вопросов построения моделей систем особую акту­альность имеет задача формирования исходной информации о парамет­рах элементов, входящих в состав системы. От точности и достовер­ности исходной информации зависит точность оценок анализируемых характеристик систем, точность расчетов по оптимизации стратегий функционирования и правил их обслуживания, решение проблем, связан­ных с прогнозированием поведения системы в будущем, и другие воп­росы. При формировании исходной информации о параметрах элемен­тов, как правило, за основу берется информация, получаемая в ходе проведения обследования систем и изучения опыта ее эксплуатации. Иными словами за основу берется информация о поведении комплек­тующих элементов системы в процессе ее функционирования.

Анализ исходных показателей элементов, узлов, составных частей, который производят на этапах эксплуатации, испытаний, конструкторс­ких разработок, выполняется в целях разрешения следующих вопросов:

    определения фактических значений исследуемых характеристик комплектующих элементов в условиях их реальной эксплуатации;

    выявления взаимосвязи изучаемых характеристик элементов и условий их эксплуатации, анализа влияния на исследуемые показатели вне­шних воздействий;

    прогнозирования поведения вновь создаваемого оборудования.

Таким образом, для решения указанных задач, в первую очередь,

необходимо организовать контроль за поведением оборудования в ре­альных условиях его эксплуатации. В дальнейшем информация, полу­чаемая в процессе эксплуатации объектов, используется для построе­ния моделей систем, в отношении которых проводится анализ.

При проведении экспериментальных исследований большую роль играет информация, полученная в результате наблюдений за объекта­ми, поведение которых имеет вероятностную природу. Изучение таких систем осуществляется по результатам реализации выходных парамет­ров, являющихся случайными величинами. Наиболее общей характе­ристикой, описывающей поведение одномерной случайной величины, является ее плотность распределения / (0- Зная плотность распреде­ления случайной величины, можно однозначно определить такие харак­теристики, как вероятность реализации некоторого события, интенсив­ность наступления события, среднее время между реализациями собы­тий и пр. Приведем формулы, позволяющие оценить соответствующие показатели.

Вероятность реализации события за время t определяется по фор­муле

Q{t) = F(t)=\f(t)dt.

На практике часто находит применение величина, определяемая через функцию распределения следующим образом:

Например, в теории надежности так определяется вероятность бе­зотказной работы.

Среднее время между реализациями событий определяется из соот­ношения

T a =]tf(f)dt=]p(t)dt.

Интенсивность наступления события можно определить по формуле

" _ /(f) _ ClF j t ) I _ dP (t) 1 P(t)dt P{t) dt Pit)"

Таким образом, зная плотность или функцию распределения случай­ной величины, можно перейти к определению характеристик сложной системы. На практике функция распределения бывает неизвестна. Ее приходится восстанавливать по статистическим данным реализации случайной величины. Поскольку статистика о результатах наблюдений всегда присутствует в ограниченном виде, восстановление функции распределения возможно с некоторой долей достоверности. Следова­тельно, если функция распределения оценена с определенной ошибкой,

урЫа

f (х - т ) 2 ^ 2а 2

" (х-т ) 2 ^ 2 а 2

Вычислим частные производные:

d P N (t,m, o ) _ 1

d m

d P N (t, т, О ) _ д а 2

г г \ т

2 о 2

\ /-J

то и вычисление характеристик системы будет также осуществляться с ошибкой.

Точность оценивания показателей сложных систем характеризует­ся величиной дисперсии. Пусть необходимо произвести оценивание не­которого показателя R(t). Покажем, как определяется дисперсия в его оценке. Будем считать, что показатель R(t ) определяется через функ­цию распределения. Пусть функция распределения зависит от двух па­раметров аир. Примерами двухпараметрических функций являются нормальное распределение, усеченное нормальное, логарифмически нормальное, гамма-распределение, распределение Вейбулла и ряд дру­гих. Итак, пусть F(t) = F(t, а, р). Соответственно оцениваемый показа­тель сложной системы можно представить как функционал от F(t) = F(t, а, р):

K(r) = K = K(f,a,p).

Разложим оценку R ( t) в ряд Тейлора в точке а, р и ограничимся тре­мя членами:

i(0 = K(0+^®(a-a)+^®(p-p).

К обеим частям данного выражения применим операцию вычисле­ния дисперсии

(t- m ) 2

-т ехр

Нормальное распределение

Плотность нормального закона распределения имеет вид

P n (t, m , о) = 1 -7=- J ехр

F n (t , т, о) = -у=- J ехр

(t-m )

2о 2

Среднее время между реализациями событий определяется по форму­

(t- m) 2 2 a 2

где cov(a, Р) - ковариация между параметрами аир. Таким образом, для оценки дисперсии некоторого показателя необходимо определить ча­стные производные данного показателя по параметрам закона распре­деления и дисперсии в оценке параметров закона распределения.

Рассмотрим вопросы определения частных производных для пока­зателей, введенных выше для конкретных законов" распределения. Оп­ределение дисперсии оценок параметров законов распределения будет описано далее.

В качестве примера рассмотрим определение частных производных оцениваемого показателя по параметрам закона распределения для нормального закона.

Ґ ( t-m) 2 ^

2 с 2

Соответственно частные производные определяются как

d T N (m, a ) 1 7

-- - = - f=~ ехр

d m V2nab

d T N (m , o ) I

i t = Ф

f 2 ~\ m

2 0

\ /

И, наконец, для интенсивности наступления события имеем

X(t, т,о) = -

Одностороннее усеченное нормальное распределение

Плотность распределения усеченного нормального закона с одно­сторонним усечением слева в точке 0 имеет вид

/ (t-m ) 2 ^ 2 а 2

\ І2 по

(X - т) 2 2а 2

\І2по{

Выражения для частных производных имеют вид

dX N (t, m,a ) _ f N (t, m,a )" m (l -F N (t, m,o))-f N (t, m,o )[ l-F N (t, m,o )]" m m

2

d m

с = -

(*-Ю 2 2 Ъ

о yj2nb

, ., t-m I (t-m ) 2

f H (fW O ra =Ir=-T ex PV

Ґ , ч2 4 V

( t-m) 2

( 2 M т

2 а 2

\

2с7

\ / J

" a2

da 2

2

[( t-m ) 2 - a 2 ] 2л/2лст 3

(t-m )

d x

P (Щ ,Ь) = \- {

(t -m) 2 a 2

m 2O 2

\ =

(t - m) exp

m exp

2 \І 2 по 3

Введем обозначения:

R = J ехр

J

Таким образом, представлены формулы для определения соответ­ствующих производных показателей по параметрам закона распреде­ления для нормального закона. Обобщением нормального закона рас­пределения является усеченное нормальное распределение. Рассмот­рим применение одностороннего усеченного нормального распределе­ния в задачах оценивания показателей сложных систем. В ряде задач системного анализа случайные параметры положительно определены. Примером могут служить задачи теории надежности, в которых слу­чайные параметры имеют область определения от 0 до например, наработка до отказа - величина положительно определенная. В этом случае нормальный закон распределения применять для описания дан­ных случайных величин неправомерно. В таких ситуациях применяют усеченное слева нормальное распределение. Рассмотрим данный слу­чай применительно к оцениванию показателей надежности.

(х-ц) 2 2 Ь

( х - У-У

dx ; Q = j exp

Соответствующие производные имеют вид

Ґ 2\ .Hl

2 Ъ

r," H

d b (Q-Rf

где соответствующие составляющие определяются по формулам

Среднее время между реализациями событий определяется по форму­ле

2 Ь 2

/ . .і \ (*-Ю

S / ч’ ^

л/тс л/тс фГ Г-М-

(Q-W b =^ exp

I^lb I- J l b Jb

Обозначим числитель через L.

Соответствующие производные вычисляются по формулам

Логарифмически-нормальное распределение

Логарифмически-нормальному закону распределения подчиняется случайная величина t, логарифм которой распределен по нормальному закону. Плотность распределения логарифмически-нормального закона имеет вид

КМЬ) _ i;q-% l Jf _ urz _______

"-!Li S )

/ 2 N .й! 2fc

ЩАМ KQ-Ul.

-^ , А,-ех Р

Функция распределения имеет вид

2 Ь 2

Наконец, интенсивность наступления событий равна

(*-10 2 В

2 Ь

где В = Ъ 1 .

Запишем формулы для определения показателей надежности

(х -M-) 2 2 Ъ

(x -\i .? 2 Ъ

dx -j exp о

Я„(*,И,Д) = I - Jexp

Введем обозначение

Соответствующие производные имеют вид

(*-Ю

M = ехр

2 \

( (I n f -H ) 2 В

Р лн (; , Н.Д ) _ 1 Эн - J l nB

P„Jt,\i,B) 1пг-н

Определим производные интенсивности по параметрам

dk yM (t,№) _ M^jQ-R )- (Q -RY 11 M ЭЦ (Q-R) 2 :

э в


( (г-н) м 2 Ь

Для определения средней наработки до отказа используют формулу

(г-ю 2

M 11 =-т^ехр

; (б-Л)"= ехр

и последнее выражение

Производные равны

дТ ля Ц , р , В ) 1 (в ,

Запишем выражение для вероятности безотказной работы

Выражение для определения интенсивности отказов имеет вид \J t, \i , B) = -

P B (t,a,b) = exp\

K a J

Вычислим производные данного выражения по параметрам распреде­ления:

<У2дВ I 2 В

Э P^(t,a,b) _ b да а

d P B (t, a , b ) _

Частные производные определяются из выражений

Э КЛ^В) _

^ 2

L tjbw в ехр|

(lnf - |X ) 2 2 В

где (/ лн (0)

7 B(a ^) = J ex P

(Inf-(X ) 2 2 В

Э T B (a,b)_~ r b(t

* (t" In

\d f , Э7в(а ^ э ь

дК»ЩВ) (0 ) " й (I - (0 )- /л. „ (I - F n J t))"

ЭВ 2

* п

Интенсивность отказа равна

(^ b -" , а

Производные по параметрам имеют вид

it, а, Ь )

(1 - F „„) = - I n Vii exp

_ (I n f - (X ) 2 В

Э^а, b ) Ь 2

Э Х в іа,Ь )_Ґ" Ь

да ~ а 2

д Ь а ь а

а ,

Распределение Вейбулла

Плотность распределения Вейбулла имеет вид

f B (t,a,b) = -(-

Гамма-распределение

Плотность гамма-распределения записывается следующим обра­

F B (t,a,b) = 1-ехр

Соответственно функция распределения имеет вид

х, а *

F r (t, X,а) = f х а ~ " exn (-Xx ) dx.

Вероятность безотказной работы вычисляется по формуле

P v (t , X , a) = I fехр(-Xx)dx.

Производные по параметрам равны

і і OcX a4 Jx a4 exp (-Xx) Jx-X a Jx a exp( -Xx)dx

Э Х г (г,а,Х ) _ (f r ( ‘Xa)) K - / r (f ,X, a ); Эа 2

J ехр(-Хх)(а - Xx)dx \

[!-,F r (ZAa)];=-

дР г (t, X , а) _ X 1

Па) і

дР ^да ’ а) = ~ Г^а) I * а ~" ex P(-^t r (a)(ta ^ - 111 0 - Г"(а)]Жс, где Г(а) = J X a t a ~ " ехр(- Xt)dt =J Z a " 1 ехр(-г)<&; Г(а) = J г“"’ exp(-z) In z 4 z ■

Средняя наработка до отказа определяется по формуле

Г г (о,Х)= J^- e xp (-Xt)d i =~.

оГ(а)X

Соответствующие производные равны

дТ г (а,Х ) а дГ г ( а ,Х) _ 1 ЭХ. X 2 ’ да ~Х"

Интенсивность отказов записывается

X a t a -" е хр (- Xt )

X r (t, а ,Х ) =

(f r (t , X ,a )) a = ^-y-^-[(X a InXf a "exp(- Xt)+X a t a 1 Infexp(-Xt))-

X 1 V a " 1 exp(-Xf)r„ (a)];

Г а ((X)X a Jjr a " 1 exp (-Xx) Jx-

t t X а In Xj X а ’ 1 exp (-Xx)dx +X a Jx a 1 Injfexp (-Xx)dx

Таким образом, получены выражения, позволяющие решать вопро­сы оценки точности в определении показателей сложных систем. Рас­смотрены наиболее часто используемые в системном анализе законы распределения. Получены формулы для определения основных показа­телей систем и вычислены первые частные производные показателей по параметрам соответствующих законов распределения. Следующим вопросом, который требует решения, является вопрос оценивания па­раметров выбранного закона распределения. Рассмотрим, как решает­ся данная задача.

Производные по параметрам определяются в виде

d X r ( t,a , X) _ (f r (t X а) ) \ -/ r (t , X,a) 2

где a ^ g " 1 «pW-X-r-exp(-Xr)

Вопросы по непараметрическим критериям.

Статистический критерий – решающее правило, обеспечивающее принятие истинной и отклонение ложной гипотезы с высокой вероятностью Одновременно с этим статистический критерий – метод расчета определенного числа и само это число.

Параметрические критерии используются в случае, когда выборка является нормальной, при этом в расчет в данных критериях включены признаки вероятностного распределения признака, то есть средние и дисперсия. При этом предполагается, что данные непрерывны. К параметрическим критериям относятся: t-критерий Стьюдента, критерий хи-квадрат. Подходят для шкал интервальных отношений.

Непараметрические критерии используются, когда нельзя говорить о нормальном распределении, критерии основаны на оперировании рангами или частотами. К непараметрическим относятся критерий знаков, критерий Вилкоксона, критерий Манна-Уитни, Джонкхиер. Подходят для шкал, более слабых, чем интервальные.

Перед выбором критерия мы должны проверить выборку на нормальность.

Я понятия не имею, что написать по мерам среднего и мерам разброса, ибо судя по всему там все те же понятия дисперсии и бла бла прочего *_*

2. Методы проверки статистических гипотез: t-критерий,критерий Вилкоксона, критерий Манна-Уитни,Краскал-Уоллеса(условия применения, формулировка гипотез, распределения статистик, идея расчета)

t-критерий (Стьюдент) – применяется если выборка нормальная. Гипотезы формулируются таким образом:

1. формулируется H0

2. формулируется H1, альтернативная H0 (обычно она свидетельствует о взаимодействии признаков).

3. Выбирается статистика для выбора между двумя гипотезами

4. Для каждого уровня значимости α устанавливается критическая область, где а) попадание результата в эту область свидетельствует скорее об H1, чем об H0 б) вероятность попадания результата в эту область при H0 истинной равна α.

Вероятность допустимой ошибки первого рода α=0,05, если значение критерия по нашей выборке окажется больше t 0,05 , то мы принимает гипотезу H0, отвергаем гипотезу H1.

Для одной выборки

Для независимых выборок.

Критерий знаковых рангов Вилкоксона – рассматривает не значения чисел в выборке, а лишь их знаки. Критерий учитывает абсолютные величины членов выборки. Применяется в случае, когда выборка может не быть нормальной и когда требуется решить, имеет ли выборка существенно отличное от нуля среднее значение. Для применения требуется:

1) Установить уровень значимости α и найти соответствующий нижний квантиль Вилкоксона.


2) Расположить все члены выборки в порядке возрастания абсолютной величины, подписать под ними ранги.

3) Вычислить статистику Вилкоксона, для чего подсчитать сумму рангов, приписанных отрицательным членам выборки.

4) Сравнить полученную статистику с найденным ранее квантилем. Если эта сумма рангов меньше нижнего квантиля, мы отвергаем гипотезу H0, принимает гипотезу H1. Точно так же если сумма рангов всех положительных членов выборки больше верхнего квантиля, мы принимаем H1 и отвергаем H0.

Критерий Манна-Уитни (U) – критерий для независимых выборок, аналог t-критерия Стьюдента. Его эмпирическое значение показывает, насколько совпадают два ряда значений признака. Применяется когда выборка может не быть нормальной, сохраняется лишь требование подобия распределений, но они не обязаны быть нормальными + когда требуется решить проблему, можно ли утверждать о том. Что среднее значение экспериментальной выборки существенно выше среднего значения контрольной группы.

1) Записываем члены обеих выборок в порядке возрастания, выделяя при этом члены различных выборок по-разному.

2) Для каждого числа первой (контрольной) выборки подсчитываем, сколько чисел второй (экспериментальной) выборки расположено левее него. Если число первой выборки равно числу второй, то прибавляем 0,5. Получаем последовательной результатов и складываем ее.

3) Смотрим на выбранном нами уровне значимости нижний квантиль по Манну-Уитни. Если полученная нами сумма меньше нижнего квантиля, то отвергаем гипотезу H0, принимаем гипотезу H1.

Распределение Манна-Уитни симметрично (т.е. можно подсчитывает по обратной схеме и использовать верхнюю квантиль).

Критерий Краскал-Уоллеса – является непараметрическим аналогом однофакторного дисперсионного анализа для независимых выборок. Сходен с критерием Манна-Уитни. Оценивает степень совпадения нескольких рядов значений измененного признака. Основная идея – представление всех значений сравниваемых выборок в виде общей последовательности ранжированных значений с последующим вычислением среднего ранга для каждой из выборок.

Вычисляется после ранжирования.

N – суммарная численность всех выборок.

k – количество сравниваемых выборок.

R i – сумма рангов для конкретной выборки.

n i – численность выборки i.

Чем сильнее различаются выборки, тем больше вычислительное значение H, меньше p-уровень значимости. При отклонении нулевой статистической гипотезы принимается альтернативная о статистически достоверных различиях по данному признаку без конкретизации направления различий. (для направления необходим критерий Манна-Уитни, т.к. он для двух выборок, а этот для больше двух).

Рекомендуем почитать